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Matemática – Análisis Matemático – Álgebra
Introducción:
La matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y
organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo.
La matemática es como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas del mismo. Como es muy
antigua, por lo tanto, se ha tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo jugarla". Si existen reglas,
es lógico pensar que existen elementos, cosas, que obedecen esos mandatos. Dichos elementos se conocen con el
nombre de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué son, sino qué se hace con ellos.
La matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están representados por axiomas,
afirmaciones que aceptamos sin discusión. Por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, indicando
que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos enunciando un axioma. En base a los axiomas se pueden "construir"
propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. De
estas propiedades se deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red.
De la misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos a ver por la mitad, no podemos
entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas. Así que comencemos por lo básico.
Conjuntos
Los conjuntos son conceptos primitivos, podemos imaginar lo que son; una totalidad, una reunión de cosas. ¿Qué
hacemos con ellos?
Comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se le da un nombre que siempre es una letra
mayúscula. Los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas. Podemos dibujarlo o escribirlo.
Para dibujarlo utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de Venn. Para escribirlo empleamos un par de
llaves "{" entre las cuales indicamos los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".
Hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que componen al conjunto, lo hemos definido por extensión.
Pero podemos indicar "la característica" de esos elementos, buscar en dos o tres palabras, como máximo, lo que
distingue a ese conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por comprensión.
Pongamos un ejemplo:
Si definimos por extensión escribimos: A = {a; e; i; o; u}
Por comprensión se escribe: A = {x/x es una letra vocal }
Este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una característica en común, cada elemento es una
vocal. Es importante distinguir que como nos referimos acada elemento que compone el conjunto, hablamos en
singular. Conviene, entonces, utilizar una letra a manera de "nombre" para no tener que estar indicando (escribiendo a
cada momento) "que el elemento del conjunto es..." Utilizamos una letra para que represente a cualquier tipo de
elemento, esa letra siempre es la "x". Al escribir " x/x " (se lee x tal que x) indicamos lo que es x, lo que es "cada"
elemento que compone al conjunto.
Demos otros ejemplos:
B = {x/x es una nota musical }
B = {do; re; mi; fa; sol; la; si}
C = {x/x es un número de una sola cifra}
C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Tamaño o Cardinal de un Conjunto
Intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo, el
conjunto A = {x/x es una vocal} está compuesto por cinco elementos mientras que el conjunto B = {x/x es una nota
musical} está compuesto por siete.
Estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los conjuntos, el cardinal. Así pues, el cardinal es el
número que determina el tamaño del conjunto, la cantidad de elementos que contiene.
Aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se está diciendo que existe y es única.
Volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad. Algunos autores suelen asignarle un símbolo
(#), otros encierran al número entre barras. De esta manera el conjunto D = {x/x es un mes del año} tiene por cardinal a
12 y se lo puede designar: #12 ó |12|.
Conjunto vacío: Si el conjunto no tuviera elementos, se lo denomina vacío, y se lo designa con el símbolo  ó {}. En
este caso su cardinal es cero .
Conjunto infinito: Cuando no podemos indicar la cantidad de elementos que compone a un conjunto, por que son
tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, decimos que el conjunto es infinito.
Infinito, cuyo símbolo es , no es un número, indica que el conjunto crece o decrece sin final. Por ejemplo, el conjunto
de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así mismo los siguientes conjuntos que trataremos, los conjuntos
numéricos, también lo son.
Volveremos al tema del "infinito" más adelante... pero puedes ver el video que explica lo que has leído aquí.
Conjunto Numérico
Cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. Los números parecieran ser elementos mágicos
por que le permiten conocer cuantos caramelos puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su
amiguito, etc. Esa misma fascinación pudo haberla sentido el hombre primitivo al aprender a contar; justamente, los
primeros números que naturalmente aprendemos son los números naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el
120, etc.
Los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que se representa con la letra N.
Conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta, empezamos a sumar. Hasta parece tonto
aclarar que si se suman dos números naturales obtenemos otro número natural "N + N = N" , pero en matemática lo
obvio hay que dejarlo bien claro.
De la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos encontramos con un pequeño problema: al restar
dos números naturales no siempre obtendremos otro natural.
Pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural)
Evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos, para poder solucionar este tipo de
operaciones. Aquí nos encontramos con números positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado,
por lo tanto, con un nuevo conjunto, el conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la letra "Z".
Aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da como resultado otro número entero.
Z+Z=Z
Z–Z=Z
Si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo podemos indicar como: 4.5 en ambos casos el
resultado es el mismo, 20.
"La suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación".
Vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella los números negativos. De esa misma manera
de la multiplicación emerge la división, el resultado de esta operación expresada como fracción se denomina razón,
por lo tanto, todo número obtenido de este modo lo llamaremos racional (Q) Y los números racionales también forman
un conjunto, el conjunto de los números racionales.
Todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son decimales periódicos. Ojo está mal dicho
números fraccionarios o quebrados, los números se denominan racionales.
La fracción
enteros a y b
representa la división entre dos números
Si el decimal no es periódico, entonces, no puede obtenerse mediante la división de dos números enteros, por lo tanto,
ese número se lo llamará número irracional. Todos ellos forman el conjunto de los números irracionales.
El prestigioso  es un irracional muy conocido, pero también lo son
etc.
A todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina números reales; al conjunto de los números reales
se lo representa con la letra "R".
Pertenencia e inclusión
Cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. Cuando un conjunto tiene todos los
elementos del otro y más, decimos que el primer conjunto está incluido.
Cuando un conjunto está incluido en otro más grande se lo denomina subconjunto. Por ejemplo N (naturales) es un
subconjunto de Z (enteros).
Los elementos pertenecen a un conjunto
Un conjunto está incluido en otro conjunto
El signo de pertenencia es "", por ejemplo: 2  N ( 2 pertenece al conjunto de los naturales)
El signo de inclusión es " ", por ejemplo: N  R ( los naturales están incluidos en los reales)
(Ver video explicativo: conjuntos numéricos)
Variables
Suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "n" es un número cualquiera, sólo necesitamos
indicar a que conjunto pertenece.
Ejemplo: n  Z ( n pertenece al conjunto de los números enteros, o sea "es" un número entero)
Reemplazar al "número" por una letra nos ayuda a generalizar propiedades. Para que una propiedad sea verdadera
debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin ninguna excepción.
Veamos un ejemplo: "el siguiente de un número entero".
El siguiente de 2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13 ...
¿Qué se hace para encontrar al siguiente de un número? Sencillamente se le "suma 1"
Así que podemos designar al siguiente de un número entero, al consecutivo de n como: "n + 1".
De la misma manera "n – 1" representa al número anterior de un entero.
Ahora piensa cuidadosamente tu respuesta.
Entre un entero y su consecutivo, ¿ Cuántos enteros hay ?
El conjunto de los números enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no existe ningún número
(entero).
Sigamos pensando.
Tomemos dos números enteros consecutivos, Por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos.
4 ...... 5 (podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5)
4 .... 4,5 ..... 5
Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,5
4 ...... 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5)
4 ...... 4,3 ..... 4,5
Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,3
4 ........4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)
4 ........ 4,1 ....... 4,3
Ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,1
4 ......... 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)
4 ......... 4,08 ....... 4,1
Podemos seguir así eternamente.
Siempre podremos poner otro número por que entre dos números reales hay infinitos números.
Razonemos...
¿ Cuántos números hay en el conjunto de los enteros?, infinitos. ¿Cuantos números hay en el conjunto de los reales?,
infinitos. Pero el conjunto de los números enteros (Z) está incluido en el conjunto de los números reales, entonces (R)
¿Existirán infinitos más grandes que otros ?!!!!
Entonces cabe preguntarnos, ¿qué quiere decir infinito ?.
Como ya se dijo, "infinito" no es un número, es una tendencia, indica que sigue creciendo o que sigue achicándose
eternamente, sin fin.
Tenemos dos nociones para infinito.
a) El que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que hay en el cielo.
b) El que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un extraño sueño en el cual quieres tocar una pared, te
acercas, te das cuenta de que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina infinitésimo.
El conjunto de los números enteros es infinito
El conjunto de los números reales es infinito en ambas direcciones, positivos y negativos, además también crece
infinitésimamente (por que entre dos números reales hay infinitos números también), por eso se lo denomina conjunto
denso.
Otro conjunto denso es la recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y crece indefinidamente
en ambos sentidos (depende de la dirección que la pongamos). Por lo tanto, la recta y los números reales son
equivalentes.
"Podemos representar a los números reales sobre una recta"
Representación de Números Reales en la recta Numérica
Ya vimos que uno de los conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto de conjunto nos
permitirá desarrollar el tema de esta unidad.
Todos los números, positivos y negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones (divisiones
cuyo resultado es un decimal periódico). Los decimales no periódicos se denominan números irracionales y todos ellos
(racionales e irracionales) forman el conjunto de los números reales. Éstos se ordenan, según su magnitud, de menor a
mayor.
Tomemos dos números reales cualesquiera a y b, démosle un valor:
a = ......
b = ......
En realidad al asignarle un valor a cada uno tenemos sólo tres opciones que a sea mayor que b, que sea menor o que
sea igual.
a>b
a=b
a<b
Dados dos números sólo pueden ser iguales o desiguales (mayor o menor). Una alternativa a la vez.
Ya hemos aclarado que los números reales y los puntos de la recta son equivalentes, lo que implica que podemos
representar a los números sobres la recta a la que llamaremos eje numérico. Para ello pongamos en claro tres
condiciones:
1) Siempre ubiquemos un punto al que llamaremos "origen" asignándole el valor cero..
2) No tenemos que olvidarnos de indicar el sentido positivo con una flecha (el opuesto, se sobreentiende que será
negativo ).
3) Pongamos siempre una medida de longitud, una escala, para separar dos enteros consecutivos.
Con estos tres condicionamientos estamos listos para trabajar.
Separemos la recta en unidades de igual longitud cada una, coloquemos cuatro números enteros consecutivos de cada
lado (positivos y negativos)
(Ver video explicativo: intervalos)
Magnitudes.
Estuvimos hablando de los números pero no dijimos para que sirven.
Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos
asignarle el significado que queramos. Un simple tres , según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala
nota, lo que sea ...
Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud.
Si bien las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por ahora nos
ocuparemos de las últimas, las que pueden subdividirse en magnitudes constantes o absolutas (cuyo valor numérico no
varía, como el número) y las magnitudes variables (que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente
por las letras "x" e "y").
Según el problema que se considere , el conjunto de estos valores puede ser diferente. Por ejemplo, la temperatura del
agua líquida varía desde 0 ºC hasta 100 ºC (aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto);
mientras que el alcohol común se mantiene líquido entre los 0º C y los 80 ºC aproximadamente (excluyendo los
extremos del conjunto).
Estos conjuntos, subconjuntos del conjunto de los números reales, se denominan intervalos. Los intervalos pueden ser
abiertos, si sus extremos no pertenecen al conjunto ( como las temperaturas antes descriptas), o intervalos cerrados ,
cuando sí pertenecen.
Tomemos un intervalo cualquiera, el que se encuentra entre los números 3 y 5, por ejemplo. Escribiremos
como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo abierto. Por
supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo
semiabierto ó intervalo semicerrado. ¿Cómo te parece que se escribirá este tipo de intervalo ? (los dos casos posibles)
Los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. Pongamos un ejemplo: (– 4 , 3 ]
_____( – 4 ///////////////////////// 0 ///////////////// 3]____
Como ya se dijo, suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "x", magnitud variable, nos permite
generalizar la noción de número y expresar al intervalo de otra manera. Así, (3,5) puede escribirse como: 3 < x < 5,
donde xpuede tomar cualquier valor entre 3 y 5.
[3 , 5] podemos anotarlos como: 3 < x < 5
(Ver videos explicativos: Magnitudes)
Volvamos con las operaciones . . .
Raíz Cuadrada
Ya hablamos de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Luego le tocó el turno a la potencia y ahora es tiempo
de desarrollar a su alterego, la radicación.
Aunque no sea necesario, (en mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla.
Sea a , b y c números reales , entonces:
De ella, en estos momentos, sólo nos detendremos en la raíz cuadrada.
La raíz cuadrada es la inversa de la potencia al cuadrado. No es nada nuevo. Tampoco lo es el hecho que todo número
elevado al cuadrado da como resultado un valor positivo.
Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada ¿Qué sucede ? En realidad, la respuesta no es tan sencilla. No es lo mismo
elevar un número negativo al cuadrado y luego sacarle la raíz que a la inversa.
Si tenemos
nos encontramos con un gran problema.
¿Por qué no podemos resolver la raíz y luego elevar al cuadrado el resultado? Sencillamente por que la raíz de un
numero negativo no tiene respuesta en el conjunto de los números reales. Tanto (- a)2 como a 2 tienen resultado
positivo (todo número elevado a una potencia par da como resultado un número positivo). Así que
solución (repito, sólo en el conjunto de los reales).
no tiene
Para facilitar la maniobra transformemos la raíz en potencia,
y resolvamos la operación
simplificar las potencias nos queda: (– a )
al
Así que:
Si tenemos
la solución es completamente diferente.
Cuidado, el cuadrado de un número siempre dará un resultado positivo; así que nos encontramos con un
acontecimiento completamente diferente al anterior.
Esta igualdad es verdadera pues dentro de la raíz ambos son positivos
¿Cómo expresar que la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo?. Aquí aparece el módulo:
El módulo resuelve el problema del resultado de la raíz, que puede ser tanto positivo como negativo. El valor del
módulo siempre es mayor que cero, siempre es positivo.
Ejemplo:
El resultado de la raíz puede ser negativo: |– 3| = 3 (al aplicarle el módulo el resultado es positivo).
No existe un módulo que sea negativo, el resultado siempre es positivo.
Ejemplo: |3| = – 3 no existe.
El módulo tiene resultado positivo.
Dentro del módulo el número puede ser positivo o negativo
Ejemplo: |– 5| = | 5| = 5
Si tenemos ecuaciones con módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos dentro del módulo
pero el resultado será siempre positivo:
|x| > 0,
|– x| > 0
Ahora si sacamos el módulo, debemos calcular el valor de x teniendo en cuenta ambos signos: | x| = 3 , al sacar el
módulo tenemos x = 3 ó – x = 3  x = – 3 .
Aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. La igualdad sólo nos permite que el resultado sean dos
números. Si relacionamos al módulo con una inecuación el resultado será un intervalo.
Observemos el siguiente ejemplo: |x| < 3, al sacar el módulo tenemos x < 3 ó – x < 3 , no nos conviene la "x" negativa,
así que intercambiemos los – 3 < x
(observa que si la dejamos del mismo lado debe invertirse el sentido del símbolo quedando: – 3 < x. así quex > – 3.)
Representemos x < 3 y x > – 3 en una recta numérica.
____(–3 ///////////////// 0 ///////////////// 3)________
Vemos que la solución de |x| < 3 es (– 3; 3)
Intervalo de una cuadrática
x2 + 5 x – 6 > 0 (factorizamos)
(x – 1) (x + 6) > 0 (el hecho de ser mayor de cero nos indica que buscamos resultados positivos en una
multiplicación. Tenemos dos opciones, ambos son positivos o negativos).
Si ambos son positivos:
(x – 1) > 0 → x > 1
(x + 6) > 0 → x > – 6
Si x es mayor que 1, evidentemente es mayor que – 6, por lo que nos quedamos con el primer resultado. Los valores
de x van desde 1 a infinito. (1, + ∞)
Si ambos son negativos:
(x – 1) < 0 → x < 1
(x + 6) < 0 →x < – 6
Si x es menor que – 6, evidentemente es menor que 1, por lo que nos quedamos con el segundo resultado. Los valores
de x van desde menos infinito hasta – 6. (– ∞)
El resultado de esta inecuación serán ambos resultados: (– ∞, - 6) U (1, + ∞)
Recta y Plano Vectorial
Autora: Silvia Sokolovsky
Dos puntos determinan una recta. Si esos puntos son extremos de vectores (linealmente
independientes), podríamos generalizar diciendo que dos vectores determinan una recta. La
diferencia entre ambos vectores nos daría un vector
colineal con esa recta, vector dirección o pendiente de la
recta.
Sean dos vectores w = (2, 3) y v = (5, 2)determinan una
recta cuya pendiente esm, de manera que m = w  v
= ( 3, 1). De esa manera podemos escribir la ecuación
de la recta vectorial como: L =t( 3, 1) + (5, 2). El
vector que suma al vector pendiente puede ser cualquier vector perteneciente a la recta.
Designamos como "t" a un escalar de manera que cualquier vector perteneciente a esta recta
se obtiene al dar distintos valores a t.
(x , y) = t ( 3, 1) + (5, 2)
Llamada ecuación paramétrica de la recta.
Definición: Dado en Rn un vector m no nulo (m  0) y un punto v, la ecuación vectorial de la
recta que pasa por v en la dirección m es: L = t.m + v (para t  R).
Sólo para R2 tenemos que:
En el caso de los sistemas en R2 la ecuación paramétrica (x, y) = t.m + v puede escribirse
como ax + by = c. En cambio para sistemas de Rn donde n > 2 no alcanza con una ecuación
lineal.
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Siempre que hablemos de sistemas en R2 o en R3 , dos rectas son paralelas si
susdirecciones son paralelas (si un vector dirección es combinación lineal del otro).
Evidentemente si los vectores dirección fueran perpendiculares entre sí, las rectas también lo
serían. ¿Cómo determinamos que dos vectores sean perpendiculares?. Elproducto escalar de
ambos deben dar cero (cos 90º = 0).
Plano en R3
Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. Si en vez de la recta tomamos un
vector dirección, vector N, y un punto p de R3 podemos escribir la ecuación del plano  que
pasa por P y es perpendicular a N como: (Q  P) . N = 0
El plano es el conjunto de puntos Q tales que Q  P es perpendicular a N. No olvidar que un
vector perpendicular a otro se denomina vector normal, así lo denominaremos a N.
Si Q – P = (x, y, z) y N = (a, b, c) la ecuación resulta ax +by +cz = 0 (Representa al
Plano que pasa por el origen de coordenadas)
Existen infinidad de planos que no pasan por el origen de coordenadas, sencillamente
podemos desplazarlos sumando o restando un número (al que llamaremos d)
ax +by +cz – d = 0 (despejando)
ax +by +cz = d
Es interesante destacar que el valor de d se obtiene multiplicando (escalarmente) cualquier
punto de  por el vector normal del plano. Así d = P . N
Otra interesante cuestión para destacar es que si tenemos dos planos perpendiculares, sus
normales han de ser perpendiculares y si los planos son paralelos sus vectores normales
también lo son.
Distancia de un punto y un plano
Q es un punto exterior a un plano  cuya normal es N, definimos como la distancia de Q al
plano como la distancia entre Q y P, d(PQ), donde P en un punto del plano. P debe
pertenecer a la recta perpendicular al plano que pasa por Q (la distancia más corta es la
perpendicular).
En R3 si Q = (xo, yo, zo) y : ax + by + cz = d, entonces la distancia puede escribirse como:
Sistemas de ecuaciones
Autor: Silvia Sokolovsky
Un sistema de ecuaciones no es otra cosa que un conjunto depolinomios cuyas cuyas gráficas pueden
o no cortarse en uno o más puntos cuyas coordenadas son las soluciones que buscamos. Para indicar
que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca al conjunto de todas ellas con una llave.
En este apunte nos ocuparemos de los sistemas lineales, es decir que el mayor grado de los
polinomios es uno, pero puede haber sistemas con polinomios de diversos grados.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que un sistema de ecuaciones puede presentar
dos opciones que nos permitirán clasificarlos encompatibles o incompatibles, según se corten en algún punto o no se
corten en absoluto.
Dentro del sistema compatible tenemos también dos opciones, que se corten en un solo punto, y lo llamaremos sistema
compatible determinado (SCD) o que se corten en infinitos puntos, este sistema recibe el nombre de sistema
compatible indeterminado(SCI).
Es interesante destacar que un sistema tiene únicamente estas dos opciones, si dos ecuaciones se cortan en más de un
punto, se cortarán en todos sus puntos.... es uno o todos.
Para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas ir aquí
Sistema de ecuaciones con tres o más incógnitas
Método de Gauss
Para resolver un sistema con tres o más incógnitas utilizando este métodos transformamos un sistema de ecuaciones en
una matriz donde cada una de las ecuaciones representa una fila. Es interesante destacar que así como podemos
cambiar de lugar las ecuaciones podemos intercambiar las filas, pero no las columnas ya que estás representan a las
variables utilizadas. La primera columna representa a x, la segunda a y y la tercera a z. Pongamos un ejemplo para ir
explicando el método
Primero transformemos este sistema en una matriz. Los elementos de la primera ecuación irán en la
primera fila, y el resultado se separará con una línea de puntos que formará la matriz ampliada.
Una vez que hemos armado la matriz, llamamos a la primera fila como f1, la segunda fila con el
nombre de f2 y la tercera fila como f3. Nuestro objetivo es sumar y restar las filas para que la
primera columna, debajo del 1, (que es la intersección de la primera columna con la primera fila)
quede todo ceros.
Fíjense que en este caso los elementos de la primera columna tienen igual signo, así que los restamos. En el caso de la
fila 1 y fila 2, al uno lo multiplicamos por el dos (que es el número que aparece en la segunda fila) Como el 1 es neutro,
en realidad no es necesario escribirlo, así que en vez de 1. f2 se pone sólo f2. Pero a f1 si lo multiplicamos por el número
que aparece en la fila dos. Así que al escribir f2 – 2 f1estamos indicando la operación que nos permitirá reemplazar la
fila 2 por un polinomio equivalente. O sea, los números son distintos, pero el resultado para x, y y z, siguen siendo
igual. Lo mismo hacemos con la fila 3.
Si se fijan detenidamente en la segunda fila, podemos dividir cada uno de sus elementos por el número – 11, cada uno
de los resultados es entero y la fila resultante nos queda más simple para trabajar. Es un método que podemos aplicar
cada vez que la fila presente múltiplos de algún número.
Ahora nos dedicaremos a la segunda columna. La intersección entre la segunda columna y la segunda fila es el 1,
debajo, también, todo debe ser cero. Operamos exactamente igual que antes. Como el 1 y el – 13 tienen distinto signo,
nos conviene sumarlos y multiplicar por 13 a la fila 2. Es lo que indica: f3 + 13 f2. Resolviendo para cada uno de los
elementos de las distintas columnas, reemplazaremos la fila 3, por otra equivalente.
Nos queda debajo de la diagonal principal un triángulo compuesto de ceros, los que permitirán escribir un sistema
equivalente al que teníamos inicialmente pero que nos permite despejar secuencialmente a z, luego a y y finalmente a x.
Como tenemos un valor para cada una de las tres variables, estamos frente a un sistema compatible determinado, SCD.
Donde nuestro resultado es:
(x, y, z) = (1, 1, 1)
Pongamos otro ejemplo para ver como obtenemos un SCI.
Nuevamente pongamos un ejemplo para entender de los que
hablamos.
Vemos que algunas letras (variables) faltan en el sistema, es
que están siendo multiplicadas por cero. Completemos,
entonces, el sistema, escribiendo el cero delante de las variables que no están escritas para
que resulte más fácil que la pasemos a una matriz.
Escribamos la matriz correspondiente y resolvamos lo aplicando el método de Gauss recién
aprendido.
Como el sistema es compatible indeterminado, nos queda una expresión y no un resultado.
En este caso reemplazamos las coordenadas por las expresiones obtenidas.
Así que:
Ahora hagamos un ejercicio de ejemplo con un sistema incompatible.
Otra vez algunas letras (variables) faltan en el sistema, ya que están multiplicadas por cero.
Completemos, entonces, el sistema, escribiendo el cero delante de las variables que no están
escritas para que resulte más fácil que la pasemos a una matriz.
Continuaré escribiendo
Ejercicios de Intervalos o unión de intervalos (inecuaciones)
(Estos ejercicios pertenecen al curso online para alumnos que cursan matemática del CBC,
ciclo básico de la universidad de Buenos Aires, UBA)
¿Necesitás las fórmulas?
Ahora podemos comenzar a trabajar en este tema.
Ahora los ejercicios de parcial:
1) Sean f (x) = 3x2 + 3x – 2 y g(x) = 6 – 2x. Expresar como intervalo o unión de intervalos al conjunto A = {x R
/f(x) < g(x)}
Respuesta (– ∞, – 8/3]  [1, + ∞)
2) Dada f(x) = ½ x2 – 4x; g(x) = x – 12 escribir como intervalo o unión de intervalos:
A = {x R /f(x) > g(x)}
Respuesta: (– ∞, 4]  [6, + ∞)
3) Dada la f(x) = 9x (x – 2), escribir como intervalo o unión de intervalos al conjunto
C ={x  R / f(x) > 8}
Respuesta (– ∞, 2/3)  (4/3, + ∞)
4) Expresar al conjunto
como intervalo o unión de intervalos.
Respuesta (3, 6)
5)Expresar al conjunto como intervalo o unión de intervalos.
Respuesta (– ∞, 5)  (9, + ∞)
(Si utilizas Firefox puede que no veas correctamente las letras symbol)
Polinomios:
Autora: Silvia Sokolovsky
Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + ... + a n
Donde n  N (número natural) ; a0, a1, a2, ... , an son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números
reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado.
Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto.
Ejemplo:
P(x) = x2 + 3x – 4 Polinomio de grado 2
R(x) = 3 Polinomio de grado 0
Q(x) = x5 + 7 x3 – 2 Polinomio de grado 5
M(x) = 0 Polinomio nulo.
Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las
operaciones indicadas.
Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 hallar P(2)  P(2) = 22 + 3.2 – 4 P(2) = 4 + 6 – 4 P(2) = 6
Polinomio opuesto: Dado dos polinomios, se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos.
Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "" delante del polinomio.
Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 (es opuesto a)  P(x) =  x2 – 3x + 4
Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son
iguales.
Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los
polinomios que tienen una sola variable indeterminada.
Adición De Polinomios: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los
monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre
otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos
semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos
o restarlos según su signo.
Para sumar P(x) = 3x4 – 5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:
P(x) + Q(x) = (3x4 – 5x2 + 7x) + (x3 + 2x2 – 11x + 3)
= 3x4 + x3 + x2 (2– 5) + x (7 – 11) + 3 =
= 3x4 + x3 – 3x2 – 4x + 3
La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro
de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un
polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).
Multiplicación De Polinomios:
Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y,
posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.
A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios.
Para los polinomios
P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:
P(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva)
P(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)
P(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44
P(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.
El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento
neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una
indeterminada no hay elemento inverso.
La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los
polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que: P(x) · [Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) + P(x) · R(x)
División de polinomios: Dados dos polinomios P(x) (llamado dividendo) y Q(x) (llamado divisor) de modo que el
grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x)  0 siempre hallaremos dos polinomios C(x) (llamado cociente)
y R(x) (llamado resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R(x) será, como
máximo, un grado menor que Q.
Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el
ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 – 3 y Q(x) = x2 + 2x – 1:
El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.
La descripción del proceso es la siguiente:
El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del
denominador: 5x3:x2 = 5x
Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.
Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.
El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.
Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo
del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x) y se cumple la relación:
P(x) = Q(x) · C(x)
Teorema Del Resto: El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x + a) es el valor
numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".
R = P(  a ). Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:
P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20 = 14
Factorización de un Polinomio: (Técnica de Gauss) Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x)
si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el
polinomio P(x) se anula parax = a.
Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x – a, pues el resto de
dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar x1 , x2, x3, etc
P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + . . . + a n
P(x) = a0 (x – x1) (x – x2) . . . (x – xn) (Polinomio factoreado).
Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas
han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12
están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y –
12.
Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar
de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.
P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12
P(1) = 14 – 6.13 + 9.12 + 4.1– 12 = – 4
Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por
raíz de P(x). Probando con –1:
P(– 1) = (– 1)4 – 6.(– 1)3 + 9.(– 1)2 + 4.(– 1) – 12 = 0
–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:
x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es
P(x) = (x + 1)(x3 – 7x2 + 16x – 12)
Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P(x) = x3 – 7x2 + 16x – 12. Se prueba de nuevo con – 1:
P(– 1) = (– 1)3 – 7(– 1)2 + 16(– 1) – 12 = – 36
– 1 no es raíz de P1(x). Probando con 2:
P(2) = (2)3 – 7(2)2 + 16(2) – 12 = 0
2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x):
P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 – 5x + 6)
Apliquemos cuadrática
P(x) = (x + 1)(x – 2) (x – 2) (x – 3)
2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x):
P(x) = (x + 1)(x – 2)2 (x – 3)
En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados
de x.
Polinomios: Ejercitación
a) Decidir si las siguientes expresiones son polinomios, en caso de no serlo indicar porqué
Respuesta: 1) si 2) No, potencia no natural 3) No, raíz.
b) Halla el grado de cada uno de los siguientes polinomios
1) P(x) = x2 + 3x – 4
2) P(x) = x4 + 5x7 – 4x
3) P(x) = x2 + 3x – 4x3 + 2
Respuesta: 1) Segundo grado. 2) Séptimo grado. 3) Tercer grado
c) Indicar si los polinomios están completos, ordenados o ambos. En caso de no estarlo
escribirlos completos y ordenados.
1) P(x) = 3x – 4 + x2
2) P(x) = x3 + 3x5 – 2
3) P(x) = 2x2 + 7x – 4x4 –1
Respuesta: 1) completo, no ordenado. 2) incompleto y no ordenado. 3) incompleto y no
ordenado.
d) Halla el valor numérico de los siguientes polinomios
1) P(x) = 3x2 – 4 x + 2 para x = 1
2) P(x) = 2x3 – 4 x2 + 2 x – 3 para x = - 1.
3) P(x) = 4x2 – 5 x + 2 para x = 0
Respuesta: 1) 1 2) – 11 3) 2
e) Aplicar la regla de Ruffini para calcular las siguientes divisiones y verificar el resto por el
teorema de resto.
Respuesta:
1) 7x2 + 10x +15,
2) x + 2 (resto: 2),
3) 5x3 – x2 – 2 (resto: – 3),
4) 5x2 + 10x – 10
f) Indicar sin realizar la división si los siguientes polinomios son divisibles
1) P(x) = x5 – 1
Q(x) = x – 1
2) P(x) = x3 – 1
Q(x) = x + 1
3) P(x) = x2 + 6x + 9
Q(x) = x + 3
4) P(x) = x4 – x2 – 12
Q(x) = x + 2
Respuesta: 1) si
2) no
3) si
4) si
g) Hallar el valor de "k" para que los siguientes polinomios sean divisibles
1) P(x) = 3x2 + k x – 8
Q(x) = x – 2
2) P(x) = x2 + (k – 2) x+ 1
Q(x) = x + 2
3) P(x) = (3 + k)x2 + k2 x – 5
Q(x) = x – 1
Respuesta: 1) k = 2, 2) k = 9/2 3) k = 1 ó k = – 2.
h) Hallar las raíces de los siguientes polinomios (factorizarlos)
1) P(x) = x2 – 5x + 6
2) Q(x) = 3x2 + 18x + 24
3) H(x) = x3 – 4x2 – x + 4
4) R(x) = x3 + x2 – 16 x – 16
Respuesta:
1) P(x) = (x – 3)(x – 2),
2) Q(x) = 3.(x + 2)(x + 4),
3) H(x) = (x – 4)(x + 1)(x – 1),
4) R(x) = (x + 4)(x – 4)(x + 1)
i) Resolver los siguientes problemas
1) Escribir todos los polinomios de grado tres cuya única raíz sea 3. ¿La respuesta es única.?
Respuesta: P(x) = a . (x – 3)3. No "a" puede tener muchos valores.
2) Escribir un polinomio de grado tres donde 4 sea una raíz doble y – 1 una raíz simple,
además que cumpla P(2) = 24 Hacer el gráfico aproximado
Respuesta: P(x) = 2.(x – 4)2 (x + 1)
3) Escribir el polinomio de grado tres sabiendo que P(–2) = P(1) = P(5) = 0 y que P(0) = 50.
Hacer el gráfico aproximado
Respuesta: P(x) = 5 (x + 2)(x – 1)(x + 5)
4) Hallar una función polinómica de grado dos que corte al eje x en los puntos (3, 0 ) y ( 1,
0 ) y tal que f(0) = 6. Hacer el gráfico aproximado
Respuesta: P(x) = 2 (x – 3)(x + 1)
5) Hallar la función polinómica de grado 3, cuyos ceros sean –1, 2 y 3, para que verifique
que f(1) = 12
Respuesta: P(x) =  3 (x + 1)(x – 2)(x – 3)
Función Lineal:
Autora: Silvia Sokolovsky
Juguemos a la batalla naval:
Ubiquemos cada posición del barco poniendo adelante la letra y detrás el número.
Barco de un casillero : (D; 2)
Barco de dos casilleros: (E; 4) (E; 5)
Barco de tres casilleros: (A; 6) (B; 6) (C; 6)
Barco de cinco casilleros: (G; 1) (G; 2) (G; 3) (G; 4) (G; 5)
Suplantemos las letras por números
¿Cómo quedarían las coordenadas de las barcos ?
Barco de un casillero : (4; 2)
Barco de dos casilleros: (5; 4) (5; 5)
Barco de tres casilleros: (1; 6) (1; 6) (1; 6)
Barco de cinco casilleros: (7; 1) (7; 2) (7; 3) (7; 4) (7; 5)
Coloquemos los puntos en un par de ejes cartesianos (como estaban en el juego)
Fíjate que la primera componente del punto siempre es x y la segunda componente siempre será y; a partir de esta
característica se lo denomina "par ordenado”.
Sobre las abscisas siempre va el conjunto llamado "de partida" cuyo elementos se suelen llamar preimagenes. Sobre
las ordenadas va el conjunto denominado "de llegada" cuyos elementos reciben el nombre de imágenes.
(Ver la explicación en video: Relaciones)
(Ver la explicación en video: Par ordenado)
Definamos, por extensión, ambos conjuntos, (fíjate el gráfico).
x = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
y = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Observemos detenidamente la gráfica, con todos los elementos del primer conjunto (el de partida) que tengan por lo
menos una imagen podemos formar otro conjunto, llamemos dominio a ese conjunto.
Dominio: { 2, 3, 4, 5, 7}
“1” y “6” no tienen imagen, por lo tanto no forma parte del dominio.
Todas los elementos del segundo conjunto formarán al conjunto imagen.
Imagen:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
En este caso no ha quedado ningún elemento del conjunto de llegada sin ser
imagen de cada elemento del dominio.
En algunos libros, al conjunto de llegada se lo suele llamar codominio, y en otros
textos el “codominio” es sinónimo de conjunto imagen, depende del criterio del
autor.
Como podemos relacionar los elementos del primer y segundo conjunto a través
de una relación establecida entre ambos, veamos un ejemplo conservando los
conjuntos de partida y llegada del ejercicio anterior.
“y es menor que x”" o escrito en símbolos “y < x”.
De acuerdo al valor que se tome para "x" tendremos el valor en "y", siempre más chico. De allí que el par (2;1) si
pertenece a la relación pero el par (1;2) no.
Escribamos todos los pares que satisfagan la relación " y < x ".
R = {(2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2); (7, 2); (4, 3); (5, 3); (6, 3); (7, 3); (5, 4); (6, 4); (7,
4); (6, 5); (7, 5); (7, 6)}
Si representamos los pares en un par de ejes cartesianos, veremos claramente que “1” no pertenece al dominio y “7 ”
no es imagen de ningún número.
Dominio: {2, 3, 4, 5, 6, 7}
Imagen: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Al caso, donde a cada elemento del dominio le corresponda una y solo una imagen, lo llamaremos función, f (x) (f de x)
se designa (reemplazando en la ecuación a y ).
Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los
mismos valores que tiene "x". También puede escribirse f (x) = x (que quiere decir exactamente lo mismo). En
funciones escribir "y" ó "f (x)" es lo mismo.
Otra aclaración: desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.
Uno de los graves errores de nuestra educación al enseñar matemática es separar la aritmética de la
geometría, como si fueran dos cosas totalmente distintas. Este error es, además, ofensivo para todas
aquellas personas que durante cientos de años trataron (y con éxito) de reunir ambas disciplinas bajo un
mismo techo, dándoles forma y orden.
La geometría trabaja con conceptos primitivos, punto, recta, plano y espacio. El punto puede equipararse con un
número real y la recta con el conjunto de los números reales. Toda relación geométrica puede expresarse mediante la
misma simbología que utilizamos para indicar las relaciones entre los números. Algunas operaciones aritméticas
deben su nombre a la geometría. Veamos un ejemplo.
Dibujemos un rectángulo cuyo vértice coincida con el centro de coordenadas de un eje cartesiano. La base, que estará
sobre el eje x, lo llamaremos "x", mientras que la altura podemos llamarla "m", la que en este caso es tiene un valor
arbitrario 4.
"m" es una magnitud constante, por lo tanto, una vez que le has dado su valor, siempre tendrá el mismo. En cuanto a
"x", puede tener cualquier longitud.
Entonces, los valores de la superficie cambian a medida que cambia el valor de "x". El valor de la superficie está dada
en función de x.
De aquí en adelante estudiaremos las funciones en base al área que determina la gráfica de la función y los ejes.
Vimos que en una relación cualquiera una elemento del dominio (x) podía tener más de una imagen (y). La función es
una relación donde cada elemento del dominio puede tener una y sólo una imagen (unicidad) además de tener a todos
los elementos del conjunto de partida dentro del dominio (completitud).
Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los
mismos valores que tiene "x". También puede escribirse f(x) = x , que quiere decir exactamente lo mismo.
“En funciones escribir "y" ó "f(x)" es lo mismo.”
Otra aclaración, desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.
(Ver la explicación en video: Funciones)
Ahora debemos clasificarlas.
Funciones:
Inyectiva: es aquella donde cada elemento del dominio tiene diferente imagen
Sobreyectiva: es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio.
Es decir conjunto de llegada e imagen son iguales)
Biyectiva: es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
La función biyectiva admite inversa.
La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El
dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y
viceversa), despejamos y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de
potencia) sobre y ó f(x) un –1.
Ejemplo: Sea f(x) = 5.x + 2, para hallar la inversa cambiamos x por f(x) , y viceversa:
x = 5 f(x)-1 + 2 , despejamos f(x)-1
(es la inversa)
Función Potencial: En este tipo de función las x están elevadas a una potencia representada por un número real
"a". Según los valores que tenga "a" obtendremos gráficas tan dispares como la ecuación lineal (a = 1) o la
cuadrática (a = 2);m representa a un número real cualquiera.
Función Exponencial: aquí x trabaja como exponente (se analiza este tipo de función en logaritmos)
Función Logarítmica: la inversa de la función exponencial (se analiza este tipo de función en logaritmos)
Función Trigonométrica: Aquí x trabaja como argumento (ángulo) de las funciones seno, coseno, tangente, etc. (se
analiza este tipo de función en Trigonometría).
Comencemos por la función más simple entre las potenciales:
Función constante: es aquella donde cada valor del codominio, no importa el valor de x, siempre será el mismo
(único valor) ya que a = 0.
Como todo número elevado a cero da uno, en este caso, la función exponencial
f(x) = m . x0 queda f(x) = m . 1  f(x) = m,
donde m es un número cualquiera, por ejemplo 3.
f(x) = 3
¿Cuál es el dominio? Todos los reales.
¿Y la imagen? Solamente un valor, 3.
Función lineal (Recta)
Antes de comenzar a leer puedes ver este video... aquí (la recta es una proporción directa)
La Función lineal: tiene varias formas de escribirse. para verlas observa el video en este link.
Ahora analicemos la expresión implícita cuya ecuación es: f(x) = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo
llamaordenada al origen y "m" (que ya lo conocemos) se denomina pendiente.
Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal
Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada
desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado
del centro lo llamaremos (x1; y1); al otro lo llamaremos (xo; yo). Completemos según las coordenadas que elegidas:
xo = 1,
yo = 4,
x1 = 7,
y1 = 6
Marquemos el ángulo que forma la recta con el eje x.
Tomando al ángulo de guía (α) sobre la gráfica velos que el cateto adyacente mide 5 y que es el opuesto mide 2.
¿Qué operación matemática realizamos para calcularlos?, hemos restado. La resta (diferencia) se representa por el
símbolo ;de allí que al restar x obtuvimos Δx (se lee diferencial x). Al restar Y obtendremos Δy ( diferencial y ). Así
el cateto adyacente. y el cateto opuesto están representados por Δx y por Δy respectivamente.
¿Qué función trigonométrica relaciona Δx y Δy con el ángulo del triángulo?, la tangente.
En este caso ¿Qué valor tiene ?
Es importante notar que entre dos puntos cuales quiera que pertenezcan a la recta, puede trazarse un triángulo
rectángulo, de manera que, la razón de sus catetos sea 1/3, el valor de la pendiente.
Para poder calcular la ecuación de esta recta sólo nos falta saber el valor de la ordenada al origen "b" .
(Ver la explicación en video)
La ecuación de la recta es: y = m x + b
Elijamos uno de los puntos de la recta, (1, 4) y suplantemos " x e y " con ellos en la ecuación: 4 = m. 1 + b
Hagamos lo mismo con el valor de "m" (la pendiente):
Despejemos b para hallar su valor:
De esa manera la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y (7, 6) es:
Volviendo al triángulo que quedó formado en el gráfico:
Aún queda, sin saber su medida, la hipotenusa del triángulo; ese lado coincide con la distancia entre los dos puntos
marcados. El teorema de Pitágoras nos permite conocer esa medida.
Distancia entre dos puntos: D2 = Δx2 + Δy2
(Ejercicios explicados de distancia entre dos puntos)
Graficar una recta (sin tabla)
Para graficar una recta se deben tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen.
Grafiquemos la recta:
y=3x+1
La ordenada al origen es (0, 1), el o primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto
de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y
corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.
cuación de la Recta: ejercitación
1) Determinar la ecuación de la recta que posee pendiente m = 2 y pasa por el punto (5; –1)
Rta.: y = 2x – 11
2) Escribir las ecuaciones de las rectas determinadas por cada uno de los siguientes pares de puntos (0 ;
7) y (– 2 ; 1)
Rta.: y = 3x + 7
3) Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo cuyos vértices
son : ( 2 ; 1); (0 ; 2) y (– 3 ; – 4)
Rta.: y = – 2x + 2; y = – x + 2; y = x – 1
4) Escribir la ecuación de la recta paralela y perpendicular a y = – ½ x + 1 que pase por el punto P = ( 4 ;
0)
Rta.: y = – ½ x + 2;
y = 2x – 8
5) Determinar la distancia entre los puntos (1;2) y (4;6)
Rta.: 5
6) Calcular el perímetro de las siguientes figuras.
Rta.: 62,44 ; 49,88.
7) Hallar la distancia del punto (5 ; 1) a la recta y = – 2x + 1
Rta.: 4,47 (recomendación: hallar la perpendicular al punto, hallar la intersección entre ambas rectas y la
distancia entre el punto encontrado y el dado).
8) La recta de ecuación y = 5x – 3 corta al eje x en el punto A, y corta al eje y en el punto B. Calcular la
distancia entre A y B.
Rta.: 3,02.
9) Determinar el área del triángulo formado por el origen de coordenadas, los puntos P = (0, 4) y Q = (–
3, 0).
Rta.: 6.
10) En la empresa Liliputiense el empleado que recién ingresa cobra $ 450 y el empleado con
cinco años de antigüedad recibe un sueldo de $ 560 . a) Hallar la ecuación del sueldo en
función de la antigüedad. b) ¿Cuánto cobrará alguien con siete años de antigüedad.
Rta.: a) y = 22x + 450; b) $ 604
Volver a función lineal
Ejercicios de Recta
(Estos ejercicios pertenecen al curso online para alumnos que cursan matemática del CBC,
ciclo básico de la universidad de Buenos Aires, UBA)
¿Necesitás las fórmulas?
Primero practiquemos con ejercicios más fáciles:
a) Determinar la ecuación de la recta:
1) m = – 2 P = (1, 5)
Respuesta: y = – 2x + 7
2) m = 5
Respuesta: y = 5x – 13
P = (4, 7)
3) P = (3, – 5) Q = (– 1, 7)
Respuesta: m = – 3 y = – 3x + 4
4) P = (– 1, 7) Q = (8, – 11) Respuesta: m = – 2 y = – 2x + 5
Ahora podemos comenzar a trabajar en este tema:
1) Sea f la función lineal tal que f(0) = 8 y cuyo gráfico es la recta de pendiente 2 y seag la
función dada por g(x) = x2 – 3x + 2. Encontrar analíticamente los puntos donde se cortan los
gráficos de f y g.
Recomendación: una vez armada la recta, iguálala a la parábola para poder hallar los puntos.
Para ello deberás aplicar la ecuación cuadrática
Respuesta: (– 1, 6) y (6, 20)
2) Sean f(x) = 4x + 5 y g, la función lineal que verifica g(0) = 8 y g(– 2) = – 2. Encontrar la
distancia entre el punto donde se cortan los gráficos de f y g, y el punto P = (4, 1).
Respuesta: g(x) = 5x + 8, intersección: (– 3, – 7). D = √113
3) Sea f la función lineal que satisface f(4) = 0 y f(7) = 3. Escribir como intervalo o unión de
intervalo al conjunto A ={x R/ f (x) > 2}
Respuesta: f (x) = –7x + 28 A = (– ∞, 26 / 7 )
4) Hallar la función lineal f que verifica f(1) = 7 y f(2) = 3. Con la f encontrada, escribir como
intervalo el conjunto A ={x R/ f (x) < 3}
Respuesta: f (x) = – 4x + 11 A = (2, + ∞)
5) Hallar la función lineal f que verifica f(3) = – 1 y f(4) = – 3. Con la función fencontrada,
escribir como intervalo el conjunto A ={x R/ f (x) < 7}
Respuesta: f (x) = –2x + 5 A = (1, + ∞)
6) Sea f(x) = – 5/4 x + 1 y g la función lineal que verifica que g(4) = 4 y cuyo gráfico es una
recta con pendiente igual a la del gráfico de f. Determinar g(x) y expresar como intervalo al
conjunto A ={x R/ g (x) > – 11}
Respuestas: g(x) = – 5/4 x + 9 A = (– ∞, 16)
Ejercicios de distancia entre dos puntos
(Estos ejercicios pertenecen al curso online para alumnos que cursan matemática del CBC,
ciclo básico de la universidad de Buenos Aires, UBA)
¿Necesitás las fórmulas?
Ahora podemos comenzar a trabajar en este tema:
1) Determinar analíticamente la longitud del lado más largo del triángulo de vértice
A = (3,0); B = (9,0) y C = (3, – 8).
Respuesta: AB = 6 BC = 10 CA = 8. El más largo es BC.
2) Si P = (4, 2) y Q = (– 20, a), hallar todos los valores de a que pertenece a los reales para que la distancia entre
P y Q sea igual a 25.
Respuesta: a = 9 ó a = – 5.
3) Hallar todos los valores de a que pertenece a los reales para los cuales la distancia entre el punto P = (a, 2) y el
punto Q = (– 1, 5) sea igual a √10
Respuesta: a = 0 ó a = – 2.
4) Determinar todos los valores de a que pertenece a los reales para que la distancia entre los
puntos P = (a, –1) y Q = (6, 2) sea igual a 5
Respuesta: a = 10 ó a = 2.
5) Hallar analíticamente todos los puntos del gráfico de f(x) = 4x que distan √10 del punto cuyas coordenadas son
(1, 3)
Respuesta: Para x = 0 el punto es (0, 0), mientras que para x = 26/17 el punto es (26/17, 104/17)
6) Sea f(x) = 3x – 6.Hallar las distancia entre los puntos P y Q, si P es la intersección del grafico de f con el eje x y
Q es la intersección del grafico con el eje y.
Respuesta:: P = (0, 2) Q = (0, – 6) D = √40
7) Hallar los puntos de la recta y = 3x – 4 que están a distancia del origen de coordenadas
Respuesta: (2, 2) y (2/5, – 14/5)
8) Hallar la distancia entre los puntos donde se cortan las gráficas de:
y = 2x +1 y f(x) = 5x2 – 9x + 3.
Recomendación: igualar las funciones, calcular x para poder calcular los puntos.
Respuesta: Puntos (2, 5) y (1/5, 7/5) D = 9/√5
Función Cuadrática
Autora: Silvia Sokolovsky
Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x2 tiene
como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la
imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.
Para f(x) = x2
tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, + ), vértice (0, 0).
Si sumamos a la ecuación cuadrática (x2) una unidad, o sea, "x2 + 1", la imagen se desplaza "uno" hacia arriba, de
manera que el intervalo queda definido desde [1, + )
Si restamos a la ecuación cuadrática (x2) una unidad, o sea, "x2 1" la imagen se desplaza "1" hacia abajo, de manera
que el intervalo queda definido desde [1, + ).
f(x)= x2 + vy, la parábola de desplaza sobre el eje y hacia abajo (vy) o hacia arriba (+ vy)
Podemos preguntarnos ahora ¿qué sucedería si eleváramos un binomio (dos términos con letras y números) al
cuadrado?. Por ejemplo (x + 1)2. Como no sumamos "ningún número al cuadrado" la función no se desplaza en el eje
de las "y", por lo tanto la segunda coordenada del vértice sigue siendo cero. Con respecto a la primer coordenada,
para x2 era "0", ese valor lo obtendremos si x = 1, de esa manera la parábola se desplaza "uno" hacia la izquierda.
Pongamos otro ejemplo, (x - 1)2. Por la misma justificación, la parábola se desplaza "uno" a la derecha.
f(x)= (x + vx)2 la parábola de desplaza sobre el eje x hacia la derecha (vx) o hacia la izquierda (+ vx)
Si aplicamos lo que acabamos de explicar al mismo tiempo tendremos una expresión (llamada
canónica) f(x)= a (x + vx)2 + vy donde el vértice será ( vx, vy). [arepresenta la concavidad de la parábola, al ser positiva
el vértice es el valor mínimo de la función (mínimo), si es negativa la concavidad se invierte y el vértice es el mayor
valor (máximo)].
Para una parábola de vértice (2, 1) la ecuación deberá escribirse f(x) = (x  2)2 + 1. (ver la figura de color violeta)
Para entender mejor lo que has leído, mira atentamente el siguiente video.
Otra forma de escribir la función cuadrática es en forma polinómica
f(x) = ax2 + bx + c
Pasar de Polinómica a Canónica: (obtención de la ecuación cuadrática)
Factorizamos a para que la x2 quede sola.
Mientras mantengamos la igualdad podemos hacer lo que se quiera. En la suma el
cero es neutro, por lo tanto, si sumamos y restamos "lo mismo" mantenemos la
igualdad. Como queremos obtener un binomio al cuadrado,
completamos cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto: (x + y)2 = x2 + 2 x y + y2.
Ecuación canónica :
Ahora puedes mirar el video explicativo
Ceros de la función
f(x)= a (x  vx)2 + vy
También llamados "raíces", representa los valores de "x" cuya imagen tiene valor cero, (x, 0). Al ser cuadrática sólo se
obtiene, como máximo dos valores, denominados x1 y x2. Estos valores (raíces) pueden utilizarse para expresar la
función cuadrática en forma factorial: f(x) = a (x x1) (x x2)
Para calcular los ceros de la función a partir de la ecuación polinómica aplicamos el
mismo procedimiento que para obtener la canónica:
Como estamos hallando los ceros de la función, igualamos la ecuación a cero.
Factorizamos a para que la x2 quede sola.
Es un producto, por lo tanto, tenemos dos opciones: a = 0 ó el polinomio es igual a
cero, para nuestro propósito nos quedamos con el polinomio.
Nuevamente sumamos y restamos "lo mismo" para mantener la igualdad. Como
queremos obtener un binomio al cuadrado, completamos cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto:
(x + y)2 = x2 + 2 x y + y2.
Operamos y despejamos el binomio al cuadrado.
Recordar que al resolver la raíz de un binomio al cuadrado queda el módulo de este.
Al sacar el módulo el resultado puede quedar positivo o negativo (para ahorrar espacio
se ponen los dos signos juntos "+".
Lo único que queda es despejar la "x"
Esta ecuación se denomina "ecuación cuadrática" y será aplicada de aquí en más para
hallar los ceros o resolver ecuaciones de segundo grado.
Graficar una función de segundo grado
Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raíces" y el vértice.
Grafiquemos f(x) = x2 + 5x  6
La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0,  6) pertenece a la función.
Hallemos el vértice de la parábola:
Ahora las raíces:
Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:
Funciones trigonométricas
Autora: Silvia Sokolovsky
Desde Thales a las funciones Trigonométricas
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo
rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil
interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá
su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la
hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el
cateto opuesto por la hipotenusa.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es
importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los
lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad decompletitud (para
cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una
determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las
que llamaremos trigonométrica.
Funciones Trigonométricas
Si dividimos
llamaremos a esta función seno.
Si dividimos
llamaremos a esta función Coseno
Si dividimos
llamaremos a esta función Tangente.
Si dividimos
llamaremos a esta función Cosecante.
Si dividimos
llamaremos a esta función Secante.
Si dividimos
llamaremos a esta función Cotangente.
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante,
y tangentecon cotangente.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del
ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor
buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada
360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º
hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
Función Seno:
 sen
0
0
45 0,71
90 1
135 0,71
180 0
225
0,71
270 -1
315
0,71
360 0
Función Coseno:
 cos 
0
1
45 0,71
90
0
135 -0,71
180 -1
225 0,71
270 0
315 0,71
360 1
Función Tangente:

0
45
90
135
180
225
270
315
tg 
0
1
////
-1
0
1
////
-1
360
0
//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).
Función Secante
 sec
0
1
45 1,41
90 ////
135
1,41
180 -1
225 1,41
270 ////
315 1,41
360
1
Función Cosecante:
 Cosec
0
////
45 1,41
90
1
135 1,41
180 ////
225 - 1,41
270
-1
315 - 1,41
360 ////
Función Cotangente:
 Cotg
0
////
45
-1
90
0
135
1
180 ////
225 - 1
270
0
315 ////
360
-1
Sistema Circular de Medición de Ángulos:
El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la
circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro
completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para
poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en
trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los
ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que
describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema
circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la
circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14
(que es el valor aproximado de ""). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que
dos ángulos llanos) mide 2.
180º = π
ó
360º = 2π
En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (π ) cada una,
que va desde 0º hasta 360º (2π), a las que se denomina cuadrantes:
1er cuadrante: 0º a 90º
2do cuadrante: 90º a 180º
3 er cuadrante: 180º a 270º
4to cuadrante: 270 a 360º
Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios
Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante
triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre
si: º º
tg (90 ) = cotg 
cotg (90 ) = tg 
sec (90 ) = cosec 
cosec (90 ) = sec 
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En caso de los
ángulos de (90º  ) los ángulos caen en el primer cuadrante y los signos son todos
positivos.
Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : = 180º 180º
En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el cuadrante que caiga:
sen (180º ) = sen 
Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo
denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La
hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".
Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el
primer cuadrante son positivas.
sen
+
cosec
tg
+
+
cotg cos sec
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x,mientras que
el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo
positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y
cotangente) tienen resultados negativos.
sen
cosec tg
cotg cos sec






En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos
negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su
inversa, la cotangente) resultan positivas ( :  = +)
sen

cosec tg


cotg cos sec



En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de lasx,
mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas
funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec






Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros
sinópticos:
cuadrantes
II
I
III IV
sen - cosec




cos - sec
+

+

tg - cotg




Ecuaciones:
Escrito por: Silvia Sokolovsky
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entreexpresiones algebraicas (sucesión
de términos constituidos denúmeros y letras, cada término es separado del otro por un signo "+"
ó ""),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que
averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la
ecuación:primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se
denominasolución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para
los cuales se verifica la igualdad.
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:
5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos
cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las
cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = 15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de
solución.
Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como
solución única x = 4.
Tipos de Ecuaciones
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que
en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser
estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales,
exponenciales, trigonométricas…
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al
trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
3x3 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal.
5x + 7 = 3 (es lineal).
(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias, esta ecuación también
es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: –10x + 29 = 0).
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx+ c = 0,
se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2  5x + 3 = 0, ó (x – 2)2 +
7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática,
o sea, un polinomio de grado dos.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical,
como
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por
ejemplo:
En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8
En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentra
afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de
la función logarítmica): log (x + 1) = 10.
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función
trigonométrica; por ejemplo:
sen (/4 + x) – cos x = 1
Resolución de Ecuaciones
Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión
que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente
cuya apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra
incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos
permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y
cuando se mantenga la igualdad.
4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)
4x – 7 + 7 = 1 + 7 (Para que el – 7 se anule le sumamos 7, por eso se dice que un numero que
está restando "pasa" sumando).
4x = 1 + 7
4x = 8
4x : 4 = 8 : 4 (Para anular el cuatro que está multiplicando dividimos ambos miembros por 4,
por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo)
Tiene una única solución: x = 2.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales.
Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática.
Generalmente las ecuaciones cuadráticas se presentan de la forma polinómica:
f(x) = ax2 + bx + c
la que se resuelve mediante la ecuación cuadrática
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x + 3 = 0 de coeficientes
a = 2, b = 5, c = 3, se resuelve así:
Casos especiales
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletasporque les
falta uno de los términos:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando
directamente la x.
En el primer caso, ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0.
Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x + 5 = 0 ó x = 0,
soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.
En el segundo caso, ax2 + c = 0 → ax2 = – c → x2 = – c/a →
despejando xconcluimos que las
Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17 →
Resolución de ecuaciones bicuadradas
Se llama bicuadrada a una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de
grado impar: ax4 + bx2 + c = 0 (1)
Si se realiza el cambio de variable x2 = z, con lo cual x4 = z2, entonces se transforma en una
ecuación de segundo grado:
az2 + bz + c = 0 (2) Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna
solución de la ecuación inicial. Así, si z es solución de la ecuación (2), se verifica que:
si z1 > 0 , entonces x1 =
, x2 = -
son raíces de (1);
si z1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);
si z1 < 0 , x2 = z1 no da lugar a ninguna solución real de x.
Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x4 - x2 – 12 = 0 se transforma, mediante el cambio de
variable x2 = z, en la ecuación de segundo grado: z2 – z – 12 = 0
Cuyas soluciones son
Por tanto, las únicas raíces reales de la ecuación son x1 = 2, x2 = – 2.
Resumiendo: las ecuaciones bicuadráticas cuya expresión es: ax4 + bx2 + c = 0 , se pueden
obtener hasta cuatro resultados aplicando:
Sistema de ecuaciones:
Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias
ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas
puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas
las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus
soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas
soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución,
compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x  5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa
así
La solución de este sistema es x = 3, y = 2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es,
por tanto, un sistema compatible.
El sistema
es incompatible, pues no tiene solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes por las múltiples
aplicaciones que tienen en diversas ciencias.
Sistemas de Ecuaciones Lineales:
Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma:
ax + by = c, ó ax + by + cz = d,…,
es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).
Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado),
o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de
sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en
la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones
y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita
que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de
inmediato, el valor de la otra.
Para resolver el sistema
la segunda ecuación:
por el método de sustitución conviene despejar la y de
y = 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la primera) 2x  5.(10 – 4x) = 16
Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:
2x – 50 + 20x = 16 22 . x = 66 x = 66 : 22 = 3
Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:
y = 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2
Se ha obtenido así la solución x = 3, y = – 2.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e
igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se
obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.
Para resolver por igualación el sistema anterior, se puede despejar la x en ambas ecuaciones e
igualar sus expresiones:
(despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y, de esa manera,
poder hallar el valor de y)
Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:
Se ha obtenido la solución x = 3, y = – 2.
El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo
coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha
incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación
y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede
obtener el valor de la otra incógnita.
Para resolver por reducción el mismo sistema:
se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente
de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y = 32 y 4x + y = 10
Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:
– 11y = 22  y = 22 : (– 11) y = – 2.
Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:
2x – 5(–2) = 16 2x + 10 = 16 2x = 6 x = 3
La solución es x = 3, y = -2.
Representación gráfica:
La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un
par de rectas, si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del
punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es
incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible
indeterminado: sus soluciones son todos los puntos de la recta.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan es la solución del sistema.
El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.
Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa generalmente
mediante un plano en un sistema de R3. La representación de un sistema de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el
sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en una recta, el sistema es
compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones. Si no se cortan (no existe ningún
valor para x, y, z) el sistema es incompatible.
Si el sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede ser prepresentado por rectas en un
espacio (por lo menos cuatro dimensiones), en ese caso si las tres se cortan en un punto el
sistema es compatible determinado. (ver rectas paramétricas)
Resolución de ecuaciones racionales
En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factoriar siempre el
denominador para poder buscar el denominador común y reducir la operación a un
polinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como una
ecuación común.
Pongamos un ejemplo:
Factoriamos lo que sea factoriable
Como no se repite ningún binomio en la suma, tomamos ambos
como "común denominador". Se opera igual que una suma de
fracciones, se divide (x  1) (x + 1) por cada uno de los
denominadores y el resultado se lo multiplica por el numerador.
Se simplifican los denominadores quedando una ecuación lineal.
Se despeja x.
Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En este tipo de ecuaciones se debe tener presentes las propiedades de logarítmos ya que las
funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de otras.
Ecuación exponencial:
Aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación.
Al resolverse el logaritmo queda una ecuación la que puede ser lineal o
cuadrática. De ser cuadrática se aplica la ecuación para resolverla. En
este caso es lineal así que se despeja x.
Ecuación logarítmica:
Aplicamos definición de logaritmo. Como no hay ningún número que
indique la base del logaritmo, la base es 10. Por definición, el resultado del
logaritmo es la potencia, así que queda 102.
Al quedar una ecuación se despeja x.
Límites (Continuación)
Autor: Silvia Sokolovsky
(Proviene del artículo "límites")
Aplicaciones de límites en diversas funciones matemáticas
Los límites tienen muchas aplicaciones, una de ellas se ejemplifica en las funciones Homográficas cuya ecuación
canónica puede escribirse como:
De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y
oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.
Cuando el límite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la
llamamos "a") por izquierda y por derecha tiende a infinito; característica que define
a la asíntota vertical.
Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda "– " y por derecha "+ ") tiende a un valor que depende de
la función, por eso la llamamos "b"; característica que define a la asíntota horizontal.
Si a = 0 y b = 0, podemos reducir a los conocidos
(ver desarrollo en función homográfica)
Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones exponenciales de tipo
permitirá hallar el valor de e, la base de los logaritmos neperianos o naturales.
que nos
Es de destacar que el intervalo [–1, 0] no pertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué).
A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x ) la imagen "se acerca a un valor" 2,718281828
... (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende
a infinito negativo (x) la imagen también "se acerca al mismo valor" e.
Otra aplicación similar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación
exponencial es del tipo f (x) = (1 + x)1/x.
Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si
hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las
imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido)
también dará como resultado e.
¿Cómo resolver un ejercicio de límite?
Generalmente los límites pueden hallarse fácilmente, pero pueden aparecerindeterminaciones, o sea, cuantas que
matemáticamente no tienen solución. Las más comunes son 0/0 (cero sobre cero) e ∞/∞ (infinito sobre infinito) pero
puede hallarse el 0 . ∞ (cero por infinito) ∞ ─ ∞ (infinito menos infinito) 1∞ (Uno elevado a la infinito, que aunque
parezca difícil creerlo, no es uno). Para "salvar" estas indeterminaciones y hallar el verdadero valor que se halla
escondido dentro de la operación del límite, necesitamos operar matemáticamente, aplicando diversos métodos, desde
polinomios hasta logaritmos, inclusive aplicando derivadas (que posiblemente aún no hayas visto). Veremos un
ejemplo básico de cada uno de los casos que se te puedan presentar y trataré de explicarlo lo más claro posible... pero
como siempre, luego necesitas practicar para poder "dominar" este tema.
Límite tipo 0/0
Empecemos por un limite de polinomios. Para poder resolver y "salvar" la indeterminación
lo que necesitas es factorizar el polinomio (tanto el numerador como el denominador) para
poder simplificar el binomio que hace cero tanto el numerador (arriba) como el
denominador (abajo)
Pasemos al ejercicio.
Ahora debemos ver que el limite sea una indeterminación.
Reemplazamos cada x por el valor al que tiende, 1, y hacemos las cuentas para asegurarnos
que tanto el numerador como el denominador nos den cero.
Este procedimiento te evitará trabajar de más (que es lo que todo estudiante desea evitar... :))
Ahora procedamos a factorizar ambos polinomios para posteriormente simplificar el
binomio que nos hace cero arriba y abajo. Ojo hasta que no simplifiques ambos seguirán
dando como resultado cero, por lo que es indispensable "simplificar" para resolver el
ejercicio.
Ahora sólo tenemos que reemplazar x por el valor al que tiende y hallar el verdadero valor
del límite.
Fíjense que cada vez que reemplazamos x por su valor, no escribimos lim, ya que sólo se
escribe cuando está x.
Ahora le toca el turno a las raíces.
Lo primero es ver si hay indeterminación. Reemplacemos cada una de las x por 2 y hacemos
las cuentas
Un vez que hemos comprobado que hay indeterminación, para salvarla, necesitamos operar
matemáticamente.
El procedimiento es bastante sencillo. Primeramente podemos factorizar el binomio del
denominador (abajo).
3x – 6 = 3 (x – 2) Siempre nos conviene factorizar, cuando podemos, ya que nos permitirá
simplificar más tarde.
Como hay una raíz, necesitamos racionalizar, para ello multiplicamos el numerador (arriba)
y el denominador (abajo) por la misma expresión. (Hay que recordar que mientras se
mantenga la igualdad en matemática se puede hacer lo que uno quiere, como es una
multiplicación el uno no altera el resultado, bien, la fracción con el numerador y el
denominador iguales nos dará 1, así que podemos hacer "desaparecer" la raíz sin que se
altere el resultado)
En el numerador (arriba) hacemos distributiva lo que posteriormente nos permitirá
factorizar y hallar el binomio que está anulando (haciendo cero) la operación. Es el (x – 2)
que aparece arriba y abajo una vez factorizado.
Ojo, siempre necesitamos simplificarlos para que la indeterminación se vaya.
Después volvemos a reemplazar x por 2 y, haciendo la cuenta, obtenemos el verdadero valor
al que tiende el límite.
Ahora veamos que sucede cuando x tiende a cero.
Comencemos con un ejercicio fácil.
Verifiquemos la indeterminación
La propia x es, en este caso, la causante de la indeterminación, así que podemos factorizarla
para poder simplificarla posteriormente.
Límite tipo ∞/∞
Para poder resolver este tipo de límites debemos recordar que:
Veamos un ejemplo sencillo.
Veamos si hay indeterminación
Para resolver este tipo de límites podemos factorizar, pero en este caso (para que se entienda
el por qué) iremos por el camino difícil...
Primeramente recordemos que en
matemática, mientras mantengamos
la igualdad, podemos hacer lo que
queramos. En la multiplicación
el 1 es el elemento neutro, o sea que
multiplicar por uno no modifica
nuestro resultado. El dividir entre sí
a 1/x nos da 1, así que podemos
multiplicar por el cociente
(división) de 1/x (en el cuadrado amarillo del ejercicio) lo que nos permitirá (distribuyendo
y simplificando) obtener una operación equivalente que nos permitirá salvar la
indeterminación.
Compliquemos un poco más las cosas.
Verifiquemos la
indeterminación
Muy bien.... ¿Y ahora como procedemos? Cuando nos encontramos frente a un ejercicio que
no hicimos antes buscamos uno parecido que hallamos resuelto y nos fijamos que hicimos.
En el ejercicio anterior dividimos todo por x, así que volvamos a hacerlo.
O sea que dividir por x no basta ya que el grado del polinomio en dos, y nos sigue quedando
una indeterminación. Así que intentémoslo nuevamente pero esta vez con x2.
Así que, sencillamente, necesitamos utilizar el grado mayor de cada uno de los polinomios
para salvar la indeterminación. Probemos nuestra "teoría" con otro ejercicio. (Ojo, para
mantener la igualdad debemos utilizar el mismo grado)
Procedemos, entonces a salvar la indeterminación dividiendo (arriba y abajo) por una x con
el grado máximo del polinomio (x5en este caso)
Creo que habrán notado que hasta ahora sólo hemos utilizado polinomios de igual grado en
nuestra cuentas, es tiempo de dar otro paso adelante y ver que sucede cuando los polinomios
son de distintos grados. Tenemos dos opciones, que el de mayor grado esté en el numerador
ó que esté en el denominador.
Veamos la primera opción: mayor grado esté en el numerador.
Como el mayor grado es 5, dividamos por x5, distribuyamos y simplifiquemos para ver lo
que nos queda.
Ahora veamos que sucede cuando el mayor grado está en el denominador.
Como el mayor grado es 3, volvamos a repetir lo que ya hicimos con anterioridad;
dividamos por x3, distribuyamos y simplifiquemos para ver lo que nos queda.
Así que tenemos tres posibilidades cuando resolvemos limites que
tienden a infinito:
a) Si los polinomios son de igual grado, el límite será finito, (o sea
nos dará un número)
b) Si los polinomios no son de igual grado, y el numerador (arriba)
es el de mayor grado, tendremos como límite a infinito.
c) Si los polinomios no son de igual grado, y el denominador (abajo) es el de mayor grado,
tendremos como límite a cero.
Límite
1) Hallar los límites de las siguientes funciones:
Respuestas: a) 4 b) – 4 c) 16 d) – 147 e) 3/2 f)  g)  h) 
2) Teniendo en cuenta que
resolver:
Respuesta: a)  b) – 1 c) 5 d)  e) – 3/7 f) 2/5 g) – 1 h) – 3/7
3) Teniendo en cuenta que
resolver:
Respuesta: a) 0 b) 2 c) 0 d) 2 e) 2/3 f)  g) 0 h) ½
4) Teniendo en cuenta que
Respuestas: 1) e2; 2) e1; 3) e1; 4) e; 5) e; 6) e4; 7) e 2/9; 8) e4; 9) e2