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UNIDAD
3
Polígonos
unque no seamos conscientes de ello, los polígonos están presentes en nuestro entorno. En la naturaleza, los brazos de la estrella de mar y los pétalos de
algunas flores definen un pentágono, las celdillas de un panal son hexágonos,
los cristales de nieve se organizan creando estructuras hexagonales... El hombre utiliza los polígonos para organizar y dar forma a sus edificios, objetos, espacios urbanos,
parques,... Los técnicos se ayudan de los polígonos para trazar planos de la superficie
terrestre o de construcciones y terrenos de la ciudad y el medio rural...
A
Se dedica esta Unidad al conocimiento de los polígonos y al estudio de sus construcciones, y se inicia haciendo tres consideraciones:
● La realización de las construcciones requiere el dominio de las operaciones elementales y de las construcciones fundamentales.
● La sistematización de las construcciones se ha efectuado a partir de los criterios
de igualdad de triángulos y de la triangulación, para facilitar la orientación entre
un gran número de casos.
● No se presentan formando parte de la teoría muchas otras construcciones que
emplean datos distintos, o variaciones sobre los mismos, y que tienen la consideración de problemas geométricos, pero sí se recogen como propuestas en las
actividades.
Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:
1. Ser capaz de realizar las construcciones de triángulos basadas en los cuatro criterios de igualdad.
2. Ser capaz de reducir un problema de construcción de polígonos a los casos elementales de construcción de triángulos.
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Criterios de igualdad de triángulos
4 Casos elementales de construcción de triángulos
Construcción
de
polígonos
Lados y ángulos
Construcción de cuadriláteros
Diagonal
Construcción de triángulos
dada la suma de dos lados
Construcción de cuadriláteros
dada la diagonal + lado
Suma de lados
Mosaicos
Módulo y estructura
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2. CONSTRUCCIONES ELEMENTALES DE TRIÁNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1. Criterios de igualdad de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2. Construcción del triángulo dados dos lados y el ángulo que forman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3. Construcción del triángulo dados un lado y dos ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4. Construcción del triángulo dados los tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5. Construcción del triángulo dados dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos . . . . . . . . . . . . . 69
3. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS CONOCIDA LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS LADOS . . . 70
3.1. Construcción del triángulo dado un lado, el ángulo opuesto y la suma de los lados que lo forman . 70
3.2. Construcción del triángulo dado un lado, el ángulo opuesto y la diferencia entre los lados que lo forman 71
4. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE CUADRILÁTEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5. CONSTRUCCIÓN DE TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1. Construcción del trapezoide dados cuatro lados y una diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Construcción del trapezoide dada la suma de una diagonal y un lado, los otros tres lados y un ángulo 74
5.3. Construcción del trapezoide dada la diferencia de una diagonal y un lado, los otros tres lados y un ángulo 75
5.4. Construcción del trapecio dados tres lados y una diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5. Construcción del trapecio dados dos ángulos que no compartan el mismo lado, una base y un lado 76
5.6. Construcción del trapecio dadas las bases, un lado y uno de los ángulos opuestos . . . . . . . . . . . . . 77
6. CONSTRUCCIÓN DE PARALELOGRAMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1. Construcciones de paralelogramos dados dos lados y un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2. Construcciones de paralelogramos dados un lado y dos diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3. Construcciones de paralelogramos dada una diagonal, un lado y un ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7. POLÍGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
o7.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2. Construcción de polígonos regulares a partir del radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3. Construcción de polígonos regulares a partir del lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4. Cubrición del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.5. Los mosaicos de la Alhambra de Granada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
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UNIDAD
3
POLÍGONOS
1. Conceptos básicos sobre triángulos
El triángulo es la porción de plano limitada por tres rectas secantes.
Los puntos de intersección se llaman vértices y los segmentos comprendidos
entre ellos, lados. Ángulos interiores son los comprendidos entre cada dos lados y
sus adyacentes son los ángulos exteriores.
La notación que se va a emplear asigna a los vértices las mayúsculas A, B, C, a
cada uno de sus lados opuestos las minúsculas a, b, c, e identifica los ángulos
mediante su vértice (Â, B̂, Ĉ).
Los triángulos pueden clasificarse por el valor de sus ángulos o por el número de
lados iguales que tienen, como puede verse en la Ilust. 1.
Ilustración 1
Animación
Los elementos del triángulo, o relacionados con él, son: lados, ángulos, puntos
y rectas notables, circunferencia inscrita y circunscrita, perímetro, suma de dos
lados, semejanza con otro,... y todos ellos pueden ser datos para construirlo.
El mínimo número de datos para construir un triángulo son tres. En el caso de
los triángulos isósceles, rectángulos o equiláteros, pueden reducirse a dos o uno si
el dato es un elemento del que existen dos o tres iguales. También son precisos
menos datos cuando el triángulo tiene algún elemento de valor conocido, como el
ángulo de noventa grados del rectángulo.
No se pueden tener en cuenta datos que se deduzcan de otros, por ejemplo, los
tres ángulos de un triángulo cuentan como dos datos, ya que el valor del tercer
ángulo se deduce a partir de los dos primeros.
En algunas construcciones, para que exista solución, los datos deben cumplir
ciertas condiciones. También es posible con unos mismos datos encontrar varias
soluciones. Por ello, en algunas ocasiones la construcción se acompaña de un texto,
en el cual se discuten las condiciones de existencia de solución.
66
2. Construcciones elementales de
triángulos
2.1. Criterios de igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si tienen iguales todos sus lados y ángulos, pero es
suficiente que se cumplan unas condiciones mínimas llamadas criterios:
Primero. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que
forman.
Segundo. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos ángulos y el lado común.
Tercero.
Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados.
Cuarto.
Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
Los criterios de igualdad definen cuatro grupos de datos mínimos para construir
triángulos, por lo que son la base de las cuatro construcciones elementales de triángulos. Cada una de ellas admite simplificaciones para triángulos isósceles, rectángulos o equiláteros, cuya construcción es idéntica considerando los datos conocidos o
repetidos, por ello se presentan acompañando al caso general con un texto común.
2.2. Construcción del triángulo dados dos
lados y el ángulo que forman
Ilustración 2
67
UNIDAD
3
POLÍGONOS
Sean a y c dos lados de un triángulo escaleno y B̂ el ángulo que forman (Ilust.2 arriba).
Se dibuja una semirrecta cuyo origen será B y a partir de ella se transporta el
ángulo B̂. Sobre sus lados se transportan a y c, obteniéndose los vértices A y C.
La construcción se particulariza en los triángulos isósceles y rectángulo de
acuerdo con los títulos de la Ilust. 2. Su construcción sigue los mismos pasos que la
del triángulo escaleno.
2.3. Construcción del triángulo dados un
lado y dos ángulos
Ilustración 3
Siguiendo lo establecido en el segundo criterio los datos serán dos ángulos B̂, Ĉ,
y el lado común a (Ilust. 3), pero en el título de esta construcción elemental se generaliza para dos cualesquiera, ya que dados dos ángulos es posible deducir el tercero.
Sobre una semirrecta se transporta el lado común a. En los vértices B y C se
transportan los ángulos B̂ y Ĉ cuyos lados cierran el triángulo.
La condición para que exista solución es que B̂ + Ĉ < 180º ya que en caso contrario no se cierra el triángulo.
La construcción se particulariza en los triángulos isósceles y rectángulo de
acuerdo con los títulos de la Ilust. 3. Su construcción sigue los mismos pasos que la
del triángulo escaleno.
68
2.4. Construcción del triángulo dados los
tres lados
A
a
b
c
c
c
b
b
a
B
a
C
Escaleno dados los tres lados
a
a
b
A
A
b
b
a
b
a
a
a
B
a
C
B
Isósceles dada la base y un lado
a
C
Equilátero dado un lado
Ilustración 4
Sean a, b, c los lados del triángulo (Ilust. 4).
Sobre una semirrecta se transporta el lado a y con centro en los vértices B y C se
trazan dos arcos de radios c y b respectivamente, que se cortan en el tercer vértice A.
La construcción se particulariza en los triángulos isósceles y equilátero de acuerdo con los títulos de la Ilust. 4. Su construcción sigue los mismos pasos que la del
triángulo escaleno.
2.5. Construcción del triángulo dados dos
lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos
Sean a, b los lados del triángulo y B̂ el ángulo opuesto al mayor de ellos b (Ilust. 5).
Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta el lado a. En B y a
partir de a, se transporta el ángulo. Con centro en C y radio b se traza un arco que
corta al lado c en el tercer vértice A.
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UNIDAD
3
POLÍGONOS
Ilustración 5
Si h es la altura del vértice C sobre el lado
c, los valores que puede tomar b determinan la existencia de solución:
A
Cuando a > b > h existen dos soluciones.
A
Cuando b > a la solución es única.
Cuando b = h o b = a se obtiene un
triángulo rectángulo o isósceles.
b
A
Cuando b < h no se cierra el triángulo.
h
A
b
b
b
b
B
a
C
La construcción se particulariza para el triángulo rectángulo en la Ilust. 5. abajo.
Su construcción sigue los mismos pasos que la del triángulo escaleno.
3. Construcción de triángulos conocida
la suma o la diferencia de dos lados
3.1. Construcción del triángulo dado un lado, el ángulo
opuesto y la suma de los lados que lo forman
Sea c un lado, Ĉ el ángulo opuesto y a+b la suma de los lados que lo forman (Ilust. 6).
Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta a + b. Tomando D
como vértice, se transporta el ángulo Ĉ a partir de a + b y se halla su bisectriz. Se
70
traza un arco con centro en B y radio c, que cortará a la bisectriz en dos posibles vértices A y A´. Elegimos uno cualquiera y trazamos la mediatriz del segmento AD , que
corta a a + b en el tercer vértice C.
Ilustración 6
En la figura de análisis se parte del triángulo solución ABC, y se transporta el
lado b a continuación de a, obteniendo el triángulo isósceles ACD. El valor del ángulo D̂ se obtiene de la expresión: (180º -- Ĉ) + D̂ + D̂ = 180º de donde D̂ = Ĉ/2
Es posible construir primero el triángulo ABD del cual conocemos dos lados c,
a + b y el ángulo opuesto al menor de ellos D̂ = Ĉ/2 . La mediatriz de la base AD, del
triángulo isósceles ACD, determinará sobre el lado BD el vértice C.
3.2. Construcción del triángulo dado un lado, el
ángulo opuesto y la diferencia entre los lados que
lo forman
Ilustración 7
71
UNIDAD
3
POLÍGONOS
Sea c un lado, Ĉ el ángulo opuesto y a - b la diferencia entre los lados que lo forman (Ilust. 7).
Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta a - b. Tomando el
punto D obtenido como vértice, se construye un ángulo de 90º, a partir de a - b.
Yuxtapuesto al ángulo de 90º se transporta el ángulo Ĉ y se halla su bisectriz. Se
traza un arco con centro en B y radio c, que cortará a la bisectriz en el vértice A. La
mediatriz del segmento AD corta a la prolongación de a - b en el tercer vértice C.
En la figura de análisis se parte del triángulo solución ABC y se transporta b
sobre el lado a, a partir de C, obteniendo el triángulo isósceles ADC, cuyos ángulos
iguales son 90 -- Ĉ/2.
Es posible construir primero el triángulo ABD, del cual conocemos dos lados c,
a - b y el ángulo opuesto al mayor de ellos 90 -- Ĉ/2. La mediatriz de la base AD del
triángulo isósceles ADC, determinará sobre la prolongación del lado BD el vértice C.
Aplicación
Construcción de un triángulo dado un lado c, el ángulo opuesto Ĉ y la razón
entre los lados que lo forman a / b = 5 / 3.
En la figura de análisis se han dibujado el triángulo solución de lados a, b y
otro de lados 5u y 3u donde u es una cantidad de longitud cualquiera. Según el
Primer Criterio ambos son semejantes ya que a / 5u = b / 3u y Ĉ es común.
En el procedimiento ideado se construye el triángulo CDE y se obtiene su
semejante ABC, superponiendo el lado c = DF sobre su correspondiente DE y
trasladándolo mediante la paralela FB a DA.
72
4. Conceptos básicos sobre
cuadriláteros
El cuadrilátero es la porción de plano limitada entre cuatro rectas secantes.
Los elementos del cuadrilátero son los mismos del triángulo, con la excepción de
las diagonales, que son los segmentos cuyos extremos son vértices opuestos del
cuadrilátero. En el trapecio los lados paralelos reciben el nombre de bases y se llama
paralela media al segmento paralelo que equidista de ambas, cuyos extremos son
las intersecciones con los lados.
La notación que se va a emplear asigna las mayúsculas A, B, C, D, a los vértices,
y las minúsculas a, b, c, d, e, f, a los lados correlativos y a las diagonales AC y BD.
Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo entre sus lados y sus propiedades definen relaciones entre ángulos y lados, como puede verse en la Ilust. 8.
1
Ilustración 8
Animación
El número de datos necesarios para construir un cuadrilátero es cinco, e igual
que en el triángulo se pueden reducir hasta uno para los cuadriláteros especiales.
Las diagonales son, tanto un dato, como un elemento auxiliar que permite dividir el
cuadrilátero en dos o cuatro triángulos y así reducir sus construcciones a los casos
conocidos de construcción de triángulos.
Consecuentemente la existencia de solución está condicionada a la de los triángulos que se construyen.
73
3
UNIDAD
POLÍGONOS
5. Construcción de trapecios y
trapezoides
5.1. Construcción del trapezoide dados
cuatro lados y una diagonal
C
C
c
a
D
c
b
d
f
b
c
D
d
A
a
e
f
f
B
B
d
a
A
Ilustración 9
Sean a, b, c, d los lados y f la diagonal del trapecio que se desea construir.
La construcción se reduce a la de los triángulos ABD y BCD cuyos lados son conocidos. En la Ilust. 9, se transporta la diagonal f sobre una semirrecta y se determinan los
vértices A y C mediante dos pares de arcos de centros D y B y radios (d, a), y (c, b).
5.2. Construcción del trapezoide dada la
suma de una diagonal y un lado, los otros
tres lados y un ángulo
Ilustración 10
74
Sea a + f la suma del lado a y la diagonal f, Â el ángulo y b, c, d tres lados
(Ilust. 10).
La construcción se reduce a la de los triángulos ABD dada la suma de los lados
a y f, el lado d y el ángulo  y BCD dados los tres lados f, b, c.
En la figura de análisis se ha transportado el lado f del triángulo ABD, sobre la
prolongación del lado a, obteniéndose el triángulo isósceles BED. La mediatriz de su
base ED corta en B el lado a + f del triángulo AED que construimos previamente,
pues conocemos sus dos lados d, a + f y el ángulo que forman Â.
En la construcción se transportan primero Â, a + f, d, obteniendo ED , cuya
mediatriz determina B. Obtenido el lado BD = f se trazan arcos de radios c, b y
centros D, B que se cortan en C.
5.3. Construcción del trapezoide dada la
diferencia de una diagonal y un lado, los
otros tres lados y un ángulo
Ilustración 11
Sea a-f la diferencia del lado a y la diagonal f, Â el ángulo y b, c, d tres lados. (Ilust. 11)
La construcción se reduce a la de los triángulos ABD dada la diferencia de los
lados a y f, el lado d y el ángulo  y BCD dados los tres lados f, b, c.
75
3
UNIDAD
POLÍGONOS
En la figura de análisis se ha transportado el lado f del triángulo ABD sobre el
lado a, obteniéndose el triángulo isósceles BDE. La mediatriz de su base ED corta
en B a la prolongación del lado a - f del triángulo AED que construimos previamente,
pues conocemos sus dos lados d, a - f y el ángulo que forman Â.
En la construcción se transportan primero Â, a - f, d, obteniendo ED , cuya mediatriz determina B. Obtenido el lado BD se trazan arcos de radios c,
b y centros D, B que se cortan en C.
5.4. Construcción del trapecio dados tres
lados y una diagonal
D
d
α
A
α
α
b
e
a
d
A
a
c
C
a
d
B
e
α
e
b
D
B
b
C
Ilustración 12
Sean a, b, d tres lados y e la diagonal del trapecio que deseamos construir.
La construcción se reduce a la del triángulo ABC dados sus tres lados a, b, e y
a la del triángulo ACD dados dos lados e, d y el ángulo comprendido α.
En la Ilust. 12 se ha trasladado el lado b a partir del origen B de una semirrecta,
trazando después arcos de radios a y e, con centros en B y C, que se cortan en el
vértice A.
En el vértice A, a partir de la diagonal e, se transporta el ángulo α. Sobre el lado
obtenido se transporta d, quedando determinado el cuarto vértice D.
5.5. Construcción del trapecio dados dos
ángulos que no compartan el mismo lado,
una base y un lado
Los ángulos que comparten un mismo lado son suplementarios, así pues, conocidos un ángulo de cada lado, podemos deducir los cuatro ángulos del trapecio.
76
Ilustración13
Sean a y d un lado y una base, Â su ángulo comprendido y Ĉ el opuesto.
La construcción se reduce a la del triángulo ABD dados dos lados a, d y el ángulo
comprendido  y a la del triángulo BCD a partir de su lado f y de los ángulos  y Ĉ que
definen la dirección de sus otros dos lados.
En la Ilust. 13, una vez construido el triángulo ABD, se transporta el ángulo Ĉ a
partir de la prolongación del lado a y el ángulo  a partir del lado c, pero con vértice
en D. Aplicamos así la igualdad entre los ángulos alternos internos, determinando el
vértice C en la intersección de los lados de dichos ángulos.
5.6. Construcción del trapecio dadas las
bases, un lado y uno de los ángulos opuestos
Ilustración 14
Mediante la paralela CE al lado d por el vértice C, se reduce el problema a la
construcción del triángulo BCE dados dos lados b, a - c y el ángulo opuesto a uno de
ellos  y del triángulo ACD dados sus tres lados e, c, d.
En la Ilust. 14 se han transportado los lados a y c sobre una semirrecta a partir
de su origen A, obteniéndose a - c = EB . En el vértice E se transporta el ángulo  a
partir del lado a - c. Con centro en B y radio b se traza un arco que cortará al lado d
en el vértice C.
Con centro en los puntos A y C se trazan dos arcos de radios d y c que se cortarán en D.
La solución será única si lo es la del triángulo BCE, es decir, sí b > a - c.
77
UNIDAD
3
POLÍGONOS
6. Construcción de paralelogramos
6.1. Construcciones de paralelogramos
dados dos lados y un ángulo
Ilustración 15
En la Ilust. 15 se presenta la construcción del romboide, acompañada de las del
rombo, rectángulo y cuadrado.
La construcción del romboide ABCD dados dos lados a, d y el ángulo que
forman Â, se reduce a la de los triángulos:
•
ABD dados los lados a, d y el ángulo que forman Â;
•
BCD dados sus tres lados BD , b = d, c = a.
La construcción de los demás paralelogramos se diferencia únicamente en que
ambos triángulos pueden ser isósceles o rectángulos.
78
6.2. Construcciones de paralelogramos
dados un lado y dos diagonales
d
a
c=a
D
e
C
b=d
f
A
e
f
f/2
e/ 2
B
a
a
A
Romboide dado un lado y dos diagonales
B
e
e
f
e/2
f
A
B
f/ 2
Rombo dadas dos diagonales
a
e/2
e
e
e/ 2
a
a
A
Rectángulo dado un lado y una diagonal
B
e
e/ 2
e
A
e/ 2
B
Cuadrado dada una diagonal
Ilustración 16
En la Ilust. 16 se presentan dos métodos de construcción diferentes según de
qué tipo de paralelogramo se trate:
•
El romboide y el rectángulo se construyen dividiendo los lados e, f en dos
partes iguales, construyendo el triángulo de lados a, e / 2, f / 2 (en el rectángulo e / 2 = f / 2) y completando las diagonales.
•
Los cuatro vértices del rombo y del cuadrado quedan determinados al construir sus dos diagonales, que son perpendiculares entre sí y se cortan en el
punto medio. Para ello, se transporta la diagonal e, se halla su mediatriz y se
transporta sobre ella, a partir del punto medio de e y a ambos lados, f /2 (en
el cuadrado e / 2 = f / 2).
79
UNIDAD
3
POLÍGONOS
6.3. Construcciones de paralelogramos
dada una diagonal, un lado y un ángulo
Ilustración 17
En la Ilust. 17 se presenta una construcción del romboide, dos del rombo, y ninguna del rectángulo y cuadrado, pues al reducirse los datos al lado y a la diagonal
coinciden con las ya tratadas.
La construcción del romboide ABCD dados el lado a, el ángulo  y la diagonal f,
se reduce a la de los triángulos:
•
ABD dados los lados a, f y el ángulo opuesto a uno de ellos Â. Esta construcción presenta dos soluciones, ya que al ser f < a, el arco de centro B y
radio f corta en dos puntos D y D´ al lado d. Obtendremos pues dos romboides posibles con estos datos.
•
BCD dados sus tres lados BD , b = d, c = a.
La construcción del rombo dada la diagonal f y el ángulo  parte de la del triángulo auxiliar ADF, isósceles e igual al ABD, como se deduce en la figura de análisis
de la igualdad de los ángulos α.
Se transporta el ángulo  sobre una semirrecta y se halla la bisectriz del ángulo
exterior del mismo vértice, sobre la que se transporta f a partir de A. Se traza la paralela al lado a por el punto F que cortará al lado d en D. Con centro en los puntos A y
D se trazan dos arcos de radio d, que cortan a la semirrecta y su paralela en B y C.
La construcción del rombo dada la diagonal f y el lado a se reduce a la de dos
triángulos de lados a, a, f.
80
7. Polígonos
7.1. Conceptos básicos
Línea quebrada o poligonal es aquella formada por segmentos, ordenados de
tal modo, que uno intermedio tiene un extremo común con el anterior y otro con el
siguiente. Los extremos libres son el origen y el extremo de la quebrada.
Polígono es una línea quebrada cerrada, es decir, su extremo y su origen coinciden.
Se identificará un polígono ABCDEFG mediante sus vértices, que son los extremos de los segmentos que lo forman, que a su vez serán los lados a, b, c, d, e, f, g
del polígono.
•
Ángulos interiores son los formados por dos lados consecutivos y reciben
su nombre del vértice (Â, B̂, ...). Su suma es 180º × (n - 2) donde n es el
número de lados. Ángulos exteriores (α, β, χ, …) son los adyacentes de los
ángulos interiores. Su suma es 360º.
•
Diagonal es cada uno de los segmentos determinados por dos vértices no
consecutivos del polígono. En el heptágono regular de la Ilust. 18 se han
dibujado todas las diagonales posibles en trazo discontinuo.
Ilustración 18
Animación
Polígono convexo es la porción de plano limitada por un polígono, tal que al
trazar la recta que contiene a cada uno de sus lados, ésta deja a todos los vértices
del polígono situados del mismo lado. En el heptágono no convexo de la Ilust. 18 se
puede ver que la recta AB divide el plano en dos semiplanos, quedando en uno de
ellos los vértices F, G y en el otro C, D, E, mientras que en el heptágono convexo
quedan C, D, E, F, G en un semiplano y en el otro ninguno.
Los polígonos se nombran atendiendo al número de sus lados, así tenemos:
triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono,
decágono, undecágono, dodecágono,...
Los polígonos convexos pueden ser equiláteros si tienen todos sus lados iguales, equiángulos si tienen todos sus ángulos iguales, regulares si cumplen simultáneamente ambas condiciones e irregulares en caso contrario.
81
3
UNIDAD
POLÍGONOS
El número de datos necesarios para construir un polígono de n lados es 2n - 3.
La triangulación del polígono permite reducir su construcción a los casos conocidos
de construcción de triángulos. Por ello los datos deben ser del mismo tipo que los
empleados para construir triángulos o cuadriláteros.
7. 2. Construcción de polígonos regulares
a partir del radio
r
A
E
1
2
3
D
4
5
6
7
C
O
8
9
B
Ilustración 19
Sea r el radio de la circunferencia en la que se desea inscribir un polígono regular de n lados y n = 9 en la construcción de la ilust. 19.
Se traza la circunferencia con radio r, un diámetro AB y dos arcos de radio AB y
centros A, B que se cortan en C. Se
el punto D situado sobre el diámetro AB
__ obtiene__
2
2
a una distancia de A igual a /n AB = /9 AB . La secante que pasa por C y D corta
a la circunferencia en E, siendo AE el lado del polígono, en este caso un eneágono.
Llevando AE n veces sobre la circunferencia se obtendría el polígono, aunque
debe advertirse que, al tratarse de una construcción aproximada, deberán realizarse
correcciones para evitar que el último lado llevado sea desigual.
7. 3. Construcción de polígonos regulares
a partir del lado
Sea l el lado del polígono regular de n lados y n = 11 en la construcción de la ilust. 20.
Se traza una circunferencia de radio cualquiera y se halla el lado AB del polígono inscrito de n = 11 lados. Se superpone el lado l = AC sobre el lado AB obtenido y
se traslada mediante dos paralelas a OA hasta encajarlo en el ángulo AOB en la
posición DE.
82
D
l
E
B C
A
1
2
3
4
5
6
7
O
8
9
10
11
Ilustración 20
Llevando DE 11 veces sobre la circunferencia se obtendría el polígono; aunque
debe advertirse que al tratarse de una construcción aproximada, deberán realizarse
correcciones para evitar que el último lado llevado sea desigual.
7. 4. Cubrición del plano
El plano puede ser cubierto mediante figuras, sin que éstas se solapen ni queden huecos, de muchas formas distintas. Cuando este proceso se realiza con regularidad aparecen los conceptos de módulo y estructura:
● Módulo es cada una de las figuras que se repiten para rellenar el plano.
● Estructura es la malla generada por la repetición del módulo o módulos.
Cuando los módulos son polígonos regulares iguales se obtienen las estructuras
básicas. Como en cada vértice de la malla los ángulos de los polígonos concurrentes
deben sumar 360º se pueden utilizar únicamente como módulos el triángulo equilátero,
el cuadrado y el hexágono regular (Ilust. 21).
Ilustración 21
Cuando los módulos son polígonos regulares diferentes se obtienen estructuras
más complejas (Ilust. 22 y 23).
83
UNIDAD
3
POLÍGONOS
Ilustración 22
Ilustración 23
La deformación controlada del módulo o módulos que forman una estructura
genera otras nuevas (Ilust. 24).
Ilustración 24
7. 5. Los mosaicos de la Alhambra de Granada
En los mosaicos de la Alhambra de Granada los artífices nazaríes han dejado
valiosos ejemplos de cubrición del plano mediante módulos creados a partir del triángulo equilátero y el cuadrado.
Sea el cuadrado ABCD (Ilust. 25). Restándole un trapecio isósceles de altura la
cuarta parte de un lado, en dos lados opuestos y añadiéndoselo en los otros dos, el
área del módulo obtenido es equivalente a la del cuadrado. El encaje se produce
girándolo 90º.
Se trazan las diagonales AC, BD, se halla el punto medio E de una semidiagonal y los F, G, H de las demás mediante la circunferencia de centro O. Los trapecios
ABGH, CDEF se restan al cuadrado.
84
D
C
E
F
D’ D
E’
C A’
E
F
H
G
H’
O
H
A
G
F’
B
C’A
G’
B B’
Ilustración 25
Se obtienen los trapecios congruentes de los ABGH, CDEF mediante las semejanzas directas definidas por los pares de segmentos orientados CD, C’D’ y AB, A’B’.
Como la razón de semejanza es la unidad, basta triangular los trapecios y construir,
de uno en uno, los triángulos resultantes. Los trapecios A’B’G’H’, C’D’E’F’ obtenidos
se suman al cuadrado, resultando un módulo en forma de hueso, cuya estructura
puede verse en la parte derecha de la ilust. 25.
Ilustración 26
Sea el triángulo equilátero ABC (Ilust. 26). Al restar y sumar en cada uno de sus
lados, un segmento circular formado por una cuerda igual a la mitad de un lado y un
arco de centro el punto medio del lado contiguo, se obtiene un módulo de área equivalente, que encaja al girarlo 60º.
Se traza la mediatriz del lado AB para obtener su punto medio E, que es centro
de la circunferencia de radio AE que corta a los demás lados en sus puntos medios
F, G. Se trazan los arcos FB, GC, EA de centros E, F, G y radios la mitad del lado.
Otras tres circunferencias de igual radio y centros A, B, C cortan a las anteriores en los centros H, I, J de los arcos EB, FC, GA, resultando un módulo conocido
con el nombre de la pajarita, cuya estructura puede verse en la parte derecha de
la ilust. 26.
85
UNIDAD
3
POLÍGONOS
Recuerda
T
Todas las construcciones deben iniciarse dibujando una figura de análisis.
T
El número de datos necesarios para construir un polígono de n lados es
2n - 3, pero si este tiene elementos conocidos o iguales, se reduce.
T
Las 4 construcciones elementales de triángulos permiten resolver la mayoría
de las construcciones de polígonos, mediante su triangulación y el empleo del
método de reducción.
Actividades
a
b
1. Construir el trapecio ABCD siendo a,
b, c, d sus cuatro lados.
c
d
2. Construir el triángulo rectángulo ABC
siendo a + c la suma de la hipotenusa
a y el cateto c y b el otro cateto.
a+c
b
c
3. Construir el triángulo ABC siendo
a / b = 6 / 5 la razón entre los lados a y
b, c el tercer lado y  un ángulo.
a/ b = 6/ 5
A
26
4. El pentágono dibujado a trazo grueso
sobre el croquis de la sección de un
restaurante mirador define la forma de
su espacio interior. Dibujarlo a escala
1:700 utilizando las medidas acotadas
en metros.
20
15º
6
60º
40
COTAS EN METROS
86
p
5. Construir el triángulo ABC siendo p su
perímetro y  , B̂ dos ángulos.
A
B
AB
6. En la ilustración pueden verse la
estructura y el módulo del mosaico de
la Alhambra de Granada conocido
como avión o pájaro volador. Dibujarlo
con regla y compás sabiendo que se
obtiene sumando y restando a un cuadrado dos triángulos rectángulos.
A
87
B