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Repaso de Teoría de Conjuntos
Repaso de Lógica Booleana
Idea de Conjunto Difuso
Lógica Difusa
Hugo Franco, PhD
25 de abril de 2011
Hugo Franco, PhD
Lógica Difusa
Repaso de Teoría de Conjuntos
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Repaso de Lógica Booleana
Idea de Conjunto Difuso
Conjuntos Clásicos
Conjunto: colección de objetos de características similares extraídos
de un universo de elementos
Relación de pertenencia
∈:
indica que un elemento es parte de un
⊂:
indica que todos los elementos de un
conjunto
Relación de contenencia
conjunto son también elementos de un conjunto mayor.
indica contenencia no estricta (el subconjunto puede ser
igual al conjunto).
Conjunto universal
U:
A = B ⇐⇒ A ⊂ B∧ B ⊂ A,
todos los objetos del universo en cuestión
Ejemplos
U = N, U = R
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . . }
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Lógica Difusa
⊆
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Idea de Conjunto Difuso
Notación
Representación por extensión: se indican todos los elementos del
conjunto en secuencia
Representación por comprensión: dada una propiedad
los elementos de un conjunto
A,
P
mediante la descripción
A = {x|x
Conjunto vacío
∅:
satisface
P}
conjunto que carece de elementos
Notación (ejemplos):
U=N
B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, . . . }A = {a ∈ N|a
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es primo},
Lógica Difusa
común a todos
éste se puede representar
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Idea de Conjunto Difuso
Operaciones entre conjuntos clásicos I
Unión
∪
: Conjunto que tiene todos los elementos que están en uno
u otro de los conjuntos operados,
A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 3, 5, 7, 11, 13}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16}
Intersección
∩:
Conjunto que tiene todos los elementos que están a la vez
en el primer conjunto y en el segundo conjunto operados
A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13}
A ∩ B = {1, 2}
Diferencia entre conjuntos
Complemento de
A, A :
A\B := {x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
El complemento es el conjunto construido con
todos los elementos del universo que no están en el
conjunto, es decir, U\A
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 5, 7},
A = {0, 4, 6, 8, 9}
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Idea de Conjunto Difuso
Notación y Propiedades de la Unión y la Intersección
Theorem
Dados los conjuntos
A, B
Conmutatividad:
y
C
de
U,
se tienen las propiedades
A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Asociatividad:
Distributividad: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
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Idea de Conjunto Difuso
Colección de Conjuntos y Generalización de Operaciones
Sea
Λ⊆N
un conjunto de índices y
λ∈Λ
un elemento cualquiera de ese
conjunto. Una familia de conjuntos es una colección
innita, de conjuntos en
Aλ ,
U
Generalización de la Unión:
[
Aλ = {x|∃λ ∈ Λ, x ∈ Aλ }
λ∈Λ
Generalización de la intersección
\
Aλ = {x|x ∈ Aλ ∀λ ∈ Λ}
λ∈Λ
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potencialmente
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de Morgan
Idea de Conjunto Difuso
Leyes de
En general, se puede probar que
(A ∪ B) = A ∩ B
y
(A ∩ B) = A ∪ B
Generalizando:
!
[
Aλ
=
λ∈Λ
\
Aλ
λ∈Λ
y
!
\
Aλ
λ∈Λ
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=
[
Aλ
λ∈Λ
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Idea de Conjunto Difuso
Producto Cartesiano
U y V, el producto cartesiano
U × V se dene como el conjunto de todas la parejas
{(u, v)|u ∈ U, v ∈ V}. Ejemplo
Dados dos conjuntos universales
U
U×V
= {0, 2, 4}, V = {1, 2}
= {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)}
Los subconjuntos de
U×V
denidos a partir de características
especícas de pertenencia se conocen como Relaciones. Ejemplo (del
anterior)
R = {(2, 1), (4, 2)}
que equivale a escribir
R = {(u, v) ∈ U × V|v = 2u}
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Idea de Conjunto Difuso
Función Característica
Dado un conjunto
A
x ∈ U,
∀x, x ∈ A ∨ x ∈
/A
y un elemento
(binaria) se tiene que
Así, la función característica de un conjunto
se dene como
(
µA (x) =
Ej, sea
0
1
si
si
en lógica booleana
A,
denotada por
µA (x),
x∈
/A
x∈A
U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4}
U={ 1
2
3
4
5}
1
1
1
0
1
μA(u)
0
1
0
1
0
μB(u)
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Idea de Conjunto Difuso
Representaciones mediante la Función Característica Producto Cartesiano I
Se puede representar matricialmente una relación mediante la función
característica asociada a la misma. Del ejemplo anterior
U =
{0, 2, 4}, V = {1, 2}
U×V
=
{(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)}
R
=
{(u, v) ∈ U × V|v = 2u}
Entonces
U,V
1
2
0
0
0
2
1
0
4
0
1
µR (u, v)
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Idea de Conjunto Difuso
Representaciones mediante la Función Característica Producto Cartesiano II
Ejemplo: sobre el anterior, sea la relación
S
= {(u, v) ∈ U × V|u + v ≤ 4}
UV
1
2
U,V
1
2
U,V
1
2
0
1
1
0
1
1
0
0
0
2
1
1
2
1
1
2
0
0
4
0
0
4
0
1
4
1
1
Entonces
µS (u, v)
µR∪S (u, v)
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µS (u, v)
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Idea de Conjunto Difuso
Composición
U y V están relacionados si existe una
U × V. Al denir un conjunto A ⊂ U, se
conjunto B ⊂ V reejado por la relación R
Se dice que dos espacios
relación
R
denida sobre
puede establecer el
B =A◦R
En términos de la función característica, se tiene que
µB (v) = max (min (µA (u), µR (u, v)))
Ejemplo: Haciendo sobre el ejemplo anterior
A = {0, 2}
V
µA (u)
1
1
0
µB (v)
U
0
2
4
1
2
0
0
1
0
0
1
µR (u, v)
1
0
A a través de R se
B ⊂ V , B = {1}
Luego el reejo (imagen) de
función característica como
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dene, según su
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Idea de Conjunto Difuso
Proposiciones, Valores de verdad, Disyunción
Sea
U
verdad
un universo y
V
A ⊂ U.
Dado un
como
(
V (x
Disyunción: Sea a la vez
es
A) =
x∈A
0
1
si
si
se dene la función de
x∈
/A
x∈A
B ⊂ U, x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x
es
A) ∨ (x
luego
V ((x
es
A) ∨ (x
es
(
0
B)) =
1
si
si
x∈
/ A∪B
x∈A∪B
luego
V ((x
es
A) ∨ (x
es
B))
=
max
{µA (x), µB (x)}
=
max
{V ((x
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es
A), (x
es
B))}
es
B),
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Proposiciones, Valores de verdad, conjunción y negación
Conjunción:
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x
V ((x
es
A) ∧ (x
es
A) ∧ (x
(
0
B)) =
1
es
es
si
si
B),
luego
x∈
/ A∩B
x∈A∩B
y
V ((x
Negación:
es
A) ∧ (x
es
x∈
/ A ⇐⇒ x
V (x
B))
no es
no es
=
min
{µA (x), µB (x)}
=
min
{V ((x
A,
A)
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es
A), (x
luego
=
1 − µA (x)
=
1 − V (x
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es
A)
es
B))}
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Sentencias condicionales
Permiten establecer relaciones de dependencia lógica entre proposiciones
Estructura: SI [antecedente] ENTONCES [consecuente]
Notación:
p→q
Inferencia clásica:
V (p → q) = V (∼ p ∨ q),
esto es:
p
q
∼p
∼p∨q
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
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Idea de Conjunto Difuso
Inferencia Clásica
Sean
U
y
V
La sentencia
dos espacios, tal que
x
es
A →y
es
B,
A⊂U
y
B ⊂ V.
según la inferencia clásica, es
evaluada como:
V (x
es
A→y
es
B)
= V ((x
=
no es
max{1
es
B))
− µA (x), µB (y)}
La inferencia clásica dene una relación
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A) ∨ (y
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Inferencia Mínimo
Inferencia mínimo:
Sean
U
y
V
La sentencia
V (p 99K q) = {p, q},
p
q
p 99K q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
dos espacios, tal que
x
es
esto es:
A 99Ky
es
B,
A⊂U
y
B ⊂ V.
según la inferencia mínima, es
evaluada como:
V (x
es
A →99K y
es
B)
=
min{V
(x
no es
A), V (y
es
B)}
La inferencia mínimo es más exigente que la inferencia clásica
(equivalente a una conjunción)
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Conjunto Difuso
Cuando se piensa en conjuntos
cuyos elementos tienen una función
característica que no es binaria, se
habla de conjuntos borrosos o
difusos
µA : U → [0, 1]
De los elementos de tales conjuntos
se dice que pertenecen al conjunto
en una cierta proporción (grado de
pertenencia)
Ej:
µA (a)
=
0
µA (b)
=
0,4
µA (c)
=
1
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Denición formal
Conjunto difuso:
Un conjunto difuso
A⊂U
se dene como
A = {x, µA (x)|x ∈ U, µA (x) ⊂ [0, 1]}
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