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Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Lógica Difusa Hugo Franco, PhD 25 de abril de 2011 Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Conjuntos Clásicos Conjunto: colección de objetos de características similares extraídos de un universo de elementos Relación de pertenencia ∈: indica que un elemento es parte de un ⊂: indica que todos los elementos de un conjunto Relación de contenencia conjunto son también elementos de un conjunto mayor. indica contenencia no estricta (el subconjunto puede ser igual al conjunto). Conjunto universal U: A = B ⇐⇒ A ⊂ B∧ B ⊂ A, todos los objetos del universo en cuestión Ejemplos U = N, U = R A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . . } Hugo Franco, PhD Lógica Difusa ⊆ Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Notación Representación por extensión: se indican todos los elementos del conjunto en secuencia Representación por comprensión: dada una propiedad los elementos de un conjunto A, P mediante la descripción A = {x|x Conjunto vacío ∅: satisface P} conjunto que carece de elementos Notación (ejemplos): U=N B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, . . . }A = {a ∈ N|a Hugo Franco, PhD es primo}, Lógica Difusa común a todos éste se puede representar Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Operaciones entre conjuntos clásicos I Unión ∪ : Conjunto que tiene todos los elementos que están en uno u otro de los conjuntos operados, A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 3, 5, 7, 11, 13} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16} Intersección ∩: Conjunto que tiene todos los elementos que están a la vez en el primer conjunto y en el segundo conjunto operados A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13} A ∩ B = {1, 2} Diferencia entre conjuntos Complemento de A, A : A\B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ / B} El complemento es el conjunto construido con todos los elementos del universo que no están en el conjunto, es decir, U\A U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 5, 7}, A = {0, 4, 6, 8, 9} Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Notación y Propiedades de la Unión y la Intersección Theorem Dados los conjuntos A, B Conmutatividad: y C de U, se tienen las propiedades A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociatividad: Distributividad: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C); (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Colección de Conjuntos y Generalización de Operaciones Sea Λ⊆N un conjunto de índices y λ∈Λ un elemento cualquiera de ese conjunto. Una familia de conjuntos es una colección innita, de conjuntos en Aλ , U Generalización de la Unión: [ Aλ = {x|∃λ ∈ Λ, x ∈ Aλ } λ∈Λ Generalización de la intersección \ Aλ = {x|x ∈ Aλ ∀λ ∈ Λ} λ∈Λ Hugo Franco, PhD Lógica Difusa potencialmente Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana de Morgan Idea de Conjunto Difuso Leyes de En general, se puede probar que (A ∪ B) = A ∩ B y (A ∩ B) = A ∪ B Generalizando: ! [ Aλ = λ∈Λ \ Aλ λ∈Λ y ! \ Aλ λ∈Λ Hugo Franco, PhD = [ Aλ λ∈Λ Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Producto Cartesiano U y V, el producto cartesiano U × V se dene como el conjunto de todas la parejas {(u, v)|u ∈ U, v ∈ V}. Ejemplo Dados dos conjuntos universales U U×V = {0, 2, 4}, V = {1, 2} = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)} Los subconjuntos de U×V denidos a partir de características especícas de pertenencia se conocen como Relaciones. Ejemplo (del anterior) R = {(2, 1), (4, 2)} que equivale a escribir R = {(u, v) ∈ U × V|v = 2u} Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Función Característica Dado un conjunto A x ∈ U, ∀x, x ∈ A ∨ x ∈ /A y un elemento (binaria) se tiene que Así, la función característica de un conjunto se dene como ( µA (x) = Ej, sea 0 1 si si en lógica booleana A, denotada por µA (x), x∈ /A x∈A U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4} U={ 1 2 3 4 5} 1 1 1 0 1 μA(u) 0 1 0 1 0 μB(u) Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Representaciones mediante la Función Característica Producto Cartesiano I Se puede representar matricialmente una relación mediante la función característica asociada a la misma. Del ejemplo anterior U = {0, 2, 4}, V = {1, 2} U×V = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)} R = {(u, v) ∈ U × V|v = 2u} Entonces U,V 1 2 0 0 0 2 1 0 4 0 1 µR (u, v) Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Representaciones mediante la Función Característica Producto Cartesiano II Ejemplo: sobre el anterior, sea la relación S = {(u, v) ∈ U × V|u + v ≤ 4} UV 1 2 U,V 1 2 U,V 1 2 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 1 1 2 1 1 2 0 0 4 0 0 4 0 1 4 1 1 Entonces µS (u, v) µR∪S (u, v) Hugo Franco, PhD Lógica Difusa µS (u, v) Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Composición U y V están relacionados si existe una U × V. Al denir un conjunto A ⊂ U, se conjunto B ⊂ V reejado por la relación R Se dice que dos espacios relación R denida sobre puede establecer el B =A◦R En términos de la función característica, se tiene que µB (v) = max (min (µA (u), µR (u, v))) Ejemplo: Haciendo sobre el ejemplo anterior A = {0, 2} V µA (u) 1 1 0 µB (v) U 0 2 4 1 2 0 0 1 0 0 1 µR (u, v) 1 0 A a través de R se B ⊂ V , B = {1} Luego el reejo (imagen) de función característica como Hugo Franco, PhD Lógica Difusa dene, según su Repaso de Lógica Booleana Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Proposiciones, Valores de verdad, Disyunción Sea U verdad un universo y V A ⊂ U. Dado un como ( V (x Disyunción: Sea a la vez es A) = x∈A 0 1 si si se dene la función de x∈ /A x∈A B ⊂ U, x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x es A) ∨ (x luego V ((x es A) ∨ (x es ( 0 B)) = 1 si si x∈ / A∪B x∈A∪B luego V ((x es A) ∨ (x es B)) = max {µA (x), µB (x)} = max {V ((x Hugo Franco, PhD Lógica Difusa es A), (x es B))} es B), Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Proposiciones, Valores de verdad, conjunción y negación Conjunción: x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x V ((x es A) ∧ (x es A) ∧ (x ( 0 B)) = 1 es es si si B), luego x∈ / A∩B x∈A∩B y V ((x Negación: es A) ∧ (x es x∈ / A ⇐⇒ x V (x B)) no es no es = min {µA (x), µB (x)} = min {V ((x A, A) Hugo Franco, PhD es A), (x luego = 1 − µA (x) = 1 − V (x Lógica Difusa es A) es B))} Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Sentencias condicionales Permiten establecer relaciones de dependencia lógica entre proposiciones Estructura: SI [antecedente] ENTONCES [consecuente] Notación: p→q Inferencia clásica: V (p → q) = V (∼ p ∨ q), esto es: p q ∼p ∼p∨q 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Inferencia Clásica Sean U y V La sentencia dos espacios, tal que x es A →y es B, A⊂U y B ⊂ V. según la inferencia clásica, es evaluada como: V (x es A→y es B) = V ((x = no es max{1 es B)) − µA (x), µB (y)} La inferencia clásica dene una relación Hugo Franco, PhD A) ∨ (y Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Inferencia Mínimo Inferencia mínimo: Sean U y V La sentencia V (p 99K q) = {p, q}, p q p 99K q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 dos espacios, tal que x es esto es: A 99Ky es B, A⊂U y B ⊂ V. según la inferencia mínima, es evaluada como: V (x es A →99K y es B) = min{V (x no es A), V (y es B)} La inferencia mínimo es más exigente que la inferencia clásica (equivalente a una conjunción) Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Idea de Conjunto Difuso Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Conjunto Difuso Cuando se piensa en conjuntos cuyos elementos tienen una función característica que no es binaria, se habla de conjuntos borrosos o difusos µA : U → [0, 1] De los elementos de tales conjuntos se dice que pertenecen al conjunto en una cierta proporción (grado de pertenencia) Ej: µA (a) = 0 µA (b) = 0,4 µA (c) = 1 Hugo Franco, PhD Lógica Difusa Repaso de Teoría de Conjuntos Repaso de Lógica Booleana Idea de Conjunto Difuso Denición formal Conjunto difuso: Un conjunto difuso A⊂U se dene como A = {x, µA (x)|x ∈ U, µA (x) ⊂ [0, 1]} Hugo Franco, PhD Lógica Difusa