Download la lógica borrosa constituye un sistema lógico que es dedicado la

LÓGICA DIFUSA
Lofti Zadeh(1965)
La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana), para manejar el
concepto de verdad parcial de los predicados y sentencias ambiguos o vagos y que va ha
permitir el tratamiento de la imprecisión y el razonamiento aproximado.
Ejemplos:
Determine el valor de verdad de los siguientes predicados y/o sentencias:
•
•
•
•
•
La temperatura corporal es alta.
Conducía muy rápido.
Cerca de 50 años.
Números menores que 3.
Gente joven.
Conjunto(Clásico).- Colección de objetos con alguna propiedad en común.
Ejemplo. A: alumnos altos
Definimos su función de pertenencia como:  A : U  0,1
1 , si x  170
0 , si x  170
 A ( x)  
 A ( x) es el grado de pertenencia de x al conjunto A.
1
Gráficamente:
A = [170 , 200]
Extensión a conjuntos difusos
Conjunto Difuso.- Llamamos conjunto difuso A en U a una función  A : U  [0,1] , que
operacionaliza un predicado o sentencia ambiguo, asignando a cada elemento x del
conjunto U su grado de pertenencia al conjunto A.
Simbolización:
A  ( x,  A ( x)) / x U 
Donde: U es llamado universo de discurso.
 A es llamada función de pertenencia.
 A ( x) es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso A .
Ejemplo. A: alumnos altos
Definimos su función de pertenencia como:  A : U  0,1
, si x  170
1

 A ( x)  ( x  140) / 30 , si 140  x  170
0
, si x  140

2
Nota.- la transición de la pertenencia o no-pertenencia de un elemento, es gradual, y esta
transición está caracterizada por las funciones de pertenencia.
Ejemplo. A: Números cercanos a 4.
Gráficamente se puede expresar como:
3
Clases de Funciones de Pertenencia
Función Triangular:
, x 1
0
 x 1

,1  x  5
 5 1
trimf (1 5 9)  
 9  x ,5  x  9
9  5
0
,x 9

Función Trapezoidal:
, x 1
0
 x 1

,1  x  5
 5 1

trapmf (1 5 7 8)  1
,5  x  7
8  x

,7  x  8
8  7
0
,x 8
Función Sigmoidal: sigmf (2, 4) 
1
1  e2( x 4)
4
Función Gausssiana: gaussmf (2,5)  e
•
(
x 5 2
)
2
En una función gaussiana el parámetro 2 expresa el ancho y 5 el centro.
Ejemplos:
1.- Grafique el conjunto difuso A: Cerca de 50 años.
, x  30
0
 x  30

,30  x  50
 50  30
trimf (30 50 70)  
 70  x ,50  x  70
 70  50
0
, x  70

, x  30
0
 x  30

,30  x  40
 40  30

trapmf (30 40 60 70)  1
, 40  x  60
 70  x

, 60  x  70
 70  60
0
, x  70
5
2.- Grafique el conjunto difuso A: La temperatura corporal es alta.
1
sigmf (2,39) 
2( x 39)
1 e
Definiciones básicas sobre conjuntos difusos
A continuación se presentan una serie de definiciones básicas de utilidad en el manejo
de los conjuntos difusos
Conjunto vacío.- Se dice que un conjunto difuso A es vacío, y se escribe A = Ø, si y sólo
si  A ( x)  0, x U
Igualdad de conjuntos.- Se dice que dos conjuntos difusos A y B definidos sobre el
mismo universo de discurso U son iguales, y se escribe A = B si y sólo si
 A ( x)  B ( x), x U
Inclusión de conjuntos.- Se dice que un conjunto difuso A definido en U está incluido en
B, si y sólo si  A ( x)  B ( x), x U
Conjunto Normal.- Se dice que un conjunto difuso A definido en U es normal si y sólo si
max  A ( x)  1, x U
xU
Soporte de Conjunto difuso.- Se define como: SuppA   x U /  A ( x)  0
Nota.• La representación de un conjunto difuso depende del predicado o sentencia a
representar y del contexto en el que se va ha utilizar.
• Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia para caracterizar la misma una
misma proposición.
6
Operaciones con Conjuntos Difusos
•
Dados dos conjuntos difusos A y B de U, la función de pertenencia de la unión de
los conjuntos A y B se define como:
 AB ( x)  max  A ( x), B ( x)
•
Dados dos conjuntos difusos A y B de U, la función de pertenencia de la
intersección de los conjuntos A y B se define como:
 AB ( x)  min  A ( x), B ( x)
•
Dado el conjunto difuso A de U, la función de pertenencia del complemento de A se
define como:
 A ( x)  1   A ( x)
Nota.- Estas 3 operaciones en forma general son definidas por las T-normas , S-normas y
Complemento difuso.
Ejemplo: Dados los conjuntos difusos A y B en la figura siguiente:
Hallar A  B; A  B; A '.
Solución: A  B
7
A B
A'
8
Variables lingüísticas
Es una variable cuyos valores son palabras o sentencias que se enmarcan en un lenguaje
predeterminado. Cada una de estas palabras o términos es llamado etiqueta lingüística y se
representa por medio de un conjunto difuso definido sobre el universo de discurso de la
variable.
Ejemplo. Variable: Temperatura del cuerpo humano.
Valores : Baja, Normal, Alta.
Proposiciones difusas
Son de la forma: p : X  A ,
q: Y B
Donde X e Y son variables lingüísticas, A y B son conjuntos difusos.
Operadores lógicos
Dadas las proposiciones lógicas p : X  A y q : Y  B , se definen los operadores lógicos
de la siguiente forma:
AND(Y):
p  q  min( A ( x), B ( y))
OR(O):
p  q  max( A ( x), B ( y))
NOT(No):
p  1   A ( x)
9
THEN(Entonces):
p  q  min(  A ( x),  B ( y ))
...Mandani
p  q   A ( x). B ( y )
...Larsen
p  q  min(1   A ( x)   B ( y ),1) ...Lucasiewick
p  q  1   A ( x)   A ( x)  B ( y ) ...Reichenbach
Nota.- La implicaciones de Lucasiewick y Reichenbach son compatibles con la lógica
clásica.
Inferencia Difusa
La operación de implicación se puede expresar en la forma:
p  q : si (X es A) entonces (Y es B)
donde X e Y son variables lingüísticas, A y B conjuntos difusos.
Ejemplos:
•
Si la presión es baja entonces el volumen es grande.
•
Si el tomate es rojo entonces está maduro.
•
Si la velocidad es alta entonces frenar ligeramente.
Modus Ponens Generalizado
Si X es A entonces Y es B
X es A '
........................................
 Y es B '
donde A, B, A’ , B’ son conjuntos difusos.
10
Modus Tollens Generalizado
Si X es A entonces Y es B
Y es B '
........................................
 X es A '
donde A, B, A’ , B’ son conjuntos difusos.
SISTEMAS DIFUSOS
Es la aplicación de la inferencia difusa a la automatización de procesos.
Modelo:
Base de conocimiento
Inferencia
Difusa
Entrada
Salida
Defuzzificador
Fuzzificador
Elementos:
Fuzzificador. Asigna un grado de pertenencia en cada uno de los conjuntos difusos
considerados para cada variable de entrada numérica.
Defuzzificador. Asigna un valor numérico a la variable de salida, a partir del conjunto
difuso obtenido en el mecanismo de inferencia, existen varias opciones tales como:
El Centroide.- Retorna el centro de gravedad de la región.
El Bisector.- Retorna el valor que divide en dos partes iguales el área de la región.
11
En Matlab tenemos además:
som.- Retorna el valor mínimo donde el conjunto difuso alcanzó su máximo valor.
mom.- Retorna el valor medio donde el conjunto difuso alcanzó su máximo valor.
lom.- Retorna el valor máximo donde el conjunto difuso alcanzó su máximo valor.
Base de Conocimiento. Es la experiencia del ser humano recogida y almacenada en
conjuntos difusos y en un conjunto de n reglas del tipo si,… entonces.
Tipos de Sistemas
Sistemas Puros. Poseen como entrada y salida conjuntos difusos, esto es no poseen
fuzzificador y defuzzificador.
Las reglas usadas son de la forma:
Si X1 es A1 y … Xn es An entonces Y es B
donde X1 ,… Xn , Y son variables lingüísticas y A1 ,… An , B son conjuntos difusos.
12
Sistemas Mamdani. Está compuesto por un fuzzificador, un defuzzificador en su base de
conocimiento.
Características.
 Pueden ser usadas en aplicaciones del mundo real, dado que usan entradas y salidas
reales.
 Proporcionan un marco natural para la inclusión de conocimiento experto en forma
de reglas lingüísticas.
 Poseen libertad para elegir las interfaces de fuzzificación y defuzzificación.
Las reglas usadas son de la forma:
Si X1 es A1 y … Xn es An entonces Y es B
donde X1 ,… Xn , Y son variables lingüísticas y A1 ,… An , B son conjuntos difusos.
Sistemas Takagi - Sugeno. Sus entradas son variables lingüísticas y su salida una función
de las variables de entradas.
Las reglas usadas son de la forma:
Si X1 es A1 y … Xn es An entonces Y=p1X1 + …+ pnXn
donde X1 ,… Xn , Y son variables lingüísticas y p1 ,… pn parámetros reales.
Procedimiento para la creación de un sistema difuso
1. Identificación de variables de entrada y salida.
2. Determinación de conjuntos difusos.
3. Selección del método de defuzzificación.
4. Creación de las reglas.
5. Diseño del mecanismo de inferencia.
6. Evaluación y uso del sistema.
13
Ejemplo
Sean las variables de entrada X: Tiempo con valor lluvioso, Y: Vía con valor libre y la
variable de salida Z: Velocidad con valor moderada
Consideremos los conjuntos difusos A: lluvioso , B: libre y C: moderada.
tramf(-10 0 10 20)
tramf(-6 0 2 8)
trimf(20 60 100)
La proposición lógica:
Si el tiempo es lluvioso y la vía es libre, entonces la velocidad es moderada.
El grado de pertenencia para valores de t = 12 y v = 5 en los respectivos conjuntos difusos
son:  A (12)  0.8 , B (5)  0.5
La operación lógica AND sería  A (12) AND B (12)  0.5
AND
ENTONCES
 A (12) AND  B (12) ENTONCES Velocidad es moderada
0.5

Velocidad es moderada
min(0.5 , Velocidad es moderada)
Defuzzificando con el centroide la región obtenida tenemos el valor de 60.
14
Modelo:
Variables de entrada: Tiempo y Vía.
Variables de salida: Velocidad.
Conjuntos difusos:
15
16
Método de defuzzificación: Centroide.
Reglas de inferencia:
Diseño del mecanismo de inferencia:
17
Evaluación y uso del sistema
18
19
Práctica.
1.- Construya un conjunto difuso para cada una de los siguientes predicados.



Es un buen alumno.
Hombre alto.
Río largo.
2.- Dados los conjuntos difusos
A: La velocidad es lenta.
B: La velocidad es normal.
C: La velocidad es alta.
Hallar: A  B; ( A  B)' C; C  A '; ( A  B)  C.
3.- Formule predicados y/ o sentencias, y construya su conjunto difuso para cada ejemplo
dado.
Aplicaciones de lógica difusa.
Nivel uno - control mediante lógica difusa.
Reemplazar un operador humano por un sistema de difuso basado en reglas.
Metro Sendai (Hitachi)
Cemento Kiln (F.L. Smidth)
Control de elevador (Fujitec, Hitachi, Toshiba)
Carro de Sugeno
Robot de Hirota
Péndulo invertido de Yamakawua.
Reactor nuclear (Hitachi, Bernard)
Transmisión automática (Nissan, Subaru)
Control Bulldozer (Terano)
Producción de ethanol (Filev)
Nivel dos: Análisis de decisión basado en lógica difusa
Reemplazo de un operador humano por un sistema experto basado en lógica difusa
Medicina ((CADAG, Adlssnig), Arita, OMRON)
Seguridad (Yamaichi, Hitachi)
Comprobante de crédito (Zimmermann)
Asignación de daños (Yao, Hadipriono)
Diagnostico de fallas (Guangzhou)
Planeación de producción (Turksen)
Productos al consumidor
• Lavadoras
• Hornos de microondas
• Procesadores de arroz
20
•
•
•
•
•
Limpiadores al vacío
Cámaras de video
Televisores
Sistemas térmicos
Traductores
Sistemas
• Elevadores
• Trenes
• Automóviles
(máquinas, transmisiones, frenos)
• controles de tráfico
Sotfware
• Diagnóstico Médico
• Seguridad
• Compresión de datos.
21