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Teoremas y problemas de Geometría
Problemas de Geometría
Euclidiana Plana
Nivel II-III
Olimpíada M atemática – Febrero de 2015
Gustavo Bentancor Biagas
Teoremas y problemas de Geometría
Probl emas con ángulos
Problema 1: (Problema 3, Final Nacional, Nivel II, Año 2007)
Sea ABC un triángulo cualquiera, D un punto cualquiera perteneciente a la semirrecta opuesta
a CB.
La bisectriz del ABC y la bisectriz del ACD se cortan en E.
Demostrar que el ángulo BAC es el doble del ángulo BEC.
Problema 2: (Problema 4, Final Nacional, Nivel II, Año 2002)
Sea ABC un triángulo con el lado AB de menor medida que el lado AC y el ángulo BAC el doble
que el ángulo BCA.
En el lado AC se toma un punto D tal que CD=AB.
Por B se traza una recta r que sea paralela a la recta AC y por A se traza una recta t que sea
perpendicular a la bisectriz del ángulo BAC.
Las rectas r y t se cortan en M.
Se pide:
a) Demostrar que el triángulo ABM es isósceles.
b) Demostrar que MD es paralela a BC.
Problema 3: (Problema 4, Final Nacional, Nivel II, Año 2001)
∧
ABC es un triángulo isósceles con AB=AC y tal que BAC = 30º .
D es el punto medio de BC, P es un punto de AD y Q un punto de AB distinto de B, tales que
PC=PQ.
∧
Calcular PQC .
Problema 4: (Problema 5, Final Nacional, Nivel I, Año 2002)
Sea ω un ángulo de vértice O que mide 60º. Con
centro en O se traza una circunferencia de radio
4cm. que corta a los lados del ángulo ω en los
puntos A y B.
Luego se ubica P sobre la recta OA (como
muestra la figura) de forma que el segmento PC
mida 4cm.
Calcular la medida del ángulo APB.
Problema 5: (Semifinal Nacional, Nivel III, Año 2006)
Sea ABC un triángulo tal que D es el punto medio del lado BC y se verifica que ADB = 45º y
ACB = 30º.
Se traza r la mediatriz de AD que corta a AC en K.
Hallar la medida del ángulo BKA.
Teoremas y problemas de Geometría
Problema 6: (Primera Instancia, Nivel III, Año 2006)
Sea ABC un triángulo acutángulo. CH es la altura del lado AB con H en el lado AB, AD es la
bisectriz del ángulo CAB con D en el lado BC, M es el punto de corte de CH con AD y AM=MB.
ˆB
ˆA = 3.AC
Los ángulos CBA y ACB cumplen que: 180° – CB
Calcular la medida del ángulo ADC.
Problema 7: (OMA-Problemas 6-128)
En el triángulo ABC, Â = 27º y B̂ = 42º . Sobre el lado AB se ubica el punto D de modo que
ˆD = 69º y sobre el lado AC se ubica el punto K tal que DK sea paralelo a BC.
AC
ˆK y AB
ˆK
Calcular las medidas de los ángulos CB