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Plan de clase (1/3)
Escuela: _____________________________________________
Fecha: ___________
Profesor (a). ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: MI
Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos.
Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver
problemas que impliquen obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.
1. Samuel vende arreglos florales y para esta semana ha conseguido las siguientes clases
de flores:
margarita
rosa
lirio
tulipán
Si en cada arreglo utiliza solamente dos tipos de flores, ¿cuántos arreglos diferentes
podrá elaborar? ___________________________________________
2. En una nevería se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limón, nuez y
chocolate. ¿De cuántas formas diferentes se puede servir un helado de dos sabores
distintos? __________________________________________
3. De los seis representantes de los grupos de primer grado, se va a formar una comisión
de tres alumnos que se entrevistará con el director para solicitarle una fiesta de fin de
curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede integrar la comisión? _______________
4. ¿Cuántos grupos de dos cifras se pueden hacer con las cifras 1, 2 y 3?
a) Si las cifras de cada grupo son diferentes.
b) Si las cifras de cada grupo pueden ser iguales.
Consideraciones previas:
El trabajo de este plan consiste en que, dado un conjunto de elementos, se formen todos los
subconjuntos posibles con un número determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden,
es decir, se trata de averiguar la cantidad de combinaciones.
En el primer problema hay un conjunto de cuatro elementos y hay que determinar subconjuntos
con dos elementos. Se trata de formar arreglos en los que se combinen solamente dos de los
cuatro tipos de flor. Dada esta condición, es muy probable que los alumnos se animen a
solucionar el problema a través de dibujos, escribiendo una por una las seis posibilidades o
bien utilizar un diagrama de árbol, cuidando que no se repitan las combinaciones.
rosa
margarita
lirio
tulipán
lirio
rosa
tulipán
lirio
tulipán
El número de arreglos que se pueden hacer con dos tipos de flor son seis.
Otro recurso que también podrían utilizar los alumnos y si no el profesor puede sugerir es un
arreglo rectangular:
margarita
X
X
X
Rosa
X
lirio
tulipán
X
X
X
X
X
X
X
X
Los problemas dos y tres tienen una estructura semejante al primero, solo que el número de
elementos de los conjuntos y de las agrupaciones cambian. Hay que subrayar que no importa
el orden de los elementos.
Es importante mencionar que en los tres primeros problemas, por la naturaleza del mismo o
porque es una condición, los elementos de los subconjuntos no se repiten, en cambio en el
problema cuatro se requiere obtener subconjuntos con repetición y sin repetición. Sin repetición
resultan tres grupos: (1, 2), (1, 3) y (2, 3) y con repetición seis: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)
y (3, 3).
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Plan de clase (2/3)
Escuela: _____________________________________________
Fecha: ___________
Profesor (a). ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: MI
Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos.
Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver
problemas que impliquen obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.
1. ¿Cuántas banderas diferentes de tres franjas, se pueden formar con los colores rojo,
azul, verde y blanco? Cada bandera debe tener tres colores, uno en cada franja.
________________________________________________________
2. Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres y cuatro
cifras distintas es posible formar? ___________________________________________
______________________________________________________________________
3. En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de
estacionamiento. Se han habitado dos departamentos, únicamente, el de Carmen y el
de Daniel, quienes pueden colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si
no está ocupado. ¿De cuántas formas diferentes pueden estacionarse? ____________
Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionar los
coches los tres vecinos? _______________________ ¿Resultan más o menos maneras
que en el caso anterior? __________________ ¿Cuántas maneras habrá de
estacionarse cuando todos los departamentos estén ocupados, si todos los vecinos
tienen coche? _______________________________
Consideraciones previas:
A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos sí importa el orden de los elementos
de los subconjuntos, por ejemplo, los números 357 y 573 son diferentes aunque se utilicen las
mismas cifras, por lo tanto, ahora se trata de averiguar la cantidad de variaciones, dado un
conjunto de elementos.
En el segundo problema se tiene un conjunto de cinco elementos (1, 3, 5, 7 y 9) y se trata de
determinar el número de subconjuntos diferentes (números) con tres y cuatro cifras. Una
primera pregunta que pueden hacer los alumnos es si es válido formar números con cifras
repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera, hay que decir que no, puesto que el problema no lo
considera. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es
decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se
aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Es posible que algunos alumnos
propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los alumnos no utilicen el
diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones, el profesor puede proponer un
diagrama en blanco para que vayan formando las cantidades, por ejemplo:
Además, es conveniente que el profesor plantee algunas cuestiones que permitan visualizar el
orden que tienen los números y la cantidad de ellos que se forman, tales como:
¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el primer nivel (centenas)?
¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el segundo nivel (decenas)?
¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el tercer nivel (unidades)?
Para encontrar los números de tres cifras el profesor puede sugerir el uso del diagrama de
árbol, para el caso de cuatro cifras será conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen,
obligándolos a que usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta
que pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el principio fundamental de
conteo:
El total de variaciones con cuatro cifras puede obtenerse con 5 x 4 x 3 x 2 = 120.
En los problemas donde no hayan usado multiplicaciones para encontrar el resultado, vale la
pena hacerlo para comprobar los resultados y para generalizar el procedimiento.
En el problema 3, dado un conjunto de cinco elementos (estacionamientos), se requiere formar
subconjuntos de dos, tres y cinco elementos (autos). Hay que señalar que en la última pregunta
se involucran todos los elementos del conjunto, es decir, se trata de buscar todos los arreglos
de cinco elementos, tomados de cinco en cinco. Este tipo de arreglos se llaman
permutaciones, contenido del siguiente plan.
No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan a profundidad los procesos que
siguieron los alumnos para resolver el problema.
En ninguno de los tres problemas se acepta repetición de elementos, una bandera no puede
tener dos franjas del mismo color, un número no debe tener cifras iguales y un auto no puede
estacionarse en dos lugares a la vez. Un problema adicional, que sí acepta la repetición de
elementos es el siguiente:
En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la
caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una
extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Plan de clase (3/3)
Escuela: _____________________________________________
Fecha: ___________
Profesor (a). ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 7
Eje temático: MI
Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos.
Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver
problemas que impliquen obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.
1. Andrea, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las tres amigas llegaron a la cita de
una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber
llegado.
2. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se pueden formar con las cifras 2, 3, 5 y
7? _____________________________ Con las mismas cifras, ¿cuántos números de
cuatro cifras se podrían formar pudiendo repetir cifras en un mismo número?
___________________________
3. Al final del curso escolar se organizará la escolta de la escuela “Vicente Guerrero”, para
ello se eligió a seis alumnos de segundo grado.
a) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse los alumnos en la escolta? _________
b) Si la abanderada es Mariana porque tuvo el promedio más alto, ¿de cuántas formas
pueden colocarse en la escolta los demás integrantes sin cambiar dicha posición?
_____________________________________
c) Juan tiene un volumen de voz fuerte, por lo que se decide ponerlo de sargento. Si
Mariana es la abanderada y Juan el sargento, ¿de cuántas maneras diferentes pueden
colocarse los otros cuatro integrantes? _________________________
Consideraciones previas:
A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos intervienen todos los elementos del
conjunto. A estos subconjuntos en donde sí importa el orden de los elementos y participan
todos los elementos del conjunto, se llaman permutaciones. Por ejemplo, en el primer
problema se trata de obtener el número de arreglos de un conjunto de tres elementos, tomados
de tres en tres. En el segundo hay un conjunto de cuatro elementos (2, 3, 5 y 7) y se trata de
calcular el número de permutaciones, es decir, la cantidad de números diferentes de cuatro
cifras. Finalmente, el tercer problema se puede interpretar como el número de permutaciones
de seis elementos tomados de seis en seis, de cinco elementos tomados de cinco en cinco y
de cuatro elementos tomados de cuatro en cuatro.
Si bien, un recurso gráfico como un diagrama de árbol es eficiente para calcular las
permutaciones de conjuntos con pocos elementos, la expectativa es que también se utilice el
recurso de la multiplicación, principalmente para obtener las permutaciones con repetición del
segundo problema y en los cálculos del tercer problema.
En la primera parte del tercer problema se trata de calcular las permutaciones de seis
elementos, la respuesta es 720 formas diferentes. Se espera que los alumnos noten este
hecho y traten de resolver por medio de la multiplicación 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. El
propósito principal es, por tanto, que los alumnos evolucionen en sus procedimientos hacia
formas más eficientes.
En el caso del inciso b), al tener una restricción (que Mariana sea abanderada), el número de
permutaciones se simplifica considerablemente, ya que sólo quedan cinco lugares por ocupar y
el total es 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Y en el caso del inciso c) el problema se reduce a acomodar
cuatro elementos en cuatro lugares, es decir, 24.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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______________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre