Download MAT.Modulo de Matematicas

Instituto Nacional de Formación Profesional
Módulo No.03
Tercera Edición
Grupo primario:
Matemáticas, estadísticas
y afines
Código:
2121009
Tegucigalpa, M.D.C.
Honduras, C.A.
Mayo, 2013
INSTITUTO NACIONAL DE FORMACIÓN PROFESIONAL
DIVISIÓN TÉCNICO DOCENTE
DEPARTAMENTO DE SERVICIOS TÉCNICOS
© Copyright
2011 (INFOP-DTD)
Tegucigalpa, M.D.C., Honduras
Los interesados pueden reproducir parte de esta publicación a condición de que citen la
fuente de origen.
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la correspondiente solicitud a INFOP, Apartado Postal 3235, Tegucigalpa, D.C.
Por ser un documento didáctico, es recomendable comprender el uso de los elementos que
lo integran.
Coordinación general:
al:
Edgardo Valenzuela Torres
Jefe División Técnico Docente
Elaboración de contenido técnico:
Amilcar Mauricio Moncada
Master en Matemáticas Educativa
Coordinación Misión Japonesa-INFOP:
Ryozo Hayashi
Asesoría y revisión metodológica:
Magda Sagrario Maradiaga
Coordinación técnico metodológica:
Magda Sagrario Maradiaga
Unidad de Material Didáctico
Transcripción y diagramación:
María Magdalena Sánchez
Honduras.- INFOP
Matemáticas
Tegucigalpa: INFOP, 2013
306 p (Matemáticas: módulo
instruccional, 03)
____ módulos
Matemáticas. Matemáticas aplicadas.
© Derechos reservados a favor del Instituto
Nacional de Formación Profesional.
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
ÍNDICE
Introducción ................................................................................................................
Objetivos .......................................................................................................................
4
5
Elemento de competencia No. 01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con Números Naturales, Enteros,
Racionales y Decimales ..........................................................................................................
6
Evaluación diagnóstica ..............................................................................................
Contenido teórico No. 01 Operaciones básicas con números naturales,
enteros, racionales y decimales................................................................................
Evaluación ....................................................................................................................
Contenido teórico No. 02 Operaciones básicas utilizando cantidades de
dinero.............................................................................................................................
Contenido teórico No. 03 Operaciones utilizando promedios ........................
Contenido teórico No.04 Potenciación de números racionales .....................
Evaluación ....................................................................................................................
7
11
154
160
170
176
192
Elemento de competencia 02
Resolver problemas con cálculos geométricos y trigonométricos...............................
195
Contenido teórico No.05 Operaciones y conversiones de unidades
de medida .....................................................................................................................
Contenido teórico No.06 Ángulos y triángulos .................................................
Contenido teórico No.07 El teorema de Pitágoras............................................
Contenido teórico No.08 Funciones trigonométricas .....................................
Evaluación ....................................................................................................................
196
211
222
227
237
Elemento de competencia 03
Resolver problemas que requieran el uso de ecuaciones y fórmulas técnicas
de la ocupación ..............................................................................................................
241
Contenido teórico No. 09 El plano cartesiano ....................................................
Contenido teórico No.10 Ecuaciones lineales cuadráticas ..............................
Contenido teórico No.11 Operaciones con razones y proporciones.............
Contenido teórico No.12 Operaciones utilizando porcentajes ......................
Contenido teórico No.13 Cálculo de tasas de producción...............................
Contenido teórico No.14 Construcción de gráficas .........................................
Contenido teórico No.15 La mejor alternativa .................................................
Evaluación ....................................................................................................................
Glosario ........................................................................................................................
Bibliografía ...................................................................................................................
242
245
275
281
285
288
296
298
301
306
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
3
Introducción
El Instituto Nacional de Formación Profesional (INFOP) es
una institución que dirige las políticas de formación profesional
encaminadas al desarrollo económico y social del país para todos los
sectores de la economía, proporcionando una opción de formación,
capacitación y certificación para enfrentar los retos de la sociedad
moderna. Su visión es ser la institución líder de Honduras en
formación profesional, reconocida por sus estándares internacionales
de eficacia, eficiencia y calidad, para contribuir al desarrollo del país
con equidad social.
Este manual es una introducción al estudio de temas de matemática que
será de mucha utilidad a los estudiantes de las diferentes ocupaciones
que el INFOP promueve y que está ligado a la metodología y forma
de trabajo practicado por cada unidad de formación que comprende
el INFOP. En él se exponen con propiedad definiciones matemáticas
básicas, se desarrollan ejemplos paso a paso y se resuelven problemas
aplicados al campo laboral útiles para desarrollar una forma de pensar
con lógica matemática, con aplicación práctica y dando solución a
variedad de problemas que requieren de análisis y uso de algoritmos
matemáticos propios para desenvolverse eficazmente en el trabajo.
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
OBJETIVOS
GENERALES
Al finalizar el módulo los participantes serán competentes para:
1.
2.
Comprender las propiedades y operaciones con números Naturales,
Enteros, Fracciones y Decimales.
Resolver problemas concretos de trabajo aplicando conceptos y
operaciones con números.
ESPECÍFICOS
Al finalizar los contenidos teóricos-prácticos los participantes serán
competentes en:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Efectuar operaciones básicas utilizando Números Naturales, Enteros,
Decimales y Racionales.
Efectuar operaciones y conversiones utilizando cantidades de dinero y
tiempo.
Calcular el promedio simple dada una lista de datos.
Calcular la potencia y raíz cuadrada de un número.
Convertir unidades de medida en los sistemas inglés y métrico.
Definir ángulo y su medida en grados y radianes.
Calcular el valor de funciones trigonométricas.
Resolver problemas aplicando el Teorema de Pitágoras.
Representar pares ordenados en el plano cartesiano.
Resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y despejar una variable en
términos de otras en fórmulas matemáticas y físicas básicas.
Calcular perímetros, áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas
Definir razón y proporción.
Calcular el medio o extremo desconocido en la igualdad de dos razones.
Calcular el tanto por ciento de una cantidad y resolver problemas con
porcentajes.
Calcular la tasa de producción de artículos, de costos y de ventas.
Resolver problemas que implican la mejor alternativa en un problema
común en el campo laboral.
Representar un conjunto de datos a través de gráficos de barra, circulares
y de línea.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
5
ELEMENTO DE
COMPETENCIA
6
01
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN OPERACIONES BÁSICAS
CON NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y DECIMALES.
Contenido teórico No.01
El conjunto de los Números
Naturales (N)
Contenido teórico No.02
Operaciones básicas utilizando
cantidades de dinero.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN
DiagnósticA
1/4
Instrucciones
Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición, luego marque la
evaluación del estudiante de acuerdo al criterio que el cuadro indica.
Criterios
Evaluación
De 0 a 10 es insatisfactorio
De 11 a 16 debe mejorar
De 17 a 22 es satisfactorio
De 23 a 25 es avanzado
1) El punto de la gráfica: 0
a)
1
3
b)
1
2
3
3) Número mayor que
a)
2
9
4) Número mayor que
a)
1
3
MÓDULO No.3
b)
3
2
3
2) El punto de la gráfica: 0
a)
2
es la fracción:
4
3
c)
1
2
3
d)
7
3
es la fracción:
3
4
c)
4
5
d)
1
4
3
9
c)
4
9
d)
5
9
1
4
c)
1
5
d)
1
6
4
:
9
b)
1
:
4
b)
MATEMÁTICAS
7
EVALUACIÓN
DiagnósticA
5) Número menor que
a)
15
6
2/4
8
:
3
b)
16
6
c)
17
6
d)
18
6
6) Divisores de 12 que son números primos:
a) 1 y 12
b) 2 y 3
c) 1 y 4
d) 4 y 6
7) Divisores de 6:
a) 0, 6, 12, 18
c) 1, 2, 3, 6
d) 12, 24
8) Descomposición de 24 en factores primos:
a) 2 x 12
b) 4 x 6
c) 3 x 8
d) 2 x 2 x 2 x 3
9) Descomposición de 60 en factores primos:
a) 2 x 5 x 6
b) 22 x 15
c) 3 x 4 x 5
d) 22 x 3 x 5
10) El mcm (15, 20) es:
a) 5
b) 30
c) 40
d) 60
11) El mcm (6, 9) es:
a) 3
c) 18
d) 36
12) El resultado de
a)
7
18
13) El resultado de
a)
8
6
9
b) 0, 12
b) 12
4 3
 es:
9 9
12
b)
18
c)
7
9
d)
12
9
c)
7
6
d)
6
15
1 5
 es:
3 6
b)
5
18
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN
DiagnósticA
3/4
14) El resultado de 3.2 + 5.9 es:
a) 9.1
b) 8.9
c) 8.1
d) 7.9
15) El resultado de 5.6 + 2.83 es:
a) 9.1
b) 8.9
c) 8.1
d) 7.9
16) El resultado de
a)
1
10
17) El resultado de
a)
4
0
3 1
 es:
5 2
b)
2
7
5 1

es:
6 6
4
b)
6
c)
2
3
d)
4
7
c)
4
12
d)
6
6
18) El resultado de 7.13 – 5.01 es:
a) 2.12
b) 2.88
c) 1.88
d) 1.12
19) El resultado de 12.3 – 5.1 es:
a) 17.2
b) 13.2
c) 7.2
d) 6.2
20) El resultado de
a)
8
15
21) El resultado de
a)
4
21
MÓDULO No.3
2 4
 es:
3 5
10
b)
12
c)
12
10
d)
15
8
c)
12
7
d)
21
4
1 4
 es:
3 7
b)
7
12
MATEMÁTICAS
9
EVALUACIÓN
DiagnósticA
4/4
22) El resultado de 2.4 x 1.8 es:
a) 43.2
b) 40.2
c) 4.32
d) 4.02
23) El resultado de 7.2 ÷ 0.6 es:
a) 120
b) 12
c) 1.2
d) 0.12
24) El suplemento de un ángulo de 600 es:
a) 1500
b) 1200
c) 900
d) 300
25) El complemento de un ángulo de 550 es:
a) 350
b) 450
c) 1250
d) 1350
10
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
1/144
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
Conjunto de los Números Naturales (N): Se entiende como el conjunto que sirve para contar,
es decir, para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto de objetos.
Se les conoce también como enteros positivos. Los números naturales son infinitos y se
representa por la letra N, tiene los siguientes elementos: N = {1,2,3,4,5,...} los puntos
suspensivos indican que los números naturales no tiene fin. El cero, se excluye del conjunto
de los números naturales, pero para formar cantidades que incluyen ese símbolo, se le agregó
el cero y se formó el Sistema de Numeración Decimal que más adelante se define.
NOTA
El número cero, podría traducirse como la ausencia de elementos en un conjunto,
fue el número que más tardaron en descubrir las primeras civilizaciones. La
idea más antigua de cero se remonta a civilizaciones como la Babilónica,
China e India. Los indúes se lo enseñan a los árabes y éstos a Europa de donde
llega a América. Pero es interesante que las civilizaciones Maya y Azteca en
nuestro contienente usarán un símbolo para el cero independiente de Europa
y Asia. Algunas representaciones que se utilizaron son las siguientes
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
Los números naturales son cardinales porque se usan para contar, por ejemplo: 3 láminas de
asbesto, 2030 tornillos, 50 bolsas de cemento, etc. Son ordinales por que sirven para ordenar
los elementos de un conjunto, por ejemplo: 1º (primero), 2º(segundo), 3º (tercero),…,16º
(decimosexto), etc.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
11
1
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
2/ 144
Representación de los naturales en la recta numérica
Los números Naturales se pueden representar en una recta numérica. Es una recta que se
ha dividido en unidades y a cada división de le asignó un único número natural. Incluyendo
el cero la representación es la siguiente:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
La flecha indica que los números son infinitos, el infinito se simboliza por .
Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos, en este caso se nombraron con
las letras mayúsculas P, C:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
C = {Natural n:n es un impar entre 2 y 8}
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, se le llama así porque
es un numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base
aritmética las potencias del número diez. El sistema usa los números dígitos o guarismos de
los números naturales agregándole el cero para representar cantidades. Para ilustrar el uso
de las potencias de diez, veamos el ejemplo usando notación desarrollada:
14,227 = (1x10,000)+(4x1,000)+(2x100)+(7x1)
= 10,000+4,000+20+7
= 14,227
12
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
3/ 144
Representaciones de los sistemas numéricos por distintas civilizaciones:
a) Egipcia
b) Griega: Usando el alfabeto griego en mayúsculas.
Griega: Usando el alfabeto griego en minúsculas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
13
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
c) Chino
d) Babilónico
e) Maya
f)
Numeración Indo-arábiga
Fuente de las imágenes: http://
thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/
Otros/SISTNUM.html
14
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
4/ 144
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
5/ 144
La imagen anterior muestra el desarrollo histórico de los números dígitos de los indúes
a los arábigos: Véase la lámina de derecha a izquierda, va desde el siglo VI al XVI
aproximadamente.
Por ejemplo del siglo X (siglo diez) al siglo XXI (siglo veintiuno) la diferencia entre los
símbolos es la siguiente:
Características del sistema de numeración decimal
a) Sistema de base 10: Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema
es diez, en donde cada 10 unidades forma otra de carácter superior, la cual se escribe a
la izquierda de la primera cifra llamada: unidades.
b) El sistema está constituido por: Cifras u Órdenes, Clases y Períodos
Cifra u orden: Es la posición que ocupa un dígito en una cantidad
Clase: Es la reunión de tres cifras u órdenes consecutivas
Período: Es la reunión de dos clases consecutivas
c) Posee 10 dígitos: Estos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar
infinitos números. Son de origen Indo-Arábigo, es decir inventado por los Hindúes y los
árabes en el siglo VI de nuestra era.
El sistema de numeración decimal nos permite leer y escribir cantidades dividiéndola en
periodos, clases y órdenes. En el cuadro sólo se muestran dos períodos, pero estos son
infinitos.
PERÍODOS DE LOS MILLONES
Clase de los miles
de millones
CMM
DMM
UMM
PERÍODOS DE LOS MILLARES O MILES
Clase de los cientos
de millones
Clase de los miles
Clases de las unidades
CMM
DM
UM
CM
DM
UM
C
D
U
Centenas
de Millón
Decenas
de Millón
Unidades
de Millón
Centenas
de Millar
Decenas
de Millar
Unidades
de Millar
Centenas
Decenas
Unidades
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
15
5
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
6/ 144
d) Es posicional: Cada cifra de una cantidad tiene un valor de acuerdo a la posición que
ocupa en el número, a esto se le llama valor relativo. El valor de cada cifra independiente
de la posición se le llama valor absoluto. Por ejemplo, en el número 2, 424:
POSICIÓN
UM
C
D
U
NOMBRE DE LA
POSICIÓN
UNIDADES DE
MILLAR
CENETAS
DECENAS
UNIDADES
2
2000
2
4
400
4
3
20
2
4
4
4
Número
Valor relativo
Valor absoluto
Para nombrar un número se separan las cifras en clases, es decir de tres en tres, por
ejemplo:
CM
DM
UM
C
D
U
CONTENIDO DE
MILLAR
DECENAS DE
MILLAR
UNIDADES DE
MILLAR
CENTENAS
DECENAS
UNIDADES
4
7
8
0
9
1
2
3
1
4
8
2
2
9
478, 092: Cuatrocientos setenta y ocho mil, noventa y dos
12, 312: Doce mil, trescientos doce
589: Quinientos ochenta y nueve
Escriba en números las siguientes cantidades:
Dos millones ciento veinte y tres mil doscientos cuarenta y cinco: 2, 123,
245
 Cuatro mil ciento catorce: 4, 114
 Quinientos seis mil cinco: 506, 005





OPERACIONES Y PROPIEDADES CON NÚMEROS NATURALES
1) Adición de Números Naturales
Definición
Sean a, b dos números cualesquiera llamados sumandos, la suma de a con b dará
otro número natural c y lo representaremos como: c = a + b, al resultado se le
llama suma o total.
16
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
7/ 144
Para efectuar sumas nos auxiliaremos de la tabla de posiciones:
a) 7,855 - 987 - 692 = 9,534
Posiciones
DM
Valores llevados
UM
C
U
2
2
1
7
8
5
5
9
8
7
Sumandos
SUMA O TOTAL
D
9
6
9
2
5
3
4
Proceso de solución
1º
Las cifras se colocan en las posiciones correspondientes: Unidades bajo
unidades, decenas bajo decenas y así sucesivamente.
5 + 7 + 2 = 14, son 14 unidades, se escribe se lleva 4 y se lleva el 1
1 + 5 + 8 + 9 = 23, son 21 decenas, se escribe el 3 y se lleva el 2
2 + 8 + 9 + 6 = 25, son 25 centenas, se escribe el 5 y se lleva el 2
2 + 7 = 9, son 9 miles
2º
3º
4º
5º
El resultado es nueve mil quinientos catorce unidades.
No es necesario estar haciendo tablas de posiciones en cada suma, sólo deben estar bien
ubicadas las cifras, por ejemplo:
b)
21,143 + 49 - 602 - 8,371 = 30,165
+
2 1
1
8
3 0
6
3
1
MÓDULO No.3
4
4
0
7
6
3
9
2
1
5
El resultado es treinta mil ciento sesenta y cinco
MATEMÁTICAS
17
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
8/ 144
Ejemplos de aplicación
a) Don Carlos es soldador, lo contratan para hacer 3 portones, tiene que comprar platinas
de 1” x 3” , 324 lances para el primero, 512 para el segundo y 115 para el tercero,
8
4
¿Cuántos lances en total compró?
Proceso de solución El problema se resuelve sumando los lances comprados
para cada protón:
+
3
5
1
9
2
1
1
5
4
2
5
1
Don Carlos compró en total 951 platinas de 1” x 3”
8
4
b) Una compañía constructora pinta 75 Km de carretera en Olancho, 54 en El Paraíso,
116 en Cortés, 91 en Ocotepeque y 44 en Comayagua, ¿Cuántos Km de carretera se
pintaron?
+

7
5
1 1
9
4
3 8
5
4
6
1
4
0
La compañía pintó en total 380 Km de carretera en el país.
Propiedades de la Adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades de cierre, asociativa,
conmutativa y elemento neutro.
1) De Cierre:
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, el resultado de c = a + b es otro
número natural.
Por ejemplo: 879 + 123 = 1002, la suma da otro número natural.
2) Asociativa:
Definición
Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, se cumple que:
(a+b)+c=a+(b+c).
18
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Contenido Teórico
No.01
Por ejemplo:
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
9/ 144
(3+5)+7=3+(5+7)
8 + 7 = 3 + 12
15 = 15
3) Conmutativa
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, se cumple que:
a+b=b+a
11+9 = 9+11
20 = 20
Por ejemplo:
4) Elemento Neutro
Definición
Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que:
a+0 = 0+a = a.
Por ejemplo:
123+0 = 0+123
123 = 123
EJERCICIO PRÁCTICO
1) Escriba en números las siguientes cantidades:
a) Cuarenta mil doscientos diez y nueve:
b) Cinco mil tres:
c) Ciento seis mil once:
d) Novecientos doce mil cuatrocientos treinta:
e) Ciento nueve mil dos:
f) Ocho millones doce mil quince:
g) Doce millones ciento cuarenta mil quince:
h) Un millón cincuenta:
i) Novecientos catorce mil dos:
j) Cuatrocientos un mil tres:
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
_______________
9
19
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
10/ 144
2) Separe las cantidades de tres en tres y escríbalos en palabras:
a) 1 015 004:____________________________________________________
b) 762: _________________________________________________________
c) 1346: ________________________________________________________
d) 905: _________________________________________________________
e) 20 034: ______________________________________________________
f) 27 450: ______________________________________________________
g) 306 014 020: _________________________________________________
h)
9 246 002: ___________________________________________________
i) 10 003: ______________________________________________________
j) 12 324: ______________________________________________________
k) 8 003 007: ___________________________________________________
l) 7 000 500: ___________________________________________________
m) 24 001 002: __________________________________________________
n) 70 234: ______________________________________________________
3) Efectúe las siguientes sumas.
a.
d.
g.
j.
3,640+223
1,972+1,875+172
2,695+13,647
46,324+7,692+263
b. 49+1,860
e. 420+360+280
h. 4,830+2,725+38
k. 8,420+7,693+26,311
c. 14,624+1793+13
f. 790+131+26+34
i. 7,940+1,860+26,315
l. 72,535+4,311+25,318
2) Resuelva los siguientes problemas de aplicación
a) Sara contó los tornillos contenidos en tres cajas y obtuvo las siguientes cantidades:
11,546; 13,114 y 8,972 respectivamente, ¿Cuántos tornillos contó?
b) Un carpintero fabricó un mueble de madera y gastó en total Lps. 3,600, si quiere
ganar Lps. 1,200 ¿A cuánto debe venderlo?
20
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
11/ 144
3) En la matemática también hay problemas para asombrarnos o divertirnos mentalmente
un poco, los siguientes ejemplos son una muestra de eso:
a) Suma curiosa: Observe que los números aparecen en secuencias del 1 al 35, y en cada
línea de números los resultados son iguales, ¿podría usted escribir tres líneas más?
b) El Hexágono y el cubo mágico: En cualquier dirección la suma del hexágono es 48 y
en el cubo cada cara suma 18, compruébelo!!
2) Sustracción de números Naturales
Definición
Sean a, b dos números cualesquiera llamados minuendo y sustraendo
respectivamente, la resta de a con b es otro número natural c y lo representaremos
como: c = a  b, con a mayor que b, al resultado se le llama diferencia.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1
21
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
a) 7,885-562 = 7,323
Para efectuar restas nos auxiliaremos de la tabla de posiciones:
Posiciones
UM
C
D
Valores prestados
7
0
7
8
5
3
8
6
2
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
U
5
2
3
Proceso de solución
1º
2º
3º
4º
Se efectúa la resta 5 – 2 = 3
Se efectúa la resta 8 – 6 = 2
Se efectúa la resta 8 – 5 = 3
Se efectúa la resta 7 – 0 = 7
b) 5,2451,968 = 3,277
Para efectuar restas nos auxiliaremos de la tabla de posiciones:
Posiciones
UM
Valores prestados
51 = 4
5
1
3
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
C
D
21 = 1 41 = 3
2
4
9
6
2
7
U
5
8
7
Proceso de solución
1º
2º
3º
4º
5 – 8, como 5 es menor que 8, se le quita una decena a 4, es decir 10 unidades
y se le suman a 5. Esto resulta en 15 – 8 = 7 y el 4 queda en valor de 3
3 – 6, como 3 es menor que 6, se le quita una centena a 2, o sea 10 decenas y
se le suma a 3. Esto resulta en 13 – 6 = 7 y el 2 queda en valor de 1
1 – 9, como 1 es menor que 9, se le quita una unidad de millar a 5, es decir
10 centenas y se le suma a 1. Esto resulta en 11 – 9 = 2 y el 5 queda en valor
de 4
Se efectúa la resta 4 – 1 = 3
El resultado es tres mil docientos setenta y siete.
22
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
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Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
13/ 144
c) La resta se efectúa sin necesidad del cuadro de posiciones, coloque bien las cifras y
reste correctamente 15,103  7,513 = 7,590
-
1 5 1 0 3
7 5 1 3
7 5 9 0
Proceso de solución
1º Se efectúa la resta 3 – 3 = 0
2º 0 – 1, tomo prestado una centena, que son 10 decenas, luego
10 – 1 = 9
3º Como quedan cero en las centenas, se toma una unidad de millar, que son
10 centenas, luego: 10 – 5 = 5
4º 4 – 7, se toma una centena de millar que son 10 unidades de millar y se
le suma a 4, luego: 14 – 7 = 7
5º Las centenas de millar quedan igual a cero.
Ejemplos de aplicación
a) Una ferretería recibió en el mes de febrero 23,350 bolsas de cemento para la venta, el
inventario para el mes de diciembre de ese mismo año es de 1,545 bolsas, ¿Cuántas
se han vendido?
Proceso de solución
Efectuar: 23,3501,545
2 3 3 5 9

1 5 4 5
2 1 8 0 5
Se vendieron 21,805 bolsas de cemento.
b) Para la construcción de un muro, Doña Ana compró 2,590 bloques, al terminar la
obra el albañil contó que le sobraban 175 bloques, ¿Con cuántos se construyó la
pared?
Proceso de solución
Efectuar: 2,590 175
-
2 4 9 0
1 7 5
2 4 1 5
MÓDULO No.3
La pared se construyó con 2,415 bloques.
MATEMÁTICAS
3
23
E
Elemento
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No.01
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Enteros, Decimales y Racionales
14/ 144
c) El Director del Instituto Central Vicente Cáceres quiere actualizar el inventario de
sillas por aula que tiene para que el mobiliario esté completo para los alumnos. El
dato que recibe es que hay 7684 sillas y una matrícula es de 8673 alumnos, ¿Cuántas
sillas le faltan?
Proceso de solución
Efectuar: 8,673 7,684.
-
8 6 7 3
7 6 8 4
0 9 8 9
El instituto tiene un faltante de 989 sillas.
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
La sustracción de números naturales cumple las propiedades de cierre, no es asociativa y no
es conmutativa, tiene elemento neutro.
1) De Cierre:
Definición
Sean a, b, dos números naturales cualesquiera, a, b con a > b, el resultado de
c = a - b es otro número natural.
Por ejemplo: 879 123 = 756 ,la suma da 756 que es otro número natural
2) No es asociativa:
Definición
Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, en general
(a - b) - c ≠ a - (b - c)
Por ejemplo:
(13 − 5) − 2 ≠ 13 − (5−2)
8 − 2 ≠ 13 − 3
6 ≠ 11
3) No es conmutativa
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, en general: a - b≠ b - a
Por ejemplo: 11 − 9 ≠ − 11
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2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
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Co
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No.01
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
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4) Elemento Neutro
Definición
Sean a un número natural cualesquiera, en general no se cumple que:
a-0≠0-a≠a
Por ejemplo: 123 −0 ≠0 − 123
EJERCICIO PRÁCTICO
1) Efectúe las siguientes restas
a. 3,640−223
b.
d. 1,972−1,875
e.
g. 2,695−13,647
h.
j. 46,324−7,692
k.
495−1,860
360−280
4,830−2,725
8,4207,693
c.
f.
i.
l.
14,624−1792
790−131
7,940−7,860
72,535−44,311
2) Resuelva los siguientes problemas
a) Un contratista necesita a 176 albañiles y 240 ayudantes para realizar una obra, sólo
ha encontrado la mitad de los albañiles y la tercera parte de los ayudantes, ¿Cuántos
albañiles y ayudantes le faltan por encontrar?
b) Un tapicero necesita para laborar en el mes 350 yardas de tela, en la bodega sólo
hay 180 yardas, ¿Cuántas debe comprar?
3) Igual que en la suma, en la resta hay problemas para asombrarnos o divertirnos
mentalmente un poco, los siguientes ejemplos son una muestra de eso:
a) Resta curiosa: Observe las dos restas dadas a continuación, examine con detalle las
posiciones de las cifras en cada caso, Encuentre los valores de los números x, y.
6,823 − 3,285 = 2,538
2,961−1,692 = 1,269
x−y
b) Ilusión: Cualquier persona que observe la ilustración,
pensará que de las tres figuras que ahí aparecen, el hombre
es el más alto. Mídalas y vea si hay diferencias.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
5
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Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
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C
Contenido Teórico
No.01
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Enteros, Decimales y Racionales
16/ 143
3) Multiplicación de Números Naturales.
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera llamados multiplicando y multiplicador
respectivamente, la multiplicación de a con b es otro número natural c y lo
representaremos como: c = a x b, al resultado se le llama producto.
a)
El producto como una suma: El producto de 9 x 5 puede entenderse como la suma
de 9 veces 5 o de 5 veces 9:
9  5  9
 9

9  9 9  45
9 se suma 5 veces
9  5  5
 5  5  5

5  5  5  5 5  45
5 se suma 9 veces
El 9 y el 5 son los factores llamados multiplicando y multiplicador, el 45 se llama
producto. El siguiente ejemplo muestra lo largo que esto pudiera ser:
146  75  146
 146 
 146
   146


  10,950
146 se suma 75 veces
75 146  75
 75
75  
75  10,950

75 se suma 146 veces
El proceso de sumar es muy extenso si queremos multiplicar, por ejemplo: Por eso hay que
buscar una forma más corta y eficiente de hacerlo y será necesario saber muy bien las tablas
de multiplicar. Para repasarlas se llenará el siguiente cuadro, algunos valores ya aparecen,
debe completar el cuadro con los valores de las multiplicaciones.
x
1
2
3
1
4
5
6
7
8
9
10
11
4
2
18
3
15
4
28
5
6
36
7
21
8
72
9
90
10
30
11
12
26
2
121
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MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
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Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
17/ 143
b) El proceso de multiplicar
Ejemplo 1: Efectuar 345x7
x
345 Multiplicando
7  Multiplicador
2415  Producto
Proceso de solución
1º Como el multiplicador es de una cifra, se coloca bajo las unidades del
2º
3º
4º
5º
multiplicando
Se multiplica 7 x 5 que es 35, se copia el 5 y se lleva 3
Se multiplica 7 x 4 que es 28, luego se suma, 28 + 3 = 31, se copia el 1
y se llevan 3
Se multiplica 7 x 3 que es 21, luego se suma 21 + 3 = 24
Como ya no hay más multiplicaciones se copia el 24
Ejemplo 2: Efectuar 9,127 x 76

9 1 2 7
7 6
5 4 7 6 2
 6 3 8 8 9
6 9 3 6
5 2
Proceso de solución
1º Se escribe 9127 y abajo se escribe el 76, el 6 debajo del 7 y el 7 debajo
del 2
2º Se multiplica 6 x 9127, el resultado es 54,762, la cifra se escribe tal
empezando por debajo del 6
3º Se multiplica 7 x 9127, el resultado es 63,889, la cifra se escribe
empezando por el 6
4º El 2 se baja
5º Se efectúa 6 + 9, el resultado es 15, se copia el 5 y se lleva 1
6º Se efectúa 1 + 7 + 8, el resultado es 16, se copia el 6 y se lleva 1
7º Se efectúa 1 + 4 + 8, el resultado es 13, se escribe 3 y se lleva 1
8º Se efectúa 1 + 5 + 3, el resultado es 9, no hay que llevar
9º Se copia el 6
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
27
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
18/ 143
Ejemplo 3: Siguiendo el proceso anterior, verifique: 825 x 623 = 513,975

8 2 5
6 2 3
2 4 7 5
1 6 5 0
4 9 5 0
5 1 3 9 7 5
Proceso de solución
1º
2º
3º
4º
Multiplique: 3 x 825 = 2475
Multiplique: 2 x 825 = 1650
Multiplique: 6 x 825 = 4950
Efectúe las sumas correspondientes
Ejemplo 4: Para multiplicar por la unidad seguida de ceros, se agregan el número de
ceros que tenga la unidad al otro factor.



132 x 1000 = 132,000: En este caso se copió el 132 y se le agregaron tres
ceros.
100 x 498 = 49,800: En este caso se copió el 498 y se le agregaron dos ceros.
100 x 100000 = 10,000,000: En este caso se copia el 1, se copian los ceros de
los factores.
Ejemplos de aplicación
a)
Un abogado debe hacer un trámite para una empresa y debe desplazarse de Tegucigalpa
hasta Ocotepeque, si cobra Lps. 8.00 por Km recorrido, ¿Cuánto recibirá de viáticos si
la distancia aproximada entre las ciudades es de 354 Km?
Proceso de solución
1º 354 Km de ida más la misma cantidad de regreso son:
2 x 354 = 708 Km
2º 708 Km x 8 = 5564
3º El abogado recibirá Lps. 5564 de viáticos
28
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
b)
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
19/ 143
Vea la siguiente imagen y conteste la pregunta:
Son cuatro perros por cuatro patas cada perro, el resultado es: 4 x 4 = 16 patas.
Ahora suponga que son 475 perros y 10 de ellos sólo tiene tres patas, ¿Cuántas patas
se contarían?
Proceso de solución
1º 475 x 4 = 1900 patas
2º 10 x 1 = 10 patas, porque le falta una pata a 10 perros
3º 1900 – 10 = 1890 patas que se contarían
c)
En la comunidad de El Bambú, donde vive Miguel, las 15 familias del lugar se
organizaron para reforestar la zona, cada familia plantará 75 árboles trabajando los
fines de semana de agosto, Al final del mes, ¿Cuántos árboles sembraron?
El problema se resuelve multiplicando 15 x 75 = 1125 árboles, luego la comunidad
sembró en total 1,125 árboles en el mes.
Propiedades de la multiplicación de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades de cierre, asociativa, conmutativa,
elemento absorbente y elemento neutro.
1) De Cierre
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, el resultado de c = a x b es otro número
natural.
Por ejemplo: 879 X 123 = 108,117, el producto da otro número natural.
2) Asociativa
Definición
Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, se cumple que:
(a xb) xc = a x (b xc)
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
29
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E
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de
Competencia No.01
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Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
3  5 7  3  5  7 
Por ejemplo:
15  7  3  35
105  105
3) Conmutativa
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, se cumple que:
a xb = b xa
Por ejemplo:
11 9  9 11
99  99
4) Elemento Neutro
Definición
Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que:
a x1 = 1 xa = a, es decir que todo número por uno es igual al mismo número
Por ejemplo:
123 1  1123
123  123
5) Elemento Absorbente
Definición
Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que:
a x 0 = 0 x a = 0, es decir que todo número multiplicado por cero es igual a cero
Por ejemplo:
30
3
123  0  0 123
00
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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El
Elemento
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
21/ 143
EJERCICIO PRÁCTICO
1) Efectúe las siguientes restas
a.
d.
g.
j.
640 x 23
1,972 x 75
100 x 13,647
6,324 x 7,692
b.
e.
h.
k.
95 x 860
360 x 280
30 x 300
8,420 x 7,693
c.
f.
i.
l.
624 x 179
99 x 10000
7,940 x 7,940
535 x 44,111
2) Resuelva los siguientes problemas
a) Un contratista necesita 9,600 ladrillos para la construcción de una casa, si se van
a construir 76 casas del mismo tamaño, ¿Cuántos ladrillos necesitará comprar?
b) Vea la siguiente imagen y conteste la pregunta:
c) Un operador de sierras eléctricas corta en promedio 1250 piezas en 1 hora, si su
horario de trabajo es de 8:00 a.m. a 4:00 p.m., descansando para almorzar de
12:00 m. a 1:00 p.m. ¿Cuántas piezas corta al día?, ¿Cuántas en 20 días?
3) Multiplicaciones curiosas: Haga dos líneas más de las operaciones mostradas en las
figuras:
123456789 x 9 = 111111111
9 x 9 + 7 = 88
123456789 x 18 = 222222222
9 x 98 + 6 = 888
123456789 x 27 = 333333333
9 x 987 + 5 = 8888
123456789 x 36 = 444444444
9 x 9876 + 4 = 88888
123456789 x 45 = 555555555
9 x 98765 + 3 = 888888
123456789 x 54 = 666666666
9 x 987654 + 2 = 8888888
123456789 x 63 = 777777777
9 x 1 + 2 = 11
9 x 12 + 3 = 111
9 x 123 + 4 = 1111
9 x 1234 + 5 = 11111
9 x 12345 + 6 = 111111
9 x 123456 + 7 = 1111111
9 x 1234567 + 8 = 11111111
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
31
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Elemento
de
Competencia No.01
C
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No.01
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
22/ 143
4) División de naturales
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera llamados dividendo y divisor
respectivamente, con b≠ 0, la división de a con b es otro número natural c tal que
a = b x c + r, donde c es el cociente y r el residuo.
a) El cociente por agrupamiento
Supongamos que se tiene 30 flechitas y se quieren agrupar de cinco en cinco, esto
equivale a encontrar el cociente de 30 ÷ 5. Se busca el número de grupos de 5
unidades que se pueden formar con 30 unidades:
30  


 


 


 


 


 


  6 grupos
1 grupo
1 grupo
1 grupo
1 grupo
1 grupo
1 grupo
Por lo tanto, 30 ÷ 5 = 6, ya que 30 = 6 x 5. Los números 30 y el 5 son los factores
llamados dividendo y divisor, al 6 se le llama cociente. Como no sobró ninguna flechita
por agrupar, se dice que el residuo es cero.
Ahora, Se quieren repartir 35 flechitas entre 4 niños, la distribución sería la siguiente:
35  
 
 
 

1 grupo
1 grupo
1 grupo
1 grupo

  4 grupos de 7 flechitas, sobrando 3
Sobran 3
En este caso 35 = 8 x 4 + 3, esto significa que se les reparten 8 flechitas a cada niño
y sobran 3, el residuo es 3.
El siguiente ejemplo muestra lo largo que esto pudiera ser:

 

 

  


72, 000  75  




1 grupo de 75
1 grupo de 75
1 grupo de 75
1 grupo de 75
 960 grupos de 75
El proceso de agrupar es muy extenso si queremos dividir cantidades grandes. Es por
eso que hay que buscar una forma más corta y eficiente de hacerlo, a esto se le conoce
como el algoritmo de la división.
El algoritmo de la división, es el proceso de dividir un número entre otro para calcular
el cociente y determinar el residuo. Si el residuo es cero se dice que la división es exacta,
en caso contrario se le llama inexacta.
32
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
23/ 143
Para practicar divisiones mentalmente, llene el siguiente cuadro, algunas líneas están
llenas:
÷
60
120
180
240
300
÷
100
200
300
400
500
b)
1
2
3
4
5
120
60
40
30
24
5
10
20
50
100
40
20
10
4
2
÷
120
240
360
480
600
÷
36
72
108
144
180
2
4
6
8
10
180
90
60
45
36
1
2
3
4
6
144
72
48
36
24
Ejemplo 1: División por una cifra, efectuar
Comprobación:
Dividendo = Cociente x Divisor + Residuo
192 = 3 x 64 + 0
MÓDULO No.3
Proceso de solución
1º El divisor 3 es mayor que el 1 del
dividendo 192, se toman dos cifras:
19.
2º Se busca un número que multiplicado
por 3 resulte 19 o lo más cerca de
19. El número es 6, 3 x 6 = 18.
3º El 18 se le resta a 19, el resultado es
1.
4º Se baja la siguiente cifra que es 2 y
se forma el número 12.
5º Se busca un número que multiplicado
por 3 resulte 12 o la más cerca de
12, el número es 4, 3 x 4 = 12.
6º El 12 se le resta a 12, el resultado es
0.
7º Como ya no hay cifras del dividendo
que bajar y el residuo es cero, allí
termina la división.
MATEMÁTICAS
33
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 2:
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
División por dos cifras: 62,253 ÷ 83
Proceso de solución
El divisor 75 es mayor que el 62 del dividendo
6,225, se toman tres cifras: 622
2º Se busca un número que multiplicado por 75
resulte 622 o lo más cerca de 622. El número es
8, 75 x 8 = 600
3º El 600 se le resta a 622, el resultado es 22
4º Se baja la siguiente cifra que es 5 y se forma el
número 225
5º Se busca un número que multiplicado por 75
resulte 225 o lo más cerca de 225, el número es
3, 75 x = 225
6º El 225 se le resta a 225, el resultado es 0
7º Como ya no hay cifras del dividendo que bajar y
el residuo es cero, allí termina la división
1º
83
75 6225
600
225
 225
000
Comprobación:
6225 = 75 x 83 + 0
Ejemplo 3: División por tres cifras: 8,375 ÷ 125
Proceso de solución
1º
El divisor 125 es menor que el 837 del
dividendo 8,375
2º
Se busca un número que multiplicado por
125 resulte 8375 o lo más cerca de 8375.
El número es 6, 125 x 6 = 750
3º
El 750 se le resta a 837, el resultado es
87
4º
Se baja la siguiente cifra que es 5 y se
forma el número 875
5º
Se busca un número que multiplicado por
125 resulte 875 o lo más cerca de 875, el
número es 7, 125 x 7= 875
6º
El 875 se le resta a 875, el resultado es 0
7º
Como ya no hay cifras del dividendo que
bajar y el residuo es cero, allí termina la
división
34
3
MÓDULO No.3
67
125 8375
750
875
 875
000
Comprobación:
8375 = 125 x 67 + 0
MATEMÁTICAS
24/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 3:
25/ 143
División con residuo distinto de cero: 987 ÷ 41
Proceso de solución
1º El divisor 41 es menor que el 98 del dividendo
987.
2º Se busca un número que multiplicado por 41
resulte 98 o lo más cerca de 98. El número es 2,
41 x 2 = 82.
3º El 82 se le resta a 98, el resultado es 16.
4º Se baja la siguiente cifra que es 7 y se forma el
número 167.
5º Se busca un número que multiplicado por 41
resulte 167 o lo más cerca de 167, el número es
4, 41 x 4 = 164.
6º El 164 se le resta a 167, el resultado es 3.
7º Como ya no hay cifras del dividendo que bajar,
allí termina la división.
24
41 987
82
167
 164
003
Comprobación:
987 = 41 x 24 + 3
Ejemplos de aplicación
a) Para una mejor distribución, un bodeguero reúne las bolsas grandes, medianas y
pequeñas en grupos de 10 paquetes de cada tamaño. Si tiene 955 bolsas pequeñas,
1230 medianas y 642 pequeñas, ¿Cuántos grupos de cada tamaño de bolsa tendrá?,
¿Cuántas bolsas de cada tamaño le sobran?
Proceso de solución
1º 955 bolsas pequeñas en grupos de 10 es: 955 ÷ 10 = 95 grupos,
sobrando 5 bolsas.
2º 1230 bolsas grandes en grupos de 10 es: 1230 ÷ 10 = 123 grupos, no
sobran bolsas.
3º 642 bolsas en grupos de 10 es: 642 ÷ 10 = 64 grupos, sobrando 2
bolsas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
35
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
26/ 143
b) Don Carlos pagó a un carpintero Lps. 21,600 por la instalación de 18 metros cuadrados
de piso de madera, ¿Cuál es el valor de cada metro cuadrado de piso instalado?, le
quedan 23 metros cuadrados de piso sin instalación, ¿Cuánto le falta por gastar aun?
Proceso de solución
Se divide 21,600 ÷ 18, esto es 1200. El metro cuadrado de
instalación de piso cuestan Lps. 1,200.
2º 1200 x 23 = 27,600. Don Carlos gastaría Lps. 27,600 en instalarle
piso de madera a los 23 metros cuadrados restantes.
1º
c) Un juego de divisiones: El profesor le pide a Carlos que piense en un número de tres
cifras, Carlos piensa en 234. Le pide que escriba dos veces ese número así: 234234.
Luego le solicita que haga las siguientes divisiones:
 234234 ÷ 7 = 33462, este cociente se divide con 11
 33462 ÷ 11 = 3,402, este cociente se divide con 13
 3402 ÷ 13 = 234
El último cociente es el número pensado. ¿Curioso no es cierto? Repita el juego con sus
compañeros de clase, se pide el número de tres cifras y se efectúan las divisiones. Si el
instructor lo permite pudiera usarse calculadora para dividir rápidamente.
d) Piense en un número de cuatro cifras, divida este número con 10 hasta que el residuo
sea menor que el divisor. Escriba los residuos de abajo hacia arriba y observe el número
que se forma. Vea el ejemplo con el número 7354 para que juegue con otros valores.
7354
4
10
735
5
10
73
3
10
7
Propiedades de la división de Números Naturales
La división de números naturales cumple las propiedades de, asociativa, conmutativa,
elemento absorbente y elemento neutro. No cumple la propiedad de cierre.
36
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
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Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
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Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
27/ 143
1) No es cerrada
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, el resultado de c = a ÷ b no siempre
es otro número natural
Por ejemplo: 879 x 23 = 23 x 38 + 5, como el residuo es 5, el cociente no es otro
número natural. Si el residuo es cero, el cociente si es natural, pero esto no sucede en
todos los casos.
2) No es Asociativa
Definición
Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, en general se cumple que:
(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c).
80  10   2  80  10  2 
Por ejemplo:
8  2  80  5
4  16
3) No es Conmutativa
Definición
Sean a, b dos números naturales cualesquiera, en general se cumple que:
a ÷ b ≠b ÷ a
Por ejemplo: 20 ÷10 ≠ 10 ÷ 20
4) Elemento Neutro por la derecha
Definición
Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que: a÷1 = a, es decir que
todo número dividido por uno es igual al mismo número. Pero no se cumple a la
inversa, en general 1÷a≠ a
Por ejemplo:
123  1  123
Sin embargo 1 ÷ 123  123
123  123
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
37
7
E
Elemento
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Competencia No.01
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
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Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
28/ 143
5) La división por cero no está definida
Definición
Sean a un número natural cualesquiera, la siguiente división:
a÷0 No está definida, porque no existe un número natural c tal que
a = 0 x c ya que todo número multiplicado por cero es igual a cero.
Por ejemplo: 2345 ÷ 0 = No definida, porque no hay un número natural c tal que
2345 = 0 x c
6) La división indeterminada.
Definición
La división 0 ÷ 0: Este es un caso particular de la división por cero, se le denomina
división indeterminada, porque como todo número por cero es igual a cero, hay
infinitos valores que pudieran ser usados, eso significa que la división no se puede
determinar.
Si dividiéramos en una calculadora, 2345 ÷ 0 y 0 ÷ 0,
veríamos en la calculadora la frase Math ERROR, eso
significa que no se puede realizar la división, en una
CASIO se vería así:
5) peraciones combinadas con naturales
a)
Sin signos de agrupación.
Para ilustrar este tipo de operaciones se resolverá el siguiente problema:
Un juego de azar consiste en lanzar una moneda al aire, si cae cara la persona gana Lps.
40.00 y si cae escudo la persona pierde Lps. 35.00. Para ingresar al juego la persona
paga Lps. 20.00. ¿Cuánto ha ganado o perdido un jugador si en diez lanzamientos ha
caído lo siguiente?
Cara
Escudo
38
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
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Co
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Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
29/ 143
Proceso de solución
1. Se plantea la operación que resuelve el problema:
Número de caras x 40 – Números de escudos x 35 – pago de ingreso
2. Se resuelve la operación tal como se indica paso a paso, como han caído 6 caras y
4 escudos la operación es la siguiente: 6 x 40 – 4 x 35 – 20.
3. Se resuelve la operación combinada:
6
 40  4
 35  20  Se efectuan las multiplicaciones
Se multiplica
Se multiplica
240
 140

  20
 Se efectuan la resta
Se resta
100
20



 Se efectuan la resta
Se resta
 La ganancia es 80 lempiras
80

Resultado
Suponga ahora que los resultados de los lanzamientos fueron los siguientes:
Cara
Escudo
Proceso de solución
1. En este caso la operación es: 4 x 40 – 10 x 35 – 20.
2. Se resuelve la operación combinada.
4 40  10
35  20  Se efectuan las multiplicaciones


Se multiplica
Se multiplica
160 
20

350

 Se suma lo pagado
Se suma lo pagado
160
 370


 Se suma lo pagado
La diferencia es negativa
 210
MÓDULO No.3
 Ha perdido 210 lempiras
MATEMÁTICAS
39
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
El proceso para resolver operaciones de este tipo se enuncia a continuación:
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas sin signos de agrupación se hace lo
siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Primero se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
3. Por último se efectúan las sumas y restas.
Ejemplo 1: Efectúe 2 + 5 x 4 – 12 ÷ 2 + 7
Proceso de solución:
2  5 4  12
27
Se multiplica
Se divide
2 20  6  7
Se suma
22
 6  7
Se res ta
16
7
Se suma
23

Resultado
Ejemplo 2: Efectúe 8 + 20 ÷ 4 – 12 + 6 x 2 – 7.
Proceso de solución:
8  20
  4  12  6 2  7
Se divide
Se multiplica
8 5  12  12  7
Se suma
13
12  12  7


Se resta
1 12  7
Se suma
13
7
Se resta
6

Resultado
40
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
30/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
31/ 143
Ejemplo 3: Efectúe 10 + 100 ÷ 20 – 200 ÷ 10 – 10
Proceso de solución:
10  100
20  10



Se divide
10
  5  10
Se suma
15
10


Se resta
5

Resultado
Ejemplo 4: Efectúe 8 + 20 ÷ 4 – 12 + 6 x 2 – 7
8  20
  4  12  6 2  7
Se divide
Se multiplica
8 5  12  12  7
Se suma

13
12  12  7

Se resta
1 12  7
Se suma
13
 7
Se resta
6

Resultado
b) Con signos de agrupación.
El proceso para resolver operaciones de este tipo se enuncia a continuación:
Regla básica: Para resolver operaciones combinadas con signos de agrupación se
hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Se resuelven primero las operaciones que están en los paréntesis .
3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
3. Por último se efectúan las sumas y restas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
41
1
E
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C
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Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 1: 4 x (12 – 8) + 5 – 3 x (7 – 5)
Proceso de solución:




4  12
8
5
3
7
5








 
Se
resta
Se


 resta 
4 4  5  3 2
Se multiplica
Se multiplica
16
 56
Se suma
21
 6
Se resta
15

Resultado
Ejemplo 2: 3 x 4 + [2 x (30 – 5 x 4)]
Proceso de solución:
  
  
3  4   2   30  5 4   
Se multiplica  
 
  
  
  
 20   
3  4   2   30
 


   Se resta   
 
 
3  4   210  
  Se multiplica  


3   4 20 
 Se suma 
3 24
Se multiplica
72

Resultado
42
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
32/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
33/ 143
Ejemplo 3: 12 –  4 + [4 x (30 ÷ 5 – 4)]
Proceso de solución:
  
  
12  4   4   30
  5  4  

  
   Se divide
  
  
12  4   4   6 4   
   Se resta   
 
 
12  4   4 2  
  Se multiplica  


12   4 8 
 Se suma 
12
12


Se resta
0

Resultado
EJERCICIO PRÁCTICO
1) Efectúe las siguientes restas
a. 640 ÷ 20
b.
d. 1,972 ÷ 75
e.
g. 10,608 ÷ 136
h.
j. 6,324 ÷ 0
k.
95 ÷ 8
4200 ÷ 28
300 300
16,416 ÷ 36
c.
f.
i.
l.
624 ÷ 12
9900 ÷ 100
7940 ÷ 7,940
39664 ÷ 535
2) Resuelva los siguientes problemas
a) Para construir un metro cuadrado de pared de bloque se necesitan aproximadamente
13 bloques, si un albañil pegó 1,560 bloque, ¿Cuántos metros cuadrados de pared
construyó?
b) En la compra de 176 bolsas de cemento Doña Ana pagó Lps. 25,520.00, ¿Cuál es
el costo de cada bolsa de cemento?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
43
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
34/ 143
c) Pinte la siguiente figura usando los colores azul, rojo, verde y amarillo, de tal forma
que dos colores no queden juntos.
44
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
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Co
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Enteros, Decimales y Racionales
35/ 143
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Breve reseña histórica de los números enteros
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma
y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre
de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban
una cantidad de unidades no divisibles. No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron
aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento
como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de
ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente
por los matemáticos de la India.
Desde épocas remotas, 400 a. c., los chinos realizaban sus cálculos aritméticos utilizando
pequeñas varillas. En la siguiente lámina se muestran los símbolos chinos del 1 al 9 que
utilizaban.
Posición
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Unidades
Cientos
Diez Miles
Dieces
Miles
Para representar un número alternaban el uso de estos símbolos tal como se ilustra con
y tachaban la representación
la representación del número 94,571:
del número para los negativos, por ejemplo -806:
Los números negativos y su uso
Definición
Los números negativos son los opuestos de los números positivos, se utilizan
para representar cantidades menores que cero. El cero no tiene opuesto.
Por ejemplo para poder representar cantidades tales como: temperaturas bajo cero, pérdidas
en los negocios, distancias que están por debajo del nivel del mar, partículas que desaceleran
y otras similares se usan los negativos.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
45
5
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
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Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
36/ 143
En la recta numérica la representación sería la siguiente:
a) El opuesto de 3 es -3:
-3
-2
-1
0
1
2
3
Observe que el –3 y el 3 están a la misma distancia del cero.
b) El opuesto de −6 es 6.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Observe que el –6 y el 6 están a la misma distancia del cero.
Ejemplos del uso de los negativos
1)
46
4
El siguiente mapa muestra el pronóstico de la temperatura de la tierra para el 30 de
noviembre de 2012.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
37/ 143
La convención utilizada es que para nombrar temperatura mayores que cero se utilizan
números positivos y las temperaturas menores que cero se representan con números
negativos, tanto en grados Centígrados como en grados Fahrenheit. En el mapa se usan
colores para representar el grado de calor o de frío.
El instrumento para medir temperatura se llama termómetro, estos están hechos
de mercurio, un metal líquido sensible a los cambios de temperatura. Los siguientes
ejemplos nos muestran diversas temperaturas medidas con un termómetro:
Tenemos las temperaturas de las siguientes ciudades:
Ciudad
Temperatura ayer
Temperatura hoy
Cambio de temperatura
Lempira
26°
28°
+3° (positivo 3 grados)
La Esperanza
18°
15°
-3° (negativo 3 grados)
La Ceiba
36°
36°
0° (no hay cambios)
Proceso de solución
1º Como la temperatura en Lempira va de menor a mayor, entonces:
De 250 C cambia a 280 C

La diferencia es de  30
2º Como la temperatura en La Esperanza va de mayor a menor, entonces:
De 180 C cambia a 150 C

La diferencia es de 30
3º Como la temperatura en Ceiba no cambia, entonces:
De 360 C permanece en 150 C

No hay cambios , la diferencia es de 00
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
47
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
38/ 143
En las siguientes figuras de termómetros se marcarán determinadas temperaturas, los
tipos van desde los convencionales hasta los electrónicos
3) Un buzo profesional está midiendo los cambios en las corrientes internas del mar, para eso
se está sumergiendo a determinadas profundidades. Ha hecho los siguientes descensos:
bajo 20m y luego subió 12m, desde esa posición bajó 3m y subió 8m. Por último desde
esa posición subió 2m y bajó 13m. ¿A qué profundidad se encuentra? La convención a
utilizar es la siguiente: bajar = signo -, subir = signo +
48
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
39/ 143
Las posiciones mostradas son las siguientes:
Proceso de solución
1º
2º
3º
4º
5º
6º
Bajo 20 metros, está en la posición -20, se lee negativo 20.
Subió 12m, es decir -20 + 12 = -8, está a una profundidad de 8 m.
Bajo 3 m, es decir –8 + (-3) = -11 , está a 11m de profundidad.
Subió 8m, es decir –11 + 8 = -3, está a 3m de profundidad.
Subió 2m, es decir –3 + 2 = -1, está a 1m de profundidad.
Bajo 13m, es decir –1 + (- 13 ) = -14, está a 14 metros de profundidad .
Definición del conjunto de los números enteros
El Conjunto de los Números Enteros (Z): Es el conjunto que está formado
por la unión de los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los
elementos de cada uno de estos subconjuntos es el siguiente:
Enteros positivos: N+ = {1,2,3,4,5,...}
El conjunto unitario cero = {0}
Enteros negativos: N− = {-1, -2, -3, -4, -5,...}
En símbolos se define así: N = N− U{0}UN+
Representación gráfica de enteros
Para representar enteros en la recta numérica se divide la recta en unidades tal como se hizo
para representar naturales, el cero divide los enteros positivos de los negativos. Los positivos
van de uno en uno a la derecha del cero y los negativos van de menos uno en menos uno a la
izquierda de cero. Los negativos van precedidos del signo menos.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Representación de subconjuntos de números enteros
Ejemplo1: A = {−6, −1, 0, −4, 5, 7}
-6
-5
-4
-3
MÓDULO No.3
-2
-1
0
1
2
MATEMÁTICAS
3
4
5
6
7
49
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 2:
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
40/ 143
B = {−6, −4, −2, 0, 2,4,6}, son los enteros pares de -6 a 6.
Ejemplo 3: C = {zN: –5 z <4}, son los enteros entre -5 y 4. El símbolo  significa
que incluye al -5 y el símbolo < significa que no incluye al 4.
El valor absoluto de números enteros
Para ilustrar el concepto de valor absoluto de un número entero, supóngase que hay dos
autos que parten de un mismo punto, viajan en sentido opuesto a una velocidad de 70 Km/h,
eso significa que en una hora recorren 70 Km. Represente en la recta numérica la distancia
recorrida de los autos después de 3 horas.
La imagen nos muestra que a las 3 horas ambos autos han recorrido 210 Km, sea que lo
hagan en el sentido de los números positivos o de los números negativos. Hay cantidades que
son siempre positivas, como en este caso la distancia recorrida por un auto. Hay otras que
también lo son, por ejemplo: el tiempo, el perímetro, el área de una figura geométrica y el
volumen de los cuerpos.
Definición de valor absoluto:
a) De un entero positivo: Es el mismo entero positivo dado.
b) De cero: Es cero.
c) De un entero negativo: Es el opuesto del entero negativo dado, es decir un
entero positivo.
El valor absoluto de un entero a se representa por |a|
50
5
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
41/ 143
Calcule el valor absoluto de los siguientes números enteros:
a) |89| = 89
Como el entero es positivo, el valor absoluto es el lmismo
entero dado.
b. |–356| = 356
Como el entero es negativo, el valor absoluto es el opuesto
del enetero dado.
c. |0| = 0
El valor abasoluto de cero es cero.
d. |1,489| = 1,489
Como el entero es positivo, el valor absoluto es el mismo
entero dado.
e. |–233,196| = 233,196
Como el entero es negativo, el valor absoluto es el opuesto
del numero dado.
Operaciones con números enteros
a) Adición de Números Enteros de igual signo.
Regla
Para sumar enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los enteros y
se copia el signo que tengan. Si los enteros son positivos, la suma es positiva. Si los
enteros son negativos, la suma es negativa
1) Ejemplo de suma de negativos: (–21,143) + (–49) + (–602) + (–8,371).
 2 1 1 4 3

4 9
6 0 2


8 3 7 1
3
0 1 6
MÓDULO No.3
5
Proceso de solución
1. Se ubican los números en las posiciones correctas.
2. Se suman los valores absolutos de los enteros, es
decir como si fueran positivos.
3. Al resultado de la suma se le agrega el signo de los
enteros, en este caso el negativo.
4. El resultado es negativo treinta mil ciento sesenta y
cinco.
MATEMÁTICAS
51
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
2) Ejemplo de suma de positivos: 123 + 321 + 45 + 97.
Proceso de solución:
1. Es el mismo proceso de suma de naturales, se ubican los
números en las posiciones correctas
2. Se suman los enteros positivos
3. Como los números son positivos, no es necesario agregarle
el signo + al resultado
4. El resultado es positivo quinientos ochenta y seis
1 2 3

3 2 1
4 5
9 7
5 8 6
3) Ejemplo de suma de negativos: (–143) + (–89) + (–712) + (–94)




1 4 3
8 9
7 1 2
9 4
1 0
3 8
Proceso de solución:
1. Se ubican los números en las posiciones correctas
2. Se suman los valores absolutos de los enteros, es decir
como si fueran positivos
3. Al resultado de la suma se le agrega el signo de los enteros,
en este caso el negativo
4. El resultado es negativo mil treinta y ocho
Adición de números enteros de distinto signo
Regla
Para sumar enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los enteros y
se copia el signo que tengan. Si los enteros son positivos, la suma es positiva. Si los
enteros son negativos, la suma es negativa.
1) Ejemplo de suma de negativos: 143 + (–49).
143
 49
94
52
5
Proceso de solución:
1. Se escribe primero 143, porque es el entero de mayor valor
absoluto, luego se escribe – 49 porque es el de menor valor
absoluto.
2. Se restan los números y la diferencia será positiva porque 143
es positivo.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
42/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
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Enteros, Decimales y Racionales
43/ 143
2) Ejemplo de suma de un negativo con un positivo: 123 + 321 + 45 + 97
 4919
2456
Proceso de solución
1. Se escribe primero - 4919, porque es el entero de mayor
valor absoluto, luego se escribe 2456 porque es el de menor
valor absoluto.
2. Se restan los números y la diferencia será negativa porque
- 4919 es negativo.
2485
3) Suma de varios positivos con varios negativos: (–143) + (–49) + (–78) + 658 + 124
Proceso de solución
1.
Se suman los enteros positivos.

143
658
124
925
 49
 78
2.
Se suman los enteros negativos.
127
3.
Se restan los resultados
925
127 El resultado es setecientos noventa y ocho
798
4. Suma de varios positivos con varios negativos:
(–13,456) + 10,905 + (–19,121) + (–3,456) + 11,005
Proceso de solución:
1.
Se suman los enteros positivos.
10905
 11005
21910
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
53
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
2.
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
44/ 143
13106
19121
Se suman los enteros negativos.
 3456
35683
35683
3. Se restan los resultados. 21910 El resultado es negativo trece mil setecientos
13773 setenta y tres.
5) Una hormiga subía y bajaba de un árbol, si subía el número era positivo, si bajaba era
negativo. Empezando desde el cero, subió 3, bajo 8, bajó 2, subió 15 y bajó 10. ¿En qué
posición se encuentra?
Proceso de solución:
1. Planteamiento de la operación: 3 – 8 – 2 + 15 –10.
2. Suma de positivos: 3 + 15 = 18.
3. Suma de negativos: –8 – 2 – 10 = –20.
4. Se restan los resultados: –20 + 18 = –2.
5- La hormiga está en la posición -2
Resta de enteros
Definición
Dados dos números enteros cualquiera a, b; se define la resta de a con b
como: a – b = a + ( - b ). Después de este planteamiento la operación puede
resultar en una suma de enteros de igual o de distinto signo
Ejemplos de resta de enteros
1) Reste 5267 de 6184.
Proceso de solución:
1. Se identifica el minuendo y el sustraendo: 6184 es el minuendo
porque le antecede la palabra de, 5267 es el sustraendo porque
le antecede la palabra reste.
2. Se plantea la operación como una resta: 6184 – 5267.
3. Se resuelve la operación resultante:
54
5
MÓDULO No.3
6184
5267
917
MATEMÁTICAS
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
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Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
45/ 143
2) De – 264 reste 190.
Proceso de solución
1. Se identifica el minuendo y el sustraendo: - 264 es el minuendo porque le
antecede la palabra de, 190 es el sustraendo porque le antecede la palabra
reste.
2. Se plantea la operación como una suma de negativos: - 264 - 190.
3. Se resuelve la operación resultante:
6184
5267
El resultado es novecientos diecisiete.
917
3) De – 1500 reste – 2800.
Proceso de solución
1. Se identifica el minuendo y el sustraendo: - 1500 es el minuendo porque le
antecede la palabra de, - 2800 es el sustraendo porque le antecede la palabra
reste.
2. Se plantea la operación: - 1500 - ( - 2800 ), tomaremos por regla que dos
signos negativos resultan en un positivo. Entonces la operación es: - 1500 +
2800.
3. Se resuelve la operación resultante:
2800
1500
El resultado es mil trecientos.
1300
4) Efectúe: – 17823 - ( - 23459 ).
Proceso de solución:
1. La operación resulta en: - 17823 + 23459.
2. El resultado de la operación es: 5636.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
55
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
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No.01
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
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Enteros, Decimales y Racionales
46/ 143
Multiplicación de enteros
Para efectuar la multiplicación de enteros se utiliza la ley de los signos para la
multiplicación, esta se define a continuación:
Ley de los signos y su significado
1) + x + = +, se lee “más por más da más”, esto significa que al multiplicar dos
enteros positivos, el resultado es un entero positivo.
2) - x - = +, se lee “menos por menos da más” esto significa que al multiplicar
dos enteros negativos, el resultado es un entero positivo.
3) + x - = -, se lee “más por menos da menos” esto significa que al multiplicar
un número positivo con uno negativo el resultado es un entero negativo.
4) - x + = -, se lee “menos por más da menos” esto significa que al multiplicar
un entero negativo con uno positivo el resultado es un entero negativo.
Ejemplos de multiplicación de enteros: El proceso de multiplicar.
Ejemplo 1: Multiplicación de dos positivos: 345 X 7 = 2415
345  multiplicando
 7  multiplicador
2415  producto
Proceso de solución
1. Se multiplican los enteros.
2. Los dos enteros son positivos, según la ley de los
signos el resultado será un entero positivo, es el
mismo caso de multiplicación de naturales.
3. El resultado es 2,415.
Ejemplo 2: Multiplicación de dos negativos: (–9,127)(–76) = 693,652

9 1 2 7
7 6
5 4 7 6 2
 6 3 8 8 9
6 9 3 6
56
5
Proceso de solución:
Se multiplican los enteros.
Aplicando la ley de los signos el resultado es un
entero positivo.
3. El resultado de la multiplicación es 693,652.
1.
2.
5 2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
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Enteros, Decimales y Racionales
47/ 143
Ejemplo 3: Producto de un negativo con un positivo: –825 X 623 = 513,975.
8 2 5
6 2 3

Proceso de solución:
1. Se multiplican los enteros como si fueran
positivos.
2. Aplicando la ley de los signos el resultado es un
entero negativo.
1. El resultado de la multiplicación es – 513,975.
2 4 7 5
1 6 5 0
4 9 5 0
5 1 3 9 7 5
Ejemplo 4: Producto de un positivo con un negativo: 105 X (–407) = – 42,735.
Proceso de solución
1. Se multiplican los enteros como si fueran positivos.
2. Aplicando la ley de los signos el resultado es un entero
negativo.
3. El resultado de la multiplicación es – 42,735.
105
407

735
4200
42735
Ejemplo 5: Producto de tres enteros: (–24)(73)(102).
Proceso de solución
1. Se multiplican los dos primeros enteros:
(–24)(73) = –1752.
24
73

72
168
1752
2. Se multiplica: (–1752)(102).

1 7 5 2
1 0 2
3 5
 1 7 5
0 4
El resultado de la multiplicación es – 178,704.
2 0
1 7 8 7 0 4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
57
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 6: Producto de cuatro enteros: (–4)(12)(–7)(–19).
Proceso de solución
1. Se multiplican los dos primeros enteros: (–4)(12).
- 4 x 12 = - 48, por la ley de los signos el resultado es negativo.
2. Se multiplica:
- 48 x ( -7 ) = 336, por la ley de los signos el resultado es positivo.
3. Se multiplica: (–336)(–19).

3 3 6
1 9
3 0 2 4
 3 3 6
6 3 8 4
4. El resultado de la multiplicación es 6,384.
Ejemplo 7: Producto de cuatro enteros: (10)(2)(–3)(–215).
Proceso de solución:
1. Se multiplican los dos primeros enteros: (10)(2).
10 x 2 = 20, por la ley de los signos el resultado es positivo.
2. Se multiplica: (20)(–3).
20 x ( - 3 ) = - 60, por la ley de los signos el resultado es negativo.
3. Se multiplica: (–60)(215).


6 0
2 1 5
3 0 0
6 0
1 2 0
1 2 9 0 0
4. El resultado de la multiplicación es 12,900.
58
5
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
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Co
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Enteros, Decimales y Racionales
49/ 143
La división de enteros
Para efectuar el cociente de enteros se utiliza la ley de los signos para la división, esta se
define a continuación:
Ley de los signos y su significado
1) + ÷ + = +, se lee “más entre más da más”, esto significa que al dividir dos
enteros positivos, el resultado es un entero positivo.
2) - ÷ - = +, se lee “menos entre menos da más”, esto significa que al dividir dos
enteros negativos, el resultado es un entero positivo.
3) + ÷ - = -, se lee “más entre menos da menos”, esto significa que al dividir un
número positivo con uno negativo el resultado es un entero negativo.
4) - ÷ + = -, se lee “menos entre más da menos”, esto significa que al dividir un
entero negativo con uno positivo el resultado es un entero negativo.
Ejemplos de división de enteros
Ejemplo 1: División por dos cifras: (–6,225)÷ (–83).
83
75 6225
600
225
 225
Proceso de solución
1. Se dividen los enteros positivos.
2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es positivo.
3. El resultado es 75.
000
Ejemplo 2: División por tres cifras: 8,375 ÷ (–125).
67
125 8375
750
875
Proceso de solución
1. Se dividen los enteros como si fueran positivos.
2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo.
3. El resultado es – 67.
 875
000
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
59
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 3: División con residuo distinto de cero: (–1400) ÷ 41.
100
41 4100
41
00
 00
Proceso de solución
1. Se dividen los enteros como si fueran positivos.
2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo.
3. El resultado es – 100.
000
Ejemplo 4: División con residuo distinto de cero: (–2,987) ÷ 93.
32
93 2987
279
0197
 186
Proceso de solución
1. Se dividen los enteros como si fueran positivos.
2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo.
3. El resultado es – 32, sobrando 11.
011
Ejemplo 5: División con residuo distinto de cero: (10000) ÷ (–42).
238
42 10000
84
160
 126
Proceso de solución
1. Se dividen los enteros como si fueran positivos.
2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo.
3. El resultado es – 238, sobrando 4.
0340
 336
004
60
6
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
50/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
51/ 143
Operaciones combinadas de enteros
Las reglas para resolver operaciones combinadas con enteros son las mismas que se utilizan
para naturales:
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
3. Por último se efectúan las sumas y restas.
1. Sin signos de agrupación
Ejemplo 1: Efectúe 2 – 5 x 4 – 12 ÷ 2 – 7.
Proceso de solución
2  5 4  12
27
Se multiplica
Se divide
2 20  6  7
Se resta
18  6  7

Se suma
24  7

Se resta
 17
Resultado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
61
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 2: Efectúe –8 + 20 ÷ 4 + 12 – 6 x 2 + 2.
8  20
  4  12  6 2  2
Se divide
Se multiplica

8  5  12 12  2
Se resta

3  12  12  2

Se resta
9 12  2
Se resta

3  2
Se suma
 1
Resultado
Ejemplo 3: Efectúe 8 + 20 x 4 – 12 + 6 x 2 – 13.
8  20
  4  12  6 2  13
Se multiplica
Se multiplica
8 80  12  12  13
Se suma
88
 12  12  13

Se resta
76
 12  13

Se suma
88  13

Se resta
75

Resultado
62
6
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
52/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
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Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
53/ 143
Ejemplo 4: Efectúe 100 ÷ 20 – 200 ÷ 10.
Proceso de solución


100
20  200
10




Se divide
Se divide
5 20
Se resta
 15
Resultado
2. Con signos de agrupación
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Se resuelven primero las operaciones que están dentro de los paréntesis.
3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
4. Por último se efectúan las sumas y restas.
Ejemplo 1: 4 x (–12 – 8) + 5 – 3 x (7 + 5).
Proceso de solución




4 
12
8
5
3
7
5






 
 

Se
suma
 Se suma 


4  20   5  312



Se multiplica
Se multiplica

80  5  36

Se resta


76
36


Se suma
 112

Resultado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
63
3
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 2: 3 x {–4 ––}
Proceso de solución

 
  
3  4   2   30  5 4   
Se multiplica  
 

 

 
  
3  4   2   30
20

   
  Se resta   



 
3  4   210  

 Se multiplica  


3  
4
20




 Se suma 
3  24 



Se multiplica
 72

Resultado
Ejemplo 3: 12 – {4 – –÷}
Proceso de solución
  
  
12  4   4   
30  5  4   
 

   Se divide
  
  
  

12  4   4   
6
4
 

   Se suma   
 

 

12  4  4  10  


  
Se multiplica  





12  4  40 


 
Se resta

 36
12

Se resta
 24

Resultado
64
6
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
54/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
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Contenido Teórico
No.01
55/ 143
EJERCICIO PRÁCTICO
1)
Represente en la recta numérica los siguientes subconjuntos de enteros.
A  12, 3,  4, 0, 8, 15
B  z   :  12  z  8
C  z   : z es un entero par entre  11 y 11
D  z   : z es un entero impar entre  8 y 12
2)
Calcule el opuesto de los siguientes enteros.
a)
c)
e)
3)
4)
El opuesto de 345 es: _____
El opuesto de – 10,000 es: ______
El opuesto de 13,132 es: _____
b) El opuesto de - 52 es: _____
d) El opuesto de 0 es: _____
f) El opuesto de - 910 es: _____
Calcule el valor absoluto de los siguientes enteros.
a ) 24,525  _____
b) 2,327  _____
c) 802  _____
d ) 52  _____
e) 100  _____
f ) 924  _____
e) 0  _____
g ) 10  _____
Efectúe las siguientes sumas y restas de enteros.
a) –32 – 67 – 58 – 90 – 32 – 45 – –13 – 68
b) 134 + 3456 + 980 – 2435 – 7686
c) –2435 + 8970 + 24354 – 65758
d) –1829 – 4566 – 9780 – 6452 – 4563
e) Reste –234 de 3454
f) De 8695 reste –23435
g) Reste –23435 de –4565
h) De –5309 reste 12324
i) 435 + 970 + 354 – 658
j) –129 – 456 –980 – 652 – 563
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
65
5
E
Elemento
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Competencia No.01
C
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Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
6)
Efectúe las siguientes multiplicaciones.
a) (–34)(87)(16)
b) (–1)(–3)(–7)(–12)(–19)
c) –14235 x 9876
d) 87 x – 10000
e) (67)(8)(–9)(3)
f) (–4)(–87)(–106)
g) (34)(7)(–16)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
14235 x –76
–870 x –100
(–7)(8)(–6)(–3)
–87 x (–100)
(–870)(–100)
(–67)(–8)(–9)(–3)
(–11)(–2)(6)(–3)
7)
Efectúe las siguientes divisiones.
a) –9 ÷ 87
b) –12890 ÷ 120
c) 45675 ÷ (–45)
d) 3654 ÷ (–96)
e) –3654 ÷ 24
f) –457 ÷ –87
g) –1290 ÷ –129
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
–455675 ÷ (–450)
364 ÷ 4
4689 ÷ 63
–3654 ÷ 24
–364 ÷ (–4)
54689 ÷ (–96)
–4689 ÷ 63
8)
Efectúe las siguientes operaciones combinadas.
a) 3 + 7 x (5 + (8 – 7 x 2))
b) (2 + 9) + (–7 –5) + 8 – 12 + (7 – 13)
c) –150 + 2 x {4 + –6 + 4 x (8 + 20 ÷ (–4))}
d) –35 + 3 x(3 – 4 x 24 – 7 – 5(3 – 12))
e) (645 – 657)(–7689 + 7789)(1 – 101)
f) 5 + 3 – (3 + 2 x 4 – 3 – 5 x (3 – 4))
g) (–45 – 657)(–79 + 77)(102 – 101)
9)
Resuelva los siguientes problemas de aplicación.
56/ 143
a) El siguiente cuadro muestra las temperaturas promedios de algunas ciudades de
América, calcule el cambio de temperatura de las ciudades de un día a otro:
País
Ciudad
Temperatura
ayer
Temperatura
hoy
Cambio de
temperatura
66
6
Venezuela
Caracas
EE UU
México
Los Ángeles
Distrito
Federal
Honduras
Tegucigalpa
Canadá
Ottawa
EE UU
New York
24°
19°
38°
29°
-6°
0°
32°
12°
33°
29°
-2°
-10°
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
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Enteros, Decimales y Racionales
57/ 143
b)
Un buzo profesional está midiendo los cambios en las corrientes internas del mar,
para eso se está sumergiendo a determinadas profundidades. Ha hecho los siguientes
descensos: bajo 28m y luego subió 10m, desde esa posición subió 8m y subió 5m. Por
último desde esa posición subió 7m y bajó 12m. ¿A qué profundidad se encuentra?
c)
El salario recibido por David este mes fue de Lps. 9,000.00. Los gastos que pagará
para fin de mes son de: Lps. 4500.00 en casa, Lps. 234.00 en agua, Lps. 789.00 en
luz, Lps. 2100.00 en alimentos, Lps. 1980.00 en otros gastos ¿Es suficiente lo que
recibirá para cubrir los gastos?, ¿Cuánto le falta o cuánto le sobra a David?
d)
Dos autos parten de un mismo punto, viajan en sentido opuesto a una velocidad de 100
Km/h, eso significa que en una hora recorren 100 Km. Represente en la recta numérica
la distancia recorrida de los autos cada hora.
e)
Dos autos parten de un mismo punto y avanzan en sentido contrario, el primero a 80
Km / h y el otro a 60 Km / h. ¿En cuánto tiempo están a una distancia de 240 Km uno
del otro?
DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO
Múltiplo de un número entero
Supóngase que una ranita da saltos sobre una línea recta, en cada salto avanza 3 unidades.
Si ubicáramos a la ranita en un número negativo cualquiera de la recta numérica, las
posiciones en que la ranita caería en al saltar serían las siguientes: ..., –18, –15, –12, –9,
–6, –3, 0, 3, 6, 9, 12,15,18, ... y así sucesivamente. Esta situación ilustra lo que llamamos
los múltiplos de un número:
Definición
Dado un número entero a cualquiera, el conjunto de los múltiplos de a está formado por el
producto del número a con cada uno de los elementos del conjunto de los números enteros.
Este conjunto se representa por M(a).
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
67
7
E
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Enteros, Decimales y Racionales
58/ 143
Ejemplo1: Calcule los múltiplos de 6 y 22
Múltiplos de 6
6x0=0
6x1=6
6 x (–1) = –6
6 x 2 = 12
6 x (–2) ) –12
6 x 3 = 18
6 x (–3) = –18
6 x 4 )= 24
6 x (–4) = –24
M(6) = {0, ±6, ±12, ±18, ±24...}
Múltiplo de 22
22 x 0 = 0
22 x 1 = 22
22 x (–1) = –22
22 x 2 = 44
22 x (–2) = –44
22 x 3 = 66
22 x (–3) = –66
22 x 4 = 88
22 x (–4) = –88
M(6) = {0, ±22, ±44, ±66, ±88...}
Propiedades del conjunto de los múltiplos de un número entero
Con los dos ejemplos anteriores podemos hacer algunas observaciones importantes:
 Los múltiplos son positivos y negativos, eso se simboliza con ±.
 El cero es múltiplo de todo número entero.
 El conjunto de los múltiplos de un número es infinito.
 Todo número es múltiplo de sí mismo.
Es importante determinar si un número es múltiplo de otro o no, para hacerlo se enuncia la
siguiente propiedad:
Dado dos números enteros a, b cualquiera, a es múltiplo de b si existe un
tercer número entero m tal que a = m x b.
Por ejemplo:
 100 es múltiplo de 25 por que existe 4 tal que 100 = 4 x 25
 - 80 es múltiplo de 10 por que existe – 8 tal que – 80 = - 8 x 10
 7 no es múltiplo de 23 por que no existe un entero m tal que 7 = m x 23
 -30 no es múltiplo de 8 por que no existe un entero m tal que -30 = m x 8
68
6
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
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59/ 143
El conjunto de los divisores de un número
Para calcular los divisores de un número entero se utilizará la división de enteros. Para
ilustrarlo se tiene el siguiente juego:
Hay una tabla con 12 agujeros marcados en las orillas con los números del 1 al 12. Se lanza
una pelota y si esta cae en número donde la división por 12 es exacta el jugador gana 10
lempiras sino pierde lo que sobra de la división. ¿En qué agujeros debe caer la pelota para
ganar?
Proceso de solución:
1. Divida 12 por cada número del 1 al 12
12 ÷ 1 = 12
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 5 = 2 sobrando 2
12 ÷ 6 = 6
12 ÷ 7 = 1 sobrando 5
12 ÷ 8 = 1 sobrando 4
12 ÷ 9 = 1 sobrando 3
12 ÷ 10 = 1 sobrando 2
12 ÷ 11 = 1 sobrando 1
12 ÷ 12 = 1
2. Para ganar siempre el juego la pelota debe caer en los agujeros marcados con los números
1, 2, 3, 4, 6, y 12 porque en esos números la división es exacta.
Este ejemplo ilustra los divisores de un número, que se define así:
Definición
Dado un número entero a cualquiera, a ≠ 0, el conjunto de los divisores de a está
formado por los cocientes del número a dividido con ±1, ±2, ±3, ±4, ...±a, tal
que la división tenga residuo cero. Es decir, las divisiones son exactas. Este conjunto se
representa por D(a).
En el ejemplo anterior, D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
Calcule los divisores de 20, 45, 13, 29 y 25.
Proceso de solución:
1. Divida 20 por cada número del 1 al 20 y tome los cocientes donde la solución es exacta.
Se hace lo mismo para 45, 13, 29 y 25.
20 ÷ 1 = 20
20 ÷ 2 = 10
20 ÷ 4 = 5
20 ÷ 10 = 2
20 ÷ 20 = 1
40 ÷ 1 = 45
45 ÷ 3 = 15
45 ÷ 5 = 9
45 ÷ 15 = 3
45 ÷ 45 = 1
MÓDULO No.3
13 ÷ 1 = 13
MATEMÁTICAS
29 ÷ 1 = 29
25 ÷ 1 = 25
69
9
E
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Enteros, Decimales y Racionales
60/ 143
2. Se han tomado solo las divisiones exactas, los divisores de esos números son:
D(20) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20}
D(45) = {±1, ±3, ±5, ±15, ±45}
D(13) = {±1, ±13}
D(29) = {±1, ±29}
D(25) = {±1, ±5, ±25}
Propiedades del conjunto de los divisores de un número entero
Con los dos ejemplos anteriores podemos hacer algunas observaciones importantes:
 Los divisores son positivos y negativos, eso se simboliza con ±.
 El cero no es divisor de ningún número entero.
 El uno es divisor de todo número entero.
 El conjunto de los divisores de un número es finito.
 Todo número es divisor de sí mismo.
Es importante determinar si un número es divisor de otro o no, para hacerlo se enuncia la
siguiente propiedad:
Dado dos números enteros a, b cualquiera, con el valor absoluto a mayor que
valor absoluto de b, a es divisor de b si existe un tercer número entero m tal
que a = m x b, es decir se determina si el número a es múltiplo del número b.
Por ejemplo





10 es divisor de 50 porque existe 5 tal que 50 = 5 x 10.
- 8 es divisor de 160 porque existe – 20 tal que 160 = - 20 x ( - 8 ).
7 no es divisor de 15 porque no existe un entero m tal que 15 = m x 7.
-3 no es divisor de 8 porque no existe un entero m tal que 8 = m x ( - 3 ).
Al número 1 y al mismo número se les llama divisores triviales.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
En los ejemplos de los divisores de un número entero se calcularon los divisores de 13 y
29:
D(13) = {±1, ±13}
D(29) = {±1, ±29}
Los divisores de 20, 45 y 25 además de los triviales tienen otros divisores, debido a esta
característica los enteros se dividen en primos y compuestos:
70
7
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
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61/ 143
Número primo
Son los números enteros que sólo tienen como divisores a los triviales,
es decir ±1 y el mismo número.
Número compuesto
Son los números esteros que tienen otros divisores además de los
triviales.
Matemático griego llamado Eratóstenes de Cirene, (del siglo III a. C).
Fuente: http//www.wikipedia.org/wiki/Eratóstenes.
Este matemático encontró una forma muy ingeniosa de hallar
los número primos entre 1 y 100. Las instrucciones son las
siguientes:







Enumere en filas de 10, los números del 1 al 100.
Tache el número 1.
Tache los múltiplos de 2, sin tachar el 2, si está tachado, déjelo tachado.
Tache los múltiplos de 3, sin tachar el 3, si está tachado, déjelo tachado.
Tache los múltiplos de 4, sin tachar el 3, si está tachado, déjelo tachado.
Tache los múltiplos de 5, sin tachar el 3, si está tachado, déjelo tachado.
Se sigue este proceso hasta llegar a 50.
A esta tabla se le llama Tabla
Criba (escrita en piedra) o
de Eratóstenes, en honor al
matemático que la inventó.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
71
1
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





Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
62/ 143
En la tabla en lugar de tachar como lo indicó el matemático, se coloreó,
pero el resultado es el mismo.
De color verde se colorearon los múltiplos de 2, no se tachó el 2.
De color azul se colorearon los múltiplos de 3, no se tachó el 3.
Los múltiplos de 4 estaban todos coloreados, incluso el 4.
De color anaranjado se colorearon los múltiplos de 7, no se coloreó el 7.
Se continúa el proceso hasta que ya no haya números que colorear.
En la tabla se ven algunos números sin colorear, estos son los números primos que hay entre
el 1 y el 100. Vale destacar que el único primo par que hay es el 2.
LISTA DE NÚMEROS PRIMOS DEL 1 AL 100
2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 


43, 47,53,59, 61, 67, 71, 73, 79,83,97 
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un criterio de divisibilidad la condición que debe cumplir un número para que sea o no
divisible por otro. A continuación se definen los criterios de divisibilidad más utilizados.
Criterio de divisibilidad por 2
Regla
Un número entero a es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par.
Esto quiere decir que la cifra de las unidades del número es par y por lo tanto que el número
a es múltiplo de 2. En este caso se dice que el número tiene mitad entera.
Ejemplos



72
7
230 es divisible por 2, porque termina en 0, es decir la mitad de 230 es 135
-98 es divisible por 2, porque termina en 8, es decir la mitad de -98 es -49
12,346 es divisible por 2, porque termina en 6, es decir que la mitad de 12,346
es 6,173.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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Criterio de divisibilidad por 3
Regla
Un número entero a es dividido por 3 si al sumar el valor absoluto de las
cifras del número el resultado es un múltiplo de 3.
Esto quiere decir que el número a es múltiplo de 3. En este caso se dice que el número tiene
tercera entera.
Ejemplos:




231 es divisible por 3, porque 2 + 3 + 1 = 6 que es múltiplo de 3, la tercera de
231 es 77.
- 984 es divisible por 3, porque 9 + 8 + 4 = 21, que es múltiplo de 3, la tercera
de -984 es - 328.
12,341 no es divisible por 3, porque 1 + 2 + 3 + 4 + 1 = 11, que no es múltiplo
de 3, es decir que la tercera parte de 12,341 no es entera.
- 1110 es divisible por 3, por que 1 + 1 + 1 + 0 = 3, que es múltiplo de 3, la
tercera - 1110 es - 370 .
Criterio de divisibilidad por 5
Regla
Un número entero a es divisible por 5 si termina en cero o 5.
Esto quiere decir que la cifra de las unidades del número es cero o es 5 y por lo tanto que el
número a es múltiplo de 5. En este caso se dice que el número tiene quinta entera. Desarrollo
de ejemplos aplicando la regla:



230 es divisible por 5, porque termina en 0, es decir la quinta de 230 es 46.
-195 es divisible por 5, porque termina en 5, es decir la quinta de - 195 es
-139.
12,347 no es divisible por 5, porque no termina en 5, es decir que la quinta de
12,347 no es entera.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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3
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de
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C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Criterio de divisibilidad por 7
Regla
Un número a es divisible por 7 si al separar la cifra de las unidades del
enetero dado y multiplicarlo por 2, al restar el entero formado por las
cifras restantes con el resultado obtenido es múltiplo de 7.
Ejemplo 1: Determine si 1386 es divisible por 7.
Proceso de solución
1. Se separa el 6 del número y queda 138.
2. Se multiplica: 6 x 2 = 12 .
3. Se resta: 138 – 12 = 126.
4. Verificar que 126 es múltiplo de 7: Como existe 18, tal que 126 = 18 x 7,
entonces 1386 es divisible por 7.
Ejemplo 2: Determine si -907 es divisible por 7.
Proceso de solución:
1. Se toma el valor absoluto del número y se separa el 7 del número, queda 90.
2. Se multiplica: 7 x 2 = 14 .
3. Se resta: 90 – 14 = 76.
4. Como 76 no es múltiplo de 7, -907 no es divisible por 7.
Criterio de divisibilidad por 11
Regla
Un número entero a es divisible por 11 si la diferencia entre las cifras
que ocupan una posición impar con las que ocupan una posición par es
múltiplo de 11.
Ejemplo 1: Determine si 2596 es divisible por 11.
Proceso de solución:
1. Se separan las posiciones impares de las pares de izquierda a derecha:
2596

1 2 3 4
74
7
Las cifras en posiciones impares son: 2 y 9
Las cifras en posiciones impares son: 5 y 6
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El
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2. Se suma: 2 + 9 = 11 y 5 + 6 = 11
3. Se restan los resultados: 11 – 11 = 0
4. Como 0 es múltiplo de 11, el número 2596 es divisible por 11
Ejemplo 2: Determine si -10857 es divisible por 11.
Proceso de solución
1. Se separan las posiciones impares de las pares de izquierda a derecha:
10857

12345
Las cifras en posiciones impares son: 1, 8 y 7
Las cifras en posiciones impares son: 0 y 5
2. Se suma: 1 + 8 + 7 = 16 y 0 + 5 = 5
3. Se restan los resultados: 16 – 5 = 11
4. Como 11 es múltiplo de 11, el número -10587 es divisible por 11
Ejemplo 2: Determine si 854 es divisible por 11.
Proceso de solución
1. Se separan las posiciones impares de las pares de izquierda a derecha:
824

123
Las cifras en posiciones impares son: 8 y 4
Las cifras en posiciones impares son: 2
2. Se suma: 8 + 4 = 12
3. Se restan los resultados: 12 – 2 = 10
4. Como 10 es múltiplo de 11, el número 854 no es divisible por 11
A medida que el número primo es más grande, los criterios de divisibilidad son más
complejos. Por eso para saber si un número entero es divisible por 13, 19, 23…, se vuelve
más complicados, por eso se usa la división para determinar si un números es divisible o no
por números primos más grandes.
Ejemplos de divisibilidad por 13, 17 y 19





1274 es divisible por 13, por que 1274 ÷ 13 = 98 y el residuo es 0
1734 es divisible por 17, por que 1274 ÷ 17 = 102 y el residuo es 0
3135 es divisible por 19, por que 3135 ÷ 19 = 165 y el residuo es 0
14203 no es divisible por 13, por que 14203 ÷ 13 = 1092 y el residuo es 7
969 no es divisible ni por 7, ni por 11, ni por 13. Pero si por 17 y por 19
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Sucede también que un número entero cualquiera puede ser divisible por varios números
primos a la vez:
Ejemplo 1. 300:

Como termina en cero es divisible por 2 y por 5.

Al sumar sus cifras: 3 + 0 + 0 = 3, resulta 3, que es múltiplo de 3, 300 es
divisible por 3 .
Ejemplo 2: 525

Como termina en 5 es divisible por 5.

Al sumar sus cifras: 5 + 2 + 5 = 12, resulta 12, que es múltiplo de 3, luego
525 es divisible por 3.

Al dividir 525 ÷ 7 = 75, el residuo es cero. Por eso 525 es divisible por 7.
Aplicando los criterios de divisibilidad descritos anteriormente, en el siguiente cuadro se
marcan los números por los que es divisible el entero dado:
Número por el que es divisible
Entero
2
455
1800
1267
93
132
4050

3

5


7
11









Descomposición de un entero en factores primos
Descomponer un número entero en factores primos consiste es escribir el número en términos
de productos donde los factores a multiplicar son todos números primos.
Propiedad
La descomposición de un entero en factores primos es única excepto por el
orden.
76
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Ejemplo 1: Ddescomponer en factores primos 340.
1. Descomposición del entero en factores primos.
340 2  340 tiene mitad , es divisible por 2
170 2  170 tiene mitad , es divisible por 2
85 5  85 es divisible por 5
17 17  17 es primo, es divisible por 17
1
2. Entero expresado en factores primos: 340 = 2 x 2 x 5 x 17
Ejemplo 2: Descomponer en factores primos 1275
1. Descomposición del entero en factores primos
2175 3  1275 tiene tercera, es divisible por 3
725 5  725 tiene, es divisible por 5
145 5  85 tiene, es divisible por 5
29 29  29 es primo, solo es divisible por 29
1
2. Entero expresado en factores primos: 1275 = 3 x 5 x 5 x 29 = 3 x 52 x 29
Ejemplo 3: descomponer en factores primos 1008
1. Descomposición del entero en factores primos
1008 2  1008 tiene mitad , es divisible por 2
504 2  504 tiene mitad , es divisible por 2
252 2  252 tiene mitad , es divisible por 2
126 2  102 tiene mitad , es divisible por 2
63 3  63 tiene tercera, es divisible por 3
21 3  21 tiene tercera, es divisible por 3
7
7  7 tiene tercera, es divisible por 7
1
2. Expresado en factores primos: 1008 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 24 x 32 x 7
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Ejemplo 4: descomponer en factores primos 7425
1. Descomposición del entero en factores primos
7425 3  7425 tiene tercera, es divisible por 3
2475 3  2475 tiene tercera, es divisible por 3
825 3  825 tiene tercera, es divisible por 3
275 5  275 es divisible por 5
55
11
5  55 es divisible por 5
11  11 es primo, es divisible por 11
1
2. Expresado en factores primos: 1008 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 24 x 32 x 7
EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El máximo Común Divisor (mcd)
Definición
El Máximo Común Divisor de dos o más números, es el mayor divisor positivo común, distinto
de uno, a los números dados. Se representa por mcd. Si el mayor divisor común a los números es
uno, se dice que los números son primos relativos.
Ejemplo 1: Para ilustrar esta definición, calcular los divisores de 20, 30 y 40
1. Se tomarán los divisores positivos a los números.
D(20) = {1,2,3,4,10,20}
D(30) = {1,2,3,10,30}
D(40) = {1,2,4,5,8,10,20,40}
2. Los divisores comunes a los números son: 1, 2 y 10. El mcd (20, 30, 40) = 10, porque 10
es el mayor divisor común a los números dados.
Ejemplo 2: Calcular los divisores de 6, 24 y 36
1. Se tomarán los divisores positivos a los números.
D(6) = {1,2,3,6}
D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}
D(36) = {1,2,3,4,6,12,18,36}
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2. Los divisores comunes a los números son: 1, 2, 3 y 6. El mcd (6, 24, 36) = 6, porque 6 es
el mayor divisor común a los números dados.
Ejemplo 3: Calcular los divisores de 8, 17 y 42
1. Se tomarán los divisores positivos a los números.
D(8) = {1,2,4,8}
D(17) = {1, 17}
D(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}
2. El único divisor común a los números es 1. El mcd (8, 17, 42) = 1, porque 1 es el mayor
y único divisor común a los números dados. Cuando esto sucede se dice que los números
son primos relativos.
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Definición
El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números, es el menor múltiplo positivo común, distinto
de cero, a los números dados. Se representa por mcm.
Ejemplo 1: Para ilustrar esta definición, calcular los múltiplos de 20, 30 y 40
1. Se tomarán los múltiplos positivos a los números:
M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260...}
M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300...}
M(40) = {0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, ...}
2. Los múltiplos comunes a los números son: 0, 120, 240; estos son infinitos pero el menor
distinto de cero de ellos es 120. El mcm (20, 30, 40) = 120.
Ejemplo 2: Calcular los divisores de 6, 24 y 36
1. Se tomarán los múltiplos positivos a los números.
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84...}
M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...}
M(36) = {0, 36, 72, 108, 144, 180, 216, ...}
2º: Los múltiplos comunes a los números son: 0 y 72, estos son infinitos pero el menor
distinto de cero es 72. El mcm (6, 24, 36) = 72
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Ejemplo 3: Calcular los divisores de 8, 12 y 6
1. Se tomarán los divisores positivos a los números.
M88) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...}
2. Los múltiplos comunes a los números son 0, 24, 48, estos son infinitos pero el menor
distinto de cero es 24. El mcd (8, 12, 6) = 24.
El máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo por descomposición en
factores primos
Regla para calcular el Máximo Común Divisor
Se descomponen los números dados en factores primos, el mcd es el producto
de los factores primos comunes con su menor exponente.
Regla para calcular el Mínimo Común Múltiplo
Se descomponen los números dados en factores primos, el mcm es el producto
de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo 1: Calcular el mcd (20, 30, 40) y el mcm (20, 30, 40)
1. Se descomponen los números en factores primos.
20 2
10 2
5 5
1
30 2
15 3
5 5
1
40 2
20 2
10 2
5 5
1
2. Se expresan los números como el producto de los factores primos:
20 = 22 x 5
30 = 2 x 3 x 5
40 = 23 x 5
3. Se calcula el mcd (20, 30, 40) = 2 x 5 = 10, por que los factores comunes con el menor
exponente son 2 y 5, su producto es 10.
4. Se calcula el mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120, por que los factores comunes
son 23 y 5. El factor no común es 3. El producto de ellos es 120.
80
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Ejemplo 1: Calcular el mcd (150, 200) y el mcm (150, 200).
1- Se descomponen los números en factores primos de forma conjunta.
200 2
150 2
100 2
50 2
25 5
75 3
25 5
5
5
5
1
1
5
2. Se expresan los números como el producto de los factores primos:
150 = 2 x 3 x 52
200 = 23 x 52
3. Se calcula el mcd (20, 30, 40) = 2 x 52 = 2 x 25 = 50, por que los factores comunes con el
menor exponente son 2 y 52, su producto es 50.
4. Se calcula el mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 52 = 8 x 3 x 25 = 600, por que los factores comunes
son 23 y 5. El factor no común es 3. El producto de ellos es 600.
Descomposición conjunta de factores primos
Ejemplo 1: Calcular el mcd (20, 30, 40) y el mcm (20, 30, 40)
1. Se descomponen los números en factores primos de forma conjunta.
20
10
5
5
5
1
30
15
15
15
5
1
40 2  2 es factor comun, todos los numeros tienen mitad
20 2  2 no es comun, solo 20 tiene mitad entera
10 2  2 no es comun, solo 10 tiene mitad entera
5 3  2 no es comun, solo 15 tiene tercera entera
5 5  5 es factor comun, todos los numeros tienen 5ta
1
2. Calcular el mcd (20, 30, 40), El mcd es el producto de los factores comunes en la
descomposición conjunta.
mcd (20, 30, 40) = 2 x 5 = 10
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3. Calcular el mcm (20, 30, 40), El mcm es el producto de los factores comunes y no
comunes en la descomposición conjunta.
mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120
Ejemplo 1: Calcular el mcd (150, 200) y el mcm (150, 200)
1. Se descomponen los números en factores primos de forma conjunta
150
75
75
75
25
5
1
200 2  2 es factor comun, los numeros tienen mitad
100 2  2 no es comun, solo 100 tiene mitad entera
50 2  2 no es comun, solo 50 tiene mitad entera
25 3  3 no es comun, solo 75 tiene tercera entera
25 5  5 es factor comun, los numeros tienen 5ta
5 5  5 es factor comun, los numeros tienen 5ta
1
2. Calcular el mcd (150, 200), El mcd es el producto de los factores comunes en la
descomposición conjunta.
mcd (150, 200) = 2 x 52 = 2 x 25 = 50
3. Calcular el mcm (150, 200), El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes
en la descomposición conjunta.
mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 52 = 8 x 3 x 25 = 600
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8
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EJERCICIO PRÁCTICO
1) Encuentre el conjunto de los múltiplos de los siguientes números enteros:
a)
c)
e)
g)
i)
M (75) =
M (2344) =
M (182) =
M (99) =
M (63) =
b)
d)
f)
h)
j)
M (100) =
M (92) =
M (314) =
M (88) =
M (111) =
2) Encuentre el conjunto de los divisores de los siguientes números enteros:
a)
c)
e)
g)
i)
D (75) =
D (128) =
D (92) =
D (99) =
D (29) =
b)
d)
f)
h)
j)
D (100) =
D (81) =
D (74) =
D (67) =
D (2000) =
3) Exprese los siguientes números enteros como el producto de sus factores primos e
identifíquelos como primos o compuesto:
a)
c)
e)
g)
i)
1000 =
234 =
97 =
625 =
875 =
b)
d)
f)
h)
j)
1500 =
81 =
128 =
70 =
3000 =
4) Calcule el mínimo común múltiplo o máximo común divisor de los siguientes enteros
usando descomposición en factores primos:
a)
c)
e)
g)
i)
mcm (12, 24, 36) =
mcd (15, 40, 60) =
mcm (100, 250, 400) =
mcm (17, 23) =
mcm (1000, 2000, 3000)
b) mcd (128, 256) =
d) mcm (22, 33 44) =
f) mcd (4, 64, 128) =
h) mcd (4, 5, 8) =
j) mcd (7, 28, 56) =
5) Calcule el mínimo común múltiplo o máximo común divisor de los enteros del ejercicio 4
usando descomposición conjunta de factores primos.
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6) Aplicando criterios de divisibilidad, marque en el siguiente cuadro los números por los
que es divisible cada entero dado:
Entero
2
Número por el que es divisible
3
5
7
11
770
280
539
385
1250
8624
623
1848
73
924
10101
1400
33
420
1234
2310
7) Una pelota está rebotando sin parar cada 6 unidades, marque 10 puntos de la recta
numérica que tocaría la pelota si se sabe que rebotó en –20.
8) Dos ranitas llamadas M y N empezaron a saltar desde el punto –5 de la recta numérica,
M dando saltos de 4 en 4 y N dando saltos de 3 en 3.
a) Después de 10 saltos, ¿en qué punto de la recta numérica se encuentran?
b) Como M es más rápida que N, le da una ventaja de tres saltos en la salida, ¿a los
cuántos saltos M alcanza N? y ¿En qué punto de la recta la alcanza?
Sugerencia
Para responder a las preguntas planteadas, dibuje una recta numérica y
marque los puntos que las ranitas van tocando en cada salto.
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Enteros, Decimales y Racionales
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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Teoría básica sobre las fracciones
Definición
ión de fracción
a
, con b  0 , tal que a no es
Una fracción es un número de la forma
b
múltiplo de b. Si a es múltiplo de b, el número es entero.
Al número a se le llama numerador y al número b se le llama
denominador.
NUMERADOR  17
DENOMINADOR  23
Partes de una fracción
 Numerador: Indica las partes que se toman de la unidad
 Denominador: Indica el número de partes iguales en que se divide la
unidad
Lectura de fracciones
Ejemplo 1: Don Carlos compró para cenar una pizza gigante similar a la mostrada en la
figura, ¿qué parte de la pizza se comió Don Carlos?
La pizza está dividida en 8 piezas.
Cada pedazo de pizza representa 1 de pizza
8
Don Carlos se ha comido
3
8
de la pizza.
Ejemplo 2: En la siguiente figura Manuelito está pensando en la parte de fracción del pastel
que ha tomado:
El pastel está dividido en 6 pedazos.
Cada pedazo del pastel representa 1 de pastel..
6
Manuelito se va a comer 1 del pastel.
6
Fuente de la imagen: http://aulavirtual.catedra.com./5_El_numero_fraccionario.html
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
85
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
76/ 143
Ejemplos de números que son fracciones:
1
5
: Se lee un cuarto
: Se lee cinco tercios
4
3
3
7
: Se lee tres septimos
 : Se lee negativo siete novenos
7
9
11
: Se lee once doceavos
12
164
: Se lee negativo ciento sesenta y cuatro ochenta y cinco avos

85
Ejemplos de números que no son fracciones:
El número
El número
20
4

300
25
no es fracción porque 20 es múltiplo de 4, al dividir resulta 5.
no es fracción porque -300 es múltiplo de 25, al dividir resulta -12.
El Conjunto de los Números Racionales
Dado que hay números que son fracciones y otros que no los son, se define un conjunto
llamado Números Racionales de la siguiente manera:
Definición
a
Los Números Racionales es el conjunto de números de la forma , con b  . Se representa
b
por la letra Q . Si a es múltiplo de b, el número es un entero, si a no es múltiplo de b, el número
es una fracción.
El conjunto de Números Racionales puede definirse también como la unión de los números
enteros y las fracciones, simbólicamente se representa por:
Q = ZUF : Los enteros unidos con las Fracciones
Clasificación de las fracciones
 Positivas: Una fracción es positiva cuando es mayor que cero
 Negativas: Una fracción es negativa cuando es menor que cero
86
8
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
77/ 143
 Homogéneas: Dos o más fracciones son homogéneas cuando tienen el mismo
denominador. Por ejemplo:
103
6 1431 16 121 41 189 18
23
, ,
, ,
, ,
, ,
19
19 19 19
19
19 19 19 19
 Heterogéneas: Dos o más fracciones son heterogéneas cuando tienen distinto
denominador. Por ejemplo:
103 88 131 16 11
41 19 181
2
, ,
, , , , ,
,
25
19 235 13 17
36 10 145 15
 Propias: Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el
denominador. Por ejemplo:
13
8 143 1 12
24 89 1312
2
, ,
, , , ,
,
,
25 19 235 3 17
36 100 1456
5
 Impropias: Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el
denominador. Por ejemplo:
103 88 1431 16 121
41 189 1812
23
, ,
, ,
, ,
,
,
25
19 235 13 107
36 100 1456 15
 Número Mixto: Un número mixto es el que está formado por un entero y una
fracción propia. Por ejemplo:


2

  Se lee cuatro enteros dos tercios
4 3
Parte  
entera Fraccion 
propia 
1
8 13
1
2
24
9
1312
2
12 ,  10 , 1 ,  4 ,  3 ,  12 , 8
,7
,  14
2
9 35
3
7
36 100 1456
5
 Fracciones decimales: Una fracción es decimal cuando el denominador de la
fracción es 10.
103
88 143 16
121
1 189 18
2
,
,8
,
,
,  107 ,
,
, 7
10
100
10 100
10
10 1000 100
10
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
87
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
78/ 143
Conversión de una fracción impropia a número mixto
Ejemplo 1: Una empresa de muebles necesita comprar tablones de madera para fabricar
unas mesas que un negocio encargó. El gerente necesita saber cuántos tablones debe comprar
para cumplir con el pedido sin que le haga falta madera.
Proceso de solución
1º: La fracción
114
16
le indica al gerente que cada pieza de madera se dividirá en 16 partes
y se necesitará para el pedido 114 piezas.
2º: El gerente debe responder a la pregunta, ¿Cuántos tablones se requieren para obtener
114 piezas?
Está claro que un tablón sólo le dará 16 piezas, así que para llegar a 114 efectúa la
operación: 114 ÷16 = 7 sobrando 2 piezas de las 16 que se tienen.
3º: El gerente necesita comprar 8 tablones de los cuales ocupará 7 completos y del otro
tablón. Esto nos da la representación mixta de la fracción: 114  7 2 .
16
16
Siguiendo el razonamiento anterior convierta las siguientes fracciones impropias a
número mixto:
Ejemplo 2: 33
7
Proceso de solución
1. Divida 33 con 7: 33 ÷ 7 = 4 sobrando 5 de siete partes.
2. Se expresa la fracción como número mixto: 33  4 5
7
Ejemplo 3:
7
298
15
Proceso de solución
1. Divida 298 con 15: 298 ÷ 15 = 19 sobrando 13 de quince partes.
2. Se expresa la fracción como número mixto:
88
8
298
13
 19
7
15
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
79/ 143
Ejemplo 4:  784
131
Proceso de solución
1. Divida 784 con 131: 784 ÷ 131 = 5 sobrando 129 de ciento treinta y un partes.
2. Se expresa la fracción como número mixto: 
784
129
 5
131
131
Conversión de un número mixto en fracción impropia
Ejemplo 1: Convierta a fracción impropia: 5
8
11
Proceso de solución
Se efectúa la siguiente operación combinada: 5 x 8 + 11 y se copia el denominador de la
fracción dada.
8 5 11  8
5 
 Se plantea la operacion combinada
11
11
55  8

 Se plantea la suma
11
55

 Fraccion impropia
11
Ejemplo 2: Convierta a fracción impropia: 14
5
9
Proceso de solución
Se efectúa la siguiente operación combinada: - ( 14 x 9 + 5 ) y se copia el denominador de la
fracción dada.
5  14  9  5 
14 
 Se plantea la operacion combinada
9
11
 126  8 

 Se plantea la suma
9
134

 Fraccion impropia
9
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
89
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
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números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 3: Convierta a fracción impropia: 7
80/ 143
2
3
Proceso de solución
Se efectúa la siguiente operación combinada: - ( 7 x 3 + 2 ) y se copia el denominador de la
fracción dada.
2  7  3  2 
7 
 Se plantea la operacion combinada
3
3
 21  2 

 Se plantea la suma
3
23

 Fraccion impropia
3
Forma fraccionaria de un entero
a
, b  0.
b
Ejemplo 1: Don David vende naranjas frente al INFOP, tiene en su carreta 45, al partir en
dos cada una, ¿Cuántas mitades obtiene?
Un número entero, aunque no es una fracción, puede expresarse de la forma
Proceso de solución
El problema es acerca de convertir unidades en mitades:
45 2
2
  Se multiplica el entero por
1 2
2
45  2   Se plantea la multiplicacion
1 2 
90
 Hay 90 medios en 45 unidades
2
Ejemplo 2: Convierta 23 en cuartos
Proceso de solución
23 4
4
  Se multiplica el entero por
1 4
4
23  4   Se plantea la multiplicacion
1 4 
92
 Hay 92 cuartos en 23 unidades
4
90
9
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
81/ 143
Ejemplo 3: Convierta -9 en onceavos.
Proceso de solución
9 11
11
   Se multiplica el entero por
1 11
11
 9 11
 Se plantea la multiplicacion
111

99
 Hay  99 onceavos en  9 unidades
11
Representación de fracciones en diagramas
Ejemplos fracciones con regiones sombreadas de figuras geométricas
A continuación se presentan una serie de figuras en las que se han sombreado unas regiones
de un color más fuerte que las otras, la representación de esa parte en fracciones es la
siguiente:
Las otras partes de las figuras son el complemento de las partes representadas:

1
5
el complemento de la unidad es .
6
6
Esto significa que de las 6 partes en que se dividió la unidad solo se tomó una parte y
no se tomaron 5 partes

De
De
1
3
el complemento de la unidad es
4
4
Esto significa que de las 4 partes en que se dividió la unidad solo se tomó una parte y
no se tomaron 3 partes
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
91
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
82/ 143
3
5
el complemento de la unidad es
8
8
Esto significa que de las 8 partes en que se dividió la unidad se tomaron 5 partes y no
se tomaron 5 partes.

De

4
2
el complemento de la unidad es
6
6
Esto significa que de las 6 partes en que se dividió la unidad se tomaron 4 partes y no
se tomaron 2 partes
De
Representación de fracciones propias

Representar en un diagrama
5
8
Proceso de solución:
Como la fracción es propia, se divide la unidad en 8 partes
iguales y se toman 5. Queda una figura como lo muestra la
figura.

Representar en un diagrama
3
7
Proceso de solución:
Como la fracción es propia, se divide la unidad
en 7 partes iguales y se toman 3. Queda una
figura como la siguiente:

Representar en un diagrama
1
4
Proceso de solución:
Como la fracción es propia, se divide la unidad
en 4 partes iguales y se toma 1. Queda una
figura como la siguiente.
92
9
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Representar en un diagrama
83/ 143
2
6
Proceso de solución:
Como la fracción es propia, se divide la unidad en 6 partes
iguales y se toman 2. Queda una figura como la siguiente:
Representación de fracciones impropias
11
en un diagrama.
8
Proceso de solución

Representar
11 3
1
8
8
2. Se toman dos unidades y se dividen en 8 partes iguales cada una. Se sombrean las 8
partes de la primera unidad y solo 3 de la segunda unidad. Queda una figura como se
muestra a continuación.
1. Se convierte la fracción impropia a número mixto:
9
en un diagrama.
4
Proceso de solución

Representar
9
1
2
4
4
2. Se toman tres unidades y se dividen en 4 partes iguales cada una. Se sombrean las 4
partes de la primera unidad, 4 partes de la segunda unidad y solo 1 de la tercera unidad.
Queda una figura como la mostrada a continuación.
1. Se convierte la fracción impropia a número mixto:
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
93
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01

Representar
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
84/ 143
10
en un diagrama.
6
Proceso de solución
10
4
1
6
6
2. Se toman dos unidades y se dividen en 6 partes iguales cada una. Se sombrean las 6
partes de la primera unidad y solo 4 de la segunda unidad. Queda una figura como la
mostrada a continuación
1. Se convierte la fracción impropia a número mixto:
.
Escriba una fracción para cada una de las siguientes figuras:
Figura 1
Figura 2
94
9
Esta figura representa la fracción propia
3
10
Esta figura representa número mixto 1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1
6
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Figura 3
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Esta figura representa la fracción propia
85/ 143
6
7
Figura 4
Esta figura representa
número mixto
3
10
Figura 5
Esta figura representa al entero 2.
Esta figura representa
al enero
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
8
4
2
95
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Esta figura
representa al entero
12
4
3
Esta figura representa al entero
8
2
4
Esta figura representa la fracción propia
Esta figura representa la fracción propia
96
9
MÓDULO No.3
7
10
3
5
MATEMÁTICAS
86/ 143
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
87/ 143
Representación gráfica de fracciones en la recta numérica
Representación de fracciones propias
Las fracciones propias positivas se grafican en la recta numérica entre 0 y 1. Las fracciones
propias negativas se grafican entre -1 y 0.
Ejemplo 1: Graficar en la recta numérica
3
5
Proceso de solución
3
1. La fracción 5 se grafica entre 0 y 1, se divide la unidad en 5 partes y se toman 3, del
cero a la derecha. Cada parte representa 1 de la unidad.
5
2. La representación gráfica es la siguiente:
0
1
0/5
1/5
2/5
3/5
Ejemplo 2: Graficar en la recta numérica
4/5
5/5
6
8
Proceso de solución
1. La fracción 6 se grafica entre 0 y 1, se divide la unidad e 8 partes y se toman 6, del cero
8
a la derecha. Cada parte representa 1 de la unidad.
8
2. La representación gráfica es la siguiente:
0
0/8
1
1/8
2/8
MÓDULO No.3
3/8
4/8
5/8
MATEMÁTICAS
6/8
7/8
8/8
97
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 2: De la misma forma, graficar en la recta numérica
88/ 143
1 3 2
7
, , y
2 4 5 10
Proceso de solución
1. Se divide la unidad en las partes que indica el denominador y se toman las que indica el
numerador
2. Las representaciones gráficas son las siguientes:
Un medio
0
1
1
2
Tres cuartos
0
1
3
4
Dos quintos
0
1
2
5
Siete décimos
0
1
7
10
98
9
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
89/ 143
Ejemplo 4: Graficar en la recta numérica 3 y  5
8
8
Proceso de solución
3
1º: La fracción
se grafica entre 0 y 1, se divide la unidad en 8 partes y se toman 3, del
8
cero a la derecha.
5
se grafica entre -1 y 0, se divide la unidad en 5 partes y se toman 2
8
partes, del cero a la izquierda.
2º: La fracción 
–1
0
- 5
8
3
8
1
Representación de fracciones impropias y números mixtos
Las fracciones impropias y los números mixtos negativos se grafican a la izquierda de -1 y
las fracciones impropias y números mixtos positivos a la derecha de 1.
Ejemplos 1: Graficar 
7
4
Proceso de solución
7
3
1
4
4
2. Se toma una unidad y de 1 a 2, se divide en cuatro partes y se toman 3.
3. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica.
1. Se convierte la fracción a número mixto:
0
1
MÓDULO No.3
1
3
4
2
MATEMÁTICAS
3
4
99
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Ejemplos 2: Graficar
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
90/ 143
12
5
12
2
2
5
5
2. Se toman dos unidades y de 2 a 3, se divide en cinco partes y se toman 2.
3. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica.
1. Se convierte la fracción a número mixto:
0
1
2
Ejemplos 3: Graficar 3
2
2
5
3
4
1
3
1. El número es mixto, solo se hace la gráfica de 3
divide en tres partes y se toma 1.
1
, toman tres unidades y de 3 a 4, se
3
2. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica.
0
1
Ejemplos 4: Graficar 2
2
3
3
1
3
4
0
3
1. El número aunque está escrito como mixto, es el entero 2. Solo se hace la gráfica en el
entero 2.
2. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica
0
1
2
2
100
1
3
4
0
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplos 4: Graficar 
91/ 143
3
1
y1
2
4
Proceso de solución
3
3
1
número mixto:   1
2
2
2
2. Se toma una unidad negativa y de -1 a -2, se divide en dos partes y se toman 1.
1. Se convierte 
3. Para el número mixto 1
toma 1.
1
se toma una unidad, de 1 a 2 se divide en cuatro partes y se
4
4. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica.
-2
1
1
2
-1
0
11 1
4
2
Fracciones equivalentes
Definición
a c
,
son equivalentes si a  d  b  c , a esta multiplicación
b d
a c
se le llama producto cruzado. Se escribe: 
b d
Las fracciones
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
101
01
1
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 1: Represente las fracciones
o no equivalentes
92/ 143
1 2 4
, , y usando producto cruzado verifique si son
2 4 8
Proceso de solución
1. Representación en diagramas de las fracciones.
2. Producto cruzado de las fracciones
1 2
1 4  2  2
y , resulta que
, por lo tanto las
44
2 4
3. Producto cruzado de las fracciones
2 4
28  4 4
y , resulta que
, por lo tanto las
16  16
4 8
fracciones son equivalentes.
fracciones son equivalentes.
Ejemplo 2: Verifique si 
3
2
y
son o no equivalentes.
18
12
Proceso de solución
Se efectúa el producto cruzado:
equivalentes.
102
1
312   182 
 36  36
MÓDULO No.3
, por lo tanto las fracciones son
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 3: Verifique si
93/ 143
4 15
y
son o no equivalentes.
3 10
Proceso de solución
Se efectúa el producto cruzado:
equivalentes.
4  10  3  15
, por lo tanto las fracciones no son
40  45
Ejemplo 4: En dibujo técnico es muy útil la representación de medidas usando fracciones. Se
estableció la división de la pulgada en 16 partes y a partir de allí se establecieron equivalencias
de medidas. Basados en la gráfica podemos encontrar fracciones equivalentes:
a) 1 
16
: La unidad
16
d)
3 6

8 16
g)
7 14

8 16
MÓDULO No.3
b)
1 2

2 4
c)
1 2 4 8
  
2 4 8 16
e)
5 10

8 16
f)
3 6 12
 
4 8 16
MATEMÁTICAS
103
03
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
94/ 143
Ampliación de fracciones
La ampliación de fracciones se utiliza para obtener fracciones equivalentes de una fracción
dada. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por el mismo
número entero.
Ejemplo 1: Obtenga 4 fracciones equivalentes de la fracción
4
3
Proceso de solución
1. Efectuar las multiplicaciones correspondientes, en este caso se multiplicó
4
con
3
3 4 5 6
. Los resultados son los siguientes:
, , ,
3 4 5 6
a)
4 3 4  3 12
 

3 3 3 3 9
b)
4 4 4  4 16
 

3 4 3  4 12
c)
4 5 4  5 20
 

3 5 3  5 15
d)
4 6 4  6 24
 

3 6 3  6 18
2. Las fracciones equivalentes son
4 8 12 16 20
 


3 6 9 12 15
Ejemplo 1: Obtenga 4 fracciones equivalentes de la fracción 
15
8
Proceso de solución
1. Efectuar las multiplicaciones correspondientes, en este caso se multiplicó 
3 4 5 6
, , ,
3 4 5 6
104
1
15
con
8
Los resultados son los siguientes:
a) 
15 2 15  2
30
 

8 2
8 2
16
b) 
15 3 15  3
45
 

8 3
8 3
24
c) 
15 4 15  4
60
 

8 4
8 4
60
d) 
15 5 15  5
75
 

8 5
8 5
40
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
2. Las fracciones equivalentes son: 
95/ 143
15
30
45
60
75
 


8
16
24
32
40
Simplificación de fracciones
La simplificación de fracciones es el proceso mediante el cual se obtienen fracciones
equivalentes a una fracción dada, utilizando para ello los criterios de divisibilidad aplicados
al numerador y denominador de la fracción. El proceso se obtiene hasta encontrar una
fracción a la que ya no se le puedan aplicar criterios de divisibilidad. A esa fracción se le
llama irreductible.
Ejemplo 1: Simplificar 
150
84
Proceso de solución
150
 Ambos tienen mitad
84
75

 Ambos tienen tercera
42
25
   Fraccion simplificada porque no tienen divisores comunes
14

Ejemplo 2: Simplificar  30
60
Proceso de solución
30
 Ambos tienen mitad
60
15
   Ambos tienen tercera
30
5
   Fraccion irreductible
6

MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
105
05
5
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 3: Simplificar 
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
20
54
Proceso de solución
20
 Ambos tienen mitad
54
10

 Fraccion simplificada
27

Ejemplo 4: Simplificar 340
250
Proceso de solución
340
 Ambos tienen mitad
250
170

 Ambos son divisibles por 5
125
34
  Fraccion simplificada
25

Ejemplo 5: Simplificar
2450
1800
Proceso de solución
2450
 Ambos tienen mitad
1800
1225

 Ambos son divisibles por cinco
900
245

 Ambos son divisibles por cinco
180
49

 Ambos son divisibles por cinco
36
106
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
96/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 7: Simplificar 
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
97/ 143
750
1050
Proceso de solución
750
 Ambos tienen mitad
1050
375

 Ambos tienen tercera
525
125

 Ambos son divisibles por cinco
175
25
   Ambos son divisibles por cinco
35
5
   Fraccion simplificada
7

OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS RACIONALES
Suma de Racionales
1.
Suma de racionales con el mismo denominador
Regla
Para sumar fracciones con igual denominador, se copia el denominador y se suman
los numeradores. Se simplifica el resultado si es posible.
Proceso de solución
Ejemplo 1
13 36 3 13
  
Sume
5 5 5 5
MÓDULO No.3
13  36  3  13

5
65

5
13

1

13
Se copia el 5 y se plantea la suma de los
numeradores.
Es una fracción reductible, 65 y 5 tienen
quinta.
Se divide.
Resultado simplificado
MATEMÁTICAS
107
07
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 2: Sume
41 6 23 4 1
   
13 13 13 13 13
Proceso de solución
41  6  23  4  1
 Se copia el 13 y se plantea la suma
13
41  23  6  4  1  Se suman los numeradores
13
64  11
 Se efectua la resta
13
53
 Fraccion simplificada
13
2
7
3
7
Ejemplo 3: Sume 4  3  5 
22
7
Proceso de solución
1. Se plantea la operación con fracciones propias o impropias
4
2
3 22 30 21 38 22
21
35 




, recuerde que en 3 unidades hay
7
7 7
7
7
7
7
7
2. Se resuelve la operación
30  21  38  22
 Se copia el 7 y se plantea la suma
7
30  21  38  22   Se suman los enteros positivos y los negativos
7
51  60 
 Se efectua la resta
7
9

 El resultado es ireeductible
13
108
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
98/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
2.
99/ 143
Suma de racionales de distinto denominador
Regla
Para sumar fracciones con distinto denominador se hace lo siguiente:
1. Se calcula el mcm de los denominadores.
2. Se expresan las fracciones con un mismo denominador.
3. Se efectúan las operaciones del numerador.
4 Se simplifica el resultado si es posible.
Ejemplo 1: Sume
7 11 3 4
  
5 2 4 3
Proceso de solución
1. Se calcula el mínimo común múltiplo: mcm (5, 2, 4, 3) = 22 x 3 x 5 = 60
5
5
4
2
3
3
22
12
5
5
1
1
3
1
13
15
1
1
1
1
2. Se convierten las fracciones a un mismo denominador: El mcm se divide con los
denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores.

60  5  7   60  2 11  60  4  3  60  3  4   Se
plantean las operaciones
60
12  7   30 11  15  3  20  4   Se plantean los productos

60
84  330  45  80

 Se plantean las sumas
60
539

 Resultado irrductible
60
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
109
09
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
100/ 143
2 5 2

7 14 3
Ejemplo 2: Sume 3 
Proceso de solución
1. Se calcula el mínimo común múltiplo: mcm (7, 14, 3) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210
7
5
5
1
1
14
7
7
7
1
3
3
1
1
1
22
13
15
17
1
2. Se convierten las fracciones a un mismo denominador: El mcm se divide con los
denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores.
23 5 2
   La fraccion mixta se convierte a impropia
7 14 3
210  7  23  210  14  5  210  3  2   Se plantea las operaciones
210
30  23  15  23  70  2   Se plantean el producto del numerador
120
690  345  140
 Se efectua la resta
120
690  345  140
120
485
 El resultado es reductible
120
97
 resultado simplificado
24
110
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
101/ 143
3 4
1
Ejemplo 3: Sume 2 4  5  6  5 3
1. Se calcula el mínimo común múltiplo: mcm (4, 5, 3) = 22 x 3 x 5 = 60
4
2
1
1
1
5
5
5
5
1
32
32
33
15
1
2. Se convierten las fracciones a un mismo denominador: El mcm se divide con los
denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores.
11 4 6 16
  
4 5 1 3
60  4 11  60  5  4   60  1 60   60  3 16   Operaciones planteadas
60
240 11  300  4   60  60   180 16   Se plantean los productos
60
2640  1200  360  2880
 Planteamiento de las sumas
60
1080

 Se simplifica la fraccion
90
540

 Se simplifica la fraccion
45
180

 Se simplifica la fraccion
15
60
  Se simplifica la fraccion
5
12
  Se divide
1
12  Resultado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
111
11
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
102/ 143
Resta de racionales
Regla
Para restar fracciones se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Se simplifica
el resultado si es posible.
Ejemplo 1: De
203
92
reste
15
15
Proceso de solución
1. Se plantea la resta:
2.
203  92
 Se resta n los numeradores
15
111
 La fraccion es reductible
15
37
 Fraccion irreductible
5
203 92

 Minuendo  Sustraendo
15 15
Ejemplo 2: Reste  3
Se resuelve la operación
1
de 11
2
Proceso de solución
11  7 
     Minuendo  Sustraendo
1  2
2. Se resuelve la operación
1. Se plantea la resta:
11  7 
     Se plantea la operacion, donde el mcm(1, 2)  2
1  2
2  111  2  2  7   Se
plantean las operaciones
2
2 11  111  Se plantean los productos
2
22  11
 Se plantea la suma
2
33
 La fraccion es irreductible
2
112
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 3: Efectúe: 2
103/ 143
7  5
  3 
12  8 
Proceso de solución
1. Se plantea la operación y se calcula el mcm de los denominadores
31 33
  Los numeros mixtos se pasan a fracciones impropias
12 8
12
82
6
42
3
2 2  El mcm 12,8   23  3  8  3  24
3
13
1
1

2. Se resuelve la operación planteada:
 24  12  31  24  8  33
 Se plantean las operaciones
24
 2  31  3  31
 Se plantean los productos
24
62  93
 Se plantea la resta
24
31
 resultado irreductible
24
Multiplicación de racionales
Regla
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores
entre sí. Se simplifica el resultado si es posible. Simbólicamente:
a c ac
, b  0, d  0
 
b d bd
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
113
13
3
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 1: Efectúe: 7  2
5 9
Proceso de solución
Se efectúa la operación y se simplifica el resultado.
72
 Se plantean las multiplicaciones
5 9
14
 El resultado es irreductible
45
Ejemplo 2: Efectúe:  2 7  4  3 
5
4


 
Proceso de solución
1. Se convierten los números mixtos a fracciones impropias.
17 4 3
 7
3
 2  4      
5 1 4
 5
4
2. Se efectúa la operación.
17 4 3  Se
514 
plantea la multiplicacion
204
 Se simplifica
20
102

10
56
  fraccion irreductible
5

114
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
104/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Competencia No.01
Co
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
105/ 143
Ejemplo 3: Efectúe:       
 40   20   30 
12
5
4
Proceso de solución
Se efectúan las multiplicaciones y se simplifica el resultado.
12  5  4 
 Se plantean las multiplicaciones
40  20  30
240

 Se simplifica el resultado
84000
120

42000
60

21000
30

10500
15

5250
5

1750
1

 Fraccion irreductible
350
Opuesto e inverso de una fracción
Definición de opuesto: Dada una fracción a , con b  0 , la fracción opuesta es
b

a
a  a
talque      0
b
b  b
Definición de inverso: Dada una fracción
a
, con b  0, a  0 , la fracción inversa
b
es b talque a  b  1
a
b a
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
115
15
5
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01

15
15
El opuesto de 15 es 15 porque      0
19
19
19  19 
8
8
8 8
es  porque    0
9
9 9
9

El opuesto de 

El inverso de  3 es  7 porque   3     7   1
7
3
 7  3

El inverso de 4 es 5 porque 4  5  1
5
5 4
4
División de racionales
Regla
Para dividir fracciones, se multiplica el dividendo por el inverso del divisor. Se simplifica
el resultado si es posible. Simbólicamente:
a c a d
   , b  0, d  0, c  0
b d b c
Ejemplo 1: Efectúe:
7 2

5 9
Proceso de solución
1. Se calcula el inverso
de
116
1
2
9
que es
9
2
2.
Se resuelve la operación:
7 9
  Se plantea el producto
5 2
63
 Se simplifica el resultado, tienen tercera
45
21
15
7
 Resultado simplificado
5
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
106/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
107/ 143
Ejemplo 2: Efectúe:  2   9
5
7


Proceso de solución
1. Se plantea la operación:
2. Se calcula el inverso
9
9
qde
q
1
1
17 9
 7
 2   9   
5 1
 5
3. Se resuelve la
operación:
17 1
  Se plantea la division como una multiplicacion
5 9
17 1  Se plantean las multiplicaciones
5 9
17

 El resultado es irreductible
45

Ejemplo 3: Efectúe:
35  21 
 
14  55 
Proceso de solución
1. Se plantea la operación:
35  21  63  55 
2     
14  55  14  21 
3. Se resuelve la operación:
2. Se calcula el inverso de 
55
21
que es 
21
55
63  55 
     Se plantea la operacion
14  21 
63  55 
 Se plantea la multiplicacion
14  21
3465

 Simplificar , los numeros tienen tercera
294
1155

 Resultado simplicado
98
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
117
17
7
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
108/ 143
5
Ejemplo 4: Efectúe: 12   2 

7
Proceso de solución
12  19 
 5
1. Se plantea la operación: 12   2       
1  7
 7
7
2. Se calcula el inverso de  19 que es 
19
7
3. Se resuelve la operación:

12  19 
     Se plantea la operacion
1  7

12  7 
     Se plantea como una multiplicacion
1  19 
12 7   Se
119
plantean las multiplicaciones
84
 Resultado irreductible
19
Operaciones combinadas con fracciones
Las reglas para resolver operaciones combinadas con enteros son las mismas que se utilizan
para enteros:
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
3. Por último se efectúan las sumas y restas.
118
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
109/ 143
Sin signos de agrupación
Ejemplo 1: Efectúe
1 2
5 1
3
 4  2
2 3
2 3
5
Proceso de solución
1
2
5 1
3

4   2
2
3
2 3
5


Se multiplica
Se divide
1 8 15 13
  
2
 3 2 5
Se resta
13 15 13
  
6
2
5



Se suma
29 13
 
3
5


Se suma
184

15

Resultado
simplificado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
119
19
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 2: Efectúe
Proceso de solución
3 1 2
1 2
2     6  
4 2 3
3 5
2 
3 1 2
1
2
   6

4 2 3
5

 3
Se divide
Se multiplica
6 2 6 2
2    
4 3 3 5

Se resta
1 2 6 2
   
2 3 3 5

Se resta
1 6 2
 
6
 3 5
Se resta
11 2
 
5

6

Se resta
43

30


Resultado
simplificado
Ejemplo 3: Efectúe
25
1
 2   100
8
2
Proceso de solución
25
1
 2   100
8 
2

Se divide
Se divide
25 1

16
100



Se resta
621
400
Resultado
simplificado
120
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
110/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 4: Efectúe
111/ 143
1 4 2 1
3 1 3
   4  
2 5 7 3 10 4 5
Proceso de solución
1
4 2 1
3 1 3
   4  
2 
5 7
3 
10
4 5



Se multiplica
Se multiplica
1 8 1 43 1 3
  
 
2
35
3
10
4 5


Se suma
Se multiplica
51 1 43 3
  
70
3 40 5
Se resta
83 43 3
 
210
40


 5
Se suma
247 3

168
5



Se resta
731
840
Resultado
simplificado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
121
21
1
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Con signos de agrupación
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Se resuelven primero las operaciones que están dentro de los signos
de agrupación.
3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
4. Por último se efectúan las sumas y restas.
Ejemplo 1:
2  3  1 2 1 4
    1      
3  2  4 5 3 3
Proceso de solución




2  3  1 2 1 4
    1      
3  
2  4 5 
3 3
Se
suma
 Se suma 


2  5 1
2 5
     
3
5 3
 2 4 

Se multiplica
Se multiplica
10 1 10
  
4 15

6

Se resta
17 10
 
12
15


Se suma
25

12


Resultado
simplificado
122
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
112/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 2:
3  1 3 
1 2  
      3     
2  5 8 
4 3  
Ejemplo 3:
Proceso de solución

 
 
3  1 3 
2  
    3 

2  5  8   12   


  Se resta   



3  1 51 
   
2 
5
48


 Se suma 
3  101 


2
80


Se multiplica
303

160



Resultado
simplificado
2    1
4  
 3   4     5    
3    3
5  
Proceso de solución

 
 
3  1 3 
1 2  
    3     
2  5  8 
4 3  

Se
multiplica  
 





3  1  3 17  
  


2  5 
8 6 
 Se multiplica 



113/ 143
  
 



2 
1
4   
 3   4     5    
3    3 5   
  
   Se divide
  
 
2    14 4   
 3   4       
3   
5  
3

   Se suma   
 



2 
 82   
 3   4      
3   
15  
  Se multiplica  



2   328  
 3   

3  
 15  
 Se resta 
2 283

3
15



Se resta
91

5
Resultado
simplificado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
123
23
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
114/ 143
Aplicaciones que se resuelven utilizando operaciones con racionales
Una recomendación
Para resolver problemas:
a) Lea detenidamente el problema hasta que llegue a una comprensión
absoluta del mismo.
b) Discrimine los datos, siempre es importante saber que dato se necesita
para resolver el problemas y que datos están sólo para contextualizarlo.
c) Siempre haga un planteamiento del problema y resuelva correctamente
las operaciones implicadas.
d) Verifique que la respuesta encontrada este de acuerdo a los datos
proporcionados.
Ejemplo 1: Una compañía en pintar las líneas blancas en la carretera gasta un galón de
pintura cada 2 Km. de Tegucigalpa a Talanga hay 52 Km, ¿Cuántos galones de pintura se
gastan?, si cada galón le cuesta a la compañía Lps. 876.00, ¿Cuánto se gasta en pintura?
En uso de equipo y mano de obra la compañía gasta Lps. 8,600.00 por Km de carreta
pintado. Por hacer ese trabajo la compañía cobra al Estado de Honduras Lps. 17,600.00
por Km, ¿Cuánto le cuesta al Estado pintar los 52 Km de carreta y de cuánto es la ganancia
de la compañía que lo hace?
Proceso de solución
12.
3.
Se divide 52 ÷ 2 para saber cuántos galones de pintura se necesitan.
El resultado de la división es 26, que son los galones que se gastarán en pintar los 52
Km de carretera.
Cada galón cuesta Lps. 876.00, se multiplica: 26 x 876 y ese el gasto en pintar la
carretera, 52 x 8600 para saber el costo de pintar de la compañía y para saber lo que
el Estado paga se multiplica 52 x 17,600.

4.
5.
6.
124
1
2 6
8 7 6

8
6 0 0
5 2
1 5 6
 1 8 2
2 0 8
1 7 2 0 0
4 3 0 0 0
2 2 7 7 6
4 4 7 2 0 0

1 7
6 0 0
5 2
3 5 2 0 0
 8 8 0 0 0
9 1 5 2 0 0
Gastos totales de la compañía: 22,776 + 447,200 = Lps. 469,976.00
El cobro que hace la compañía al estado es de Lps. 915,200.00
Ganancia de la compañía: 915,200 – 469,976 = Lps. 445,224.00
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
115/ 143
Ejemplo 2: Una ladrillera produce en un día completo de trabajo 985 ladrillos, y 450 si
sólo se trabaja la mitad del día. El precio de costo es de Lps. 2.00 cada uno. Se trabaja
de lunes a viernes todo el día y el sábado media jornada, ¿Cuántos ladrillos se producen en
12 semanas?, ¿Cuál es el costo de la producción en las 12 semanas? Si se vende el mil de
ladrillos a Lps. 2400.00, ¿Cuál es la ganancia en la producción?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
125
25
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
116/ 143
EJERCICIO PRÁCTICO
1) A continuación se le presentan una serie de figuras con una región coloreada para que
escriba en el rectángulo la región que representan.
Esta fracción representa
Esta fracción representa
Esta fracción representa
Esta fracción representa
2) Convierta a número mixto las siguientes fracciones impropias.
10
8
9
f)
2
a)
b)
5
6
g) 
c)
7
10
3
7
h) 
d) 
12
11
i)
5
2
17
4
4
8
2
j) 
5
e) 
3) Convierta a fracción impropia cada una de los siguientes números mixtos.
10
8
9
f) 4
2
a)  2
b) 4
5
6
g) 1
3
7
12
h)  2
11
c)  5
7
10
5
2
17
gi ) 6
4
d)  7
4
8
2
j) 8
5
e) 5
4) Exprese en forma de fracción los siguientes enteros.
a) Convierta 4 unidades a tercios.
b) Convierta 3 unidades a octavos.
c) Convierta 10 unidades a medios.
d) Convierta 9 unidades a onceavos.
e) Convierta 23 unidades a cuartos.
f) Convierta 25 unidades a séptimos.
126
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
117/ 143
5) Dibuje un diagrama para cada una de las siguientes fracciones:

Fracciones propias
8
10
2
f)
9
a)

5
6
7
g)
10
3
7
11
h)
12
b)
2
5
4
i)
11
c)
6
8
3
j)
8
d)
e)
Fracciones impropias y números mixtos
10
8
9
f)
2
a)
5
6
7
g) 3
10
b) 2
3
7
12
h)
11
5
2
17
i)
4
c) 1
4
8
2
j) 3
5
d)
e) 2
6) Represente en la recta numérica cada una de las fracciones siguientes:

Fracciones propias
8
10
2
f)
9
a)

5
6
7
g) 
10
b) 
c)
3
7
h) 
d) 
11
12
i)
2
5
4
11
e)
6
8
j) 
3
8
Fracciones impropias y números mixtos
10
8
9
f) 
2
a)
5
6
7
g) 3
10
3
7
12
h)
11
b)  2
5
2
17
i) 
4
c) 1
d)
4
8
2
j) 2
5
e)  1
8) Efectúe las siguientes sumas y restas con fracciones:
2 1 3 3 2 1
    
3 5 4 7 5 2
1 21 19 8
c)    
3 3 3 3
2 3 5 6
e)    
3 4 6 7
1
4
g) 3  2
5
5
17
1 7
i)
4 
9
2 11
a)
MÓDULO No.3
1 11 34 7 24 18
    
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
d)    
2 4 3 5
2 3 5 6
f)   
3 4 6 7
1
4
h) 1  3
5
5
7
1 7
j)   3 
9
2 4
b)
MATEMÁTICAS
127
27
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
9) Efectúe las siguientes multiplicaciones con fracciones:
 3  2   4 
a )    5  2  
 7  3   5 
 7  5  3 
b)       
 3  4  5 
 5
c) 12    10 
 12 
7  5 3
d)      
 3  4 5
 7  5  3 
e)         
 3  4  5 
3
 4
f )   5 2   
7
 5
 7  3  3 
g)     
 3  4  5 
5
h) 2    10 
2
7  3  2
i)        
3  4  5
 1  5  3 
j)      
 4  4  5 
10) Efectúe las siguientes divisiones con fracciones:
3  2
a )     5 
7  3
 7  3
b)       
 3  4
 5
c) 12   
 12 
7  5
d ) 10    
9  4
17 8
e)  
11 10
 3  2
e)      2 
 7  3
 1 3
f )  7  
 3 4
1  5
g     
3  2
3  3
h) 8    
4  5
 5  3
i )  3    6 
 4  5
11) Efectúe las siguientes operaciones con fracciones:
3  2 1
a ) 7    6  5  
5  3 4
11 7
3 5
b)     10   
23 3
4 4
3  2 1
f )  3    6  3  
5  3 4
11 7 3 5
g)      2  
23 3 4 4
 5 1 1
c) 3       2
 12 2 4 
11 7 2 3 5 3 2 3
d)         
3 3 3 5 4 4 4 5 5
5 1 1
h)  3       2
2 3 4
11 7 2 3 5 3 2 3
i)           
3 3 3 5 4 4 4 5 5
1 7 3 5  2 3
e) 6     5     4   
 4 3 5 4 7 5
1 7 3 5  2 3
j)  6     5     4   
 4 3 5 4 7 5
128
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
118/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
119/ 143
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES
FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN
Lectura y escritura de números decimales
Número decimal
Definición
Los números decimales son otra forma de representación de las fracciones, están
formados por una parte entera y una parte decimal. Dependiendo del país o la zona
donde se viva, la parte entera está separada de la parte decimal por un punto, una
coma o un apóstrofe.
La parte entera va a la izquierda del punto y la parte decimal va a la derecha del
punto.
1, 234

.
987



Parte entera Punto decimal Parte decimal
Para leer y escribir números decimales se recurre al Sistema de Numeración Decimal, este
nombra las posiciones que están a la izquierda y a la derecha del punto decimal.
PARTE DECIMAL O
FRACCIONARIA
MATEMÁTICAS
CENTENAS
TRES
POSICIONES
MÁS
dm
cm
mm
Cien milésimas
UNIDADES DE
MILLAR
U
Milkésimas
DECENAS DE
MILLAR
MÓDULO No.3
D
Centésimas
C
PRIMERAS TRES
POSICIONES
DECIMALES
d
c
m
Décimas
UM
UNIDADES
DM
DECENAS
CM
Punto
Decimal
•
CLASE DE LAS
UNIDADES
CENTENAS DE
MILLAR
CLASE DE LOS
MILES
Diez milésimas
PARTE ENTERA
129
29
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
120/ 143
Significado de la parte decimal
Ejemplo 1: Una pieza de motor va dentro de otra pieza separada por 0.8 mm y lubricada
por aceite para evitar la fusión de las piezas debido al calor producido por la fricción. ¿Qué
significado tiene 0.8?
Proceso de solución
Según vemos en la tabla, el número decimal se lee cero enteros, 8 décimas. Esto quiere decir
que la unidad, 1 mm (Un milímetro) en este caso, se dividió en 10 partes, cada parte mide
0.1 mm y la medida de 8 de esas partes es la separación entre una pieza y otra del motor.
Para tener una idea de la pequeñísima distancia entre las piezas, ¿Qué medirá 0.1 mm? El
grosor de un cabello humano es aproximadamente 0.1 mm, es decir que la distancia entre
las piezas es del grosor de 8 cabellos humanos.
Ejemplo 2: Pedrito lleva en sus manos a la pulpería tres monedas de 50 centavos para
comprar un bombón, ¿Qué significado tiene cada moneda que Pedrito lleva?
Proceso de solución
La palabra centavo se deriva de la parte decimal centésima, eso quiere decir que la unidad,
1 lempira en este caso, se dividió en 100 partes y de esas se tomaron 50, que es valor de la
moneda.
El siguiente cuadro muestra las monedas de actual circulación en Honduras, tienen diferentes
denominaciones, es decir de diferente valor cada una. En el cuadro se explica su significado
decimal y fraccionario
130
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
PARTE
FRACCI0NARIA
DENOMINACIÓN
VALOR DECIMAL
1 centavo
0.01
1
100
2 centavos
0.02
2
100
5 centavos
0.05
10 centavos
0.10
5
100
10
100
20 centavos
0.20
50 centavos
0.50
121/ 143
SIGNIFICADO
El lempira se dividió en 100 partes y la
moneda representa una centésima.
El lempira se dividió en 100 partes y la
moneda representa dos centésimas.
El lempira se dividió en 100 partes y la
moneda representa cinco centésimas
El lempira se dividió en 100 partes y la
moneda representa diez centésimas
El lempira se dividió en 100 partes y la
moneda representa veinte centésimas
20
100
50
100
El lempira se dividió en 100 partes y la
moneda representa cincuenta centésimas
Ejemplo 3: En el siguiente cuadro se da el número decimal y el nombre que recibe según
el sistema de numeración decimal.
Cantidad decimal
Lectura del número decimal
56.934
Cincuenta y seis enteros, novecientos treinta y cuatro milésimas
-345.89
Negativo trecientos cuarenta y cinco enteros, ochenta y nueve
centésimas
0.00123
Cero enteros, ciento veintitrés cien milésimas
-0.0012
Negativo doce diez milésimas
71,234.5602
Setenta y un mil, docientos treinta y cuatro enteros, cinco mil
seiscientos dos diez milésimas
Ejemplo 3: En el siguiente cuadro se da el nombre que recibe una cantidad según el sistema
de numeración decimal y la representación decimal correspondiente.
Lectura del número decimal
Cantidad decimal
Docientos catorce enteros, cuarenta y tres milésimas
214.043
Cero enteros, ciento noventa y ocho millonésimas
0.000008
Negativo sesenta y cuatro diez milésimas
Cuatro millones, cien mil treinta y un enteros, nueve
décimas
Negativo ocho diez milésimas
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
-0.0064
4,100,031.9
-0.0008
131
31
1
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
122/ 143
Conversión de una fracción en decimal
La forma decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador con el denominador
de la fracción.
Ejemplo 1: Calcule la forma decimal de
1240
318
con tres cifras decimales.
1. La forma decimal resulta de dividir: 1240 ÷ 318. Se dividen los enteros hasta obtener
tres cifras decimales después del punto.
3.899
318 1240
954
Cuando ya no hay cifras que bajar se le
escribe un punto al cociente.
2860
 2544
Cuando no hay cifras que bajar se agrega un
cero.
03160
 2544
Cuando no hay cifras que bajar se agrega un
cero.
0616
2. La forma decimal de
1240
318
es 3.899, tres enteros 899 milésimas.
Ejemplo 2: Calcule la forma decimal de

21
4
con dos cifras decimales.
1. La forma decimal resulta de dividir: - 21 ÷ 4. Se dividen los enteros hasta obtener dos
cifras decimales después del punto.
5.25
4 21
20
10
 08
020
 20
00
2. La forma decimal de
132
1

21
4
Cuando ya no hay cifras que bajar se le
escribe un punto al cociente.
Cuando no hay cifras que bajar se agrega un
cero.
Cuando no hay cifras que bajar se agrega un
cero.
es - 5.25, negativo cinco enteros 25 centésimas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 3: Calcule la forma decimal de 
123/ 143
39
con cuatro cifras decimales.
740
Proceso de solución
1. La forma decimal resulta de dividir: - 39 ÷ 740 Se dividen los enteros hasta obtener
cuatro cifras decimales después del punto.
2. El dividendo – 39 es menor que 7400, se agregan ceros al divisor hasta que el valor
absoluto del dividendo sea mayor que el del divisor.
Como el dividendo 39 es menor que
el divisor 740, se escribe cero en el
cociente y punto decimal, porque no
se puede formar ningún grupo de 740
unidades con 39 unidades.
Como el dividendo 390 es menor que
el divisor 740, se escribe otro cero
después del punto decimal, porque no
se puede formar ningún grupo de 740
con 390 unidades.
0.
740 39
0.0
740 390
Se escribe cero
en el dividendo.
3. Se agrega otro cero a 390 y se divide hasta obtener un cociente de cuatro cifras decimales
después del punto.
0.0527
740 3900
3700
02000
 1480
05200
 5180
Se escribe cero en el dividendo.
Como no hay cifras que bajar se agrega
un cero.
Como no hay cifras que bajar se agrega
un cero.
0020
4º: La forma decimal de 
MÓDULO No.3
39
es de - 0.0527, cero enteros 527 diez milésimas.
740
MATEMÁTICAS
133
33
3
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
124/ 143
Clasificación de los números decimales
Período de un número decimal
Definición
El período de un número decimal es la cifra o cifras que se repiten infinitamente
en las décimas, es decir exactamente en el punto decimal, o en cualquier cifra
después de las décimas.
Los números decimales se clasifican de acuerdo a su forma decimal en:
 Decimales periódicos puros
Definición
Son los números con infinitas cifras decimales, cuyo período se repite a partir
de las décimas, es decir exactamente en el punto decimal.
Ejemplo 1: Calcular la expresión decimal de
2
3
Proceso de solución
1. Se divide 2 ÷ 3
0.666
30 20
18
020
 18
El residuo es 2 siempre, se puede seguir
agregando cero al dividendo y obteniendo el
mismo residuo in initamente.
020
 18
02
2º: La forma decimal de 2 es 0.666666... Como el 6 empieza a repetirse en el punto
3
decimal, se dice que es decimal periódico puro. Una forma de simbolizarlo es escribiendo
un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.66666  0.6
134
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
125/ 143
Ejemplo 2: Calcular la expresión decimal de  21
33
Proceso de solución
1. Se divide 8 ÷ 15
0.6363
33 210
198
0120
 99
El residuo es 21, se puede seguir agregando
cero al dividendo y obteniendo el mismo
residuo in initamente.
0210
 198
0120
 99
021
21
es 0.636363... Como el 63 empieza a repetirse en el punto
33
decimal, se dice que es decimal periódico puro. Una forma de simbolizarlo es escribiendo
2. La forma decimal de 
un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.636363  0.63
 Decimales periódicos mixtos
Definición
Son los números con infinitas cifras decimales, cuyo período se repite en
cualquier cifra después de las décimas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
135
35
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 1: Calcular la expresión decimal de
126/ 143
8
15
Proceso de solución
1. Se divide 8 ÷ 15
0.5333
15 80
75
El residuo es 5, se puede seguir agregando
cero al dividendo y obteniendo el mismo
residuo in initamente.
050
 45
050
 45
05
8
es 0.53333... Como el 3 empieza a repetirse en las
15
centésimas, es decir después del punto decimal, se dice que es decimal periódico puro.
2. La forma decimal de
Una forma de simbolizarlo es escribiendo un guión sobre la cifra que se repite, así:
0.53333  0.53
Ejemplo 2: Calcular la expresión decimal de 
Proceso de solución
1. Se divide 7 ÷ 12
0.58333
12 70
60
0100
 96
7
12
El residuo es 5, se puede seguir agregando
cero al dividendo y obteniendo el mismo
residuo in initamente.
040
 36
040
 36
2.
04
7
La forma decimal de  12 es 0.583333... Como el 3 empieza a repetirse en las centésimas,
es decir después del punto decimal, se dice que es decimal periódico puro. Una forma de
simbolizarlo es escribiendo un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.583333
136
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
127/ 143
 Decimales exactos
Definición
Son los números con finitas cifras decimales, es decir el residuo de la división
es cero.
Ejemplo 1: Calcular la expresión decimal de
Proceso de solución
1. Se divide 15 ÷ 4
15
4
3.75
4 15
12
030
 28
El residuo es
exacta.
0, por eso la división es
020
 20
00
2. La forma decimal de
15
es 3.75
4
Ejemplo 2: Calcular la expresión decimal de
Proceso de solución
16
1. Se divide 246 ÷ 16

246
16
15.375
246
16
086
 80
060
 48
0120
 112
El residuo es
exacta.
0, por eso la división es
0 080
 80
00
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
137
37
7
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
2. La forma decimal de 
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
246
es 15.375.
16
NOTA ESPECIAL
Existen otros tipos de números que no son racionales pero que tiene una forma
decimal llamada no periódica. Esto significa que no tienen cifras que se repitan
periódicamente. Los griegos le llamaron inconmensurables haciendo alusión a que
no se podían calcular con procedimientos de regla y compás.
Hay cuatro números muy importantes en la historia de la matemática y que fueron
utilizados por muchas civilizaciones antiguas, estos son los siguientes números:
 El número pi (π): Se llama así por la letra griega que se utilizó para representar
esa constante. Representa las veces que el diámetro cabe en la circunferencia.
Su uso se remonta siglos antes de Cristo: descubierto por egipcios, babilonios,
chinos, griegos y otras civilizaciones.
El matemático japonés Shigeru Kondo en el 2011 impuso el record de mayor
cantidad de dígitos calculados al número usando súper computadoras: 10 000
000 000 000 de dígitos. Las primeras 50 cifras de su cálculo se muestran a
continuación:
π ≈ 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…
 El número e: Fue descubierto por Jacob Bernoulli en el siglo XVII d. C. y se
utiliza la letra e porque el matemático Leonard Euler lo nombró así en el siglo
XVIII. Ambos matemáticos fueron suizos. Las primeras 50 cifras después del
punto son las siguientes:
e ≈ 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...
 El número de oro phi (): Se llama así porque la letra griega que se utilizó
para representar la constante, se lee fi. Fue descubierto por los griegos y las
primeras 50 cifras son las siguientes:
  ≈ 1,6180339887498948482045868343656381177203091798057…
 La raíz cuadrada de 2  2  : Su descubrimiento se le atribuya a los egipcios
y babilonios, sin embargo la demostración formal de su existencia se debe a
Pitágoras de Samos, matemático griego del siglo IV a. C. Las primeras 32
cifras del números son:
 2  ≈ 1.4142135623730950488016887242097…
138
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
128/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
129/ 143
Representación gráfica de decimales
Números decimales con cero en la parte entera
Ejemplo 1: Graficar tres décimas, es decir 0.3
Proceso de solución
1. El decimal es positivo y la parte entera es cero, eso quiere decir que está ubicado entre
0 y 1.
2. La representación de tres décimas es la fracción propia:
partes y se toman 3.
0.3
0
3
10
, se divide la unidad en 10
1
Ejemplo 2: Graficar tres décimas, es decir 0.8
Proceso de solución
1. El decimal es positivo y la parte entera es cero, eso quiere decir que está ubicado entre
0 y 1.
2. La representación de ocho décimas es la fracción propia:
partes y se toman 3.
0.8
0
8
10
, se divide la unidad en 10
1
Ejemplo 3: Graficar tres décimas, es decir - 0.6
Proceso de solución
1. El decimal es positivo y la parte entera es cero, eso quiere decir que está ubicado entre
0 y 1.
2. La representación de negativo seis décimas es la fracción propia:
unidad en 10 partes y se toman 6.
-1
MÓDULO No.3
-0.6
MATEMÁTICAS

6
10
, se divide la
0
139
39
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
130/ 143
Números decimales con parte entera distinto de cero
Ejemplo 1: Graficar tres décimas, es decir 2.45
Proceso de solución
1. El decimal es positivo y la parte entera es 2, eso quiere decir que está ubicado entre 2 y
3.
2. La representación de 2 enteros 45 centésimas es el número mixto:
2
45
9
45
9
 2  La simplificacion de
es
100
20
100
20
3. Se toman dos enteros positivos, la unidad de 2 a 3 se divide en 20 partes y se toman 9
partes.
0
1
2
2 enteros
2.45
3
45 centésimas
Ejemplo 2: Graficar tres décimas, es decir -1.25
Proceso de solución
1. El decimal es positivo y la parte entera es -1, eso quiere decir que está ubicado entre -1
y -2.
2. La representación de negativo un entero 25 centésimas es el número mixto:
1
25
1
25
5 1
 1  La simplificacion de
es

100
4
100
20 4
3. Se toma un entero negativo, la unidad de -1 a -2 se divide en 4 partes y se toma 1
parte.
-1.25
-2
-1
0
-25 centésimas -1 entero
140
1
MÓDULO No.3
1
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
131/ 143
OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS DECIMALES Y APLICACIONES
Suma de números decimales de igual signo
Para sumar decimales se hace lo siguiente:
1. Se colocan los números en las posiciones correspondientes de forma que el punto
decimal forme una columna. Se aplican las mismas reglas que la suma y resta de
enteros.
2. En la parte entera las unidades quedan bajo las unidades, decenas bajo decenas,
etc.
3. En la parte decimal las décimas quedan bajo las décimas, centésimas baja las
centésimas, etc.
4 El resultado se aproxima si se lo piden.
 Ejemplo 1
Suma de decimales positivos: 234.56 + 89.7 + 1,450.234 + 287.45
 234.560 
89.700 
 Puede completar con ceros las posiciones que falten
1450.234 
287.450 
2061.944  Resusltado : 2061 enteros, 944 milesimas
 Ejemplo 2
Suma de decimales negativos: -833.5 - 809.7 - 6,450.2 - 87.4
 833.5
 809.7
 6450.2

87.4
 8180.8  Resusltado :  8180 enteros, 8 decimas
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
141
41
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Suma de números decimales de diferente signo
 Ejemplo 1
Suma de decimales positivos: -234.5 + 84.56 + 1,450.23 - 287.1
Proceso de solución
1. Se suman los positivos.
2.
Se suman los negativos.
 84.56
234.5
1450.23
287.1
1534.79
521.6
3. Se restan los resultados.
1534.79
 521.60  Complete con cero la posicion que falta
1013.19  1013 enteros, 19 centesimas
 Ejemplo 2
Suma de decimales negativos: -3.5 + 9.78 + 50.2 - 97.454 – 97 + 3
Proceso de solución
1. Se suman los positivos
2.
Se suman los negativos
 9.78
50.20
3.00
 3.500
 97.454
 97.000
197.954
62.98
3. Se restan los resultados
197.954
 62.980  Complete con cero la posicion que falta
134.974  134 enteros, 975 milesimas
142
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
132/ 143
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
133/ 143
Resta de números decimales
 Ejemplo 1
Reste -5,833.59 de 10,879.32
Proceso de solución
1. Plantear la resta, Minuendo – Sustraendo:
10,879.32  5,833.59 
 10,879.32  5,833.59
2. Resolver la operación:
10879.32
5833.59
16712.91  16, 712 enteros, 91 centesimas
 Ejemplo 2
De 0.00345 reste 0.02341
Proceso de solución
1. Plantear la resta, Minuendo – Sustraendo:
0.00345 – 0.02341
2. Resolver la operación:
0.02341
0.00345
0.01996  Negativo cero enteros, 1996 cien milesimas
 Ejemplo 3
De -3.9 reste 3.91
Proceso de solución
1. Plantear la resta,
Minuendo– Sustraendo:
–3.9 –3.91
2. Resolver la operación:
3.90
3.91
7.81  Negativo 7enteros, 81 centesimas
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
143
43
3
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
134/ 143
Multiplicación de decimales
Para multiplicar decimales se hace lo siguiente:
1. Se multiplican los números como si fueran enteros.
2. Al producto se le separan de derecha a izquierda tantos lugares como cifras
decimales haya en el multiplicando y en el multiplicador.
3. En el producto de decimales se aplica la ley de los signos igual que en los enteros
y las fracciones.
4. El resultado se aproxima si se lo piden.
Ejemplo 1: Efectúe 7.23 x 7.4
Proceso de solución
1. Se efectúa la multiplicación como si los números fueran enteros.
7 2 3
7 4

5
2 8 9 2
 5 0 6 1
3.
5
0
2.
El punto pasa de derecha a izquierda 3 lugares.
5 3 5 0 2
2. Se cuentan las cifras decimales de los factores: El número 7.23 tiene dos y 7.4 tiene una.
En total son 3 cifras decimales
3. Aplicando la ley de los signos, es el producto de dos números positivos, por lo tanto su
producto es positivo. El resultado es: 7.23 x 7.4 = 53.502
Ejemplo 2: Efectúe -0.842 x 12.39
Proceso de solución
1. Se efectúa la multiplicación como si los números fueran enteros.

144
1
1
8 4 2
2 3 9
7

2 5
1 6 8
8 4 2
5
2
4
7 8
6
1 0
2
3
4
3
–10.
4
3
2
3
8.
El punto pasa de derecha a izquierda 3 lugares.
8
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
135/ 143
2. Se cuentan las cifras decimales de los factores: El número -0.842 tiene tres y 12.39 tiene
dos cifras decimales. En total son 5 cifras decimales
3. Aplicando la ley de los signos, es el producto de un número negativo con uno positivo,
por lo tanto su producto es negativo.
El resultado es: 4-0.842 x 12.39 = -10.43238
Ejemplo 3
Efectúe 62.92 x 1000
Proceso de solución
1. Se copia el multiplicando 62.92 y se corre el punto a la derecha tantos lugares como
ceros tenga la unidad.
2. Si es necesario se completa con ceros las cifras que hagan falta.
62.
9
2
0.
El punto pasa de izquierda a derecha 3 lugares
3. El resultado es 62,920: Sesenta y dos mil novecientos veinte.
Ejemplo 3
Efectúe 100 x - 0.5731
Proceso de solución
1. Se copia el multiplicador - 0.5731 y se corre el punto a la derecha tantos lugares como
ceros tenga la unidad.
2. Si es necesario se completa con ceros las cifras que hagan falta.
–0.
5
7.
3
1
El punto pasa de izquierda a derecha 2 lugares
3. El resultado es - 57.731: Negativo cincuenta y siete enteros, 31 centésimas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
145
45
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
136/ 143
División de decimales
Para dividir decimales se hace lo siguiente:
1. Se cuentan las cifras decimales del dividendo y del divisor.
2. Se dividen los enteros como si fueran enteros.
3. En la división de decimales se aplica la ley de los signos igual que en los enteros y
las fracciones.
4. El resultado se aproxima si se lo piden.
Ejemplo 1
Efectúe: 12.4 ÷ - 3.18 hasta milésimas.
Proceso de solución
1. Se comparan las cifras decimales de los factores: 12.4 ÷ - 3.18
1 cifra decimal
2 cifras decimales
2. Como el dividendo solo tiene una cifra decimal, se completa con un cero para que tenga
dos cifras decimales, la división a efectuar es: 1,240 ÷ - 318.
3. Se dividen los enteros hasta obtener tres cifras decimales después del punto.
3.899
318 1240
–954
Cuando ya no hay cifras que bajar
se le escribe un punto al cociente.
2860
Cuando ya no hay cifras que bajar
se le agrega un cero.
–2544
03160
–2544
Cuando no hay cifras que bajar
se agrega un cero.
0616
4. Como es la división de un positivo con un negativo, el cociente es negativo: 12.4 ÷ - 3.18
= - 3.899, negativo 3 enteros, 899 milésimas
146
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
137/ 143
Ejemplo 2
Efectúe: 0.31 ÷ 6.4 hasta milésimas.
Proceso de solución
1. Se comparan las cifras decimales de los factores: 0.31 ÷ 6.4
2 cifras decimales
1 cifra decimal
2. El dividendo tiene dos cifras decimales y el divisor una, se le agrega un cero al divisor,
la división a efectuar es: 31 ÷ 640.
Como el dividendo 31 es menor que el
divisor 640, se escribe cero en el cociente
y punto decimal, porque no se puede
formar ningún grupo de 640 unidades
con 39 unidades.
0.
640 310
Se escribe
cero en el
dividendo.
Como el dividendo 31 es menor que el
divisor 640, se escribe cero en el cociente
y punto decimal, porque no se puede
formar ningún grupo de 640 unidades
con 39 unidades.
0.0
640 3100
Se escribe
cero en el
dividendo.
3. Se divide 31 ÷ 6400 hasta obtener tres cifras decimales después del punto.
0.0484
640 3100
2560
05400
 5120
02800
 2560
Se escribe cero en el
dividendo.
Como no hay cifras
que bajar se agrega un
cero.
0240
4. Como es la división de números dos números positivos, el cociente es un número positivo:
31 ÷ 6400 = 0.0484, cero enteros, 484 diez milésimas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
147
47
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
138/ 143
Operaciones combinadas con números decimales
Las reglas para resolver operaciones combinadas con enteros son las mismas que se utilizan
para enteros y fracciones.
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
3. Por último se efectúan las sumas y restas.
Sin signos de agrupación
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Proceso de solución
Proceso de solución
Efectúe:
2.3 – 5.4 x 4.2 – 12.3 ÷ 2.4 – 7.1
2.3  5.4
 4.2
 2.4


  12.3

  7.1
Se multiplica
Se resta
20.38  5.125  7.1


25.505  7.1



Se resta
 18.405

Resultado
8.2  10
 2.5
 2.1



  1.2  0.6


  2.45
Se divide
Se divide
2.3

22.68

  5.125  7.1
Se suma
Efectúe
–8.2 + 10 ÷ 2.5 + 1.2 – 0.6 x 2.1 + 2.45
Se multiplica
8.2  4  1.2 1.26  2.45



Se resta

 1.2
4.2

  1.26  2.45
Se resta

3 
1.26


2
Se suma

4.26  2.45

Se resta
 1.81



Resultado
148
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
Ejemplo 3
Efectúe 10.5 ÷ 2 – 20.5 ÷ 2
Proceso de solución
Ejemplo 4
Efectúe 0.8 + 2 x 4.3 – 1.2 + 0.6 x 0.2 – 1.3
Proceso de solución
0.8  24.3
 0.2
  1.2  0.6


  1.3
2  20.5
2
10.5




Se divide
139/ 143
Se multiplica
Se divide
Se multiplica
0.8  8.6  1.2  0.12  1.3



 10.25
5.25

Se suma
Se resta
9.4
 1.2


  0.12  1.3
 5
Se resta
Resultado
8.2
0.12


  1.3
Se suma
8.32  1.3


Se resta
7.02

Con signos de agrupación
Resultado
Regla básica
Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente:
1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha.
2. Se resuelven primero las operaciones que están dentro de los signos de
agrupación.
3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan.
4. Por último se efectúan las sumas y restas.
Ejemplo 1:
4.4 x (–1.2 – 0.68) + 0.55 – 3 x (7.7 + 0.56)









4.4   
1.2
0.68
0.55
3
7.7
0.56
 
 
 
 
Se
suma
Se
suma




4.4  1.88   0.55  3
8.26







Se multiplica
Se multiplica
Proceso de solución
8.272

 0.55


  24.78
Se resta
7.722

 24.78



Se suma
 35.502

Resultado
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
149
49
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Ejemplo 2
Ejemplo 3:
Proceso de solución
Proceso de solución



  
3.4  4.9  0.2   3.1  0.5
4.6




  


Se multiplica  



 
  
  
1.2  2  3   
2.1  0.5
  0.4   
 
   Se divide
  
  
  

1.2  2  3   
4.2
0.4
   
 
   Se suma   
 

 

1.2  2  3  4.6  


  
Se multiplica  





1.2  2  13.8 
 
 
Se resta

 15.8
1.2


3.4 x {–4.9 – [0.2 x (3.1 – 0.5 x 4.6)]}

 
  
3.4  4.9   2   3.1
 2.3


  
  Se resta   



 
3.4  4.9   20.8

 
 Se multiplica  



3.4  
 1.6
4.9


 Se suma 
3.4  6.5 

Se multiplica
 22.1



1.2 – {2 – [3 x (–2.1 ÷ 0.5 + 0.4)]}
Se resta
 14.6



Resultado
Resultado
Aplicaciones que se resuelven utilizando operaciones con decimales
Una recomendación
Para resolver problemas:
a) Lea detenidamente el problema hasta que llegue a una comprensión
absoluta del mismo.
b) Discrimine los datos, siempre es importante saber que dato se necesita
c)
d)
150
1
para resolver el problemas y que datos están sólo para contextualizarlo.
Siempre haga un planteamiento del problema y resuelva correctamente
las operaciones implicadas.
Verifique que la respuesta encontrada este de acuerdo a los datos
proporcionados.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
140/ 143
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
141/ 143
Problema 1
El dueño de un restaurante desea remodelar el área de lavado de los clientes y quiere saber
el costo de la inversión. Prepare una cotización con los materiales que se necesitan para
hacer el cambio del servicio y el lavamanos. Calcule el costo de la remodelación. .
No.
DESCRIPCIÓN
CANTIDAD
VALOR
UNITARIO
1
Tubo de pvc de 4 plg
1m
80.65
2
Codos de 4 plg
2
25.35
3
Camisa de pvc 4 plg
2
12.45
4
Tubo de pegamento para
pvc
2 ud
50.00
5
Masilla de porcelana
1 lb
30.00
6
Sanitario
1–
1254.82
7
Tubo de abasto servicio
1
84.70
8
Válvula para sanitario
1
80.00
9
Lavamanos
1
1000.00
10
Grifo
1
500.00
11
Tubo de abasto lavamanos
1
84.70
12
Válvula lavamanos
1
80.00
13
Accesorios lavamanos
1
100.00
14
Tubo de 2 plg
2m
32.50
15
Codo de plg
2
20.00
16
Reductor de 2plg a 5/4
1
15.00
17
Barra de silicón
1
58.90
18
Rollo de te lón
2
10.50
19
Bolsa de cemento
1
153.00
20
Arena
½m
150.00
21
Bolsa de arenilla rosada
1
30.00
22
Mano de obra
2 días
600.00
SUBTOTAL
TOTALES
PARCIALES
Total
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
151
51
1
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
Contenido Teórico
No.01
142/ 143
EJERCICIO PRÁCTICO
1) Convierta a decimal las siguientes fracciones, luego clasifíquelos de acuerdo a su forma
decimal.
a)
3
5
e) 
b) 
4
15
4
12
f) 
22
9
c)
7
11
d) 
g)
7
40
h)
37
6
19
27
2) Clasifique los siguientes decimales dados en periódicos puros, mixtos o exactos.
a) –12.346
b)
12.55555...
c) –1.29343434...
d) –123.831
b) 0.0219
f)
–4.173
g) 0.54191919...
h) –0.658
3) Represente en la recta numérica cada una de los siguientes decimales.
a) –3.3
b)
2.5
c) –3.2
d) 1.65
e) 0.7
f)
–0.25
g) 2.9
h) –1.7
4) Efectúe las siguientes sumas y restas con decimales.
a) –3.2 – 0.67 – 5.8 – 9.40 – 0.32 – 4.65 – 1.73 –6.98
b) 13.4 + 34.56 + 9.80 – 24.35 – 76.86
c) –2.435 + 8.970 + 24.354 – 65.758
d) –1.829 – 23.4 de 34.54
e) Reste –23.4 de 34.54
f) De 86.85 reste –2.35
g) Reste –0.435 de –0.65
h) De –53.09 reste 123.24
152
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas con Números Naturales,
Enteros, Decimales y Racionales
143/143
5) Efectúe las siguientes multiplicaciones con decimales.
a) (–3.4)(8.7)(0.16)
b) (–1.4)(–3)(–7.5)(–0.12)(–1.9)
c) –142.35 x 98.76
d) 8.7 x –10000
e) (6.7)(8)(–0.9)(3.6)
6) Efectúe las siguientes divisiones con decimales.
a) (–45.6 ÷ 8.7
b) –12.89 ÷ 1.2
c) 45.6 ÷ (–0.45)
d) 65.4 ÷ 2.4
e) –54.6 ÷ (–0.96)
f) 234.5 ÷ 100
g) –4.5 ÷ 100
7) Efectúe las siguientes operaciones con decimales.
a) (–3.1 + 7.3 x (0.5 + [8.8 – 0.7 x 2])
b) (2.6 + 0.9) + (–7.2 –5.4) + [8.6 – 1.2 + (0.7 – 1.3)]
c) –1.5 + 2.3(4.6 + [–6.5 + 4.9(0.8 + 2.5 ÷ (–4.6))])
d) –3.5 + 3.5 x {0.3 –4.4 x (2.4 – 7.5 – 5.1 x (3.9 –1.2))}
e) (6.4 – 6.7)(–7.6 + 7.7)(1 – 10.1)
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
153
53
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Evaluación
1/6|
TIPO VERDADERO O FALSO
Instrucciones
Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta
o una F si la proposición es falsa.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
- 345 es un número natural ..........................................................................
3,002,041 se lee 3 millones docientos mil cuarenta y uno .............................
El resultado de 3 + 2 x 8 – 10 es 30 ...........................................................
99 es un número primo ................................................................................
En el número 102,455 el valor relativo de 4 es 400......................................
Restar -250 de -315 resulta en 65 ...............................................................
155 es múltiplo de 31 ..................................................................................
|–31| es -31 ...............................................................................................
867 x 10000 resulta en 867000 ..................................................................
27 es divisor de 111 ...................................................................................
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
20
(
(
(
)
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
)
)
)
11) 10 es una fracción ........................................................................................
12) -2.016 se lee negativo dos enteros 16 milésimas ...........................................
13) El resultado de 0.5 + 2.5 x 2 – 1.5 es 4.5 ...................................................
2
14)  15 es una fracción impropia ........................................................................
15) El número decimal 12.074 es periódico puro ................................................
16) Restar -3.8 de -0.5 resulta en 3.3 ................................................................
17) 3.4 x 1000 es 3400.....................................................................................
1
18) 2 4 escrito como número mixto es  94 ............................................................
19) -73.3 ÷ 100 resulta en -0.733 ....................................................................
20) 228 simplificado es 112 ...................................................................................
TIPO SELECCIÓN ÚNICA
Instrucciones
Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición.
1)
154
1
El resultado de la operación combinada –50 + 3 X 10 – 160 ÷ 2 es:
A. 100
B. -100
C. 0
D. 450
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Evaluación
2)
El valor relativo de 5 en 2501 es:
A. 5 decenas
B. 5000
C. 5 centenas
D. 5
3)
La siguiente división no está definida:
A. 340 ÷ 340
B. 10 ÷ 10
C. 0 ÷ 0
D. 712 ÷ 0
El número 210 es divisible por:
A. 2, 3 y 5
B. 2, 3, 5, y 7
C. 2, 5 y 7
D. 3, 5 y 7
4)
5)
La descomposición en factores primos de 88 es:
A. 23 x 11
B. 23
C. 11
D. 2 x 11
6)
El mcd ( 2, 4, 8 ) es:
A. 4
B. 2
C. 1
D. 8
7)
341 es divisible por:
A. 7
B. 13
C. 19
D. 11
8)
El resultado de –2 [–3 + (13 – 5 X 2)]:
A. 44
B. 11
C. 12
D. 0
9)
El resultado de (–1)(2)(–1)(–2)(3):
A. 12
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/6
155
55
5
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Evaluación
3/6
B. -12
C. -9
D. 9
10) La descomposición en factores primos de 20 es:
A. 22 x 5
B. 22
C. 5
D. 2 x 5
11) El resultado de la operación combinada
A) 
7
24
B)
|
1
8
2 1 3
  es:
3 2 4
7
C)
24
D)

1
8
12) La forma decimal de  3 :
11
A)
B)
C)
D)
0.2727
-0.2727
0.27
–0.27
13) El siguiente decimal es periódico puro:
A) 23.55
B) 23.85555…
C) 23.5555…
D) 23.5555
14) La región sombreada del diagrama
A) 2 octavos
B) 8 sextos
C) 6 octavos
D) 2 sextos
representa la fracción:
15) Representación en diagrama de la fracción 2 3 :
4
A)
B)
C)
D)
|
156
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Evaluación
16) El resultado de
A)
17)
2 1 3
  :
3 3 4
2
9
2
9
B) 
0
4/6
P
A)  1
9
2
D) 
9
2
1 Según la figura, la fracción que el punto P representa es:
B)  2
3
C)
C) 1
3
3
D)
2
3
18) El resultado de  1 5  1  3   :
4   5 5 
A) 1
B)  1
2
2
C) 2
D) –2
19) El resultado de (0.2)(10)(–0.1):
A)
B)
C)
D)
0.2
-0.2
2
-2
20) –4
A)
B)
C)
D)
–3 representa a:
B
-4.2
-3.2
-3.8
-4.8
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
157
57
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Evaluación
5/6
TIPO PRÁCTICO
Instrucciones
Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos
correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo.
1)
Efectúe las siguientes operaciones con enteros
a. –300 –250 –410 –170 –100
b. 4500 + 1700 – 3500 –600 + 800
c. 5 + 2(7 – 14) – 9 – 3(4 x 2 –10)
d. 3[–2(10 ÷ 5 – 1)) – 3] + 4
2)
Calcule el mínimo común múltiplo y máximo común divisor de:
a. mcd (12, 24, 36)
b. mcm (15, 60)
c. mcm (5, 20, 35)
d. mcd (7, 23)
3)
Resuelva los siguientes problemas:
a) Jorge es tapicero y hace un contrato para reparar los asientos de 12 buses
repartidores de churros de una empresa. Él cobra por cada asiento reparado L
1900.00 El presupuesto de gastos que él ha calculado para reparar cada bus son
los siguientes:
En tela Lps. 450.00, en resistol Lps. 160.00, en esponja Lps. 400.00 y en
accesorios Lps. 250.00 ¿Cuál es la ganancia de Jorge al terminar el contrato?
b)
4)
158
1
Para realizar una obra Enrique necesita 50 bolsas de cemento, 3 metros de grava
y 4 metros de arena; compra los materiales en Ferretería “La Barata” y el costo
de cada material es el siguiente: La bolsa de cemento vale Lps. 150.00, el metro de
arena Lps. 250.00 y el metro de grava Lps. 300.00 a Enrique sólo le dieron Lps.
9,000.00 para pagar, ¿Le dan vuelto o le falta dinero para pagar la factura?
Efectúe las siguientes operaciones con fracciones:
a) –3.05 – 2.504 – 0.412 – 1.73 – 2.119
b) 7.4500 + 8.176 – 3.5 – 6.33 + 2.87
c) 5.1 + 2.3(7.5 – 14.2) – 9.4 – 3.6(4.1 x 2.1 – 10.2)
d) 0.3[–0.2(10 ÷ 5 0.–1)–0.3] + 0.4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Evaluación
5)
6/6
Efectúe las siguientes operaciones con fracciones:
2
1 21 15
2
3   5
3
3 3 3
3
2 1 7
1
2
b)     4  5
3 3 3
3
3
5
1 3 1
 3 
c)  2      3  4   1
2
4 4 2  4 
1 5
 
d )  2   5  1   3   1
2 2
 
a)
6) Resuelva los siguientes problemas:
a) Un transportista compra 4 camiones por un valor de Lps. 120,000.00 cada uno. del
precio de cada camión se pagó en efectivo, del precio con cheque, la diferencia se
queda a deber en 48 cuotas mensuales del mismo valor cada una.
 ¿Cuánto se pagó en efectivo por los 4 camiones?
 ¿Cuánto se pagó con cheques por los 4 camiones?
 ¿Cuánto se quedó a deber y cuál es el valor de cada mensualidad?
b) Por la compra de 21 martillos se pagaron Lps. 1,375.50, por 25 serruchos se pagó
Lps. 2,887.50 y por 40 tenazas se pagó Lps. 6,220.00 ¿Cuánto se pagó en total en
la compra? y ¿Cuál es el precio de cada herramienta?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
159
59
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.02
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
1/11
DENOMINACIONES DE DINERO EN HONDURAS
Breve historia del dinero
Desde tiempos remotos el ser humano ideó sistemas para dar valor a las cosas y poder
intercambiarlas, primero se utilizó el trueque, después el intercambio y luego surgió el
dinero. Las primeras monedas que se conocen, se acuñaron en Lidia, la actual Turquía en
el Siglo VII A. de C., eran de electro aleación natural de Oro y plata, ya que para todos
los pueblos el oro era el metal más valioso seguido de la Plata, patrón que se trasladó a la
fabricación del dinero.
Durante siglos en Grecia, casi 500 Reyes y 1,400 ciudadanos, acuñaron sus propias monedas,
y se estableció la costumbre de adornar cada moneda con el dibujo de su emblema local y
se creó el primer sistema monetario unificado, que, con la caída del imperio se derrumbó,
entonces obispos, nobles, propietarios y diversas localidades se dedicaron a acuñar monedas,
esta dispersión fue habitual hasta la época de Carlo Magno, rey de Europa Occidental,
reformó el sistema en el siglo VIII y devolvió el control de su emisión, al poder central.
El pionero en utilizar billetes, fue el emperador mongol, Kubali Khan en el Siglo XI, para él,
era el certificado de propiedad de una cantidad de monedas de oro en Europa, en sus inicios,
los billetes eran certificados sobre la existencia de un depósito de oro en un banco. A finales
del Siglo XVI, cuando el público empezó a usarlo para saldar deudas y realizar pagos, los
bancos emitieron certificados por cantidades fijas, los primeros billetes oficiales se emitieron
en 1694, por el Banco de Inglaterra, así nació un nuevo tipo de dinero, el fiduciario, a
diferencia de las monedas de la época, el billete solo tenía valor representativo.
Históricamente, nació primero la cédula del Banco Nacional de San Carlos 1798, segundo,
la primera emisión de billetes del Banco de España 1856 y tercero, los billetes de 50 Pesetas
que circularon en la república española de 1931.
¿Qué tienen en común las conchas marinas, las semillas de cacao, las piezas de ámbar,
marfil o jade, las cuentas ornamentales, los clavos, la sal y el ganado vacuno? Todos éstos,
y cientos de otros objetos alguna vez sirvieron como instrumentos de intercambio y medios
de pago, sobre todo antes de inventarse la acuñación de monedas. Sin embargo, aun después
de enraizada la cultura monetaria en los pueblos antiguos, la moneda no siempre llegó a
desplazarlos totalmente. Si hoy hablamos de salario, es porque en un tiempo los soldados
de la Antigua Roma recibían su paga en sal, y si usamos las palabras pecunia y pecuniario,
es porque el ganado, también en Roma, se usó como medio de intercambio, y pecus, en
latín, significa “ganado”. Por eso, implantada la moneda, los romanos hablaban de pecunia
pesata cuando las monedas se pesaban para determinar su valor, y de pecunia numerata
cuando, en una fase más avanzada, ya no había que pesarlas, pues se les asignaba un valor
numérico fijo.
160
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
Contenido Teórico
No.02
2/11
Primeros tipos de dineros
Tipo de moneda
País
Arroz y pequeños utensilios
Dientes de perro
Guijarros de cuarzo
Fichas de juego
Conchas de Cauri
Discos metálicos
Discos de piedra caliza
China
Papúa – Nueva Guinea
Ghana
Hong Kong
India
Tíbet
Isla Yap
Lista de otros tipos de dinero usados como forma de pago de mercancías.
Hierro
Vino
Sal
Cabras
Barbas de Ballena
Pájaros carpinteros
Mostacillas
Tabaco
Barra de sal cristalizada
Cuero
Cuchillos
Arroz
Cobre
Ron
Caballos
Caparazón de Tortugas
Colmillos de jabalí
Plumas exóticas
Ollas
Herramientas Agrícolas
Caparazón de caracol
Oro
Botes
Vacas
Bronce
Maíz
Ovejas
Dientes de Delfín
Plumas de pájaros
Vidrio
Melaza
Piedras redondas
Juego de cartas
Plata
Resina
Esclavos
¿Qué es el dinero?
La palabra dinero es derivada del latín denarium, era una moneda que utilizaron los
romanos para realizar sus actividades comerciales. El dinero es cualquier medio de cambio
generalmente aceptado para el pago de bienes y servicios y la amortización de deudas.
También sirve como medida del valor para tasar el precio económico relativo de los distintos
bienes y servicios. La aparición del dinero constituye uno de los grandes avances de la
civilización humana en toda su historia.
Precio del bien o activo: Es el número de unidades monetarias requeridas para comprar
un bien o activo. Durante el periodo en que América del Norte era una colonia, es decir bajo
el dominio inglés, la moneda española era un importante medio de cambio mientras que la
libra esterlina británica era el patrón de medida del valor en casi toda Europa.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
161
61
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.02
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
3/11
Funciones del dinero
 Facilitar el intercambio de mercaderías por tratarse de un bien convencional de
aceptación general y garantizada por el estado.
 Actuar como unidad de cuenta, es decir, expresar en determinadas unidades los valores
que ya poseen las cosas. En este caso, se denomina función numeraria.
 Patrón monetario: Regulación de la cantidad de dinero en circulación en una economía,
a través de una paridad fija con otro elemento central que lo respalda, que puede ser un
metal precioso o una divisa fuerte de aceptación generalizada en el ámbito internacional
para todo tipo de transacciones comerciales.
Emisión de dinero
Emitir dinero quiere decir imprimir e insertar dinero en el mercado. Existen dos sistemas
de emisión:
 El de libertad: Establece que cualquier banco puede emitir dinero como una de sus
funciones. Se hace con permiso del banco central.
 El de reglamentación: Lo autoriza el Estado de un país y reglamentado por instituciones
y países del mundo que velan por que no se emita dinero que no tenga como respaldo la
producción de bienes y servicios del país que quiere emitir nuevos billetes y monedas.
Generalmente, la labor de emitir dinero está a cargo de los bancos centrales del mundo,
de manera que éstos producen las monedas y los billetes que circulan en la economía
de cada país.
Unidad básica de medida del dinero hondureño
El Lempira, es la unidad básica de dinero en Honduras desde principios del siglo.
Unidad básica:
El Lempira
Múltiplos del
Submúltiplos del
lempira en unidades lempira en centésimas
500
1
100
2
50
5
20
10
10
20
5
50
Equivalencia en
lempiras
1
 0.1
100
2
 0.2
100
5
 0.5
100
10
 0.1
100
20
 0.2
100
50
 0.5
100
2
162
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.02
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
4/11
Conversiones de cantidades de dinero en múltiplos y submúltiplos
Ejemplo 1
Convierta la cantidad de dinero dada al múltiplo o submúltiplo pedido
CANTIDAD EN LEMPIRAS Y
CONVERSIÓN PEDIDA
PROCESO DE SOLUCIÓN
RESULTADO
412.45 lempiras a
centavos
Se convierten los lempiras a centavos.
412.25 lempiras x 100 ctvs.
41,225 ctvs
41,225 centavos
1. Se convierten las monedas de 50 a
centavos.
60 x 50 ctvs = 3000 ctvs
2. Se convierte el billete de 5 en
centavos.
Un billete de 5 = 500 centavos
60 monedas de
cincuenta centavos en
billetes de 5
Son 23 billetes de 1
3. Los 3,000 centavos se convierten a lempira y 45 monedas de
billetes de 5.
5 lempiras
3000 ctvs 
500 ctvs
1 centavo.
3000  5 150 00
 Puede tachar ceros

500
5 00
150
5
30 billetes de 5
300 billetes de 5.
1. Se convierten los 2,345 centavos a
lempiras.
Un billete de 1 = 100 centavos
2345 centavos en
billetes de 1
2. Operación a realizar
2345 ctvs 
1 lempiras
100 ctvs
2345 1
100
2345

100
 23.45
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Son 23 billetes de
1 lempira y 45 monedas
de 1 centavo.
163
63
3
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.02
CANTIDAD EN LEMPIRAS Y
CONVERSIÓN PEDIDA
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
PROCESO DE SOLUCIÓN
RESULTADO
1. Se convierten las monedas de 5 a
centavos.
8568 x 5 ctvs = 42,840 ctvs.
2. Se convierten las monedas a billetes de
50.
Un billete de 50 = 50 x 100 ctvs = 5000 ctvs.
3. Se convierten los centavos a billetes de
50.
42,840 ctvs 
8,568 monedas de 5
en billetes de 50
164
1
50 lempiras
5000 ctvs
42,840  50 2,142, 000

 Puede tachar ceros
5000
5 000
2142
5
428.4  428 billetes de 50  0.4 ctvs en monedas de 5
5
0.4 ctvs 
100
0.4 100
5
8 monedas de 5
MÓDULO No.3
428 billetes de 50
y 8 monedas 5
MATEMÁTICAS
5/11
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.02
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
6/11
EJERCICIO PRÁCTICO
Haga las conversiones de los valores que a continuación se presentan.
567 monedas de 2 en
billetes de 100
345 lempiras en
monedas de 20
100 monedas de 10,
150 monedas de 20 en
billetes de 10.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
165
65
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.02
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
UNIDADES BÁSICAS DE TIEMPO
Definición tiempo
El Tiempo es una magnitud física fundamental con la que medimos la duración o
separación de acontecimientos sujetos a cambio, puede ser medido utilizando un
proceso periódico, entendiéndose como un proceso periódico lo que se repite de una
manera idéntica e indefinidamente. La unidad fundamental de tiempo es el segundo.
Definición de segundo
Hasta el año de 1967 se le definía como la 86,400 ava parte del día solar medio,
1
partes de un día. 86,400 es el número de segundos que hay en un día
es decir 86400
promedio cualquiera. La definición que usan actualmente los científicos es altamente
compleja, se enuncia literalmente solo para ilustrar lo complejo que puede ser el
conocimiento científico:
Segundo: En el año 1967 se establece en la conferencia de pesos y medidas en
París que un segundo es igual a 9,192,631,770 (Nueve mil ciento noventa
y dos millones, seiscientos treinta y un mil setecientos setenta) períodos
de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del
estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio ( 133Cs ), medidos a 0
grados de temperatura Kelvin. Se representa por la letra s.
La mayoría de las actividades del ser humano están regidas por el tiempo, ya que éste nos
ayuda a poner en orden nuestro día. Nos indica que deberíamos estar haciendo, o cuando
algo va a suceder, es como una corriente sin fin que nos transporta, trasladándonos desde el
pasado, presente y luego al futuro.
VALOR
SUBMÚLTIPLOS
SÍMBOLO
NOMBRE
VALOR
MÚLTIPLOS
SÍMBOLO
NOMBRE
10-1 s
ds
decisegundo
101 x
das
decasegundo
10-2 s
cs
centisegundo
102 s
hs
hectosegundo
10 s
ms
milisegundo
103 s
ks
kilosegundo
10 s
s
microsegundo
106 s
Ms
megasegundo
10 s
ns
nanosegundo
109 s
Gs
gigasegundo
10
s
ps
picosegundo
1012 x
Ts
terasegundo
10
s
fs
femtosegundo
1015s
Ps
petasegundo
10
s
as
attosegundo
1018 s
Es
exasegundo
10
s
zs
septosegundo
1021 s
Zs
zettasegundo
10
s
ys
yoctosegundo
1024 s
Ys
yottasegundo
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
-24
Pre ijos comunes de unidades están en negrita.
166
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
7/11
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.02
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
8/11
Hay otras unidades de tiempo más conocidas, sus equivalencias se detallan en la siguiente
tabla:
Medida
Segundos
Minutos
Horas
Días
Años de 365 días
60
1
1
60
1
1440
1
525, 600
Horas (h)
3,600
60
1
1
24
1
8760
Días (d)
86,400
1,440
24
1
1
365
Semana
604,800
10,080
168
7
1
52
Mes
2,620,800
43,680
728
28, 29, 30, 31
1
12
Bimestre
5,241,600
87,360
1,456
60, 61
1
6
Trimestre
7,862,400
131,040
2,184
90, 91, 92
1
4
Cuatrimestre
10,483,200
174,720
2,912
120, 122, 123
1
3
Semestre
15,724,800
262,080
4,368
180, 181, 182
1
2
Año (a)
31,449,600
524,160
8,736
365
Minutos (m)
Año bisiesto
1
366
Lustro
1,825
5
Década
3,650
10
Siglo
36,500
100
Milenio
365,000
1000
Miríada
3,650,000
10,000
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
167
67
7
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
Contenido Teórico
No.02
Conversiones de cantidades de tiempo en múltiplos y submúltiplos
Ejemplo 1: Convierta la cantidad de dinero dada al múltiplo o submúltiplo pedido.
Cantidad de tiempo
y conversión pedida
Proceso de solución
Resultado
Se convierten los segundos a horas
8000 s 
1h
 Se usa que 1 h  3600 s
3600 s
80 00 1
 Se tachan los ceros
36 00
80

 Simplificando
36
40

18
20

 Se convierte a mixto y se divide
9
2
 2  2.22222...  2.2 h
9

800 segundos a
horas
2.2 h
1. Se convierten los años a meses.
8 a
8.5 años a
trimestres
12 m
 8 12 m  96 m
1a
2. Se convierten los meses a trimestres.
32 trimestres
1 trimestre
3m
96 1

trimestres
3
 32 trimestres
96 m 
168
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
8/11
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
Contenido Teórico
No.02
Cantidad de tiempo
y conversión pedida
Proceso de solución
9/11
Resultado
1. Se convierten los 0.75 milenios a meses.
475 decadas 
10 a
1 decada
475 10
1
 4750 a

0.75 milenios a
semestres
3,000 trimestres
2. Se convierten los años a semestres.
4750 a 
1 milenio
1000 a
4750 1
1000
 4.75 milenios

1. Se convierten las décadas a años.
0.75 milenios 
1000 a
1 milenio
0.75 1000
1
 750 a

475 décadas a
milenios.
4.75 milenios
2. Se convierten los años a milenios.
4 trimestres
1a
750  4

1
 3, 000 trimestres
750 a 
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
169
69
9
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones Básicas Utilizando Cantidades
de Dinero
Contenido Teórico
No.02
EJERCICIO PRÁCTICO
Desarrolle los siguientes ejercicios
7 lustros a
semanas
3,000 horas a
semanas
364 semanas a
cuatrimestres
170
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
11/11
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.03
Operaciones utilizando promedios
1/6
Definición de promedio
Para ilustrar el concepto de promedio se examinará la siguiente situación:
Una fábrica quiere saber si el bloque, de 15 x 25 x 40 cm de alto ancho y largo respectivamente,
que fabrica tiene las mismas dimensiones en una producción de 500 bloques. Para eso toma
una muestra de 5 bloques por cada 100 producidos y mide las dimensiones de los bloques.
Las medidas tomadas se muestran en la tabla.
a)
b)
c)
d)
Sume las 25 medidas de alto, ancho y largo.
Divida cada resultado por 25, que es el valor de la muestra.
El resultado obtenido es el promedio de las medidas de los bloques.
Analice los resultados obtenidos bajo el siguiente criterio:
 Reste las medidas con los promedios obtenidos.
 Si la diferencia es menor que una décima, las medidas de los bloques fabricados
son correctas, sino la fábrica debe hacer moldes nuevos.
Grupos de bloques
Primera muestra
Segunda muestra
Tercera muestra
MÓDULO No.3
Alto en cm
Ancho en cm
Largo en cm
15
25
39.9
14.7
25
39.9
14.8
25
40
15.2
24.8
39.8
15
25.2
40.1
15.1
25
40
14.9
25.1
40
14.9
24.9
40.1
15
24.9
39.9
15
25.1
40
15
25
40
14.8
25
40.2
14.8
25
40.1
15.1
24.9
39.9
15
25.2
40
MATEMÁTICAS
171
71
1
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.03
Grupos de bloques
Operaciones utilizando promedios
Alto en cm
Ancho en cm
Largo en cm
15
25.1
40
14.9
25
40
14.9
24.9
40
15.1
24.9
39.9
15
25
40
15
25
40
14.9
25
40.1
14.8
24.9
40.1
15.2
24.8
39.9
15
25.1
40
374.1
624.8
999.999
Cuarta muestra
Quinta muestra
Sumas
Proceso de solución
1. Realizar las sumas de las mediciones:
Suma 1: 374.1
Suma 2: 624.8
Suma 3: 1000.2
2. Efectuar las divisiones: Sumas obtenidas entre 25
374.1
 14.964
25
Promedio 2: 624.8
 24.992
25
Promedio 3: 1000.2
 40.008
25
3. Cálculos de las diferencias.
15 – 14.964 = 0.036
25 – 24.992 = 0.008
40 – 39.9996 = 0.0004
Promedio 1:
Conclusión: Todas las diferencias son menores que una décima, por lo tanto
la fábrica no debe cambiar los moldes.
172
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/6
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.03
Operaciones utilizando promedios
3/6
El ejemplo anterior ilustra el uso que se le da a los promedios, nos permite analizar la
correspondencia que hay entre la suma de un conjunto finito de datos y el número total de
datos del conjunto.
Definición
El promedio, llamado también la media aritmética, es la cantidad total de los
valores tomados por una variable distribuida en partes iguales con cada dato
tomado de la variable. La fórmula es la siguiente:
promedio 
suma de los datos
total de datos
El promedio es muy utilizado en los deportes, medicina, comercio, estadística, juegos de
azar, período de elecciones, pronóstico del tiempo, etc. Esta medida es usada para tomar
decisiones administrativas que le permitan a los negocios crecer y así obtener mejores
ganancias o hacer nuevas inversiones que favorezcan, por ejemplo: La atención al cliente,
mejora en las calificaciones de los estudiantes, disminuir la deserción escolar, la producción
de bienes y servicios, etc.
Problemas de aplicación
con promedios
Ejemplo 1
José trabaja por hora en una fábrica, los salarios de José de lempiras en los últimos 6 meses
son los siguientes:
6,954.55
7,142.50
8,456.92
6,789.45
7,341.65
8,234.55
¿Cuál es el salario mensual de José en esos 6 meses?
Proceso de solución
1. Sumar los 6 últimos salarios:
 6 9 5 4.55
7 1 4 2.50
8 4 5 6.92
6 7 8 9.45
7 3 4 1.65
8 2 3 4.55
4 4 9 1 9.62
José ha ganado en los últimos 6 meses Lps. 44,919.62
2. Calcular el promedio dividiendo: 4 4 9 1 9.62 ÷ 6
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
173
73
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.03
Operaciones utilizando promedios
4/6
3. Operación a efectuar:
44919.62 ÷ 6, al comparar las cifras decimales
7486.60
600 4491962
4200
La división a realizar es:
4491962 ÷ 600
02919
 2400
05196
 4800
03962
 3600
03620
 3600
0020
El salario promedio mensual de José es de Lps. 7,486.60.
Ejemplo 2
El gerente de una fábrica quiere saber cuál es el promedio, por mes y por año, de accidentes
de trabajo que ocurren en sus instalaciones en los últimos cuatro años. Los distintos jefes
de la fábrica envían los reportes al contador de la empresa, quien a su vez la hace llegar
al gerente. La información se registra en la siguiente tabla. Calcule los promedios que el
gerente solicita
Mes
2009
2010
2011
2012
Sumas
Promedio por mes
enero
25
33
29
21
108
27
febrero
28
32
29
23
112
28
marzo
22
28
27
21
98
24.5
abril
26
34
31
20
111
27.75
mayo
25
33
29
21
108
27
junio
28
32
29
23
112
28
julio
22
28
27
21
98
24.5
agosto
25
33
29
21
108
27
septiembre
25
33
29
21
108
27
octubre
25
33
29
21
108
27
noviembre
28
32
29
23
112
28
diciembre
25
33
29
21
108
27
Sumas
304
384
346
257
1291
25.33
32
28.83
21.41
Promedio por año
174
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.03
Operaciones utilizando promedios
5/6
Proceso de solución
1. Cálculo del promedio de accidentes para enero:



Se suma: 25 + 33 + 29 + 21 = 108
Se calcula el promedio: 108 ÷ 4 = 27
Hubo en promedio 27 accidentes en enero de esos años.
2. Cálculo del promedio de accidentes para 2009:



Se suma: 25+28+22+26+25+28+22+25+25+25+28+25=304
Se calcula el promedio del año 2009: 304 ÷ 12 = 25.33
Hubo en promedio 25.33 accidentes en 2009, el decimal indica que hubo un poco
más de 25 accidentes para ese año.
3. Siguiendo el mismo proceso comprobar que los promedios que aparecen calculados en la
tabla son correctos.
EJERCICIO PRÁCTICO
Problemas de práctica
Calcule los promedios solicitados en cada problema y responda lo que se le pide en cada
uno
Problema 1: Un fabricante de cosméticos adquirió una nueva máquina para llenar botellas
de 3 ml (3 mililitros) de su nuevo perfume llamado “Exquisito”. Para probar la precisión
de volumen que la máquina deposita en cada botella, se hizo una prueba con 24 recipientes.
Los resultados de las mediciones son las siguientes:
3.01
3.03
3.01
3.03
3
2.94
3
2.94
3
3
2.98
3
3.02
3.04
3.02
3.04
2.95
2.96
2.95
2.96
2.93
3.04
2.93
3.04
Para recalibrar la máquina la diferencia entre los 3 ml que contiene cada botella y el
promedio debe ser mayor a 4 centésimas, ¿Debe el fabricante del perfume recalibrar la
máquina?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
175
75
5
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.03
Operaciones utilizando promedios
6/6
Problema 2: La siguiente tabla muestra las calificaciones de 10 estudiantes en las cuatro
asignaturas básicas. Solo si el promedio de calificaciones es mayor a 90 los estudiantes
podrán optar a una beca escolar. Calcule los promedios y determine que estudiantes pueden
o no optar a la beca. En la casilla correspondiente a OPCIÓN A BECA escriba SI o NO
tiene la opción el estudiante.
No.
NOMBRE DEL ALUMNO
ESPAÑOL
ESTUDIOS
SOCIALES
MATEMÁTICA
CIENCIAS
NATURALES
1
Alejandra Cruz
89
94
95
100
2
Belinda Cáceres
92
93
90
91
3
Sonia Maradiaga
91
90
100
100
4
Abel Mendoza
78
81
94
88
5
Xiomara Torres
87
91
95
98
6
Manuel Díaz
90
87
84
91
7
María Pineda
91
91
98
100
8
Cintia Rosales
76
80
91
89
9
Alex Moncada
90
92
100
92
10
Bessy Escoto
100
97
100
98
176
1
MÓDULO No.3
PROMEDIO
OPCIÓN A
BECA
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
1/14
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Definición de potencia
Para ilustrar el concepto de potencia se resolverá el siguiente problema:
Don Carlos lleva en su camión producto a vender de Tegucigalpa a San Pedro Sula. La
mercadería va distribuida de la siguiente forma: 12 cajas de calcetines, cada caja contiene
a su vez 12 empaques, cada empaque contiene a su vez 12 bolsas conteniendo una docena
de calcetines cada bolsa. Cada par de calcetines lo venderá a Lps. 15.00.
a) ¿Cuántos pares de calcetines lleva don Carlos en su camión?
b) De vender todo los pares, ¿Cuánto obtendría en la venta?
Proceso de solución
1. Se Plantea el problema como una multiplicación, el resultado de la multiplicación es la
cantidad de pares de calcetines transportados. Este es el caso de una caja dentro de otra
caja donde cada una de ellas tiene el mismo número de elementos contenidos.
12 cajas x 12 empaques cada caja x 12 bolsas cada caja x 12 pares de calcetines
cada bolsa.
2. Se multiplica 12 por sí mismo 4 veces: 12 x 12 x 12 x 12
12

12 12 12

Se multiplica
144

12 12


Se multiplica
1728

12


Se multiplica
20736
144
 12
1728
 12
288
144
1728
1728
20736
3456
3. Respuesta a las preguntas del problema.
a) Don Carlos lleva en su camión 20,736 pares de calcetines a vender.
b) Se multiplica: 20736 x 15 = 311,040. Don Carlos recibiría Lps. 311,040.00 en la
venta de todos los pares de calcetines.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
177
77
7
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
2/14
El ejemplo anterior nos ilustra que podemos multiplicar repetidas veces un número, al
resultado de esta multiplicación se le llama potencia.
Definición
Potencia es el resultado de multiplicar una cantidad, llamada base, por sí misma
el número de veces que indique el exponente. Simbólicamente se expresa así:
a n  a
 a  a  a  a  b
n veces
a : Se llama Base
n : Se llama Exponente
b : Se llama Potencia
Siguiendo el ejemplo anterior, se simboliza la operación de la siguiente manera:
EXPONENTE

12
4
 12
12
12 
12  20736



4 VECES
BASE
POTENCIA
Ejemplo 1
Expresar en forma desarrollada los siguientes productos:
a ) 58
 3
b)   
 4
6
c) 4.99 
Proceso de solución
Se escribe el producto de la base
el número de veces que indica el
exponente.
d ) 100 
5
4
a ) 58 
e ) w7
5
 5  5 
5
 5  5  5 5
58
Está multiplicado por si mismo 8 veces
6
 3  3  3  3  3  3  3
b)                           
4   4   4 
 4  
 4   4   4
Está multiplicado por si mismo 6 veces
c) 4.99   4.99  4.99  4.99  4.99  4.99 

5
Está multiplicado por si mismo 5 veces
d ) 100   100  100  100  100 


4
Está multiplicado por si mismo 4 veces
e) w 
7
w w w w w w w 



Está multiplicado por si mismo 7 veces
178
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
3/14
Ejemplo 2
Exprese en forma de potencia las siguientes potencias.
 2  2  2  2  2 
b)               
9   9   
9   9   9

 7  7 
7
7  7  7 7
a)
Está multiplicado por si mismo 7 veces
Está multiplicado por si mismo 5 veces
1.07 1.07 1.07 1.07 


c)
1111



d)
Está multiplicado por si mismo 4 veces
Está multiplicado por si mismo 4 veces
k k k k k k 


e)
Está multiplicado por si mismo 6 veces
Proceso de solución
a ) El 7 está multiplicado por si mismo 7 veces, la potencia es 7 7
 2
 2
b) El    está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es   
9


 9
5
c) El 1.07  está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es 1.07 
4
d ) El 1 está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es 1
4
e) El k está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es k 6
Ejemplo 3
Calcule las siguientes potencias y determine el signo de cada una de ellas
5
a) 5
 3
b)   
 4
3
c) 2.8 
2
d ) 100 
3
Proceso de solución
1. 55 :Este es el caso de una base positiva elevado a un exponente positivo.
Se multiplica 5 por si mismo 5 veces.
5 x 5 = 25
25 x 5 = 125
125 x 5 = 625
5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125, la potencia es 3,125
625 x 5 = 3125
2. Esto ilustra la siguiente propiedad:
Regla
La potencia de una base positiva con exponente positivo impar, la potencia
es positiva.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
179
79
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Contenido Teórico
No.04
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
4/14
Proceso de solución
1.
 3
 
 4
3
Es el caso de una base negativa elevado a un exponente positivo impar.
 3
3
Se multiplica   4  por si mismo 3 veces, se debe aplicar ley de los signos para la


multiplicación.
 3  3   9 
       
 4   4   16 
27
 3  3  3 
           , la
64
 4  4  4 
 9   3   27 
      
 16   4   64 
27
potencia es 
64
2. Esto ilustra la siguiente propiedad.
Regla
La potencia de una base negativa con exponente positivo impar, la potencia
es negativa.
Proceso de solución
1. (–2.8)2: Es el caso de una base negativa elevado a un exponente positivo par.
Se multiplica –2.8 por si mismo 2 veces, se debe aplicar ley de los signos para la
multiplicación.
(–2.8)(–2.8) = 7.84, la potencia es 7.84
2. Esto ilustra la siguiente propiedad:
Regla
La potencia de una base positiva con exponente positivo par, la potencia es
positiva.
(–10)3: Aplicando las reglas anteriores, la potencia será negativa, porque la base es
negativa y el exponente es impar.
Se multiplica –10 por si mismo 3 veces, se debe aplicar ley de los signos para la
multiplicación.
(–10)(–10) = 100
(100(–10) = 1000
(–100)(–100)(–100) = –1000, la potencia es –1000
180
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
5/14
Propiedades de la potenciación
La potenciación cumple ciertas propiedades que se enuncian a continuación:
No.
Propiedad
Simbolización
Significado
1
Multiplicación de potencias
de igual base y diferente
exponente.
am an  amn
Se copia la base y se suman los
exponentes.
2
Multiplicación de potencias de
distinta base e igual exponente.
a m  b m  a  b 
m
Se multiplican las bases y se
copia el exponente.
3
División de potencias de igual
base y diferente exponente.
am an  amn
Se copia la base y se restan los
exponentes.
4
División de potencias de distinta
base e igual exponente.
a m  b m  a  b 
m
Se dividen las bases y se copia el
exponente.
5
Potencia de una potencia:
Una base elevada a dos o más
exponentes.
a m   a m  n


Se copia la base y se multiplican
los exponentes.
6
Potencia de exponente uno.
a1  a
Una base elevada a exponente
uno es igual a la misma base.
7
Potencia de exponente cero.
a0 1
Una base elevada a exponente
cero es igual a uno.
8
Potencia
negativo.
de
MÓDULO No.3
n
1
an
Es igual a inverso de la base
elevado a exponente positivo.
MATEMÁTICAS
181
81
1
exponente
a n 
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
6/14
Ejercicios utilizando las propiedades de la potenciación
Ejercicio
Significado
14
1
1
   
3
3
Resultado
Se copia la base
y se suman los
exponentes.
9
Se multiplican las
bases y se copia el
exponente.
7
7
8  5
1
 
3
14  9
Signo de la potencia
1
 
3
Base positiva y
exponente positivo
impar
= potencia +
5
  40 
Base negativa y
exponente positivo
impar
= potencia -
10   
5  9
 10 
4
 10 
Base negativa y
exponente positivo
par
= potencia +
8  5
7
7
5 9
10 
30
5
201
 10 
 6 
 4 8  

 
11
 

201
7
12.009 
1
 314 


 1456 
0
345
0
7 
182
1
 45
9
Se copia la base
y se restan los
exponentes.
Se dividen las
bases y se copia el
exponente.
30 20  6 
201
 30  6 
201
 5 
201
Base negativa y
exponente positivo
impar
= potencia +
87 
Se copia la base y
se multiplican los
exponentes.

4
 
 11 
4
 
 11 
56
Base positiva
exponente par
= potencia +
Una base elevada
a exponente uno
es igual a la misma
base.
12.009
Potencia -
Una base elevada a
exponente cero es
igual a uno
1
Potencia +
Es igual a inverso
de la base elevado a
exponente positivo
1
7 
MÓDULO No.3
45
y
Base negativa y
exponente positivo
impar = potencia -
MATEMÁTICAS
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
7/14
Simplificación de potencias utilizando las propiedades de la potenciación
Aplique propiedades de la potenciación y simplifique los siguientes ejercicios.
Ejercicio 1: (–8)17 (4)–6 (–8)(5)14 (–8)–12 (5)8
Proceso de solución
1. Se agrupan las potencias con igual base
(–8)17 (–8)(–8)–12 = (–8)17+1+12 = (–8)18–12 = (–8)6
(5)–6 ((5)4 (5)8 = (5)–6+4+8 = (5)–6+12 = (5)6
2. Se simplifica la operación resultante
(–8)6 (5)6
= (–8x5)6
= (–49)6
4
Ejercicio 2:
5
1 1 1
     
4 4 4
3
1 1
   
4 4
7
Proceso de solución
1. Se aplica la regla de multiplicación en el numerador y en denominador.
4  5 7
97
7
1
1
1
 
 
 
4
4
 
 
4


31
4
4
1
1
1
 
 
 
4
4
4
2. Se aplica la regla de la división de potencias
1
 
4
74
1
 
4
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
183
83
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.04
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Aplicación que implican el uso de potencias para su solución
El problema de los granos de trigo y el tablero de ajedrez
Érase un rey de un país árabe que hizo un concurso para ver qué juego eran capaces de
inventar sus súbditos de modo que le gustase. Uno tras otro, los juegos le aburrían al monarca,
hasta que, por fin un joven le mostró un juego nuevo: el ajedrez. El rey quiso recompensarle
por su juego y le dijo que le pidiese lo que quisiera. El inventor le pidió lo siguiente: en una
casilla del ajedrez quería un grano de trigo, en la siguiente dos, en la siguiente cuatro, en la
siguiente ocho, y así irían duplicándose los granos de trigo hasta pasar por todas las casillas
del tablero. Al rey le pareció muy poco premio y así se lo hizo saber a su súbdito, quien insistió
en la petición y que si se cumplía él se consideraría suficientemente recompensado. Pero el rey
no sabía lo que realmente suponía el premio pedido por el ingenioso inventor, que demostró
tanta imaginación creando el nuevo juego como pidiendo la recompensa ofrecida por el rey.
Veamos primeramente cuántos granos de trigo pedía:
1. Los datos: el tablero tiene 8 x 8 = 64 casillas en total
2.
A la primera casilla se le pone 1 grano, se va duplicando el número,
sucesivamente: en la segunda casilla habría 2 granos, en la tercera 4 granos,
en la cuarta habría 8, en la cuarta habría 16, etc.
3.
El número de granos de trigo a partir de la segunda casilla del tablero se
calculaban usando potencias de 2n donde n va desde 1 hasta 64.
Casilla 1 = 1 grano
Casilla 3 = 22 = 4 granos
Casilla 5 = 24 = 16 granos
Casilla 7 = 26 = 64 granos
Casilla 2 = 21 = 2 granos
Casilla 4 = 23 = 8 granos
Casilla 6 = 25 = 32 granos
Casilla 8 ) 27 = 128 granos
Casilla 63 = 262 = ... granos
Casilla 64 = 2163 = ... granos
:
:
Si se usa una calculadora científica, el número de granos que tendría la última
casilla sería de 9,223,372,036,854,775,808 granos.
La suma total de granos sería de: 18,446,744,073,709,551,615 es decir (Dieciocho
trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones
setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil
seiscientos quince granos)
No consta en los libros de historia si aquel país pudo producir esa cantidad de trigo
durante el reinado de ese monarca. Pero cuenta la leyenda que el rey, al hacerle
ver sus administradores que no podía pagar el premio, accedió a casar a su hija
mayor con el joven inventor, que al cabo de los años reinó en aquel país, gracias a
su imaginación y a la inteligencia demostrada al inventar el ajedrez y al pedir el
premio.
184
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
8/14
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
9/14
RADICACIÓN DE RACIONALES
Definición de radicación
Para ilustrar el concepto de potencia se contestarán las siguientes preguntas:

¿Cuál es el número que elevado a la 3 resulta en 125?
Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera:
a3 = 125, hay que encontrar un número que elevado a la 3 resulte 125.
Calcular la potencia: 53 =

= 125. El número es 5.
¿Cuál es el número que elevado a la 2 resulta en 49?
Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera:
a2 = 49, hay que encontrar un número que elevado a la 2 resulte en 49.
Calcular la potencia: 72 =

5

5
5

3 veces por si mismo
7 7
2 veces por si mismo
= 49. El número es 7.
¿Cuál es el número que elevado a la 3 resulta en -1000?
Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera:
a3 = –1000, hay que encontrar un número que elevado a la 3 resulte
en –1000, calcular la potencia: 10 3  10 10 10   1000



El número es –10.
3 veces por si mismo
Definición
La Radicación es la operación inversa a la potenciación, calcula la base que
tuvo que elevarse al exponente n y resultará en la potencia. Simbólicamente:
b = a si y solo si an = b, donde:
b : Se llama Radicando
n : Se llama índice
a : Se llama raíz
: Se llama símbolo radical
n
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
185
85
5
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
Calcular las siguientes raíces
a ) 16  4 porque 42  16
b) 121  11 porque 112  121
3
c)
3
1000 10
 10  1000

porque   
64
4
64
 4
d)
3
64  4 porque 4   64
3
2
100 10
 10  100

porque   
81
9
81
9
e)
f ) 3 512  8 porque 83  512
4
1
1
1
1 
 porque   
h)
125 5
 5  125
g ) 32  2 porque 2  32
5
5
4
Propiedades de la radicación
No.
Propiedad
1.
Raíz de un producto
2.
Raíz de un cociente
3.
Potencia de una raíz
4.
Simbolización
n
Significado
ab  n a n b
Es el producto de las raíces.
a na

,b0
b nb
Es el cociente de las raíces.
n
n
a a
m
m
n
Es el radicando elevada a un
exponente fraccionario.
No es una propiedad
m
ab  m a mb
La raíz de una suma es distinta de la
suma de las raíces.
m
a b  m a  m b
La raíz de una resta es distinta de la
resta de las raíces.
5.
186
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
10/14
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
11/14
Ejercicios utilizando las propiedades de la potenciación
No.
Ejercicio
Resultado
Es el producto de las raíces.
1.
3
 3 64 3 125
64  125
 45
 20
Es el cociente de las raíces.
1
4
16
2.
3.
5


a7  a
4
4
1
16
1
2
Es el radicando elevada a un exponente
fraccionario.
7
5
Es el producto de las raíces.
 4 81 4 625
4.
4
81 625
 3  25
 75
Es el cociente de las raíces.
5.
3
4

3
4
3
6.

8
343
 1 
 1

 

 1000 
 1000 
3
3
8
343
2
7
Es el radicando elevada a un exponente
fraccionario.
Es el producto de las raíces.
7.
MÓDULO No.3
81 49
 400 100
 20 10
 200
MATEMÁTICAS
187
87
7
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Contenido Teórico
No.04
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
12/14
Raíces no definidas en los racionales
Para ilustrar cuáles son las raíces no definidas en los racionales se contestarán siguientes
preguntas:
 ¿Cuál es el número que elevado a la 2 resulta en 15?
Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera:
a2 = 15, hay que encontrar un número que elevado a la 2 resulte en 15.
No hay un número tal que elevado a la 2 de 15.
Por eso 15 no tiene raíz racional.
 ¿Cuál es el número que elevado a la 3 resulta en 100?
Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera:
a3 = 100, hay que encontrar un número que elevado a la 3 resulte en 100.
No hay un número racional tal que elevado a la 3 de 100.
Por eso 3 100 no tiene raíz racional.
Una observación importante:
Todo radicando que no tenga una raíz racional es un número Irracional.
Por ejemplo 15, 3 100, 2,– 21, 586, etc.
 ¿Cuál es el número que elevado a la 2 resulta en -100?
No hay ningún número que elevado al cuadrado resulte en -100, porque la regla nos
dice que todo número elevado al cuadrado tiene potencia positiva .
Por lo tanto –100 no está definido en los racionales.
 ¿Cuál es el número que elevado a la 4 resulta en -81?
No hay ningún número que elevado a la cuatro resulte en -100, por que la regla nos
dice que todo número elevado a potencia par es positiva.
Por lo tanto 4 –81 no está definido en los racionales.
Una observación importante:
Todo raíz que tenga radicando negativo e índice par, no está definida
en los racionales, a este tipo de raíces se les llama imaginarias. Por
ejemplo –900, 4 –1000, –2, –4, 6 –1, etc.
188
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Contenido Teórico
No.04
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
13/14
Aplicaciones que implican el uso de raíces para su solución
Ejemplo: Una agencia de bienes raíces pone un anuncio en el periódico promocionando la
venta de un terreno de forma cuadrada que tiene 625 varas cuadradas de superficie.
El anuncio también dice que el valor de la vara cuadrada es de Lps. 1,800.00. Don Javier
necesita un terreno que tenga esa forma y para comprarlo tiene dos condiciones: Primero
que el lado del cuadrado debe ser mayor de 20 varas y segundo el costo debe ser menor que
Lps. 1,000,000.00. Conteste:
a) Calcule la longitud del lado del terreno
b) Calcule el precio del terreno
b) ¿Puede comprar el terreno don Javier?
Proceso de solución
1. La longitud del lado del terreno se calcula así: 625 = 25 Esto significa que cumple con
la condición de que el terreno tenga una longitud mayor a 20 varas.
2. El precio del terreno es la siguiente:

625
1800
 500000
62500
1125000
3. El precio del terreno es de Lps. 1,125,000.00. Como el precio del terreno es mayor que
Lps. 1,000,000.00, no se cumple la segunda condición, por lo que se concluye que don
Javier no puede comprar el terreno.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
189
89
9
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Operaciones utilizando potenciación y
radicación
Contenido Teórico
No.04
EJERCICIO PRÁCTICO
1) Escriba en forma desarrollada las siguientes potencias
 1
b)   
 7
a ) 38
5
c) 9.8 
6
d ) 23
4
e) z10
2) Escriba como una potencia los siguientes productos
1
11
1
1
1
a)
 5  5  5  5 
        
4  
4 

  4   4
b)
Está multiplicado por si mismo 6 veces
Está multiplicado por si mismo 4 veces
2.012.012.012.01


c)
111111



d)
Está multiplicado por si mismo 6 veces
Está multiplicado por si mismo 4 veces
y  y  y  y  y 



e)
Está multiplicado por si mismo 5 veces
3) Calcule el valor de las siguientes potencias
 1
b)   
 2
a ) 27
5
c) 9.8 
2
d ) 2 
e) 1
4
10
4) Simplifique las siguientes potencias aplicando las propiedades de la potenciación.
5) Calcule las siguientes raíces
a)
400
b) 900
d)
3
64
e)
g)
5
32
h)
4
c)
64
125
3
49
64
f)
1
625
i)
3
4
512
1
8
6) Explique por qué las siguientes raíces no son racionales
a)
190
1
40
b)
4
67
c)
6

64
125
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
14/14
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Evaluación
1/4
TIPO VERDADERO O FALSO
Instrucciones
Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta
o una F si la proposición es falsa.
1)
81 es igual a 9 ...........................................................................................
____
2)
En 200 monedas de 10 centavos hay 20 lempiras .........................................
____
3)
de un lempira es igual a 60 centavos .........................................................
____
3
5
4)
3
–1 es igual a 1 ........................................................................................
____
5)
El promedio de 30 y 32 es 33 ......................................................................
____
6)
(–3) es igual a 9 .........................................................................................
____
7)
(–3.0906)100, la potencia es negativa ...........................................................
____
8)
104 es igual a 4,000 ....................................................................................
____
9)
El promedio de -20 y -30 es -25...................................................................
____
10)
 2  4 
  
 3  
2
5
es igual a
2
 
3
9
....................................................................................
TIPO SELECCIÓN ÚNICA
Instrucciones
Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición.
1)
El resultado de  15 
12
A)  5 
1
2)
6
2
1 1
    es:
5 5
B)  15 
9
C)  5 
1
12
D)
1
 
5
9
En 7 lustros hay:
A) 420 semanas
B) 420 meses
C) 420 días
D) 420 años
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
191
91
1
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Evaluación
2/4
3) 21,600 segundos es igual a:
A) 6 días
B) 6 horas
C) 6 semanas
D) 6 meses
4)
40 monedas de 20 centavos en monedas de 2 centavos es igual a:
A) 4
B) 40
C) 400
D) 4000
5)
El resultado de  1 
 3
 
5  4
A)  203 

6)
2
2
es:
2

18
El resultado de  117 

A)  117 
31
13
7
 

 11 
B)
 3 
 
 20 
B)
 7
 
 11 
2
4
D)   203 
5
D)   117 
C)  203 
es:
5
C)  117 
7)
Un milenio tiene 1000 años, un quinto de milenio tiene:
A) 100 años
B) 200 años
C) 300 años
D) 400 años
8)
Las notas de Enrique en Ciencias son: 83, 66, 54, y 92; su promedio es de:
A) 93.75 %
B) 63.75 %
C) 83.75 %
D) 73.75 %
192
1
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
31
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Evaluación
9)
3/4
El resultado de (–0.2)2 es:
A)
B)  25
1
25
C) 25
1
D) –25
10) Jaime tiene en su alcancía 583 monedas de 20 centavos, eso es igual a:
A) L 116.6
B) L 216.60
C) L 1166.00
D) L 2166.00
TIPO PRÁCTICO
Instrucciones
Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos
correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo.
1)
Use las reglas de los exponentes y radicales para simplificar cada operación dada:
 3 3 
a )   
 5  
23
7
8 8
d)   
5 5
 23
g ) 121
j)
2)
4
3
6
2
2
6
6
b)     
 13 
 13 
16
81
 2  5
e)       
 3  4
h)
k)
3
2
 7 5
c)     
 3 4
f)
100
144
625
169
i)
125
l ) 144
3
2
1
27
Efectúe las siguientes conversiones de dinero:
a) 20 lempiras en monedas de 5 centavos.
b) 30000 monedas de 10 centavos en billetes de 20.
c) 12 billetes de 50 lempiras en billetes de 2 lempiras.
d) 20 décadas en lustros.
e) 259,200 segundos en días.
f) año bisiesto en horas.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
193
93
3
E
Elemento
de
Competencia No.01
C
Resolver problemas que requieren operaciones básicas con
números naturAles, enteros, racionales y decimales
Evaluación
3)
Salario que ganó Daniel en el año 2012:
Enero: Lps. 7,545.00
Febrero: Lps. 7,955.00
Marzo: Lps. 8,146.00
Abril: Lps. 7,684.00
Mayo: Lps. 7,688.00
Junio: Lps. 8,144.00
4/4/
Julio: Lps. 7,562.00
Agosto: Lps. 7,842.00
Sept.: Lps. 7,545.00
Octubre: Lps. 8,163.00
Noviembre: Lps. 7,325.00
Diciembre: Lps. 7,115.00
¿Cuál es en promedio el salario mensual de Daniel?
4)
El número de taxis que transitan una calle entre las 8 y 9 de la mañana es:
Día 1: 230
Día 7: 190
Día 2: 242
Día 8: 184
Día 3: 195
Día 9: 235
Día 4: 200
Día 10: 240
Día 5: 192
Día 11: 205
Día 6: 225
Día 12: 221
¿En promedio cuántos autos pasan por esa calle a esa hora?
194
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
ELEMENTO DE
COMPETENCIA
02
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Contenido teórico No.05
Operaciones y conversiones de
unidades de medida.
Contenido teórico No.06
Ángulos y triángulos
Contenido teórico No.07
El Teorema de Pitágoras
Contenido teórico No.08
Funciones trigonométricas
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
195
95
5
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
OPERACIONES Y COVERSIONES DE UNIDADES DE MEDIDA
LOS SISTEMAS DE MEDIDA
La medición empírica: Un poco de historia
Desde la antigüedad, se han elegido las unidades de medida de forma arbitraria. Varias de
estas unidades han sido derivadas de eventos naturales y se ha tratado de que sea de fácil
manejo y comprensión. Así, los cuerpos celestes proporcionaron una manera sencilla de
calcular el tiempo: el día era el tiempo que transcurría de amanecer a amanecer; el mes, era
el tiempo que transcurría entre una cierta fase de la luna y su recurrencia; el año, el tiempo
que toma el sol pasar a través de sucesivos cambios de una posición en el ciclo a la misma
posición.
Las distancias cortas eran medidas por el número de pasos que tomaba cubrir la distancia y
las distancias largas eran medidas por el número de días de travesía. Tazones y tazas eran
utilizados para medir la capacidad de recipientes. Granos de trigo y cebada eran utilizados
para medir peso de objetos de valor. Por miles de años, el trueque fue el medio de cambio, y
así no fue necesario usar unidades de monedas.
Ahora bien, mientras el ser humano vivía en comunidades aisladas, casi no existía comercio
ni industrias y por tanto no era tan necesario establecer unidades de medida. Sin embargo,
cuando comenzó a trabajar en grupos, se incrementó el comercio entre ellos y ésto indujo
el establecimiento de unidades de medida que tuvieran el mismo significado para diversas
comunidades.
Al principio se establecían unidades para regiones de un mismo país; luego para un país
entero y por último, para grupos de países. Se piensa que los romanos fueron los primeros
en establecer unidades de medidas ampliamente aceptables. Sin embargo, con la caída del
Imperio Romano, estas unidades fueron desechadas. Es importante destacar que el sistema
métrico establecido a finales del siglo XVIII, en Francia, es utilizado casi mundialmente en
ciencias e ingeniería; solo en algunos países de habla inglesa no lo utilizan para comercio.
A continuación algunas unidades de medida y la costumbre de utilizar el cuerpo humano
como base para elegirlas. Una de las primeras unidades de medidas de longitud fue el cubito,
que fue definido como la longitud del antebrazo desde el codo hasta el extremo del dedo
medio. El cubito fue utilizado por los babilonios y los egipcios, aproximadamente 2600
años antes de Cristo. El Arca de Noé, según la Biblia, fue construido con las siguientes
dimensiones: 300 cubitos de longitud, 50 cubitos de ancho y 30 cubitos de alto.
196
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1/15
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.05
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
2/15
Otra unidad de medida, el pie, fue utilizado por los griegos y romanos. Fue definido como
2/3 de un cubito y llega a Inglaterra al ser ésta conquistada por los romanos. El pie fue
subdividido por los griegos en doce partes; cada parte al ancho de la uña del pulgar. Cada
parte fue llamada por los romanos unicae y más tarde llamada por los anglosajones pulgadas.
Ya que los hombres no tienen el dedo pulgar de igual ancho, el rey Eduardo II, en el siglo
XIV, define la pulgada como la longitud de tres granos de maíz tomados del centro de una
mazorca.
Otra unidad de medida, la yarda, fue creada por los comerciantes de ropa ingleses. Al
principio fue definida como la distancia del centro del pecho al extremo de los dedos de un
brazo extendido (mitad de una “brazada”). El rey Enrique I, quien gobernó a Inglaterra en
1100 d. C. define la yarda legal como la distancia del extremo de su nariz al extremo del
dedo pulgar de su brazo extendido.
Para medir pesos, los babilonios usaban piedras seleccionadas y conservadas para ese
propósito. Los egipcios y los griegos usaban semillas de trigo como la menor unidad de peso.
La uniformidad de peso de las semillas de trigo hizo de este grano una buena unidad de
medida. Esto induce a que más tarde se definiera la libra como 7.000 granos de trigo.
Los ejemplos anteriores nos ayudan a ver como las unidades de medidas son originadas
en forma arbitraria. Pero, es bueno aclarar que muchas de esas unidades de medida son
utilizadas hoy día, a pesar de que ellas han sido reemplazadas por unidades de medidas más
precisas.
De allí, entonces la importancia de dichas unidades de medida en las actividades que realiza
el ser humano en una sociedad.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
197
97
7
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
El Sistema Métrico Decimal
Concepto de medir
Realizar mediciones es sin duda una de las actividades que realizamos con mayor
frecuencia en nuestra vida. Lo que hacemos al medir, es determinar cuántas veces una
unidad determinada contiene a otra.
El sistema métrico decimal: El Sistema Internacional de Unidades (Système International
d’Unités) y la abreviatura SI, fueron establecidos por la 11va Conferencia General de Pesas
y Medidas (CGPM) en 1960. Este sistema establece las unidades de medida estándares a
utilizar para cualquier región del mundo. Las magnitudes básicas empleadas son longitud,
masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de
sustancia e intensidad luminosa. Cada unidad básica tiene múltiplos y submúltiplos. Las
siguientes tablas presentan un resumen de esas medidas.
Unidades de longitud: La unidad básica es el metro, su símbolo es: m
MEDIDAS DE LONGITUD
SÍMBOLO
Múltiplos
NOMBRE
Miriámetro
Kilómetro
Hectómetro
Decámetro
Submúltiplos
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
mam.
km.
hm.
dam.
m
EQUIVALENCIA
10 km = 10 000 m.
10 hm. = 1 000 m.
10 dam. = 100 m.
10 m.
10 dm. = 100 cm. = 1 000 mm.
dm.
cm.
mm.
0.1 m = 10 cm.
0.01 m = 10 mm.
0.001 m.
Unidades de capacidad y volumen: La unidad básica es el litro, su símbolo es: l
Submúltiplos
NOMBRE
Metro cúbico
198
1
Decímetro cúbico
Centímetro cúbico
Milímetro cúbico
MEDIDAS DE VOLUMEN
SÍMBOLO
m3
dm3
cm3
mm3
EQUIVALENCIA
1 000 dm3 = 1 000 000 cm3
0.001 m3 = 1000 cm3 = 1 000 000 mm3
0.001 dm3 = 1 000 mm3
0.001 cm3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
3/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
MEDIDAS DE CAPACIDAD
SÍMBOLO
Múltiplos
NOMBRE
Mirialitro
Kilolitro
Hectolitro
Decalitro
mal.
kl.
hl.
dal.
Submúltiplos
Litro
l
Decilitro
Centilitro
Mililitro
4/15
EQUIVALENCIA
10 k. = 10 000 litros
10 hl. = 1 000 litros
10 dal. = 100 litros
10 litros
10 dl. = 100 cl. = 1 000 ml.
dl.
cl.
ml.
10.1 litro = 10 cl.
0.01 litros = 10 ml.
0.001 litros
Unidades de peso: La unidad básica es el gramo, su símbolo es: g
MEDIDAS DE PESO
SÍMBOLO
Múltiplos
NOMBRE
Tonelada métrica
Quintal métrico
miriagramo
kilogramo
hectogramo
Decagramo
Submúltiplos
Gramo
Decigramo
Centigramo
Miligramo
tm.
qm.
mag.
kg.
hg.
dag.
g
EQUIVALENCIA
10 qm. = 1 000 kg.
10 kg.
10 kg. = 10 000 g.
10 hg. = 1 000 g.
10 dag. = 100 g.
10 g.
10 dg. = 100 cg. = 1 000 mg.
dg.
cg.
mg.
0.1 g. = 10 cg.
0.01 g. = 10 mg.
0.001 g.
Medidas de tiempo
MEDIDAS DE TIEMPO
Milenio = 1 000 años
Siglo
= 100 años
Década = 10 años
Lustro = 5 años
= 12 meses = 365 días
Año
MÓDULO No.3
Mes civil = 30 días
Semana
Día
Hora
Minuto
MATEMÁTICAS
= 7 días
= 24 horas
= 60 minutos
=
60 segundos
199
99
9
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Unidades de superficie: La unidad básica es el metro cuadrado, su símbolo es: m2
Múltiplos
NOMBRE
Miriámetro cuadrado
Kilómetro cuadrado
hectómetro cuadrado
Decámetro cuadrado
Submúltiplos
Metro cuadrado
Decilitro
Centilitro
Mililitro
MEDIDAS DE SUPERFICIE
SÍMBOLO
EQUIVALENCIA
mam2
km2
hm2
dam2
100 km2 = 100 000 000 m2
100 hm2 = 1 000 000 m2
100 dam2 = 10 000 m2
100 m2
m2
100 dm2 = 100 000 cm2 = 1000 000 mm2
dl.
cl.
ml.
0.1 litros = 10 cl.
0.01 litros = 10 ml.
0.001 litros
El Sistema Inglés: Es el Sistema Imperial Británico para medir la longitud, volumen,
capacidad, tiempo, peso, etc. No usa la convención del SI, pero se establecen equivalencia a
través de conversiones de medida

Unidades de longitud
1 pie = 12 pulgadas (pulg).
1 yarda (yd) = 3 pies 0 36 pulgadas
1 milla (mi) = 1,760 yardas 0 5,280 pies

a) 1 pulg = 2.57 cm.
b) 1 m = 3.28 pies.
Unidades de capacidad a volumen
1 taza (t) = 8 onzas fluidas (oz fl)
1 pinta (pt) = 2 tazas
1 cuarto (ct) = 2 pintas
1 galón (gal) = 4 cuartos

OTRAS EQUIVALENCIAS
c) 1 mi = 1609 m.
d) 1 kg = 2.2046 lb, pero
suele usarse solo 2.2
e) 1 lb = 0.4535 kg, pero
suele usarse solo 0.454
Medidas de peso
1 libra (lb) = 16 onzas (oz)
1 tonelada (T) = 2,000 libras
f) 1 km = 0.6215 mi .
g) 1m = 39.37 pulg.
200
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
5/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
6/15
Conversión de unidades de medida usando el método cancelativo
Las medidas definidas en cada sistema permiten establecer equivalencia entre una medida
y otra, de la unidad básica hacia un múltiplo y hacia un submúltiplo, de SI al sistema inglés
y del sistema inglés al SI.
SUGERENCIA:
1) Primero convierta la medida dada a la unidad básica de medida
correspondiente.
2) Convierta la unidad básica de medida al múltiplo o submúltiplo solicitado
en el ejercicio.
3) Escriba la conversión encontrada en el mismo o diferente sistema.
Ejemplos de conversiones en el SI de la unidad básica a un múltiplo
Ejemplo 1: Convertir 3500 m a Km
Proceso de solución
1. Para convertir los 3500 m a Km, se divide por la cantidad los 1000 m que hay en 1
km.
1 km
 Se cancelan las unidades iguales
3500 m 
1000 m

3500 1 km
1000
35 00

 Se cancelan los ceros y se divide
10 00
 3.5
2. En 3,500 m hay 3.5 Km
Ejemplo 2: Convertir 570 l a hl
570 l 
Proceso de solución
1. Para convertir los 570 l a hl,
se divide por los 100 litros
que hay en 1 hl

2. En 570 litros hay 5.7 hl
MÓDULO No.3
1 hl
 Se cancelan las unidades iguales
100 l
570 1 hl
100
57 0
 Se cancelan los ceros y se divide

10 0
57

10
 5.7
MATEMÁTICAS
201
01
1
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Ejemplos de conversiones en el SI de un múltiplo a la unidad básica
Ejemplo 1: Convertir 93.45 hg a g
Proceso de solución
1. Para convertir los 93.45 hg a g, se multiplica por los 100 g que hay en 1 hg.
93.45 hg 
100 g
1 hg
 93.45 100  g
 9345 g
2. En 93.45 hg hay 9345 g
Ejemplo 2: Convertir
47
Dl a l.
3
Proceso de solución
1. Para convertir los 47 Dl a litros se multiplica por 100.
3
47
100 l
Dl 
3
1 Dl
 47 100 

 Dl
 3 1 
4700
fracción
mixta.

Dl  Se
Se convierte
conviertea la
fraccion
a mixta
3
1
 143 l
3
2º: En 47 Dl hay 1
3
202
2
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
7/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
8/15
Ejemplos de conversiones en el SI de la unidad básica a un submúltiplo
Ejemplo 1: Convertir 1453.38 m a mm
Proceso de solución
1. Para convertir 1453.38 m a mm se multiplica por los 100 mm que hay en 1 m
1453.38 m 
100 mm
1 m
 1453.38 100  mm
 145338 mm
2. En 1453.38 m hay 145,338 mm.
Ejemplo 2: Convertir 12
1
g a cg.
4
Proceso de solución 1
1. Para convertir 12 g a cg se multiplica por los 100 mm que hay en 1 m.
4
12
1
10 cg
g
 Se
convierteelelnúmero
numero
mixto
a fraccion
impropia
Se convierte
mixto
a fracción
impropia.
4
1 g
 49 10 
    cg
 4 1
490
ca.

cg  Se
Se simplifi
simplifica
4
245
impropia.

cg  Se
Se convierte
conviertea fracción
a fraccion
impropia
2
1
 122 cg
cg
2
2. En 12
1
1
g hay 122 cg.
2
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
203
03
3
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Ejemplo 3: Convertir 100 litros a dl
Proceso de solución
1. Para convertir los 100 l a dl, se
multiplica por los 10 litros que
hay en un dl.
100 l 
2. En 945 Hl hay 94500 dl.
10 dl
1l
 100 10  dl
 1000 dl
Ejemplos de conversiones en el SI de un submúltiplo la unidad básica
Ejemplo 1: Convertir 94.5 cl a l.
Proceso de solución
1. Para convertir los 94.5 cl a l, se
multiplica por los 100 l que
hay en 1 Hl.
94.5 cl 
2. En 94.5 cl hay 0.945 l.
1l
100 cl
 94.5 

l
 100 
 0.945 l
Ejemplo 2: Convertir 890.23 mg a g
Proceso de solución
1. Para convertir los 890.23 mg a g,
se multiplica por los 100 l que
hay en 1 Hl.
890.23 mg 
2º: En 890.23 mg hay 0.89023 g.
1g
1000 mg
 890.23 

g
 1000 
 0.89023 g
204
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
9/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
10/15
Ejemplos de conversiones en el SI de un múltiplo a un submúltiplo
Ejemplo 1: Convertir 145 hl a dl
Proceso de solución
1. Para convertir los 145 hl a l, se multiplica por los 100 l que hay en 1 hl.
100 l
145 Hl 
1 Hl
 145 100  l
 1450 l
2. Para convertir los 1450 l a dl, se multiplica por los 10 litros que hay en un dl.
10 dl
1450 l 
1l
 1450 10  dl
 14500 dl
3. En 145 hl hay 14500 dl.
Ejemplo 2: Convertir 3
2
km a cm.
3
Proceso de solución
1. Para convertir los 3 2 km a m, se multiplica por los 1000 m que hay en 1 km.
3
2
1000 m Se convierte número mixto a fracción impropia.
3 km 
 Se
el numero mixto a fraccion impropia
3
1 km
 11

  1000  l
3


 111000 

m
3


 11000 

Se convierte
convierte aa fracción
fraccionimpropia.
impropia
 m  Se
 3 
2
 3666 m
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
205
05
5
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
2. Para convertir los 3666 2 m a cm, se multiplica por los 100 cm hay en un m.
3
2
100 cm
3666 m 
3
1 m
3.
 11000


10  cm
 3

 11000 10 

 cm
3


 110000 
Se convierte a número mixto.

 cm  Se convierte a numero mixto
3


2
 36666 cm
3
2
2
En 3
km hay 36666
cm.
3
3
Ejemplos de conversiones en el SI de un submúltiplo a un múltiplo
Ejemplo 1: Convertir 4890 dg a hg.
Proceso de solución
1. Para convertir los 4890 dg a g,
se divide por los 10 dg que hay
1 g.
4890 dg 
2. Para convertir 489 g a hg, se
divide por los 100 g que hay en
en 1 hg.
1g
10 dg
489 g 
1 hg
100 g
 489 1 

 hg
 100 
 4.89 hg
 4890 1 

g
 10 
 489 g
3. En 4890 dg hay 4.89 g.
206
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
11/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
12/15
Ejemplo 2: Convertir 5000 mm a km.
Proceso de solución
1. Para convertir los 5000 mm a m,
se divide por los 1000 mm que
hay en 1 m.
5000 mm 
2. Para convertir 5 m a Km.
se divide por los 1000 m que
en 1 km.
1m
1000 mm
5 m
 5 000 1 

m
1000


5 m

1 km
1000 m
5 1 km
1000
 0.005 km
3. En 5000 mm hay 0.005 km.
Ejemplos de conversiones en el Sistema Inglés
Ejemplo 1: Convertir 358.5 pies a pulg.
Proceso de solución
1. Para convertir 358.5 pies a pulg, se multiplica por las 12 pulg que ya en 1 pie .
358.5 pie 
12 pu lg
1 pie
 358.5 12
 4302 pu lg
2. En 570 litros hay 5.7 hl.
Ejemplo 2: Convertir 712 yd a pulg.
Proceso de solución
1. Para convertir los 712 yardas a pies,
se multiplica por los 3 pies que hay
en una yd.
712 yd 

3 pies
1 yd
712  3 yd
1
 2136 pies
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
207
07
7
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
2.
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Para convertir 2136 pies a pulgadas, se multiplica por las 12 pulg que hay
en 1 pie.
12 pu lg
2136 pie 
1 pie
 2136 pu lg
3. En 712 yd hay 2136 pulg.
Ejemplo 3: Convertir 2000 oz a lb.
Proceso de solución
1. Para convertir las 2,000 oz a lb, se divide por las 16 oz que hay en una libra.
2000 oz 
1 lb
16 oz
2000
oz
16
 125 lb

2. En 2000 oz hay 125 lb.
Ejemplo de conversiones del Sistema Internacional al inglés
Ejemplo 1: Convertir 385 kg a oz.
Proceso de solución
1. Para convertir los 385 kg a lb,
se divide por los 2.2 kg que
hay en 1 lb.
1 lb
385 kg 
2.2 kg
2. Para convertir 175 lb a oz,
se multiplica por las 16 oz
que hay en 1 lb.
175 lb 
 175 16  oz
385
lb
2.2
 175 lb
En 385 kg hay 2,800 oz.

3.
208
2
16 oz
1 lb
 2800 oz
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
13/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
Contenido Teórico
No.05
14/15
Ejemplos de conversiones del sistema inglés al Sistema Internacional
Ejemplo 1: Convertir 976 oz a mg.
Proceso de solución
1. Convertir las 976 oz a lb, se
2. Convertir 61 lb a kg,
divide por las 16 oz que hay
en 1 lb.
976 oz 
se multiplica por los 2.2 kg
que hay en 1 lb.
1 lb
16 oz
61 lb 
 61 0.454  kg
976
lb
16
 61 lb

 27.694 kg
3. Para convertir 27.694 kg a mg,
4. En 976 oz hay 27,694 mg.
se multiplica por los 1000 mg
que hay en 1 kg.
27.694 kg 
0.454 kg
1 lb
1000 mg
1 kg
 27.694 1000  g
 27694 mg
Ejemplo 2: Convertir 1000 pulg a cm.
Proceso de solución
1, Para convertir los 1000 pulg a cm, se divide por los 2.2 kg que hay en 1 lb.
1000 pu lg 
2.57 cm
1 pu lg
 1000  2.57  cm
 2570 cm
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
209
09
9
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.05
Operaciones y Conversiones de Unidades
de Medida
EJERCICIO PRÁCTICO
Desarrolle las siguientes conversiones, use las equivalencias correspondientes según el
sistema que se le pida.
1)
2)
Usando las unidades de medida del SI.
b)
c) 3.90 g a cg
d ) 3, 000, 000 cm a
e) 45.26 ml a dl
f)1
210
2
3
mm a cm
4
Usando las unidades de medida del sistema inglés.
a ) 2.6 oz a lb
b) 6800 pies a yd
c) 39.40 goz a lb
d) 3
e) 5
3)
8
hm a mm
5
a ) 260.8 kl a cl
3
pies a mi
10
1
T a oz
7
f ) 17 mi a yd
Convirtiendo de un sistema a otro.
a ) 926 oz a kg
b) 6.8 pies a pu lg
1
c) 39 cm a mi
2
d)
e) 500 yd a km
f ) 70.25 dm a yd
3
T a mg
5
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
15/15
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
1//11
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
Definición de rayo y de ángulo
En geometría existe una figura llamada rayo, es una semirrecta con un punto de inicio. El
rayo puede estar apuntando en cualquier dirección en un plano, tiene un punto de inicio que

se nombra con una letra mayúscula. El rayo de la figura se representa por VA
A
V
Dos rayos pueden coincidir en su punto de inicio, si esto sucede forman un ángulo, este se
define de la siguiente manera:
Definición:
Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto de inicio común llamado
vértice. El ángulo de la figura se nombre como: A
B (se lee ángulo ABC); al nombrarlo
el vértice siempre va al centro.
A
C
B
Partes del ángulo


Dos rayos: BA y BC.
El vértice: Es el punto B donde los dos rayos coinciden
Medida de un ángulo
La medida de un ángulo es la abertura entre los rayos que lo forman, a esa abertura se le
asigna un único número. Para medirlo en grados se usa una regla que puede ser semicircular
o circular especial llamado transportador. Existen tres formas para nombrar un ángulo: En
grados, en radianes y en gradientes.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
211
11
1
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
Medida en grados: Se divide la circunferencia en 360 partes, a cada parte se le llama 1
grado. Por ejemplo, lectura de los siguientes ángulos:




450: Se lee 45 grados.
1730: Se lee 173 grados.
24.90: Se lee 24 grados 9 décimas.
-38.750: Se lee negativo 38 grados 75 centésimas.
Proceso de medición de un ángulo en grados usando transportador
Ejemplo 1: Mida con transportador el siguiente ángulo.
A
C
B
Proceso de solución
1. Se coloca el centro del transportador en el vértice A de tal forma que el número 0
grados del transportador coincida con BC.
2. Se recorre la línea curva del transportador y se busca la medida en grados donde el otro
rayo del ángulo y el transportador coinciden. El número del transportador es la medida
en grados del ángulo.
Siguiendo la curva del
transportador se mide el
ángulo, en este caso es de 70°.
El centro del transportador se hace coincidir
con el vértice del ángulo y con un rayo.
212
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/11
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
3/11
Ejemplo 1: Mida con transportador el siguiente ángulo.
Q
R
P
Proceso de solución
1. Se coloca el centro del transportador en el vértice A de tal forma que el número 0
grados del transportador coincida con PR.
2. Se recorre la línea curva del transportador y se busca la medida en grados donde el otro
rayo del ángulo y el transportador coinciden. El número del transportador es la medida
en grados del ángulo.
Siguiendo la curva del
transportador se mide el
ángulo, en este caso es de
115°
El centro del transportador
se hace coincidir con el
vértice del ángulo y con un
rayo.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
213
13
3
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
4/11
Medida en radianes: Para definir la medida de un ángulo en radianes se definirá primero
ángulo central.
Definición:
Un ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de un círculo y los rayos son
radios del círculo.
R
r
r
A
r
C
Definición de radián:
La línea curva entre los rayos que se ve en la figura se llama arco. Si la longitud del arco
entre los radios es igual al radio del círculo, a eso se le llama 1 radián.
La longitud del arco entre los dos rayos puede tener una longitud de múltiplos de 1 radián si
es mayor que la longitud del radio del círculo y submúltiplos de1 radián si es menor que la
longitud del rayo. Por ejemplo, en las dos figuras el radio del círculo y del arco entre ellos
es de es de 4.40 cm, se muestran dos ángulos: hROP, hQOP. Comparando las medidas de
los arcos el primero mide menos de un radián y el segundo mide más de un radián.
8,39 cm
R
O
4,40 cm
O
4,40 cm
R
26,9°
4,40 cm
2,05 cm
P
La medida del arco RP es 2.05 cm. Es menor
que la medida del arco QP que mide 4.40 cm.
Por eso el ROP que mide 26.9° es menor que
un radián.
214
2
4,40 cm
4,40 cm
O
O
145,0°
4,40 cm
P
La medida del arco QP es 8.39 cm. Es mayor
que la medida del arco RP que mide 4.40 cm.
Por eso el QOP que mide 145.0° es menor
que un radián.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
5/11
La medida de un radián en grados
Definición de círculo unitario: Es el círculo que tiene de una unidad de radio, por ejemplo:
1 cm, 1 km, 1yd, 1 m, 1 pie, etc. La siguiente figura muestra un círculo de 1 m de radio.
1m
P
C
Sobre él construirán dos radios de 1 m, el arco que se forma entre ellos y la medida del
ángulo central que se forma.
Medida del arco = 1.00 m
radio = 1.00 m
57.29 °
radio = 1.00 m
Se observa en la figura que 1 radián = 57.290, el cálculo de ese resultado es el siguiente:
1. Se calcula la longitud de una circunferencia de radio 1 m. Se define como 2 veces el
producto del radio con la constante π.
C = 2πr, donde D es la longitud de la circunferencia.
C = (2π)(1)
C = 2π : 2 veces π
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
215
15
5
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
2. Se establece la equivalencia:
2  3600  Una vuelta tiene 3600
2 360

 Dividiendo ambos lados por 2
2 2
180
1

Este resultado quiere decir que 1 radian es igual a 180 grados. El valor aproximado en

grados de un radián es:
Esto nos permite convertir radianes a grados. Se enuncia de la siguiente manera:
180
180

 57.29577951...
3.14156

1 radian  57.2960 aproximado a tres cifras decimales
1
Esto nos permite convertir radianes a grados. Se enuncia de la siguiente manera:
Regla para convertir radianes a grados:
Se multiplican los radianes por 180 , o por su aproximación decimal: 57.296.

Ejemplo 1: Convertir
3
4
a grados.
Proceso de solución
Se multiplica 3 radianes por 180 p, luego se simplifica.
4

3  180
 Se cancela el número 

4

3 180

4
540

 Se simplifica
4
270

2
1350
En 3 hay 1350.
4
216
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
6/11
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
7/11
Ejemplo 2: Convertir -378.56 radianes a grados.
Proceso de solución
Se multiplica -378.56 radianes por la constante 57.296
-378.56 x 57.296 = - 21,689.970
En - 378.56 radianes -21,689.970
La medida de 1 grado en radianes
2. Se establece la equivalencia:
3600  2  Una vuelta tiene 3600
360 2

 Dividiendo ambos lados por 360
360 360

1
180

Este resultado quiere decir que 1 grado es igual a
grados. El valor aproximado en
180
radianes de un grado es:

3.14156

 0.017453292...
180
180
10  0.01745 aproximado a cinco cifras decimales
1
Esto nos permite convertir grados a radianes. Se enuncia de la siguiente manera:
Regla para convertir grados a radianes

, o por su aproximación decimal: 0.01745.
Se multiplican los grados por
180
Ejemplo 1: Convertir 3000 a radianes.
Proceso de solución
Se efectúa

300 
Hay
5
3
180
300 

180
5

3
en 3000
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
217
17
7
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
8/11
Ejemplo 2: Convertir -99.550 a radianes.
Proceso de solución

Se efectúa:
99.550 
180
99.55 

180
99.553.1416 

180
312, 74628

180
 1.7374
Hay -1.7374 radianes en -99.550
Clasificación de los ángulos por su medida
Agudos
Obtusos
B
B
39,9°
121,3°
A
CC
El ángulo es agudo porque su
medida es menor de 90 grados.
Rectos
A
C
El ángulo es obtuso, porque su
medida es mayor de 90 grados.
El ángulo es nulo porque los rayos
van en el mismo sentido, la medida
es de 0 grados.
B
A
B
C
El ángulo es llano porque los rayos
están en sentido opuesto, la medida
es de 180 grados.
90,0°
B
C
B
C
180°
El ángulo es recto porque su
medida es de 90 grados.
218
2
A
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
9/11
Definición de triángulo
En Geometría el triángulo es una figura muy importante y ha sido objeto de estudio por los
matemáticos a lo largo de la historia, se define a continuación:
Definición
Un triángulo es una figura geométrica que resulta de la unión de tres segmentos
que tienen tres puntos en común llamados vértices. La suma de dos lados
cualquiera es siempre mayor que el tercer lado.
A
88,7°
91,3°
8,58 cm
5,82 cm
54,9°
B
10,47 cm
33,7°
146,3 °
C
125,1°
Partes de un triángulo
a)
b)
c)
d)
3 vértices: A, B, C
3 lados: AB, BC, CA
3 ángulos internos
3 pares de ángulos externos
Propiedades
a)
La suma de las longitudes de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado.
Suma de las medidas de dos lados cualquiera.
1. 5.82 + 10.47 > 8.58
2. 10.47 + 8.58 > 5.82
3. 8.58 + 5.82 > 10.57
Si una de estas tres condiciones no se cumple, el triángulo no existe.
b)
La suma de los ángulos internos del triángulo suman 1800.
Suma de los ángulos internos:
54,9° + 91,3° + 33,7° = 180,00°
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
219
19
9
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.06
c)
Ángulos y Triángulos
10/11
La medida de un ángulo externo es la suma de dos ángulos internos no consecutivos.
Medida de tres ángulos externos
54,9° + 91,3° = 146,26°
91,3° + 33,7° = 12,06°
54,9° + 33,7° = 88,68°
Clasificación de los triángulos
Según la medida de sus lados los triángulos se clasifican en:

Equiláteros: Son los triángulos
que sus tres lados tienen la misma
medida.

B
Isósceles: Son los triángulos que
dos de sus lados tienen la misma
medida. Tienen la propiedad que los
ángulos de la base tienen la misma
medida.
B
7,93 cm
7,93 cm
7,78 cm
7,93 cm
C
A
57,9°
A

7,78 cm
67,9°
5,87 cm
Escalenos: Son los triángulos que sus tres lados
tienen distinta medida.
B
11,78 cm
C
5,38 cm
A
220
2
7,58cm
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
C
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.06
Ángulos y Triángulos
11/11
Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

Equiángulos: Son los triángulos
que sus tres ángulos internos
tienen la misma medida. Por
esta razón podemos decir que
todo triángulo equilátero es
equiángulo y viceversa.
Rectángulos: Son los triángulos
que tienen un ángulo recto.

B
B
60,0°
90,0°
C
A
60,0°
60,0°
A

C
Obtusángulos:
Son
los
triángulos que tienen un ángulo
obtuso.

Acutágulo: Es el triángulo que
tiene todos sus ángulo agudos.
B
81,3°
B
29,6°
130,0°
20,4°
C
A
61,9°
36,8°
C
A
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
221
21
1
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.07
El Teorema de Pitágoras
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Un poco de historia
Pitágoras de Samos: (Cerca del 580 a. C. y 495 a. C.)
Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer
matemático puro. Contribuyó de manera significativa en
el avance de la matemática, la geometría y la aritmética,
derivadas particularmente de las relaciones numéricas y
aplicadas. Por ejemplo: A la teoría de pesos y medidas, a
la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador
de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era
de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba
también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política,
entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que
influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera
más general, en el posterior desarrollo de la matemática y
en la filosofía racional en Occidente.
Matemático griego del siglo VI a. C.
Fuente: http://www.um.es/docencia/
pherrero/mathis/pitagoras/pitagor.htm
No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos, los pitagóricos,
invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma
indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de
sus seguidores.
Enunciado del teorema
Teorema de Pitágoras
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
C2 = a2 + b2
222
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1/5
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.07
El Teorema de Pitágoras
2/5
Interpretación gráfica del teorema
La figura muestra que la superficie construida sobre la hipotenusa: c2, es igual a la suma de
las superficies construidas sobre los catetos, es decir a2 + b2.
A partir de la fórmula para el cuadrado de la hipotenusa, se deducen las fórmulas para
calcular las longitudes de la hipotenusa y de los catetos:
Fórmulas para las longitudes de los lados del triángulo:
a)
La longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de los catetos. c  a 2  b 2
b)
La longitud de un cateto es la raíz cuadrada de la diferencia entre el
cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del cateto conocido.
a  c2  b2
MÓDULO No.3
b  c2  b2
MATEMÁTICAS
223
23
3
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.07
El Teorema de Pitágoras
Ejercicios y problemas que se resuelven por medio del teorema
de Pitágoras
Ejemplo 1
Calcule el valor del lado de cada uno de los triángulos rectángulos dados a continuación:
a)
b)
1
3,47 cm
5,50cm
6
x
Z
Proceso de solución
Hay que calcular el valor de z, se conoce un cateto y la hipotenusa, hay que calcular un
cateto.
z  5.52  3.47 2
 30.25  12.04
 18.21  Calcular el valor usando calculadora
z  4.267 cm
Proceso de solución
Hay que calcular el valor de x, se conocen los catetos, hay que calcular la hipotenusa.
  12  62
 1  36
 37  Calcular el valor usando calculadora
  6.08
224
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
3/5
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.07
El Teorema de Pitágoras
4/5
Ejemplo 3
Calcule la altura x de la altura del triángulo en el hexágono.
Proceso de solución
z  102  52
10
 100  25
10
X
X
10
 75
10
La altura mide
5
75 unidades
Ejemplo 2
Calcule la altura en metros a la que vuela el avión. Por convención la altura es solicitada por
las torres de control en pies, ¿Cuál es la altura en pies?
516.5 m
324.5m
A
h
B
Proceso de solución
1. Como en la figura el triángulo es rectángulo, se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
Se pide la altura h a la que el avión vuela. El valor desconocido es un cateto.
h  516.52  324.52
h  266, 772.25  105,300.25
h  161, 472
h  401.835 m
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
225
25
5
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.07
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El Teorema de Pitágoras
2. La altura a la que vuela un avión es de 401.835 m. Deben convertirse a pies.
h  401.835 m 
3.28 pies
1 m
h  401.835  3.28  pies
h  1318.0188 pies
Ejemplo 3
Un soldador necesita colocar una pieza en diagonal de un portón por la parte que da al
interior de la casa. ¿Cuál es la longitud de la pieza si el largo del portón es de 1.5 m y el
alto es de 2 m?
longitud  1.52  22
 2.25  24
 6.25
 6
25
 Simplificando
100
625
100
25

4
 6.25 m, es la longitud de la pieza

226
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
5/5
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
1/10
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición de las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se derivan de las razones o cocientes entre los lados de un
triángulo rectángulo, estas relaciones son las siguientes:

c
b

a
a, b: se llaman catetos o lado
c : se llama hipotenusa
Relaciones entre los lados teniendo como referencia el ángulo : letra griega alfa, llamada
argumento de la función.
a. Se llama lado adyacente.
b. Se llama lado opuesto.
c. Se llama hipotenusa.
Nombre y relaciones de las funciones trigonométricas:
b Lado opuesto

c
Hipotenusa
a Lado adyacente
Coseno del ángulo : cos   
c
Hipotenusa
b
Lado opuesto
Tangente del ángulo :tan   
a Lado adyacente
b
Hipotenusa
Secante del ángulo :sec   
c Lado adyacente
b
Hipotenusa
Secante del ángulo :csc   
c Lado opuesto
b Lado adyacente
Co tan gente del ángulo :cot   
a
Lado opuesto
1) Seno del ángulo : sen 
2)
3)
4)
5)
6)
Cálculo del valor de las funciones trigonométricas
Ejemplo 1
Escriba las seis relaciones trigonométricas para el ángulo de 550 y 350.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
227
27
7
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
Proceso de solución
Se escriben las relaciones tomando como referencia el argumento, en este caso es 550.
55
9
11
6
cos 55 
11
9
tan 55 
6
sen 55 
11
6
35
11
9
11
sec 55 
6
6
cot 55 
9
csc 55 
Escríbalas en este orden porque así es mejor
memorizarlas
9
Ahora se escribirán las seis relaciones trigonométricas para el ángulo de 350
6
11
9
cos 35 
11
6
tan 35 
9
11
6
11
sec 35 
9
9
cot 35 
6
sen 35 
csc 35 
Ejemplo 2
Sea cosx0 =
4
, calcule las otras relaciones trigonométricas.
7
Proceso de solución
1. El cosx0 se define como:
por y.
Lado opuesto
, se debe calcular el valor del otro cateto simbolizado
Hipotenusa
y  7 2  42
y
49 16
La longitud del lado es 33m
y  33
7
y
sen x 0 
x°
4
228
2
4
7
7
tan x 0 
4
cos x 0 
33
7
csc x 0 
7
33
7
4
4
cot x 0 
7
sec x 0 
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/10
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
3/10
Ecuaciones trigonométricas elementales y uso de calculadora
Para calcular el ángulo desconocido de un triángulo rectángulo se necesitan determinadas
fórmulas que requieren ecuaciones trigonométricas elementales. Los cálculos deben hacerse
con calculadora científica.
Lista de fórmulas para calcular los ángulos para las funciones
seno, coseno y tangente.
1) Si sen x = a entonces x = sen-1 a
2) Si cos x = a entonces x = cox1 a
3) Si tan x = a entonces x = a tan-1 a
sin-1 D
Con estas funciones se
calcula el seno de un
ángulo y el seno inverso.
sin
cos-1 E tan-1 F
cos
tan
Con estas funciones se calcula
la tangente de un ángulo y la
tangente inversa.
Con estas funciones se calcula
conseno de un ángulo y el
conseno inverso.
Ejemplo 1
Calcule el valor sen45
Proceso de solución
1. Se digita el número 45 en la pantalla. La calculadora debe estar en DEG o D
2. Se presiona sin y el resultado es: 0.707106781…
Ejemplo 2
Calcule el valor tan32.7
Proceso de solución
1. Se digita el número 32.7 en la pantalla.
2. Se presiona tan y el resultado es: 0.641988559…
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
229
29
9
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
Ejemplo 3
Calcule el valor cos(-0.05)
Proceso de solución
1. Se digita el número -0.05 en la pantalla.
2. Se presiona cos y el resultado es: 0.999999619…
Ejemplos 4
Calcule el valor del ángulo z si sen z = 0.5
Shift
sin D
Proceso de solución
1. Se presiona la tecla
y luego la tecla sin . Esto permite que se active la función
sin-1.
2. Se digita el número 0.5 en la pantalla.
3. El resultado es 0.5.
Si sen z = 0.5 entonces
z = sen-1 0.5
z = 30°
-1
Ejemplos 5
Calcule el valor del ángulo z si tan z = 02
Shift
tin F
Proceso de solución
1. Se presiona la tecla
y luego la tecla tan . Esto permite que se active la función
tan-1.
2. Se digita el número 2 en la pantalla.
3. El resultado es
Si tan z = 2 entonces
z = tan-1 2
z = 63.43494882°
-1
Ejemplos 6
Calcule el valor del ángulo z si cos z = 0.23.
Shift
cos E
Proceso de solución
1. Se presiona la tecla
y luego la tecla cos . Esto permite que se active la función
cos-1.
2. Se digita el número 2 en la pantalla.
3. El resultado es
Si cos z = -0.38 entonces
z = cos-1 (-0.38)
z = 112.3336827°
-1
230
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
4/10
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
5/10
Encuentre el valor del ángulo en los siguientes triángulos rectángulos.
Ejemplo 1
Calcule el valor de y del triángulo.
Proceso de solución
1. Se conoce un ángulo y un lado, se necesita conocer la hipotenusa. Se busca una
función trigonométrica que esté definida con opuesto e hipotenusa. Esa es la función
seno72.9.
2. Se calcula el valor de la variable y
opuesto
hipotenusa
14.12
sen72.9 
y
y sen72.9  14.12
14.12
y
 con calculadora se hace sen72.9
sen72.9
14.12
y
0.955793014
y  14.75
sen 72.9 
11,12 cm
y
72,9°
Ejemplo 2
Calcule el valor w del triángulo.
Proceso de solución
1. Se conoce un ángulo y un lado, se necesita conocer el otro lado. Se busca una función
trigonométrica que esté definida con adyacente e hipotenusa. Esa es la función
coseno65.7
2. Se calcula el valor de la variable wadyacente
hipotenusa
6
cos 65.7 
w
w cos 65.7  6
6
y
 con calculadora se hace cos 65.7
cos 65.7
6
y
0.411514358
y  14.58
cos 65.7 
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
W
65,7°
6m
231
31
1
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
Ley de senos y cosenos
Para calcular valores de desconocidos de triángulos que no son rectángulos se usa la ley de
senos o la ley de cosenos, la definición de estas leyes es la siguiente:
Definición de triángulo oblicuángulo: Es un triángulo que no tiene ángulos
rectos.
Resolver un triángulo oblícuo significa encontrar las longitudes de sus lados
y la medida de sus ángulos.
Dependiendo de los datos que se tengan el triángulo se puede resolver por ley de senos o ley
de cosenos.
Triángulo oblícuo
C

b
A
a


c
Definición de ley de senos
B
sen sen sen


a
b
c
Condiciones para usar ley de senos:
a)
Se deben conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
b)
Se deben conocer dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos.
Definición de ley de cosenos
c 2  a 2  b 2  2ab cos  , el valor de c  a 2  b 2  2ab cos 
b 2  a 2  c 2  2ab cos  , el valor de b  a 2  c 2  2ab cos 
a 2  b 2  c 2  2ab cos  , el valor de a  b 2  c 2  2ab cos 
Condiciones para usar ley de cosenos:
a)
Se deben conocer dos lados y el ángulo entre ellos.
b)
Se deben conocer dos ángulos y el lado entre ellos.
232
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
6/10
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
7/10
Ejemplo 1
Calcule el valor de a del siguiente triángulo:
C
a
4,84 m
35°
21°
A
b
Proceso de solución
1. Se conocen dos ángulos: 210 y 350, y el un lado opuesto 4.84 al ángulo de 350 Se aplica
la ley de senos y se calcula el valor de a.
sen 21 sen35

 se hace el cálculo de sen21, sen35
a
4.84
0.358 0.573

4.84
a
0.358
 0.1185
a
0.358  0.1185a
0.358
a
0.1185
a  3.02
2. Se calcula el valor de x.
x = 1800 – 210 – 350 = 1240
3. Se calcula el valor de b.
sen124 sen35

 se hace el cálculo de sen21, sen35
b
4.84
0.829 0.573

b
4.84
0.829
 0.1185
b
0.829  0.1185 b
0.829
b
0.1185
b  6.99
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
233
33
3
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
Ejemplo 2
Calcule la distancia P de la figura
P
x
100 mi
y
132,1°
150 mi
Proceso de solución
1. Se conocen dos lados: 100 mi, 150 mi, y el ángulo 132.10 entre ellos. Se aplica la ley
de cosenos y se calcula el valor de P.
P  1002  1502  2 100 150 cos132.10
P  10, 000  22,500  30000 cos132.10
P  22,500  30, 000 cos132.10
P  22,500  30, 000 0.670426 
P  22,500  30, 000 0.670426 
P  22,500  20,112.78
P  42, 612.78
P  206.426
2. Se calcula el valor del ángulo x aplicando ley de senos.
sen132.1 sen 

 se hace el cálculo de sen132.1
206.42
150
sen 
0.0036 
150
0.0036 150   sen 
0.54  sen 
  sen 1 0.54
  32.680
3. Se calcula el valor del ángulo y
y = 1800 – 132.10 – 32.680 = 15.220
234
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
8/10
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.02
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
9/10
EJERCICIO PRÁCTICO
1)
Encuentre el valor de las 6 relaciones trigonométricas según la figura dada tomando
como referencia el ángulo x para la primera, ángulo y para la segunda.
a)
b)
x
6
5
3
y
15
16
4
2)
Se sabe que sen x  7 , dibuje el triángulo correspondiente con esos datos, encuentre el valor
10
del lado desconocido del triángulo y el valor de las otras 5 relaciones trigonométricas
2)
Calcule el valor de los lados usando el teorema de Pitágoras.
a)
b)
y
3
x
6.5
8.2
4
3)
Usando ley de senos resuelva el siguiente triángulo.
C
y
85 m
A
MÓDULO No.3
x
W
32°
100 m
MATEMÁTICAS
235
35
5
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS
Contenido Teórico
No.08
Funciones Trigonométricas
4)
Observe las siguientes figuras, calcule el tamaño z de la escalera en el caso de la
primera figura y la altura h a la que llega la escalera en la segunda figura.
5)
Usando ley de cosenos resuelva el siguiente triángulo.
y
92 cm
13°
140°
6)
236
2
123 cm
Vea la figura y aplicando ley de cosenos calcule el ángulo x entre el castillo, la persona
y la casa.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
10/10
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS
Y TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Evaluación
1/4
TIPO VERDADERO O FALSO
Instrucciones
Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta
o una F si la proposición es falsa.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
En un metro hay 1000 mm ____________________________________
En 200 km hay 200 hectómetros________________________________
Un ángulo agudo mide menos de 90 grados _______________________
En 2.5 libras hay 40 onzas_____________________________________
Dos ángulos de un triángulo suman 930, el tercer ángulo
mide 2670 __________________________________________________
Un triángulo isósceles tiene los tres lados iguales __________________
Un triángulo cuyos lados miden 24, 56 y 80 m existe _______________
La cosecante se define como hipotenusa sobre lado opuesto __________
La medida de un ángulo en grados es de 300, en radianes es  _______
6
Un triángulo escaleno tiene dos lados iguales ______________________
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
TIPO SELECCIÓN ÚNICA
Instrucciones
Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición.
1)
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 11 cm, la hipotenusa mide:
a) 185
57
b)
c)  185
d)  57
2)
7
9
Si sen  , la cot es:
a)
9
7
b)
7
9
c)
7
32
d)
32
7
3) Si cos x = 0.5 el valor del ángulo es de:
a) 300
b) 600
c) 450
d) 900
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
237
37
7
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS
Y TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Evaluación
2/4
4)
En 5 millas hay :
a) 8.045 m
b) 80.45 m
c) 804.5 m
d) 8,045 m
5)
La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo mide 9 y 6 cm respectivamente,
el otro cateto mide:
6)
a)
45
b)
117
c)
 45
d)
 117
Según el triángulo
1.5
0.8
x
, las relaciones trigonométricas son:
1.2
a) senx 
1.5
1.5
1.2
, cos x 
, tan x 
0.8
1.2
0.8
b) senx 
0.8
1.2
0.8
, cos x 
, tan x 
1.5
1.5
1.2
c) senx 
1.2
0.8
1.2
, cos x 
, tan x 
1.5
1.5
0.8
d) senx 
1.5
1.5
1.2
, cos x 
, tan x 
1.2
0.8
0.8
7)
En 10 pies hay:
a) 3.048 cm
b) 30.48 cm
c) 304.8 cm
d) 3,048 cm
8)
Según el triángulo
a) seny 
c)
9)
238
2
0.8 y
1.2
1.5
, las relaciones trigonométricas son:
1.2
0.8
1.2
, cos y 
, tan y 
1.5
1.5
0.8
0.8
1.2
0.8
seny 
, cos y 
, tan y 
1.5
1.5
1.2
En 20 cm hay:
a) 7.874 pulg
b) 78.74 pulg
c) 787.4 pulg
d) 7,874 pulg
b)
d)
seny 
1.5
1.5
1.2
, cos y 
, tan y 
1.2
0.8
0.8
seny 
1.5
1.5
1.2
, cos y 
, tan y 
0.8
1.2
0.8
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS
Y TRIGONOMÉTRICOS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.01
Evaluación
3/4
10) En 400 gramos hay:
a)
3
kg
5
b)
4
kg
5
1
kg
5
c)
d)
2
kg
5
TIPO PRÁCTICO
Instrucciones
Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos
correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo.
1)
Encuentre el valor de las 6 relaciones trigonométricas según la figura dada tomando
como referencia el ángulo z.
z
6
10
8
12
2)
Se sabe que csc x 
, dibuje el triángulo correspondiente con esos datos, encuentre
7
el valor del lado desconocido del triángulo y el valor de las otras 5 relaciones
trigonométricas.
3)
Calcule el valor de a del siguiente triángulo usando el Teorema de Pitágoras.
3.5
a
7.8
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
239
39
9
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS
Y TRIGONOMÉTRICOS
E
Elemento
de
Competencia No.02
C
Evaluación
4)
4/4
Usando ley de senos resuelva el siguiente triángulo.
C
y
X
65 pulg.
W
40°
A
5)
B
90 pulg.
Usando ley de cosenos resuelva el siguiente triángulo.
A
100 m
y
47 m
11°
C
130°
X
B
240
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
ELEMENTO DE
COMPETENCIA
03
RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS
Y TRIGONOMÉTRICOS
Contenido teórico No.09
Contenido teórico No.10
Contenido teórico No.11
Contenido teórico No.12
Contenido teórico No.13
Contenido teórico No.14
Contenido teórico No.15
MÓDULO No.3
El Plano Cartesiano.
Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Operaciones con razones y proporciones.
Operaciones utilizando porcentajes.
Cálculo de tasas de producción.
Construcción de gráficas
La mejor alternativa
MATEMÁTICAS
241
41
1
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.09
El Plano Cartesiano
EL PLANO CARTESIANO
El par ordenado y sus partes
Un punto P se localiza en la recta numérica asignándole a cada punto un único número,
a ese punto ubicado en una dimensión en la recta se le llama coordenada del punto. Para
trabajar en un plano de dos dimensiones, el punto P está formado por dos números, primero
y segundo elemento. Estos elementos de un punto se definen así:
Definición
Un punto P, llamado par ordenado es una expresión de la
forma:
P(x,y), donde.
x = Es la primera componente, llamada abcisa.
y = Es la segunda componente llamada ordenada.
Ejemplo de puntos:
P 2,3 : abcisa  2, ordenada  3
Q 1, 7  : abcisa  1, ordenada  7
R 5.6, 12.4  : abcisa  5.6, ordenada  12.4
2
1
2 1
S  ,   : abcisa  , ordenada  
3
5
 3 5
Definición de plano cartesiano y sus partes
El plano de sistemas de coordenadas cartesianas o
rectangulares, está formado por dos ejes, llamados
eje x, eje y. Se le llama también plano xy, haciendo
referencia a los puntos que allí se grafican. Cualquier
punto P en el plano se puede localizar usando el
par ordenado (x, y), estos puntos se ubicarán en los
cuadrantes correspondientes del plano de acuerdo al
signo de sus componentes.
René Descartes, llamado también Cartesius, fue
matemático y físico francés de finales del siglo XVI
y principios del siglo XVII. A él se le debe la invención del plano cartesiano
Fuente: http://www.wikipedia.org/Descartes
242
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1/3
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
Contenido Teórico
No.09
El Plano Cartesiano
2/3
La siguiente imagen representa un plano cartesiano y sus partes.
3
CUADRANTE II
Se ubican los puntos (x, y).
x : es negativa
y : es positiva
-4
-3
-2
-1
CUADRANTE III
Se ubican los puntos (x, y).
x : es negativa
y : es negativa
2
1
0
1
CUADRANTE I
Se ubican los puntos (x, y).
x : es positiva
y : es positiva
1
2
4
x
CUADRANTE IV
Se ubican los puntos (x, y).
x : es positiva
y : es negativa
-2
El plano se divide en unidades: a la derecha de cero las unidades son positivas y a la izquierda
son negativas. Arriba de cero los valores de las unidades son positivas y para abajo son
negativas. Si la componente ordenada y del punto es cero, la gráfica del punto estará ubicada
sobre el eje x. Si la componente de la abscisa x es cero, la gráfica del punto está ubicada
sobre el eje y.
Utilidad del uso del plano cartesiano
Son muchos los usos que el plano, desde que se inventó en el siglo XVII, ha tenido. A
continuación se dan algunos usos al plano cartesiano:
 En las ciencias físicas para representar ciertas relaciones especiales llamadas
vectores.
 Las municipalidades de las ciudades las usan para organizar la ciudad de forma
ordenada, así encontrar la dirección de una casa o negocio no es difícil.
 En navegación: por vía terrestre, marítima o aérea es muy útil para ubicar autos,
carros, barcos, buques, aviones, submarinos, etc.
 La policía y las agencias de seguridad, a través de satélites de comunicación y GPS,
ubican personas y vehículos y aeronaves extraviadas.
 En matemática para graficar funciones y relaciones .
 Los ingenieros, arquitectos lo utilizan para realizar planos.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
243
43
3
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.09
El Plano Cartesiano
Grafica de puntos en el plano cartesiano
Graficar en el plano cartesiano los siguientes puntos:
Proceso de graficación
1. Se identifica el cuadrante o el eje donde el punto se va a graficar.
2. El punto en el plano es el lugar donde las dos coordenadas coinciden.
A (–2, 3) : x = –2, y = 3,
B (2, –3) : x = 2, y = –3,
C (2, 3) : x = 2, y = 3,
D (–2, –3) : x = –2, y = –3,
E (0, 5) : x = 0, y = 5,
F (5, 9) : x = 5, y = 0,
G (4, 4) : x = 4, y = 4,
H (–4, 4) : x = –4, y = 4,
A se ubica en el segundo cuadrante.
B se ubica en el cuarto cuadrante.
C se ubica en el primer cuadrante.
D se ubica en el tercer cuadrante.
E se ubica sobre el eje positivo de y.
f se ubica sobre el eje negativo de y.
P se ubica en el primer cuadrante.
H se ubica en el cuarto cuadrante.
y
E (0, 5)
A(–2, 3)
5
G(4, 4)
4
3
C(2, 3)
2
1
-5
-4 -3 -2 -1 0
-11
F(5, 0)
2
3
4
5
x
-2
D(–2, –3)
H(–4, 4)
-3
B(2, –3)
-4
-5
Perímetro, área y volumen de figuras geométricas básicas
El siguiente cuadro muestra las fórmulas para calcular el perímetro, área y volumen de
figuras geométricas básicas
Definiciones
Figura geométrica: Es un conjunto de puntos en un plano, la unión de estos
puntos forma una línea llamada línea poligonal
Perímetro: Es la suma de las medidas de los lados de una figura geométrica
244
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
3/3
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
1/30
ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
El estudio de las ecuaciones ha sido de mucha importancia para el desarrollo del conocimiento
científico, en especial por los problemas que se resuelven con estos conceptos. Las fórmulas
no pudieran haberse descubierto ni los grandes inventos logrados si las ecuaciones no
existieran. Por ejemplo: Las ecuaciones que se usan para edificar puentes, edificios y túneles;
fabricación de autos, trenes, barcos, submarinos, naves que viajan a otros planetas, etc.
Pasaron muchos siglos, para que a personas estudiosas de ciencia lograran desarrollar
teorías que le permitieran resolver problemas aplicando ecuaciones. En este contenido se
estudiarán dos tipos de ecuaciones: lineales y cuadráticas
Definición de ecuación lineal y sus partes
Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, en el lado izquierdo de la
igualdad suelen ubicarse las variables y en el lado derecho las constantes. Pueden estar
definidas por una o más variables. La clasificación de las ecuaciones depende de las relaciones
que entre las variables haya, así las hay polinómicas, racionales, radicales, exponenciales,
logarítmicas, trigonométricas, etc.
A continuación se definen las ecuaciones lineales:
Definición de ecuación lineal o de primer grado
Es una expresión de la forma ax + b = 0, donde:
x: Es la variable, es decir el valor desconocido en la ecuación.
a, b: Son las constantes, es decir los valores conocidos de la ecuación.
Se le llama lineal porque la variable está elevada al exponente uno y al
graficarse en el plano cartesiano la forma de la gráfica es una línea recta.
A continuación se presentan una serie de ejemplos de ecuaciones lineales:
a) 3x  5  0
d ) 4 x  1  3  2
MÓDULO No.3
2
1 3
y 
3
5 8
3
2
e)  y  2  y
7
3
b)
MATEMÁTICAS
c) 0.8  3.6 k  2.3 k  1.2
f ) 0.8  3.6 k  2.3 k  1.2
245
45
5
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Conjunto solución de una ecuación lineal
La solución de una ecuación lineal es el valor de la variable que al ser sustituido en la
ecuación hace que el lado izquierdo y derecho sean iguales. Se le representa por C. S. Si el
valor de la variable resulta en una igualdad, se dice que ese valor satisface a la ecuación
Ejemplo 1
Verifique si el valor x = 3 es solución o de la ecuación 2x – 4 = 2.
Proceso de solución
Se sustituye el valor dado en la ecuación:
2 3  4  2

Se multiplica
6 4  2
Se resta
2  2  Igualdad
Ejemplo 2
Verifique si el valor y = -2.5 es solución o de la ecuación 2 (y –1.5) = 2y –2.5
Proceso de solución
Se sustituye el valor dado en la ecuación: 2 (y –1) = 2y –2.5
2( y  1)  2 y  2.5


2 
2.5
 1  2 2.5   2.5





 Se suma  



 Se multiplica
2 3.5   52.5



 Se resta
Se multiplica
7  2.5  No es una igualdad
Como no resultó en una igualdad, y = -2.5 no satisface a la ecuación.
Conceptos necesarios para resolver una ecuación lineal
 El opuesto de un número: El opuesto de un número x, es el número – x, tal que
x + ( - x ) = 0, por ejemplo:
3.5 es el opuesto de  3.5 por que 3.5  3.5   0

246
2
1
1
1 1
es el opuesto de  por    0
4
4
4 4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/30
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10

Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
El inverso de un número: El opuesto de un número x, es el número
3/30
1 , tal
x
que x  1   1 , por ejemplo:
 
x
1
1
es el inverso de 3.5 por que
 3.5   1
3.5
3.5
1
 1
 es el inverso de  4 por    4   1
4
 4

Propiedad uniforme de la igualdad
Si x = y entonces x + z = y + z: Si dos números son iguales y se le suma la
misma cantidad a ambos lado la igualdad se mantiene.
Si x = y entonces x – z = y – z: Si dos números son iguales y se le resta la misma
cantidad a ambos lado la igualdad se mantiene.
Si xz = yz entonces x = y, para z ≠ 0: Si dos números están multiplicados por
la misma cantidad, esta cantidad se puede cancelar de la igualdad, siempre y
cuando sea diferente de cero.

Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o la resta
x (y+z) = xy + xz
x multiplica a cada parte del paréntesis.
x (y –z) = xy – xz
Regla básica para resolver ecuaciones lineales
Para resolver ecuaciones siga las siguientes recomendaciones.
1) Se simplifican primero las operaciones que haya en paréntesis.
2) Se realiza la transposición de términos usando las definiciones de opuesto e
inverso.
 Los términos con variables se dejan preferiblemente en la parte izquierda
de la igualdad.
 Si un término está sumando pasa de un lado para el otro restando.
 Si un término está restando pasa de un lado para el otro sumando.
 Si un término está multiplicando pasa de un lado para el otro dividiendo.
 Si un término está dividiendo pasa de un lado para el otro multiplicando.
3) Después de transponer términos se simplifica cada lado de la igualdad.
4) Verifique que el resultado obtenido es la solución a la ecuación dada.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
247
47
7
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Ejemplo 1
Resolver la ecuación: 3x – 5 = 0
Proceso de solución
3x – 5 = 0
El opuesto de –5 pasa a la derecha.
3x = 5
El 3 divide a 5
5
x= 3
5
C.S. = 3
Ejemplo 2
Resolver la ecuación: 6x – 7 = 8 + 4y
Proceso de solución
6 y  7  8  4 y  El opuesto de 4 y pasa a la izquierda
y el opuesto de 7 pasa a la derecha
6 y  4 y  8 7  Se simplifica cada lado de la ecuación
Se suma


 6 4  y  15
 Se resta 
2 y  15  2 divide a 15
y
15
2
15 
C.S .   
2
248
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
4/30
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ejemplo 3
Resolver la ecuación:
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
5/30
2
1
z  3   2z
3
2
Proceso de solución
2
1
z  3   2 z  El opuesto  2 z pasa a la izquierda
3
2
y el opuesto de 3 pasa a la derecha
2
1
z  2 z   3  Se simplifica cada lado de la igualdad
3
2
1
2

  2 z   3
2
3

2
7
2
7
 z    divide a
3
3
3
3
7  2
z   
3  3
14
z  
9
 14 
C.S .   
 9
Ejemplo 3
2.13.2 x  2.5   3 x  1.4  Se efectua
efectualalaoperación
operacion
el paréntesis
concon
el paréntesis.




2.1

3.2
x

2.1

2.5
efectuanlas
lasoperaciones.
operaciones







   3 x  1.4  Se efectúan
Resolver la ecuación:


Se multiplica 
Se multiplica 


2.1 (3.2x + 2.5) = 3x –1.4
a laaizquierda
y el
6.72 x  5.25  3 x  1.4  El
El opuesto
opuestodede3x3pasa
x pasa
la izquierda
opuesto
de
5.25
pasa
a
la
derecha.
Proceso de solución
y el opuesto de 5.25 pasa a la derecha
ca.
6.72 x  3 x  
1.4
 5.25
Se simplifi
simplifica

  Se
Se suma
6.72  3 x  6.65
3.72 x  6.65  3.72
3.72divide
dividea a–6.65.
 6.65
6.65
x
3.72
x  1.78
C.S .  1.78
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
249
49
9
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Ejemplo 4
Resolver la ecuación: 3x + 11x + 7 –2x = 22 + 6x –4
Proceso de solución
3x + 11x + 7 – 2x = 22 + 6x – 4
Se simplifica cada lado de la ecuación.




 3 11  2  x  7   22
  4   6x
 Se resta 
 Se suma



14
  2  x  7  18  6 x
 Se resta 
12 x  7  18  6 x  El opuesto de 7 pasa a la derecha
y el opuesto de 6 x pasa a la izquierda
12 x  6 x  18  7  Se simplifica cada lado
6 x  8  6 divide a 8
8
 Se simplifica
6
4
x
3
4
C.S .   
3
x
Despeje de fórmulas
Las reglas para resolver ecuaciones se utilizan para poder expresar una variable en función
de otra, a esto se le llama despeje de fórmulas
Ejemplo 1
La siguiente fórmula calcula el perímetro de un rectángulo:
P = 2x + 2y, despeje para x.
Proceso de solución
P = 2x + 2y
El opuesto de 2y pasa al lado izquierdo.
P – 2y = 2x
El 2 divide a P – 2y.
P – 2y
=x
2
250
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
6/30
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
7/30
Ejemplo 2
La siguiente fórmula se usa para calcular inversiones:
f
I
, despeje para tí
1 i
Proceso de solución
I
f
 1  i  multiplica a I
1  i 
I 1  i   f  I divide a f
1 i 
i
f
 El opuesto de 1 pasa a la derecha
I
f
1
I
Ejemplo 3
La siguiente fórmula del interés simple:
i = prt, despeje para p.
Proceso de solución
i = prt
i =p
rt
rt dividen a i.
Ejemplo 4
La siguiente fórmula se usa para calcular el área de un trapecio
A
h b  d 
, despeje para h
2
Proceso de solución
h b  d 
 2 multiplica a A
2
2 A  h b  d   b  d  divide a 2 A
A
2A
h
b  d 
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
251
51
1
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Ejemplo 5
La siguiente fórmula para pasar de grados Centígrados a Fahrenheit.
9
F  C  32, despeje para C
5
Proceso de solución
9
F  C  32  El opuesto de 32 pasa al lado izquierdo
5
9
9
F  32  C  el inverso de multiplica a F  32 
5
5
5
F  32   C
9
Ejemplo 6
La siguiente fórmula calcula la velocidad promedio de un vehículo: v 
D
, despeje para t
t
Proceso de solución
D
 t multiplica a v
t
vt  D  v divide a D
D
t
v
v
Perímetro, área y volumen de figuras geométricas básicas
El siguiente cuadro muestra las definiciones y fórmulas para calcular el perímetro, área y
volumen de figuras geométricas básicas.
Definiciones básicas
Figura geométrica: Es un conjunto de puntos en un plano, la unión de estos puntos forma
una línea llamada línea poligonal.
Dimensiones de una figura: Es la medida de una figura según sea su largo, ancho y
alto.
Perímetro: Es la suma de las medidas de las longitudes de los lados de una figura
geométrica, el perímetro es la primera dimensión de una figura y se representa por 1D.
Área: Es la superficie del interior de una figura geométrica limitada por el perímetro,
sus dimensiones son el largo y ancho. El área es la segunda dimensión de una figura y se
representa por 2D.
Volumen: Es el espacio ocupado por una figura geométrica limitada por superficies, sus
dimensiones son el largo, ancho y alto. El volumen es la tercera dimensión de una figura
y se representa por 3D.
252
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
8/30
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
9/30
FIGURAS EN DOS DIMENSIONES
NOMBRE DE LA FIGURA
REPRESENTACIÓN
a
Cuadrado
a
a
PERÍMETRO: P
ÁREA: A
P = 4a, donde:
a : Es el lado
A = a2
P = 2a + 2b, donde:
a : Es el ancho
b : Es el largo
A = ab
a
Rectángulo
b
a
a
b
a
Trapecio
d
c
h
P=a+b+c+d
a,b,c,d : Son los lados
h a  b 
, donde :
2
h : Es la altura
P = 4a, donde:
a : Es el lado
d1d 2 , donde
, donde :
2
d1 , d 2 : Son
Sondiagonales
diagona
P = a + b + c, donde:
a,b,c,: Son los lados
bh
, donde :
2
b : Es la base
h : Es la altura
b
a
a
Rombo
d1
d2
a
Triángulo
a
a
h
c
b
Círculo
MÓDULO No.3
r
C = 2r, donde:
r : Es el radio
 = 3.1416
MATEMÁTICAS
A
A
A
A = r2 , donde:
r : Es el radio
253
53
3
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
FIGURAS EN TRES DIMENSIONES
NOMBRE DE LA FIGURA
REPRESENTACIÓN
Cubo
VOLUMEN
V = a3 , donde:
a : Es el lado
a
a
a
V = a2h, donde:
a: Es el lado de la base
h : Es la altura
h
Prima de base
cuadrada
a
a
abh
,, donde:
donde :
2
a : Altura
Altura de
de la
labase
base
b : Es la
la base
base
del prisma
h : Es
Eslalaaltura
altura
del p
V
Prisma de base
triangular
h
a
h
Pirámide de base
cuadrada
h
a
V = a2 h, donde:
a: Lado de la base
h : Es la altura
a
Cono
h
V = r2 h, donde:
r : Radio de la base
h: Es la altura
r
Esfera
254
2
r
MÓDULO No.3
4
V   r 3 , donde :
3
r : Radio de la base
MATEMÁTICAS
10/30
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
11/30
Utilizando las fórmulas dadas calcule lo que se le pide en cada problema:
Ejemplo 1
Se construirá la terraza del piso de una casa de 12 m de largo por 9 m de ancho. ¿Cuál es el
perímetro y área de la terraza? Si cada m2 de terraza tiene un costo de L 2500.00, ¿Cuál
es el costo de construir la terraza?
Proceso de solución
1. Perímetro, dos veces el largo más dos veces el ancho: 2(12) + 2(9) = 42 m.
2. La terraza tiene forma de rectángulo, ésta mide: 12m x 9m = 108 m2 de área.
3. Cada m2 tiene un costo de L 2,000.00, la construcción de la terraza será de: 108 m2 x
2500 = L 270,000.00.
Ejemplo 2
Una pelota de fútbol para partidos oficiales en las ligas de todo el mundo
debe tener una circunferencia entre 62 y 64 cm, ¿Cuánto debe medir el
radio de la pelota?
Proceso de solución
1. La orilla de la pelota es su circunferencia, C = 2r, despejando para el radio, resulta en
que r  C .
2
2. Si la circunferencia mide entre 62 y 64 cm, se sustituyen estos valores:
r
62
2 3.1416 
62
6.2832
r  9.87 cm
r
r
64
2 3.1416 
64
6.2832
r  10.18 cm
r
El radio del balón de fútbol mide entre 9.87 y 10.18 cm
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
255
55
5
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
12/30
Ejemplo 3
Un ingeniero diseña una columna sobre una base para un edificio que soportará 25 toneladas
de peso. Calcule, con las dimensiones de la figura, los metros cúbicos de concreto que necesita
para construirla.
Proceso de solución:
1. Volumen de la columna: (2.5 x 2 x 8) m3 = 40 m3 .
2. Volumen de la base: (1.5 x 4 x 5) m3 = 6.75 m3 .
3. Volumen total de la columna: 40 m3 + 6.75 m3 =
46.75 m3 .
Ejemplo 4
Don José desea construir un barrilete para su hijo con las
dimensiones que muestra la figura. Las orillas del barrilete
son de bambú y la superficie de papel, todas las medidas
están en cm ¿Cuál es la cantidad de bambú que se necesita
para armarlo y qué superficie tendrá?
Proceso de solución
1. La cantidad de bambú es la suma de todas las longitudes:
(2 x 25.61) + (2 x 39.45) + (2 x 20) + 16 + 34 = 212.12, se necesitan al menos
212.12 cm de bambú .
2. Las diagonales del rombo son: d1 = 16 + 34 = 50 y d2 = 2 x 20 = 40, la superficie
50 40  2000
2
del barrilete es de:
A
2

2
 1000 cm
Ejemplo 5
Una empresa constructora instalará sobre el techo
de una fábrica un sistema de recolección de energía
solar a través de 40 paneles solares de 1.5 m2. Los
paneles estarán separados 50 cm entre ellos y de
los bordes del techo. Cada panel cuesta L 9.000.00
¿Cuáles son las medidas del techo? y ¿Cuál es el
costo de hacer esa instalación?
256
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Co
Competencia No.03
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FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
13/30
Proceso de solución
1. Son 40 paneles a L 9,000.00 es igual a: 40 x 9000 = L 360,000.00.
2. El largo del techo es de: 9 separaciones por 50 cm cada una es igual a 450 cm, es decir
4.5m. La longitud de los 8 paneles es de: 8 x 1.5 es igual a 12m. El largo del techo es
de 4.5m + 12m = 16.5m.
3. El ancho del techo es de: 6 separaciones por 50 cm cada una es igual a 300 cm, es decir
3m. La longitud de los 5 paneles es de: 5 x 1.5 es igual a 7.5m. El ancho del techo es de
3m + 7.5m = 10.5m.
4. las longitudes del techo son 16.5m de largo por 10.5m de ancho.
Aplicaciones a que se resuelven con ecuaciones lineales
Simbolización de expresiones del lenguaje natural al algebraico
En el siguiente cuadro se muestra la traducción que se hace de expresiones, la operación
involucrada y la simbolización de la misma.
Frase
Sumado a
Más que
Incrementado en
La suma de
Operación
involucrada
Ejemplo de enunciados
Simbolización
algebraica
Suma
7 sumado a un número
5 más que un número
Un número incrementado en 3
La suma de un número y 4
x+7
x+5
x+3
x+4
Resta
6 restado de un número
7 menos de un número
Un número disminuido en 5
La diferencia entre un número y
9
x–6
x–7
x–5
x–9
Multiplicado por
El producto de
Tantas veces un número
Tanto % de un número
Multiplicación
Un número multiplicado por 6
El producto de un número y 4
El triple de un número menos 4
20% de un número sumado 7
6x
4x
3x – 4
0.2x + 7
Dividido por
División
Un número dividido por 8
x
8
El cociente de
El cociente de un número con 6
x
6
Un número dividido en partes
La sétima parte de un número
x
7
Restado de
Menos de
Disminuido en
La diferencia entre
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
257
57
7
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
14/30
Simbolización de expresiones del lenguaje simbólico al lenguaje natural
a ) 2 x  5 : 5 menos que el doble de un número.
b) w  11: Un número aumentado en 11.
c) 3 (k  1) : El triple de la suma de un número con 1.
d ) y  4 x : Un número menos el cuatruplo de otro .
( x  y)
e)
: La mitad la suma de dos números.
2
d ) 0.4  3 x : 4 d [ecimas menos tres veces un número.
( x  y)
: La cuarta parte de la resta de dos números.
e)
4
Recomendaciones para resolver problemas con ecuaciones:
1)
2)
3)
4)
Lea detenidamente el problema luego identifique los datos para resolver el
problema.
Simbolice las variables de la expresión dada y forme una ecuación.
Encuentre el conjunto solución de la ecuación.
Verifique que el conjunto solución se relacione con el problema que se está
resolviendo.
Ejemplo 1
Don Matías es un carpintero, él no se acuerda de las dimensiones del tablero rectangular
de la mesa que le encargaron, pero si se acuerda que el perímetro es de 10 m y que el largo
tiene 2 m más que el ancho. Ayudémosle a Don Matías a calcular las dimensiones de la mesa
con la información que él recuerda.
Proceso de solución
1. Simbolización del problema y formulación de la ecuación:
b: largo de la mesa
b=a+2
Datos del problema:
P = Perímetro = 10 m
Fórmula del perímetro:
a = ancho
n h de lla m
mesa
258
2
P = 2a + 2b
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
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No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
15/30
La ecuación es la siguiente:
P  2a  2b  b se sustituye por a  2 , P  10
P  2a  2 a  2 



Usar la propiedad distributiva
P  2
a

2a  4

Se suma
10  4a  4  Ecuación del problema
2. Conjunto solución de la ecuación 10 = 4a + 4.
10  4a  4  El opuesto de 4 pasa a la izquierda
10  4  4a
6  4a  4 divide a 6
6
a   Se simplifica
4
3
a   1.5 m  ancho
2
Como b  a  2, entonces b 
3
7
 2   3.5 m  longitud
2
2
 3   7  6 14
Comprobación : P  2    2      3  7  10
2 2 2 2
Ejemplo 2
Los conductores de tractores mostrados en la figura están separados por una distancia de
500 m, el de la izquierda avanza a una velocidad de 8 m / s y el de la derecha a 10 m / s.
¿Qué tiempo y qué distancia habrá recorrido cada uno cuando se saluden?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
259
59
9
E
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C
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Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
16/30
Proceso de solución
1. La fórmula de la distancia es: Distancia = velocidad x tiempo.
La ecuación se formula sabiendo que no importa la velocidad, el tiempo transcurrido cuando
se saludan es el mismo, lo que es diferente es la distancia recorrida. La simbolización es la
siguiente:
D1 : Distancia del conductor de la izquierda: D1 = 8t
D2 : Distancia del conductor de la izquierda: D2 = 10t
T1
T2
T1
D1 = 500 - D2
T2
D2
Ecuación del problema: D1 = 500 – D2, sustituyendo: 8t = 500 – 10t
2. Conjunto solución de la ecuación:
8 t  500  10 t  El opuesto de 10 t pasa a la izquierda
8
t  10t  500
Se suma
18 t  500  18 divide a 500
500
t
 Simplificando
18
250
t
 27.77 s  Tiempo que tardan en encontrarse
9
D1  8 27.77   222.22 m  Recorrido del tractor izquierdo
D2  10 27.77   277.77 m  Recorrido del tractor derecho
260
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
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Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
17/30
Ejemplo 3
Una fábrica tiene un tanque de distribución de agua para la fabricación
2
de ladrillos, por la mañana utilizan gl del contenido del tanque y por
3
la tarde 1 gl, la parte que sobra son 500 gal, ¿Cuál es la capacidad
4
del tanque?
Proceso de solución
1. Simbolización del problema:
2. Formulación de la Ecuación:
x : Capacidad del tanque
y : Agua sobrante  500 gl
2
x : Gasto de agua por la mañana
3
1
x : Gasto de agua por la tarde
4
Capacidad = Agua sobrante + Suma
de agua gastada.
x  500 
2
1
x x
3
4
3. Conjunto solución de la ecuación:
2
1
x x
3
4


2
1 
x  500   x  x 
3
4 

 Se suma 
11
11
x  500  x  El opuesto de
x pasa a la izquierda
12
12
11
x  x  500
12


 11 
1  12  x  500


 Se resta 
1
1
x  500  divide a 500
12
12
500 1
x

1 12
x  6000 gl  Capacidad del Tanque
x  500 
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
261
61
1
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
E
Elemento
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Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
4. Comprobación
Gasto por la mañana :
2
6000 gl   4, 000 gl
3
1
6000 gl   1,500 gl
4
Capacidad  500 gl  4, 000 gl  1,500 gl  6, 000 gl
Gasto por la tarde :
Ejemplo 4
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y los ángulos
opuestos tienen la misma medida. Si el ángulo mayor del paralelogramo de la figura es 20
menos que el triple del ángulo menor, determine la medida de los ángulos.
y
x
x
y
1. Simbolización:
x : Medida del ángulo menor.
y : Medida del ángulo mayor.
Se sabe que la suma del doble de la medida del ángulo menor con el mayor es de 3600,
la ecuación es:
2. Conjunto solución de la ecuación:
360  2 x  2 y
360  2 x  2(3 x  20)  Se sustituye y  3 x  20

Propiedad distributiva
360  2
x

6 x  40


Se suma
360  8 x  40  El opuesto de  40 pasa a la izquierda
360  40  8 x
400  8 x  8 divide a 400
400
x
8
x  50  Valor del angulo menor
262
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
18/30
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
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FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
19/30
Gráfica de ecuaciones lineales
Para graficar una recta se sigue un proceso sencillo, éste se describe de la siguiente
manera:
1) Se construye una tabla de valores:
 Se le dan valores a la variable independiente.
 Se hacen los cálculos correspondientes para la variable
dependiente.
2) Se ubican los puntos en el plano cartesiano.
3) Con una regla se hace un trazo de forma que pase por todos los puntos
graficados.
4) Haga una escala adecuada en el plano para graficar.
Ejemplo 1
Graficar la ecuación y = 2x – 1. A x: se le llama variable independiente, a y: se le llama
variable dependiente.
Proceso de graficación
1. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable
dependiente, preferiblemente use valores enteros.
Valor de x
-2
-1
0
1
2
Valor de y
y = 2(–2)–1
y = 4–1
y = –5
y = 2(–1)–1
y = –2–1
y = –3
y = 2(0)–1
y = 0–1
y = –1
y = 2(1)–1
y = 2–1
y=1
y = 2(2)–1
y = 4–1
y=3
MÓDULO No.3
Par ordenado ( x, y )
Cuadrante del punto
(–2, –5)
Está ubicado en el III
cuadrante.
(–1, –3)
Está ubicado en el III
cuadrante.
(0, –1)
Está ubicado sobre el
eje y.
(1, 1)
Está ubicado en el I
cuadrante.
(2, 3)
Está ubicado en el I
cuadrante
MATEMÁTICAS
263
63
3
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
2. Se grafican los puntos en el plano cartesiano y se traza la gráfica.
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
Ejemplo 1
Graficar la ecuación y = –1.5 + 3.2. A x: se le llama variable independiente, a y: se le llama
variable dependiente.
Proceso de graficación
1. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable
dependiente, preferiblemente use valores enteros.
Valor de x
-2
-1
0
1
2
264
2
Valor de y
y = –1.5(–2)+3.2
y = 3 + 3.2
y = –6.2
y = –1.5(–1)+3.2
y = 1.5 + 3.2
y = 4.7
y = –1.5(0)+3.2
y = 0 + 3.2
y = 3.2
y = –1.5(1)+3.2
y = –1.5 + 3.2
y = 1.7
y = –1.5(2)+3.2
y = –3 + 3.2
y = 0.2
Par ordenado ( x, y )
Cuadrante del punto
(–2, 6,2)
Está ubicado en el II
cuadrante.
(–4, 4.7)
Está ubicado en el II
cuadrante.
(0, 3.2)
Está ubicado sobre el
eje y.
(1, 1.7)
Está ubicado en el I
cuadrante.
(2, 0.2)
Está ubicado en el I
cuadrante
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
20/30
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
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de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
21/30
2. Se grafican los puntos en el plano cartesiano y se traza la gráfica.
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Definición de ecuación cuadrática y sus partes
Las ecuaciones cuadráticas modelan múltiples problemas en el mundo físico y en la
matemática son muy necesarias para resolver otras ecuaciones. Se les define de la siguiente
manera:
Una ecuación cuadrática es de la forma:
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0; a,b, c son números conocidos.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
265
65
5
E
Elemento
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Competencia No.03
C
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Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Solución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general
Una manera de resolver una ecuación cuadrática es usando la fórmula general, ésta se define
así:
Al número d = b2 –4ac se le llama discriminante, de acuerdo al signo del
discriminante se concluye que:
 b  b 2  4ac

2a
2
b  b  4ac 
x

2a

2
 b  b  4ac

2a
 Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones
diferentes.
 Si el discriminante es cero, la ecuación tiene dos soluciones
iguales.
 Si el discriminante es negativo la ecuación tiene dos soluciones
imaginarias.
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación 2y2 –3y –2 = 0.
Proceso de solución
1. Calculo del discriminante:
Los valores de las constantes son a = 2, b = –3, c = –2.
El discriminante es: d = (–3)2 –4(2)(–2) = 9 + 16 = 25, hay dos soluciones diferentes.
2. Cálculo de las soluciones
3  5 8
 4  42
 3  25 3  5 
1

y


 el C.S .  2,  
2 2 
4
2

3  5
2
1

 
4
2
 4
266
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
22/30
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El
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Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
23/30
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación w2 + w + 1 = 0
Proceso de solución
1. Cálculo del discriminante:
Los valores de las constantes son a = 1, b = 1, c = 1
El discriminante es: (1)2 –4(1)(1) = 1 – 16 = –15, hay dos soluciones imaginarias por que
en la raíz el radicando es negativo.
2. Cálculo de las soluciones
 1  15

2
1  15 1  15 
w


 soluciones imaginarias
2 1
2

 1  15

2
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación z2 + 2z + 1 = 0.
Proceso de solución
1. Cálculo del discriminante:
Los valores de las constantes son a = 1, b = 2, c = 1.
El discriminante es: 22 –4(1)(1) = 4 – 4 = 0, hay dos soluciones iguales
2. Cálculo de las soluciones
Ejemplo 4
1
 1  0
 2 2
1  0 1  0 
 1
z


 el CS   
2 1
2
 2
 1  0
1


2
 2
Resuelva la ecuación 3x2 + 2x = 0.
Proceso de solución:
1. Cálculo del discriminante:
Los valores de las constantes son a = 3, b = 2, c = 0.
El discriminante es: 22 –4(3)(0) = 4 – 0 = 4, hay dos soluciones diferentes.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
267
67
7
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
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Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
24/30
2. Cálculo de las soluciones
 2  2 0
 6  2 0
2  4 2  2 
2



 el CS  0,  
z
2 3
6
3

 2  2
4
2

 
6
3
 6
Gráfica de ecuaciones cuadráticas
Para graficar una recta se sigue un proceso sencillo, éste se describe de la siguiente
manera:
La gráfica de una ecuación cuadrática es la representación de la expresión
algebraíca y = ax2 + bx + c.
Pasos para graficar una ecuación cuadrática
1) Se calcula el eje de simetría, es decir, la primera componente del vértice,
b
con la fórmula: h  
2a
2)
3)
4)
5)
6)
Se encuentra la segunda componente del vértice con la fórmula:
b2
k

c

El vértice es de la forma V(h,k).
Se calcula el intercepto en el eje x: se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0. 4a
Se calcula el intercepto en y: es de la forma (0,c).
Se construye una tabla de valores:
 Se le dan valores a la variable independiente.
 Se hacen los cálculos correspondientes para la variable dependiente.
7) Se ubican los puntos en el plano cartesiano.
8) Se hacen los trazos a mano alzada entre los puntos graficados.
9) Haga una escala adecuada en el plano para graficar.
Ejemplo 1
Graficar la ecuación y = x2 – x – 6.
Proceso de graficación
En la ecuación los coeficientes son: a = 1, b = –1, c = –6.
1. Se calcula el eje de simetría: h  
1  1
2 1 2
1
4 1
2
2. Se calcula el valor de: k  6 
268
2
 6 
1
25

4
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
25/30
3. El vértice es V  1 ,  25 
4 
2
4. Se calculan los Interceptos en x: Se resuelve la ecuación
x2 –x–6 = 0, se calcula d = (–1)2 –4(1)(–6) = 1 + 24 = 25.
x
 1  25
2 1
1  5 6
 2  2 3
1 5 
x

2
1  5
4

   2
2
 2
Los Interceptos son: (3,0), (–2, 0). El intercepto en el eje y es: (0, –6).
1. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable
dependiente, preferiblemente use valores enteros.
Valor de x
Valor de y
Par ordenado ( x, y )
Cuadrante del punto
(–3, 5)
Está ubicado en el II
cuadrante.
y = (–3) – (–3) –6
y=9+2–6
y=5
y = (–2)2 – (–2) –6
y=4+2–6
y=0
y = (–1)2 – (–1) –6
y=1+1–6
y = –4
y = (0)2 – (0) –6
y=0–0–6
y = –6
y = (1)2 – (1) –6
y = 1 –1 – 6
y = –6
(–2,0)
Está ubicado sobre el
eje x.
(–1, –4)
Está ubicado en el II
cuadrante.
(0, –6)
Está ubicado sobre el
eje y.
(1, –6)
Está ubicado en el I
cuadrante.
2
y = (2)2 – 2 – 6
y = 4 –2 6
y = –4
(2, –4)
Está ubicado en el I
cuadrante.
3
y = (3)2 – (3) – 6
y=9–3–6
y=0
(3, 0)
Está ubicado sobre el
eje x.
4
y = (4)2 – (4) –6
y = 16 – 4 – 6
y=6
(4, 6)
Está ubicado en el I
cuadrante.
2
-3
-2
-1
0
1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
269
69
9
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
6
4
2
Intercepto en x
-4
-3
Intercepto en x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2
-4
Intercepto en y
-6
Vértice
Ejemplo 2
Graficar la ecuación y = –x2 + 3x –2.
Proceso de graficación
En la ecuación los coeficientes son: a = –1, b = 3, c = –2
1. Se calcula el eje de simetría: h  
3
3

2 1 2
2
2. Se calcula el valor de: k  2   3  2  9  1
4 1
270
2
4
4
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
26/30
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
27/30
3. El vértice es V  3 , 1 
2 4
4. Se calculan los Interceptos en x: Se resuelve la ecuación
–x2 + 3x – 2 = 0, se calcula d = 32 –4(–1)(–2) = 9 – 8 = 1
 x 2  3 x  2  0, se calcula d  32  4 12   9  8  1
x
3  1
2 1
 3  1 2
 2  2  1
3  1 

x
2
 3  1 4


2
2
 2
Los Interceptos son: El intercepto en el eje y es: (0, –2).
5. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable
dependiente, preferiblemente use valores enteros.
Valor de x
Valor de y
Par ordenado ( x, y )
Cuadrante del punto
–1
y = (–1) + 3 (–1) –2
y=1–3–2
y = –6
(–1, –6)
Está ubicado en el III
cuadrante.
0
y = –(0)2 + 3 (0) –2
y = –0 – 0 –2
y = –2
(0, –2)
Está ubicado sobre el
eje y.
1
y = –(1)2 + 3(1) – 2
y = –1 + 3 – 2
y=0
(1, 0)
Está ubicado sobre el
eje x.
2
y = –(2)2 + 3(2) – 2
y = –4 + 6 – 2
y=0
(2, 0)
Está ubicado sobre el
eje x.
3
y = –(3)2 + 3(3) – 2
y = –9 + 9 – 2
y = –2
(3, –2)
Está ubicado en el II
cuadrante.
4
y = –(4)2 + 3(4) – 2
y = 16 + 12 – 2
(4, –6)
Está ubicado en el IV
cuadrante.
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
271
71
1
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
6. Grafica de la ecuación
y
Vértice
Intercepto en x
-2
-1
0
1
2
2
Intercepto en x
3
4
5
Intercepto en y
-4
-6
-8
-10
-12
EJERCICIO PRÁCTICO
1)
272
2
Ejercicios: Simbolice las siguientes expresiones
a) La suma de dos números cualquiera:
b) El doble de un número disminuido en 5:
c) La tercera parte de un número más la cuarta parte de otro:
d) El cuadrado de la suma de dos números diferentes:
e) Un número menos el doble de otro:
f) La suma de tres números diferentes:
g) El producto de tres números diferentes:
MÓDULO No.3
____________
____________
____________
____________
____________
____________
____________
MATEMÁTICAS
28/30
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
2)
Exprese en palabras:
a) 2x – 5
b) w + 11
c) 3 (k + 1)
d) 7v + 1
e) x – 8
3)
Dadas las siguientes fórmula, despeje para la variable indicada:
a) P = 4x, para x
g) 3m + 2n, para h
b) A = la, para a
h) z = x – m , para s, m, x
c) A = Pq – 3 , para p
s
7
i) F = mg2 , para m
d) y = mx + b, para m, b
2
2
e) V = r h, para h
j) A = P + PRt, para t
f) z = ax + by + cw, para x
4)
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
a) 3x – 2 = 6x – 8
b) 2 – 1 7 z – 1 = 0
5 4 9
6
c) 4y – 4 + 8y = 13y – 12 + 5y
d) 9k – 4 + 5(3k + 4) = 2(k – 1) – 2
e) 3 [{4(5 – 6x) + 8x} + 6] = 2(4x + 9) – 2x – 3
(
f)
g)
h)
i)
29/30
2 (y – 1)
y – 5x
m + 3m
(x + y)
2
)
5)
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) m2 + 7m + 12 = 0
d) 5k2 + 8k + 1 = 0
2
b) 2x + x – 3 = 0
e) x2 – 6x + 6 = 0
2
c) x – 2x + 1 = 0
f) y2 + 6y + 9 = 0
4)
Resuelva los siguientes problemas que se resuelven con ecuaciones lineales:
a) El perímetro de un triángulo equilátero es de 390 m, calcule la longitud del lado
del triángulo.
5)
b)
El perímetro de un triángulo isósceles es de 200 cm, si el lado desigual es la mitad
de los otros lados, ¿Cuánto mide los otros lados?.
c)
El perímetro de una circunferencia es de 123.45 mm, calcule en centésimas el
radio del círculo. (Use calculadora para hacer los Cálculos).
Resuelva los siguientes problemas de edades y números
a) Cuatro veces un número aumentado en 7 es igual a 27, ¿Cuáles son los
números?.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
273
73
3
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.10
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
30/30
b)
La suma de dos números es igual a 57, si el mayor excede al menor en 15, ¿Cuáles
son los números?.
c)
Las edades entre un padre y su hijo suman 74 años, ¿Cuál es la edad de cada
uno?.
d) La diferencia de edades entre dos hermanos es de 7 años, ¿Qué edad tiene cada uno
si la edad del mayor tiene a 3 en las decenas?.
5)
e)
Estela salió de su casa para la escuela caminando a una velocidad de 50 m por
min, su hermano Luis salió seis minutos después que ella y caminó a 80 m por
min. ¿En cuánto tiempo alcanza Luis a Estela?, si la escuela está a una distancia
de 1200 m, ¿Qué tan lejos están de la escuela al momento de encontrarse?.
f)
La quinta parte de un poste de luz está enterrada, si la parte que está fuera de
la tierra mide 12 pies, ¿Cuál es la longitud total del poste?, ¿Cuántos pies está
enterrado?.
Grafique en el plano cartesiano los siguientes grupos de pares ordenados:
A = {(4,5), (–4, .5), (1, 0), (0, 1), (–4, 0), (0, –5), (–3, –3)}
A = {(6.5, 5.6), (0.5, 1.2), (3.5, 0), (0, –3.5), (0, 0), (–1.5, –2)}
A= 2,1 , –2 ,–1 , –2 ,1 , 2 ,–1
0, 1 , 2 , 0 , – 2 , 0 , 0, – 1
3 2
3
2
3 2
3
2
2
3
3
2
{(
)(
)(
)(
), ( ) ( ) (
6)
Grafique en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones lineales
a) y = x – 4
b) y = –x + 1
c) y = 2x + 1
d) y = –2x – 1
e) y = 3.5x – 2.1
f) y = –2.5x + 2.1
7)
Grafique en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) y = x2 + 7x + 12
b) y = –2x2 + x – 3
c) y = x2 –2x + 1
d) y = 5x2 + 8x + 1
e) y = x2 – 6x + 6
f) y = x2 + 6x + 9
274
2
MÓDULO No.3
)(
MATEMÁTICAS
)}
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.11
Operaciones con Razones y Proporciones
1/6
OPERACIONES CON RAZONES Y PROPORCIONES
a) Magnitudes y cantidades
Definiciones
Magnitudes: Son propiedades o características que poseen los cuerpos y que
se pueden contar, medir, pesar o evaluar.
Cantidad: Es la asignación de un valor numérico a una magnitud.
Las propiedades o características de los cuerpos u objetos que hay a nuestro alrededor,
pueden identificarse y clasificarse. Por ejemplo: podemos medir la altura, el ancho y grosor
de un objeto; saber su peso, la cantidad de masa que tiene y el precio de compra. Estas
características son usuales en el ambiente donde crecemos, son las magnitudes de las cosas
que a diario vemos, tocamos, comemos, etc.
Ejemplos de magnitud y cantidad
Magnitud
Altura en pies de un edificio
Peso en libras de un vehículo
Número de madres solteras en Yoro
Precio de un serrucho
Velocidad máxima permitida en una calle
Longitud del tubo de un tubo para abastecer
agua
Cantidad
147.6 pies
2,880 lb
16,765 mujeres
235.00 lempiras
80 km/ h
8m
La razón y sus partes
Definiciones: Sean dos cantidades x, y con y ≠ 0:
 Razón: Es la comparación entre las cantidades x, y.
 Partes de una razón: x: Se llama antecedente, y: Se llama consecuente.
 Razón aritmética: Es la comparación entre las cantidades x, y a través de la
diferencia entre ellas, simbólicamente es x – y.
 Razón geométrica: Es la comparación entre las cantidades x, y a través del
cociente entre ellas. Simbólicamente se representa de las siguientes maneras:
x ÷ y, x , x : y. En todos los casos lee “x es a y”.
y
 Razón inversa: Sean dos cantidades x, y con x ≠ 0, y ≠ 0. Si x : y es la razón
entre las cantidades entonces y : x es la razón inversa entre las cantidades.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
275
75
5
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.11
Operaciones con Razones y Proporciones
Ejemplos
Calcule la razón aritmética entre las siguientes cantidades:
 La razón aritmética entre 75 y 60 es: 75 – 60 = 15, ésto quiere decir que 75 excede a 60
en 15 unidades.
 La razón aritmética entre 0.98 y 0.23 es: 0.98 – 0.23 = 0.75, ésto quiere decir que 0.98
excede a 0.23 en 0.75 unidades.
Calcule la razón geométrica entre las siguientes cantidades;
75
 1.25 , Se lee “75 es a 60”. Se puede escribir
 La razón geométrica entre 75 y 60 es:
60
también: 75 : 60. El resultado de la división 1.25 quiere decir 60 cabe 1.25 veces en
75.
 La razón geométrica entre 0.98 y 0.23 es: 0.98 ÷ 0.23 = 4.26, ésto quiere decir que 0.23
cabe a 4.26 veces en 0.98.
 La razón geométrica entre 3 y 1 es: 3  1  18  9 , Se lee “ 3 es a 1 ”. Se puede
2
6
2
6
2
2
6
escribir también: 75 : 60. El resultado de la división 1.25 quiere decir 60 cabe 1.25 veces
en 75
Ejemplos de razones inversas:
 La razón inversa de 2 : 7 es la razón 7 : 2
 La razón inversa de 7 es la razón 5 .
5
7
La proporción y sus partes
Definición: Sean cuatro cantidades x, y, z, w, con y ≠ 0, w ≠ 0, se llama
proporción a la igualdad entre dos razones geométricas, se representa por:
}
z
x
 En ambos casos se lee x es y como z es a w.
=
y w
Partes de una proporción:
 x, z: Se llaman antecedentes.
 y, w: Se llaman consecuentes.
 x, w: Se llaman extremos.
 y, z: Se llaman medios.
276
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/6
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.11
Operaciones con Razones y Proporciones
3/6
Propiedad fundamental de las proporciones
La igualdad entre dos razones es una proporción sólo si el producto de los medios
es igual al producto de los extremos, simbólicamente:
z
x
=
y w
x : y :: z : w
}
 Son proporciones si: xw = yz
A esta multiplicación también se le llama la prueba del producto cruzado.
Ejemplos
Verifique si las siguientes igualdades son o no proporciones:
a)
2 : 7 :: 4 : 14, es una proporción porque:
(2)(14) = (7)(4)
28 = 28
Por lo tanto, la igualdad es una proporción.
b)
–9 : –18 :: 5 : 10, es una proporción porque:
(–9)(10) = (18)(–5)
–90 = –90
Por lo tanto, la igualdad es una proporción.
c)
3 : 1 :: 6 : 5 , es una proporción porque:
5 4 10 12
( 53 ) (125 ) = ( 41 ) (106 )
15 = 6
60
40
}
 Se simplifica.
5 = 3
20
20
1 = 3
4
20
Efectuando producto cruzado.
1 x 20 ≠ 4 x 3
20 ≠ 12
Por lo tanto, la igualdad no es una proporción.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
277
77
7
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.11
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Operaciones con Razones y Proporciones
Cálculo del valor desconocido de una proporción
Ejemplo 1
Calcule el valor de la variable para que la expresión sea una proporción
3
6 5
: z :: :
5
10 12
Proceso de solución
1. Lo que no se conoce es un medio, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación
resultante
 3  5 
 6
     z    Se multiplica y se simplifica
 5   12 
 10 
15 6
 z
60 10
5 3
 z
20 5
1 3
3
1
 z  divide a
4 5
5
4
1 3
z 
4 5
1 3
z 
4 5
5
z   Con este valor la igualdad es una proporcion
12
Ejemplo 2
Calcule el valor de la variable para que la expresión sea una proporción
11 2
::
9 y
Proceso de solución
Lo que no se conoce es un extremo, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación
resultante:
11 2
::  Se multiplica y se simplifica
9 y
11 y  2  9
11 y  18  18 divide a 11
11
y   Con este valor la igualdad es una proporcion
18
278
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
4/6
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.11
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Operaciones con Razones y Proporciones
5/6
Regla de tres simple
Esta regla establece la proporcionalidad entre valores conocidos para calcular mediante la
propiedad fundamental de la proporciones un valor desconocido
Definición
Sean a, b dos cantidades conocidas relacionadas proporcionalmente, un tercer
valor conocido x se relaciona proporcionalmente con el valor desconocido y, las
cantidades forman la proporción a : b :: x : y. El valor desconocido y se calcula
usando producto cruzado.
Ejemplo 1
Un albañil construye 8 m de un muro en 4 días, ¿Cuántos
metros construirían 2, 3, 4 albañiles?
Proceso de solución
1. Se formula la proporción: Un albañil es a 4 metros de muro,
como 2 albañiles es a x metros de muro, simbólicamente se
escribe: 1 : 4 :: 2 : x.
2. Lo que no se conoce es un extremo, se plantea el producto cruzado y se resuelve la
ecuación.
1 2
  Se plantea el producto cruzado
4 x
1x   4 2 
x  8  Los 2 albañiles hacen 8 m de muro
3. Se plantean las otras dos proporciones para 3 y 4 albañiles y se haya el extremo
desconocido.
1 3
  Se plantea el producto cruzado
4 x
1x   4 3
x  12  Los 3 albañiles hacen 12 m de muro
1 4
  Se plantea el producto cruzado
4 x
1x   4 4 
x  16  Los 2 albañiles hacen 16 m de muro
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
279
79
9
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.11
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Operaciones con Razones y Proporciones
Ejemplo 2
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para
pintar 5 habitaciones?
1. Se formula la proporción: 8 litros es a 2 habitaciones pintadas, como x litros es a 5
habitaciones por pintar, simbólicamente se escribe: 8 : 2 :: x : 5.
2. Lo que no se conoce es un medio, se plantea el producto cruzado y se resuelve la
ecuación.
8 x
  Se plantea el producto cruzado
2 5
85  2 x
40  2 x  2 divide a 40
40
x
2
x  20  Se necesita 20 litros para pintar 5 habitaciones
Ejemplo 3
La bandera de las Naciones Unidas tiene la forma de un rectángulo, el ancho y el largo están
a una razón de 2 : 3, si el ancho es de 36 cm, ¿Cuánto mide el largo?.
1. Se formula la proporción: 2 : 3 :: 36 : x, donde x es el largo de la bandera.
2. Lo que no se conoce es un extremo, se plantea el producto cruzado y se resuelve la
ecuación.
2 36

 Se plantea el producto cruzado
3 x
2 x  336 
2 x  108  2 divide a 108
108
x
2
x  54  El largo de la bandera es de 54 cm
280
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
6/6
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.12
Operaciones Utilizando Porcentajes
1/4
OPERACIONES UTILIZANDO PORCENTAJES
El porciento de un número
Para ilustrar el uso de porcentajes, se examina el siguiente ejemplo: Por cada lempira que
una empresa gane en el año, 1 centavo será donado a la Cruz Roja. Si la empresa en el año
ganó Lps. 655,000.00, ¿Cuánto donó a la cruz roja?
Proceso de solución
1. La razón de la donación es: 1 : 100, es decir 1 centavo por cada 100, la cantidad donada
es:
1
 655000
100
6550 00

100
 6,550  La donación es de Lps.6,550.00.
Definición: La razón de 1 a 100, en símbolos: 1 : 100 o
1
,
100
se llama por
ciento, es decir tomar una unidad de cada 100 unidades. Se representa por 1%.
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se multiplica la cantidad por el porcentaje
dado por 1 .
100
Ejemplo 1
Calcule el 25% de 3244.
Proceso de solución
Se multiplica 25 x 3244 x 25
25
1 
 3244 
 100 
25  3244

100
81100
100
100
 811  El 25% de 3244 es 811
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
281
81
1
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.12
Operaciones Utilizando Porcentajes
Ejemplo 2
Calcule el 3.24% de -5.68.
Proceso de solución
Se multiplica 3.24 x (-5.68) x
3.24 
1 
 5.68 
 100 

1
100
3.24 5.68
100
18.4032

100
 0.184032  El 3.24% de  5.68 es  0.184
Ejemplo 3
Calcule el 12% de 10
3
5
Proceso de solución
3 1
5 100
Se multiplica la cantidad 12 x10 x
 12   3 

 10   Se simplifica
 100   5 
 3   53 
   
 25   5 

159
3 159
 El 15% de 10 es
75
5
75
282
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
2/4
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.12
Operaciones Utilizando Porcentajes
3/4
Ejemplo 4
Carlos compra una camisa en una tienda con el impuesto sobre ventas incluido, hay un rótulo
que dice: Precio Lps. 240.00 con 15% de descuento. ¿Cuánto pagó por la camisa Carlos?
Proceso de solución
1. Se calcula el descuento.
 15 

 240   Se simplifica
 100 
15  240

100
36 00

100
 36  El descuento es de Lps.36.00
2. Se calcula el valor a pagar: Precio menos descuento, 240.00 – 36.00 = 204.00, Carlos
pagará Lps. 204.00 por la camisa.
Ejemplo 5
A la sesión de padres de familia de un grupo de 45 alumnos asistieron 32 padres de familia.
¿Qué porcentaje de padres asistió, qué porcentaje faltó a la sesión?
Proceso de solución
1. Se establece la razón entre el número de padres que asistieron y el número de alumnos
de la clase. 32 : 45
2. Se efectúa la división y el resultado se multiplica por 100
 32 
  100
 45 
 0.7111100
71.11%  A la escuela fueron el 71.11% de los padres
3. Cálculo del porcentaje de ausencia de padres: el total de padres representa el 100%,
la resta 100% con el porcentaje de asistencias es el porcentaje de ausencias: 100% 71.11% = 28.89%, el 28.89% de los padres no fue a sesión.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
283
83
3
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.12
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Operaciones Utilizando Porcentajes
Ejemplo 6
Cecilia trabaja en una tienda que vende aparatos electrodomésticos al crédito. Tiene un
sueldo fijo mensual de Lps. 2,000.00. Por el volumen de ventas que realice en el mes le
dan 6.5% de comisión. En el mes de diciembre Cecilia vendió Lps. 195,000.00, calcule la
comisión y el salario del mes que le corresponde.
Proceso de solución
1. Se calcula la comisión.
 6.5 

 195000
 100 
6.5 195000

100
12675 00

100
12675  La comisión de Cecilia es de Lps.12, 675.00.
2. Se calcula el sueldo mensual: Sueldo fijo + Comisiones = Sueldo mensual 2,000.00 +
12,675.00 = Lps.14,675.00 es lo que gana Cecilia en diciembre.
284
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
4/4
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.13
Cálculo de Tazas de Producción
1/3
CÁLCULO DE TASAS DE PRODUCCIÓN
Definición de tasa
Index Mundi es una institución que lleva cuenta de los datos estadísticos más importantes
en las naciones del mundo, por ejemplo tiene el registro de que Honduras hay en promedio
24.66 nacimientos por cada 1,000 habitantes. Es decir más de 24 nacimientos por cada mil
habitantes en un año.
Si la población total hondureña es de unos 8,200,000 habitantes y en el año hubo 202,212
nacimientos, calcule la tasa de natalidad.
Nacimientos en el año
1000
Total de habitantes
202212 1000
Tasa 
8200000
202212 000

8200 000
202212

8200
 24.66  Tasa de natalidad
Tasa de natalidad 
En este ejemplo se ilustra la tasa de natalidad, esta es la razón entre el número de nacimientos
con la población total del país, este resultado multiplicado por 1000, por que la medición
se hace cada 1000 habitantes. Si la medición es por cada 100, se multiplica la razón por
100.
Definición de tasa
Es la razón entre dos cantidades de eventos o fenómenos que ocurren con
determinada frecuencia multiplicado por cada 100 o por cada 1000 veces que
este ocurre.
La tasa es un número que expresa la relación entre el número de sucesos o acontecimientos
ocurridos en determinado tiempo y el número total de datos que de ese evento de tienen
por cada 100 o 1000 veces. La importancia de una tasa está en que permite expresar la
presencia de una situación que no puede ser medida o calculada de forma directa, como
por ejemplo: el número de nacimientos o de muertes que ocurren en un país; número de
personas que se casan o que se divorcian; número de personas que desaparecen, volumen de
producción de mercancías para la venta, volumen de artículos vendidos, volumen de costos
de producción de una fábrica, número de personas que no tienen empleo, etc.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
285
85
5
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.13
Cálculo de Tazas de Producción
2/3
Tasas de producción, costos, ventas y volumen de ventas
Definiciones básicas
tasa de producción = cantidad de artículos producidos de cierto tipo x 1000
total de artículos producidos
tasa de ventas = cantidad de productos vendidos de cierto tipo
total de productos vendidos
tasa de costos =
costo de producir cierto tipo de artículo
total del costo de producción
x 1000
x 100
Volumen de ventas: Es el resultado multiplicar la cantidad de productos
vendidos por el precio de venta unitario de cada producto.
Ejemplos
La siguiente tabla muestra información contable de una empresa que
produce artículos para el aseo, calcule lo que se le pide a continuación:
Descripción del Artículos
Artículos
producidos
Costo por unidad
Escobas
12,340
L 65.00
8540
L 73.00
Trapeadores
10,170
L 70.00
7300
L 87.00
2,300
L 50.00
1800
L 62.00
24,810
L 185.00
17640
Botes de limpia pisos
Totales
Artículos vendidos
Precio de venta
Se pide:
 Tasa de producción de escobas
12340
1000
24810
12340000

24810
 497.38
Eso quiere decir que se producen en promedio 497 escobas por cada 1000 artículos que
la empresa fábrica.
286
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.13
Cálculo de Tazas de Producción
3/3
 Tasa de ventas trapeadores.
7300
1000
17640
7300000

17640
 413.83
Eso quiere decir que se venden en promedio 413 trapeadores por cada 1000 artículos
que la empresa vende.
 Tasa de costo botes de limpia pisos.
50
1000
185
50000

185
 27.03
Eso quiere decir que el costo promedio por producir botes limpia pisos es de Lps. 27.03
por cada 100 artículos que se producen.
 Volumen de ventas de escobas, trapeadores y botes limpia pisos.
a) Volumen de ventas trapeadores
8450 x 73 = Lps. 623.420.00
b) volumen de ventas trapeadores
7300 x 86 = Lps. 635,100.00
c) Volumen de ventas botes limpia pisos
1800 x 62 = Lps. 111,600.00
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
287
87
7
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.14
Construcción de Gráficas
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
Definición e importancia en el uso de gráficas
Las gráficas de datos y los esquemas en general, son representaciones de un conjunto de datos
por medio de barras, líneas, puntos, círculos, etc. Son imágenes que tienen una importancia
especial ya que ellos suelen contener información valiosa para la persona que los analiza. La
gráfica proporciona una mirada rápida y global de un conjunto de datos sin importar que tan
grande sea esta y su uso para análisis es valioso para las empresas, secretarías del estado,
universidades e institutos educativos, ministerios públicos, etc.
Ejemplo de tipos de gráficos
 De barras simple en 3 dimensiones .
 Comparativo en 2 dimensiones.
 Circulares en 2 dimensiones.
 Circular en 3 dimensiones.
De línea.

288
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1/8
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.14
Construcción de Gráficas
2/8
Construcción de gráficos
Ejemplo 1
El siguiente cuadro muestra el número de kilómetros de carretera pavimentadas
y no pavimentadas para el año de 2007 en Honduras. Haga una gráfica de
barra de los datos.
Tipo de carretera
Cantidad en km
Pavimentadas
2600
Transitables solo en verano
9,500
Transitables todo el tiempo
7,200
Total
19,300
Proceso de graficación
1. Los datos se grafican en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje x van los
tipos de carreteras y en el eje y va la cantidad de km.
 Se dividen los ejes de forma adecuada a la cantidad de datos, 1000 en 1000 en este
caso.
 En el eje x se escribe el tipo de datos que representa cada cantidad.
 Cada barra se sombrea de distinto color o sombreado.
 La gráfica lleva un rótulo que dice lo que las cantidades representan.
2. Gráfica de los datos
Ejemplo 2
El siguiente cuadro muestra el idioma que hablan un grupo de personas que
participaron en un estudio de becas
Idioma
MÓDULO No.3
Cantidad de hablantes
Español
200
Inglés
135
Francés
98
Alemán
114
Total
547
MATEMÁTICAS
289
89
9
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.14
Construcción de Gráficas
Proceso de graficación
1. Los datos se grafican en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje x van los
tipos de idiomas y en el eje y va la cantidad personas.
 Se convierten los datos a porcentajes.
 Se convierten los porcentajes a grados.
 Se grafican los grados en un círculo, se miden los grados con transportador.
2. Se convierten los datos a porcentajes, los porcentajes a grados y se grafica.
Idioma
Datoa a %
% a grados
200 x 100
547
= 36.56%
(36.56) (360)
100
13161.6
=
100
= 132°
135
135 x 100
547
= 24.68
(24.68) (360)
100
8,884.8
=
100
= 89°
98
98 x 100
547
= 17.92%
(17.92) (360)
100
6,451.2
=
100
= 64°
Alemán
114
114 x 100
547
= 20.84%
(20.84) (360)
100
7,502.4
=
100
= 75°
Total
547
100%
360°
Español
Inglés
Francés
290
2
Cantidad de habitantes
200
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
3/8
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.14
Construcción de Gráficas
4/8
Ejemplo 3
El siguiente cuadro muestra los ingresos de una compañía del año 2002 al
2010.
Año
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Ingreso en millones
275
310
295
340
270
300
380
400
340
Proceso de graficación
1. Los datos se grafican en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje x van los
años y en el eje y van los ingresos.
Se grafican los datos como si fueran pares ordenado:
(200,275)
(2003,310)
(2004,295)
(2005,340)
(2006,270)
(2007,300)
(2008,380)
(2009,400)
(2010,340)
2. Se usa una escala adecuada para el eje y, de 100 en 100 es una buena escala.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
291
91
1
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
Contenido Teórico
No.14
Construcción de Gráficas
EJERCICIO PRÁCTICO
1)
Tabla que muestra la temperatura máxima para el mes de julio de 2001 a 2006, haga
un gráfico de barra simple en 2D.
Año
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Temperatura
290
280
290
300
320
350
2) El siguiente cuadro muestra el número de graduados del año 2000 al 2004 en las escuelas
normales de Honduras, construya gráficos de barras comparativos y de línea tal como
los ejemplos dados anteriormente.
Año
2000
2001
2002
2003
2004
3)
Tegucigalpa
410
470
550
600
500
Choluteca
200
300
225
200
175
El siguiente cuadro muestra el número de obreros de acuerdo con el tipo de industria
en que trabajan en un municipio de Comayagua. Haga un gráfico circular en 2D.
Industria
Metalmecánica
Construcción
Textil
Otras
292
2
Escuelas normales
La Paz
Trujillo
250
150
290
250
360
300
400
275
350
200
Cantidad de obreros
1200
1600
2320
875
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
5/8
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.14
4)
Construcción de Gráficas
La siguiente información muestra el número de participantes de olimpiadas en Centro
América y Latinoamérica del 2004 al 2012, haga un gráfico de línea en 2D.
Año
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
5)
6/8
Centroamérica
890
950
1020
1150
995
895
1060
990
1450
Latinoamérica
2340
2400
2200
1950
2500
1780
2000
2150
2800
Con la información de la tabla calcule:
 Tasa de producción de los trapeadores y botes de limpia pisos.
 Tasa de costos de escobas y botes limpia pisos.
 Tasa de venta de escobas y trapeadores.
6)
Descripción del Artículos
Artículos producidos
Escobas
Trapeadores
Botes de limpia pisos
Totales
12,340
10,170
2,300
24,810
Costo por
unidad
L. 65.00
L. 70.00
L. 50.00
L. 185.00
Artículos
vendidos
8540
7300
1800
17640
Precio de
venta
L 73.00
L 87.00
L 62.00
Calcule los siguientes porcentajes:
a ) El 23% de 2345.89
c) El 10% de 12000
e) El 0.25% de 0.5
MÓDULO No.3
b) El 5% de 100
12
d ) El 45% de
7
100
f ) El 4% de
12
MATEMÁTICAS
293
93
3
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.14
7)
Verifique si las siguientes igualdades son o no proporciones.
a ) 10 :12 :: 20 : 24
c) 4 : 3 :: 24 : 7
e) 0.2 :1.2 :: 3.5 : 0.6
8)
15 45
::
4 12
41 82
d)
::
2 4
3 30
f ) ::
7 70
b)
Calcule el valor de la variable para que la igualdad sea una proporción.
a ) y : 3 :: 5 : 23
c) 5 : w :: 6 : 7
e) 0.2 :1.2 :: k : 0.6
9)
Construcción de Gráficas
15 4
::
z 9
1 y
d ) ::
2 4
3 6
f ) ::
x 5
b)
Resuelva los siguientes problemas:
a) En una mezcla necesitamos 4 sacos de cal y 10 de arena, ¿Cuántos sacos de arena
se necesitan para hacer una mezcla que tiene 14 sacos de cal?
b) Un bus se tarda 8 horas en recorrer 320 km, si mantiene esa velocidad, ¿cuánto
recorre en 12 horas?
c) Un rectángulo tiene 20 m de base y 16 m de altura. Si otro rectángulo de igual
área tiene 32 m de altura, ¿cuál es la altura de la base?
d) Jorge gana 15% de lo que vende en nacatamales, si en el fin de semana vendió Lps.
870.00, ¿Cuánto gana de comisión?
e) En el escaparate de una tienda hay un anuncio que dice: Se vende el artículo
con un 45% de descuento, si el precio es de Lps. 950.00 ¿Cuánto se paga por el
artículo?
294
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
7/8
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.14
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Construcción de Gráficas
8/8
f) Para fabricar 6 libras de queso se usan 12 litros de leche. ¿Cuántas libras de queso
se pueden fabricar con 60 libros de leche?
g) 7 obreros firman un contrato para construir una casa en 8 meses, si trabajaran
a un ritmo constante, ¿Cuántas casas construirían en 44 meses?, si el número de
obreros se duplicara, ¿Cuántas casa construirían en ese tiempo?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
295
95
5
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Contenido Teórico
No.15
La Mejor Alternativa
LA MEJOR ALTERNATIVA
La optimización en la producción de bienes y servicios
Este concepto hace referencia al mejor uso de los recursos en la fabricación de cualquier tipo
de artículos o en la prestación de servicios de pintura, soldadura, construcción, reparación
de enseres domésticos, etc. Se trata de aprovechar al máximo los materiales que se usan al
hacer estos trabajos, de conseguir los mejores precios en las ferreterías o almacenes y de
obtener la mano de obra más barata y eficaz para lograr la mayor ganancia posible en cada
trabajo que se realice.
Problemas que requieren la toma de decisiones en la búsqueda de mejores
alternativas de solución
Proyecto 1
Se va a fabricar un ropero de madera de pino y se va a pintar de color blanco. Las
dimensiones están especificadas en la figura. La parte en linea punteada es el exterior
del mueble y en la parte interior tiene 3 tubos para guindar ropa, 5 depósitos y dos
gavetas. Su tarea consiste en hacer una lista de los materiales que se necesiten, luego
cotizar los precios de los materiales por lo menos en dos ferreterías diferentes y el
costo de mano de obra. ¿Cuánto costaría construir un mueble así?
296
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
1/2
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Contenido Teórico
No.15
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
La Mejor Alternativa
2/2
Proyecto 2: Se va a construir y pintar una cancha de futbolito de concreto con las
medidas que indica la figura. El largo es de 50m, el ancho de 30m y el grosor de 0.2m.
Su tarea consiste en hacer una lista de los materiales que se necesiten, luego cotizar
los precios de los materiales por lo menos en dos ferreterías diferentes y el costo de
mano de obra. ¿Cuánto costaría construir una cancha así?
Proyecto 3: Se van a pintar las cuatro paredes del cuarto mostrado en la figura, su
tarea consiste en hacer una lista de los materiales que se necesiten, luego cotizar los
precios de los materiales por lo menos en dos ferreterías diferentes y el costo de mano
de obra. ¿Cuánto costaría pintar un cuarto de este tamaño?
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
297
97
7
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIERAN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Evaluación
1/3
TIPO VERDADERO O FALSO
Instrucciones
Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta
o una F si la proposición es falsa.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
8 : 3 :: 24 : 9 es una proporción .................................................................
El punto ( - 6, - 3 ) está ubicado en el cuarto cuadrante..............................
El valor de x en 2 : x :: 6 : 9 es 6 ...............................................................
La solución de la ecuación 12z – 5 = 7 es z = 1 ........................................
El discriminante de 2x2 – 3x + 1 = 0 es 1 .................................................
1 3
 es una proporción ............................................................................
4 7
2 : 5 :: 6 : 15 es una proporción .................................................................
La solución de la ecuación y – 5 = 5 es y = 0............................................
El 10% de 345 es 3.45 ...........................................................................
El 25% de descuento de una camisa que vale L 240.00 es L 120.00 .........
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
_____
TIPO SELECCIÓN ÚNICA
Instrucciones
Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición.
1) El conjunto solución de la ecuación es:
a) x = -1
b) x = 1
c) x = 5
d) x = -5
2) Si el discriminante de una ecuación cuadrática es positivo, la ecuación tiene:
a) Dos soluciones diferentes.
b) Dos soluciones iguales.
c) Tres soluciones diferentes.
d) Tres soluciones iguales.
3) x = 2 es solución de la siguiente ecuación:
a) 3x = -6
b) x-4 = -6
c) 3x = 6
d) x + 4 = -6
298
2
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIERAN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
El
Elemento
de
Competencia No.03
Co
Evaluación
2/3
4) La ecuación -2x2 - x + 1 = 9 tiene discriminante igual a:
a) 7
b) - 7
c) 9
d) - 9
5) El valor de la variable en
a) 2 = 12
1 3

4 w
para que la igualdad sea proporción es:
b) 2 = -12
c) w  1
12
d)
w
1
12
6) El 12% de comisión en una venta de Lps. 23,450.00 es:
a) Lps. 281.40
b) Lps. 2,814.00
c) Lps. 28.14
d) L 2.81
7) El punto (10 , - 10) está ubicado en el:
a) I cuadrante
b) II cuadrante
c) III cuadrante
d) IV cuadrante
8) El punto (0 , - 9) está ubicado en el:
a) Sobre el eje positivo x
b) Sobre el eje negativo x
c) Sobre el eje positivo y
d) Sobre el eje negativo y
9) Por una compra de Lps. 40,000.00 una persona paga 15% con cheque, él pagó:
a) Lps. 6.00
b) Lps. 60.00
c) Lps. 600.00
d) Lps. 6,000.00
10) El conjunto solución de la ecuación 3x - 1 = 2x + 2 es:
a) x = -1
b) x = 3
c) x = -3
d) x = 1
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
299
99
9
E
Elemento
de
Competencia No.03
C
RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIERAN EL USO DE ECUACIONES Y
FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN
Evaluación
3/3
TIPO PRÁCTICO
Instrucciones
Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos
correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo.
1) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
a) 2.52 - 1.4 = 0.5 - 4.3w
b) 3(2 - 4x) = 3x - 4
2) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas usando fórmula general:
a) x2 + 4x - 21 = 0
b) 2x2 + x - 2 = 0
3) Grafique las siguientes ecuaciones lineales:
a) y = 2x - 5
b) y = -x + 4
4) Grafique las siguientes ecuaciones cuadráticas
a) y = x2 + 5x + 4
b) y = x2 + x - 2
5) Con la información dada realice las siguientes gráficas:
a) El siguiente cuadro muestra el número de obreros de acuerdo con el tipo de industria
en que trabajan en un municipio de Intibucá. Haga un gráfico circular en 2D.
Industria
b)
Metal mecánica
650
Construcción
1420
Textil
875
Otras
500
Tabla que muestra la temperatura máxima para el mes de noviembre de 2005 a
2010 en la ciudad de La esperanza, haga un gráfico de barra simple en 2D
Año
300
3
Cantidad de obreros
Temperatura
2005
180
2006
210
2007
240
2008
170
2009
180
2010
240
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Glosario
1/5
A.C.
Antes de Cristo.
Accidentes de trabajo
Un accidente de trabajo es el que sucede al trabajador durante su jornada laboral o bien en
el trayecto al trabajo o desde el trabajo a su casa.
Acuñación
La acuñación es la certificación de una pieza de metal u otro material (tal como cuero o
porcelana) mediante un distintivo o señales sobre el mismo, siendo de un valor específico,
intrínseco o de canje.
Administración
La Administración es la ciencia social y técnica encargada de la planificación, organización,
dirección y control de los recursos (humanos, financieros, materiales, tecnológicos, el
conocimiento, etc.) de una organización, con el fin de obtener el máximo beneficio posible;
este beneficio puede ser económico o social, dependiendo de los fines perseguidos por la
organización.
Algoritmo
Es un conjunto pre escrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que
permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba
realizar dicha actividad.
Amortización
La amortización termino económico y contable, referido al proceso de distribución en el
tiempo de un valor duradero. Adicionalmente se utiliza como sinónimo de depreciación en
cualquiera de sus métodos.
Billetes
Se llama billete (galicismo de billet) a ciertos tipos de documentos que tienen un valor; así,
por ejemplo, se puede referir a «billete de lotería», «billete de ferrocarril» o al título para
acceder a un recinto. En Hispanoamérica los que tienen que ver con el transporte reciben el
nombre de boleto.
Centavo
El centavo, céntimo o centésimo (símbolo ¢) es la subdivisión de varias monedas nacionales,
y su valor es la centésima parte del valor de la moneda correspondiente.
Colonia
Organización cooperativa de un grupo de organismos.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
301
01
1
Glosario
2/5
Conjunto
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto
en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores,
letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del
conjunto.
La cotización
Documento o información que el departamento de compras usa en una negociación. Es un
documento informativo que no genera registro contable. Cotización son la acción y efecto
de cotizar (poner precio a algo, estimar a alguien o algo en relación con un fin, pagar una
cuota)
Conjunto unitario
En matemáticas, un conjunto unitario, singulete o singleton es un conjunto con un único
elemento.
Constante
Un valor fijo o conocido dentro de un conjunto de valores dados.
Contextualizarlo
Un artículo sin contexto es un artículo que carece de información básica que permita saber
de qué se trata.
Convención o sobreentendido
En el lenguaje, aquello que se da por hecho.
Depreciación
El término depreciación se refiere, en el ámbito de la contabilidad y economía, a una reducción
anual del valor de una propiedad, planta o equipo. Esta depreciación puede derivarse de tres
razones principales: el desgaste debido al uso, el paso del tiempo y la obsolescencia.
Losetas
Losa pequeña, generalmente de cerámica, que se usa para enlosar suelos o cubrir paredes.
Mercurio
El mercurio o azogue, es un elemento químico de número atómico 80. Su nombre y símbolo
(Hg) procede de hidrargirio, término hoy ya en desuso, que a su vez procede del latín
hydrargyrum y de hydrargyrus, que a su vez proviene del griego hydrargyros (hydros = agua
y argyros = plata).
302
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Glosario
3/5
Monedas
La moneda es una pieza de un material resistente, de peso y composición uniforme,
normalmente de metal acuñado en forma de disco y con los distintivos elegidos por la
autoridad emisora, que se emplea como medida de cambio (dinero) por su valor legal o
intrínseco y como unidad de cuenta.
Monopolio
Un monopolio (del griego monos ‘uno’ y polein ‘vender’) es una situación de privilegio legal
o fallo de mercado, en el cual existe un productor (monopolista) oferente que posee un gran
poder de mercado y es el único en una industria dada que posee un producto, bien, recurso
o servicio determinado y diferenciado.
Muestra
Pequeña cantidad de producto que se enseña o regala para darlo a conocer o
promocionarlo.
Nomenclatura
Es la nomenclatura de mercancías del sistema aduanero común de la Unión Europea.
Número de oro
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón
dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega
 (fi) (en minúscula) o  (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un
número irracional.
Números irracionales
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una
fracción, de la forma m/n donde m y n son enteros, con diferente de cero y donde esta
fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional.
Número pi (π)
Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana.
Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea
frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería.
Pistón de un motor
Se denomina pistón a uno de los elementos básicos del motor de combustión interna.
Primos relativos
Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es
1.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
303
03
3
Glosario
4/5
Promedio
Resultado que se obtiene al dividir la suma de varias cantidades por el número de
sumandos.
Rayo
En matemática es la unión de una semirrecta unida con un punto de inicio y avanza en una
dirección.
Recalibrar
Calibración es el procedimiento de comparación entre lo que indica un instrumento y lo que
“debiera indicar” de acuerdo a un patrón de referencia con valor conocido.
Segmentos
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos,
llamados puntos extremos o finales.
Semirrecta
El concepto de semirrecta se utiliza en geometría para identificar a cada uno de los fragmentos
en que toda recta puede ser dividida por cualquiera de los puntos que la componen.
Signos de agrupación
Son el paréntesis, el corchete, las llaves, y el vínculo o barra usados para efectuar operaciones
combinadas y escribir fórmulas matemáticas.
Subconjuntos
En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un
conjunto B si A “está contenido” dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es
un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.
Tabla Criba
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos
menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números naturales
comprendidos entre 2 y N y se van tachando los números que no son primos de la siguiente
manera: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es
declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el
cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N.
Tasar
Poner precio o valor a una cosa la persona que tiene autoridad o capacidad para ello.
Temperatura
La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente, tibio, frío que
puede ser medida con un termómetro.
304
3
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
Glosario
5/5
Termómetro
El termómetro (del griegoó (termo) el cuál significa “caliente” y metro, “medir”)
es un instrumento de medición de temperatura. Desde su invención ha evolucionado mucho,
principalmente a partir del desarrollo de los termómetros electrónicos digitales.
Teorema
Es un enunciado o propiedad matemática que tiene que demostrarse
Transacción comercial
Una transacción es un acontecimiento comercial que se puede que es medible en unidades
monetarias y está soportada en un documento, lo que le permite ser registrada en los libros
contables.
Trueque e intercambio
Es el intercambio de objetos o servicios por otros objetos o servicios y se diferencia de
la compraventa habitual en que no intermedia el dinero en líquido en la transacción. Al
contrato por el cual dos personas acceden a un trueque se le denomina permuta.
Vara
La vara era una unidad de longitud española antigua que equivalía a 3 pies. Dado que la
longitud del pie (patrón de los sistemas métricos arcaicos) variaba, la longitud de la vara
oscilaba en los distintos territorios de España, entre 0,912 metros de la de Alicante y los
0,768 m de la de Teruel.
Variable
Es cualquier valor toma valores dentro de un conjunto finito o infinito.
Viáticos
Conjunto de provisiones o dinero que se le da a una persona, especialmente a un funcionario,
para realizar una viaje.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS
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05
5
Bibliografía



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
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






306
3
Álgebra elemental, Allen R. Ángel, editorial Pearson, sexta edición, México
año 2007.
Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica, W. Earl Swokowski,
Undécima edición, editorial Thomson, México año 2006.
Álgebra y trigonometría, Dennis Zill, segunda edición, editorial Mc Graw
Hill, Colombia año 2000.
Álgebra y trigonometría, Michael Sullivan, séptima edición, Editorial
Pearson México, año 2006.
Cálculo mercantil y operaciones crediticias, Refugio Román, décimo sexta
edición, México año 1977.
Estadística aplicada, Horacio Reyes Núñez, editorial prografip Honduras,
año 2007.
Matemática, José Cristóbal Alcerro, UPN FM año 2009.
Matemática, Texto 7º Grado, PROMETAN, Honduras año 2007.
Matemáticas Financieras, José Luis Villalobos, editorial Iberoamérica,
México año 1993.
Matemáticas Financieras, Lincoyan Portus Govinden, editorial Mc Graw
Hill, tercera edición, México año 1990.
Matemáticas, Módulo No. 01, primera edición INFOP, Honduras año 2006.
Matemáticas, Texto 5º Grado, PROMETAN, Honduras año 2010.
Matemáticas, Texto 6º Grado, PROMETAN, Honduras año 2010.
Mecánica de Banco, JICA Honduras, Honduras año 2011.
1000 pasatiempos y juegos de inteligencia, Tomás Caillaux de la Borda,
editorial Servilibro, primera edición, España año 2006.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html, tema investigado:
Historia de los sistemas numéricos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Cero, tema investigado: Historia del número
cero.
http://www.ecobachillerato.com, tema investigado: Historia de la moneda.
http://www.elrincondelvago, tema investigado: Problemas de aplicación de
aritmética.
http://es.wikipedia.org/wiki/aritmetica, tema investigado: Problemas de
aplicación de aritmética.
http://www.ecobachillerato.com, tema investigado: Sistemas métrico
decimal.
MÓDULO No.3
MATEMÁTICAS