Download UNIDAD: IZTAPALAPA. DIVISION: CIENCIAS SOCIALES Y

'Tesina 4
Isrrael Guerrero Reyes
52 de marzo de 1999
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
UNIDAD:
IZTAPALAPA.
'DIVISION:
CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES
/CARRERA:
LICENCIATURA EN FILOSOFIA
MATERIA:
'TITULO:
FECHA:
/ALUMNO:
SEMINARIO DE INVESTIGACION
ALGUNOS ASPECTOS METOD~LOGICOS
DE LA LOGICA FORMAL.
6 DE ABRIL DE 1999.
ISRAEL GUERRERO REYES
MATRICULA: 93320502
ASESOR: DR. JOSE JAVIER SANCHEZ POZOS.
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CONTENIDO
TEMA
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Introducción
3
CAPÍTULO UNO Preliminares
4
Método
Lógica
Aspectos metodológicos de la lógica formal
Forma lógica
Traducción
Lenguaje natural y lenguaje formal
Lenguajes formales
4
6
11
12
16
17
21
CAPÍTULO DOS Negación de enunciados
Definición e información de una negación
Enunciados
Enunciados simples
Enunciados compuestos
Negación de enunciados simples
Negación de enunciados compuestos
Equivalencias
26
26
27
28
28
28
29
33
CAPÍTULO TRES Forma lógica de un condicional
El discurso científico y el condicional
Formas de expresar un condicional
Condicionales asociados a un condicional
Condiciones de necesidad y suficiencia
Condiciones de suficiencia
Condiciones de necesidad
35
35
36
38
43
43
46
NOTA CONCLUSIVA
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INTRODUCCIÓN
Está en mis manos - al realizar este trabajo - esforzarme lo más posible
por lograr expresar de la mejor manera aquello que ha significado un
propósito y un reto personal; a lo que me refiero es a los aspectos
metodológicos de la lógica formal, los cuales constituyen un terreno de la
lógica poco transitados, no porque nunca se ha querido transitar en ellos, sino
porque ha resultado ser una empresa demasiado dificil, y no se debe a que
realmente no se puede llevar a cabo, sino más bien se debe a que no es fácil
disgregar los conocimiento metodológicos prácticos de una formación
meramente teórica. Generalmente, cuando se imparten cursos a nivel medio
superior y superior que incluyen temas sobre lógica formal no se imparten de
manera tal que proporcionen conocimiento metodológico de uso práctico, sino
mas bien solo a nivel de formación teórica - resaltando los elementos de la
lógica -.
Es así como se gesta la construcción de este trabajo; en el se encuentra bien
delimitado el aporte teórico-operacional de la lógica matemática y el lógicometodológico, este último es el que en definitiva más me interesa, ya que
coincido con otros que de igual manera están interesados en que hoy en día
los que estamos inclinados al estudio de la lógica - aunque sea en alguna de
sus partes - y que aunado a esto estamos involucrados en la docencia,
tenemos un compromiso de hacer llegar a los estudiantes el uso práctico y
metodológico de la lógica, de tal manera que cualquier persona que cuente con
un mínimo de conocimientos básicos vislumbre la importancia del estudio de
los aspectos metodológicos de la lógica basados en lo útil que le resulte llevar
a cabo las distintas tareas académicas y de investigación - cualquiera - a las
que están obligados a realizar, una vez que ya se posean las herramientas
metodológicas de que es capaz la lógica.
Por mi parte, incito a realizar con interés la lectura y análisis de todo
aquello que se expone en los temas tratados, así como a resolver los problemas
que se proponen a lo largo del presente.
Sólo de esta manera se logra
resaltar la importancia y aplicación de los aspectos metodológicos de la lógica,
así como la adquisición de los mismos para poder realizar de modo más
adecuado el análisis del discurso científico, y la redacción de un argumento
dentro de la vida diaria.
De tal suerte que cultivar los aspectos
metodológicos de la lógica matemática proporcione las herramientas básicas
para desarrollar eficazmente nuestra capacidad de análisis de argumentos.
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CAPITULO UNO. ASPECTOS METODOLÓGICOS DE LA
LÓGICA MATEMÁTICA Y LA FORMA LÓGICA DE LOS
ENUNCIADOS Y ARGUMENTOS.
Podría iniciar de diferentes maneras el presente trabajo, pero considero
que debe ser aquella que permita conocer lo que es método, aspecto
metodológico y que además informa de aquello que se debe entender por
lógica, ya que es el terreno sobre el cual se tendrá que caminar a lo largo de la
tesina.
1.- MÉTODO.
Se puede ver como el sistema que integra la esencia del saber científico
- esta concepción está dentro del binomio método y ciencia I-; es decir el
método representa el aspecto formal del saber científico y la ciencia misma es
el contenido del saber científico.
En aras de precisar un poco más, se
designa con el término sistema el conjunto ordenado de conocimientos o
contenido de una ciencia.
En cambio la caracterización de método, de
conformidad con el sentido etimológico de la palabra es la siguiente: (en
a
griego: p&o6o& [atajo], vocablo compuesto de 060r = camino y p ~ z =junto
a, al lado de, en pos de donde: rodeo).
De ahí que podamos decir que es el
camino seguido para construir y alcanzar dicho conjunto de conocimientos
sistematizados. En general nos ocupamos metódicamente en una esfera del
saber cuando la investigamos con arreglo a un plan, destacamos sus especiales
articulaciones, ordenamos los conocimientos parciales de acuerdo con la
realidad, los enlazamos con rigor lógico y los hacemos inteligibles - dado el
caso mediante demostración 2 -.
Al terminar de aplicar todo lo que la
anterior definición de método implica, hemos de saber de todas y cada una de
las cosas no solo, ¿qué son?, sino también ¿por qué son así?, o sea, no sólo el
hecho, sino también la razón del mismo.
El punto de donde se parte una
investigación dicta la metodología a utilizar, es decir para cada ciencia existen
métodos muy particulares.
Existen así, dos elementos fundamentales para
poder determinar un método, a saber: el modo de la investigación (mediante
una observación sensorial o una argumentación racional), y por otra, las leyes,
la vía interna por la cual despliega la investigación sus momentos y a la que el
Por otro
método científico, como camino, debe asimilar lo más posible.
lado “se tiene un método cuando se dispone de, o se sigue cierto camino, para
1
Diccionario de Filosofía; Walter Bruger S. L., ed. Herder, págs. 365 - 366.
lbid. Pág. 366.
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lograr cierto fin, propuesto de antemano. Este fin puede ser el conocimiento
o puede ser también un fin humano o vital. En este sentido decía Platón que
hay que buscar el camino más apropiado para alcanzar el saber3.
El método se contrapone a la suerte y al azar, pues el método es ante
todo un orden manifestado en un conjunto de reglas. Se ha comprobado que
si la suerte y el azar conducieran al fin propuesto no sería necesario un
método, pero no sucede así; por tanto, un método adecuado no es solo un
cambio, sino un camino que abre otros.
Por algún tiempo se consideró que los problemas del método eran
relativos a la metodología y que esta constituye una parte de la lógica. Se ha
dicho así mismo que la lógica estudia las formas del pensamiento en general y
la metodología las formas particulares del pensamiento.
Puede hablarse de métodos generales como la síntesis, la deducción, la
inducción, la analogía, el análisis, etc.
Los métodos especiales, por otro
lado, son métodos determinados por el tipo de objetos a investigar o la clase
de proposiciones que se propones descubrir.
En los párrafos anteriores se puede descubrir lo que en esencia es un
método y de la relación que tiene con la lógica - aunque esto último con poca
claridad -;lo que importa es reafirmar que un método es un camino para lograr
cierto objetivo, y que en este sentido se pueden encontrar diferentes caminos
(pero eso ya depende del interés propio del área de investigación).
Con
relación a lo antes dicho creo que el método es un instrumento del cual nos
servimos - quienes lo usan - para lograr un objetivo bien delimitado.
Más adelante apuntaré con claridad lo concerniente al tema medular de
este trabajo, es decir, los aspectos metodológicos de la lógica matemática,
dicho de otro modo, cómo se puede ver a la lógica bajo la perspectiva de
método y así deducir que la lógica posee características muy propias que se
identifican con un método o con aquello que involucra una metodología, un
camino a seguir para poder solucionar cierto tipo de problemas en un discurso
argumentativo
Diccionario de Filosofía; Ferrater Mora, pág. 2217.
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2.- LÓGICA.
.
Bajo este rubro se puede hablar de lógica en su contenido o hablar
Lo segundo puede entenderse de dos modos: como un
acerca de la lógica.
estudio del lenguaje lógico o como un examen de distintas concepciones de la
lógica. El término lógica abarca todas las investigaciones lógicas formales y
de ahí que se pueda hablar de diferentes tipos y acepciones de lógica.
“Su objeto es el pensar, considerado no como propiedad o actividad de
sujetos existentes - desde este punto de vista lo ve la psicología -, sino que
viendo en é l las relaciones de los contenidos del pensamiento en cuanto tales,
susceptibles de ser pensadas idénticamente por muchos’”!
Estudia la
estructura interna de los términos, enunciados y argumentaciones y sus
recíprocas y necesarias relaciones (leyes lógicas), lo cual es tares de la lógica
pura o formal, es decir, de la lógica propiamente dicha.
Esta lógica formal
en sentido estricto tiene solo en cuenta la rectitud, es decir la legalidad del
Con lo que se ha dicho en los renglones
pensar - leyes del pensa -.
anteriores se puede afirmar que se tiene ya, una visión general de lo que es la
lógica.
A continuación paso a describir lo que de manera muy personal
considero como los aspectos - elementos - metodológicos de la lógica
matemática.
3.- ASPECTOS
MATEMÁTICA.
METODOL~GICOS DE
LA
LÓGICA
Retomando lo que ya se explicó acerca de lo que es un método y de lo
que es la lógica se puede acceder a describir lo que significa el título de esta
tesina, pero aclaro que no se trata de una fusión de las dos definiciones, ni de
conciliar los elementos que constituyen a cada una de éstas, por el contrario,
se trata de ver los elementos que integran a la lógica y que hacen de ella una
ciencia que propone las reglas que dirigen un buen pensamiento o una buena
argumentación, y rescatar de ella las características que como método puedan
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Diccionario de filosofía; Walter Bruger S. L., ed. Herder, pág. 339.
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funcionar a manera de camino para solucionar o facilitar la solución de un
problema, o que al menos se le pueda ver como un camino que abra otros más.
Un aspecto metodológico de la lógica es un elemento que le es propio a
esta, pero con la característica de que ese elemento puede ser utilizado como
un instrumento que facilite el análisis, comprensión o consecución de una
investigación científica - de cualquier tipo -, también para hacer más
manejable la información que está trabajando, siendo así, este aspecto de la
lógica constituirá en repetidas veces un camino que abre otros caminos dentro
de cualquier investigación. Continuando en esta línea, considero que el uso
de la lógica bajo la óptica de método proporciona a toda investigación un
carácter de rigor y de precisión, ya que la lógica es una ciencia comprometida
con el rigor y la precisión - dentro de las operaciones que ella misma realiza -,
por lo tanto, el aspecto metodológico que tiene la lógica ha heredado también
ese carácter de rigor y precisión en su modo de operar, por tal motivo yo
considero que todo aspecto metodológico de la lógica aportará - al
investigador - una herramienta valiosísima para llevar a cabo - solo como
instrumento, al igual que cualquier método - el análisis, comprensión o
consecución de toda investigación; que en algunos casos, por algún motivo - y
a veces sin motivos fuertes - ha quedado esta truncada, ya que en esas
circunstancia no se cuenta con la herramienta eficaz de la lógica como
método, la cual propone - bajo esta línea - una interpretación de la
información de la investigación que permita descubrir otra cara de la misma
información - sin cambiar su sentido y significado - pero que podamos
romper el nudo en nuestro proceso de investigación y así continuar sin
problemas, dicho de otra manera, abrir una puerta para abrir otras y lograr así
la solución a un problema.
Finalmente, la perspectiva de método que tengo de la lógica, me
permite afirmar que en repetidas ocasiones y dentro de una investigación se
opera bajo circunstancia limitadas ya que se ha quedado el investigador con
una visión corta de las expresiones de la información que maneja, las cuales
pueden ser interpretadas desde otra perspectiva - sin perder, repito, el sentido
propio de las expresiones de la información que se estén trabajando -, la cual
estoy convencido de que facilita los caminos y procesos para llegar a la
solución de un problema o de una investigación misma.
Creo que todavía puede haber dudas sobre lo que significa un aspecto
metodológico de la lógica, ya que no se ve claramente la presencia de ellos
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hasta momento; pero, me comprometo a reafirmar y reconsiderar la definición
que he dado de estos en los sitios de este trabajo cuando se considere
pertinente.
Por otro lado, en esta tesina no pretendo agotar todos los elementos
metodológicos de la lógica forma contemporánea, sin solo algunos de ellos;
por considerar que son básicos para quien se interese por adquirir una
herramienta metodológica.
Existe un tema fundamental con el que se inicia la exposición central de
la tesina, el primer problema central que se debe encarar al iniciar el estudio
de la lógica formal en su perspectiva metodológica es por lo general, el
relacionado con la determinación y explicitación de la forma lógica de los
enunciados y argumentos que integran el discurso que se pretende someter a
análisis.
La presente temática tiene como objetivo el de proporcionar los
elementos básicos y necesarios para llevar a cabo este proceso con respecto a
los enunciados, el cual dista mucho de ser una simple traducción - y mas aún
de ser una simple transcripción - de expresiones del lenguaje natural a
expresiones de los lenguajes formales de la lógica. El proceso de determinar
la forma lógica de los enunciados es indispensable para establecer la
corrección e incorrección de los argumentos deductivos que pertenezcan a
determinado campo del conocimiento, pero sobre todo, evidenciar la forma
lógica de un enunciado “es un proceso creativo que por sí mismo reviste
importancia metodológica para el esclarecimiento del sentido y profundidad
conceptual, así como para una correcta estructuración lógica, del discurso
científico y de la comunicación discursiva en gene~al”~. Para lograr ver con
claridad el proceso de la evidenciación de la forma lógica de un enunciado o
argumento, es necesario plantear la explicación de lo que es un lenguaje
natural y de un lenguaje formal, ya que la evidenciación de la forma lógica de
un enunciado o argumento se puede plantear como el paso de uno a otro, es
decir, aquello que se expresa como enunciado en el lenguaje natural contiene
una estructura muy peculiar y única ya sea por el contenido propio del área del
saber al que pertenezca o por la estructuración misma de los elementos del
enunciado, también puede ser expresado por medio del lenguaje formal, en
esto último estriba el carácter metodológico de la forma lógica de un
enunciado. Al tener en una investigación cierta información, la cual resulte
compleja - al investigador - , se puede echar mano de este aspecto de la
lógica, el cual procurará evidenciar la estructura lógica de dicha información y
así hacer manejable la información que se tenga, de tal manera que se le
5
Sánchez Pozos Javier; Forma Lógica Aspectos Metodológicos, Revista CONTACTOS 10, 50-61 (1993);
pág. 50.
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permita ,al investigador, acceder a la solución del problema por él planteado y
dentro de su campo de conocimiento.
A continuación realizo una exposición breve y sustancial de lo que son
los lenguajes naturales y los formales.
Importancia dentro de una investigación
La importancia que tienen los aspectos metodológicos de la lógica
matemática es demasiada, aunque a lo largo de mucho tiempo no se le ha
dado, lo cual no quiere decir que ahora, en estos tiempos, si se le esté dando;
no se tiene un conocimiento consciente y aplicable sobre la importancia y
utilidad metodológica de la lógica formal contemporánea. Lo antes
mencionado incita a pensar que realmente nunca se le ha dado a la lógica un
enfoque metodológico, ni siquiera por parte de la mayoría de profesores que
imparten la materia de lógica en diferentes niveles académicos; por tal motivo
es muy real que todas aquellas personas (estudiantes y profesionistas
principalmente) que en algún momento de su vida hayan cursado la materia
de lógica o relacionado con ella, terminen diciendo que la lógica no sirve para
nada, o a lo más para aprender las tablas de verdad, lo cual es muy doloroso
escucharlo, ya que no se ha impartido la enseñanza de la lógica bajo la óptica
del hombre contemporáneo. ¿Cuál es esta óptica?. El hombre - principalmente
el académico o investigador - de estos tiempos reclama una realización
práctica, res y aplicable de la teoría de vista se ha dejado crecer el
profesionista e investigador (de diferentes áreas del conocimiento) con
grandes carencias y lagunas. ¿Por qué digo: grandes carencias y lagunas?,
Porque considero que no se les ha dotado de una herramienta portentosa como
lo es la lógica - en particular de sus aspecto metodológicos de la lógica
matemática -, ya que ella proporciona elementos de análisis metodológico
para una investigación como ninguna otra ciencia lo puede hacer.
Por otro lado, estoy totalmente convencido de que lo que he plasmado
en el párrafo anterior es todo un reto no fácil de cumplir, ya que no existen los
operarios para hacer llegar este enfoque de la lógica a todos los rencores de la
vida del hombre consagrados a la investigación. A continuación utilizaré una
comparación que quizás no sea la más adecuada - a juicio de mis posibles
lectores - y de la cual soy totalmente responsable: a un investigador o
estudiante lo comparo con una persona que se encuentra en la base de una
torre y que pretende escalar hasta la cima de ella, para tal efecto le facilitan
una escalera, a la cual, le hace falta uno o dos peldaños; pues bien, a la
escalera la comparo con todas aquellas herramientas útiles para lograr una
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buena investigación, lo cual significa llegar a la cima de la torre; ahora bien,
cada peldaño de la escalera significa una herramienta diferente dentro de la
investigación, los peldaños que le hacen falta a la escalera significa un la
ausencia de la herramienta lógico - metodológica, por lo que es demasiado
riesgosa la labor del investigador, es mas es muy probable que no logre subir
a la cima de la torre, porque ha resbalado en el espacio del peldaño ausente y
si lo logra tendrá que realizar un esfuerzo extraordinario para suplir el peldaño
ausente. Dotar a un investigador de todas las herramientas eficaces para
lograr una muy buena investigación no solo es lo adecuado sino que está
obligado a dárselas, a quien le corresponda.
Por lo que anteriormente he comentado puedo deducir que la realización
de este trabajo es importante, pero lo es más el estudio de los aspectos
metodológicos de la lógica matemática por el efecto que puede ocasionar en
las diferentes esferas de la vida académica e investigación; lo cual no quiere
decir que sin el estudio de estos aspectos se está cien por ciento confinado al
fracaso, no, por supuesto que afirmar eso sería muy pretencioso y nos
olvidaríamos de todos aquellos que han logrado desarrollar una buena
estructura lógico - formal del pensamiento que le ha brindado la oportunidad
de llevar a buen término su vida académica o de investigación.
Finalmente, la importancia de los aspectos metodológicos de la lógica
cae por su mismo peso, ellos mismos dan cuenta de lo portentosos que son; el
problema aquí planteado es que no son conocidos estos aspectos, mucho
menos su valor y por otro lado evidenciar la realización útil y práctica de
estos. De ahí la importancia de ellos como métodos.
Algunos aspectos metodológicos de la lógica matemática (lógica de
enunciados)
Los aspectos metodológicos de la lógica matemática - en particular de la
lógica de enunciados - son varios ya que a la gran mayoría de las temáticas de
la lógica se le puede dar este enfoque y así, proporcionarle a la lógica misma
su carácter de realizable.
Pues bien en este apartado solo dejaré mencionados algunos de estos
aspectos y justificaré por qué a mí me interesan solo tres de ellos.
El primero de los aspectos metodológicos que requiere afrontar dentro
de este estudio es el relacionado con la determinación y explicitación de la
forma lógica de los enunciados y argumentos que componen el discurso que
se pretende someter a análisis; cabe mencionar cabe mencionar que todo
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enunciado por si mismo posee una forma lingüística es la que está conformada
por el lenguaje mismo, el cual tiene íntima relación semánticamente hablando
con el área del conocimiento al que corresponde el enunciado u argumento; a
la diferencia de esta, la forma lógica recoge toda la información relacionada
con la estructura lógico formal que guardan los elementos lingüísticos del
enunciado u argumento. En lo personal reviste importancia, por lo que este
será uno de los aspectos que estudiaré al final de este capítulo, espacio en el
que ahondaré de manera adecuada, por ahora comento otro aspecto
metodológico de la lógica.
Otro de los aspectos metodológicos de la lógica es conocido como la
caracterización semántica lineal de los conectivos lógicos. Este aspecto es
central en el cálculo de enunciados, ya que los conectivos lógicos tienen un
papel de operadores dentro de este cálculo; pero para los intereses propios no
tiene lugar realizar una explicación de los correctivos lógicos como
operadoras; lo que sí debo dejar claro es que gracias a la caracterización
semántica lineal de los conectivos lógicos y metodológicamente hablando, es
muy importante para hacer manejable la información de una investigación y al
mismo tiempo para poder tener información de la conducta adoptada por la
concatenación de los elementos lingüísticos de un enunciado u argumento.
Este aspecto es difícil descubrirlo si no se tiene una visualización de la
conducta de los conectivos lógicos. Por ejemplo, cuando se tiene la afirmación
de una conjunción se cree en repetidas ocasiones que todo el enunciado es
verdadero sólo por el hecho de que se cumpla uno de los conjuntos, lo cual es
totalmente incorrecto, ya que metodológicamente hablando la conjunción
exige el cumplimiento o la realización de los dos conyuntos para que todo el
enunciado conjuntivo sea verdadero.
Otros aspectos metodológicos de la lógica matemática es la negación.
La negación puede ser de un enunciado atómico, de un enunciado molecular o
también de todo un argumento, pero sea cual sea el caso la negación será
también una afirmación en esto estriba el aspecto metodológico de toda
negación. En el capítulo dos explicare con más detenimiento este aspecto, ya
que lo considero muy importante.
Por otro lado se tiene que en la ciencia se dan expresiones del lenguaje
científico que pueden ser interpretadas como un condicional en el lenguaje
formal de la ciencia esta constituye otro aspecto metodológico de la lógica
matemática, de suma importancia por lo que bien trataré en el capítulo tres de
una manera más explícita.
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Finalmente entre otros aspectos de índole metodológica de la lógica
formal contemporánea se puede contar la prueba de corrección e incorrección
de un argumento, lo cual, metodológicamente hablando es muy útil dentro de
una investigación ya que permite - en cierta medida - evaluar la validez del
argumento desde el punto de vista de la estructura formal, de tal suerte que
una vez que se tiene la información de la validez o no validez de un
argumento, se prueba continuar trabajando la información del argumento con
la confianza de que es válido, o desechar el argumento si no es inválido.
4.- FORMA L ~ G I C A
Para poder plantear la forma lógica como un elemento metodológico de
la lógica considero que se requiere de una explicación clara de las razones que
se tienen para afirmar que la forma lógica pude ser planteado como un aspecto
metodológico de la lógica; para tal efecto apuntaré distintos motivos que lo
justifican.
En primer lugar menciono que la forma lógica hace referencia a una
estructura en la que se encuentran concatenados los elementos lingüísticos de
un enunciado o argumento, la cual puede ser la misma para diferentes
enunciados o argumentos y de ahí que sea importante su estudio ya que no se
limita a un caso sino que es general. Por tal razón la forma lógica puede
tomarse como funcional y como método - para realizar la conducta lógica de
los elementos lingüísticos de un enunciado - que ayuda a hacer más manejable
la información de un enunciado o argumento.
Por otro lado la forma lógica ayuda a superar algunas deficiencias
lógicas del lenguaje natural y lenguaje forma se podrá ver con mayor claridad
lo que se está planteando aquí.
El estudio de la forma lógica y su evidenciación permite vincular el
lenguaje natural (que es con el que operan muchas teorías científicas) con el
lenguaje que le es propio a la lógica, y siendo así, se habrá logrado un paso
muy importante, ya que el enunciado o argumento en turno puede resultar,
muy difícil de analizarlo en el lenguaje natural, pero trasladado a una
expresión del lenguaje formal de la lógica, es decir a su forma lógica, se torna
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más accesible su análisis y así mismo su solución, en esto estriba el carácter
metodológico de la forma lógica de un argumento o enunciado; como un
camino que permite acceder a otros que dan solución a un problema o una
investigación.
En este apartado no pretendo dar una explicación del porque de la forma
lógica, eso es asunto de la misma lógica, aquí solo pretendo resaltar el aspecto
metodológico de la forma lógica de un enumerado o argumento, dicho de otra
manera, resaltar la importancia práctica y útil para la investigación y la vida
académica de la forma lógica. Creo que he dejado en claro los motivos que
tengo para estudiar la forma lógica, pero realmente no he dicho que es y como
se llega a ella; a continuación lo hago.
La evidenciación de la forma lógica de los enunciados simples o
compuestos y de las argumentaciones (entendidas como sucesiones de
enunciados), se obtiene como resultado de un análisis lógico - simbólico
realizado con base en la tipología categorial del lenguaje formal de la lógica
de enunciados que la lógica ha desarrollado para el análisis de la corrección de
argumentos (forma lógica de enunciados de argumentos al nivel del lenguaje
de la lógica de enunciados).
La determinación de la forma lógica de un enunciado - con un
contenido, un significado, particular dentro de un cierto campo del
conocimiento - es más que la simple traducción de una expresión del lenguaje
natural a otra expresión de un determinado lenguaje formal de la lógica, y
dista mucho de ser un proceso mecánica, formal y ajeno al contenido de dicho
enunciado. Por el contrario la determinación de la forma lógica de un
enunciado es un proceso que involucra toda una conceptualización del campo
del conocimiento al que el enunciado pertenece, se obtiene como el resultado
de un análisis integral de los conceptos que el enunciado incluye, y requiere de
una delimitación precisa y creativa de la intencionalidad de dicho enunciado.
A lo que anteriormente se ha dicho, se puede añadir que mediante la
abstracción del contenido concreto y simbolización adecuada de sus términos
descriptivos o enunciados atómicos, y de la explicitación de sus constantes
conectivos lógicos, se hace evidente la forma lógica de un enunciado. Es
evidente que no es fácil lograr una excelente definición de lo que la forma
lógica es, ya que como lo menciona Sánchez Pozos, es algo más que la simple
traducción mecánica de un lenguaje natural a otro formal, requiere de algo
más; él menciona también la necesidad del conocimiento de los conceptos que
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el determinado campo al que pertenece el enunciado exige y además el
análisis lógico - simbólico de que es capaz el lenguaje formal de la lógica.
Ejemplo:
Al
Los árboles producen madera fina.
El Sabino produce madera fina.
El Sabino es un árbol.
BI
Los seguidores de Cristo Son cristiano.
El Pbro. Víctor es cristiano.
El Pbro. Víctor es seguidor de Cristo.
Después de dar lectura detenida a los dos argumentos anteriores se
puede descubrir que tienen ciertas características que los hacen similares
cuando los comparamos. Como primer apunte podemos afirmar que cada uno
se refiere a distintos campos de conocimiento; así Al se refiere a la producción
de maderas extraídas de los árboles, mientras que B1 se refiere a un asunto de
religión; además de eso, advertimos que la estructura gramatical que cada uno
de ellos posee es semejante, a lo cual le llamaremos "estructura formal del
argumento" (solo por pura conveniencia, lo cual no quiere decir que sea así y
que se obligatorio). Siendo así, tenemos en Al y B1 un contenido concreto
diferente - dependiendo de el área del conocimiento al que se refiera - y un
contenido formal - en cuanto a la estructura lógico - sintáctica en la que se
muestran - . Me voy a permitir expresar tanto a Al como a B1 de diferente
torma.
A2 Si los árboles producen madera fina y el sabino produce madera fina,
entonces el sabino es un árbol.
B2
Si los seguidores de Cristo son Cristiano y el Pbro. Víctor es cristiano,
entonces el Pbro. Víctor es un seguidor de Cristo.
Lo que acabo de hacer en A2 y B2 es anteponer las partículas que
y el
caracterizan a el conectivo lógico de condicional "si ..., entonces
conectivo lógico de la conjunción "y". A continuación se procede a distinguir
lo que es contenido lógico - formal del contenido concreto, este paso se lleva
...'I
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acabo olvidándonos momentáneamente del contenido concreto, por lo que
tendríamos lo siguiente.
A3
B3
Si ... y ..., entonces ... .
Si ... y ..., entonces ... .
A este esquema de A3 y B3 le vamos a denominar esquema X ;en él se
puede observar el contenido lógico - formal de los argumentos, o mejor
dicho, la forma lógica del argumento, lo cual es aquello que nos interesa
evidenciar, ahora bien, cómo podríamos denominar a esa forma lógica, bueno,
si se es observador, cada argumento tiene la forma lógica de un condicional
como estructura fundamental y principal, además de contener el conectivo
lógico de la conjunción; si se nos pidiera transcribir el esquema X al lenguaje
simbólico de la lógica formal, utilizando letras enunciativas donde aparecen
los puntos suspensivos para indicar que se hizo abstracción del contenido
concreto de los enunciados, se tiene lo siguiente:
A
4
(P&9) + r
Bq
(~&t+
) U
donde
P : los
~ árboles producen madera fina.
q: el Sabino produce madera fina.
r: el Sabino es un árbol.
s: Los seguidores de Cristo son Cristianos.
t: el Pbro. Víctor es cristiano.
u: el Pbro. Víctor es un seguidor de Cristo.
constituyen los enunciados atómicos de cada argumento A (1-4) y B (1-4 ) y los
conectivos lógicos ” &, + , sustituyen tanto a “y” de como a “si ..., entonces
.
Por lo ya visto considero que evidenciar la forma lógica de un enunciado
o un argumento, implica no solo la traducción al lenguaje formal de la lógica,
ya que se pueden cometer errores por considerar se trata de un proceso
mecánico, lo cual no es así, se requiere de tener muy clara la distinción entre
contenido concreto y contenido lógico - formal para poder establecer las
condiciones bajo las cuales se da la forma lógica de un X argumento o
enunciado. Sin embargo no todo el proceso de descubrir la forma lógica
, .,I1.
6
Nota. A partir de este caso cuando se utilicen los “.” nos indicaran lo siguiente ‘‘x sustituye a y” , de tal
manera que no se estriba “sustituye a”, sino que se usan los dos puntos.
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implica el "olvidott7del contenido concreto en sentido estricto, porque sin
contenido concreto no solo no se puede dar la forma lógica sino que, además,
no puede siquiera pensarse, sin pensar al mismo tiempo en un contenido
general, dicho de otro modo, contenido concreto y contenido lógico - formal
son dos aspectos que se necesitan el uno del otro.
Para decir algo más del ejemplo que me sirvió para explicar la forma
lógica, el esquema X no es ni verdadero ni falso, éste será verdadero o falso
cuando se sustituye donde aparecen los puntos suspensivos el contenido
concreto del que olvidamos momentáneamente, esto quiere decir que el
esquema X formalmente no es falso y tampoco es verdadero, la interpretación
del contenido concreto dentro del contenido lógico - formal, será
materialmente verdadero o falso.
El ejemplo analizado permite ver con claridad la transformación de los
argumentos del lenguaje natural al lenguaje formal, esta transformación hace
más manejable el análisis de la información contenida en los argumentos con
el fin de esclarecer el sentido y profundidad conceptual, así como para una
correcta estructuración lógica, del discurso científico y de la comunicación
discursiva en general. Por todo lo antes dicho considero que ha quedado lo
suficientemente justificado el papel metodológico de la forma lógica.
A continuación cito algunos ejemplos tomados del doctor Javier
Sánchez Pozos de su artículo forma lógica, Aspectos Metodológicos,
publicado en la revista CONTACTOS y de su ensayo titulado sobre la
importancia y generalidad metodológica de la lógica formal.
5.- TRADUCCI~N
Antes de comenzar a realizar algunos ejemplos deseo aclarar que el título
de este tema no se debe tomar en su sentido y pensarlo como un proceso
mecánico, no; lo correcto es pensar, o bajo el criterio metodológico que se
viene trabajando.
Los ejemplos de la evidenciación de la forma lógica están tomados, en
su mayoría, de los que Sánchez Pozos tiene en su artículo Forma Lógica
7
Nota. Cuando he utilizado la palabra olvido en este tema del contenido sintáctico y el semántico, para poder
descubrir la forma lógica del enunciado y/oargumento, no significa que no me sirva y que además es inútil
ponerlo, claro que no, se trata de que momentáneamente no lo considere para poder facilitar de mejor manera
el descubrimiento de la forma iógica, y así posteriormenteretraerlo para comprender de mejor manera el
análisis del argumento y10 enunciado.
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Aspectos Metodológicos. Cabe recordar lo relacionado al lenguaje formal
de la lógica ya que aquí se requerirá para resolver los ejercicios.
Ejemplo 1: Las Toxinas diarréicas no son sustancias termorresistentes.
p: Las toxinas diarréicas son sustancias termoresistentes.
no
1:
Ejemplo 2: Hay tarea de química para el martes y de lógica para el jueves.
p: Hay tarea de química para el martes.
q: hay tarea de lógica para el jueves.
&: y
Ejemplo 3: 97 es par o impar.
p: 97 es par.
q: 97 es impar.
Ejemplo 4: Las toxinas diarreicas son sustancias termorresistentes y, por lo
tanto, insensibles a la cocción.
p: las toxinas diarreicas son sustancias termorresistentes.
q: las toxinas diarreicas son insensibles a la cocción.
Ejemplo 5: n es par o es primo si y solo si es divisible entre 2 o tiene
exactamente dos divisores.
p: n es par.
q: n es primo.
r: n es divisible entre dos.
s: n tiene exactamente dos divisores.
6.- LENGUAJE NATURAL Y LENGUAJE FORMAL (DE LA
LÓGICA DE ENUNCIADOS).
Quiero ser claro respecto a la razón que tuve para incluir este tema en el
presente trabajo, a saber; el tema de la forma lógica da por supuesto la
comprensión de lo que se debe entender por un lenguaje natural y por
lenguaje formal, de ahí que resulte necesario tocar el tema.
Tomando en consideración lo que he dicho anteriormente, me
encontré con dos alternativas: a) dar una definición compacta de lo que es
un lenguaje natural y un formal, y b) comentar de manera explícita lo que
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es un lenguaje formal y un leguaje natural; la primera opción, considero,
resultaría poco comprensible y carente del enfoque que me conviene, por
tal motivo he optado por la segunda, ya que en ella se encontrará una
exposición clara de lo que significa, las pretensiones y funcionamiento de
cada uno de los lenguajes; lo cual no significa que desvíe el transcurso
central de esta tesina.
Basados en la interpretación que Alfredo Deaño nos presenta en
su obra Introducción a la lógica Formal acerca de la visión Wittgenstein
tenía de nuestro lenguaje’, se puede brevemente recordar y comentar, ya
que nos sirve de mucho para aclarar el terreno en el cual se estará
trabajando. Wittgentein compara el lenguaje a una ciudad antigua, la cual
tiene un laberinto de calles pequeñas y plazas, con casa nuevas y viejas, y
con casas añadidas que muestran épocas distintas; y todo eso rodeado de
barrios nuevos con calles rectas y bien trazadas donde se pueden observar
casas uniformes, mas aun, é l mismo afirma que la química y la notación
del cálculo infinitesimal son suburbios de nuestro lenguaje’.
La distinción es muy clara entre lo que son los lenguajes naturales y
lenguajes artificiales, pero a medida que vaya avanzando la exposición se
podrá ver cómo se caracteriza cada uno de ellos. Los lenguajes naturales
principalmente son heredados y son las lenguas creadas y recreadas
constantemente por el género humano durante el transcurso del tiempo y
transmitidas a cada individuo dentro de un roll social durante algunos años,
dicho de otro modo, son aquello que hablamos todos los días, esos
complejos instrumentos de comunicación que sólo las gramáticas
generativas parecen hoy capaces de describir de modo relativamente
adecuado, son aquellos que se componen de un léxico finito y de un
conjunto de reglas que permiten combinar hasta el infinito los elementos de
se léxico. Wittgenstein es muy contundente al afirmar que el lenguaje es
“una forma de vida”. El hablar es una gran parte de nuestro desarrollo vital
en la historia, así como el pensar, divertirse, estudiar, trabajar...;por ese
motivo, tan propio de la vida del hombre, tan natural e inevitable, forma
parte de nuestro comportamiento cotidiano, y por eso mismo, el lenguaje
Deaño, Alfredo. Introducción a la Lógica Formal, Cap. I. 1“. Edición, Editorial Alianza, Madnd 1978. Pág.
28.
Nota. Cuando se usa la frase suburbios de nuestro lenguaje, se hace pensada dentro del contexto de la
comparación del lenguaje con la estmctura de una ciudad antigua rodeada de casas modernas bien trazadas.
Cuando ésta frase se compara con el lenguaje de la química y el calculo infinitesimal, debemos pensarla como
l a precisa y exacta estructuración del lenguaje, es decir, la química y el calculo infinitesimal poseen un
lenguaje artificial preciso y sofisticado.
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es un lenguaje formal y un leguaje natural; la primera opción, considero,
resultaría poco comprensible y carente del enfoque que me conviene, por
tal motivo he optado por la segunda, ya que en ella se encontrará una
exposición clara de lo que significa, las pretensiones y funcionamiento de
cada uno de los lenguajes; lo cual no significa que desvíe el transcurso
central de esta tesina.
Basados en la interpretación que Alfredo Deaño nos presenta en
su obra Introducción a la lógica Formal acerca de la visión Wittgenstein
tenía de nuestro lenguaje’, se puede brevemente recordar y comentar, ya
que nos sirve de mucho para aclarar el terreno en el cual se estará
trabajando. Wittgentein compara el lenguaje a una ciudad antigua, la cual
tiene un laberinto de calles pequeñas y plazas, con casa nuevas y viejas, y
con casas añadidas que muestran épocas distintas; y todo eso rodeado de
barrios nuevos con calles rectas y bien trazadas donde se pueden observar
casas uniformes, mas aun, é l mismo afirma que la química y la notación
del cálculo infinitesimal son suburbios de nuestro lenguaje’.
La distinción es muy clara entre lo que son los lenguajes naturales y
lenguajes artificiales, pero a medida que vaya avanzando la exposición se
podrá ver cómo se caracteriza cada uno de ellos. Los lenguajes naturales
principalmente son heredados y son las lenguas creadas y recreadas
constantemente por el género humano durante el transcurso del tiempo y
transmitidas a cada individuo dentro de un roll social durante algunos años,
dicho de otro modo, son aquello que hablamos todos los días, esos
complejos instrumentos de comunicación que sólo las gramáticas
generativas parecen hoy capaces de describir de modo relativamente
adecuado, son aquellos que se componen de un léxico finito y de un
conjunto de reglas que permiten combinar hasta el infinito los elementos de
se léxico. Wittgenstein es muy contundente al afirmar que el lenguaje es
“una forma de vida”. El hablar es una gran parte de nuestro desarrollo vital
en la historia, así como el pensar, divertirse, estudiar, trabajar...; por ese
motivo, tan propio de la vida del hombre, tan natural e inevitable, forma
parte de nuestro comportamiento cotidiano, y por eso mismo, el lenguaje
* Deaño, Alfredo. Introducción a la Lógica Formal, Cap. I. 1”. Edición, Editorial Alianza, Madrid 1978. Pág.
28.
Nota. Cuando se usa la frase suburbios de nuestro lenguaje, se hace pensada dentro del contexto de la
comparación del lenguaje con la estructura de una ciudad antigua rodeada de casas modernas bien trazadas.
Cuando ésta frase se compara con el lenguaje de la química y el cálculo infinitesimal, debemos pensarla como
la precisa y exacta estructuración del lenguaje, es decir, la química y el cálculo infínitesimal poseen un
lenguaje artificial preciso y sofisticado.
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que usamos es demasiado complejo y huidizo, difícil de comprender, de
aislar y de delinearlo de tal manera que favorezca al lenguaje científico. Lo
que hemos mencionado es demasiado rico y abundante de por sí, aunado
que me atrevería a verlo como parte de la conducta del hombre, y si
revisamos ésta, la encontramos tan compleja y difícil de comprender, tanto
como lo es el mismo hombre, y si el lenguaje es la manifestación del
pensamiento del mismo hombre donde se expresa lo que acontece
verdaderamente en el interior de él, entonces es casi incomprensible y
ambiguo el lenguaje ya que en él se materializan las forma conductuales de
ser de cada individuo. A mi parecer, es difícil de comprender el lenguaje
natural; pero hay algo más esto lenguajes también en algún momento han
sido construidos, aunque a un ritmo lento, mediado por la relación del
hombre con su medio: su riqueza, su ambiguedad, su infinitud de
matices, no son, sino el reflejo de la riqueza de esa relación"".
66
Otros características de los lenguajes naturales son señaladas por
Manuel Sacristán Luzón", quien afirma que los lenguajes naturales son
imperfectos. Él les llama también lenguajes étnicos o históricos o lenguaje
común; la imperfección que él señala respecto de los lenguajes naturales,
apunta a la precisión y la regularidad sin excepciones. Las imprecisiones
del lenguaje natural se ponen de manifiesto en la sinonimia y la
homonimia, donde en la primera sucede que hay varios hombres que
nombran a un mismo objeto, por ejemplo: cuando decimos cielo y manto
celeste, son dos nombre gramaticalmente diferentes pero que se refieren al
mismo objeto. De dos nombres gramaticalmente diferentes pero que se
refieren al mismo objeto. De modo inverso sucede en la segunda que, un
mismo nombre puede aplicarse por analogía a varios objetos, por ejemplo:
la palabra Banco, designando así a diferentes objetos: a) al objeto que es
parte del mobiliario de un hogar que sirve para sentarse, b) a un grupo de
peces en el mar y c) a la institución financiera en donde se realizan
operaciones de dinero. Como podemos ver la homonimia es la que tiene un
alto grado de imprecisión dentro del lenguaje natural. Otro bemol de los
lenguajes naturales, es que generalmente están poco determinados en
cuanto a su extensión. Finalmente, Sacristán afirma que los lenguajes
étnicos carecen de reglas precisas de formación de combinación entre los
enunciados, es decir, no tiene una sintaxis exacta, lo cual apela al sentido
In
Deano, Alfredo. Introducción a la Lógica Formal, 14 Edición, edit. Alianza, Madnd, 1978, pag. 29.
'I Personaje de la lógica en España contemporáneo que se preocupó por cultivar entro los estudiantes de
diferentes disciplinas la cultura elemental de la lógica.
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común de cada individuo para que servido de éste, pueda darle al último
toque sintáctico a nivel mental y personal; así cuando por ejemplo en las
gramáticas tradicionales encontramos que la definición de una oración
(enunciado) es la expresión de un pensamiento completo, encontramos una
apelación al sentido común del lector, pero éstas gramáticas de los
lenguajes étnicos no dan por sí mismas, sin apelación al sentido común, los
criterios técnicos suficientes de lo que es una oración bien hecha, y he ahí
lo laxas que resultan ese tipo de gramáticas y peor aún, cuando las tenemos
como únicas guías eficaces de la expresión de nuestros pensamientos.
Los efectos nocivos que se han gestado gracias a esas
imprecisiones y ambigüedades son las famosas paradojas o aporías
(caminos sin salida), y que desafortunadamente se han infiltrado en el
discurso científico y filosófico, lo cual representa un reto más para la
lógica.
Pareciera que son muy drásticos los autores que he citado - al
menos esa imagen pueden presentar bajo cierta interpretación-, pero no
creo que sea así, mas bien, se pretende deshojar la complejidad del
lenguaje natural y vislumbrar lo riesgoso que resulta querer servirse de él,
para empresas mucho más comprometidas con la precisión y la exactitud
como es la lógica y otras ciencias; es por eso que no se pretende en ningún
momento hacer quedar mal al lenguaje natural, es mas, gracias a él
funciona la mayoría de las esferas sociales.
Javier Sánchez pozos tiene su particular apreciación sobre los
lenguajes naturales: “El lenguaje natural es aquel que utilizamos
cotidianamente, que nos sirve para expresar nuestros pensamientos, cuyo
uso generalizado hace posible la comunicación entre los miembros de
cierto grupo social. Este lenguaje surge históricamente, se desarrolla de
manera natural con la sociedad misma y es aprendido sin que exista
necesariamente en el hombre un actoreflexivo”’2. Resulta convincente
detenerse un poco en esta caracterización y rescatar los puntos claves de
ésta
definición, por que posteriormente servirán para hacer la
caracterización de los lenguajes formales. En otro punto, el uso cotidiano
del lenguaje natural expresa que es parte integrante de la vida misma de
cada individua, y que nos proyecta hacia la socialización por que de esa
manera expresamos nuestros pensamientos, basados en la generalización
12
Sánchez Pozos, Javier. CONTACTOS 1O, 50-61 (19993), Art. Forma Lógica Aspectos Metodológicos.,
pág. 50.
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de este, lo cual nos permite comunicarnos con los demás partícipes de
cierto roll social; su surgimiento se ha históricamente y por sí solo y no
requiere de un quehacer reflexivo lo cual nos hace creer que no es
intencionado y consciente (en el sentido de que, el quehacer reflexivo sí es
consciente e intencionado). Estas categorías vienen a redondear la temática
que se venía explicando y a aclarar la visión que debe tener cada uno, de lo
que es un lenguaje natural.
Hasta esta parte de la exposición, considero que se ha revisado de
manera general, tres puntos de vista a cerca de cómo opera el lenguaje
natural y qué problemas implica; por un lado el asunto de la relación del
hombre con su medio, la cual hace que se origine este lenguaje dentro de
un contexto cultural, y por otro lado descubrimos, cómo es muy frágil la
gramática del lenguaje étnico que apela al sentido común de cada
individuo, para otorgarle un sentido y así hacerlo que funcione y
finalmente la “sana”’3 visión de Sánchez Pozos, donde nos aclara el
panorama general de este lenguaje. Pues bien, mi interés no es ahondar y
agotar este tema, es suficiente lo que se ha expuesto para poder dar pie al
tema de los lenguajes construidos, formales o artificiales, que son los que
de manera específica importan a la lógica formal, ya que
metodológicamente hablando tienen gran importancia en el análisis del
discurso científico y filosófico, lo cual sí es el tema central.
7 . - LENGUAJES FORMALES.
Propiamente dicho, con este tema comenzamos moderadamente a
pisar en firme respecto al tema de mi interés, ya que como se ha podido ver
en los párrafos anteriores, se ha dicho brevemente lo que son los lenguajes
formales, pero no es, sino hasta ahora cuando he de hablar con propiedad a
cerca de ellos y rescatar de este análisis, todo aquello que permita
vislumbrar un aporte metodológico de la lógica.
Es preciso recordar que un aspecto fundamental del lenguaje
natural, era que surgía gracias a la relación del individuo con su medio,
pues bien, ahora se subraya que, “un producto de esa relación - un
resultado de la necesidad de controlar científicamente el medio - son
también los lenguajes artificiales, ... son por lo general lenguajes de
13
La palabra m a no se usa aquí con morbo, sino que, está indicando que no apunta a subrayar las fallas del
lenguaje natural tanto como lo hacen otro autores.
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precisión, medios artificiosos de expresión construidos por los científicos a
fin de poder formular con mayor equidad las relaciones entre los objetos
estudiados por sus ciencias respectiva^"'^. A este nivel de la explicación de
lo que es un lenguaje formal, se le puede ver como el trabajo de la
recreación del lenguaje formal, y al explotar esta propiedad que la relación
(individuo - medio) posee, se pone en evidencia la potencia que tiene el
lenguaje formal para encausar, dirigir y prolongarse sobre los objetos de
estudio. Si bien este proceso ha significado un modo de surgir la necesidad
del lenguaje artificial, no es el único, por lo que mencionaré otros puntos
que originaron el lenguaje formal de la lógica. La lógica. Gracias a estos
lenguajes que son de mucha ayuda, la lógica formal plantea y resuelve sus
problemas exitosamente - en la gran mayoría de los casos, lo cual
representa un aporte metodológico del lenguaje formal; de manera similar
a la lógica - y no es porque la lógica lo halla hecho antes que otras
ciencias, solo se marca así porque se trata de una comparación - lo hacen
también - con ayuda de sus símbolos propios - otras disciplinas, por
ejemplo: la matemática y la química. A continuación cito dos ejemplos en
los cuales se muestra el paso que se da del lenguaje natural al lenguaje
formal, como necesario para poder analizar de mejor manera los problemas
de cada ciencia en particular;
Ejemplo 1.
“En el lenguaje natural uno se puede plantear el siguiente problema:
Pedro gastó la tercera parte del dinero que tenía en libros, la mitad de lo
que le quedó en discos y aún restan cien pesos. ¿Cuánto dinero tenía
Pedro?. Para resolver este problema lo común es plantearlo (reformularlo,
traducirlo) en el lenguaje simbólico del álgebra:
~/’3
+ ( ~ - ~ / 3 ) /+2I2U0=X
¿Cuál es el valor de X? ’J’
Ejemplo 2.
“Para resolver el problema: ¿cuántos gramos de dicromato de potasio
debemos poner para reaccionar con suficiente cantidad de ácido
Deaño, Alfredo. Introducción a la Lógica Formal, 44 Edición, Alianza Editorial, Madrid, 1983. Pag. 29.
Nota. Ejemplo sacado de la revista CONTACTOS, del Articulo de forma Lógica Aspecto metodológicos,
del Dr. Sánchez Pozos. CONTACTOS, 10,50 -61 (1993), Pag. SO.
l4
15
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clorhídrico para obtener 10 gr. De cloro?; se hace uso de la siguiente
ecuación del lenguaje (simbólico) de la química:
K2 Cr2 0
7
+ 14 HCl 3 2kCl + 2CrC13 + 7H20 + 3C12.7716
Como podemos darnos cuenta la última parte de los problemas hace
referencia a los lenguajes simbólicos de cada ciencia y por medio de 110s es
permisible dar solución a los problemas de manera precisa y adecuada; con
lo cual hemos visto claramente la importancia de los lenguajes simbólicos
que tienen dentro de cada ciencia.
Cada caso del universo del discurso, siendo así se evita en gran parte la
homonimia y la sinonimia, lo cual visto desde el punto de vista
metodológico es muy gratificante; pero no se evitan ni la ambigüedad de
la noción que se tenga del enunciado ni las paradojas. Para poder evitar las
paradojas, es necesario algo más que un simple conjunto de símbolos
unívocos, hace falta también una gramática, porque si ya con los símbolos
iniciamos nuestro camino sobre el terreno de lo artificial que haga
funcionar al simbolismo artificial. Esto resulta así, porque las pretensiones
de la lógica es formar un lenguaje artificial bien formado, desde el punto de
vista lógico, de tal suerte que no permita vaguedades en las formas ni
contradicciones en el discurso, al igual que en el uso y combinación de
formas, es decir, debe procurar la consistencia del discurso científico y
filosófico.
Después de lo que se ha dicho respecto a los lenguajes formales,
presentaré los elementos básicos que componen al lenguaje formal de la
lógica de enunciados según lo ha planteado Sánchez Pozos en su artículo
Forma Lógica Aspectos Metodológicos, lo cual no quiere decir que es la
única, ni que en la mejor, pero simplemente lo hago así por conveniencia
propia y porque considera que es de fácil manejo y muy práctica, ya que
existen otros autores que han realizado esta misma labor y que utilizan
simbolizaciones un poco raras.
El autor al que me refiero hace la advertencia de que no siempre
es indispensable hacer evidente la estructura interna de los enunciados
l6
Idem.
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atómico^'^, es decir, su forma lógica. La lógica proposicional y, de manera
muy particular, su lenguaje formal hace abstracción de dicha estructura
interna de los enunciados atómicos, por lo que los considera como un todo,
una unidad, y bajo estas condiciones los simboliza y los maneja. Para
lograr tal acometido utiliza solo la siguiente simbolización:
i)
Letras enunciativas:
18
P, QY R, S, T, * * *
ii)
Conectivas Lógicas
&
v
-+
t)
Negación.
Conjunción.
Disyunción.
Implicación o condicional.
Bicondicional o equivalencia.
Es así d o m o nuestro autor deja plasmados los elementos del lenguaje
de la lógica de enunciados, en el artículo que ya mencioné, pero tengo el
dato del curso de Lógica I impartido por él mismo, en el cual anexa un
inciso más y que aquí lo mencionaré para complementar este cuadro, a
saber:
iii)
Símbolos auxiliares (o técnicos):
( Paréntesis izquierdo.
) Paréntesis derecho.
[ Corchete izquierdo.
] Corchete derecho.
17
Nota, la formalización de la lógica de enunciados es la más elemental de toda la lógica, pero aunque
sucede así, se han dado diferentes manera de presentar dicha formalización. Aquí en este caso presentaré la
forma en que lo hace Javier Sánchez Pozos en sus cursos de Lógica y Metodología” de la A UMI.
IR
Nota. Aunque dentro de este trabajo no se expone l o correspondiente a la lógica de predicados, cabe
mencionar - por si alguna ocasión se da la oportunidad de estudiar el lenguaje formal de la lógica de
predicados - que las letras aquí mencionadas coinciden con las letras que simbolizan predicados, la diferencia
semántica se refleja sintácticamente en el caso de que las letras predicativas van siempre acompañadas de
variables y/o constantes individuales, mientras que éstas letras enunciativas nunca se presentan de igual
manera, están van siempre solas.
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{ Llave izquierda.
} Llave derecha.
Concluyo este capitulo diciendo que se debe ser muy prudente con el
asunto de la forma lógica para no propiciar un mero proceso mecánico,
sino que verdaderamente verlo como un proceso creativo, para el
esclarecimiento del sentido y profundidad conceptual, de igual manera
para una correcta estmcturación lógica del discurso científico y de
cualquier otro. Recuérdese, este es el enfoque metodológico que nos
interesa.
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CAPITULO DOS N E G A C I ~ NDE ENUNCIADOS.
1.- DEFINICIÓN E INFORMACIÓN DE UNA NEGACIÓN.
No siempre ha resultado una labor fácil, dar o elaborar una
definición de lo que es la negación, sin embargo en repetidas ocasiones se
recurre a describirla como la no concordancia entre aquello de que se habla
y lo que se dice o predica de aquello que se esté hablando, es decir no
afirmar la concordancia entre el sujeto y el predicado; sin embargo esto no
agota lo que realmente es la negación, ya que esto que mencionaré
funciona solo para algunos casos concretos - en particular para los
enunciados atómicos; pero en el caso de los enunciados moleculares, la
negación no permite la relación directa de los conectivos lógicos, de tal
suerte que la modifica totalmente. Lo que la lógica ha realizado respecto a
la negación es muy interesante ya que ha logrado caracterizar su conducta
cuando se le encuentra involucrada en un enunciado sea atómico o
molecular. Para tal efecto expreso esta caracterización, la cual servirá para
aclarar un poco más el terreno.
La negación
A
(,A) es v =
(,A) es f=
Donde l: no
f.
f.
cuando A es f
cuando A es v
A: simboliza a un x enunciado
Para dejar más claro lo que dije de la negación en los enunciados
atómicos pongo un ejemplo.
Hoy no es lunes
Forma lógica
P: Hoy es lunes
(1P)
:, no
Como se puede ver en el enunciado P no está negado, se ha sacado la
negación de toda la estructura del enunciado “Hoy no es lunes”, en este, la
negación está truncando la correspondencia entre el sujeto Hoy y su
predicado es lunes. Por lo que he dicho anteriormente la negación tiene un
carácter metodológico ya que toda negación proporciona determinada
Ejemplo
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información que puede ser manejable y transformada en información
afirmativa. Tenemos como ejemplo el mismo caso
Hoy no es lunes
forma lógica
PI
(1
para transformar esta información
negativa a una afirmativa se tendría que
negar la forma lógica de esta y
posteriormente
descubrir
su
equivalencia.
(7P) la cual equivale a P
no es cierto que hoy no es lunes
Hoy es lunes
Esta propiedad de la negación para pasar de una información
negativa una afirmativa constituye por sí sola una propiedad metodológica
de la negación; ya que este aspecto puede propiciar que, dentro de una
investigación el investigador tenga, toda parte, de la información en forma
negativa, lo cual constituye un velo que no permita dar un paso más
adelante en la investigación; en este sentido, repito, este aspecto
metodológico - la negación cuenta con equivalencias - que después
mostraré para poder transformar la información negativa en afirmativa, de
tal suerte que el investigador pueda seguir su paso dentro de una
investigación. Planteando así la negación es un camino que abre otros
caminos y de ahí que se afirme que la negación tiene un aspecto
metodológico.
2.- ENUNCIADOS
Es cuando una fórmula bien formada es tal, que tiene sentido predicar de
ella su verdad o falsedad. Esta idea viene desde los tiempos de Aristóteles y
que la lógica siempre la ha mantenido vigente. Por otra parte también se puede
decir que, es una expresión lingüística bien formada que tiene sentido, que es
afirmativa o negativo y que puede informar de su verdad o falsedad; a modo
más sencillo, también un enunciado es aquel que gramaticalmente esta
compuesto por un sujeto y un predicado, al sujeto le corresponde informarnos
acerca del agente al que se va a referir, de igual manera debe responder a la
pregunta ¿ de quién se está hablando?, Mientras que al predicado le
corresponde informarnos de aquello que se dice acerca del sujeto. A grandes
rasgos esto es lo que se debe entender por enunciado, lo cual será de gran
utilidad para nuestra temática.
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3.- ENUNCIADOS SIMPLES.
Se conoce que un enunciado simple o también llamado atómico, no
contiene como parte propia de sí a otro (s) enunciado (s), o también aquel
enunciado en el que nunca ocurre la presencia de al menos un conectivo
lógico, que implique al menos el uso de dos enunciados; aunque aclaro que
en la negación no forzosamente se requiere de dos enunciados. Un ejemplo
característico de éste puede ser:
“la lógica es un aparato metodológico útil”
en donde no ocurre la presencia de conectivos lógicos ni de otro enunciado,
a diferencia de los siguientes enunciados.
4.- ENUNCIADO COMPUESTO.
La definición de estos puede darse simplemente por negación de lo que son
los enunciados simples y así encontramos que son aquellos que contienen
otro enunciado como componente y la segunda característica es que ocurre
en ellos al menos una conectiva lógica; con esto queda aclarado el asunto
de la negación, es decir, la negación de un enunciado simple es un
enunciado compuesto. Por ejemplo:
“No es fácil razonar adecuadamente”
“La lógica y la psicología estudian el razonamiento”
“Carmen es estricta o educa mal a sus hijos”
“Si se implementa el uso de ciertos vegetales para combatir las plagas
entonces se reducirá el uso de insecticidas”
“Tomaré el siguiente vuelo si y solo si me autorizan el cargamento”
Es evidente que los ejemplos utilizados para hacer clara la concepción
de enunciados compuestos o moleculares, están indicando el uso de al
menos una conectiva lógica y que además se involucran a dos enunciados
simples (excepto en el caso de la negación de un enunciado simple).
5.- N E G A C I ~ NDE ENUNCIADOS SIMPLES.
Cuando se niega un enunciado sea simple o compuesto conlleva a la
afirmación de otro igual (generalmente). Al llegar un enunciado nuestra
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intención es decir que ese enunciado es falso; ya anteriormente se afirmó
que la negación de P es P, es decir, la negación de P es no P, o no es es
cierto que se da P. Un ejemplo de la negación de un enunciado simple es el
siguiente :
1
a) Las elecciones presidenciales no siempre terminan con armonía.
Pareciera que es un solo enunciado simple, pero realmente no lo es, por
contener un conectivo lógico, el cual lo hace un enunciado compuesto;
realmente es la negación del enunciado simple.
b) Las elecciones presidenciales siempre terminan con armonía
Simbólicamente tendríamos a “b” le corresponde ser la proposición p y a “a)”
le corresponde ser la proposición molecular p.
Como se puede ver todo enunciado simple al ser negado se convierte en
un enunciado molecular, porque ahora ya acontecen en él al menos un
conectivo lógico, el de la negación.
6.- NEGACIÓN DE ENUNCIADOS COMPUESTOS.
La negación de enunciados compuestos es un asunto un poco más
complicado en comparación con la negación de enunciados simples, por lo
que aquí se analizan con más detenimiento. Invariablemente aquí también
sucede que al negar un enunciado se hace la afirmación de otro enunciado;
por tal razón se sigue conservando el carácter metodológico de la negación.
Este tema pretende informarnos de la negación que se da al conectivo
lógico que se encuentre incluido en el enunciado negado por lo que se
modifica toda la relación y sentido lógico del enunciado. Espero que a
pesar de las aclaraciones que hago, no se le encamine a la negación por
cominos que no sean los estrictamente metodológicos. Para poder ver
cómo sucede todo esto, se analizan por medio de ejemplos los diferentes
casos de la negación.
La negación de enunciados compuestos es un asunto un poco mas
complicado, en comparación con la negación de enunciados simples, por
lo que aquí se analizan con mas detenimiento. Aquí también sucede que al
negar un enunciado se hace la afirmación de otro enunciado. Para poder
ver como sucede todo esto se analiza por medio de ejemplos los diferentes
casos de la negación.
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1) Negación de una negación.
Sea no A un enunciado molecular. Negarlo es aseverar que: no es
verdad que no A, lo cual es equivalente a afirmar A.
Por ejemplo
Nuestro país no es el único que ha sufrido una crisis bancaria.
Su negación sería
No es cierto que nuestro país no es el único que ha sufrido una crisis
bancaria.
Lo cual es equivalente a afirmar lo siguiente:
Nuestro país es el único que ha sufrido una crisis bancaria.
Simbólicamente se esquematiza así
1 P
Su negación es (lP)
Lo cual es equivalente a P
Basados en el ejemplo anterior se puede establecer la siguiente
equivalencia.
P )=P
1(7
2 ) Negación de una conjunción.
Sean A y B dos enunciados enlazados por el conectivo lógico “&”,
decir de ellos que no son verdad, o negar que se dan los dos al mismo
tiempo es tanto como afirmar que o no se da A o no se da B, con un “o”
excluyente, es decir, en la conjunción afirmamos que se dan los dos
conyuntos al mismo tiempo, cuando se niega la conjunción, estamos
afirmando que al menos uno de los conyuntos no se dá, aunque el “o” no
excluyente nos permite decir que, puede suceder que no se den los dos
conyuntos al mismo tiempo.
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Esto se puede resumir de la siguiente manera.
Aseverar
No es verdad que A y Be
Es equivalente a afirmar
O no A o no B
(“o” no excluyente)
Un ejemplo nos puede ilustrar un poco más.
“Países como Canadá y Estados Unidos tienen las ideas claras gracias
a la amplia experiencia en limpieza de suelos.
Su negación es la siguiente
“No es cierto que países como Canadá y Estados Unidos tienen las
ideas claras gracias a la amplia experiencia en limpieza de suelos”.
Su equivalente es
“O Canadá no tiene las ideas claras gracias a la amplia experiencia en
limpieza de suelos o Estados Unidos no tiene las ideas claras gracias a la
amplia experiencia en limpieza de suelos”.
Con lo anterior; la conjunción queda totalmente negada porque no se
permite que Canadá y Estados Unidos cumplan con lo predicado al mismo
tiempo, podrá darse el caso de que Canadá si cumpla con lo predicado de
ella, pero Estados Unidos no lo tiene permitido, o en el último de los casos,
que tanto a Canadá como a Estados Unidos no se permita corresponder a lo
predicado de cada país.
3 ) Negación de una disyunción.
Sean A y B dos enunciados que se encuentran enlazados por el
conectivo “O”, “v”, así A v B, al ser negado se asevera que no se da A y
tampoco que no se da A y tampoco B.
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Aseverar
No es verdad que A o B
Es equivalente a afirmar
NiAynoB
(ni A ni B)
en este caso no se puede elegir entre A o B, se nos trunca esa posibilidad
porque ni siquiera se da A y tampoco se da B.
Ejemplo
“Los misterios de la mente se pueden reducir a procesos de la
mecánica cuántica o son irreductible a cualquier explicación materialista”
su negación sería la siguiente
“No es verdad que los misterios de la mente se pueden reducir a
procesos de la mecánica cuántica o son irreductibles
a cualquier
explicación materialista”.
El cual es equivalente a
“Los misterios de la mente no se pueden reducir a procesos de la
mecánica cuántica y tampoco son irreductibles a cualquier explicación
materialista”.
Lo que se ha obtenido de la negación de la disyunción es algo nuevo,
por lo que metodológicamente es importante; aunque parece sin
complicaciones, pero si revisamos ‘con detenimiento el contenido del
enunciado resultante, es totalmente opuesto a el enunciado del que
partimos.
4) Negación de un condicional.
Sean A y B dos enunciados enlazados por el conectivo lógico del
condicional “+”, si A, entonces B; A +-B, donde su negación sería: “no es
verdad que si A, entonces B”, es tanto como decir que, del hecho de que se
de A, no se sigue que se de B o se da A y no B. Esquemáticamente sería.
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No es verdad que si A, entonces B
Es equivalente afirmar
AynoB
(Aunque A, no B)
Ejemplo
“Si el medio tiene glucosa, entonces los colibacilos normales puede
vivir prósperamente”.
Su negación sería
“No es verdad que si el medio contiene glucosa, entonces los
colibacilos normales pueden vivir prósperamente”
esto es equivalente a
“Aunque el medio contiene glucosa, los colibacilos normales no
pueden vivir prósperamente”
Explicación: Cuando se supone que el medio contiene glucosa, no
corresponde a que se siga que los colibacilos normales puedan vivir
prósperamente, es decir, nos encontramos con el hecho en donde no hay
correspondencia entre causa y efecto. No se trata de negar los contenidos de
los argumentos del condicional, se trata de negar la correspondencia causal
que se da entre el antecedente y el consecuente, lo que metodológicamente
hablando es importante ir de una información a otra con base en la negación.
“La conciencia no tiene relación con la mecánica cuántica, y la observación
consciente provoca un efecto sobre los fenómenos cuánticos”
Única y exclusivamente cualquiera de estos dos casos hace que no se
cumpla el bicondicional porque no permite la correspondencia total entre A
y B en cualquier dirección, sea de A hacia B o de B hacia A.
7.- EQUIVALENCIAS.
De los cinco puntos antes tratados sobre la negación se obtiene la
siguiente tabla de equivalencias:
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1.
2.
3.
4.
5.
i(iA)
=
i(A&B)
i(AviB)=
i(A+B)=
i(A*B)=
columna a)
A
(iAviB)
(iA&iB)
(A&iB)
(A & B) v
A &B
columna b)
7
(
i
La anterior lista de equivalencias no nos debe proporcionar ningún
problema, ya que como podemos ver, se cumple cabalmente lo que en un
principio mencionábamos acerca de que, cuando negamos un enunciado
realmente se esta aseverando otro. En la columna a) tenemos el hecho de la
negación y en la columna b) tenemos el hecho de la aseveración, es decir,
cualquiera que conozca estos elementos tendrá argumentos metodológicos
para poder pasar de un argumento negado a otro que se encuentra afirmado,
sin que se altere el contenido semántico de éste. La información que se esté
manejando de acuerdo al propio campo de acción que se trate si se
encuentra negada, se podrá manejar de mejor manera y a nuestra propia
conveniencia para su mejor análisis si se convierte a información afirmativa
por medio de las anteriores equivalencias. En esto estriba la importancia
metodológica de la negación.
Deben tomarse las respectivas precauciones al hacer uso de la
negación porque si no se sabe manejar, puede conllevarnos a una serie de
confusiones y contradicciones, lo cual es muy peligroso cuando se
contienen temas muy serios y delicados; pero no quiere decir que cuando no
se tratan temas delicados no se requiere de saber hacer uso de la negación,
sino que desde el momento mismo en que hacemos uso del lenguaje ya es
preciso y necesario tener las bases para poder manejar adecuadamente todo
lo relacionado con la negación, desde que se realiza una tarea escolar por
muy simple que esta parezca, hasta una delicada investigación científica.
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CAPITULO TRES. FORMA LÓGICA DE UN CONDICIONAL.
La forma lógica de un Condicional constituye un aspecto metodológico
de la lógica muy importante, como ya se ha anunciado en el primer capítulo,
por tal motivo se le ha consagrado este último capítulo.
Desde el punto de vista de la misma lógica, la forma lógica de un
Condicional expresa una relación de causa - efecto entre dos o más enunciados
simbolizados con letras enunciativas - las cuales hacen abstracción del
contenido concreto del enunciado -,con el propósito de estudiar y analizar la
conducta que adoptan estos elementos que integran un Condicional al ser
unidos por el conectivo de condición (+) o también llamado operador de
condición - término apropiado cuando se habla de cálculo de enunciados -.
Por otro lado, considero que es posible rescatar o descubrir un aspecto
metodológico en esta actividad de la lógica misma; ese es el interés de este
trabajo: el de no profundizar en aquello que le concierne propiamente a la
lógica, sino que más bien, descubrirle a la lógica aquello que como método
nos es útil y aplicable dentro de una investigación cualquiera, lo cual
constituye su carácter metodológico y general de la lógica.
Una vez que he dejado claro el interés que persigo, expondré brevemente
la relación entablada entre el discurso científico y el condicional.
I .- EL DISCURSO CIENT~FICOY EL CONDICIONAL.
Si el discurso científico no contendiera como parte de si una estructura
lógico - formal de causa - efecto, no tendría ningún sentido vincularlo con un
condicional, pero ya que no acontece así, se hace obligada la relación entre el
discurso científico y el condicional.
Ahora bien, esta relación puede ser
encausada hacia diferentes derroteros; el nuestro será aquel que permita
favorecer el análisis del discurso científico por medio del carácter
metodológico de la forma lógica de un condicional.
Por otro lado el discurso científico generalmente es la abstracción que
realizan los científicos de su entorno o área de investigación que les
corresponda , para poder establecer los criterios científicos que les permiten
Esto último lo podemos sintetizar
definir a un objeto o fenómeno.
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diciendo que el cúmulo de observaciones científicas terminan por aportar
Para nosotros lo que reviste
nuevos criterios o reglas de una ciencia.
importancia es vislumbrar la relación de causa - efecto, es decir, a una serie de
observaciones (causa) le corresponden unos criterios o reglas (efecto) en la
ciencia.
Esto anterior lo podemos ejemplificar de mejor manera viendo el
siguiente segmento de un discurso científico:
El mecanismo inmunológico antihelmínticos es el que
se desencadena en caso de una invasión por helmintos;
cuando uno de estos gusanos trata de invadir nuestro
organismo através de la piel o las membranas mucosas de los
ojos, la nariz o la garganta, en la luz de los bronquios, los
alveólos o íos intestinos, los mastocitos reaccionan fijando
19
anticuerpos IgE y liberando su arsenal químico.
A primera vista es un tanto difícil reconocer la forma lógica de este
discurso 100% científico, ya que hasta el momento no se han utilizado
ejemplos muy extensos; pero con todo y eso, ya tenemos los elementos
suficientes para poder hacerlo, a saber, el antecedente va desde “cuando uno
de estos gusanos ...” hasta “... o los intestinos” y el consecuente va desde “los
Con estas observaciones no se
mastocitos ...” hasta “ ... arsenal químico”.
persigue ahondar en el ejemplo, basta con darnos cuenta de que el discurso
científico en su mayoría opera por medio de condiciones de causa - efecto que
pueden ser interpretados como un Condicional por medio del lenguaje formal
de la lógica, de tal manera que pueda ser de fácil manejo la información
contenida en el discurso científico, de ahí que para la lógica recobre
importancia metodológica el análisis del Condicional - como un camino que
abre otros caminos - y todo lo que este implica, aunado a esto el Condicional
permite evidenciar la relación de causa efecto que guarda el antecedente con el
consecuente, por lo que el Condicional mismo constituye un aspecto
A continuación se
metodológico de la lógica formal contemporanea.
explican brevemente las diferentes formas de expresar un condicional.
2.- FORMAS DE EXPRESAR UN CONDICIONAL.
Tanto en el lenguaje natural como en el lenguaje formal se puede ver que
existen tres formas básicas de expresar un Condicional (A -+ B), ya que
comúnmente no escuchamos el “si ... , entonces ...”, mas bien nos topamos con
LAra Ruíz, Luis Humberto. Revista GALENUS año 9, núm. 42, art. Acerca del Polen y los Gusanos; Ed.
Galo Editores, SA de CV, distribuida por Merk - Mexico, SA. Pág. 14
19
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casos como “te pego, si le contestas” o “si te tardas demasiado, yo me VOY”,
los cuales no expresan claramente su forma de condicional, aunque realmente
nunca dejan de serlo. Es por eso que aquí se presentan estas tres formas de
expresar uno y el mismo condicional.
Esta parte de los condicionales
continúa siendo un aspecto metodológico de la lógica, ya que las expresiones
del lenguaje natural o científico que pueden ser interpretadas como un
condicional, no siempre se expresan de manera evidente (como el caso del
discurso científico en el que se habla de los mastocitos), por lo que se torna
necesario explicar las diferentes formas de expresar un condicional.
1.- si A, entonces B
2.- si A, B
3.- B, si A
[forma directa]
[forma elíptica]
[forma invertida]
Estas son las tres diferentes formas de expresar uno y el mismo
condicional, lo cual no, implica ninguna variante de contenido concreto ni del
contenido lógico - formal. Lo único que acontece es que en el Condicional
directo se pone muy claro la partículas del condicional “si ... , entonces ... , a
diferencia de la forma elíptica, en donde se hace una elipsis de la palabra
“entonces” para que así se omita y solo se coloque la coma; en la forma
invertida sucede que el consecuente se antepone al antecedente pero sin tomar
el papel de antecedente el cual sigue siendo A, es decir, solo se cambian de
lugar pero no de papel.
7)
Para este asunto se hace la advertencia de que en el lenguaje natural y
dentro de distintos discursos, se pueden encontrar otras formas, pero que solo
son variantes del “si ... , entonces ...”, para expresar el Condicional ( A -+B ).
Por ejemplo: “De A se infiere B”, “B es consecuencia de A”, “A solo cuando
B”, “de A se deduce B”, etc. Estas otras formas de expresar el Condicional
realmente no nos involucran en problemas ya que todo se reduce a cuestiones
de matiz o estilo; por lo que, entonces para nosotros solo cuentan los tres
puntos ya señalados.
Con los siguientes ejemplos se puede evidenciar de
mejor manera las forma de expresar un Condicional dado.
Ejemplo 1 Sea el condicional
“Si los estudiantes tienen la obligación de acudir a las plantas industriales,
entonces en ellas aprenderán su funcionamiento”
el cual está expresado en su forma directa,
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“Si los estudiantes tienen la obligación de acudir a las plantas industriales, en
ellas aprenderán su funcionamiento”
expresado en su forma elíptica, finalmente
“Los estudiantes aprenderán el funcionamiento de las plantas industriales, si
tienen la obligación de acudir a ellas”
expresado en su forma invertida.
Una vez que se ha indicado con el ejemplo las formas de expresar un
Condicional se puede ver que no conlleva a cambios de papel del antecedente
y el consecuente, por lo que la forma lógica es respetada lo mismo que el
contenido material. Metodológicamente hablando este asunto de las formas
de expresar un Condicional nos proporciona elementos suficientes para poder
manejar o interpretar un enunciado Condicional que, de suyo, y en su expresión
natural, no lo parece o que al menos resulta confuso, para que una vez
interpretado por el lenguaje formal de la lógica sea más fácil su análisis; en
esto consiste la utilidad práctica y metodológica de las formas de expresar un
condicional.
3.- CONDICIONALES ASOCIADOS A UN CONDICIONAL.
Lo relacionado al Condicional en su perspectiva metodológica no
terminan aquí. Otra característica de todo Condicional (A -+ B) es que a él
se encuentran asociados tres condicionales diferentes.
Estos tres
condicionales difieren en algún aspecto del Condicional principal, ya por el
orden del antecedente y consecuente o por la información que se tiene de cada
Los condicionales son los
uno de ellos respecto al valor de verdad.
siguientes.
Sea ( A -+ B ) nuestro Condicional principal
1”. ( B -+ A ) el cual es denominado su reciproco. En él, el consecuente del
Condicional principal pasa a tomar el papel de antecedente y el antecedente del
Condicional principal ahora es el consecuente.
En este Condicional el valor
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de verdad se ve afectado, es decir, el valor de verdad entre el Condicional
principal y el reciproco es diferente, excepto cuando A es igual a B en cuanto
al valor de verdad.
La información que un Condicional recíproco
proporciona es diferente a la que el Condicional principal puede dar, por lo que
se recomienda tener precaución en el manejo de los elementos que conforman
al condicional, ya que en repetidas ocasiones se cree que son equivalentes - en
cuanto a la información que otorgan cada uno de ellos- cuando no lo son
excepto cuando el antecedente y el consecuente adoptan el mismo valor de
verdad.
Ejemplo.
“Si nuestro objetivo va más allá de tener cobertura para recibir llamadas, las
opciones prepago son las más adecuadas”
su forma lógica es ( P + Q ) al cual le llamamos Condicional principal, donde
P: Nuestro objetivo va más allá de tener cobertura para recibir llamadas.
Q: Las opciones prepago son las más adecuadas.
Su reciproco es
( Q + P ), lo que es equivalente a
“Si las opciones prepago son las más adecuadas, nuestro objetivo va más allá
de tener cobertura para recibir llamadas”
Como podemos ver, el Condicional reciproco establece condiciones
diferentes al Condicional principal, donde el efecto del principal es causa en el
reciproco y la causa del principal es convertido en efecto del reciproco, lo cual
provoca que el Condicional reciproco adopte un valor de verdad diferente al
del Condicional principal, excepto cuando el antecedente y el consecuente
tienen el mismo valor de verdad, pero que en términos generales el principal y
el recíproco no son siempre equivalentes, por lo que se recomienda tener
precaución con este tipo de cambios.
2”. (
1
A
.+
7
B ) el cual es denominado su contrario; en él, tanto el
antecedente como el consecuente son negados, es decir, del hecho de que no se
de A se sigue entonces que no se da B.
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Ejemplo
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tenemos como Condicional principal a
“Si dejamos el coche en casa , entonces pueden mejorar las condiciones
ambientales”
donde
P: Dejamos el coche en casa.
Q: se pueden mejorar las condiciones ambientales.
Su forma lógica es ( P
equivalente a
-+
Q ) y su contrario es ( -P
+ iQ),
el cual es
“Si no dejamos el coche en casa, entonces no se pueden mejorar las
condiciones ambientales”
Analizando su valor de verdad tenemos lo siguiente.
a) si P y Q son V,
b) si P es V y Q es F
c) si P es F y Q es V
d) si P es F y Q es F
(P+Q)
( P -+ Q )
( P -+Q )
( P -+ Q )
es
es
es
es
V y
F y
V y
V y
(-P+-Q)
(iP-+iQ)
íiP + -Q)
(-P
-Q>
-+
es
es
es
es
V
V
F
V
Como se puede ver, cuando el antecedente y el consecuente adoptan el
mismo valor de verdad, el valor de verdad de el Condicional contrario es el
mismo que el del principal, pero cuando se tienen diferentes valores de verdad
el valor de verdad del Condicional principal respecto al contrario es diferente,
por lo que se debe tener cuidado con este Condicional asociado, ya que resulta
tentador creer que siempre se trata de la misma información del Condicional
principal y la des contrario, lo cual - repito - no siempre sucede así.
3”. (1B + -A) el cual es denominado su contrapuesto; en él, el consecuente
toma el lugar del antecedente además de que es negado y el antecedente es
negado tomando el lugar del consecuente, por tanto, del hecho de que no se dé
B se sigue que no se da A.
Ejemplo
tenemos como condicional principal a
“Si en la quimioterapia se presentan nauseas y vómitos, entonces al paciente se
le inyecta un antiemético”
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donde
P: En la quimioterapia se presentan nauseas y vómitos.
Q: Al paciente se le inyecta un antiemético.
-P: En la quimioterapia no se presentan nauseas y vómitos.
-Q: Al paciente no se le inyecta un antiemético.
Por lo que, construyendo el contrapuesto tenemos lo siguiente
“Si al paciente no se le inyecta un antiemético, entonces en la quimioterapia no
se presentan nauseas y vómitos”
Ahora, en este ejemplar podemos ver con claridad que el valor de verdad
del Condicional principal y el del contrapuesto es equivalente siempre, por lo
que se debe trabajar una equivalencia de este tipo con toda confianza, es decir,
si en alguna ocasión se tiene la expresión de un Condicional negado el
antecedente y el consecuente, éste podrá ser modificado por su contrapuesto
con toda confianza ya que siempre será equivalente la información de uno
con otro.
Aquí se pone en evidencia nuevamente el carácter metodológico
de los condicionales asociados a un condicional y con ello mismo del
condicional, ya que se nos permite acceder al mejor manejo de la información
de un Condicional para poder realizar mejor una investigación.
Una vez que ya se han expuesto los condicionales asociados a un
condicional, podemos llegar a descubrir ciertas conductas entre ellos; en
primer lugar encontramos que cuando el antecedente y el consecuente del
Condicional principal son diferentes (e.i. V y F), el valor de verdad de los
condicionales asociados (excepto en el contrapuesto) será diferente al del
Condicional principal, excepto cuando el valor de verdad del antecedente y el
consecuente del Condicional principal sea el mismo, entonces el valor de
verdad de los condicionales asociados es el mismo al del Condicional principal
siempre.
Por otro lado es importante el hecho de que el Condicional contrapuesto
siempre es equivalente a su Condicional principal, esto nos indica que siempre
toman el mismo valor de verdad.
De igual forma, a razón de lo que se ha
afirmado anteriormente, se puede decir que el reciproco y el contrario de un
Condicional principal también son siempre equivalentes entre ellos dos, sea
cual sea el valor de verdad que adopte el antecedente y el consecuente.
Esquemáticamente tenemos lo siguiente:
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Sea (P -+ Q) nuestro Condicional principal, donde P y Q son siempre
verdaderos por lo que el condicional es verdadero, entonces (-Q -+ -P ) es
también verdadero, lo cual los hace equivalentes, esto mismo pasa cuando P y
Q del condicional principal es F.
Sea (P -+ Q) nuestro condicional principal, donde P es verdadero y Q es
falso; aquí el Condicional principal es falso y en (-Q -+ 1P) el antecedente -Q
es verdadero y el consecuente -P es falso, por lo que el valor de verdad del
Condicional es falso. En este caso tanto (P -+ Q) como (-Q + 1P) son
El intercambio de valores de valores de
falsos, entonces son equivalentes.
verdad que observamos aquí, sucede de igual manera cuando P es falso y Q es
verdadero, y por tanto también son equivalentes.
Basados en una demostración semejante a la pasada se afirma que el
Condicional recíproco y el contrario son siempre equivalentes bajo cualquier
combinación de valores de verdad que adopten tanto el antecedente como el
consecuente, por lo que los dos informan exactamente lo mismo.
A
continuación se muestra un ejemplo para poder evidenciar el valor de
equivalencia que se da entre los condicionales asociados a un condicional.
Ejemplo
Sea
“Si en la quimioterapia se presentan nauseas y vómitos, entonces al paciente se
le inyecta un antiemético”
el Condicional principal
(P + Q)
su reciproco es
“Si al paciente se le inyecta un antiemético, entonces en la quimioterapia se
presentan nauseas y vómitos”
(Q PI
-+
su contrario es
“Si en la quimioterapia no se presentan nauseas y vómitos, entonces al
paciente no se le inyecta un antiemético”
(’P + -Q>
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Supongamos ahora que P es falso y Q es verdadero, tenemos lo siguiente
[condicional principal] (P + Q) es V,
[su reciproco] (Q -+ P)
[su contrario] (P'
-+ -Q) es F.
El contrario y el reciproco son
equivalentes.
La equivalencia entre el recíproco y el contrario es la misma al caso
anterior cuando P es verdadero y Q es falso; por lo que metodológicamente
hablando se puede, con toda seguridad, suponer que la información dada por
un Condicional recíproco es la misma que la del Condicional contrario, respecto
a un Condicional principal.
'i.
Hasta este momento me he esforzado por explicar la relación que existe
entre los condicionales asociados a un Condicional y su carácter metodológico,
por lo que no ha resultado ser una tarea fácil, por lo que recomiendo que se
den por sentados los supuestos lógico y sólo se le de un enfoque metodológico
respecto a las equivalencias entabladas por los condicionales asociados a un
condicional, ya que en definitiva es lo que más importa por ahora.
4.- CONDICIONES DE NECESIDAD Y SUFICIENCIA.
Dado que en el discurso científico se opera de modo muy particular a
base de enunciados condicionales y además por la importancia metodológica
que éstos revisten, se torna necesario descubrir lo que sucede al interior de un
condicional, es decir el tipo de condiciones que establece un condicional.
Para ser más concreto, las condiciones que plantea un Condicional son de
necesidad o suficiencia.
Este tipo de condiciones se manifiestan en
repetidas ocasiones dentro del discurso científico, de tal modo que se hace
necesario el estudio de estas condiciones.
5.- CONDICIONES DE SUFICIENCIA
La forma lógica de un enunciado que manifiesta una condición de
suficiencia es una implicación; en la cual sucede que el antecedente constituye
precisamente
aquella condición de la que se predica que es suficiente
(nosotros podemos establecer, lo mismo que la ciencia, que tal o cual
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fenómeno o situación es suficiente para que se de tal o cual hecho o
fenómeno), por lo que el consecuente constituye aquello para lo cual dicha
condición es suficiente, es decir, el hecho o fenómeno que está condicionado
por la suficiencia del antecedente.
En términos generales ya está
mencionado lo que es una condición de suficiencia, por lo que ahora se analiza
dentro de la forma lógica como se manifiesta tal hecho.
Esto ayudará a
clarificar las condiciones de suficiencia, porque se debe reconocer que no es
nada fácil, y metodológicamente hablando no se tiene un real control de las
condiciones de suficiencia y por ende se cometen repetidas veces errores generalmente de confusión entre una condición de necesidad y suficiencia que se pagan caro.
Dado el enunciado:
A es suficiente para B,
Su forma lógica es:
A + B
La condición A de suficiencia juega el papel de antecedente como se
muestra arriba. Esta es la manera más general de mostrar una condición de
suficiencia, pero no quiere decir que es la única, por lo que se muestran a
continuación otras formas de expresar el mismo enunciado de suficiencia:
Es suficiente (que) A para (que) B,
Y Para (que) B es suficiente (que) A.
Como ya se había advertido en los dos casos se expresa la misma
condición de suficiencia.
Un ejemplo puede ayudar a comprender un poco
más, así como hacer más evidente el carácter metodológico de una condición
de suficiencia.
Ejemplo 1
Es suficiente que pise territorio mexicano para que
el esclavo adquiera inmediatamente su libertad.
es lo mismo que:
Si un esclavo pisa territorio mexicano, entonces
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Isrrael Guerrero Reyes
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adquiere inmediatamente su libertad.
ya que la condición de suficiencia (aquello de lo que se predica que es
suficiente) es “que el esclavo pise territorio mexicano”, debe ser el antecedente
del condicional. Este paso es importante para el interés metodológico de una
condición de suficiencia; ya que se podría correr el riesgo de no poder
interpretar esta regla como una condición de suficiencia.
Ejemplo 2
Es suficiente que en la quimioterapia se presenten nauseas y vómitos
para que al paciente se le inyecte un antiemético.
es lo mismo que:
Si en la quimioterapia se presentan nauseas y vómitos, entonces
al paciente se le inyecta un antiemético.
Ya que la condición de suficiencia (aquello de lo que se predica que es
suficiente) es “en la quimioterapia se presentan nauseas y vómitos” debe ser el
antecedente del condicional.
Hasta aquí no hay ningún problema, pero cuando nos preguntamos
jcuándo tenemos una condición de suficiencia y cuándo no?, es cuando nos
quedamos perplejos ya que no resulta fácil, para dar respuesta a tal pregunta se
dirá que, todo criterio de suficiencia siempre nos permite determinar solamente
cuando sí tiene lugar el hecho para el cual se formuló la condición de
suficiencia (que es precisamente cuando se cumple la condición de
suficiencia), pero en ningún caso nos permite determinar cuándo no tiene lugar
el hecho (ya que si no se cumple la condición de suficiencia no implica
necesariamente que no se cumpla el hecho: pues puede ser que haya otras
condiciones suficientes para que cuando cualquiera de ellas se cumpla,
entonces también se cumpla el hecho al que se le condiciona precisamente por
las condiciones de suficiencia). Intentaré explicarlo de otro modo por medio
del ejemplo 2, en él se afirma que
Es suficiente que en la quimioterapia se presenten nauseas y vómitos
para que al paciente se le inyecte un antiemético.
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Ahora recurro a una tabla que haga más visible la relación de la condición de
suficiencia y el hecho condicionado.
EL HECHO CONDICIONADO
CONDICIONES DE SUFICIENCIA
1.- Que en la quimioterapia se presenten
nauseas y vómito.
2.- Que en la quimioterapia no se
1 AI paciente se le inyecte un antiemético.
I presenten
nauseas y vómitos.
3.- Que en la quimioterapia se presenten
1 eventualidades de conducta.
4.- Que en la quimioterapia se presente
abrumadoras jaquecas.
I
En la tabla anterior puse a propósito tres condiciones más en las que, si
se presentan cualquiera de ellas también se aplica un antiemético al paciente,
por lo que cuando se presenta la no. 1 sólo nos informa cuando sí se da el
hecho condicionado, pero no nos dice ninguna de las cuatro cuando no se da el
hecho condicionado, pero cuando no se da la no. 1 también se puede dar el
echo condicionado, porque existen otras condiciones suficientes en las que se
puede cumplir con el hecho condicionado, por lo que se afirma que se puede
dar el hecho condicionado por medio de otras vías.
Este es el carácter
metodológico que se pudiera recoger de las condiciones de suficiencia para no
confundirlas con las condiciones de necesidad; dicho de otro modo, toda
expresión de una condición puede ser de necesidad o suficiencia - si es de
suficiencia nos asegura que el hecho condicionado sí tiene lugar, es decir sí se
cumple - o incluso de otro tipo.
6.- CONDICIONES DE NECESIDAD.
La Forma lógica que muestra un enunciado que expresa una condición de
necesidad es un condicional - bajo esta interpretación ya hay un carácter
metodológico de las condiciones de necesidad -; en el cual sucede que el
consecuente es precisamente aquella condición de la que se predica que es
necesaria (nosotros y las ciencias podemos establecer que tal o cual fenómeno
o situación es necesaria para que se de tal o cual hecho o fenómeno), por lo
que el antecedente constituye aquello para lo cual se ha establecido una
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condición necesaria, es decir, el hecho o fenómeno que está condicionado por
la necesidad del consecuente.
En términos generales ya se ha dicho lo que
es una condición de necesidad, por lo que ahora paso a analizarlo dentro de la
forma lógica, esto ayudará a clarificar las condiciones de necesidad, ya que no
es una tarea fácil y metodológicamente no se tiene un real control de las
condiciones de necesidad, por lo que provoca que se cometan a menudo
errores.
Dado el enunciado:
A esnecesariopara B
su forma lógica es:
B-+A
La condición A de necesidad juega el papel de consecuente como se
muestra arriba.
Esta es la manera más general de mostrar un condición de
necesidad , pero no quiere decir que sea la única, por lo que se muestran a
continuación otras formas de expresar el mismo enunciado de necesidad:
Es necesario (que) Apara (que) B,
y Para (que) B es necesario (que) A.
Aunque parecieran diferentes las dos formulaciones, expresan la misma
condición de necesidad.
Una manera de entender intuitivamente que toda
condición de necesidad es el consecuente de un condicional puede ser la
siguiente:
Que A es necesario para que B
significa que:
Si no se da A, entonces no se da B;
i.e. Si A, entonces B
-
7
lo cual es equivalente, por su contrapuesto, a:
Si B, entonces A,
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en donde A
implicación.
poco más.
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que es la condición de necesidad, es el consecuente de la
Unos ejemplos puede servir de apoyo para comprender un
Ejemplo 1
Es necesario que Luis tenga 18 años cumplidos para
que pueda votar.
es lo mismo que:
Si Luis puede votar, entonces
tiene 18 años.
ya que la condición de necesidad (aquello de lo que se predica que es
necesario) es “que Luis tenga 18 años”, debe ser el consecuente del
condicional.
Ejemplo 2
Es necesario que en la quimioterapia se presenten nauseas y
vómitos
para que al paciente se le inyecte un antiemético.
es lo mismo que:
Si al paciente se le inyecta un antiemético, entonces
En la quimioterapia se presentan nauseas y vómito.
ya que la condición de necesidad (aquello de lo que se predica que es
necesario) es “en la quimioterapia se presentan nauseas y vómito”, debe ser el
consecuente del condicional.
Para dar respuesta a la pregunta de jcuándo
tenemos y cuándo no una condición de necesidad?, se recurre a afirmar que
todo criterio de necesidad siempre nos permite determinar solamente cuando
no tiene lugar el hecho para el cual se formuló la condición de necesidad (que
es precisamente cuando no se cumple la condición necesaria), pero nunca nos
permite determinar cuando sí tiene lugar el hecho (ya que el cumplimiento de
la condición de necesidad no implica que necesariamente tenga lugar el hecho:
puede ser que todavía haya más condiciones de necesidad que cumplir, y al no
cumplirse alguna de ellas sea imposible que tenga lugar el hecho). De nueva
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cuenta, al igual que en el caso de la condición de suficiencia, aquí intentaré por
medio de otro ejemplo aclarar más este asunto, basados en el ejemplo 2, en él
se afirma que:
Es necesario que en la quimioterapia se presenten nauseas y vómitos
para que al paciente se le inyecte un antiemético.
Ahora recurro a una tabla que haga más visible la relación de la
condición de necesidad y el hecho condicionado.
CONDICIONES DE NECESIDAD
1.- Que en la quimioterapia se presenten
nauseas y vómitos.
2.- Que en la quimioterapia se manifieste
un eventualidad de la conducta.
3.- Que en la quimioterapia se presenten
abrumadoras jaquecas.
4.- Que en la quimioterapia se evalúe el
estado anímico.
HECHO CONDICIONADO
Al paciente se le inyecte un antiemético.
La tabla que he realizado manifiesta la relación que existe entre la
condición de necesidad y el hecho condicionado; para el análisis del ejemplo
se puede afirmar lo siguiente: que cuando se cumple (1) se da el hecho
condicionado, pero realmente no nos proporciona los elementos necesarios
para afirmar que, de que se de (1) se siga necesariamente que se de el hecho
condicionado, es decir nunca nos informa de cuando realmente se da el hecho,
ya que como podemos ver en la tabla, existen las otras tres condiciones
necesarias para que se de el hecho; a diferencia de que cuando no se da (1) o
cualquiera de las cuatro condiciones necesarias, sí nos permite tener los
elementos necesarios para poder decir formalmente que el hecho condicionado
no se cumple.
Quizás a más de alguno se nos venga a la mente una curiosa inquietud,
¿cuándo se puede afirmar categóricamente que se da un hecho bajo
condiciones necesaria?, considero que sólo y exclusivamente cuando se
cumple con todas las condiciones de necesidad o se ha especificado que es
solo una la condición necesaria y que esta se cumple cabalmente; para
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nosotros en nuestro ejemplo, se debe cumplir con las condiciones 1,2,3 y 4,
para que ahora sí, categóricamente se pueda afirmar que se da necesariamente
el hecho condicionado.
Resumiendo un poco lo que se ha dicho a lo largo de este tema de
necesidad y suficiencia, y con el afán de concretizar el valor metodológico de
toda condición de necesidad y suficiencia se puede afirmar lo siguiente:
1.- Que el cumplimiento de toda condición de suficiencia conlleva
necesariamente al hecho (para el cual es suficiente), mas su incumplimiento no
lo imposibilita.
2 .- El incumplimiento de toda condición de necesidad conlleva necesariamente
a la ausencia del hecho (para el cual es necesaria), más su cumplimiento no
hace que tenga lugar el hecho.
Nota.
Uno
y el mismo condicional puede algunas veces ser
interpretado como una condición de suficiencia y como una condición de
necesidad, si así se requiere.
Aunque no todo condicional señala una
condición de necesidad o de suficiencia.
La implicación:
Si A, entonces B
(i.e. A implica B).
puede ser interpretada como condición de suficiencia:
A es suficiente para B
(en donde el antecedente a de la implicación dada A + B es la condición de
suficiencia)
y puede ser también interpretada como una condición de necesidad:
B es necesario para que A
(en donde el consecuente B de la implicación dada A + B es la condición
de necesidad)*@.
Ejemplo
Si la Filosofía sirve hoy para algo, entonces se le debe estudiar.
puede ser interpretado como la condición de suficiencia
Es suficiente que la Filosofía sirva hoy para algo,
para que se deba estudiar.
20
Sánchez Pozos, J. Javier. CONTACTOS 10,50-61 (1993); art. Forma LógicaAspecfosil.lefodoZógicospág.
59.,
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y también puede ser interpretado como la condición de necesidad
Es necesario que se deba estudiar la Filosofía, para que
sirva hoy para algo.
Con lo anterior he concluido la exposición de el tercer capitulo y con ello
se ha dejado claro que: La gran mayoría de las expresiones del discurso
científico pueden ser interpretados metodológicamente como un condicional
el cual puede señalar en algunos casos una condición de necesidad o de
suficiencia, las cuales nos informan de la conducta de los elementos que
conforman al mismo condicional.
Este tipo de información creo que es
necesaria y básica para quienes se encuentran involucrados en alguna
investigación o estudio analítico o académico.
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NOTA CONCLUSIVA
En términos generales ha quedado desarrollado el tema de mi tesina, por
lo que considero pertinente expresa en pocas palabras la idea global del
alcance que tienen todas las ideas aquí explicadas. Primeramente creo que esta
forma de ver a la lógica no es la única ni la mejor, cada quien es libre de
adoptar las mejores estrategias para cultivar una estructura lógico - forma del
pensamiento que le permita moverse de mejor manera en el campo propio al
que pertenece; dicho de otro modo, no solo realizando estudios de lógica se
adquiere es formación lógico - formal, ya que se puede adquirir por otros
medios, aunque cabe hacer mención que son pocas las personas que lo logran.
Por otro lado, considero que el poner en práctica estas cuestiones
constituyen un gran reto para quienes nos encontramos involucrados en este
enfoque metodológico de la lógica, ya que existen limitantes, por varias
razones, que impiden la realización plena de lo que se pretende con este
trabajo, por lo que propicia que se queden fiustradas los intentos de cultivar
esta cultura lógico - metodológica del pensamiento.
Finalmente, respecto a los mismo aspectos metodológicos, concluiré
que ellos mismos y por si solos constituyen el resto más atractivo de la lógica,
ya que por medio de ellos es factible llevar la lógica a todos los espacios que
ocupa el hombre. Ellos también son una de las herramientas - de que es capaz
la lógica - portentosas que nos permitirán construir para el hombre toda
aquella estructura ordenada, sistematizada y bien construida, en la que, bien
acomodados los conocimientos concretos de cada área, se garantizará un buen
nivel en el desarrollo de la vida investigacional, académica y cotidiana. Por lo
que he mencionado, .líneas otras, creo que es pertinente el cultivo de la
estructura lógico - formal del pensamiento por medio de los aspectos
metodológicos de la lógica matemática.
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