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AXIOMÁTICA Conceptos 6ºFM Matemática II primitivos: no se definen (punto, recta, plano, espacio) derivados: se definen utilizando conceptos primitivos o conceptos derivados previamente definidos. Enunciados axiomas: admitimos que son verdaderos. teoremas, propiedades, etc: se demuestra su verdad. 1) CONCEPTOS PRIMITIVOS: los conceptos primitivos de la geometría métrica son: ESPACIO, PUNTO, PLANO y RECTA. 2) AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ENLACE: Axioma 1: existe un conjunto infinito llamado espacio (E), cuyos elementos se llaman puntos. Axioma 2: en E existen subconjuntos estrictos, llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos. Axioma 3: en cada plano, existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos. Axioma 4: Determinación de una recta Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen. Axioma 5: Determinación de un plano Dados tres puntos distintos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen. Axioma 6: si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él. Rectas coplanares: son aquellas que están contenidas en un plano. Nota: existen en E rectas no coplanares. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio: r y s rectas en E r y s coplanares r y s paralelas r y s paralelas disjuntas r y s no coplanares r y s secantes r y s paralelas coincidentes r s rectas alabeadas r s O Tienen un punto en común r s No tienen ningún punto en común. 3) r=s Tienen todos los puntos en común. AXIOMA DE ORDEN EN LA RECTA: En toda recta está definida una relación de ORDEN TOTAL AMPLIO. Una recta no tiene primer ni último punto. Para todo par de puntos de una recta, existe otro punto de ella entre ambos. A B se lee “A precede o coincide con B”. Cuando se dice que la relación es de orden total amplio, es que se cumplen las siguientes propiedades: - tricotomía: para cualquier par de puntos A y B de la recta, se cumple una y solo una de las siguientes alternativas: A B; A B o B A - transitiva: si A B, B C A C Recta orientada: es toda recta provista de un orden. Indicamos que está orientada nombrando dos de sus puntos en el orden considerado. X Y Y r X Semirrecta: dados dos puntos A y B que determinan una recta orientada r ( A B ), llamamos semirrecta de origen A incluida en la recta r, al subconjunto formado por A y todos los puntos que le siguen (o preceden). AB X / X r , X A Segmento: dados dos puntos A y B que determinan una recta orientada r ( A AB al conjunto formado por todos los puntos de r que ................. ....................................................................................... AB X / X ............................ B ), llamamos segmento Figura: se denomina figura a cualquier conjunto de puntos. Figura convexa: una figura es convexa si para todo par de puntos de ella, el segmento determinado está incluido en dicha figura. convexa no convexa Investigar si las siguientes figuras son convexas o no convexas: Circunferencia Círculo Ejercicio: construir 1) dos figuras convexas cuya intersección sea convexa. 2) una figura convexa y otra no convexa cuya intersección sea convexa. 3) una figura convexa y otra no convexa cuya intersección sea no convexa. 4) dos figuras no convexas cuya intersección sea no convexa. 5) dos figuras no convexas cuya intersección sea convexa. 6) dos figuras convexas cuya intersección sea no convexa. 4) AXIOMA PARTICIÓN DEL PLANO Para toda recta r, incluida en el plano , existen dos únicos conjuntos y ' que cumplen: a) r , , ' es una partición del plano . b) y ' son convexos. c) para todo punto de , y para todo punto de ’, existe en el segmento que determinan, un único punto que también pertenece a la recta r. 5) AXIOMA PARTICIÓN DEL ESPACIO Para todo plano , existen en el espacio E, dos únicos conjuntos y ' que cumplen: a) , , ' es una partición del espacio E. b) y ' son convexos. c) para todo punto de y para todo punto de ’, existe en el segmento que determinan un único punto que también pertenece al plano . Semiplano abierto de borde r: cada uno de los subconjuntos y ' , mencionados en el axioma anterior, se llaman semiplanos abiertos de borde r. Semiespacio abierto de borde : ..................... .............................................................................. ............................................................................... ............................................................................. Semiplano de borde r (semiplano cerrado): los conjuntos r y ' r se llaman semiplanos de borde r. Semiespacio de borde (semiespacio cerrado): ............................................................ ............................................................................. Ángulo de lados OA, OB y vértice O: si OA y OB son dos semirrectas de origen O, se llama ángulo de lados OA y OB y vértice O al conjunto OA OB. Ángulo diedro de caras a y a , y arista a : si a y a son dos semiplanos de borde a , se llama ángulo diedro de caras a y a , y arista a , al conjunto .......................... ˆ : si A, O y B son Ángulo convexo AOB tres puntos no alineados, se llama ángulo ˆ , a la intersección de los convexo AOB semiplanos OA,B y OB,A. Ángulo diedro convexo â : si a y a son dos semiplanos no opuestos ni coincidentes, se llama ángulo diedro convexo â , a la intersección de los semiespacios a que contiene a a , y a que contiene a a . Los semiplanos a y a se llaman cara y la recta a , arista. Las semirrectas OA y OB se llaman lados y el punto O, vértice. Triángulo: si A, B y C son tres puntos no alineados, se llama triángulo ABC a la ............................ de los semiplanos ............................................................. A, B y C son los ............................ del triángulo. Los segmentos AB, BC y AC son los ............................... Polígono convexo: dados n puntos A1, A2, A3, ......, An ordenados del plano, tales que tres consecutivos no estén alineados, y las rectas determinadas por dos consecutivos dejen a los restantes en un mismo semiplano, se llama polígono convexo A1A2A3......An a la intersección de estos semiplanos. A1, A2, A3, ......, An son los vértices del polígono. Los segmentos determinados por vértices consecutivos se llaman lados. Ángulos triedros: si Oa, Ob y Oc son tres semirrectas no coplanares, se llama triedro abc a la intersección de los semiespacios....... ........................................................................ O se llama ...........................del triedro. Las semirrectas Oa, Ob y Oc son las .................... y los ángulos aOb, bOc y cOa son las ........... Poliedro convexo:
