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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
GUÍA DE ECONOMIA Y DE MATEMATICAS PARA LA PRESENTACIÓN DEL EXAMEN DE
ADMISIÓN A LA MAESTRIA EN ADMINISTRACIÓN Y POLITICAS PÚBLICAS
DEFINIR LOS SIGUIENTES CONCEPTOS:
•
Que se entiende por Economía:
Economía (de οἶκος, oikos "casa" en el sentido de patrimonio, y νέμω, nemo "administrar")
es la ciencia social que estudia el comportamiento económico de agentes individuales
producción, intercambio, distribución y consumo de bienes y servicios, entendidos estos
como medios de necesidad humana y resultado individual o colectivo de la sociedad
•
Que se entiende por Economía positiva:
La economía positiva es la rama de la economía que se refiere a la descripción y
explicación de los fenómenos económicos, tal y como se presentan en la realidad, en las
relaciones económicas de una sociedad. Se centra en los hechos y las relaciones de causaefecto del comportamiento e incluye el desarrollo y prueba de teorías de la economía. Un
término anterior en inglés fue value-free economomics (economía carente de valores) y
wertfrei en alemán.
•
Que se entiende por Economía Normativa:
La economía normativa es la parte de la economía que expresa juicios de valor (juicios
normativos) sobre justicia o equidad económicas, el cómo debería ser la economía o
cuáles deberían ser1 los objetivos de la política pública, para lograr que las relaciones
económicas se den en una forma ideal.
•
La economía y su relación con la administración
Esta ciencia le ayuda a la economía a desarrollarse de una manera más eficiente, puesto que
puede incorporar en sus actividades el proceso administrativo, y esto le ayuda en especial a
la asignación óptima de los recursos escasos que pueden existir en una determinada
economía
•
La economía para su análisis se clasifica en:
∼ Microeconomía:
La microeconomía es una parte de la economía que estudia el comportamiento
económico de agentes individuales, como son los consumidores, las empresas, los
trabajadores e inversores; así como de los mercados. Considera las decisiones que
toma cada uno para cumplir ciertos objetivos propios. Los elementos básicos en los
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que se centra el análisis microeconómico son los bienes, los precios, los mercados y
los agentes económicos. La gran mayoría de los modelos que se exponen tienen
como base la existencia de un marco económico y social de economía
descentralizada, en el que existe propiedad privada.
∼ Macroeconomía:
La macroeconomía es la parte de la economía encargada del estudio global de la
economía en términos del monto total de bienes y servicios producidos, el total de los
ingresos, el nivel de empleo, de recursos productivos, y el comportamiento general de
los precios. La macroeconomía puede ser utilizada para analizar cuál es la mejor
manera de influir en objetivos políticos como por ejemplo hacer crecer la economía,
conseguir la estabilidad de precios, fomentar el empleo y la obtención de una
sustentable y equilibrada balanza de pagos. La macroeconomía por ejemplo, se enfoca
en los fenómenos que afectan las variables indicadoras del nivel de vida de una
sociedad. Además hace más objetiva al analizador la situación económica de un país
propio en el que vive
•
•
•
•
Que estudia la Microeconomía:
Teoría del consumidor:
La teoría del consumidor es la modelización económica del comportamiento de un
agente económico en su carácter de consumidor de bienes y de servicios. Esta teoría
relaciona las preferencias, las curvas de indiferencia y las restricciones
presupuestarias a las curvas de demanda del consumidor
Teoría de la empresa:
La teoría de la empresa es la modelización económica del comportamiento de un
agente económico en su carácter de empresario de bienes y de servicios. Esta teoría
relaciona la oferta de productos, las curvas de indiferencia y las restricciones
presupuestarias a las curvas de oferta del productor.
Teoría de la producción:
La teoría de la producción analiza la forma en que el productor dado "el estado del
arte o la tecnología, combina varios insumos para producir una cantidad estipulada
en una forma económicamente eficiente".
Toda sociedad tiene que organizar de algún modo el proceso productivo para
resolver adecuadamente los problemas económicos fundamentales. Pero
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independientemente de la organización que se adopte, hay ciertos principios
económicos universales que rigen el proceso productivo. La producción de bienes y
servicios puede estar en manos del Estado, como en el sistema comunista; o en
manos de la empresa privada, como en el sistema capitalista. Pero en ambos casos la
actividad productiva está condicionada por ciertas leyes o principios generales que
tiene que tomar en consideración el empresario si desea lograr el uso más eficaz de
los recursos económicos a su disposición; es decir, lograr la máxima producción con
el máximo de economía, bajo cualquier tipo de organización socio-económica.
•
Teoría de la distribución:
La teoría de la distribución analiza los tipos de ingreso: Los salarios los beneficios y
las rentas.
1.-Los salarios.
Determinación de los salarios. Se determinan por convención entre las partes contratantes,
cuyos intereses son opuestos.
Los patronos siempre llevan ventaja porque: 1 Pueden ponerse de acuerdo con mayor
facilidad, por ser menos. 2 Las leyes autorizan sus asociaciones, mientras que prohíben las
de los trabajadores. 3 En la disputa con los obreros, pueden resistir más tiempo, mientras
que los obreros tienen que ceder para trabajar y no morirse de hambre. 4 Porque entre ellos
existe un acuerdo tácito para no elevar los salarios. 5 Porque a veces se ponen de acuerdo
secretamente para descender los salarios por debajo de la tasa natural. 6 Las autoridades
sancionan a los obreros coaligados más nunca a los patronos. 7 Los obreros son más
desorganizados. 8 El hambre obliga a someterse a los obreros.
Nivel mínimo de los salarios. El nivel de subsistencia.
El salario no debe establecerse por debajo del nivel de subsistencia. “Para sustentar una
familia de trabajadores de la clase más baja, el trabajo del marido y de la mujer debe
sobrepasar en algo a lo que es estrictamente necesario para su propio sustento”.
2.- La Renta de la Tierra.
La renta de la tierra, según Smith, siempre debe existir, aunque no se haya hecho ningún
trabajo, esto es producto del monopolio del terrateniente. En realidad el aumento surge
cuando el aumento de producción necesario para satisfacer la demanda creciente no puede
hacerse sino a costos más altos.
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3.- Los beneficios del Capital.
Engloba en una categoría aquellos ingresos que hacen trabajar al capital y los provenientes
del capital a rédito. Define interés como remuneración del capital. Habla del ahorro como
elemento fundamental de la riqueza, tanto individual como comunitario; sostiene que sin él
no hay acumulación de capitales, luego entonces no habrá productividad ni enriquecimiento
nacional.
•
•
Que estudia la Macroeconomía: Teoría de los agregados, Teoría general del
equilibrio y crecimiento
Que estudia la Teoría de los agregados:
a. DIVISIÓN DE LA MACROECONOMÍA:
•
Teoría agregados económica:
Trata de las mediciones de las magnitudes amplias a través de las cuentas nacionales.
•
Teoría del equilibrio económico:
Se refiere al equilibrio de los modelos sectoriales, mercado de bienes, dinero, niveles de la
renta, el empleo y los precios, etc.
•
Teoría del desarrollo económico:
Trata de los modelos agregados, relacionados con los ciclos económicos, el crecimiento de
la economía y los cambios estructurales, etc.
Se subdivide:
•
•
•
Teoría de la moneda.
Teoría de la producción.
Teoría de las finanzas
TEORÍA DE LOS AGREGADOS ECONÓMICOS
a. Cuando se habla de agregados económicos se hace referencia a la suma de un gran
número de acciones y decisiones individuales tomadas por personas, empresas,
consumidores, productores, trabajadores, el Estado, etc., las cuales componen la vida
económica de un país.
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b. DEFINICIONES:
*Contabilidad Nacional:
La Contabilidad Nacional tiene como objetivo ofrecer una representación cuantificada
completa, sistemática y detallada de la economía de un país, sus componentes y sus
relaciones con otras economías.
* Estructura Contabilidad Nacional:
Se compone de un conjunto coherente e integrado de cuentas macroeconómicas y
tablas basadas en una serie de conceptos, definiciones, clasificaciones y reglas
contables aceptados internacionalmente.
c. CONTABILIDAD NACIONAL:
d. LOS INDICADORES MACROECONÓMICOS:
1. Producto Interno Bruto (PIB)
El producto bruto interno es la valorización de toda la producción de bienes y servicios
finales realizada en el interior del país en un tiempo determinado. En él se incluye la
producción de los residentes en país, tanto nacionales como extranjeros.
Es la sumatoria de valores agregados de todos los sectores. Es la creación de la riqueza
del país.
Y esta dado por la formula:
PIB= C + I + G – (X-M)
(X-M) es el pago neto a los factores externos, lógicamente si M > X se convierte en una
suma la fórmula anterior. Cuando PIB > PNB indica que la producción por factores
externos es muy alta, lo cual se ve en los países desarrollados.
Es el valor total del ingreso que perciben los residentes nacionales en un período
determinado de tiempo. En una economía cerrada, el PIB y el PNB deberían ser iguales.
2. El Producto Nacional Bruto (PNB)
Producto nacional bruto (PNB), concepto económico que refleja el valor monetario del
flujo anual de bienes y servicios producidos en un país por sus agentes nacionales y
valorados a precios de mercado. El PNB suele medirse sumando todo el gasto de cada
habitante, el gasto público y toda la inversión interior y exterior realizada por la industria
nacional. No obstante, en la actualidad casi todos los estados utilizan el producto interior
bruto (PIB), que tiene en cuenta toda la producción realizada dentro del país,
independientemente de la nacionalidad del productor.
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Ejemplo:
¿Cuál es la Diferencia entre el PIB y PNB?
Una parte del PNB se obtiene en el extranjero por ejemplo:
•
•
La renta de una empresa mexicana que tiene una sucursal en Bolivia forma parte del
PNB de Bolivia, pero no forma parte del PIB de México porque no se gana en el
Interior del mismo.
Así obtenemos otra importante identidad Macroeconomía, sea el SNF el saldo Neto de
Factores, este es igual a los Ingresos de residentes nacionales por ganancias del
exterior. Préstamos fuera del país, menos los Ingresos de Extranjeros en la economía
interna.
PNB= PIB - SNF
1. La depreciación o consumo de capital expresa el concepto de desgaste de los bienes
de capital, este desgaste debe considerarse como un costo de producción y por lo
tanto, se deduce del PNB para hablar el PNN.
PNN= PNB - D
2. Producto Nacional Neto (PNN):
Es el total del dinero subida por los diversos factores de la producción, se obtiene a
partir de PNN al cual se le han disminuido los impuestos indirectos.
3. Ingreso Nacional Bruto (PNB):
Beneficios o utilidades de una empresa
4. Ingreso Nacional Neto (YNN):
Ingreso total de las familias es igual al (Ingreso Nacional) menos (utilidades de las
empresas menos los dividendos) menos (los pagos de seguros social) más (el Ingreso
por intereses recibidos del Gobierno y de las familias) más (los pagos de transferencia
a familias). Ingreso que conservan las familias después de pagar los impuestos del
seguro social, pero antes de pagar impuestos sobre la renta personal.
5. Ingreso Personal (YP):
Ingreso personal menos el Impuesto sobre la renta personal, es el monto del cual
pueden disponer las familias con fines de gastos ahorro.
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EL DINERO
a. Dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad estén dispuestos a
aceptar como pago de bienes y deudas".
b. DEFINICIÓN:
c. CLASES:
6. Ingreso Personal Disponible (YPD):
•
•
•
Dinero – mercancía: consiste en la utilización de una mercancía (oro, sal cueros) como
medio para el intercambio de bienes. La mercancía elegida debe ser: duradera,
transportable, divisible, homogénea, de oferta limitada.
Dinero –signo: billetes o monedas cuyo valor extrínseco, como medio de pago, es
superior al valor intrínseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por
imperio de la ley que determina su circulación (curso legal). El dinero signo descansa en
la confianza que el público tiene en que puede utilizarse como medio de pago
generalmente aceptado.
Dinero – giral: representado por los depósitos bancarios
a. FUNCIONES:
La función elemental del dinero es la de intermediación en el proceso de cambio. El hecho
de que los bienes tengan un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con
respecto a otros. La causa de estas relaciones se origina en la comparación del valor de los
bienes y en las contingencias del mercado. La fuente de esos valores puede ser el trabajo
incorporado en esos bienes o la utilidad que le atribuyen los individuos, según nos
orientemos a una teoría objetiva o subjetiva del valor.
Las funciones que cumple el dinero son:
1. Facilitar el intercambio de mercaderías: Por tratarse de un bien convencional de
aceptación general y garantizado por el estado.
2. Actuar como unidad de cuenta: Es decir, expresar en determinadas unidades los
valores que ya poseen las cosas. En este caso, de denomina función numeraria.
3. Patrón monetario: Regulación de la cantidad de dinero en circulación en una
economía, a través de una paridad fija con otro elemento central que lo respalda, que
puede ser un metal precioso o una divisa fuerte de aceptación generalizada a nivel
internacional para todo tipo de transacciones comerciales.
4. Reserva de valor: En una hipotética economía de trueque, las personas cambian
mercancías por otras. Al pasar a una economía monetaria, estas transacciones se
desglosan en dos partes: por un lado, los individuos efectúan operaciones de venta
(cambian bienes y servicios por dinero), por otro lado, efectúan operaciones de
compra (dinero por mercancía). Esto implica una desagregación del cambio no sólo
material, sino también temporal. Es decir, el individuo que ha obtenido dinero, posee
un poder adquisitivo que podrá materializar en el momento que estime oportuno.
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5. Medio de transferencia del poder adquisitivo: Cuando una persona otorga un
crédito a otra, le está transfiriendo capacidad de compra por un tiempo determinado.
Para el prestamista, la operación le brinda una reserva de valor por el monto acordado,
y para el prestatario representa una transferencia de poder de compra.
6. Medio de pago de las obligaciones monetarias. Las obligaciones de dar una cierta
suma de dinero, se cancelan entregando esa cantidad monetaria.
7. Instrumento de política económica. Las autoridades monetarias pueden influir en la
economía regulando la cantidad de circulante, los créditos bancarios, etc.; de esta
manera, se influye en la estructura productiva, en las inversiones, en el poder
adquisitivo de la población.
LA INFLACIÓN
•
DEFINICIÓN:
La inflación es un fenómeno económico; que consiste en el incremento significativo y
continuo del nivel general de precios de los bienes, servicios y factores productivos de un
país. La inflación implica por tanto la reducción de la capacidad adquisitiva del dinero. Por
ello se ha convertido en la problemática principal de muchos gobiernos y en especial de la
población de muchos países del planeta entero.
•
CAUSAS:
Los precios de los productos se establecen con base en dos fuerzas: la oferta que es la
producción de bienes y servicios y la demanda que es lo que la población necesita o
requiere (alimentarse, vestir y divertirse etc.), en caso de que exista una descompensación
en una de esas dos fuerzas, se habla de inflación (más demanda que oferta) o de deflación
(más oferta que demanda).
Como la inflación implica el crecimiento simultaneo de los productos y los factores
productivos y el aumento de unos precios empuja a los demás en círculo vicioso, resulta
realmente difícil ponerse de acuerdo sobre que rama industrial o que factor fue el origen de
la escalada.
•
La multitud de teorías explicativas puede agruparse en tres tipos:
•
Las que consideran que el origen de la inflación se debe a un exceso de demanda
(inflación de demanda).
Las que consideran que los problemas se originan por el lado de la oferta (inflación de
costos)
Las que consideran que la causa de la inflación está en los desajustes sociales (inflación
estructural).
•
•
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Suponiendo que los componentes de la demanda agregada son el consumo de las familias,
la demanda de inversión de las empresas y los gastos del gobierno; la explicación
keynesiana de la inflación se basa en que la suma de esos tres componentes puede ser
superior a la capacidad productiva del país.
Los monetaristas consideran también que la inflación esta originada principalmente por un
exceso de demanda, pero en vez de buscar entre los agentes una culpable determinado,
consideran que es el crecimiento incontrolado de la cantidad de dinero en circulación lo que
hará aumentar las disponibilidades liquidas de todos los agentes en general y por tanto de
todos los componentes de la demanda.
•
CONSECUENCIAS:
Los males de la inflación se originan de la in equitativa redistribución del ingreso. Esto
significa que existe un desequilibrio de la riqueza.
Disminución del ahorro en virtud de que se destina más dinero para comprar los productos
alimenticios y otros artículos necesarios para el bienestar de la familia.
Aumento en las tasas de interés, lo que para las personas que tienen deudas, torna difícil su
situación ya que deben destinar mayores recursos a pagar deudas con sus respectivos
intereses.
Déficit en la Balanza Pagos. En las relaciones comerciales con el mundo se pierde
competencia, pues nuestras exportaciones disminuyen y las importaciones aumentan.
La inflación provoca graves distorsiones en el funcionamiento del sistema económico
debido a su imprevisibilidad, si se pudiera predecir con absoluta exactitud la fecha y la
cuantía de la subida de precios de cada unos de los productos, los únicos perjuicios
provendrían del trabajo de corregir la etiqueta o los menús. Los problemas provocados por
la inflación se derivan precisamente de su imprevisibilidad ya que ni todos lo productos ni
todos los factores subirán sus precios, al mismo tiempo no en la misma proporción.
En cuanto mayor sea la tasa de inflación, más amplio será el margen de error en las
expectativas de los agentes económicos y por tanto mayor la sensación de inseguridad. Los
precios son una vía por la que se transmite la información necesaria para que los
consumidores decidan correctamente que deben adquirir y para que las empresas calculen
que y cuanto deben producir.
Si los precios están cambiando continuamente, dejan de cumplir su función informativa, los
consumidores serán incapaces de saber los estímulos para mantener los precios bajos y
serán incapaces de predecir los efectos sobre la demanda de una subida de los precios de
mayor o menor cuantía.
Los efectos de la inflación sobre la distribución de las rentas consisten especialmente en el
desplazamiento de riqueza de los acreedores hacia los deudores. El individuo que haya
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prestado dinero observara cuando lo recupere que lo que percibe tiene menos valor que los
que prestó. Los ahorradores son castigados con la pérdida de valor de sus fondos. Los que
han gastado por encima de sus ingresos, en cambio, reciben un premio a la imprevisión y el
derroche.
En general, todos los preceptores de rentas fijas (jubilados, pensionistas, rentistas
propietarios de títulos de renta fija, propietarios de viviendas en alquiler con contratos no
indicados) verán reducir la capacidad adquisitiva de sus ingresos. Los que deben abonar
esas rentas (el Estado, las empresas emisoras, los inquilinos) percibirán un inmediato
beneficio. Por otra parte, la inflación actúa como un impuesto encubierto si, por ejemplo, el
banco de México pone en circulación billetes que, pasado un año, ven reducido su valor en
un 25%, los que hayan estado en posesión de esos billetes durante una año habrán sufrido
una recaudación forzada de la cuarta parte de sus fondos en efectivo; otros beneficiados por
este impuesto, además del banco emisor, son todos los bancos que participan en el proceso
de creación de dinero.
EL COMERCIO INTERNACIONAL
a. Cuando se habla del intercambio comercial entre dos naciones entonces estamos
haciendo referencia a una economía abierta, o sea una economía que mantiene
relaciones con otras economías. Así en una economía cerrada el Producto Interno
Bruto está dado por la expresión:
PIB = C + I + G
En una economía de este tipo los distintos desequilibrios que se presentan deben ser
combatidos empleando los distintos instrumentos de la política fiscal y la política
monetaria.
En una economía abierta aparecen entonces las exportaciones y las importaciones, o
sea vamos a establecer relaciones de consumo entre el país y el resto del mundo. De
modo que el Producto Interno Bruto se expresa como:
PIB = C + I + G + X - M
Y así aparecen entonces la política comercial y la política cambiaria como nuevos
instrumentos para lograr los distintos objetivos de la política económica.
b. DEFINICIÓN:
El comercio internacional significa una fuente de aumento en el bienestar del país. En
otras palabras es posible ir más allá de la frontera de posibilidades máximas de
producción, permite la cooperación entre países y poder obtener con la misma
cantidad de recursos y tecnología una canasta de consumo mayor. Se puede reasignar
recursos de manera más eficiente, lo cual implica que los países tienden a la
especialización. Se especializan en la producción de aquellos bienes que permiten
mejorar la asignación de recursos con respecto a la situación cuando no había
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comercio internacional, esto implica que se incentive aún más el comercio, lo cual
significa que se desarrolle la actividad económica más rentable (ya que se da la misma
producción con menos recursos).
Conforme los países se especializan se da una división del trabajo en el país. Esta
división internacional del trabajo implica a su vez que se profundice la
especialización, y que se concentren los procesos productivos en fabricar ciertos
bienes con el fin de intercambiarlos, y que es de ese modo todos los países tengan una
mayor cantidad de bienes.
Esta tendencia la podemos observar alrededor del mundo, ya que por ejemplo existen
países desarrollados que producen bienes manufacturados o industriales, los cuales
emplean relativamente poca mano de obra (son intensivos en el uso del capital),
también podemos observar otras economías que tienen procesos productivos que son
intensivos en el uso del trabajo, tal es el caso de las economías de América Latina.
Así entonces el comercio internacional, a través del aumento en las exportaciones e
importaciones, genera un incremento en el nivel de producción el ingreso y de ese
modo promueve el desarrollo económico, y en consecuencia el bienestar de la
población.
El comercio internacional impulsa el desarrollo económico cuando el país reasigna
recursos de manera más eficiente, es decir busca los procesos productivos que
permiten producir los bienes a menor costo, y cuando los países producen a precios
más bajos se dice que explotan sus ventajas comparativas.
La ventaja comparativa se da cuando se puede producir un bien ahora costo menor
comparado con el resto del mundo. Si los países producen los bienes comenta
comparativa entonces el mantenimiento de estas ventajas facilita un mayor desarrollo
económico.
c. IMPORTANCIA:
d. BALANZA DE PAGOS:
•
Definición:
La Balanza de Pagos es el registro contable de todas las transacciones económicas
efectuadas entre los residentes de un país y los residentes de otras naciones durante un
período determinado.
Siendo un registro sistemático, por partida doble de todos los ingresos y egresos de valores
monetarios. Normalmente este registro se efectúa en dólares, que es el medio más usual de
pago. Generalmente se presenta como un informe anual, aunque también puede ser
trimestral. Las transacciones que implican salidas de dinero o pagos al exterior se
denominan débitos, y en la balanza de pagos se representan con signo negativo.
Por ejemplo:
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Las importaciones, préstamos concedidos a otros países, gastos realizados por turistas
nacionales en el exterior, etc. Por otro lado, los créditos son aquellas transacciones que
representan entradas o ingresos de dinero procedentes de otras naciones se representan con
signo positivo. Tal es el caso de las exportaciones, préstamos recibidos del exterior,
inversiones extranjeras en el país, etc.
•
Composición:
La composición más común de la balanza de pagos es la que la divide en cuatro cuentas, las
cuales corresponden a la naturaleza de las transacciones registradas en ellas.
•
Cuenta Corriente:
La cuenta corriente de la balanza de pagos está a su vez subdividida en las siguientes
categorías:
1. También llamada balanza de mercancías. Aquí se registran todas las exportaciones e
importaciones de bienes. Su saldo es la diferencia entre el valor de las exportaciones
FOB y las importaciones CIF, que en caso de ser positivo se dice que es un superávit
comercial y en caso contrario un déficit comercial.
2. Balanza comercial:
Se refiere a todas las ventas y compras de servicios que efectúa el país con el exterior,
o sea viajes internacionales, transportes, seguros, servicios gubernamentales, etc.
3. Balanza de servicios:
4. Transferencias unilaterales:
Está compuesta por aquellas transacciones en las cuales una de las partes no incurre en un
pago, es decir las donaciones, las remesas que los residentes de un país envían a otro, etc.
El saldo de la cuenta corriente se obtiene de sumar los saldos individuales de las subcuentas
citadas anteriormente.
•
Cuenta De Capital: Las transacciones que se incluyen en esta cuenta son básicamente:
Inversiones extranjeras, préstamos tanto a corto como a largo plazo, amortizaciones de
deudas con el exterior, etc. Estas pueden representar tanto ingresos como egresos, según
se efectúen o se reciban los pagos.
La cuenta de capital está dividida en dos subcuentas:
1. Capital privado: Esta cuenta registra todos los ingresos y egresos de inversiones y
préstamos realizados por el sector privado.
2. Capital oficial: Aquí se incluyen básicamente los movimientos de la deuda externa, es
decir los créditos recibidos menos el servicio de la deuda (amortización e intereses).
También existen otros ingresos de capital oficial correspondientes a créditos
concedidos, inversión financiera con las reservas, entre otros.
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El saldo de la cuenta de capital refleja fundamentalmente el endeudamiento neto de un país.
•
Variaciones en las Reservas Monetarias Internacionales: Las reservas monetarias
internacionales corresponden a la tenencia de activos financieros de alcance
internacional en poder del Banco Central. Las reservas están constituidas básicamente
por:
1. Oro monetario
2. Divisas: billetes de países con monedas fuertes y convertibles a nivel internacional,
como el dólar, el yen, etc.
3. Depósitos de bancos del país en bancos de primera clase del extranjero.
4. Derechos especiales de giro.
5. Posición neta del país en el Fondo Monetario Internacional.
6. Valores de gobiernos extranjeros e instituciones financieras multinacionales de alta
liquidez y solvencia.
Las reservas monetarias juegan un papel de gran relevancia, de ahí la preocupación de parte
de las autoridades económicas de mantener un adecuado nivel de reservas. Las principales
funciones de las reservas monetarias internacionales son:
•
•
Es el encaje de la circulación monetaria interna.
Es un fondo para cancelar o absorber saldos de la balanza de pagos.
En otras palabras, las reservas monetarias garantizan la estabilidad y la convertibilidad de la
moneda nacional.
•
Errores Y Omisiones: La cuenta de errores y omisiones abarca lo que se conoce como
el capital no determinado. Se dice que es un ajuste por la discrepancia estadística de
todas las demás cuentas de la balanza de pagos. En realidad la suma de los saldos de la
cuenta corriente y de la cuenta de capital deben dar igual a las variaciones en las
reservas monetarias internacionales.
a. MERCADO DE DIVISAS:
Definición:
El tipo de cambio es el precio de una moneda expresado en otra. Cuando una moneda está
en manos extranjeras recibe el nombre de divisa. Los extranjeros pueden necesitar divisas
de un país porque piensan ir en un viaje turístico, porque desean importar bienes o servicios
o por que desean invertir en él. En otras palabras: porque demandan bienes, porque
demandan servicios, o porque ofrecen capital financiero. Los nacionales ofrecen sus
monedas a cambio de divisas por las mismas razones.
Si el precio de una divisa, su tipo de cambio, es alto, habrá poca demanda. Los turistas, al
darse cuenta que tienen que entregar mucho dinero para conseguirla decidirán viajar a otro
país; los importadores encontrarán excesivamente caras las mercancías. Si el tipo de
cambio baja, la cantidad demandada de divisas aumentará. Es decir, la función de demanda
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de divisas es decreciente como la de todos los bienes. La oferta de divisas manifestará un
comportamiento igualmente lógico: cuando el tipo de cambio sea alto se ofrecerá más
cantidad de divisas que cuando sea bajo.
Una peculiaridad destacada de los mercados de divisas es la posibilidad de que los bancos
centrales intervengan manipulando los tipos de cambio. Cualquier fluctuación en los tipos
de cambio es considerada indeseable ya que provoca inseguridad y puede desalentar el
comercio internacional. Es por ello que durante largos períodos históricos los mercados de
divisas han estado funcionando en sistemas de cambios fijos, en los que los bancos
centrales intervenían para mantener los tipos.
•
Importancia:
Magnitud y lugar en que concurren oferentes y demandantes de monedas de curso
extranjero. El volumen de transacciones con monedas extranjeras determina los precios
diarios de unas monedas en función de otras, o el tipo de cambio con respecto a la moneda
nacional.
a. ALGUNAS DEFINICIONES DE :
•
Proteccionismo:
Proteccionismo, política económica que preconiza la salvaguardia de la actividad
económica nacional frente a la competencia internacional, a través del establecimiento de
procedimientos de control del comercio exterior.
Asociado inicialmente al mercantilismo del siglo XVII, el pensamiento de la economía
clásica lo arrinconó durante las primeras décadas del siglo XIX. Las diferencias
cronológicas en el inicio de los distintos procesos de industrialización de los países
europeos originó un nuevo concepto de proteccionismo: la pujante competitividad de los
países ya industrializados condenaría al estancamiento a los que estaban en el curso de las
primeras etapas de su proceso de industrialización. Este argumento se empleó después en
relación a los países subdesarrollados.
Otra argumentación en favor del proteccionismo es que puede generar el desarrollo de
actividades económicas a partir de las actividades protegidas. Ésta es la base de los
modernos sistemas que, además de los clásicos cupos de importación y aranceles, incluyen
distintos requisitos burocráticos, sanitarios, técnicos y administrativos.
•
Liberalismo:
Consideran que la meta de la sociedad era "maximizar la riqueza de las naciones",
entendiendo por riqueza "aquel conjunto máximo de bienes de un país puede obtener dada
la naturaleza de su suelo, su clima su situación respecto a otros países".
Adam Smith decía que la forma de conseguir la máxima "división del trabajo" posible; o
sea, él considero, por ejemplo, que la producción de barcos no se limitara a 3 hombres que
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hicieran todo, si no que se especialice a más hombres para que puedan realizar distintos
pasos para poder maximizar la producción.
Pero Smith hacía notar que debía haber mucha gente dispuesta en comprar barcos, era
necesario que se consiguieran grandes mercados y estos no podían lograrse dentro de un
solo país, según Smith, los gobiernos debían eliminar los aranceles, suspender las
prohibiciones a importar y exportar, y en esa forma los países se especializarían en producir
y exportar así un país tendría una industria fuerte, exportaría productos industrializados e
importaría materia primal; un país que no tuviera desarrollada su industria podría dedicarse
a la exportación de materia prima y se devolvería a su país en productos manufacturados.
Pero esta forma fue adoptada por los peruanos hace mucho tiempo por lo cual dejo una gran
secuela en la industria nacional, la cual esta sumamente subdesarrollada y así depender
económicamente de otro país, por lo cual somos subdesarrollados.
•
Globalización:
La globalización es un término que guarda estrecha relación con la palabra integración
(integración de países, regiones, mercados, economías, costumbres, etc.).
Desde el punto de vista económico, la globalización ha sido promovida a través de la
disminución de las regulaciones en los mercados, las transacciones de dinero, los acuerdos
de libre comercio, la creación de bloques económicos y/o mercados comunes entre países y
regiones, entre otros.
Este proceso de integración mundial ha tenido tanto seguidores como críticos. Por un lado,
integrar la economía de un país con la del resto del mundo permite abrir nuevas
oportunidades de crecimiento al país, nuevas fuentes de recursos, mayor comercio
internacional, nuevos destinos para los productos nacionales, entre otros beneficios;
igualmente, permite encontrar en el exterior productos que pueden ser utilizados en la
economía nacional y que pueden representar un beneficio, mientras que, a nivel
internacional, permite el desarrollo de instituciones comerciales internacionales, sistemas
de producción integrados, etc. Sin embargo, cuando las economías están muy integradas, se
corre el gran peligro de sufrir los efectos de situaciones que se presenten en otros lugares
sobre las cuales no se tiene ningún control. Estas situaciones críticas pueden traer
beneficios pero también pueden generan efectos desastrosos, no solamente en el lugar del
problema sino en otros países y regiones, provocando desajustes, crisis e inestabilidades de
gran magnitud.
Neoliberalismo:
•
Teoría política que tiende a reducir al mínimo la intervención del Estado.
Doctrina económica que actúa a dos niveles:
•
Internacionalmente: Supresión de las fronteras al capital. La consecuencia más clara a
este punto es la deslocalización.
15
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•
Internamente: Privatización de los servicios públicos, desregularización del mercado
laboral.
DESARROLLO ECONÓMICO
a. En la actualidad, el concepto de "desarrollo económico" forma parte del de "desarrollo
sostenible". Una comunidad o una nación realizan un proceso de "desarrollo
sostenible" si el "desarrollo económico" va acompañado del "humano" -o social- y del
ambiental (preservación de los recursos naturales y culturales y despliegue de
acciones de control de los impactos negativos de las actividades humanas).
Algunos analistas consideran que el desarrollo económico tiene dos dimensiones: el
crecimiento económico y la calidad de vida (satisfacción de las necesidades básicas,
tanto materiales como espirituales).
Sin embargo, es comprensible incluir el tema de la calidad de vida dentro del
"desarrollo humano", con lo cual reducimos el "desarrollo económico" a las
consideraciones sobre la generación de riqueza o, lo que es lo mismo, sobre el
incremento de la producción de bienes y servicios. Si el ámbito geográfico de análisis
es lo local -o municipal-, hablamos de desarrollo económico local.
En fin: El crecimiento se refiere a términos nominales económicos que crecen o
decrecen, el desarrollo económico, es un concepto más amplio, en donde el bienestar
y las consideraciones naturales tienen un papel más fundamental.
b. DEFINICIÓN:
c. SUBDESARROLLO:
Subdesarrollo, conjunto de características de aquellos países o regiones que no alcanzan el
nivel de desarrollo.
Existen diversas teorías de la sociología del subdesarrollo y sus causas, en las que se
evalúan factores como: dependencia económica hacia otros países, altas tasas de
crecimiento demográfico, distribución desigual de la renta, destacada participación del
capital extranjero en las industrias básicas o baja representación política del campesinado y
del grupo mayoritario de población. Según la visión marxista, el subdesarrollo es un claro
efecto de la economía capitalista; para la postura ortodoxa, es una condición necesaria para
poder evolucionar hacia el desarrollo; la Escuela de Chicago, que propugna el
monetarismo, postula que se debe a la escasa preparación de un empresariado nacional;
según la teoría de la dependencia, los países industrializados, agrupados en un "centro",
ejercen relaciones comerciales desiguales con los países de la "periferia", por las cuales se
retrasan las ventajas económicas y sociales que permiten mejores condiciones de vida. En
lugar de que los intercambios comerciales resulten provechosos para todos los
involucrados, los países subdesarrollados padecen economías inflacionistas a causa de las
fluctuaciones en los precios de las materias primas, así como sectores industriales
insuficientes o atrasados, baja productividad, bajos salarios y competencia con productos
importados, entre otros factores.
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Recientemente, las imposiciones del Fondo Monetario Internacional (FMI) para estabilizar
los precios del mercado interno y adecuarse a las exportaciones, han presionado a los países
afectados para que adopten políticas de devaluación de la moneda y de control de la
inflación a costa de la estabilidad social. Las diferencias entre ricos y pobres se hacen cada
día más patentes, desaparece la clase media, los grupos sociales no interactúan para generar
empleo y se suceden las revueltas sociales. En los últimos años son numerosos los países
que han sucumbido ante las políticas económicas de austeridad.
• Que estudia la teoría general del equilibrio y del crecimiento?
Teoría del equilibrio general
Excedente de los consumidores y los productores en el punto de equilibrio para las curvas de
oferta y demanda.
La teoría del equilibrio general es una rama de la teoría microeconómica. La misma trata
de dar una explicación global del comportamiento de la producción, el consumo y la
formación de precios en una economía con uno o varios mercados.
El equilibrio general intenta dar una explicación de lo particular a lo general (bottom-up),
comenzando con los mercados y agentes individuales, mientras que la macroeconomía,
según lo expresado por los economistas keynesianos, emplea una visión de lo general a lo
particular (top-down), donde el análisis comienza por los componentes más destacados.
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Puesto que la macroeconomía neoliberal ha acentuado fundamentos microeconómicos, esta
distinción se ha diluido. Sin embargo, muchos modelos macroeconómicos tienen un
'mercado de bienes' y estudian, por ejemplo, su interacción con el mercado financiero. Los
modelos generales del equilibrio suelen incluir diversos mercados de bienes. Los modelos
generales modernos del equilibrio son complejos y requieren computadoras para ayudar a
encontrar soluciones numéricas.
En un sistema de mercado, los precios y la producción de todos los bienes, incluyendo el
precio del dinero y el interés, están relacionados. Un cambio en el precio de un bien, por
ejemplo el pan, puede afectar otro precio (por ejemplo, los salarios de los panaderos). Si el
gusto del pan depende de quién sea el panadero, la demanda del pan puede verse afectada
por un cambio en los salarios de los panaderos y, por consiguiente, en el precio del pan. En
teoría, calcular el precio de equilibrio de un solo bien requiere un análisis que considere
todos los millones de diversos bienes que están disponibles.
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SUMA DE POLINOMIOS:
SUMAR:
1. (a-b) + (2a + 3b –c) + (-4a + 5b) =
a -b +2a +3b –c -4a +5b
=
a +2a -4 a -b +3b +5b - c
=
3a -4 a + 7 b – c
= -a + 7 b – c
2. 3 m – 2 n + 4 , 6 n + 4 p – 5 , 8 n – 6 , m – n – 4 p
3m–2n+4+6n+4p–5+8n–6+m–n–4p=
3 m + m – 2 n + 6 n + 8 n – n + 4 – 5 – 6 + 4 p – 4 p = 4 m -11 n – 7
3. 3 x2 – 4 x y + y2 , - 5 x y + 6 x2 – 3 y2 , - 6 y2 – 8 x y – 9 x2
3 x2 – 4 x y + y2 - 5 x y + 6 x2 – 3 y2 - 6 y2 – 8 x y – 9 x2 =
3 x2 + 6 x2 - 9 x2 – 4 x y - 5 x y – 8 x y + y2 – 3 y2 – 6 y2 = -17 x y – 8 y2
4. l / 3 x3 + 2 y3 – 2 /5 x2 y + 3, - 1/10 x2 y + 3/4 x y2 – 3/7 y3 – ½ y3 + 1/8 x2 y – 5
l / 3 x3 + 2 y3 – 2 /5 x2 y + 3 - 1/10 x2 y + 3/4 x y2 – 3/7 y3 – ½ y3 + 1/8 x y2 – 5 =
l / 3 x3 + 2 y3 – 3/7 y3 –– ½ y3 - 2 /5 x2 y - 1/10 x2 y + 3/4 x y2 + 1/8 x y2 + 3 – 5 =
Separando términos semejantes
1/ 3 x3 = 1/3 x3
- 2/ 5 x2 y – 1 / 10 x2 y = - 4 x2 y – x2 y / 10 = - 5 / 10 x2 y = - 1 / 2 x2 y
3/ 4 x y2 + 1/ 8 x y2 = 6 x y2 + x y2 / 8 = 7/ 8 x y2
2 y3 – 3/7 y3 - 1 / 2 y3 = - 6 y3 – 7 y3 + 28 y3 / 14 = 15/14 y3
3-5= -2
1/3 x3 – ½ x2 y + 7/ 8 x y2 + 15 /14 y3 - 2
19
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MULTIPLICACION DE POLINOMIOS.
MULTIPLICAR:
1. (4 x – 3 y ) ( - 2 y + 5 x) =
4x–3y
X 5x–2y
______________
20 x2 – 15 x y
- 8 x y + 6 y2
____________________
20 x2 – 23 x y + 6 y2
2. (6 y2 + 2 x2 – 5 x y) (3 x2 – 4 y2 + 2 x y)
6 y2 + 2 x2 – 5 x y
X -4y2 – 3 x2 + 2 x y
____________________
-24 y4 – 8 x2y2 + 20 x y3
-18 x2y2
-6x4 +15x3y
2 2
3
-10 x y +12 x y
+4x3y
-24 y4 -36 x2y2 +32 x y3
-6x4 +19x3y
3. (2 x – y + 32) (x – 3 y - 4z)
x
2 x – y + 3z
x - 3 y - 4z
_________________
2x2 - x y + 3xz
- 6xy
+ 3y2 - 9yz
- 8xz
+ 4yz - 12z2
___________________________________
2x2 -7xy -5xz + 3y2 -5yz - 12z2
20
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DIVISION DE POLINOMIOS.
1) DIVIDIR:
_________________
2 + 2x √ 2x3 – 2 – 4x
2x + 2
__x2 - x - 1______
√ 2x3 – 4x - 2
- 2x3
- 2x2
2
- 2x - 4x - 2
+ 2x2 + 2x
.
- 2x - 2
+ 2x + 2
2) a+ a2 +1 √ -2a+a4 – a2 -1
.
a2 –a-1
a +a+1 √ a4 +0a3– a2 -2a-1
- a4 - a3 – a2
- a3- 2a2 -2a
+ a3+ a2+ a
.
2
-a2 –a-1
+a2+a+1
0
3a 2 – 6 a b – 8 b2
3) a 3 – 5a2 b - 4 a b 2 √ 3a5 – 21 a4 b + 10a3 b2 +64 a2 b3 + 32ab4
- 3a5 + 15 a4 b + 12a3 b2
- 6a4b + 22 a3b2 + 64 a2 b 3 + 32 a b4
+ 6a4b – 30 a 3 b 2 – 24 a2 b 3
- 8a3b2
+ 40a2b3 + 32 a b4
3 2
+ 8a b - 40a2b3 – 32 a b4
0
21
.
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO:
1) RESOLVER LA ECUACION:
3x – 5 = x + 3
3x – x = 3 + 5
2x = 8
x
x
= 8 / 2= 4
= 4
2) RESOLVER:
35 – 22x + 6 – 18x = 14 – 30x + 32
35 – 14 – 32 + 6 = 22x + 18x – 30x
-5 = 10x
x = -5/ 10
x = -1/2
3) PROBLEMA:
Pague $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costo $5 más que el
libro y $20 menos que el traje ¿Cuanto pague por cada cosa?
Sí x = precio del libro
RAZONAMIENTO:
* El sombrero costo $5 más que el libro
x + 5 = precio sombrero
* El sombrero costo $20 menos que el traje: luego el traje costo $20 más que el
sombrero
x + 5 + 20 = x + 25 = precio traje
* Como todo costo $87, la suma de los precios del libro, traje y sombrero tiene que
ser igual a $87; luego tenemos la ecuación
x + x +5+ x + 25 = 87
22
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RESOLVIENDO
3x + 30 = 87
3x = 87 - 30
3x = 57
x
x
= 57
x + 25 = 19 + 25 = $44
3
precio traje
= $19 precio libro
INECUACIONES:
RESOLVER:
1) 2x - 3 > x + 5
2x - x > + 5 + 3
X >8
2) 7 – x / 2
x + 5 = 19 + 5 = $ 24
precio sombrero
> 5x / 3 - 6
7 + 6 > 5x/3 + x/2
13 > 13/ 6 x
78 > 13x
78/ 13
78/ 13> x
6 > x
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ECUACIONES SIMULTÁNEAS:
1) HALLAR EL VALOR DE X ,
1
x
+
y = 5
2
x
-
y = 1
x
x
+ y = 5
- y = 1
Y
Sustituyendo en
1
3 + y = 5
y = 5 - 3
y = 2
2x = 6
x = 6
2
x = 3
2) HALLAR VALOR DE X ,
1
2x
+ 3 y = 13
2
4x
-
y = 5
Y
2x + 3y = 13
2x + 3y = 13
3 (4x - y = 5)
12x - 3y = 15
1
Sustituyendo en
2 (2) + 3y = 13
4 + 3y = 13
3y = 13 - 4
3y = 9
y = 9/ 3= 3
(y = 3)
14x
x
24
= 28
= 28 = 2
14
x= 2
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DETERMINANTES:
1) OBTENER EL VALOR DEL DETERMINANTE
a) 4
2
b) 7
5
= 12 - 10
= 2
= -14 - 45
= -59
3
9
5
-2
c) -5
-8
= 105 -152 = -47
-19
-21
OPERACIONES MATRICIALES:
2 3 4 5
SÍ A= 6 7 8 9
B=
1 0 -1 3
-2 0 1 5
Calcular A+ B= C
C=
3 3 3 8
4 7 9 14
25
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Dado:
SÍ A=
3 4 7
5 6 1
y
2 1
B= 3 5
6 2
1.
60
Calcular: A x B = 34
37
37
3x2+4x3+7x6=60;
3x1+4x5+7x2=37
5x2+6x3+1x6=34;
5x1+6x5+1x2=37
2.
6 8 14
Calcular: 2xA = 10 12 1
3. calcular la transpuesta de A=
3
4
7
5
6
1
3 5
4 6
7 1
A´ =
26
=
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RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:
1) RESOLVER:
3x2 - 7x + 2 = 0
FORMULA:
RESOLUCION:
a=3
b = -7
c=2
x=
x=
x=
x=
_ .
.
2
7 + √ ( -7 ) - 4(3 x 2) .
2 (3)
_
.
7 +_ √ 49 - 24
.
6
_
.
7 + √ 25
.
6
_
7 + 5.
6
x 1=
12
6
= 2
x2=
2
6
= 1
3
27
_ .
.
-b + √ b2 - 4ac .
x=
2a
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RESOLVER LA ECUACION:
1) 6x - x2 - 9 = 0
ORDENANDO Y CAMBIANDO SIGNOS:
x2 – 6x + 9 = 0
a= 1
b = -6
c= 9
+
-b - b2 - 4 a c
Fórmula : X = -------------------------2a
+
+6 - (-6)2 - 4 (1 X 9)
Fórmula: X = -------------------------2 (1)
+
6 36 - 36
X = -----------------------2
X1 = 3 , X2 = 3
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UNIDAD 3. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
3.1 CONCEPTOS BÁSICOS
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en
las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la
determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre
todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma
continua.
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen
de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número
infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y
Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un
círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin
embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas
de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo.
Fórmulas derivación:
I. dc = 0
dx
II. dx = 1
dx
III. d ( u + v – w ) = du + dv - dw
dx
dx dx dx
IV. d ( cv ) = c dv
dx
dx
V. d ( uv ) = u dv + v du
dx
dx
dx
VI. d ( vn ) = nvn-1 dv
dx
dx
VII. d ( xn ) = nxn-1
dx
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Ejercicios:
Derivar:
y = x3
Determinación de la formula: y = x3
1.
d ( x n ) = nxn-1
dx
2. Sustitución de datos:
n=3
n-1 = 2
x=x
3. Sustitución de datos en la formula:
d ( x3 ) = 3x3-1
dx
= 3x2
y’ = 3x2
Derivar:
y = ax4 – bx2
Determinación de la formula:
d ( u + v – w ) = du + dv - dw
dx
dx dx dx
1. Sustitución de datos:
v = ax4
w = bx2
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2. Sustitución de datos en la formula:
d ( u – w ) = d_ ax4 - d_ bx2
dx
dx
dx
d ax4
dx
d bx2
dx
1. Determinación de la formula:
d ( x n ) = nxn-1
dx
d ( x n ) = nxn-1
dx
2. Sustitución de datos:
n=4
n-1 = 3
x=ax
n=2
n-1 = 1
x=bx
3. Sustitución de datos en la formula:
d ( ax4 ) = 4ax4-1
dx
d ( bx2 ) = 2bx2-1
dx
= 4ax3
= 2bx
d ( ax4 – bx2 ) = 4ax3 - 2bx
dx
y’ = 4ax3 - 2bx
Derivar: y = 3x4 – 2x2 + 8
1. Determinación de la formula:
d ( u + v – w ) = du + dv - dw
dx
dx dx dx
31
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2. Sustitución de datos:
u = 3x4
v = 2x2
w=8
3. Sustitución de datos en la formula:
d ( u + v – w ) = d_ 3x4 + d_ 2x2 - d 8
dx
dx
dx
dx
d_ 3x4
dx
d_ 2x2
dx
d 8
dx
1. Determinación de la formula:
d ( x n ) = nxn-1
dx
d ( x n ) = nxn-1
dx
2. Sustitución de datos:
n=4
n-1 = 3
x = 3x
n=2
n-1 = 1
x = 2x
3. Sustitución de datos en la formula:
d ( 3x4 ) = 4 ( 3x )4-1
dx
d ( 2x2 ) = 2 ( 2x )2-1
dx
= 12x3
= 4x
d ( 3x4 – 2x2 + 8 ) = 12x3 - 4x
dx
y’ = 12x3 - 4x
32
dc = 0
dx
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ADMISIÓN A LA MAESTRIA EN ADMINISTRACIÓN Y POLITICAS PÚBLICAS
Derivar: y = 4 + 3x – 2x3
d y = d4 + d3x - d2x3
dx
dx
dx
dx
d y = 0 + 3 - 6x2
dx
d y = - 6x2 + 3
dx
y’ = - 6x2 + 3
Derivar:
y = 6x4 - 4x2 + 8
dy = d6x4 - d4x2 + d8
dx
dx
dx
dx
dy = 24x3 - 8x + 0
dx
dy = 24x3 - 8x
dx
y’ = 24x3 - 8x
Derivar:
y = 16 + 12x – 8x3
dy = d16 + d12x - d8x3
dx
dx
dx
dx
dy = 0 + 12 - 24x2
dx
dy = - 24x2 + 12
dx
y’ = - 24x2 + 12
33
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3. Y=
3x
3
–
7X
___________
5
√x
2
___
+ 8 √ X3
7
FORMULAS:
__________
3
√ x4
d/dx (u + v – w) = du/dx + dv/dx - d w/dx
d/dx (c u) = c du/dx
d/dx (x n) = n x n-1
-2/5 + 3/1 = -2+15 =
5
-4/3 + 1/1 = -4 +3 =
3
3/7 - 1/1
d y/ dx = d/dx (3x13/5) - d/dx (7x
-1/3
= 3–7
7
= 13/5x 3/1 x 13/5 -1 - (-1/3 x 7/1 x -1/3-1) + 3/7 x 8 x 3/7-1
13
1
13- 5
8
= -------- - -------= ----------= --------5
1
5
5
34
-1/3
= -4/7
) + d/dx (8x -4/7 ) =
13
3
39
= -------- X -------= ---------5
1
5
13/5
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ADMISIÓN A LA MAESTRIA EN ADMINISTRACIÓN Y POLITICAS PÚBLICAS
1
7
7
= -------- X -------= ---------3
1
3
1
1
-1-3
-4
= - -------- - -------= ----------= --------3
1
3
3
3
8
24
= -------- X -------= ---------7
1
7
3
1
3- 7
4
= -------- - -------= ----------= - --------7
1
7
7
y ` = 39/5 x 8/5 + 7/3 x -4/3 + 24/7 x -4/7
________
4.- y = √ a2 - x2
n= ½
v = (a2 – x2)
FORMULA:
d/dx (vn) = nv n-1 dv/dx
dy/dx = d/dx (a2 –x2)1/2 =
= ½ (a7 – x2) ½-1 d/dx (a7 – x2)
= ½ (a2 – x2 ) -1/2 -2x
=
1 – 2x
=
2√ a2 – x2
=
-2x
= -x
= -x .
2
2
2
2
2√a –x
√a – x
√a2-x 2
35
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INTEGRALES:
FORMULA:
INTEGRAR
Si f(x) = x
∫x6 dx=
1)
∫ x n dx =
1
x n+1 + c ; n ≠ - 1
n+1
APLICACIÓN:
n=6
∫x6 dx =
1 _ x 6+1 + c
6+1
∫x6 dx =
2)
∫
1 _ x 7+ c
7
____
√ x dx =
FORMULA:
APLICACIÓN:
Si f(x) = x
n= 1/2
∫x1/2 dx =
1
½+1
1/2
∫x dx = 1
3
-----2
∫ x n dx =
x
x
½+ 1
3/2
1
x n+1 + c ; n ≠ - 1
n+1
½ + 1/1 = 1+3 / 2 = 3/2
+c
+c
= 2 x 3/2
3
ELABORADA POR DR.PRUDENCIO ENRIQUE NAVARRETE RODRIGUEZ
3)
∫
3x5 dx =
FORMULA:
a=3
n=5
1)
2)
∫ a f’ (x) = a ∫ f’ (x) dx = a + (x) + c
∫ x n dx = 1 x n+1 + c ; n ≠ - 1
n+1
APLICACIÓN:
36
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ADMISIÓN A LA MAESTRIA EN ADMINISTRACIÓN Y POLITICAS PÚBLICAS
∫
3x5 dx =
∫
3)
4) )
3x5 dx = 3 x 1 x 5+1 + c
5+1
3
1
3
= 3x 1/6 x6 + c = ------ x ------- = ------- x6 + c
= 3/6 x6 + c
1
6
6
= ½ x6 + c
∫ (2x3 – 5x2-3x + 4 ) dx = 1
FORMULA:
1)
∫ f ’ (x) + g’ (x) dx =
∫ f ’ (x) + g’ (x) dx =
= f (x) + g(x) + c
2)
∫ a f ’ (x) dx = a ∫ f ‘ (x) dx= af (x) + c
∫ xn dx = 1 x n+1 + c ; n ≠ - 1
n+1
∫ 2x3 dx – ∫5x2 dx - ∫3x dx + ∫4dx =
= 2 ∫x3 dx – 5 ∫x 2 dx – 3 ∫dx + 4 ∫dx =
= 2x
1
3+1
x 3+1 -5x
2
5
= ------- x4 - ------ x3
4
3
1 x2+1 -3x 1
2+1
1+1
3
- ------ x2
2
1
5
3
= ------- x4 - ------ x3 - ------ x2 + 4 x + c
2
3
2
37
x1+1 +4x
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5.- y =
a2 + x2
√ a2 - x2
:
M=
a2 + x2
V=
√ a2 – x2
FORMULA:
d/dx (m/v) = v dw/dx - m du/dx
v2
_______.
dy/dx = √ a2 – x2 d/dx (a2 + x2) - (a2 + x2) d (a2 - x2) ½
dx_____
2
2 ½ 2
(( a –x ) )
dy/cx = (a2 – x2) ½ 2x - (a2 + x2) d/dx (a2 – x2)1/2
a2 - x2
(a2 – x2)
dy/dx = 2x (a2 – x ) ½ - -x
.
√a2 – x2
(a2- x2) 2
= 2x (a2 – x2 ) ½ + x ( a2- x2)
(a2 – x2 )2 - (a2 – x2) ½
= 2x (a2 – x2) ½ + x (a2 – x2)
ESTADISTICA :
8. De la siguiente muestra de datos: 6, 5, 4, 4, 6, 4, 8, 5, obtenga:
La media, la mediana, la moda, el rango medio, la media geométrica, desviación estándar
y varianza.
MEDIA = 6+ 5+ 4+ 4+ 6+ 4+ 8+ 5= 42/ 8= 5.25
MEDIANA= 4+6=10/2 = 5
MODA = 4
RANGO MEDIO= 6+5 = 11/2 = 5.5
38
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ADMISIÓN A LA MAESTRIA EN ADMINISTRACIÓN Y POLITICAS PÚBLICAS
VARIANZA: = 1.6875
(6-5.25)2 + (5-5.25)2+ (4-5.25)2+ (4-5.25)2+ (6-5.25)2+ (4-5.25)2+ (8-5.25)2+ (5-.25)2 =
0.5625+0.0625+1.5625 + 1.5625+ 0.5625 +1.5625+ 7.5625+0.0625=13.5/8=1.6875
1.6875
= 1.29
Desviación estándar =
8
MEDIA GEOMETRICA=
6X 5X 4X 4 X 6X 4X 8X 5
=5.10
ESTADISTICA INFERENCIAL:
120
135
Ejemplo; si la media “X” de la presión sanguínea de los alumnos de un grupo cuyas edades
oscilan entre los 18 y 24 años, se distribuyen normalmente con una media de 120 y una
desviación estándar de 20, encuentre:
a) La probabilidad de X> 135
b) La probabilidad de X< 146
Solución:
a) El puntaje para Z= X- µ /ρ= 135-120/ 20 = 0.75
Usando la tabla Z, encontramos:
P( X> 135) = P( Z> 0.75)
= 0.5 - P( 0< Z< 0.75)
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= 0.5 – 0.2734= 0.2266
b) El puntaje para Z= X- µ /ρ= 146-120/ 20 = 1.30
Usando la tabla Z, encontramos:
P( X< 146) = P( Z> 1.30)
= 0.5 - P( 0< Z< 1.30)
= 0.5 – 0.4032= 0.9032
40