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Introducción a la trigonometría
y a las funciones trigonométricas
Shirley Bromberg
Raquel Valdés
Un poquito de historia


Trigonometría es una palabra de
etimología griega, aunque no es una palabra
griega. Se compone de trigonon que
significa triángulo y metria que significa
medición. Y se habla de ella como
matemática práctica.
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
La trigonometría resuelve el siguiente
problema: conocidos algunas de las
componentes de un triángulo, determinar las
restantes
La geometría (teórica) nos dice cuándo
ciertos datos determinan que salvo por posición
un triángulo de lados dados, la trigonometría
(práctica) nos dice cómo calcular los restantes.
Comencemos con triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados
del triángulo, como el Teorema
de Pitágoras afirma que
c
b
a
a2 + b2 = c2,
conocemos el tercer lado.
Eso sí, debemos saber si los
lados que conocemos son catetos
o la hipotenusa.
Resolución de triángulos rectángulos.
Pero no tenemos ninguna información acerca de los
ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este
problema.
Dividimos los catetos en r partes iguales, y
formamos una retícula. Los catetos de los
triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y
su hipotenusa será, por el Teorema de
Pitágoras igual a c/r.
NOTEMOSque la hipotenusa pasa por los
puntos de la retícula. Los triángulo de las
esquinas tienen los mismos ángulos.
Las observaciones anteriores permiten
resolver el siguiente
Problema

¿ Cuál será la altura
del árbol que
proyecta una
sombra de 4 m si
se encuentra al
lado de Alberto
que mide 1.75 m y
proyecta una
sombra de 3.5 m ?
Sigamos con el problema de encontrar los
ángulos en triángulos rectángulos.
Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que
representen
a
cada
triángulo
rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.
Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

c
b
de
1
pasamos a
a
a2 + b2 = c2
b/c
1
a/c
(a/c)2 + (b/c)2 = 1
Relacionamos ángulos y longitudes
con Tablas de Cuerdas
α
cuerda α
En un comienzo, a cada ángulo se
asoció la cuerda subtendida por él
en una circunferencia de radio fijo.
Tablas de cuerdas
α/2
α/2
Razonando con la figura al
lado se muestra que
cuerda α
α
= sen
2
2
Tablas de cuerdas
Para conseguir nuevos valores se
usa la identidad
α
1− cos α
sen α
α
2 sen
= 1 − cos α
2
2
y se obtienen tablas de cuerdas que
van de 5o en 5o.
Construcción de Tablas
ángulo
cuerda
60o
1
30o
15o
2
45o
coseno
3
2
2− 3
?
seno
1/2
tangente
1/2
3
3
2
2− 3
2
2
2
1
3
1
2+ 3
2+ 3
2
2
2
1
La figura muestra las funciones trigonométricas
asociadas a un ángulo agudo α ubicado en una
circunferencia
co
tan
ge
nt
e
coseno tan
ge
nt
e
α
sen α
α
cos α
seno
cosecante
rad
io
α
tan α
secante
cotan α
sec α
cosec α
Funciones trigonométricas:
seno de un ángulo agudo
cateto opuesto a
sen α =
=
hipotenusa
c
cc
aa
α
bb
α
1
b/c
b/c
a/c
a/c
Funciones trigonométricas:
coseno de un ángulo agudo
cateto adyacente b
cos α =
=
hipotenusa
c
1
cc
aa
α
bb
α
b/c
b/c
a/c
a/c
Funciones trigonométricas: tangente
y cotangente de un ángulo agudo
cateto opuesto
a
cateto adyacente b
tan α =
=
cotan α =
=
cateto adyacente b
cateto opuesto
a
1
cc
aa
α
bb
α
b/c
b/c
a/c
a/c
Funciones trigonométricas: secante
y cosecante de un ángulo agudo
hipotenusa
c
sec α =
=
cateto adyacente b
1
cc
aa
α
bb
hipotenusa
c
cosec α =
=
cateto opuesto a
α
b/c
b/c
a/c
a/c
Todas las funciones trigonométricas de un
ángulo agudo pueden expresarse a partir
de una de ellas, a modo de ejemplo
tomemos sen
cos α
= 1 - sen 2 α
tan α
=
cotan α =
sec α
=
cosec α =
Identidades Trigonométricas
1
α
cos α
sen α
La identidad fundamental
es consecuencia del
Teorema de Pitágoras
sen α + cos α = 1
2
2
Identidades Trigonométricas
1
α
β
cos α
sen α
Si β es el ángulo complementario
de α , hay un triángulo rectángulo
que los tiene como ángulos agudos
y se tiene que
(
cos β = sen α = sen ( 90
)
−β)
sen β = cos α = cos 90 − β


Identidades Trigonométricas
1
α
En una diapositiva anterior
demostramos que
α
2sen
= 1 − cos α
2
2
o bien, tomando β = 2α
cos 2 β = 1 − 2sen β
2
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pα
α
Para calcular el seno (o el
coseno) de un ángulo agudo α ,
colocamos un triángulo
rectángulo como en la figura.
El seno (o coseno) del ángulo es
Pα del
la ordenada (o la abscisa)
punto de intersección
de la
círculo. basta
Pero no es necesariohipotenusa
tener todocon
el el
rectángulo,
con tener la recta que une Pα con el origen.
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pα
α
l
DEFINIMOS para un ángulo α,
medido a partir de la recta l
contra las manecillas del reloj:
sen α
cos α
la ordenada de Pα
la abscisa de Pα
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
tan α
Pα
tan β
α
β
Pβ
l
La tangente de un ángulo α ,
medido a partir de la recta l
contra las manecillas del
reloj, es la longitud
Funciones Trigonométricas
de ángulos arbitrarios
Pβ
II
Pα
I
I
II
III
IV
sen α
+
+
-
-
cos α
+
-
-
+
tan α
+
-
+
-
Pα
α
l
Pγ
Pδ
III
VI
¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?
Medida absoluta de ángulos:
RADIANES

α
1
El círculo unitario
también nos permite usar
longitudes para medir
ángulos, aprovechando
que el ángulo es
proporcional al arco que
subtiende. Un ángulo de
un radián es el ángulo
que subtiende un arco de
longitud uno.
Medida absoluta de ángulos:
RADIANES

Como la circunferencia unitaria
mide 2 , un cuarto de
circunferencia mide /2 y como un
ángulo recto sub-tiende un cuarto de
circunferencia, el ángulo recto mide
/2 radianes.
Medida absoluta de ángulos:
RADIANES

Como
90o
/2
Entonces si Rad es la medida de un ángulo
en radianes y Grad la medida en grados,
Grad Rad
=
180
π
Medida absoluta de ángulos:
RADIANES
ángulo en radianes
ángulo en grados

Grad Rad
=
180
π
1
1
π /3
45
120
Actividad I…
Construir un triángulo cuyos lados
sean de longitud 3, 4 y 5 .
Comparar los distintos triángulos
que se obtienen.
Nota: cada quien es libre de escoger la escala
…Actividad I
Con la escala proporcionada,
medir la razón entre pares de
lados del triángulo diseñado
Medir en centímetros los lados
del triángulo diseñado y obtenga
la razón entre los pares de lados
Actividad II…
Para cada uno de los triángulos
rectángulos proporcionados, midan las
siguientes razones, según el ángulo
marcado con el círculo rojo:
a)Cateto opuesto e hipotenusa
b)Cateto adyacente e hipotenusa
c)Cateto opuesto y cateto adyacente
… Actividad II
Problema
5
O
En una circunferencia de
centro O y radio 5 está
trazada una cuerda que mide
3.5 ¿cuánto mide
el ángulo central asociado?
En la misma circunferencia,
halle la longitud de
la cuerda subtendida por un
ángulo de 72o.
Problema
101m
C
α
100m
Una cuerda de 100m de largo
se estira un metro más
y se sostiene del centro (ver
la figura). ¿ A qué altura
se encuentra el punto C?
Dé una medida
α aproximada
del ángulo .
Pregunta
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función seno ?
c
α
b
a
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función coseno ?
¿alguno de los catetos puede ser
mayor que la hipotenusa?
¿ cuáles son los valores máximo
y mínimo de la función tangente ?
Problema
Con apoyo del círculo unitario, construya
la gráfica de la función sen
(0,1)
(-1,0)
α
(0,1)
α
sen(α )
(-1,-1)
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
···
α
Problema…
1.Trace los triángulos rectángulos definidos
por las siguientes ternas de puntos:
a)(0,0), (8,0), (8,6)
b)(0,0), (-4,0), (-4,3)
c)(0,0), (-3,0), (-3,-4)
d)(0,0), (8,-6), (8,0)
e)
2.En cada uno de los triángulos trazados,
ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y
el eje de las abscisas.
3.
… Problema
II
III
I
IV
I
II
III
IV
sen(α )
+
+
-
-
cos(α )
+
-
-
+
tan(α )
+
-
+
-