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[Tema 1]. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA
(Notas incompletas de clase)
Incompletas y por tanto, imperfectas ©2014, Juanmiguel
León-Rojas. Esta obra, puedes copiarla y modicarlaGratuidad
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[...] en la práctica, el pensamiento del matemático no es
jamás un pensamiento formalizado: el matemático da un
sentido a todas las proposiciones, lo que le permite olvidarse
de la expresión de dichas proposiciones dentro de cualquier
formalización de la teoría, si es que existe alguna. René
Thom.
2. Lógica de Primer Orden
Cuestión 1.
No hay personas malas entre los defensores de esta causa. Ninguna persona buena miente. Todos mis amigos
deenden esta causa. Luego mis amigos no mienten.
Solución
Un ejemplo de por qué no basta con la Lógica Proposicional
y se hace necesaria la Lógica de Primer Orden (LPO), nos la
proporciona el texto1 de la cuestión.
En el ámbito de la Lógica Proposicional, no estamos ante
un razonamiento válido pues dicho razonamiento se formaliza
como:
¬∃x(M x ∧ Cx)
∀x(¬M x → ¬N x)
∀x(Ax → Cx)
∀x¬(M x ∧ Cx)
∀x(¬M x ∨ ¬Cx)
∀x(M x → ¬Cx)
M a → ¬Ca
¬M a → ¬N a
Aa → Ca
Ca → ¬M a
Aa → ¬M a
Aa → ¬N a
∀x(Ax → ¬N x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
[Premisa]
[Premisa]
[Premisa]
[¬∃xP x ≡ ∀x¬P x](1)
[Ley de Morgan](4)
[Def. de →](5)
[Eliminación de ∀](6)
[Eliminación de ∀](2)
[Eliminación de ∀](3)
[Ley de contrapuestos](7)
[Transitiva de →](9, 10)
[Transitiva de →](11, 8)
[Introducción de ∀](12)
Como veremos más adelante, son varios los métodos que se
extienden a la Lógica de Predicados de Primer Orden. Uno
de ellos es el de las tablas semánticas. Mediante este método, puede comprobarse la validez de este razonamiento en
http://www.umsu.de/logik/trees/, introduciendo:
\neg \exists x(Mx \land Cx)
\land \forall x(\neg Mx \to \neg Nx)
\land \forall x(Ax \to Cx)
\to \forall x(Ax \to \neg Nx)
{p, q, r} ` s
siendo:
p ← No hay personas malas entre los defensores de esta causa
q ← Ninguna persona buena miente
r ← Todos mis amigos deenden esta causa
s ← Mis amigos no mienten
que claramente es contingente.
Sin embargo, sí que se trata de un razonamiento válido. Pero, para demostrarlo necesitamos de la Lógica de Predicados.
Su formalización en esta lógica es:
¬∃x(M x ∧ Cx)
∀x(¬M x → ¬N x)
∀x(Ax → Cx)
∀x(Ax → ¬N x)
siendo:
Mx ← x es una persona mala
Cx ← x deende esta causa
Nx ← x miente
Ax ← x es mi amigo
Una deducción formal que demuestra la validez del razonamiento es la siguiente.
Figura 2.1: Mis amigos no mienten
Discusión
...
Bases teóricas
0 Utilizamos una asignación de versiones similar al clásico versionado de software cfr. http://es.wikipedia.org/wiki/Versión_de_
software y http://es.wikipedia.org/wiki/Fases_del_desarrollo_de_software, con el añadido de la fecha, hora y zona mundial horaria
de la puesta al día (D) del documento.
1 Adaptado de Alfredo Deaño (2002, pp. 170-171) Introducción
©2014, Juanmiguel León-Rojas. Metalicencia Gratuidad Cristiana <
a la lógica formal.
Alianza Editorial, Madrid.
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. Lógica de Primer Orden
a) D un conjunto o colección de objetos no vacía, denominado
dominio o universo;
La mayoría de los enunciados simples en un lenguaje de comunicación normal constan de un sujeto y un predicado. Grosso b) I una función que asocia, a cada símbolo de constante, un
elemento del dominio, y a cada símbolo de predicado, una
modo, el sujeto es la cosa acerca de la cual el enunciado arrelación de la misma aridad sobre D.
ma algo y el predicado se reere a una propiedad que posee
Denición 2.6.el sujeto.
Un modelo para una fbf es cualquier interpretación para la
2.2. Sintaxis
que dicha fbf sea verdadera. Un modelo para un conjunto
2.2.1. Silogismos y entimemas
de fbf es cualquier interpretación para la que todas las fbf del
...
conjunto sean verdaderas.
2.1
. El lenguaje
2.2.2
(Frege, 1879)
L1
de la Lógica de Primer Orden
Denición 2.1.-
Formalmente, el lenguaje L1 de la Lógica Proposicional se dene mediante un alfabeto compuesto por:
a) las conectivas de la Lógica Proposicional
b) los símbolos de validez e insatisfactibilidad, 1 y 0, respectivamente
c) los símbolos de cuanticación ∀ y ∃, universal y existencial, respectivamente
d) un conjunto innito numerable de variables de sujeto:
V = {x, y, z, . . . , x1 , y2 , z3 , . . . , xn , yn , zn , . . . }
e) un conjunto vacío, nito o innito numerable C de símbo-
los de constante
Ejemplo 2.1.-
Sea la fbf P ab ∧ ∃xyP xy . La interpretación D = {1, 2, 3},
I(a) = 3, I(b) = 2, I(P ) =< no es un modelo para ella.
. Satisfactibilidad y validez
Denición 2.7.2.3.2
De forma análoga a Lógica Proposicional, se dice que una fbf
de la Lógica de Primer Orden es posible (o satisfactible) precisamente si es verdadera en alguna de sus interpretaciones.
Denición 2.8.-
Se dice que una fbf de la Lógica de Primer Orden es válida
precisamente si es verdadera en todas sus posibles interpretaciones.
Teorema 2.1.-
a) Una fbf es válida en un dominio de interpretación no vacío
precisamente si su negación no es posible en ese dominio.
P = {P, Q, R, . . . , P1 , Q2 , R3 , . . . , Pn , Qn , Rn , . . . }
b) Una fbf es válida precisamente si su negación no es posible.
g) unos símbolos de puntuación: (, ), [, ], {,
c) Si una fbf es posible en un dominio no vacío, entonces es
}, ,
posible en cualquier universo no vacío de igual o mayor car2.2.3. Fórmulas bien formadas
dinal.
Denición 2.2.d) Si una fbf es válida en un dominio no vacío, entonces es
Dado un cac y los símbolos de cuanticación, se denomina fórválida en cualquier universo no vacío de igual o menor carmula (generada por ellos) a cualquier palabra del alfabeto de
dinal.
L1 .
Denición 2.9.Denición 2.3.Se dice que Φ es un conjunto nitamente satisfactible de
Una fórmula bien formada (fbf) de la Lógica de Primer fbf precisamente si todos los subconjuntos nitos de fbf de Φ
Orden es toda fórmula que satisfaga alguna de las siguientes son satisfactibles.
condiciones:
Teorema 2.2 (Teorema de Compacidad).a) toda variable enunciativa y toda variable predicativa n-ádica Un conjunto de fbf es satisfactible si y solo si es nitamente
seguida de n variables subjetivas son fbf;
satisfactible.
b) una fbf precedida de la conectiva ¬ es una fbf;
2.3.3. Cuanticadores
c) una fbf seguida de una conectiva del cac (distinta de ¬, seguida de una fbf, y habiendo hecho buen uso de los parénte- Denición 2.10.Se denomina cuanticador a toda expresión que nos diga, en
sis, es una fbf;
d) si F es fbf, y x es una variable subjetiva, entonces ∀xF y algún sentido, cuántos objetos x satisfacen una cierta propiedad
P.
∃xF son fbf.
Únicamente las fórmulas obtenidas aplicando (a), (b), (c) o Denición 2.11.(d) son fbf. Se nota con letras mayúsculas a los predicados (o El cuanticador universal ( generalizador), se nota ∀, y se
variables predicativas) y con letras minúsculas (que suelen ser lee para todo. Expresándolo junto a una propiedad de x (una
de las últimas del alfabeto), a los sujetos (o variables subjeti- proposición), se simboliza ∀xP x, signicando todo objeto x
satisface la propiedad P .
vas)2 .
f) un conjunto innito numerable de símbolos de predicado:
Denición 2.4.-
Denición 2.12.-
. Teoría de modelos
Denición 2.5.-
Denición 2.13.-
Se denomina sub_fbf a cualquier parte de una fbf que sea a El cuanticador existencial ( particularizador), se nota ∃,
y se lee para algún. Expresándolo junto a una propiedad de
su vez fbf.
x (una proposición), se simboliza ∃xP x, signicando algún
2.3. Semántica para L1
objeto x satisface la propiedad P .
2.3.1
Se denomina predicado monádico al que afecta a un solo suUna interpretación para una fbf de la Lógica de Primer Or- jeto; diádico (o binario) si afecta a dos sujetos; y en general,
den es un par (D, I), siendo:
n-ádico ( poliádico) si afecta a n sujetos3 . A los predicados
2 Este es el punto de vista de la lógica tradicional. Actualmente, se entiende por sujeto cualquier nombre propio y por predicado cualquier nombre
común. Así, si consideramos la expresión Ana es agradable, las terminologías tradicional y actual coinciden: Ana es el sujeto y agradable el
predicado; sin embargo en toda mujer es agradable, según la terminología tradicional, mujer es el sujeto y agradable el predicado, pero según
la actual, ambos son predicados.
3 Los cuanticadores son representados de diversas formas por los autores. Nuestra terminología es la de Gentzen y Kleene. Algunos autores
V W
simbolizan los cuanticadores universal y existencial en la forma y , respectivamente (ver nota 22). Otros, en la forma Π y Σ, respectivamente.
Algunos también usan paréntesis en la forma (∀xP (x)), representando un predicado poliádico por P (x1 , x2 , . . . , xn ) en vez de P x1 x2 . . . xn .
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monádicos también se les conoce como propiedades y a los Qxy}; Alcance[∀x; B ] = {∃y (P xy ∧ Qxy) → Rx}.
diádicos y poliádicos como relaciones.
Podemos reescribir B , ∀z (∃y (P zy ∧ Qzy) → Rz), o
Ejemplo 2.2.∀x (∃w (P xw ∧ Qxw) → Rx), o incluso renombrando las dos
Formalicemos los siguientes enunciados:
variables de sujeto, ∀z (∃w (P zw ∧ Qzw) → Rz), todas fóra) No todo el mundo sabe programar: sean Hx ← x es ser mulas equivalentes, pues el valor de verdad de la fbf sigue
humano, P x ← x sabe programar, entonces, ¬∀x(Hx → siendo el mismo bajo una determinada interpretación; ésto sucede porque todas las variables están en el alcance de algún
P x).
b) Algunos mamíferos nadan: sean M x ← x es mamífero, cuanticador.
Denición 2.18.N x ← x nada, entonces, ∃x(M x ∧ N x).
c) Existe un número entero que es mayor que cualquier otro: A este tipo de variables, que están en el alcance de algún cuansean Zx ← x es entero, M xy ← x es mayor o igual que ticador, se les denomina ligadas ( aparentes).
Ejemplo 2.7.y , entonces, ∃x(Zx ∧ ∀y(Zy → M xy)).
Al hablar de Lógica de Primer Orden, quiere decirse que Sea A, [∀x (∃yP xy ∧ Qxy)] y supongamos que P xy es [x ≤ y ] y
se admite tan sólo la cuanticación de las variables subjeti- Qxy es [y es múltiplo de x] y que el dominio de interpretación
vas. Esto es, no se consideran expresiones del tipo ∀P P x, que es Z. En esta interpretación, A no tiene un valor de verdad
se situarían en la denominada Lógica de Segundo Orden determinado. Dado un x, podemos elegir un y (por ejemplo,
y = 2x) tal que ∃yP xy sea verdadero, pero en Qxy , y puede
(Lógica Superior ).
Imaginemos que se quisiera formalizar la expresión todo el tomar cualquier valor del dominio, independientemente del que
mundo tiene algo. Podría formalizarse x tiene y por T xy ; haya tomado para vericar ∃yP xy . En este caso, para los vaentonces se cuanticaría así: ∀x∃yT xy , representando esto la lores de y que sean múltiplos de x, A es verdadera, mientras
expresión todo el mundo tiene algo. Cuando, como aquí, se que para los y que no sean múltiplos de x, A es falsa. Ésto se
trata de predicados con más de una variable, se habla de cuan- debe a que el único cuanticador que alcanza a Qxy , ∀, sólo
ticación poliádica. En ella, debemos tener cuidado al usar liga la variable x, dejando libre y.
los cuanticadores: siguiendo el ejemplo anterior, ∃y∀xT xy sig- Denición 2.19.nica hay algo que tiene todo el mundo, que no es, obviamen- A estas variables, que no caen dentro del alcance de ningún
cuanticador, se les denomina, precisamente, libres ( reales).
te, lo que deseábamos formalizar.
Denición
2.20.Imaginemos que se desea formalizar hay una tortuga que
Se
denomina
seudo_fbf a toda expresión que contenga variacorre más que todos los gatos y todos los perros. Podría formables
libres.
lizarse x corre más que y por Cxy ; entonces ∃x∀y∀z(Cxy ∧
Denición 2.21.Cxz) representa la expresión. En vez de ∀y∀z podemos escribir
Un cuanticador, siempre va indizado por una o varias varia∀2 yz , o simplemente ∀yz .
bles de sujeto. Se denomina prejo cuanticacional a ésto.
Denición 2.14.Se
llama matriz cuanticacional a la fbf o sub_fbf alcanzaEn las expresiones también pueden aparecer constantes (objeda
por el prejo.
tos especícos del dominio). Se representan con letras minús-
Ejemplo 2.8.-
culas, pero de las primeras del alfabeto.
Sea el B anterior. Tenemos dos prejos cuanticacionales: ∀x
Por ejemplo, si M xy ← x es mayor o igual que y , entonces y ∃y , cuyas matrices son, respectivamente, [∃y (P xy ∧ Qxy) →
la expresión ∀yM ay es falsa en el dominio Z de los números Rx] y [P xy ∧ Qxy ].
enteros, al no existir ningún número entero a mayor que todos 2.3.5. Implicación y equivalencia lógica
...
los demás.
Ejemplo 2.3.-
. Precedencia de cuanticadores y conectivas
2.3.4
Salvo que los símbolos de puntuación indiquen otra cosa,
los cuanticadores son menos potentes que las conectivas de la
Lógica Proposicional.
Denición 2.15.-
Grado lógico de una fbf de la Lógica de Primer Orden es el
número de símbolos lógicos que posee, contando las repeticiones.
Ejemplo 2.4.-
1. Grado_Lógico[∀x (¬P x → Qx)] = 3
2. Grado_Lógico[∃x (Qx ∧ ¬∀yQy) → ∀xRx] = 6
Denición 2.16.-
Se denomina símbolo dominante de una fbf de la Lógica de
Primer Orden al símbolo lógico más potente.
Ejemplo 2.5.-
1. Símbolo_Dominante[∀x (¬P x → Qx)] = ∀
2. Símbolo_Dominante[∃x (Qx ∧ ¬∀yQy) → ∀xRx] =→
Denición 2.17.-
Se denomina alcance de un símbolo lógico en una fbf de la Lógica de Primer Orden al conjunto de fbf o sub_fbf del cuál sea
símbolo dominante. El uso correcto de paréntesis es esencial a
la hora de determinar el alcance de un símbolo lógico.
Ejemplo 2.6.-
Sean A, ∀x (¬P x → Qx) y B , ∀x (∃y (P xy ∧ Qxy) → Rx). Entonces: Alcance[→; A] = {¬P x, Qx}; Alcance[∃y; B ] = {P xy ∧
©2014, Juanmiguel León-Rojas. Metalicencia Gratuidad Cristiana <
. Equivalencia lógica
2.3.6
...
. Interdenición de cuanticadores
2.3.7
Los cuanticadores universal y existencial se relacionan así:
¬∀xP x ≡ ∃x¬P x
∀xP x ≡ ¬∃x¬P x
¬∃xP x ≡ ∀x¬P x
∃xP x ≡ ¬∀x¬P x
De este modo, es suciente un cuanticador y la conectiva
¬ para denir el otro. De forma paralela a la Lógica Proposi-
cional, se habla de conjunto adecuado de cuanticadores
(caf ), siendo en este caso, tres: {∃, ∀}, {∃} y {∀}.
. Modelos de Herbrand
2.3.8
...
. Teoría de la demostración
2.4
...
. Deducciones formales
2.4.1
...
. Sistemas deductivos
2.4.2
...
. Corrección
2.4.3
...
. Consistencia
2.4.4
...
. Completitud
2.4.5
...
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. Sistema de deducción natural (SDN)
2.5
. Semidecidibilidad
2.6
De igual modo que como hacíamos en Lógica Proposicional, 2.6.1. Tablas de verdad
consideramos unas reglas básicas, a partir de las cuales somos
Dada P x, sus valores de verdad (realmente conjuntos de vacapaces de generar todos los teoremas de la Lógica de Primer lores de verdad) pueden ser: {0} si P x es falsa, {0, 1} si P x es
Orden. Este sistema de deducción natural es el introducido verdadera para ciertos valores de x y falsa para otros, ó {1}
por Gentzen y Jaskowski, en 1934.
si P x es siempre verdadera. Puede, entonces, construirse una
2.5.1. SDN para la cuanticación monádica (LPO-M)
tabla de verdad para los cuanticadores:
. Reglas básicas
2.5.1.1
Introducción de ∀ 4 :
Eliminación de ∀:
Eliminación de ∃5 :
Introducción de ∃:
. Reglas derivadas
P a ` ∀xP x
∀xP x ` P a
∃xP x ∧ P a ∧ · · · ∧ A ` A
P a ` ∃xP x
2.5.1.2
Descenso:
Mutación de variable:
∀xP x ` ∃xP x
∀xP x a` ∀yP y
∃xP x a` ∃yP y
Distribución en conjunción ∀x (P x ∧ Qx) a` ∀xP x ∧ ∀xQx
y disyunción:
∃x (P x ∨ Qx) ` ∃xP x ∨ ∃xQx
∀xP x ∨ ∀xQx ` ∀x (P x ∨ Qx)
∃x (P x ∧ Qx) a` ∃xP x ∧ ∃xQx
∀x (P x ∨ Qx) ` ∀xP x ∨ ∃xQx
∃xP x ∧ ∀xQx ` ∃x (P x ∧ Qx)
Distribución en implicación: ∀x (P x → Qx) ` ∀xP x → ∀xQx
∃xP x → ∃xQx ` ∃x (P x → Qx)
∀x (P x → Qx) ` ∃xP x → ∃xQx
∃x (P x → Qx) ` ∀xP x → ∃xQx
Distribución en
∀x (P x ↔ Qx) ` ∀xP x ↔ ∀xQx
coimplicación:
∀x (P x ↔ Qx) ` ∃xP x ↔ ∃xQx
Distribución condicionada (x ligada en A):
en conjunción y
A ∧ ∀xP x a` ∀x (A ∧ P x)
disyunción:
A ∧ ∃xP x a` ∃x (A ∧ P x)
A ∨ ∀xP x a` ∀x (A ∨ P x)
A ∨ ∃xP x a` ∃x (A ∨ P x)
en implicación:
(A → ∀xP x) a` ∀x (A → P x)
(A → ∃xP x) a` ∃x (A → P x)
(∀xP x → A) a` ∃x (P x → A)
(∃xP x → A) a` ∀x (P x → A)
. SDN para la cuanticación poliádica (LPO-P)
. Reglas básicas
2.5.2
2.5.2.1
Introd. de ∀6 : P a1 . . . an ` ∀x1 . . . xn P x1 . . . xn
Elimin. de ∀: ∀x1 . . . xn P x1 . . . xn ` P a1 . . . an
Introd. de ∃: P a1 . . . an ` ∃x1 . . . xn P x1 . . . xn
Elimin. de ∃: (∃x1 . . . xn P x1 . . . xn ∧ P a1 . . . an ∧ · · · ∧ A) ` A
. Reglas derivadas
2.5.2.2
Conmutativas
(∀, ∃):
∀x∀yP xy a` ∀y∀xP xy
∃x∃yP xy a` ∃y∃xP xy
∃x∀yP xy ` ∀y∃xP xy
∀x∀yP xy ` ∀xP xx
∃xP xx ` ∃x∃yP xy
∀xP x ∃xP x
{0}
{0}
{0}
{1}
{1}
{1}
Análogamente, dada P xy , sus valores de verdad pueden ser:
0 si P xy es falsa para cualquier pareja (x, y), {0, 1} si P xy es
verdadera para ciertos pares (x, y) y falsa para otros, ó 1 si P xy
es verdadera para cualquier par (x, y):
P xy ∀xyP xy ∀x∃yP xy ∀y∃xP xy . . .
{0}
{0}
{0}
0
{0}
{0, 1}
{0, 1}
{0, 1}
{1}
{1}
{1}
1
. . . ∃y∀xP xy ∃x∀yP xy ∃xyP xy
0
0
{0}
{0, 1}
{0, 1}
{1}
1
1
{1}
Px
{0}
{0, 1}
{1}
. Dominio de interpretación nito
2.6.1.1
En este caso, es posible sustituir los cuanticadores por expresiones lógicamente equivalentes en función de las conectivas
∧, ∨. Si a1 , a2 , . . . , an son los elementos del dominio de interpretación, entonces8 :
∀xP x a` P a1 ∧ P a2 ∧ · · · ∧ P an
∃xP x a` P a1 ∨ P a2 ∨ · · · ∨ P an
Así, en un dominio de interpretación nito no es necesario
el uso de cuanticadores, aunque se hace por comodidad, y la
decibilidad de una fbf de la Lógica de Primer Orden con dominio de interpretación nito se reduce a la decibilidad de una
fbf en Lógica Proposicional.
. Dominio de interpretación no nito
LPO-M:
Ejemplo 2.9.2.6.1.2
¾Es válida ∀x(P x → P x ∨ Qx)?
Px
Qx
1
1
1
0
1
{0, 1}
{0, 1}
1
{0, 1}
0
{0, 1} {0, 1}
0
1
0
{0, 1}
0
0
Px
1
1
1
{0, 1}
{0, 1}
{0, 1}
0
0
0
→ P x ∨ Qx
1
1
1
1
1
1
1
1
1
{0, 1}
1
{0, 1}
1
1
1
{0, 1}
1
0
∀x(P x → P x ∨ Qx)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Reducción del ∀7 :
Doblez del ∃:
Algunas de las demás reglas de cuanticación monaria se
En las las señaladas, las implicaciones son verdaderas; baspueden extender fácilmente a cuanticación n-aria; por ejem- ta observar que las evaluaciones se hacen para un x determiplo:
nado. En ambos casos, la implicación sería falsa si P x es 1 y
Descenso: ∀x1 . . . xn P x1 . . . xn ` ∃x1 . . . xn P x1 . . . xn
P x ∨ Qx es 0, pero esto es imposible.
4 a
no es una constante, un objeto concreto del dominio, sino todo lo contrario, a representa un objeto cualquiera, libre de cualquier condición.
Por ejemplo, si de P a ∨ Qa deducimos P a, esto es una suposición, luego no podemos aplicar la regla para obtener ∀xP x. Esta regla reeja la idea
de representante de una clase, entendiendo por tal, a un objeto que goza de todas las propiedades comunes de los objetos de la clase. Si un aserto es
comprobado para él, no hace falta comprobarlo para el resto de objetos de la clase.
5 a representa un individuo que si bien verica P , no debe poseer ninguna otra propiedad (esto es, no debe haber intervenido en pasos anteriores
de la demostración). Además no debe aparecer en A. Esta regla representa la idea de que si sabemos que existe un objeto, y de la existencia de ese
objeto deducimos una conclusión, entonces no hace falta identicar a tal objeto para tener la conclusión. Por ejemplo, de ∃xP x ← hay una sustancia
resbaladiza en el suelo concluimos A ← podemos caernos si no vamos con cuidado, sin tener que identicar la sustancia, ya sea aceite, una cáscara
de plátano, etc.
6 Son válidas las consideraciones hechas en cuanticación simple, sólo que aquí debemos hacerlo extensivo a todos los parámetros.
7 y no debe estar ligado ni en ∀x∀yP xy ni en ∃x∃yP xy .
8 Algunos autores simbolizan los cuanticadores universal y existencial en la forma V y W, respectivamente, debido a esta relación que existe entre
los cuanticadores y las conectivas en el caso nito.
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En el caso de la LPO-M toda fbf es decidible (teorema de
(1915)). Tal teorema reduce el problema de decibilidad a un dominio de interpretación nito; concretamente: si
una fbf de la LPO-M, que consta de n predicados distintos, es
válida en un dominio de interpretación de al menos 2n objetos,
entonces es válida en todo dominio de interpretación no vacío,
sea nito o no.
En teoría ..., perfecto, pero en la práctica se necesitaría una
tabla de verdad enorme para determinadas fbf. En vez de tal
teorema se utilizan ciertos algoritmos (cfr. Frost (1989) y Garrido (1991)).
LPO-P:
Löwenheim
Ejemplo 2.10.-
∃yP xy
0
{0, 1}
1
La norma para la aplicación de las reglas de extensión
es la siguiente:
(1) Las reglas (α), (β) y (δ) sólo se aplican una vez√ a cada
nodo, tras lo que se etiqueta el nodo con el signo .
(2) La regla (γ) puede aplicarse indenidamente.
(3) Las reglas (α) y (β) tienen prioridad sobre las reglas (δ) y
(γ).
(4) La regla (δ) tiene prioridad sobre la regla (γ).
(5) Una vez cerrada una rama, se etiqueta con el signo × y no
se extiende más.
...
. Resolución
¾Es válida ∀x∃yP xy ?
P xy
0
{0, 1}
1
rama (o un parámetro cualquiera, caso de no existir tal
término).
2.6.3
...
∀x∃yP xy
0
{0, 1}
1
. Indecidibilidad
2.6.4
...
En el caso de la LPO-P no todas las fbf son decidibles.
Según la 2ª la, es posible, pero no es válida.
Existen varias clases de fbf decidibles, de entre las cuales desSin embargo, en el caso de la LPO-P no todas las fbf son tacamos tres (descubiertas ya por Bernays y Schonfinkel
en 1928):
decidibles cfr. § 2.6.4.
1 ) Todas las fbf del tipo ∀x1 . . . ∀xi ∃xi+1 . . . ∃xn P x1 . . . xn .
2.6.2. Tablas semánticas
Además de los patrones de extensión de tipo α (con- 2 ) Todas las fbf del tipo ∀x1 . . . ∀xn P x1 . . . xn .
3 ) Todas las fbf del tipo ∃x1 . . . ∃xn P x1 . . . xn .
juntivos):
α
α1
α2
Doble negación (DN):
¬¬A
A
A
Conjunción (C):
A∧B
A
B
Negación de la disyunción (ND): ¬(A ∨ B) ¬A ¬B
Negación de la implicación (NI): ¬(A → B)
A ¬B
y los patrones de extensión de tipo β (disyuntivos):
º
º
º
Consulte también
...
. Apéndice I: Demostraciones matemáticas
2.7
En la Matemática, las implicaciones lógicas (Φ |= A) y las
β
β1
β2
deducciones
o inferencias formales (Φ ` A) colapsan en imNeg. de la conjunción (NC): ¬(A ∧ B)
¬A
¬B
plicaciones,
deducciones
o inferencias matemáticas (Φ ⇒ A) y
Disyunción (D):
A∨B
A
B
las
equivalencias
lógicas
(Φ ≡ A) y las deducciones o inferenImplicación (I):
A→B
¬A
B
cias
formales
dobles
(
Φ
a` A) en equivalencias matemáticas
Equivalencia (E):
A↔B
A ∧ B ¬A ∧ ¬B
9.
(
Φ
⇔
A
)
Neg. de la equivalencia (NE): ¬(A ↔ B) A ∧ ¬B ¬A ∧ B
En esta sección tratamos sobre algunas formas de demostrar
se tienen ahora patrones de extensión para los casos de las
la
validez
o falsedad de un teorema matemático, A ⇒ B (si quicuanticaciones.
siéramos
demostrar
un teorema de la forma A ⇔ B , debemos
Denición 2.22.demostrar
que
se
satisfacen
A ⇒ B y B ⇒ A).
Los patrones de extensión de tipo δ (cuanticación exis2.7.1. Demostración por contraejemplos
tencial):
Si se sospecha que no es correcto el teorema A ` B , esδ(x)
δ(t)
to
se
podría demostrar encontrando un ejemplo para el que A
Neg. del cuantif. universal (NCU): ¬∀xA(x) ¬A(t)
sea
verdadera
y B sea falsa (es decir, un modelo para A, ¬B ).
Cuanticador existencial (CE): ∃xA(x) A(t)
Se
dice
entonces
que se ha encontrado un contraejemplo al
y los patrones de extensión de tipo γ (cuanticación
teorema.
Obsérvese
que un único contraejemplo es suciente
universal):
para demostrar la invalidez del teorema pero el hecho de que
γ(x)
γ(t)
no se encuentre un contraejemplo no signica que el teorema
Cuanticador universal (CU): ∀xA(x) A(t)
sea válido.
Negación del cuantif. existencial (NCE): ¬∃xA(x) ¬A(t)
2.7.2. Demostración con ejemplos
...
Denición 2.23.El hecho de encontrar variados ejemplos que veriquen un
Como sabemos, las reglas de extensión, (α) y (β) permiten teorema no demuestra la validez del mismo. Sólo ocurre esto
extender un árbol, introduciendo subfórmulas de las fbf que eti- último en casos especiales, por ejemplo: (a) el universo es nito
quetan nodos de dicho árbol. En LPO se añaden dos nuevas (a veces, este tipo de demostración se llama inducción perfecta
reglas, (δ) y (γ). Sea A una fbf que etiqueta un nodo hoja; si la o exhaución): todos los impares mayores que 0 y menores que
rama de la cual es nodo
√ hoja, ρA , es abierta y el nodo de A no 9 son primos; en este caso, podemos analizar uno a uno esos
está etiquetado con , entonces:
números (1, 3, 5, 7), resultando ser todos primos y por tanto,
Regla (δ): Si A es una fbf de tipo δ , se extiende ρA , con un verdadero el teorema; (b) un teorema de existencia : en esa
nuevo nodo, δ(a), siendo a un parámetro que no aparece bolsa hay alguna bola blanca.
2.7.3. Demostración directa
antes en la rama.
Regla (γ): Si A es una fbf de tipo γ ), se extiende ρA , con un
Consiste en demostrar la validez del teorema directamente,
nuevo nodo, γ(t), siendo t un término que aparece en la esto es, simplemente debemos inferir B de A.
9 Algunos autores introducen símbolos como ∴ (por tanto) o ∵ (porque), diferenciando el nivel metalingüístico de la Matemática del del
lenguaje natural, pero nosotros preferimos no hacerlo.
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Ejemplo 2.11.-
. Sosmas no formales por ambigüedad
2.8.2
¾(∀x ∈ Z)(x múltiplo de 10 ⇒ x múltiplo de 5)?
Se distinguen:
Resolución. Sí. En efecto, ∃k ∈ Z, x = k · 10 ⇔ ∃k ∈ Z, x = • Por equívoco, que corresponde a una ambigüedad semánk ·2·5) y como k ·2 ∈ Z, se tiene que ∃h = k ·2 ∈ Z, x = h·5.
tica, léxica, y sucede cuando el signicado de los términos
involucrados en las premisas varía según estas;
2.7.4. Contraposición
•
Por vaguedad, que ocurre ante ciertos términos imprecisos;
Consiste en demostrar directamente la validez de ¬B ⇒ ¬A
•
Anbología, que corresponde a una ambigüedad sintácti(lo que por la regla de contraposición, (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A),
ca, estructural o incluso semántica pero inmersa en una
equivale a demostrar la validez de A ⇒ B ).
subestructura de la armación;
Ejemplo 2.12.•
Por énfasis, que ocurre cuando se destaca toda o parte de
¾∀x ∈ Z, x múltiplo de 10 ⇒ x múltiplo de 5)?
la armación;
Resolución. Sí. En efecto, usando la contrapositiva, la pregun•
Por composición, que sucede cuando se le atribuye una
ta es equivalente a: ¾(∀x ∈ Z)(si x no es múltiplo de 5 entonpropiedad a un todo porque sus partes la tienen;
ces no es múltiplo de 10)? Y esto es cierto, pues estando A y
•
Por división, que corresponde a atribuir una propiedad a
B denidos como anteriormente, ¬B ≡ (∀n ∈ Z)(x 6= n·5);
las partes de un todo porque este la tiene.
en particular, sea un entero de la forma n = k·2, entonces:
Ejemplo
2.14.(∀k ∈ Z)(x 6= k·2·5) ≡ (∀k ∈ Z)(x 6= k·10) ≡ ¬A.
Por
equívoco
: {Únicamente el gato maúlla, Ninguna ga2.7.5. Reducción al absurdo
ta
es
un
gato
}
` Ninguna gata maúlla se ha alterado el
Consiste en demostrar la validez de (A ∧ ¬B) ⇒ 0, lo cual,
signicado
de
gato;
{El conocimiento es poder, El posegún la regla (reducción al) absurdo, (¬A ⇒ 0) ⇒ A, implica
der
es
algo
que
corrompe
} ` El conocimiento es algo que
la validez de A ⇒ B .
corrompe
se
ha
alterado
el signicado de es (de expresar
Ejemplo 2.13.una
identidad
en
la
primera
premisa a un uso predicativo en
¾Si un número real sumado consigo mismo es él mismo, entonla
segunda).
Por
vaguedad
: {Alguna bola es roja, Esto
ces tal número es el cero?
es
una
bola
}
`
Esto
es
una
bola
roja. Anbología: {Todo
Resolución. Sí. En efecto, sea x ∈ R, A ∧ ¬B ⇔ x + x = x ∧ x 6=
grupo
tiene
un
elemento
neutro,
(Z, +) tiene por elemento
0; al ser x 6= 0, podemos dividir 2x = x entre x, lo cual conduce
neutro
el
0
}
`
Todo
grupo
tiene
por elemento neutro el 0
a la contradicción 2 = 1.
el enunciado anbológico es la primera premisa, pues en una
2.8. Apéndice II: Sosmas, falacias, paralogisinterpretación el neutro puede ser distinto para cada grupo y
mos
en la otra (la que usa el argumento), todos los grupos tienen
Las deniciones de sosma, falacia y paralogismo, según el el mismo elemento neutro. Por énfasis: . . . Por composiDiccionario de la Lengua Española (Real Academia Españo- ción: . . . Por división: . . .
la)10 son las siguientes:
2.8.3. Sosmas no formales materiales
sosma.
Entre estos últimos, a su vez, se distinguen los sosmas
(Del lat. sophisma, y este del gr. σ ó ϕισµα).
por datos insucientes y los sosmas de pertinencia.
1. m. Razón o argumento falso con apariencia de verdad.
2.8.3.1. Sosmas por datos insucientes
falacia.
• Generalización inadecuada: la muestra a partir de
(Del lat. fallacῐa ).
la que se inere la conclusión no es representativa de la
1. f. Engaño, fraude o mentira con que se intenta dañar a alpoblación;
guien.
• Falta de pruebas: se omiten intencionadamente los datos
2. f. Hábito de emplear falsedades en daño ajeno.
o hechos desfavorables para la conclusión;
paralogismo.
• Falsa causa: se toma un hecho como causa de otro, cuan(Del lat. paralogismus, y este del gr. παραλo γισµó ς ).
do no lo es.
1. m. Razonamiento falso.
Entre los sosmas por falsa causa se distinguen:
Debido a esto, y dado que no vamos a entrar en disquisi- ◦ De correlación coincidente o post hoc post hoc,
ciones sobre intencionalidades, preferimos emplear la denomiergo propter hoc (tras esto, luego a causa de esto) o non
nación sosma. La esencia, en cualquier caso, está en que se
sequitur (no le sigue): {Ocurre A, B ocurre después de
trata de una argumentación o inferencia errónea.
A} ` A es causa de B ;
Se distingue entre sosmas formales y sosmas no for- ◦ De correlación accidental non causa pro causa (una
males.
no causa por causa): {A ocurre cuando B ocurre} ` A es
2.8.1. Sosmas formales
causa de B o B es causa de A.
• Armación de la ∨:
{A ∨ B, A} ` ¬B
Ejemplo 2.15.• Falso dilema ( B&W Thinking): A ∨ B ∨ C a` 1,
...
A ∨ B, ¬A ` B
. Sosmas de pertinencia
2.8.3.2
Armación del consecuente:
{A → B, B} ` A
• Ad hominen (contra el hombre): ; existen dos modaNegación del antecedente:
{A → B, ¬A} ` ¬B
lidades:
Argumentum ad logicam:
{0} ` 0
ofensiva:
Transposición de cuanticador: ∀x∃yP xy ` ∃y∀xP xy
{A arma P , A no es digna de consideración por tal y
Secundum quid:
{∃a ∈ A, P a} ` ∀x ∈ A, P x
cual} ` P es falso.
Existencial:
∀xP x ` ∃xP x
y circunstancial:
Nótese que esta última, que puede sorprender, es errónea si
{A arma P , A no es able por sus circunstancias
el dominio es vacío.
particulares} ` P es falso.
Entre los sosmas no formales se distinguen los sosmas • Ad baculum (al bastón), apelación a la fuerza:
por ambigüedad y los sosmas materiales.
{A arma P , A tiene dominio sobre B} ` P .
•
•
•
•
•
•
10
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• Ad
•
•
•
•
•
populum (al pueblo): Se excitan los sentimientos
del contrario a favor de la armación. Dependiendo del tipo de sentimiento que se excite puede recibir otros nombres,
p.je. Ad misericordiam (a la misericordia).
{A arma P , Se apela (sin fundamento) a los sentimientos y
emociones de A sobre P } ` P .
Ex populo (a partir del pueblo): Se apela (sin fundamento) a la creencia de una mayoría:
{Se arma P , La mayoría cree P } ` P .
Ad verecundiam (apelación a la autoridad):
{A arma P , Se apela (sin fundamento) al conocimiento de
A sobre P } ` P .
Ad ignorantiam (a la ignorancia): Si no se ha demostrado la falsedad de algo se inere que es verdadero:
{No existe prueba de que P sea falso (resp. verdadero)} ` P
es verdadero (resp. falso).
Ignoratio elenchi (ignorancia del tema): La conclusión que se obtiene no es o no tiene que ver con la premisa:
{A arma P } ` Q.
Tu quoque (tú también): Se devuelve la ofensa pretendiendo la razón (puede verse como un caso particular de
sosma ad hominen):
{A arma que B satisface P (algo negativo), B arma que
A satisface P } ` B satisface ¬P .
Petitio principii (petición de principio): La conclusión
es una de las premisas
{P , P → Q, Q → P } ` P .
Ejemplo 2.16....
. Sosmas de justicación de hipótesis
• De predicción vaga: . . .
• De salvación ad hoc de una hipótesis: . . .
• Por predicción múltiple: . . .
• Por falta de predicción: . . .
Ejemplo 2.17.2.8.3.3
...
. Apéndice III: Vías identicadas de inferencia
2.9
Veámoslo con un ejemplo. Sean A ← Estas bolas las he sacado de esta bolsa (la muestra); B ← Estas bolas son rojas
(un hecho observable en la muestra); C ← Las bolas de esta
bolsa son rojas (la población).
• Inducción: De saber que se está ante una muestra que
procede de una población determinada observar que una propiedad es satisfecha por todos los elementos de la muestra, inferir
que dicha propiedad la satisfacen todos los elementos de dicha
población {A, B} ` C ó {B, A} ` C .
• Educción: . . .
• Aducción: . . .
• Deducción: De saber que una propiedad se satisface en
toda una población y de saber que estamos ante una muestra
que procede de dicha población, inferir que dicha propiedad se
satisface en dicha muestra {C, A} ` B .
• Abducción: De saber que una propiedad se satisface en
toda una población y de observar que dicha propiedad se satisface en toda una muestra, inferir que dicha muestra procede
de dicha población {C, B} ` A;
• Transducción: 1 ← A, 2 ← B , 3 ← C .
• Retroducción: . . .
1º) Inducción: Para cada organización Oi se razona así: Este trabajador de esta organización es el que mejor desempeña ese puesto Y Este trabajador posee las características
Ci , LUEGO El mejor de esta organización para desempeñar ese puesto posee las características Ci .
2º) Retroducción: Estos trabajadores son los mejores en el
desempeño de ese puesto en sus organizaciones Y Estos trabajadores poseen las características φ(C1 , . . . , Cn ),
LUEGO El mejor posee las características φ(C1 , . . . , Cn )
φ indica una función o procedimiento de agregación,
por ejemplo, una media aritmética, ponderada, etc.;
φ(C1 , . . . , Cn ) indica un conjunto de características resultado de dicha agregación de características procedentes de
las distintas organizaciones.
3º) Abducción: El mejor posee las características
φ(C1 , . . . , Cn ) Y Este candidato posee las características
φ(C1 , . . . , Cn ), LUEGO Este candidato es el mejor.
Ejemplo 2.19.-
¾Qué signica ser lógico?. . .
Para el próximo reclutamiento, en la organización X deciden proponer dos pruebas estructuradas (el entrevistador proporciona una lista estable de cuestiones), que contienen cuestiones de respuesta de elección múltiple, cuestiones de profundidad
(desarrollo de temas), cuestiones interactivas de descripción de
conductas (¾qué haría el entrevistado en tal o cual supuesto o
simulación?) y de tensión (que provocan al entrevistado, inspeccionando su grado de paciencia). Lo novedoso, creen ellos,
es que el número de cuestiones lo determina el candidato (esto mide su potencial de aceptación de riesgo, de atrevimiento).
La dinámica de las pruebas es ir solicitando cuantas cuestiones
deseen, se atrevan y se arriesguen a fallar.
La persona A, en la primera, solicita 6 (falla en la 6) y en
la segunda, 19 (falla al principio 7 seguidas). La persona B , en
la primera, solicita 14 (falla las 4, 9, 10) y en la segunda, 6.
. . .entre
muchas cosas: saber lo que se quiere.
Los porcentajes de aciertos son los siguientes:
A: 5 de 6 en la primera prueba y 7 de 19 en la segunda.
B : 11 de 14 en la primera prueba y 2 de 6 en la segunda.
Si sólo se atiende a estos porcentajes:
La persona A es preferida () a B en la primera prueba
porque 5/6 > 11/14 y también A B en la segunda prueba
porque 7/19 > 2/6. Sin embargo, B A en el conjunto de
ambas porque 13/20 > 12/25.
. Apéndice IIII: Paradojas
2.10
...
2.11
. Ejercicios
2.1 .- Considere la expresión: (∀x)(P x ∨ Qx) → (∀x, P x) ∨
(∀x, Qx). ¾Existe alguna interpretación, con dominio el conjunto de números reales, R, que no sea un modelo para dicha
expresión?
2.2 .- Considere la expresión: (∀x)(P x ∧ Qx) → (∀x, P x) ∧
(∀x, Qx). ¾Existe alguna interpretación que no sea un modelo
para
dicha expresión?
2.3 .- Considere la expresión: (∀x)((Ax ∨ Bx) ∧ ¬(Ax ∧ Bx)).
a) ¾Cuál es su valor de verdad si el dominio de interpretación
es Z y A(x) = x ≥ 0 y B(x) = x < 0?
b) Encuentre otra interpretación de la expresión anterior para
la que el valor de verdad de la expresión sea el contrario.
2.4 .- Demuestre la validez del siguiente argumento ( San
Agustín, vía A. Deaño (2002), p. 363): Si me engaño, exisEjemplo 2.18.Se trata de elegir el mejor candidato para un puesto. Podría to. El que no existe no puede engañarse; luego yo existo si me
hacerse en tres fases consecutivas: una inducción, una retro- engaño.
2.5 .- En un monte hay 77 animales, los cuales tienen o dos o
ducción y una abducción:
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cuatro patas. Un habitante del lugar le dice: Al menos uno de
los animales tiene dos patas, y dado cualquier par de animales,
al menos uno de los dos tiene cuatro patas.
a) Formalice en el lenguaje L1 lo que le dice el lugareño.
b) ¾Cuántos animales hay de dos y de cuatro patas?
2.6 .- ¾Qué única deducción es posible obtener a partir de las
siguientes premisas? (Lewis Carroll)
P1 ← Ningún gato que gusta del pescado es indomesticable
P2 ← Ningún gato sin cola jugará con un gorila
P3 ← Gatos con bigotes gustan siempre del pescado
P4 ← Ningún gato tiene cola a menos que tenga bigotes
P5 ← Ningún gato domesticable tiene ojos grises
2.7 .- Sabiendo que el Parlamento consiste en la Cámara de
los Comunes más la Cámara de los Lores, demuestre la validez de la siguiente inferencia (Lewis Carroll, vía A. Deaño
(2002), p. 366):
Todos los miembros de la Cámara de los Comunes
tienen perfecto dominio de sí mismos
Ningún parlamentario que use corona de nobleza
participaría en una carrera de burros
Todos los miembros de la Cámara de los Lores
usan corona de nobleza
Ningún miembro del Parlamento participaría
en una carrera de burros a menos que
tuviera un perfecto dominio de sí mismo
2.8 .- ¾Es la siguiente argumentación correcta? Lo mejor pa
ra despejar las dudas [sobre el porcentaje o el número de parados de España] es preguntarse cuántos parados conoce, cuántos
tiene usted en su familia. Es una de las estadísticas más ables.
Se lo aseguro. Luego pregunte a sus vecinos y sume. (Rodolfo
Serrano, El País Semanal, 6-2-1985).
Nombres propios
I . . . I Wilhelm
Ackermann (n. 1896, f. 1962) I Aristó(n. 384 a.C., f. 322 a.C.) I Paul Isaac Bernays (n.
1888, f. 1977) I Evert Willem Beth (n. 1908, f. 1964) I Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (n. 1781, f. 1848)
I Rudolf Carnap (n. 1891, f. 1970) I Lewis Carroll (Charles Lutwidge Dodgson) (n. 1832, f. 1898) I Alonzo Church
(n. 1903, f. 1995) I Haskell Brooks Curry (n. 1900, f. 1982)
I Martin David Davis (n. 1928) I Augustus De Morgan (n.
1806, f. 1871) I Friedrich Ludwig Gottlob Frege (n. 1848, f.
1925) I Gerhard Gentzen (n. 1909, f. 1945) I Kurt Gödel
(n. 1906, f. 1978) I Georg Wilhelm Friedrich Hegel (n. 1770,
f. 1831) I Leon Albert Henkin (n. 1921, f. 2006) I David
Hilbert (n. 1862, f. 1943) I Stanisªaw Jaśkowski (n. 1906, f.
1965) I Donald Kalish (n. 1919, f. 2000) I Jan Šukasiewicz
(n. 1878, f. 1956) I Richard Merritt Montague (n. 1930, f.
1971) I Giuseppe Peano (n. 1858, f. 1932) I Charles Sanders
Peirce (n. 1839, f. 1914) I Willard Van Orman Quine (n.
1908, f. 2000) I John Alan Robinson (n. 1928) I John Barkley Rosser Sr. (n. 1907, f. 1989) I Bertrand Arthur William
Russell (n. 1872, f. 1970) I Alfred Tarski (n. 1902, f. 1983)
I Alan Mathison Turing (n. 1912, f. 1954) I Alfred North
Whitehead (n. 1861, f. 1947) I . . . .
Más nombres propios y biografías, en:
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◦ Colaboradores de Wikipedia (2014): List of logicians,
http://en.wikipedia.org/wiki/List_
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course/view.php?id=289#section-1, [último acceso:
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CGL, CC0, CC BY.
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©
mán Molina
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Apéndice: Lo básico en GNU Octave
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• Juanmiguel
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Software (P. 1.1: Introducción a GNU OCtave MatLab) (Notas incompletas de clase), http:
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y funciones) (Notas incompletas de clase), http:
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• Juanmiguel
© CGL, CC0, CC BY.
(2014): Prácticas con Software
(P. 1.3: Iteración y Recursión) (Notas incompletas de clase),
León-Rojas
http://cala.unex.es/cala/cala/file.php/289/
08-Practicas-con-software/08-Practicas-consoftware-Parte-01-03.pdf, [último acceso: 23 de
febrero de 2014].
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©2014, Juanmiguel León-Rojas. Metalicencia Gratuidad Cristiana <
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