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Relación 4.
Modelos discretos de distribuciones.
1.– Si se lanzan dos dados diez veces al aire, ¿cuál es la probabilidad de que en más de la
mitad de las ocasiones se obtenga una suma par de puntos?
2.– Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo ofrece dos formas
de pago: al contado o a plazos. Se sabe que el 20% de las unidades adquiridas lo son al
contado.
a) Supuesto un número de ventas n, un beneficio de 1.000 pts. en las ventas al contado y
uno de 1.100 en las ventas a plazos, obtenga el beneficio esperado.
b) Si han sido vendidas cinco unidades, obtenga la probabilidad de haber vendido al menos
dos al contado.
3.– El porcentaje de tabletas de aspirina defectuosas verificadas en una máquina automática
es del 1%.
a) Si las pastillas se colocan en tubos de 20 tabletas, ¿cuál es la probabilidad de que un
tubo contenga x defectuosas?
b) Si los tubos se colocan en cajas de 25 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que una
caja contenga exactamente 20 tubos con ninguna tableta defectuosa?
4.– Un cierto proceso de fabricación se considera aceptable si produce un porcentaje de
artículos defectuosos inferior al 1%. Para inspeccionar si se mantiene este nivel, se extrae
una muestra de n artículos cada hora, se examina y si se encuentra algún artículo
defectuoso se detiene la producción. En el caso concreto de que se llegara a producir un 5%
de artículos defectuosos, el fabricante desearía que la producción se detuviera con un 95%
de probabilidad. ¿Qué valor debe tener n para que se cumplan los deseos del fabricante?
5.– Una empresa dedicada a la fabricación de motores desea adquirir una máquina para la
fabricación de cierto elemento. Supongamos que la máquina produce una proporción p de
artículos defectuosos. Se desea estimar p para contrastar la calidad de la misma. Se
propone usar como una aproximación a p, la proporción de piezas defectuosas en una
muestra de tamaño n. Determine el valor mínimo de n para asegurar que el error cometido al
estimar p sea menor de 0.1, al menos con una confianza del 99%.
6.– En la central telefónica de una ciudad se recibe un promedio de 480 llamadas por hora.
Si la central tiene una capacidad tal que puede atender a lo sumo doce llamadas por minuto,
¿cuál es la probabilidad de que en un minuto determinado no sea posible dar línea a todos
los clientes que lo soliciten?
7.– Supongamos que la demanda mensual de televisores de una cierta marca, sigue una
distribución de Poisson de parámetro 10, y que el beneficio neto por unidad es de 5.000
ptas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio neto mensual que obtenga un comerciante
sea, al menos, de 60.000 ptas.?
b) ¿Qué stock debe almacenar el comerciante a principio de mes para tener una
probabilidad de 0.95 de satisfacer toda la demanda durante dicho mes?
Estadística aplicada a la empresa I.
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8.– Sean X e Y vv.aa. P(λ1) y P(λ2), respectivamente, independientes entre si. Determine la
distribución de X condicionada a que X+Y=n.
9.– El proceso de fabricación de una pieza puede llevarse a cabo en una cualquiera de las
dos cadenas de montaje cuyo funcionamiento es incompatible. La primera opera a un ritmo
medio de 1 montaje/hora y la segunda a uno de 2, siguiendo en ambos casos leyes de
Poisson las correspondientes variables.
a) Si en una jornada de 8 horas se van alternando las cadenas de trabajo de manera que al
final del día cada una de ellas ha estado funcionando la misma cantidad de tiempo, ¿cuál
es la probabilidad de que en toda la jornada se hayan superado los 20 montajes?
b) ¿Cuál sería el coste diario de fabricación esperado si las cadenas se van alternado entre
si cada dos horas y el coste de producción de la primera es de 3.000 u.m. por inicio de
funcionamiento y de 2.000 u.m. por pieza fabricada, mientras que para la segunda es de
10.000 u.m. por pieza y el mismo que la otra por inicio de funcionamiento?
10.– A un hotel llegan dos carreteras A y B. El número de llegadas diarias por cada carretera
sigue una distribución de Poisson de parámetro 8 para la primera y 9 para la segunda.
Ambas variables son independientes entre si.
a) Si un día llegaron 12 personas, ¿cuál es la probabilidad de que 7 llegaran por la carretera
A?
b) Si el coste de manutención por cliente es de 2.000 pts., en los días en lo que haya
menos de 5, y de 1.500, en los que haya 5 o más, halle el coste total esperado diario.
11– Suponga que el número de llamadas que recibe una operadora entre las 9 y las 9:05
horas de cualquier día sigue una distribución de Poisson de parámetro 5. Determine la
probabilidad de que después de dos días, el número total de llamadas recibidas en dicho
intervalo de tiempo sea 8.
12.– Un proceso de control de calidad se caracteriza porque la inspección implica la
destrucción de la pieza examinada. El proceso de inspección se detiene cuando se obtiene
una pieza defectuosa. Se sabe de experiencias similares que la probabilidad de encontrar
una pieza defectuosa es del 5%.
a) Calcule el número medio de piezas que se destruyen en una inspección de calidad.
b) Halle la probabilidad de que en el proceso se destruyan más de dos piezas en buen
estado.
13.– En un proceso de control de calidad se procede a la rotura sucesiva de piezas para
comprobar su resistencia. Se conoce que la probabilidad de que una pieza sea correcta es
0,8 y cada pieza cuesta 100 u.m. El proceso de control se detiene cuando se encuentra la
primera defectuosa.
a) Determine la distribución del número de piezas destruidas en el proceso de control.
b) ¿Cuál sería el coste medio del proceso?.
c) ¿Cuál sería el coste medio si el proceso se detuviera al encontrar la tercera pieza
defectuosa?
14.– Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica. Demuestre que
P(X>n+m/X>m)=P(X≥n).
15.– La probabilidad de un lanzamiento con éxito es 0,8. Supongamos que se realizan
sucesivos ensayos hasta obtener el tercer éxito.
Estadística aplicada a la empresa I.
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios menos de 6 intentos?
b) Si cada uno de los ensayos cuesta 5.000 u.m. y cada fracaso produce un coste adicional
de otras 500 u.m., calcule el coste total esperado de la experiencia.
16.– Sean X e Y vv.aa. independientes que siguen distribuciones geométricas de
parámetros p y p' respectivamente. Calcule:
a) P(X=Y)
b) P(X+Y=n)
c) P(X=m/X+Y=n)
17.– En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas
que provienen de una línea de ensamblaje. Se piensa que la proporción de unidades
defectuosas es de 0,05.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se
encuentre defectuosa?
b) ¿Cuántas unidades se tienen que inspeccionar, por término medio, hasta encontrar
cuatro defectuosas?
c) Calcule la desviación típica del número de unidades que se deben inspeccionar hasta
encontrar la cuarta defectuosa.
18.– Un fabricante de chips de silicio los empaqueta en lotes de 25. El comprador
inspecciona los lotes antes de aceptarlos. Para ello, toma una muestra de 3 chips de cada
lote. Si en la muestra encuentra menos de 2 chips defectuosos, acepta el lote. Al comprador
le interesa que los lotes aceptados no contengan demasiados chips defectuosos.
a) Sabiendo que en un lote hay M defectuosos, calcule la probabilidad de aceptarlo.
b) ¿Es muy grande dicha probabilidad si M=6?
c) ¿Se reduce mucho esta última probabilidad si sólo aceptáramos un lote cuando en la
muestra no se encontrara ningún chip defectuoso?
19.– Una empresa se dedica a forrar tresillos. El porcentaje de tresillos con el forro colocado
defectuosamente es del 5%.
a) Calcule la probabilidad de que entre 20 no haya ninguno defectuoso.
b) Al cargar una partida de 10, se sabe que hay dos defectuosos entre ellos. ¿Cuál es la
probabilidad de que examinados 5 al azar, aparezcan los dos defectuosos?
20.– Una compañía de transportes por carretera observa que tiene una tasa de averías de 3
camiones/día. El tiempo de reparación necesario por camión es el trabajo de un día de
equipo. ¿Cuántos equipos son necesarios para tener una probabilidad, por lo menos del
95%, de que un cierto día, todas las reparaciones demandadas serán atendidas?
21.– Sea X una variable aleatoria que mide el número de piezas defectuosas que aparecen
en una caja de 20 unidades. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es del 5%.
Sobre una muestra de 10 cajas se calcula una nueva variable Z definida como el número
medio de piezas defectuosas por caja.
a) Determine la distribución de Z.
b) Encuentre la expresión P(Z<3).
22.– Las cajas de naranjas de una cooperativa tienen una probabilidad del 15% de contener
un mínimo de 4 unidades en mal estado. En un embarque de 17 cajas, halle la probabilidad
de:
Estadística aplicada a la empresa I.
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a) que 3 de ellas contengan 4 o más naranjas defectuosas.
b) que 12 de ellas contengan menos de 4 naranjas defectuosas.
23.– Una persona hace 5 lanzamientos independientes de un dardo a un blanco. Sea p la
probabilidad de dar en el blanco en una tirada. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer tiro
haya dado en el blanco si se sabe que hizo exactamente tres blancos en las cinco tiradas?.
24.– Una compañía de líneas aéreas tiene aviones de 2 y 4 motores. Para todos los aviones,
la probabilidad de que falle un determinado motor es p=0,1 y estos fallan
independientemente unos de otros. Un vuelo sólo puede finalizar con éxito si al menos la
mitad de los motores del avión funcionan.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo finalice con éxito si el avión que lo realiza tiene
dos motores?. ¿Y si tiene cuatro?
b) Si en una determinada ruta se usan los aviones bimotores el doble de veces que los
cuatrimotores, ¿qué proporción de vuelos de esa ruta finalizará con éxito?. ¿Cuál es la
probabilidad de que el primer vuelo que no finalice con éxito sea después del décimo?
c) En las condiciones del apartado b), si un vuelo llegó sin novedad a su destino, ¿cuál es
la probabilidad de que fuera un bimotor?
25.– Supongamos que el número de llamadas recibidas en la central telefónica de una cierta
empresa sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. Supongamos que la
probabilidad de que una llamada cualquiera provenga del extranjero es p, con
independencia de las demás. Determine la distribución del número total de llamadas
recibidas que provienen del extranjero.
SOLUCIONES:
1.– a) 0,377
2.– a) 1080n b) 0,2627
 20 
3.– a)   0,01x 0,9920–x si x=0,1,2,...,20; b) 0,1909
 x
4.– n≥59
5.– n≥2500
6.– 0,0638
7.– a) 0,3032 b) ≥ 15.
8.– B(n,λ1/(λ1+λ2))
9.– a) 0,0116 b) 100.000
10.– a) 0,1683 b) 25.500,34
11.– 0,1126
12.– a) 20 b) 0,8574
13.– a) P(X=x)=0,2(0,8)x-1 b) 500 c) 1.500
15.– a) 0,94208 b) 19.125
16.– a) (pp’)/(1-qq’) b) pp’(qn+1-(q’)n+1)/(q-q’) c) qm(q’)n–m(q-q’)/(qn+1-(q’)n+1)
17.– a) 0,01887 b) 80 c) ó= 38,9872
18– a) (25–M)(24–M)(23+2M)/13.800 b) 0,8674; c) P(aceptar)= 0,4213
19.– a) 0,3585 b) 2/9
20.– Más de cinco.
Estadística aplicada a la empresa I.
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29  200 
 200 
 0,05x 0,95200–x
21.– a) p(Z=z)= 
 0.0510z 0.95200–10z si z= 0, 0,1,..., 19,9, 20 b) ∑ 
x
x =0 
 10 z 

22.– a) 0,2359 b) 0,0668
23.– 3/5
24.– a) 0,99, 0.9963 b) 0,9921, 0,9238 c) 0,6653
25.– P(λp)
Estadística aplicada a la empresa I.
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