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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes crearán modelos y calcularán soluciones de ecuaciones trigonométricas
por medio de la transformación de funciones trigonométricas. Crearán, describirán y harán
predicciones sobre fenómenos periódicos para resolver situaciones matemáticas y del mundo real.
Lograrán entender teoremas básicos sobre círculos y hallarán longitudes de arco y áreas de sectores de
los círculos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las razones y funciones para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real mediante
la aplicación de medidas indirectas.
Estándares de contenido y expectativas
Funciones trigonométricas
A.PR.11.4.1 Identifica ángulos en posición estándar y asocia su medida con la rotación del lado
terminal.
 Define los ángulos en el plano (en posición estándar, los cuadrantes, los lados coterminales y el
ángulo de referencia).
A.PR.11.4.3 Representa las funciones trigonométricas por medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones.
 Evalúa funciones trigonométricas para un número real dado.
 Reconoce las características principales de cada una de las funciones trigonométricas (el dominio,
el recorrido, las intersecciones con los ejes, los valores máximos y mínimos, las asíntotas y los
intervalos donde es creciente o decreciente).
Propiedades de los círculos
A.PR.11.4.2 Define el círculo unitario.
M.UM.11.8.1 Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones
entre ambas unidades de medida.
M.UM.11.8.2 Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3, π/2,
π, y sus múltiplos.
M.TM.11.8.3 Calcula longitudes de arco.
M.TM.11.8.4 Determina el área de un sector circular.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
 Podemos encontrar aplicaciones de funciones
trigonométricas en la vida cotidiana.
 ¿Qué proyecto han hecho tú o tu familia que
podría incluir la trigonometría?
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
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 Los triángulos nos permiten comprender
cosas importantes.
 Las funciones trigonométricas sirven de
modelo para situaciones de la vida real.
 El círculo unitario ayuda a solucionar
problemas.
 ¿Cómo nos ayudan los triángulos a entender
el mundo?
 ¿Por qué son útiles las funciones
trigonométricas?
 ¿Cómo el círculo unitario nos ayuda a
entender nuestro mundo?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
 Ángulos en posición estándar
 La definición de círculo unitario
 Los ángulos en el plano (en posición estándar,
cuadrantes, lados coterminales y ángulo de
referencia)
 Las características principales de cada una de
las funciones trigonométricas (dominio,
recorrido, intersecciones con los ejes, valor
máximo y mínimo, asíntotas y crecimiento y
decrecimiento de intervalos
 Los valores de las funciones trigonométricas
en los radianes (ej., 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π)
 Identificar ángulos en posición estándar y
asociar su medida con la rotación del lado
terminal.
 Representar las funciones trigonométricas por
medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones.
 Evaluar funciones trigonométricas para un
número real dado.
Vocabulario de contenido
 Funciones trigonométricas: amplitud, ángulo
de referencia, asíntota, características de
funciones trigonométricas, cuadrantes,
dominio, eje principal, funciones
trigonométricas, intersecciones, intervalo
creciente, intervalo decreciente, lados
coterminales, lado terminal, periodo, posición
estándar, trigonometría, valor máximo, valor
mínimo
 Propiedades del círculo: arco, círculo unitario,
grados, pi (π), radián, sector circular, valores
de las funciones trigonométricas
 Reconocer las características principales de
cada una de las funciones trigonométricas (el
dominio, el recorrido, las intersecciones con
los ejes, los valores máximos y mínimos, las
asíntotas y los intervalos donde es creciente o
decreciente).
 Determinar la medida de los ángulos en
grados y en radianes, y establecer las
conversiones entre ambas unidades de
medida.
 Desarrollar y aplicar los valores de las
funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3,
π/2, π y sus múltiplos.
 Calcular longitudes de arco.
 Determinar el área de un sector circular.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
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Tareas de desempeño
Otra evidencia
1
La estrella: ¿Cuán rápida es? ¿Cuán segura?
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las propiedades de los círculos al solucionar un
problema sobre una estrella.
Parte 1: La gente se está quejando de que la
estrella de un parque de diversiones va muy
rápido, y tienen miedo de montarse. El operador
de la estrella acaba de ser transferido hace poco
de la estrella para niños, donde nunca había
recibido ninguna queja. Tu reto es llegar hasta el
fondo del problema y encontrarle una solución.
Con un poco de investigación se obtuvieron los
siguientes datos:
1. La estrella para niños tiene un diámetro de 40
pies.
2. La estrella regular tiene un diámetro de 200
pies.
3. Al preguntársele, el operador provee la
siguiente información: "Llevo veinte años
operando la estrella para niños, ¡y nunca he
recibido ni una sola queja! Este es mi sistema:
la estrella tiene asientos de diferentes
colores. Seis de ellos son de color dorado
brillante y se suceden a intervalos iguales.
Experimentando durante varios años,
encontré que si un asiento dorado llegaba al
suelo cada diez toques de la segunda
manecilla de mi reloj, los niños quedaban
contentos. Ni muy rápido, ni muy lento.
Resulta que la estrella para adultos también
tiene seis asientos dorados que se suceden a
intervalos iguales. Estoy haciendo lo que he
hecho siempre, ¡pero los adultos dicen que es
muy rápido! No lo entiendo..."
Parte 2: La estrella se encuentra junto a una
hermosa huerta sembrada de árboles. Sin
embargo, estos están envejeciendo y, durante una
tormenta reciente, algunos de los más pequeños
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. ¿Cuál ecuación podría usarse para hallar la
medida de un ángulo agudo en el ángulo
rectángulo que se muestra a continuación?3
a)
b)
c)
d)
2. El poste central de una caseta de acampar
es de 8 pies de longitud, y un lado de esta es
de 12 pies de longitud, según se muestra en el
diagrama a continuación.4
Si se forma un ángulo recto en el lugar en que
el poste central toca el suelo, ¿cuál es la
medida del ángulo A al grado más cercano?
a)
34
b)
42
c)
48
d)
56
3. En un reloj, la manecilla que marca la hora
mide 4.5 pulgadas y la manecilla que marca
los minutos mide 6 pulgadas.5
a) ¿Cuál es la medida del arco que describe
la manecilla que marca la hora a medida
que esta se mueve de las 11 a las 4? ¿Cuál
1 Fuente: www.curriculumframer.com
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se cayeron, y estuvieron a punto de dañar la
estrella. Tu tarea es decidir qué hacer con los
árboles restantes. La propietaria ha marcado unos
cuantos árboles que le preocupan. Desde la base
de la estrella, has medido el ángulo entre el suelo
y la línea de visión hasta el tope del árbol, así
como la distancia entre la base del tronco y la
base de la estrella. (La estrella tiene un diámetro
de 200 pies.)
 Árboles junto a la estrella
Árbol 1 – a 45 pies de distancia, medida del
ángulo = 65°
Árbol 2 – a 82 pies de distancia, medida del
ángulo = 38°
Árbol 3 – a 30 pies de distancia, medida del
ángulo = 78°
 A la propietaria no solo le preocupa si los
árboles le darán a la estrella si se caen, sino
también dónde le darían.
 Además, como los árboles seguirán
creciendo, a la propietaria le gustaría que le
enseñaras a cómo estar pendiente de los
árboles en el futuro.
 Presenta tus hallazgos en un informe
ilustrado.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
¿Quién tiene la razón?2
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
es la longitud de este arco?
b) ¿Cuál es la medida del arco que describe
la manecilla que marca los minutos a
medida que esta se mueve de las 11 a las
4? ¿Cuál es la longitud de este arco?
c) ¿Cuál es el área del sector que cubre la
manecilla que marca la hora a medida que
se mueve de las 11 a las 4?
4. En el diagrama a continuación, el círculo
unitario O posee los radios , y es la tangente
del círculo O en B, y es la tangente del círculo
O en E. Los puntos O, F, D y C son colineales, y
.
Si m , identifica los segmentos de línea cuyas
medidas sean cada una de las siguientes:6
sen
2 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
5 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%203%20TE%20APS%20Supplement.pdf
4 Ibídem.
3 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Algebra/A.A.43.htm
6 Ibídem.
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maestra. Escribe una explicación detallada en
que compares los grados con los radianes. La
explicación debe ser lo más detallada posible
para ayudarle a Anthony a entender la
conexión. Incluye cualquier cosa que pueda
aclarárselo, como diagramas, ecuaciones, etc.9
Boletos de entrada/salida
1. Llena los blancos de la siguiente gráfica.
Función
trigonométrica
Valor exacto
Valor
aproximado
sen π
tan45˚
cos270˚
sen π/3
cos___
/2
tan___
cos___
/2
¿En qué circunstancias utilizarías un
aproximado de cada uno de estos valores, en
vez de dar una respuesta exacta? 10
2. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x) = sen x?
En base a tu respuesta, ¿cuál es el recorrido
7 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskjournal.pdf
8 Ibídem.
9 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
10 Ibídem.
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
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de la función f(x) = csc x? Explica tu
respuesta.11
3. Completa la tabla:
Ángulo
Cuadrante
Trazar
en
posición
estándar
Medida
en
grados
Ángulo
cotermi
nal
positivo
Ángulo
cotermi
nal
negativo
(2π)/3
π/6
(7π)/4
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
 Truco de memorización para razones trigonométricas: Utiliza esta parte como actividad de repaso
rápido. Guía a los estudiantes paso a paso para que creen sus propios trucos de memorización que
les ayuden a recordar las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente. SOH-CAH-TOA les
recuerda a los estudiantes que para calcular 1) seno, tienen que dividir la longitud del lado opuesto
por la hipotenusa; 2) coseno, tienen que dividir la longitud del lado adyacente por la hipotenusa, y
3) la tangente es la longitud del lado opuesto dividido por la longitud del lado adyacente.
 Completa el círculo unitario12: Juntos como clase, completen un círculo unitario en blanco en papel
cuadriculado. Identifiquen y discutan los patrones en los círculos unitarios como forma de
ayudarles a los chicos a recordarlo. Pega en la pared del salón el círculo unitario completado para
que los estudiantes lo usen de referencia en lecciones futuras. Pídeles a los estudiantes que como
práctica en casa completen un círculo unitario en blanco tanto en radianes como en grados. Estos
también les servirán de referencia durante la unidad (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje Completa el círculo unitario).
 Funciones circulares de seno, coseno y tangente 13: Los estudiantes calculan el seno, coseno y la
tangente para trazar la gráfica de cada función. Los estudiantes entonces comparan las
características de las funciones como la amplitud, el periodo, el dominio y el recorrido. Utiliza esta
actividad para introducir y definir términos como amplitud, periodo y eje principal, y para discutir
las características de las funciones circulares básicas (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Las
funciones circulares seno, coseno y tangente).
11 Ibídem.
12 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
13 Ibídem.
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
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 Recorrido de radianes14: Tras introducir a los estudiantes al círculo unitario, pídeles que jueguen al
juego del recorrido de radianes para consolidar su comprensión de las medidas de los ángulos en
los radianes y las coordenadas correspondientes en el círculo unitario.
1. Utiliza cinta adhesiva conductora o cinta adhesiva protectora (masking tape) para crear un
círculo unitario con un diámetro de aproximadamente doce pies en el suelo en el centro del
salón de clases. Incluye los ejes de x y de y para marcar los ángulos de 90 grados. Rotúlalos para
que los estudiantes sepan la ubicación de 0 radianes. Marca los ángulos de 30, 45 y 60 grados
en cada cuadrante.
2. Pon la aguja en el origen. Enciende la música y haz que los estudiantes caminen en un círculo
hasta que se detenga la música. En ese momento cada estudiante deberá estar en uno de los
ángulos del círculo unitario marcados. Haz girar la aguja. La aguja indica el estudiante que debe
mencionar sus coordenadas y ubicación en el círculo unitario. Si ese estudiante comete un
error, quedará eliminado(a) del juego. Si tu clase es de más de quince o dieciséis estudiantes,
tal vez prefieras usar dos círculos unitarios.
 Evaluación de las funciones trigonométricas15: Pídeles a los estudiantes que evalúen las funciones
trigonométricas utilizando triángulos rectángulos especiales, con y sin calculadora (ver anejo: 11.2
Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas).
 Rompecabezas trigonométrico16: Recorta el rompecabezas cuatro por cuatro de funciones
trigonométricas y sus equivalentes. Los estudiantes vuelven a formar el rompecabezas pareando los
equivalentes. Pueden crear también sus propios rompecabezas. (ver anejo: 11.2 Actividad de
aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico).
 Juego del seno coseno17: Una vez se introduzca el tema de las funciones de seno y coseno, los
14 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/radwalk.html
15 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
16 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/cutups.html
17 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sincosgm.html
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
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estudiantes estarán listos para jugar al juego del seno coseno. Una vez se haya dado una
introducción a los estudiantes de las seis funciones trigonométricas, jueguen el mismo juego, pero
mezclen secante con coseno o cosecante con las expresiones de seno en la columna de la izquierda.
Esto ayuda a consolidar en especial las destrezas de razonamiento deductivo, interpretación de
gráficas y aproximación. Los estudiantes tendrán además la oportunidad de aprender de, y trabajar
con otros. (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Juego del seno coseno).
1. Divide la clase en parejas y distribuye hojas sueltas de papel a cada una. En esta hoja habrá dos
columnas. La columna de la izquierda contiene expresiones ya sea con funciones de seno o
coseno. En la columna de la derecha se encuentran aproximaciones decimales de las
expresiones de la columna de la izquierda, pero en un orden aleatorio. Se escogen valores de
forma tal que solo uno de los cinco valores decimales sea posible por cada función.
2. Cada pareja tendrá tres minutos para parear cada expresión de la columna de la izquierda con
su representación decimal correspondiente en la columna de la derecha. No se permite usar
calculadora.
3. Gana la pareja que obtenga los cinco pareos correctos.
Ejemplos para planes de la lección
 Ángulos en el plano18: En esta lección, los estudiantes identificarán y describirán ángulos en el plano
y harán conversiones de medidas de grados a radianes, y viceversa. Guíalos paso a paso con las
notas guiadas mientras los estudiantes completan las hojas a medida que discutes cada tema (ver
anejo: 11.2 Ejemplo para plan de lección - Ángulos en el plano). Dales a los estudiantes problemas
de práctica para consolidar la lección.
 Radianes, grados, longitud de arco, sectores19: En esta lección, los estudiantes aprenderán cómo
convertir de radianes a grados y viceversa. Aprenderán además cómo medir la longitud de arco y
área de los sectores. Guíalos paso a paso con las notas guiadas mientras los estudiantes completan
las hojas a medida que discutes cada tema. (ver anejo: 11.2 Ejemplo para plan de lección Radianes, grados, longitud de arco, sectores).
 Gráficas del círculo unitario20: En grupos de dos a tres estudiantes, utilicen espagueti crudo para
transferir las longitudes del círculo unitario a una función en papel cuadriculado puesto sobre papel
de estraza grande. En el proceso, los estudiantes descubrirán y compararán las características claves
de las gráficas de seno y coseno. Los estudiantes explorarán las relaciones entre las longitudes al
entender cómo todas las medidas se basan solo en el espagueti inicial, que es una unidad (y por lo
tanto, el círculo unitario). La mayoría de la lección tendrá un enfoque en las longitudes físicas
18 Fuente: http://math.springbranchisd.com/high/classes/precalculus/PreCalculus_Scope_08_2008.pdf
19 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
20 Fuente: http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L785
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
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comparativas del espagueti, no en medidas numéricas. Para más información y hojas de
actividades, dirigirse a
http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_9-29.html.
http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L785.
Materiales: papel de estraza, espagueti crudo, cinta adhesiva protectora, transportadores, reglas
métricas, lápices de colores, hilo de tejer (aproximadamente 7 pies por grupo).
Instrucciones:
1. Repártele las gráficas de la actividad de círculo unitario a cada estudiante.
2. El primer reto para los estudiantes será averiguar cómo dibujar un círculo con un radio
equivalente a un fideo. Cuando los estudiantes comiencen a trazar los círculos, date la vuelta
por el salón de clase para asegurarte de que estén bien dibujados.
3. A medida que los estudiantes comienzan a medir y marcar las medidas de sus ángulos,
asegúrate de que coloquen el fideo alrededor del círculo
en contra de las manecillas del reloj comenzando en (1.0).
Esto los ayuda a reforzar la idea de las medidas de ángulos
del círculo unitario para los ángulos que están en posición
estándar. La gráfica funcionará sin importar la dirección en
que coloquen el fideo sobre el círculo, pero esto los
ayudará a reforzar lo que han aprendido sobre la
trigonometría de los círculos unitarios.
4. No distribuyas la hoja de actividades con preguntas hasta
que los estudiantes hayan terminado la hoja de gráficas
correctamente.
 Longitud de arco y sectores de área21: Se guía a los estudiantes paso a paso con un ejemplo del
mundo real para que descubran cómo calcular tanto la longitud de arco como el área de sectores
circulares.
Instrucciones:
Longitud de arco: La medida de un arco se calcula en unidades de grados y se define como la
medida de su ángulo central. La longitud de arco se calcula en unidades de distancia. En esta tarea,
elaborarás una fórmula para calcular la longitud de un arco.
1. Considera la foto del carrusel aquí al lado. El caballo más próximo al centro está a 12 pies del
centro del carrusel. El caballo más lejano del centro está a 24 pies de este.
2. Supón que el carrusel da una vuelta completa.
a. ¿Por cuántos grados gira el caballo más lejano?
b. ¿Por cuántos grados gira el caballo más próximo?
c. ¿Recorren los caballos la misma distancia? ¿Por qué o por qué no?
d. Si los dos caballos recorren la misma distancia, ¿cuán lejos llegan? Si recorren
diferentes distancias, ¿cuán lejos llega cada uno? Explica cómo lo sabes.
3. Supón que el carrusel rota 120°.
21Fuente:http://www.atlanta.k12.ga.us/cms/lib/GA01000924/Centricity/Domain/262/Math_II_Unit_3_APS_STUDENT_E
dition.pdf
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
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a. ¿Cuántos grados rota el caballo más lejano?
b. ¿Cuántos grados rota el caballo más próximo?
c. ¿Cuán lejos llega cada caballo durante esta rotación? Explica cómo lo sabes.
4. Puede hacerse un modelo de las posiciones del caballo más próximo y más lejano del centro del
carrusel usando dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos son círculos coplanales que
tienen el mismo centro.
a. Utiliza tu compás para construir círculos concéntricos que representen las posiciones
del caballo más próximo y más lejano a medida que gira el carrusel.
b. Considera que la distancia que recorre un caballo es la longitud de arco que atraviesa el
caballo en su círculo. Utiliza tu diagrama y respuestas de los problemas 1 y 2 para ayudarte
a determinar una fórmula para hallar la longitud de cualquier arco en cualquier círculo.
Área de un sector: El carrusel de la foto necesita ser remodelado. Supón que, en un esfuerzo por
hacerlo más colorido, la feria desea pintarle un patrón de sectores al suelo del carrusel. Un sector
de un círculo es una región entre dos radios y un arco de un círculo.
5. Considera el suelo del carrusel. Puede representarse con el círculo externo de tu diagrama del
Problema 3a. Utiliza tu compás para construir un único círculo que represente el suelo del
carrusel. ¿Cuál es el área del suelo? Explica cómo lo sabes.
6. El propietario ha decidido pintar el suelo con un patrón de sector con ángulos centrales de 10°,
20°, y luego de 30°. Utiliza tu transportador y un escalímetro (regla triangular de ingeniero)
para dibujar el patrón de tu círculo. ¿Cuántos sectores de cada medida de grado tiene tu
"piso"?
7. Supón que cada sector con un ángulo central de 10° se pintará de púrpura, cada sector con un
ángulo central 20° se pintará de rosa y cada sector con un ángulo central 30° se pintará de azul.
¿Cuántos pies cuadrados del piso estarán pintados de púrpura? ¿De rosa? ¿De azul? Explica
cómo lo sabes.
8. Utiliza lo que aprendiste en los problemas 4 y 6 para ayudarte a determinar una fórmula para
hallar la longitud de cualquier sector en cualquier círculo.
Recursos adicionales






http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Pre cálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
 Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
 El matemático del rey de Juan Carlos Arce
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
 La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
 Trigonometric Delights de Eli Maor
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