Download ESTALMAT-Andalucía Actividades 05/06

ESTALMAT-Andalucía
Sesión: nº 22
Fecha: 10 de junio de 2006
Actividades 05/06
Título: Construcción de Poliedros –deltaedros-
______________________________________________________________________________________
Hoja número 0. CONSTRUYENDO POLIEDROS.
El material que tienes sobre la mesa se llama CREATOR o POLYDRON. Consta de piezas –polígonos
regulares- que pueden engarzarse para formar cuerpos como los sólidos platónicos que se ilustran más abajo.
Durante algunos minutos, maneja las piezas y aprende a engarzarlas. Luego, cuando el profesor te lo indique,
realiza las siguientes prácticas:
1) Construye, en primer lugar, un poliedro familiar muy familiar: el CUBO.
2) Utilizando sólo triángulos equiláteros, forma otro poliedro: el TETRAEDRO.
3) Finalmente, utilizando sólo pentágonos regulares, construye el DODECAEDRO.
Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.
Actividades 05/06
ESTALMAT-Andalucía
Sesión: nº 22
Fecha: 10 de junio de 2006
Título: Construcción de Poliedros –deltaedros-
_________________________________________________________________________________________
Hoja número 1. LOS CINCO POLIEDROS REGULARES.
Vamos a terminar de construir los cinco poliedros regulares (¡¿Sólo hay cinco?!), aprendiendo algunas cosas
sobre los mismos: Ángulos Diedros, Orden de los Vértices y una relación entre el Número de Caras, Aristas y
Vértices, conocida como Fórmula de Euler (que en realidad vamos a recordar pues ya la conocéis).
1) Construye los cinco poliedros
regulares: Tetraedro, Octaedro,
Cubo, Dodecaedro e Icosaedro:
2) Ángulos Diedros. Su medida:
Dos planos determinan un
Cubo
Tetraedro
DIEDRO. Las caras de los
Poliedros determinan ÁNGULOS
DIEDROS.
Dodecaedro
En un Cubo todos los ángulos
diedros son iguales, ¿Sabrías decir
cuánto mide?
Icosaedro
Octaedro
En el Cubo es muy fácil de
calcular. Pero no así en los demás
poliedros. ¿Qué se te ocurre para
medirlos? ¿Sabrías precisar cómo se determina dicho ángulo?
3) Cuenta, en cada poliedro, el número de Caras, Aristas y Vértices. Explica cómo los has contado.
4) Se llama Orden de un Vértice al número de caras que concurren en él. Calcúlalo en cada poliedro.
Completa la siguiente tabla:
Número de
POLIEDRO
REGULAR
Tetraedro
Ángulo
Diedro
V
A
C
Orden
del
Vértice
70º31'44''
Cubo
Octaedro
109º28'16''
Dodecaedro
116º33'54''
Icosaedro
138º11'32''
5) A la vista de la tabla, ¿encuentras alguna relación entre el número de Caras, Aristas y Vértices? Escríbela.
(Dicha relación se llama Fórmula de Euler.)
Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.
ESTALMAT-Andalucía
Sesión: nº 22
Fecha: 10 de junio de 2006
Actividades 05/06
Título: Construcción de Poliedros –deltaedros-
_________________________________________________________________________________________
Hoja número 2. Poliedros Arquimedianos.
A) En la figura de la derecha se representa un Cubo truncado.
Se ha obtenido a partir del cubo truncándolo.
Vamos a describir dicho poliedro.
a) Indica: Tipo de caras. Y número de cada tipo.
b) Este poliedro se ha obtenido truncando un cubo. ¿Sabrías describir cómo se
ha producido el truncamiento?
c) ¿Cuánto vértices, aristas y caras tiene el Cubo truncado?
B) El Cuboctaedro es otro poliedro arquimediano obtenido truncando el cubo.
¿Sabrías ahora decir cómo se ha de efectuar el truncamiento del cubo para
obtener dicho poliedro?
Describe los elementos que componen el cuboctaedro.
Hay trece poliedros Arquimedianos (llamados así en honor a Arquímedes). Todos se obtienen a partir de los
poliedros regulares mediante truncamiento.
[El programa Poly (del que puedes obtener una versión gratuita e instalarla en tu ordenador) te permite
visualizar todos los poliedros arquimedianos (y otros muchos)].
Otros ejemplos de poliedros arquimedianos son los que se muestran más abajo, respectivamente:
Icosidodecaedro, Rombicuboctaedro e Icosaedro truncado.
¿Sabrías describir el último de ellos? [Es la forma adoptada por muchos balones de fútbol. Era el modelo
reglamentario hasta hace muy poco]
Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.
Actividades 05/06
ESTALMAT-Andalucía
Sesión: nº 22
Fecha: 10 de junio de 2006
Título: Construcción de Poliedros –deltaedros-
_________________________________________________________________________________________
Hoja número 3. DESARROLLOS DE POLIEDROS
Un poliedro, como el cubo que se ilustra más abajo, puede “abrirse” hasta colocar todas sus
caras sobre un plano. Obtenemos así un desarrollo del poliedro.
Æ
Æ
El desarrollo de un cubo está compuesto por seis cuadrados unidos por aristas, formando una
figura plana que se denomina hexaminó.
Hay hexaminós que son desarrollos del cubo (como el de la figura de arriba, a la derecha) y otros
que no.
A) Dibuja cinco hexaminós distintos que sean desarrollos del cubo y otro cinco que no lo sean.
B) Dibuja en cada uno de los casos que se ilustran a continuación (tetraedro, antiprisma
hexagonal y octaedro truncado), un desarrollo del poliedro correspondiente.
Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.
Actividades 05/06
ESTALMAT-Andalucía
Sesión: nº 22
Fecha: 10 de junio de 2006
Título: Construcción de Poliedros –deltaedros-
_________________________________________________________________________________________
Hoja número 4.
¡Sólo hay cinco poliedros regulares!
Utilizando un único tipo de polígono, sólo con triángulos, cuadrados o pentágonos pueden construirse polígonos
regulares. Con cuadrados sólo se puede construir el Cubo; con pentágonos, sólo el Dodecaedro. Si probamos
que con triángulos sólo pueden construirse tres poliedros regulares, habremos demostrado que ¡sólo hay cinco
poliedros regulares! Eso es lo que vamos a ver en esta actividad.
DELTAEDROS. Se denominan deltaedros a los poliedros convexos construidos con triángulos equiláteros.
Designaremos por Delta-n al deltaedro convexo con n caras.
En ésta práctica se trata de que construyas, con el material que te facilite el profesor, todos los deltaedros
convexos. Procura llevar algún orden (¡es fundamental!). Si vas anotando los datos en la tabla adjunta, tendrás
una gran ayuda. Organízate con tu grupo.
DELTAEDRO
V
A
C
V-3
V-4
V-5
(V- n es el nº de vértices de orden n)
¿Qué puedes decir del número de Caras?
En algún caso, te puede ser útil conjeturar la existencia de un Deltaedro y, luego, intentar construirlo.
Para ello, te puede ir bien los datos que hayas escrito en la tabla.
Los deltaedros pueden obtenerse unos de otros siguiendo un método. ¡A ver si eres capaz de encontrar
dicho método!
Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.
ESTALMAT-Andalucía
Sesión: nº 22
Fecha: 10 de junio de 2006
Actividades 05/06
Título: Construcción de Poliedros –deltaedros-
_________________________________________________________________________________________
Hoja número 4. Lectura final.
Capítulo XXV: Cómo no puede haber más de cinco cuerpos regulares.
del Libro:
La divina proporción. Luca Pacioli (1445-1517)
Edición de Akal, 1991, con traducción de J. Calatrava.
---------------Conviene ahora demostrar cómo en la naturaleza no pueden ser más de cinco los
mencionados cuerpos, es decir, los cuerpos cuyas bases sean iguales entre sí, lo mismo que sus
ángulos sólidos y planos y sus lados. Ello es así porque para la constitución de cada ángulo sólido es
necesario el concurso de al menos tres ángulos superficiales; luego, porque los tres ángulos de un
hexágono equiángulo son iguales a cuatro ángulos rectos, y, además, en el heptágono, es decir, la
figura de siete lados y, en general, en toda figura equilátera y equiángula de más lados, sus tres
ángulos son siempre mayores que cuatro rectos (...), y todo ángulo sólido es menor que cuatro ángulos
rectos.
(...) Así queda claro que ninguna figura sólida equilátera y de ángulos iguales pueda formarse
con superficies hexagonales o de más lados, pues si tres ángulos del hexágono equilátero y equiángulo
son mayores que un ángulo sólido, se sigue que, con mucha más razón, cuatro o más ángulos
excederán de dicho ángulo sólido.
Sin embargo, tres ángulos del pentágono equilátero o equiángulo son , manifiestamente,
menores que cuatro rectos, mientras que cuatro son mayores que cuatro rectos. De donde, con tres
ángulos de un pentágono equilátero y equiángulo, se puede formar un ángulo sólido, pero con cuatro
o más no es posible formar un ángulo sólido. Por ello, un cuerpo se forma sólo con pentágonos
equiláteros y equiángulos, y es el llamado por los filósofos dodecaedro o, de otra manera, cuerpo de
doce pentágonos.(...)
La misma razón se da en las figura cuadriláteras, de lados y ángulos iguales, como se ha dicho
para los pentágonos (...) De ahí que con tres ángulos de dicha figura superficial sea posible formar un
ángulo sólido, pero imposible con cuatro o más. Por ello, (...) se puede formar un sólido que llamamos
cubo, que es un cuerpo contenido por seis superficies cuadradas y con doce lados y ocho ángulos
sólidos.
En los triángulos equiláteros seis ángulos equivalen a cuatro rectos (...), menos de seis ángulos
valen menos que cuatro rectos y más de seis más que cuatro rectos, por lo que con seis ángulos o más
de dichos triángulos no es posible formar un ángulo sólido, mientras que sí lo es con cinco cuatro o
tres. Y, como tres ángulos del triángulo equilátero contienen un ángulo sólido, con triángulos
equiláteros se forma el cuerpo de cuatro bases triangulares iguales llamado tetraedro; y cuando se
unen cuatro de dichos triángulos se forma el cuerpo de ocho bases conocido como octaedro; y si cinco
triángulos equiláteros contienen un ángulo sólido, se forma entonces el cuerpo conocido como
icosaedro, de veinte bases triangulares y de lados iguales.
Así, el por qué son tantos y tales los cuerpos regulares y no más es cosa plenamente aclarada
con lo que hemos dicho.
Antonio Aranda, Ladislao Navarro y Antonio J. Pérez.