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FORMAS POLIEDRICAS
APLICADAS A LA ARQUITECTURA
Los
poliedros
son las figuras geométricas tridimensionales
hermosas que han fascinado a filósofos, a
matemáticos y a artistas por milenios.
Partiendo de la definición: Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional cuyas caras se
componen de polígonos planos que encierran un volumen. Se observa que en la naturaleza
existen formas que se basan en organizaciones poliédricas. Las formas poliédricas de la
naturaleza son soluciones exitosas estables, resistentes, armoniosas y funcionales ante los
retos del entorno natural (fuerzas, vibraciones, temperatura, fluidos, etc.) y hacen posible que
una determinada organización material (inorgánica u orgánica) persista y se mantenga en su
ambiente
Los poliedros han sido estudiados hace miles de años, Platón
por ejemplo estableció 5 sólidos que tienen idénticas caras,
vértices y son convexos, con el tiempo los llamaron sólidos
platónicos: el tetraedro, el exaedro o cubo, el octaedro, el
dodecaedro y el icosaedro, por tener 4, 6, 8, 12 y 20 caras
respectivamente. De los 5 sólidos platónicos tres están
construidos en base a triángulos equiláteros (4,8 y 20 lados),
uno en base a cuadrados (el cubo de 6 cuadrados) y otro en
base a pentágonos (el dodecaedro, 12 lados). En la naturaleza
tienen formas de poliedros platónicos: el metano CH4
(tetraedro), la Fluorita, sustancias alcalinas (exaedro), iones
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lantánidos trivalente (octaedro), pirita (dodecaedro), adenovirus
(octaedro).
Arquímedes, clasificó otros 13 poliedros derivados de los 5
poliedros platónicos, estos se obtienen por el truncamiento o
recorte de sus vértices, así por ejemplo, si un tetraedro
formado por 4 triángulos equiláteros que se unen en 4 vértices
(cada vértice une tres triángulos a la vez), es truncado en estos
cuatro vértices apareciendo 4 nuevos triángulos equiláteros en
los vértices, al perder estos vértices los antiguos triángulos se
transforman en 4 hexágonos, el nuevo poliedro resultante se
llama Tetraedro truncado y tiene 4 triángulos y 4 hexágonos
con 12 nuevos vértices. Los poliedros arquimedianos, no tiene
caras idénticas (por lo general son dos o tres polígonos
diferentes), pero si tienen idénticos vértices y son convexos.
Otro caso interesante se da al truncar un icosaedro (20 lados y
12 vértices), los vértices agrupan a 5 triángulos, que al
truncarse se convierten en 12 pentágonos, los 20 triángulos al
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perder sus puntas se convierten en 20 hexágonos, al final se
tiene un poliedro de 12+20 = 32 lados que une pentágonos y
hexágonos como la clásica pelota de futbol de 32 paños. En
1985 se descubrió que la molécula carbónica del fullereno
(C60), tenía una estructura similar a esta pelota de futbol.
Otros estudiosos han clasificado y definido otros poliedros
como los Prismas y Antiprismas, los poliedros de KeplerPoinsot, los Deltaedros, Los sólidos de Johnson, los poliedros
de catalán entre otros. Todos estos poliedros pueden servir de
inspiración para obtener formas arquitectónicas.
Utilizar un poliedro como base para proponer edificaciones, es
una interesante alternativa sobre todo para proyectos con
materiales no convencionales como el bambú. Las formas
poliédricas aplicadas a la arquitectura ayudan a:
a.- Lograr espacios proporcionados y armónicos, la belleza de
los polígonos y de la composición en base a vértices iguales
b.- Obtener espacios funcionalmente cómodos que puedan
albergar actividades, equipamiento y mobiliario que se adapta a
las formas o bordes poliédricos con un sentido orgánico,
muchas formas poliédricas permiten el ahorro de energía por la
relación entre superficie expuesta y volumen contenido.
c.- Tener espacios convenientemente estructurados,
resistentes y estables ante las fuerzas y cargas estructurales.
Los vértices del poliedro se solucionan con nudos de igual
configuración (en poliedros platónicos y arquimedianos) y con
aristas de tamaño similar lo cual ayuda a una mejor distribución
de las cargas y al trabajo conjunto de los componentes como
unidad estructural.
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Algunos proyectos recientes en los que se aplican formas
poliédricas, permiten tener espacios arquitectónicos cercanos a
lo orgánicos, con proporciones del ser humano, y que al ser
diferentes a las edificaciones ortogonales, pueden ayudar a
generar nuevas formas de agrupamiento urbano, cambiando en
esencia la apariencia de la manzana tradicional y de la ciudad.
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Construir diferentes polígonos regulares
NÚMERO DE LADOS NOMBRE
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
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7 Heptágono
8 Octágono
9Nonágono
10 Decágono
11Endecágono
12Dodecágono
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Geometria
Construir diferentes polígonos regulares
¿Qué es un polígono regular? Tu primera respuesta quizá sea: un polígono donde
todos sus lados tienen la misma longitud; sin embargo, también hay polígonos
irregulares que tienen todos los lados de la misma longitud.
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Entonces, ¿cuál es la definición de polígono regular? ¿Y qué propiedades podemos
usar para construir pentágonos, hexágonos u octógonos regulares?
I. Definición
de poligono regular
Un polígono regular es un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud y
cuyos ángulos tienen todos la misma amplitud.
La figura 1 muestra cinco polígonos regulares.
Para todos los polígonos regulares hay una circunferencia que pasa por todos sus
vértices. Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia circunscrita al
polígono. El centro de esta circunferencia es el centro del polígono.
II. Ejemplos de construcción
1. Construir un pentágono a partir de su circunferencia circunscrita
Propiedad práctica: en un polígono regular con centro en O, todos los ángulos centrales
formados por dos radios de la circunferencia circunscrita que se unen a dos vértices
consecutivos del polígono, deben tener la misma amplitud. Si el polígono tiene n lados,
este ángulo, medido en grados, es igual a
.
Ejemplo: un pentágono tiene 5 lados, así que la medida de cada uno de sus ángulos
centrales es:
.
La figura 2 nos muestra las etapas en la construcción de un pentágono.
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2. Construir un octógono a partir de la longitud de uno de sus lados
Propiedad práctica: A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono con centro
en O. El ángulo
del polígono y el ángulo central
son suplementarios. Además,
el segmento OB es la bisectriz del ángulo
.
Observa esta propiedad en un cuadrado:
Ejemplo: Queremos construir un octógono regular con una longitud concreta para su
lado, que llamaremos AB.
Un octógono tiene ocho lados, por lo que la amplitud de cada uno de sus ángulos
centrales es:
. Nos ayudaremos de las tres figuras siguientes para visualizar
mejor la medida de los ángulos en un octógono.
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Usando la propiedad anterior (180º = ángulo interior + ángulo central) podemos calcular
lo que mide cada ángulo interior del octógono: 180° – 45° = 135°.
Podemos ver así que la mitad de cada ángulo interior es:
.
Para construir ahora el octógono, comenzamos trazando el lado AB del octógono de la
longitud que queramos, y a continuación construiremos un triángulo isósceles
donde
.
El punto O deberá ser el centro del octógono.
La figura 7 nos muestra los pasos a seguir en la construcción del octógono.
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Nota: también podemos construir las sucesivas caras del octógono sin necesidad de usar
la circunferencia circunscrita, ya que sabemos que cada ángulo interior del octógono
mide 135º, pero este método de construcción nos llevaría mucho más tiempo.
3. Construir un hexágono regular usando el compás
Un hexágono tiene seis lados, de manera que cada ángulo central mide
.
Por lo tanto, cada ángulo interior del hexágono mide 180° – 60° = 120°.
Y, en consecuencia, vemos que la mitad del ángulo correspondiente a cada vértice tiene
una amplitud de:
hexágono regular.
. En la figura 8 vemos las medidas de los ángulos en un
De esta manera, podemos comprobar que los triángulos formados al unir el centro y dos
vértices consecutivos, son equiláteros (es decir, el radio de la circunferencia circunscrita
y el lado del hexágono miden lo mismo). Sabiendo esto, podemos construir un
hexágono regular a partir de su circunferencia circunscrita: trasladando la longitud del
radio seis veces a lo largo de la circunferencia.
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piramide base hexagonal
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