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AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES
MÁQUINAS ELÉCTRICAS
Y
ELECTROTECNIA
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 1
IDEAS BÁSICAS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
1. ELECTRICIDAD
1.1. Carga eléctrica. Conductor eléctrico. Dieléctrico
1.2. Ley de Coulomb
1.3. Campo eléctrico o electrostático
1.4. Líneas de fuerza del campo eléctrico
1.5. Potencial y energía potencial eléctrica
1.6. Superficies equipotenciales
2. TEORÍA BÁSICA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2.1. Red, nodo, rama y malla
2.2. Primera ley de Kirchoff
2.3. Segunda ley de Kirchoff
2.4. Ley de Ohm
2.5. Asociación de impedancias
2.6. Teorema de Thevenin
3. MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO
3.1. Imanes y corrientes
3.2. Fuerza magnética. Ley de Lorentz
3.3. Campo magnético generado. Ley de Biot y Sabart
3.4. Campos creados por corrientes eléctricas
3.5. Par inducido en una espira por la que circula corriente
3.6. Experiencias de Faraday-Henry
3.7. Fuerza electromotriz inducida. Ley de Faraday-Henry. Corriente inducida
3.8. Ley de Lenz
3.9. Generalización de la Ley de Faraday-Henry
4. AUTOINDUCCIÓN
4.1. Corrientes autoinducidas
4.2. Coeficiente de autoinducción L. Inductancia de una bobina de n espiras.
4.3. Fem de autoinducción
4.4. Caída de tensión de una bobina
4.5. Energía magnética almacenada en una bobina
4.6. Inducción mutua
4.7. Fundamentos de la generación de corriente alterna
5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
5.1. Fuerza magnetomotriz y reluctancia
5.2. Asociación de reluctancias
2
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 2
CORRIENTE ALTERNA
1. LA CORRIENTE ALTERNA
1.1. La función de excitación sinusoidal
1.2. Valor eficaz. Valor medio
1.3. El fasor
2. EL CIRCUITO RLC
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
La bobina o inductor
El condensador
Impedancia y admitancia
El circuito RL serie
El circuito RC paralelo
El circuito RLC serie
El circuito RLC paralelo
3. POTENCIA EN LA CORRIENTE ALTERNA
3.1. Potencia activa, aparente y reactiva
3.2. El factor de potencia cos 𝜑
4. CIRCUITOS POLIFÁSICOS
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
La conexión en estrella Y
La conexión en triángulo ∆
Impedancias en estrella y en triángulo equivalentes
Potencia trifásica
CAPÍTULO 3
TRANSFORMADORES
1. EL TRANSFORMADOR IDEAL
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
Transformador ideal. Hipótesis
Relación de transformación de tensiones e intensidades
Potencia en un transformador ideal
Transformador de tensiones
Transformador de intensidades
Transformador de impedancias. Impedancia reflejada
Autotransformador
Transformador de aislamiento
Transformadores de medida
2. EL TRANSFORMADOR REAL MONOFÁSICO
2.1. Pérdidas magnéticas
2.2. Corrientes de vacío y de carga
3
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2.3. Circuito equivalente de un transformador real
3. VALORES NOMINALES DE LOS TRANSFORMADORES
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Voltaje nominal
Frecuencia nominal
Potencia aparente nominal. Corriente nominal
Corriente de irrupción
4. ENSAYOS EN LOS TRANSFORMADORES
4.1. Ensayo en vacío
4.2. Ensayo en cortocircuito
5. REGULACIÓN DE VOLTAJE
6. EFICIENCIA DE UN TRANSFORMADOR
7. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
Conexión Y-Y
Conexión Y-Δ
Conexión Δ-Y
Conexión Δ-Δ
Desfase entre el primario y el secundario de transformadores trifásicos
CAPÍTULO 4
MÁQUINAS SÍNCRONAS
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Generadores y motores síncronos
1.2. Diseño de las máquinas síncronas
1.3. Sistemas de excitación
2. GENERADORES SÍNCRONOS
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Voltaje en los terminales de los generadores síncronos
Diagrama fasorial de un generador síncrono
Circuito equivalente de un generador síncrono trifásico
Potencia y par en los generadores síncronos
Efecto de los cambios en la carga de un generador síncrono
Generadores síncronos acoplados en paralelo
3. MOTORES SÍNCRONOS
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Campo magnético giratorio
Relación entre la frecuencia eléctrica y la velocidad de rotación del campo magnético
Principio de funcionamiento de los motores síncronos
Circuito equivalente de un motor síncrono
Efecto de los cambios de carga en los motores síncronos
4
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3.6. Efecto de los cambios de la corriente de campo en los motores síncronos
3.7. Los motores síncronos y la corrección del factor de potencia
3.8. Arranque de los motores síncronos
CAPÍTULO 5
MÁQUINAS ASÍNCRONAS O DE INDUCCIÓN
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Aspectos constructivos de un motor de inducción. Rotor de jaula y rotor bobinado
1.2. Idea del funcionamiento de un motor inducción
2. DESLIZAMIENTO Y FRECUENCIA EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN
2.1. Deslizamiento del rotor
2.2. Frecuencia eléctrica en el rotor
3. CIRCUITO EQUIVALENTE DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
4. POTENCIA DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
5. PAR INDUCIDO, MÁXIMO Y DE ARRANQUE EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
5.1. Par inducido
5.2. Par máximo
5.3. Par de arranque
6. ENSAYOS CARACTERÍSTICOS DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Ensayo con corriente continua sobre el rotor
Ensayo con el rotor bloqueado
Ensayo en vacío
Ensayo a la velocidad de sincronismo
7. CONTROL DEL PAR INDUCIDO EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
8. ARRANQUE DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
8.1. Arranque de los motores de rotor bobinado
8.2. Arranque de los motores de rotor de jaula
9. REGULACIÓN DE LA VELOCIDAD DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
Regulación de la velocidad variando la frecuencia
Regulación de la velocidad variando la tensión de alimentación
Regulación de la velocidad variando el número de pares de polos
Regulación de la velocidad variando la resistencia del rotor
10.MOTORES DE INDUCCIÓN MONOFÁSICOS
10.1.
Motor de inducción monofásico con rotor de jaula
5
10.2.
10.3.
10.4.
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Motor de inducción monofásico de fase partida sin condensador de arranque
Motor de inducción monofásico de fase partida con condensador de arranque
Motor de inducción monofásico con espira en cortocircuito
CAPÍTULO 6
MÁQUINAS DE CORRIENTE CONTINUA
1. INTRODUCCIÓN
2. GENERADORES DE CC
2.1. Rectificación de la corriente mediante el colector de delgas
2.2. Circuito magnético de un generador de CC. Tensión generada en el inducido
2.3. Reacción del inducido. Polos de conmutación. Devanado de compensación
3. TIPOS DE GENERADORES DE CC
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Generador de CC con excitación independiente
Generador de CC con excitación en paralelo
Generador de CC con excitación en serie
Generador de CC con excitación mixta
4. REGULACIÓN DE LA TENSIÓN EN LOS GENERADORES DE CC
5. RENDIMIENTO DE UN GENERADOR DE CC
6. BALANCE DE POTENCIAS DE UN GENERADOR DE CC
7. MOTORES DE CC
8. BALANCE DE POTENCIAS DE UN MOTOR DE CC
9. TIPOS DE LOS MOTORES DE CC
9.1. Motores de CC con excitación independiente y en paralelo
a) Regulación de la velocidad actuando sobre la tensión del inducido
b) Regulación de la velocidad variando la resistencia en serie con el inducido
c) Regulación de la velocidad variando la resistencia en serie con el circuito de excitación
d) Sistema de regulación Ward-Leonard
9.2. Motor de CC con excitación en serie
9.3. Motor de CC con excitación mixta
CAPÍTULO 7
DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS
1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS
2. CARACTERÍSTICAS
2.1. Tensión nominal
6
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2.2. Corriente nominal
2.3. Otras características
3. DISPOSITIVOS DE MANIOBRA
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Contactos
Interruptores
Relés
Contactores
Termostatos y presostatos eléctricos
4. DISPOSITIVOS DE PROTECCIÓN
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Fusibles
Interruptores automáticos
Interruptores diferenciales
Relés térmicos
Relés electromagnéticos
Relés magnetotérmicos
Relés de inversión de corriente
APÉNDICE I
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO CON NÚMEROS COMPLEJOS
1.
EL NÚMERO COMPLEJO
2.
FORMA BINOMIAL DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒂 + 𝒃𝒃
3.
IDENTIDAD DE EULER
4.
FORMA EXPONENCIAL DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒓𝒓𝒋𝒋
5.
FORMA POLAR DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒓∠𝜽
APÉNDICE II
NORMATIVA ELECTROTÉCNICA DE APLICACIÓN EN LA ARMADA
1.
REGLAMENTO ELECTROTÉCNICO DE BAJA TENSIÓN
2.
EL REGLAMENTO DE ALTA TENSIÓN
3.
STANAG 1008 EDICIÓN 9.
4.
UNE 21-135-93 (PARTE 101) «INSTALACIONES ELÉCTRICAS EN BUQUES»
BIBLIOGRAFÍA
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 1
IDEAS BÁSICAS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
1. ELECTRICIDAD
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Carga eléctrica. Conductor eléctrico. Dieléctrico
Ley de Coulomb
Campo eléctrico o electrostático
Líneas de fuerza del campo eléctrico
Potencial y energía potencial eléctrica
Superficies equipotenciales
2. TEORÍA BÁSICA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Red, nodo, rama y malla
Primera ley de Kirchoff
Segunda ley de Kirchoff
Ley de Ohm
Asociación de impedancias
Teorema de Thevenin
3. MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
Imanes y corrientes
Fuerza magnética. Ley de Lorentz
Campo magnético generado. Ley de Biot y Sabart
Campos creados por corrientes eléctricas
Par inducido en una espira por la que circula corriente
Experiencias de Faraday-Henry
Fuerza electromotriz inducida. Ley de Faraday-Henry. Corriente inducida
Ley de Lenz
Generalización de la Ley de Faraday-Henry
4. AUTOINDUCCIÓN
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Corrientes autoinducidas
Coeficiente de autoinducción L. Inductancia de una bobina de n espiras.
Fem de autoinducción
Caída de tensión de una bobina
Energía magnética almacenada en una bobina
Inducción mutua
Fundamentos de la generación de corriente alterna
5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
5.1. Fuerza magnetomotriz y reluctancia
5.2. Asociación de reluctancias
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MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1. ELECTRICIDAD
1.1. Carga eléctrica. Conductor eléctrico. Dieléctrico
La carga eléctrica o cantidad de electricidad de un sistema se cuantifica midiendo su defecto o exceso
de electrones (o cargas negativas) respecto a sus protones (o cargas positivas). Se dice que un sistema está
cargado positivamente cuando el número de protones supera al de electrones, y negativamente en caso
contrario.
La unidad de carga en el Sistema Internacional (SI) es el Culombio (C)
La carga total de un sistema aislado es constante. Se mide sumando algebraicamente sus cargas
positivas y negativas. Por lo tanto, la carga eléctrica en un sistema aislado ni se crea ni se destruye.
Un conductor eléctrico es un material que permite el paso de la electricidad a través de él, mientras
que un dieléctrico (o aislante),no.
1.2. Ley de Coulomb
Las fuerzas de repulsión/atracción entre dos cargas eléctricas del mismo/diferente signo se calculan
mediante la expresión:
𝑄1 𝑄2
𝑢
�⃗
𝐹⃗ = 𝑘
𝑟2 𝑟
siendo 𝑟 la distancia entre las dos cargas, 𝑢
�⃗𝑟 el vector unitario a lo largo de la recta que une ambas cargas y
𝑘 la constante de Coulomb:
1
𝑘=
4𝜋𝜋𝜀0
donde 𝜀 es la permitividad relativa o constante dieléctrica del medio; y 𝜀0 la permitividad del vacío, tal que
𝜀0 = 8,85 · 10−12 y 𝑘0 ≅ 9 · 109 en unidades del SI.
De la ley de Coulomb se deduce que una carga positiva de 1 C, situada en el vacío, repele con una
fuerza de 9 · 109 N a otra carga positiva de 1 C colocada a 1 metro de distancia.
Las fuerzas de Coulomb ejercidas por un sistema de cargas se calculan empleando el principio de
superposición.
1.3. Campo eléctrico o electrostático
Una carga eléctrica o un sistema de cargas origina una perturbación del espacio circundante capaz de
atraer o repeler a otras cargas. Se dice entonces que en dicho espacio existe un campo eléctrico de fuerzas.
Considerando el campo eléctrico generado por una carga 𝑄1 , la intensidad del campo eléctrico 𝐸�⃗ que actúa
sobre otra carga 𝑄2 situada a una distancia 𝑟 de 𝑄1 , es:
𝐹⃗
𝐸�⃗ =
𝑄2
siendo 𝐹⃗ la fuerza de Coulomb existente entre 𝑄1 y 𝑄2 .
𝐸�⃗ se mide en el SI en Newton/Culombio (N/C):
𝑄1
�⃗
𝐸�⃗ = 𝑘 2 𝑢
𝑟 𝑟
para un sistema de cargas puntuales:
𝑄𝑖
𝐸�⃗ = 𝑘 � 2 𝑢
�⃗𝑟
𝑟𝑖
para una distribución continua:
𝑖
𝐸�⃗ = 𝑘 �
9
𝑑𝑑
𝑢
�⃗
𝑟2 𝑟
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1.4. Líneas de fuerza del campo eléctrico
El campo eléctrico se puede representar mediante líneas de fuerza (fig. 1) que, por convenio, salen de
las cargas positivas y terminan en el infinito o en las cargas negativas. Las cargas positivas son fuentes de
líneas de fuerza, mientras que las negativas son sumideros.
El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de fuerza (fig. 2), de manera que, definido un
desplazamiento infinitesimal de módulo 𝑑𝑑 a lo largo de cualquier línea de fuerza, se cumple que
𝐸�⃗ × 𝑑𝑠⃗ = �0⃗.
1.5. Potencial y energía potencial eléctrica
Si una carga 𝑞 se desplaza desde P hasta P’ (fig. 3) siguiendo la
trayectoria C en presencia del campo creado por otra carga 𝑄, la fuerza
de Coulomb realiza el siguiente trabajo (independientemente del signo
de ambas cargas):
𝑃′
𝑃′
𝑃′
𝑃,𝐶
𝑃,𝐶
𝑃′
𝑃,𝐶
𝑊𝑃→𝑃´ = � 𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗ = � 𝑞𝐸�⃗ · 𝑑𝑟⃗ = � 𝑞𝑞
= 𝑘𝑘𝑘 �
𝑃,𝐶
1
𝑟⃗ · 𝑑𝑟⃗
𝑟3
𝑄
𝑟⃗ · 𝑑𝑟⃗
𝑟3
Pero, el producto escalar 𝑟⃗ · 𝑑𝑟⃗ es 𝑟 𝑑𝑑 , pues sólo influye la
componente radial de 𝑑𝑟⃗ ya que la otra es perpendicular a 𝐹⃗ en cada punto de la trayectoria, como se
aprecia en la fig. 3. Por tanto:
𝑃′
𝑊𝑃→𝑃′ = 𝑘𝑘𝑘 �
𝑃,𝐶
1
𝑑𝑑
𝑟2
𝑄𝑄
𝑄𝑄
𝑊𝑃→𝑃′ = 𝑘
−𝑘
𝑟𝑃
𝑟𝑃 ′
Obsérvese que, por ser el integrando una diferencial exacta; es decir, la diferencial total de una función,
el resultado de la integral no depende de la trayectoria C seguida por la carga, sino, únicamente, de las
posiciones inicial y final.
Si en vez de una carga 𝑞, se desplaza la unidad de carga positiva, el trabajo es el desarrollado por el
campo 𝐸�⃗ , es decir, su circulación a lo largo de cualquier trayectoria entre los puntos P y P’:
𝑃′
� 𝑞𝐸�⃗ · 𝑑𝑟⃗ = 𝑘
𝑃,𝐶
𝑄·1
𝑄·1
−𝑘
𝑟𝑃
𝑟𝑃 ′
Se define el potencial 𝑉(𝑟) del campo creado por una carga 𝑄 (cualquiera que sea su signo), a una
distancia 𝑟 de ella, mediante la siguiente expresión:
𝑄
𝑉(𝑟) = 𝑘
𝑟
Obsérvese que:
𝐸�⃗ · 𝑑𝑟⃗ = −𝑑𝑑
Como 𝑉(∞) = 0, también se cumple que:
10
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
∞
𝑉(𝑟) = � 𝐸�⃗ · 𝑑𝑟⃗
𝑟⃗
El potencial puede ser positivo o negativo, según el valor de 𝑄. Como consecuencia, el campo eléctrico
creado por una carga 𝑄, cualquiera que sea su signo, actúa desplazando otra carga 𝑞 positiva, situada en su
seno, en el sentido de los potenciales decrecientes (si 𝑞 es negativa se desplaza en el sentido contrario).
La unidad de potencial en el SI es el voltio (V):
1𝑉 =
1 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽
1𝐽
=
1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 1 𝐶
Para un sistema de cargas puntuales, el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales:
1
𝑄𝑖
𝑉 = � 𝑉𝑖 =
�
𝑟𝑖
4𝜋𝜋𝜀0
Para una distribución continua de carga el potencial es:
𝑑𝑑
1
�
𝑉=
𝑟
4𝜋𝜋𝜀0
Finalmente, la energía potencial eléctrica es:
𝑈(𝑟) = 𝑞𝑉(𝑟) = 𝑘
como
𝑊𝑃→𝑃′ = 𝑘
entonces:
𝑖
𝑞𝑞
𝑟
𝑄𝑄
𝑄𝑄
−𝑘
𝑟𝑃
𝑟𝑃 ′
𝑊𝑃→𝑃′ = 𝑈𝑃 − 𝑈𝑃′ = 𝑞(𝑉𝑃 − 𝑉𝑃′ )
de donde se deduce que el campo eléctrico es conservativo.
1.6. Superficies equipotenciales
Las superficies equipotenciales están formadas por todos los puntos del espacio que tienen el mismo
potencial. Teniendo en cuenta la expresión de energía potencial y considerando dos puntos A y B (fig. 4)
situados en una misma superficie equipotencial, el trabajo requerido para desplazar una carga 𝑞 desde A
hasta B es nulo:
𝐵
𝑊𝐴→𝐵 = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 ) = � 𝑞𝐸�⃗ · 𝑑𝑠⃗ = 0
𝐴
Por tanto, las líneas de fuerza del campo cortan perpendicularmente a las superficies equipotenciales.
11
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2. TEORÍA BÁSICA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
2.1. Red, nodo, rama y malla
Red es un conjunto de conductores, impedancias y generadores, unidos entre sí.
Nodo es un punto donde concurren dos o más
conductores, como el punto C de la figura 5 donde concurren
los conductores AC, CD y CE. Considerando cables ideales, los
puntos C y E son el mismo punto.
Rama es el conjunto de elementos que se encuentra entre
dos nodos. El trayecto CD es una rama.
Malla es todo circuito cerrado que se obtiene partiendo de
un nodo y volviendo a él, sin pasar dos veces por una misma
rama. El circuito CDFE es una malla.
2.2. Primera ley de Kirchoff
La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que concurren en un nodo es nula.
� 𝐼𝑖 = 0
Se suele tomar como convenio que las corrientes salientes del nodo son positivas y las entrantes
negativas. Así, en el nodo C: −𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0.
2.3. Segunda ley de Kirchoff
En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial o tensiones es igual a cero:
� 𝑉𝑖 = 0
Así, en la malla ABDC: 𝑉𝐴𝐴 + 𝑉𝐷𝐷 + 𝑉𝐶𝐶 = 0. Se ha supuesto que entre B y D hay un cable ideal donde
no se produce una caída del potencial o caída de tensión.
2.4. Ley de Ohm
La ley de Ohm establece que que la suma de tensiones 𝑉 presentes en un circuito es igual a la suma de
los productos de las impedancias 𝑍 por las corrientes 𝐼 que circulan por él:
2.5. Asociación de impedancias
� 𝜀 = � 𝑍𝑍
En serie (fig. 6): La impedancia total de una rama es la suma de las
impedancias de dicha rama:
𝑍𝑇 = � 𝑍𝑖
En la asociación de impedancias de la figura: 𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 .
La impedancia se mide en ohmios (Ω) en el SI.
En paralelo (fig. 7): La impedancia total de varias ramas en paralelo (mismos
nodos de conexión) se calcula con la expresión:
1
1
= �
𝑍𝑇
𝑍𝑖
En el caso representado en la figura: 1/𝑍𝑇 = 1/𝑍1 + 1/𝑍2 + 1/𝑍3
12
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.6. Asociación de condensadores
Se define la capacidad 𝐶 de un condensador como el cociente entre la carga que almacena 𝑑𝑑 y la
tensión 𝑑𝑑 que soporta:
𝑑𝑑
𝐶=
𝑑𝑑
Asociación de condensadores en serie (fig. 8): La capacidad resultante de la
asociación en serie de varios condensadores es:
1
1
= �
𝐶𝑖
𝐶𝑇
En el ejemplo de la figura: 1/𝐶𝑇 = 1/𝐶1 + 1/𝐶2 + 1/𝐶3. La capacidad se mide
en faradios (F) en el SI.
Asociación de condensadores en paralelo (fig. 9): La capacidad resultante de
la asociación en paralelo de varios condensadores es:
En el figura: 𝐶𝑇 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 .
𝐶𝑇 = � 𝐶𝑖
2.7. Teorema de Thevenin
Cualquier circuito lineal, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos X e Y (fig. 10), es
equivalente a un generador ideal de tensión conectado en serie con una impedancia, de manera que: a) La
fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito abierto en
dichos terminales. b) La impedancia es la que se ve desde dichos terminales, pero cortocircuitando los
generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de
corriente.
Por ejemplo, para aplicar el teorema de Thevenin en el circuito
de la figura entre los puntos X e Y suponemos desconectado todo
lo situado a la derecha de dichos puntos, es decir, desconectamos
las impedancias 𝑍3 y 𝑍4 de su circuito original. Miramos hacia a la
izquierda y, en esta nueva situación, calculamos la tensión entre los
puntos X e Y, llamada tensión equivalente Thevenin 𝑉𝑇𝑇 , que
coincide con la que hay en bornes de la impedancia 𝑍2 :
𝑍2
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉
𝑍1 + 𝑍2
Ahora nos colocamos de nuevo en los puntos X e Y, y miramos hacia la izquierda. En esta disposición,
calculamos la impedancia que vemos, pero cortocircuitando las fuentes de tensión y poniendo en circuito
abierto las fuentes de corriente. En el caso del ejemplo, sólo hay una fuente de tensión que supondremos
en cortocircuito, de tal manera que las impedancias 𝑍1 y 𝑍2 están en paralelo. La impedancia vista hacia la
izquierda se denomina impedancia equivalente Thevenin 𝑍𝑇𝑇 :
𝑍1 𝑍2
𝑍𝑇𝑇 =
𝑍1 + 𝑍2
Por último, el circuito a la izquierda de X e Y se reemplaza por el calculado. De esta manera, el circuito
equivalente es el de la figura 11.
13
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
3. MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO
3.1. Imanes y corrientes
En los imanes naturales existen dos polos magnéticos, el Norte (N) y el
Sur (S). Por convenio, se establece que las líneas de fuerza del campo
magnético salen del N y entran en el S (fig. 12). Debido a la presencia de
estos dos polos opuestos, estas líneas de campo son siempre cerradas (no
se puede aislar un único polo magnético, al contrario de lo que sucede con
la carga eléctrica, pues, como vimos, sí es posible tener en una zona del
espacio una carga positiva sin que deba existir una negativa).
Los fenómenos magnéticos también se manifiestan en presencia de
cargas en movimiento, es decir, corrientes eléctricas, que provocan
interacciones magnéticas, de manera que toda carga en movimiento crea a
su alrededor un campo magnético.
3.2. Fuerza magnética. Ley de Lorentz
�⃗ se
Si una carga q se traslada a una velocidad 𝑣⃗ en una región en la cual existe un campo magnético 𝐵
observa que la fuerza magnética 𝐹⃗ que actúa sobre la carga q es:
�⃗�
𝐹⃗ = 𝑞�𝑣⃗ × 𝐵
Para escribir la expresión anterior en forma infinitesimal basta suponer un diferencial de carga 𝑑𝑑 que
se mueve a velocidad 𝑣⃗:
�⃗�
𝑑𝐹⃗ = 𝑑𝑑�𝑣⃗ × 𝐵
Pero las cargas en movimiento son corrientes eléctricas de intensidad 𝐼 = 𝑑𝑑⁄𝑑𝑑. Si dichas corrientes
�⃗ (por un hilo conductor, por ejemplo) precisamente a la velocidad
recorren un camino infinitesimal 𝑑𝐿
�
⃗
𝑣⃗ = 𝑑𝐿/𝑑𝑑 entonces, eliminando 𝑑𝑑, 𝑣⃗𝑑𝑑 = 𝐼𝐼𝐿�⃗:
�⃗ × 𝐵
�⃗�
𝑑𝐹⃗ = 𝐼�𝑑𝐿
La carga q puede estar expuesta también a un campo electrostático 𝐸�⃗ ; en tal caso, la fuerza resultante,
suma vectorial de la fuerza electrostática y la magnética, es la expresada mediante la ley de Lorentz:
�⃗�
𝐹⃗ = 𝑞�𝐸�⃗ + 𝑣⃗ × 𝐵
3.3. Campo magnético generado. Ley de Biot y Sabart
�⃗𝑅 , generado a una distancia 𝑟⃗ de una carga 𝑄 (fig. 13) que se
El campo 𝐵
mueve a velocidad 𝑣⃗, viene dado por la expresión de Biot y Sabart:
𝜇 𝑣𝑣
𝜇 𝑄
�⃗𝑅 =
𝐵
𝑢
�⃗𝑡 × 𝑢
�⃗𝑟 =
𝑣⃗ × 𝑢
�⃗𝑟
2
4𝜋 𝑟
4𝜋 𝑟 2
donde 𝑢
�⃗𝑡 y 𝑢
�⃗𝑟 son vectores unitarios. La constante µ se llama
permeabilidad magnética; su valor en el vacío es µ0 = 4𝜋 · 10−7 en el SI. En
cualquier medio se calcula mediante la expresión µ = µ𝑟 µ0, en la que µ𝑟 es la
permeabilidad relativa.
Distinguimos tres tipos de sustancias: las diamagnéticas, como el oro o la
plata, cuya permeabilidad es ligeramente menor que la del vacío; las
paramagnéticas, como el aluminio o el cromo, con permeabilidad ligeramente mayor que la del vacío; y las
ferromagnéticas, como el hierro o el níquel, cuya permeabilidad es mucho mayor que la del vacío, en las
que, por tanto, se amplifica la intensidad del campo.
14
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�⃗𝑅 en el SI es el Tesla (T). También se emplea el Gauss: 1 gauss = 10−4 T, y el Weber/m2
La unidad de 𝐵
2
(Wb/m ). El Wb es la unidad de flujo magnético en el SI.
Para escribir la expresión del campo en forma infinitesimal basta suponer un diferencial de carga 𝑑𝑑
�⃗𝑅 :
que se mueve a velocidad 𝑣⃗ para crear un campo magnético 𝑑𝐵
𝜇 𝑣 𝑑𝑑
�⃗𝑅 =
𝑢
�⃗ × 𝑢
�⃗𝑟
𝑑𝐵
4𝜋 𝑟 2 𝑡
Si la corriente 𝐼 = 𝑑𝑑/𝑑𝑑 recorre un camino infinitesimal 𝑑𝑑 a la velocidad 𝑣 = 𝑑𝑑/𝑑𝑑, eliminando 𝑑𝑑
obtenemos 𝑣𝑣𝑣 = 𝐼𝐼𝐼. Es decir:
𝜇 𝐼 𝑑𝑑
�⃗𝑅 =
𝑑𝐵
𝑢
�⃗ × 𝑢
�⃗𝑟
4𝜋 𝑟 2 𝑡
cuyo módulo es
𝜇 𝐼 𝑑𝑑
𝑠𝑠𝑠 𝜑
𝑑𝐵𝑅 =
4𝜋 𝑟 2
Con estas expresiones podemos calcular los campos magnéticos creados por corrientes eléctricas.
3.4. Campos creados por corrientes eléctricas
Campo creado por una corriente rectilínea indefinida
El módulo de 𝐵𝑅 es:
𝜇𝜇
2𝜋𝜋
�⃗R es perpendicular al hilo conductor (fig.
de manera que B
14), en el sentido representado en la figura. Una regla
práctica consiste en colocar el dedo pulgar de la mano
derecha en la dirección y sentido de 𝐼, así, los otros dedos
señalarán la orientación de las líneas de fuerza del campo.
𝐵𝑅 =
Campo creado por una espira circular uniforme
El módulo del campo magnético en el centro de una
espira circular de radio 𝑅 (fig. 15) por el que circula una
corriente 𝐼 es:
𝜇𝜇
𝐵𝑅 =
2𝑅
Campo creado por un solenoide abierto
Un solenoide abierto es un conductor enrollado en forma de hélice sobre un núcleo cilíndrico (fig. 16),
que se comporta como un conjunto de espiras circulares del
mismo radio.
El campo magnético creado por una corriente 𝐼 en su
interior es uniforme (salvo en los extremos), está orientado
de la misma manera que el de una espira circular y su módulo
es:
𝐵𝑅 = 𝜇𝜇
𝑛
𝑠
donde 𝑠 es la longitud del solenoide y 𝑛 el número de espiras.
En la figura también se identifican sus polos N y S. La concentración de líneas de fuerza en el núcleo indica
que el campo es más intenso en esa zona.
15
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Campo creado por un solenoide cerrado
Es un solenoide unido por sus extremos (fig. 17). Un solenoide recto, abierto e
indefinido puede considerarse un solenoide cerrado de radio infinito, de ahí que
para calcular el campo en su núcleo se emplee la expresión del solenoide abierto:
𝑛
𝐵𝑅 = 𝜇𝜇
𝑠
donde 𝑠 ahora es la longitud media del solenoide (la línea de puntos de la figura).
Obsérvese que el valor del campo es independiente de la forma del solenoide
cerrado.
3.5. Par inducido en una espira por la que circula corriente
�⃗𝑅 creados por corrientes eléctricas
Nótese que, como acabamos de ver, todos los campos magnéticos 𝐵
son perpendiculares a dichas corrientes. Además, sus módulos
son directamente proporcionales a las corrientes y a las
características geométricas y físicas de los conductores. A
continuación aplicaremos esta propiedad.
Situemos una espira rectangular, indeformable, de
dimensiones L1 y L2 (fig. 18), por la que circula una corriente 𝐼,
�⃗. Si en cada lado
en el seno de un campo magnético uniforme 𝐵
de la espira calculamos la fuerza de Lorentz:
�⃗) ; 𝐹⃗2 = 𝐼(𝐿�⃗2 × 𝐵
�⃗)
𝐹⃗1 = 𝐼(𝐿�⃗1 × 𝐵
Observamos que las fuerzas 𝐹⃗1 ejercidas sobre los lados MN
y PQ, se anulan por ser iguales y opuestas y la espira
indeformable; mientras que las fuerzas 𝐹⃗2 que actúan sobre MQ
y NP, provocan que la espira gire hasta situarse
perpendicularmente al campo (fig. 19). El módulo de estas
fuerzas es 𝐹2 = 𝐼𝐿2 𝐵 y si, inicialmente, el vector superficie y el
vector campo forman un ángulo α, el módulo 𝜏𝑖𝑖𝑖 del momento
del par de fuerzas, al que llamaremos par inducido en la espira,
es:
𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝐹2 𝑑 = 𝐹2 𝐿1 sen α = 𝐼 𝐿1 𝐿2 𝐵 sen α
Además, la superficie de la espira es 𝑆 = 𝐿1 𝐿2 . Por tanto:
𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝐼 𝑆 𝐵 sen α
expresión que podemos escribir en forma vectorial:
�⃗
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝐼𝑆⃗ × 𝐵
⃗
�⃗
�⃗𝑅 , es decir, con el campo creado por la
Pero, se cumple que 𝐼𝑆 = 𝑘𝐵𝑅 pues podemos asociar 𝐼𝑆⃗ con 𝐵
corriente 𝐼, donde 𝑘 es un coeficiente que engloba las características geométricas y físicas de la espira. Por
lo tanto:
�⃗𝑅 × 𝐵
�⃗
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝐵
Aunque los cálculos se han hecho con una espira rectangular, se puede demostrar que la expresión
anterior es válida para cualquier forma que tenga la espira. En definitiva, una bobina por la que circula una
�⃗𝑅 . Si esta bobina se coloca en el seno de otro campo magnético 𝐵
�⃗, se
corriente 𝐼 crea un campo magnético 𝐵
�⃗𝑅 con 𝐵
�⃗. En esta propiedad se fundamentan los motores
genera un par inducido 𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 que tiende a alinear 𝐵
eléctricos y algunos aparatos de medida como el galvanómetro de espira móvil (fig. 20). Un galvanómetro
de espira móvil consta de una aguja indicadora, unida a una bobina que puede girar en el seno de un
�⃗ creado por un imán. Al pasar por la espira la corriente 𝐼 que se desea medir,
campo magnético uniforme 𝐵
el campo provoca el giro de la bobina desviando la aguja en función sólo de 𝐼, pues en la expresión
16
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
�⃗ tanto 𝑆⃗ como 𝐵
�⃗ son constantes para cada aparato. Al cesar la corriente, un resorte coloca la
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝐼𝑆⃗ × 𝐵
aguja en la posición cero de la escala.
3.6. Experiencias de Faraday-Henry
Faraday y Henry llegaron de manera independiente a conclusiones semejantes experimentando con
corrientes eléctricas provocadas por campos magnéticos. Esencialmente, son las siguientes:
a)
La mera presencia de un campo magnético no induce ninguna corriente sobre una espira que se
encuentre en su seno.
b)
Pero, si se provoca un movimiento relativo entre la espira y el imán
(o la bobina generadora del campo), en la espira se induce una corriente
eléctrica (fig. 21), mientras dicho movimiento relativo persista; de manera
que, si se le acerca un polo N, se origina en la espira una cara N que lo
repele; pero, si se aleja un polo N, se genera una cara S que lo atrae.
Análogamente si el polo es S.
c)
Si se produce un alejamiento entre la espira y el campo, la corriente
inducida circula en la espira en un sentido. Si lo que se provoca es un acercamiento, la corriente
circula en sentido contrario.
�⃗ (fig. 22) que se clava en
d)
Si tenemos un campo 𝐵
el plano del papel, mientras estemos
introduciendo una espira en su seno, se está
induciendo en ella una corriente que circula en
el sentido contrario a las agujas del reloj. Si, en
vez de introducirla, la estamos sacando, la
corriente inducida circula en el sentido de las
�⃗ sale del
agujas del reloj. Análogamente, si 𝐵
plano del papel.
e)
Si el campo magnético está generado por una
bobina o devanado (llamado inductor o
primario, P), que se enfrenta a otro devanado
(llamado inducido o secundario, S), al cerrar el
interruptor K (fig. 23), se induce, durante un
lapso de tiempo muy breve, una corriente en S, aunque no haya movimiento relativo entre ambos
devanados. También se produce un fenómeno análogo durante la desconexión, al abrir K, pero la
corriente circula en sentido contrario al anterior. Por último, se detecta corriente en S mientras se
está modificando la corriente que circula por el primario, mediante, por ejemplo, una resistencia
variable R; o mientras se introduce o se saca una barra de hierro dulce en el núcleo del primario.
17
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
3.7. Fuerza electromotriz inducida. Ley de Faraday–Henry. Corriente Inducida
Faraday y Henry enunciaron que siempre que el flujo magnético que atraviesa un circuito varíe con el
tiempo, aparecen en él corrientes inducidas. Como la corriente eléctrica depende del material del que esté
hecho el circuito, es necesario caracterizar este fenómeno a través de la fuerza electromotriz (f.e.m.) 𝜀; es
decir, del trabajo realizado por unidad de carga para que circule la corriente. En definitiva la ley de
Faraday–Henry es:
𝑑𝛷𝑚
𝜀=−
𝑑𝑑
En un circuito con una resistencia óhmica 𝑅, la intensidad de corriente inducida 𝐼 se deduce a través de
la ley de Ohm:
𝜀
1 𝑑𝛷𝑚
𝐼= =−
𝑅
𝑅 𝑑𝑑
También podemos calcular la cantidad de carga inducida:
1
1 𝑑𝛷𝑚
𝑑𝑑 = − 𝑑𝛷𝑚
𝑑𝑑 = 𝐼𝐼𝐼 = −
𝑅
𝑅 𝑑𝑑
integrando entre 𝛷𝑚0 y 𝛷𝑚1 :
1
𝑄 = (𝛷𝑚0 − 𝛷𝑚1 )
𝑅
expresión que permite, por ejemplo, calcular el flujo que afecta a una espira, separándola rápidamente del
circuito inductor, pues 𝛷𝑚1 = 0; siendo, entonces, el flujo inicial 𝛷𝑚0 el valor requerido. También,
�⃗ que la atraviesa. En definitiva, todo los cálculos
sabiendo la superficie de la espira, se determina el campo 𝐵
pasan por medir la f.e.m. inducida 𝜀. Veamos una forma elemental de hacerlo.
Medida de la f.e.m. inducida 𝜀
En la figura 24 se representa un campo
�⃗ en cuyo seno hay dos conductores
magnético 𝐵
rectos y paralelos, conectados a un galvanómetro.
Otro conductor MN, de longitud L, se coloca
perpendicularmente a los anteriores y en contacto
con ellos. Si desplazamos MN a lo largo de los dos
conductores paralelos, en el galvanómetro se
detecta una corriente inducida, porque se produce
una variación de 𝛷𝑚 al aumentar la superficie 𝑆⃗ de
la espira que constituyen MN y los dos conductores
(el circuito se cierra a través del galvanómetro).
El flujo inicial 𝛷𝑚0 que soporta la espira es
constante, y se corresponde con la posición MN indicada con línea discontinua. Tras mover el conductor
18
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
hasta la posición M’N’; es decir, después de recorrer una distancia 𝑦, a una velocidad 𝑣 = 𝑑𝑑/𝑑𝑑; el
incremento de la superficie de la espira es el producto (𝐿 · 𝑦). El flujo en esta nueva situación es el inicial
más el que acaba de incrementarse:
𝛷𝑚 = 𝛷𝑚0 + 𝐵𝐵𝐵
Como 𝛷𝑚 e 𝑦 varían con el tiempo, si derivamos la expresión anterior:
𝑑𝑑
𝑑𝛷𝑚
= 𝐵𝐵
𝑑𝑑
𝑑𝑑
es decir, el valor absoluto de la f.e.m. inducida es:
𝜀 = 𝐵𝐵𝐵
Otra forma, más general, de llegar a la esta conclusión es calcular la fuerza magnética que actúa sobre
�⃗ por el que circula una corriente
un conductor MN, que se desplaza a velocidad 𝑣⃗ en el seno de un campo 𝐵
𝐼, mediante la ley de Lorentz:
�⃗ × 𝐵
�⃗�
𝐹⃗ = 𝐼�𝐿
El trabajo desarrollado por dicha fuerza en un desplazamiento infinitesimal cualquiera 𝑑𝑟⃗ (no
necesariamente sobre el eje Y) es:
𝑑𝑑
𝑑𝑟⃗
�⃗� · 𝑑𝑟⃗ =
�⃗� · 𝑑𝑟⃗ = 𝑑𝑑�𝐿
�⃗ × 𝐵
�⃗� ·
�⃗� · 𝑣⃗
𝑑𝑑 = 𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗ = 𝐼�𝐿�⃗ × 𝐵
= 𝑑𝑑�𝐿�⃗ × 𝐵
�𝐿�⃗ × 𝐵
𝑑𝑑
𝑑𝑑
Para calcular el trabajo realizado por unidad de carga; es decir, la f.e.m. inducida por el movimiento de
MN, basta dividir la expresión anterior por 𝑑𝑑: 𝜀 = 𝑑𝑑/𝑑𝑑. Por tanto:
�⃗)
𝜀 = 𝑣⃗ · (𝐿�⃗ × 𝐵
3.8. Ley de Lenz
Lenz matizó la ley de Faraday-Henry diciendo que el sentido de la corriente inducida es tal que se
opone a la causa que la produce. En realidad, este aspecto está implícito en el signo menos que precede a
la variación del flujo magnético, pero el enunciado de Lenz tiene la virtud de asociar los fenómenos de
inducción electromagnética con el principio de conservación de la energía. En efecto, todas las experiencias
citadas se pueden analizar partiendo de la base de que no es posible crear energía de la nada. Estudiemos,
por ejemplo, la primera: si acercamos un polo N a una espira, ésta reacciona creando una cara N que se
opone a que el imán se acerque; es decir, la corriente generada en la espira está provocada por el
movimiento relativo del imán. En otras palabras, no se ha «creado» energía en la espira, sino que la energía
del movimiento del imán se ha convertido en energía eléctrica.
3.9. Generalización de la Ley de Faraday-Henry
La ley de Faraday-Henry se puede escribir de otra manera, basándonos en que la f.e.m. inducida, 𝜀, está
relacionada con la existencia de un campo eléctrico inducido 𝐸�⃗ en la espira o devanado por donde circula la
corriente inducida; por tanto:
𝜀 = � 𝐸�⃗ · 𝑑𝐿�⃗
donde la integral se calcula a lo largo del circuito que constituye la espira o devanado detector. Así, la ley
de Faraday–Henry toma la forma:
𝑑𝛷𝑚
� 𝐸�⃗ · 𝑑𝐿�⃗ = −
𝑑𝑑
A pesar de que la relación que existe entre campos magnéticos variables y campos eléctricos inducidos
se ha obtenido para un circuito real (la espira o el devanado), en el que aparece una corriente inducida, la
expresión anterior sigue siendo válida aunque no exista tal circuito por el que circule dicha corriente; es
�⃗ varía con el tiempo, en esa misma región se
decir, si en una región del espacio el campo magnético 𝐵
�⃗ · 𝑑𝑆⃗ la
genera un campo eléctrico inducido 𝐸�⃗ aunque no haya corriente inducida. Como 𝑑𝛷𝑚 = 𝐵
circulación de 𝐸�⃗ a través de cualquier trayectoria cerrada L es:
19
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑑
�⃗ · 𝑑𝑆⃗
�𝐵
𝑑𝑑
Esta ecuación es conocida también como la tercera ley de Maxwell.
Es importante reseñar que mientras que un campo electrostático es conservativo; es decir, es nula su
circulación a lo largo de una trayectoria cerrada; la circulación del campo eléctrico inducido no es cero; por
tanto, no es conservativo.
� 𝐸�⃗ · 𝑑𝐿�⃗ = −
4. AUTOINDUCCIÓN
Hasta aquí, en el estudio de los fenómenos de inducción, hemos empleado dos circuitos (o un circuito y
un imán): el inductor y el inducido. Pero, en seguida veremos que es posible provocar corrientes inducidas
en un solo circuito; es decir, corrientes «autoinducidas», porque cualquier circuito está atravesado por su
propio flujo magnético.
4.1. Corrientes autoinducidas
Realicemos la siguiente experiencia: en la figura 25 se representan dos bombillas iguales A y B. La A
está en serie con un devanado D, bobinado sobre un núcleo de hierro dulce, cuya resistencia óhmica se
conoce; mientras que la B está en serie con una resistencia R del mismo valor que la resistencia óhmica del
devanado.
Al cerrar el interruptor K, la bombilla B se enciende
instantáneamente, pero la A lo hace con más lentitud, porque el
devanado D se opone a la variación de la corriente que le llega. En
efecto, la corriente que circula por D crea un campo magnético en su
interior con un flujo determinado. Cuando varía la corriente que recibe
D, el flujo magnético también lo hace, generando una f.e.m. inducida
(y, por tanto, una corriente inducida) que se opone a dicha variación;
de ahí que A se encienda más lentamente.
El fenómeno descrito se conoce con el nombre de autoinducción, y
puede describirse expresando que cualquier variación del flujo magnético que soporta un circuito produce
una f.e.m. autoinducida que tiende a oponerse a la causa que la origina.
Para que en un circuito se manifieste la autoinducción (algunos autores lo denominan también efecto
bobina) debe tener al menos una espira que acuse las variaciones del campo magnético. Pero, en realidad,
todos los componentes que conforman los circuitos eléctricos presentan el efecto bobina, en mayor o
menor medida. De hecho, no existen ni resistencias, ni bobinas, ni condensadores puros. Todos tienen algo
de estos tres elementos básicos; de ahí que, en todos ellos se generen corrientes de autoinducción.
4.2. Coeficiente de autoinducción 𝑳. Inductancia de una bobina de 𝒏 espiras
�⃗𝑅 generado por una corriente 𝐼 es directamente
Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético 𝐵
�⃗𝑅 , se concluye que existe
proporcional a dicha corriente; como el flujo también depende linealmente de 𝐵
una relación lineal entre 𝐼 y 𝛷𝑚 . Por tanto, un devanado, por el que circulan 𝐼 amperios, soporta un el flujo
total 𝛷𝑚 :
𝛷𝑚 = 𝐿𝐿
donde la constante de proporcionalidad es 𝐿, llamada coeficiente de autoinducción, inductancia, o,
simplemente, autoinducción.
Su unidad en el SI es el henrio (H). Un henrio es el cociente entre un weber y un amperio:
1 𝑊𝑊
1𝐻 =
1𝐴
Determinemos la inductancia de una bobina de 𝑛 espiras y longitud 𝑠, por la que circula una corriente
𝐼. Sabemos que el campo magnético se confina en su núcleo, alineado con su eje. Su módulo vale:
20
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑛
𝑠
El flujo 𝛷𝑚1 que atraviesa una espira será el producto de su área 𝑆 por el módulo del campo 𝐵𝑅 :
𝑛
𝛷𝑚1 = 𝐵𝑅 𝑆 = 𝜇𝜇 𝑆
𝑠
El flujo total 𝛷𝑚 que atraviesa las n espiras será:
𝛷𝑚 = 𝑛𝛷𝑚1 = 𝐿𝐿
sustituyendo 𝛷𝑚1 y despejando 𝐿:
𝑆
𝐿 = 𝜇𝑛2
𝑠
Como se aprecia en la expresión anterior, 𝐿 depende sólo de las características geométricas de la
bobina, del número de espiras y del medio en el que esté.
𝐵𝑅 = 𝜇𝜇
4.3. F.e.m de autoinducción
Si una corriente 𝐼, variable en el tiempo, recorre una bobina de coeficiente de autoinducción 𝐿, genera
una variación del flujo a través de ella que se cuantifica mediante la ley de Faraday–Henry:
𝑑(𝛷𝑚 )
𝑑(𝐿𝐿)
𝜀=−
=−
𝑑𝑑
𝑑𝑑
y si 𝐿 es constante:
𝑑𝑑
𝜀 = −𝐿
𝑑𝑑
4.4. Caída de tensión en una bobina
Una bobina se caracteriza por su coeficiente de autoinducción 𝐿 y por la resistencia óhmica 𝑅 del hilo
que la forma (su efecto capacitivo es despreciable en la mayoría de
las aplicaciones prácticas). Podemos representar una bobina real
(fig. 26) dibujando una ideal AB en forma de espiral, en la que se
indica su valor 𝐿, y una resistencia óhmica BC, separada de ella, de
valor 𝑅.
Analicemos el circuito de la figura, alimentado por una f.e.m.
𝜀(𝑡) que genera una corriente variable 𝐼. Apliquemos la ley de Ohm, es decir: ∑ 𝜀 = ∑ 𝑅𝑅. Como las
tensiones que hay son la propia 𝜀(𝑡) y la inducida en la bobina 𝜀𝑖 (𝑡), y el circuito sólo tiene una resistencia
𝑅, entonces:
𝜀(𝑡) + 𝜀𝑖 (𝑡) = 𝑅𝑅
pero
𝑑𝑑
𝜀𝑖 (𝑡) = −𝐿
𝑑𝑑
por tanto
𝑑𝑑
𝜀(𝑡) − 𝐿 = 𝑅𝑅
𝑑𝑑
También podríamos escribir la ecuación anterior considerando que la tensión que «cae» en la bobina es
𝐿𝐿𝐿/𝑑𝑑, es decir, trasladándola al segundo miembro de la igualdad:
𝑑𝑑
𝜀(𝑡) = 𝑅𝑅 + 𝐿
𝑑𝑑
Obsérvese que, si suponemos que la bobina es pura (𝑅 = 0), entonces
𝑑𝑑
𝜀(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑑
21
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
4.5. Energía magnética almacenada en una bobina
Consideremos el circuito de la figura 27, el mismo que el empleado anteriormente. Ya sabemos que:
𝑑𝑑
𝜀(𝑡) = 𝑅𝑅 + 𝐿
𝑑𝑑
Multiplicando por 𝐼:
𝑑𝑑
𝜀(𝑡)𝐼 = 𝑅𝐼 2 + 𝐿𝐿
𝑑𝑑
interpretemos ahora cada uno de los términos que intervienen en la
expresión anterior: El término 𝜀(𝑡)𝐼 es la potencia o energía por
unidad de tiempo aportada por el generador; esto es, la «rapidez»
con la que el generador suministra energía al circuito. 𝑅𝐼 2 es la
energía por unidad de tiempo disipada por calentamiento, el llamado
efecto Joule. Si 𝐸𝑚 es la energía magnética contenida en la bobina, la
«rapidez» con la que se «almacena» en ella es precisamente el
término 𝐿𝐿 𝑑𝑑/𝑑𝑑, por tanto:
𝑑𝐸𝑚
𝑑𝑑
= 𝐿𝐿
; 𝑑𝐸𝑚 = 𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑑𝑑
𝑑𝑑
integrando desde 0 hasta 𝐼, obtenemos la energía total almacenada:
1
𝐸𝑚 = 𝐿𝐼 2
2
Si calculamos la energía almacenada en un solenoide de 𝑛 espiras, superficie 𝑆 y longitud 𝑠, por el que
circula una corriente 𝐼, como
𝑆
𝑛
𝐿 = 𝜇𝑛2 𝑠 ; 𝐵 = 𝜇𝜇
𝑠
resulta:
1 𝑆𝑆
𝐸𝑚 = 𝐵2
2
𝜇
El producto 𝑆𝑆 es el volumen del solenoide en cuyo interior está confinado el campo magnético.
Podemos decir, por tanto, que en dicha zona del espacio existe una densidad de energía magnética (energía
magnética por unidad de volumen) 𝜖𝑚 = 𝐸𝑚 /𝑆𝑆:
1 𝐵2
𝜖𝑚 =
2 𝜇
Para calcular 𝜖𝑚 hemos empleado el caso particular de un solenoide; pero puede demostrase que la
expresión obtenida es válida para cualquier campo magnético que exista en una región del espacio.
Por tanto, cuando en una región del espacio exista un campo electromagnético (eléctrico y magnético),
teniendo en cuenta la expresión anterior y que de manera análoga se demuestra que la densidad de
energía de un campo eléctrico es 𝜖𝑒 = 1/2𝜀𝐸 2 , la densidad de energía electromagnética 𝜖𝑒𝑒 presente en
dicha región es:
1
1 𝐵2
𝜖𝑒𝑒 = 𝜖𝑒 + 𝜖𝑚 = 𝜀𝐸 2 +
2
2 𝜇
4.6. Inducción mutua
Recordemos ahora un experimento ya comentado anteriormente: si un campo magnético generado
por un devanado (llamado inductor o primario, P), se enfrentaba a otro (llamado inducido o secundario, S),
al cerrar el interruptor K, se inducía, una corriente en S, aunque no hubiese movimiento relativo entre
ambos devanados (fig. 28). También se producía un fenómeno análogo durante la apertura de K, pero la
corriente circulaba en sentido contrario. Por último, se detectaba corriente en S mientras se estaba
modificando la corriente que circulaba por el primario, mediante, por ejemplo, una resistencia variable 𝑅; o
mientras se introducía o se sacaba una barra de hierro dulce en el núcleo del primario.
22
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Como una parte del flujo del campo magnético creado por P atraviesa las bobinas de S, podemos
definir un coeficiente de inducción mutua 𝐿𝑃𝑃 , similar al de autoinducción. Sea 𝛷𝑚𝑚 esa parte del flujo, si la
corriente variable que circula por P es 𝐼𝑃 , entonces:
𝛷𝑚𝑚 = 𝐿𝑃𝑃 𝐼𝑃
El coeficiente 𝐿𝑃𝑃 se mide en henrios (H) y depende sólo de las dimensiones de los devanados, de su
posición relativa y de la naturaleza del medio. Además:
𝐿𝑃𝑃 = 𝐿𝑆𝑆
La f.e.m. inducida en S se deduce de la ley de Faraday–Henry:
𝑑𝛷𝑚𝑚
𝑑(𝐿𝑃𝑃 𝐼𝑃 )
𝜀𝑆 = −
=−
𝑑𝑑
𝑑𝑑
Si las bobinas no cambian su posición relativa, son indeformables y no varía la permeabilidad
magnética, entonces 𝐿𝑃𝑃 es constante:
𝑑�𝐼𝑝 �
𝑑𝑑
Esta propiedad es la que se emplea en los transformadores.
𝜀𝑆 = −𝐿𝑝𝑝
4.7. Fundamentos de la generación de corriente alterna
Una de las aplicaciones más importantes de la inducción electromagnética es la generación de
corrientes eléctricas, principalmente la llamada corriente alterna.
Ya vimos que cuando una corriente 𝐼 circula por la
espira MNPQ (fig. 29), situada en el seno de un campo
�⃗, 𝐹⃗ genera un momento de giro que
magnético 𝐵
�⃗ termine siendo perpendicular al plano de
provoca que 𝐵
la espira.
Pero, hagamos el proceso al revés: ¿qué ocurre si
hacemos girar una espira, sin corriente, en el seno de un
�⃗? En la figura 30 se representa esta situación en
campo 𝐵
la que el campo está producido por un imán natural.
Cuando la espira gira, el flujo magnético que la
atraviesa varía con el tiempo; por tanto, según la ley de
Faraday–Henry, se induce en ella una corriente 𝐼 cuya f.e.m es:
𝑑𝛷𝑚
𝜀=−
𝑑𝑑
�⃗, entonces:
Si 𝑆⃗, el vector que caracteriza a la superficie de la espira, forma un ángulo α con 𝐵
�⃗ · 𝑆⃗)
𝑑(𝐵
𝑑(𝐵𝐵 cos 𝛼)
𝜀=−
=−
𝑑𝑑
𝑑𝑑
23
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
�⃗ es uniforme y la superficie constante (la espira es indeformable), en tal caso la
Supongamos que 𝐵
expresión anterior queda:
𝑑(cos 𝛼)
𝜀 = −𝐵𝐵
𝑑𝑑
�⃗ y 𝑆⃗ forman un ángulo ϕ,
Si la espira gira con una velocidad angular 𝜔 constante, e inicialmente 𝐵
transcurrido un tiempo 𝑡, el ángulo será α = 𝜔𝜔 + ϕ. Por tanto:
𝑑(cos(𝜔𝜔 + 𝜑))
= 𝐵𝐵𝐵sen(𝜔𝜔 + 𝜑)
𝑑𝑑
que podemos escribir de la siguiente manera:
𝜀(𝑡) = 𝑉 sen(𝜔𝜔 + 𝜑)
con
𝑉 = 𝐵𝐵𝐵
Como 𝛷𝑚𝑚𝑚 = 𝐵𝐵 entonces 𝑉 = 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔 y en el caso de
que tuviésemos 𝑁 espiras girando:
𝑉 = 𝑁𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔
Vemos que la f.e.m. depende del tiempo; de ahí que, para
un 𝑡 dado, el valor de ε(𝑡) se denomine f.e.m. instantánea.
Llamamos corriente alterna a toda aquélla cuya f.e.m varía de forma sinusoidal con el tiempo (fig. 31).
Esta f.e.m. es, por tanto, una función periódica cuyo periodo es:
2𝜋
𝑇=
𝜔
su frecuencia, para una pareja de polos, es:
𝜔
1
𝑓= =
𝑇 2𝜋
La velocidad angular 𝜔 se denomina también frecuencia angular. No debe confundirse con la
frecuencia 𝑓 de la onda sinusoidal.
𝜀 = −𝐵𝐵
5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS
5.1. Fuerza magnetomotriz y reluctancia
En el diseño de maquinas eléctricas y transformadores se modeliza el comportamiento magnético
mediante un «circuito magnético» regido por ecuaciones análogas a las de un circuito eléctrico (fig. 32). Así,
si la ley de Ohm de un circuito eléctrico es 𝑉 = 𝑅𝑅, en un circuito magnético, la fuerza magnetomotriz
𝑓𝑓𝑓 viene dada por:
𝑓𝑓𝑓 = 𝑁 · 𝐼 = 𝛷𝑚 · 𝑅𝑅
donde 𝑓𝑓𝑓 se mide en Amperios · vuelta (análoga a la fuerza electromotriz de un circuito eléctrico), 𝛷𝑚
es el flujo magnético y 𝑅𝑅 es la reluctancia (análoga a la impedancia del circuito eléctrico) medida en
Amperios· vuelta/weber.
24
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Hay que tener presente el siguiente convenio de signos en un circuito magnético: el terminal positivo
de la fuente es el terminal del cual sale el flujo, mientras que el terminal negativo es aquél por donde el
flujo entra en la fuente.
Para determinar la polaridad de la fuerza magnetomotriz de una bobina se emplea la regla de la mano
derecha (fig. 33), de manera que el sentido del flujo magnético es el indicado por el pulgar cuando el resto
de los dedos abrazan el núcleo siguiendo el sentido de la corriente que circula por la bobina.
5.2. Asociación de reluctancias
La asociación de reluctancias en serie y paralelo en un circuito magnético sigue las mismas reglas que la
de impedancias:
En serie:
En paralelo:
𝑅𝑅𝑇 = � 𝑅𝑅𝑖
1
1
= �
𝑅𝑅𝑇
𝑅𝑅𝑖
Los valores de flujo magnético que estamos utilizando son aproximaciones. En efecto, hemos supuesto
que el flujo se encuentra totalmente confinado dentro del núcleo, pero siempre existe el llamado flujo
disperso, formado por aquellas líneas de fuerza que se escapan de él (su valor suele ser despreciable en la
mayoría de las aplicaciones, aunque se debe tener en cuenta en el diseño de las máquinas eléctricas).
Además, la longitud media y la sección transversal empleadas en el cálculo de la reluctancia introduce
errores al despreciar las curvas que forman las esquinas de los núcleos. Otra fuente de inexactitudes es no
tener presente la variación no lineal de flujo con la permeabilidad magnética en los materiales
ferromagnéticos. Por último, en el caso de que exista entrehierro en el camino del flujo, su sección
transversal efectiva es mayor que la sección transversal del núcleo en cada lado del entrehierro. No
obstante, se pueden minimizar algunos de los errores utilizando longitudes y secciones corregidas en lugar
de dimensiones reales.
25
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 2
CORRIENTE ALTERNA
1. LA CORRIENTE ALTERNA
1.1. La función de excitación sinusoidal
1.2. Valor eficaz. Valor medio
1.3. El fasor
2. EL CIRCUITO RLC
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
La bobina o inductor
El condensador
Impedancia y admitancia
El circuito RL serie
El circuito RC paralelo
El circuito RLC serie
El circuito RLC paralelo
3. POTENCIA EN LA CORRIENTE ALTERNA
3.1. Potencia activa, aparente y reactiva
3.2. El factor de potencia cos 𝜑
4. CIRCUITOS POLIFÁSICOS
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
La conexión en estrella Y
La conexión en triángulo ∆
Impedancias en estrella y en triángulo equivalentes
Potencia trifásica
26
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1. LA CORRIENTE ALTERNA
Se conoce como corriente eléctrica alterna (CA en español y AC en inglés) a aquella que varía
cíclicamente en el tiempo. Su estudio comenzó en 1882 con los trabajos de Tesla que derivaron en el
diseño del primer motor asíncrono o de inducción. La principal razón que extendió su uso en las redes de
distribución en detrimento de la corriente continua fue la posibilidad de modificar su tensión mediante
transformadores para reducir las pérdidas energéticas en su transporte a larga distancia.
1.1. La función de excitación sinusoidal. Valor eficaz. Valor medio
De todas las formas de onda periódicas que se pueden emplear para producir corriente alterna, la más
utilizada es la sinusoidal, por las siguientes razones:
• Se obtiene fácilmente por medio de bobinas que giran en el seno de un campo magnético.
• Fourier demostró que las ondas periódicas se pueden desarrollar en serie de ondas sinusoidales.
Basta, pues, estudiar las ondas sinusoidales para poder analizar todas las ondas periódicas.
Estas características y el hecho de que se pueda aplicar de una manera sencilla y directa en motores y
generadores eléctricos, llevó a finales del siglo XIX a que la corriente alterna se impusiese claramente sobre
la continua, tanto en el uso doméstico como en el industrial. Prácticamente toda la tecnología
electrotécnica está basada en ella. Además, la forma sinusoidal de la onda se conserva aunque se
modifiquen otros parámetros mediante elementos como resistencias, condensadores, transformadores y
bobinas.
Utilizaremos la función coseno (desfasada 90º respecto a la función seno) para realizar los cálculos de
corriente alterna, debido a que se corresponde con la parte real de la expresión binomial de un número
complejo.
𝐴0 𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜑) = 𝐴0 [cos(𝜔𝜔 + 𝜑) + 𝑗sen(𝜔𝜔 + 𝜑)]
Los parámetros principales de la onda coseno
𝑎(𝑡) = 𝐴0 cos(𝜔𝜔 + 𝜑)
son:
𝐴0 : amplitud o valor máximo
𝑇 : periodo
𝜑: fase inicial
𝑎(𝑡): valor instantáneo.
𝐴: valor eficaz
𝐴𝑚 : valor medio.
1.2. Valor eficaz. Valor medio
El valor eficaz 𝑨 de una señal alterna es el que
produciría el mismo efecto (el mismo calentamiento, por
ejemplo) que una señal continua. Coincide con el valor cuadrático medio, y se calcula con la expresión:
1 𝑇 2
𝐴0
�
𝐴=
� 𝑎 (𝑡)𝑑𝑑 =
𝑇 0
√2
El valor medio 𝑨𝒎 en un periodo completo sería nulo, por eso se calcula en un semiperiodo.
𝑇/2
1
2
𝐴𝑚 =
� 𝑎(𝑡) 𝑑𝑑 = 𝐴0
𝑇/2 0
𝜋
1.3. El fasor
En la resolución de circuitos de CA se puede emplear el álgebra de los números complejos (Ver
Apéndice I). Para ello basta tener en cuenta que una función coseno se representa en el plano complejo
27
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
como un vector giratorio o fasor (también llamado vector de Fresnel) que gira con una velocidad angular 𝜔
de valor 2𝜋/𝑇, y cuyo módulo se corresponde con el valor máximo o con el valor eficaz, según convenga.
Así una onda sinusoidal representada por su ecuación
𝑎(𝑡) = 𝐴0 cos(𝜔𝜔 + 𝜑)
puede ser escrita como fasor mediante números complejos en las tres formas:
• Binómica: 𝑎�(𝑡) = 𝐴0 cos(𝜔𝜔 + 𝜑) + 𝑗 𝐴0 sen (𝜔𝜔 + 𝜑)
• Exponencial: 𝑎�(𝑡) = 𝐴0 ej(𝜔𝜔+𝜑)
• Polar: 𝑎�(𝑡) = 𝐴0 ∠ (𝜔𝜔 + 𝜑)
El cálculo con números complejos en forma exponencial o polar es muy sencillo y rápido, pero no debe
olvidarse que sólo la componente real representa la onda en el dominio del tiempo.
2. EL CIRCUITO RLC
Los circuitos RLC son combinaciones de elementos eléctricos pasivos formados por resistencias,
bobinas y condensadores.
Veremos primero la respuesta en el tiempo de las bobinas y los condensadores, después analizaremos
circuitos constituidos por dos elementos RL y RC, para terminar con el estudio de los circuitos RLC serie y
paralelo.
2.1. La bobina o inductor
Como dijimos en el capítulo 1, Faraday y Henry descubrieron que un campo magnético induce una
fuerza electromotriz 𝑣(𝑡) 1en un circuito cercano cuyo valor es proporcional a la tasa de variación de la
corriente que produce el campo magnético:
𝑣(𝑡) = 𝐿 𝑑𝑑/𝑑𝑑
Esta ecuación es la que rige el comportamiento de una bobina ideal. También se puede escribir en
forma integral:
1 𝑡
𝑖(𝑡) = � 𝑣(𝑡)𝑑𝑑
𝐿 −∞
considerando que 𝑖(−∞) = 0.
En una bobina ideal hay que tener en cuenta que:
• Si su corriente de alimentación no varía con el tiempo (corriente continua) la diferencia de
potencial en sus bornes es cero, y la bobina se comporta como un cortocircuito.
• Es posible almacenar en ella una cantidad finita de energía, incluso aunque la diferencia de
potencial entre sus terminales sea cero.
• Para cambiar instantáneamente la corriente que circula por una bobina se requeriría un voltaje
infinito. Una bobina se comporta ante un cambio de corriente de manera similar a como actúa una
masa ante un cambio de velocidad.
Emplearemos la letras minúsculas para referirnos a los valores instantáneos 𝑣(𝑡), 𝑖(𝑡), etc. y las mayúsculas para los
máximos y eficaces
1
28
•
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Un inductor ideal no disipa energía; uno real sí.
El modelo de un inductor real es un circuito RL serie (fig. 3).
2.1. El condensador
El condensador es otro elemento pasivo cuya característica principal es su capacidad 𝐶 medida en
faradios (F). La ecuación que lo define es:
𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑑/𝑑𝑑
que se puede escribir en forma integral:
1 𝑡
𝑣(𝑡) = � 𝑖(𝑡)𝑑𝑑
𝐶 −∞
considerando que 𝑣(− ∞) = 0.
En un condensador ideal hay que tener en cuenta que:
• No puede circular corriente entre sus terminales si no varía el voltaje entre ellos. Por
tanto, un condensador se comporta como un circuito abierto para una tensión
continua.
• Es posible almacenar energía en él aunque no circule corriente o no se aplique una
diferencia de potencial entre sus terminales.
• Cambiar instantáneamente el voltaje en sus bornes requeriría una corriente infinita.
• Un condensador ideal no disipa energía; uno real sí.
El modelo de un condensador real es un circuito RC paralelo (fig .4)
2.2. Impedancia y admitancia
La ley de Ohm 𝑣(𝑡) = 𝑅 · 𝑖(𝑡), aplicada a una resistencia pura 𝑅 (fig. 5), es la expresión que relaciona la
diferencia de potencial en bornes de 𝑅 con la corriente que circula por 𝑅.
Preguntémonos si es posible encontrar una relación similar para las
bobinas (o inductancias) y los condensadores (o capacitancias). En efecto,
recurriendo al cálculo fasorial (también conocido como cálculo simbólico),
consideremos un voltaje complejo y determinemos la corriente compleja
que circula por una resistencia pura:
𝑉� (𝑡) = 𝑉𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜃) = 𝑉 cos(𝜔𝜔 + 𝜃) 𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗sen(𝜔𝜔 + 𝜃)
𝐼 (̅ 𝑡) = 𝐼𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜑) = 𝐼 cos(𝜔𝜔 + 𝜑) 𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗sen(𝜔𝜔 + 𝜑)
Aplicando la ley de Ohm
𝑉𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜃) = 𝑅 · 𝐼𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜑)
podemos afirmar que en una resistencia pura se cumple que:
(1)
𝑉� (𝑡) = 𝑅 · 𝐼 (̅ 𝑡)
En un circuito con una inductancia ideal (fig. 6):
𝑣(𝑡) = 𝐿 𝑑𝑑/𝑑𝑑
sustituyendo 𝑣(𝑡) e 𝑖(𝑡) por sus expresiones complejas
𝑉 𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜃) = 𝐿 𝑑(𝐼 𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜑) )/𝑑𝑑
y derivando
𝑉𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜃) = 𝑗𝜔𝜔 · 𝐼𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜑)
es decir
𝑉� (𝑡) = 𝑗𝑗𝑗 · 𝐼 (̅ 𝑡)
llamando
𝑋𝐿 = 𝜔𝜔
entonces
(2)
𝑉� (𝑡) = 𝑗𝑋𝐿 · 𝐼 (̅ 𝑡)
29
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Y con un condensador ideal (fig. 7):
𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑑/𝑑𝑑
sustituyendo 𝑣(𝑡) e 𝑖(𝑡)por sus expresiones complejas:
𝐼𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜑) = 𝐶 𝑑(𝑉𝑒 𝑗(𝜔𝜔+𝜃) )/𝑑𝑑
y derivando:
𝑗(𝜔𝜔+𝜑)
𝐼𝐼 𝑗(𝜔𝜔+𝜃) = 𝑗𝜔𝜔 · 𝑉𝑒
es decir:
1
𝐼 (̅ 𝑡)
𝑉� (𝑡) =
𝑗𝜔𝐶
llamando
1
𝑋𝐶 =
𝜔𝐶
entonces
𝑋𝐶
· 𝐼 (̅ 𝑡)
𝑉� (𝑡) =
𝑗
Teniendo en cuenta que 𝑗 2 = −1, la expresión anterior se puede escribir también:
(3)
𝑉� (𝑡) = −𝑗 · 𝑋𝐶 𝐼(̅ 𝑡)
De las relaciones (1), (2) y (3) se deduce que es posible
emplear la impedancia compleja 𝑍̅ tal que:
𝑉� (𝑡) = 𝑍̅ 𝐼 (̅ 𝑡)
de manera que 𝑍̅ es 𝑅 en el caso de una resistencia pura, 𝑗𝑋𝐿
para una bobina ideal, y (−𝑗𝑋𝐶 ) en un condensador ideal.
La impedancia se representa en el plano complejo
mediante el llamado triángulo de impedancias (fig. 8).
Obsérvese que el valor de 𝑍̅ es independiente del tiempo;
es decir las ecuaciones (1), (2) y (3) se cumplen en cualquier
instante 𝑡. Este es el motivo por el que podemos obviar la
variable 𝑡 en las tres expresiones fasoriales, escribiendo
simplemente:
𝑉� = 𝑍̅ 𝐼 ̅
Al igual que el cociente entre 𝑖(𝑡) y 𝑣(𝑡) es la
conductancia, cuando se emplean fasores la relación se
denomina admitancia 𝑌�:
𝐼 ̅ = 𝑌�𝑉�
En el siguiente cuadro se resumen las expresiones que acabamos de obtener:
Elemento
Resistencia
Bobina
En el tiempo
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑅(𝑡)
𝑑𝑑
𝑣(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑑
Con fasores
𝑉� = 𝑅𝐼 ̅
𝑉� = 𝑗𝑋𝐿 𝐼 ̅
𝑋𝐿 = 𝜔𝜔
𝑣(𝑡) = 𝑍 𝑖(𝑡)
𝑖(𝑡) = 𝑌 𝑣(𝑡)
𝑉� = 𝑍̅ 𝐼 ̅
𝐼 ̅ = 𝑌�𝑉�
Condensador 𝑣(𝑡) =
Circuito
general
1 𝑡
� 𝑖(𝑡)𝑑𝑑
𝐶 −∞
30
𝑉� = −𝑗𝑋𝐶 𝐼 ̅
𝑋𝐶 = 1/𝜔𝜔
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.3. El circuito RL serie
Ya dijimos que circuito RL serie es el modelo de una bobina real.
Primero efectuaremos los cálculos en el dominio del tiempo y
después emplearemos fasores y el álgebra de los números complejos.
Comprobaremos que ambos métodos conducen a los mismos
resultados.
La tensión 𝑣(𝑡) genera una corriente 𝑖(𝑡) que circula por 𝑅 y 𝐿, tal
que (fig. 9):
𝑉 cos ω𝑡 = 𝑅𝑅(𝑡) + 𝐿 𝑑𝑑/𝑑𝑑
La solución 𝑖(𝑡) de esta ecuación diferencial es
𝑖(𝑡) = 𝐼1 cos 𝜔𝜔 + 𝐼2 sen 𝜔𝜔
Para determinar las constantes de integración 𝐼1 e 𝐼2 se sustituye la
solución en la ecuación diferencial:
𝑑
𝑉 cos ω𝑡 = 𝑅(𝐼1 cos 𝜔𝜔 + 𝐼2 sen 𝜔𝜔) + 𝐿 (𝐼1 cos 𝜔𝜔 + 𝐼2 sen 𝜔𝜔)
𝑑𝑑
Derivando y agrupando términos obtenemos
(−𝐿𝐼1 𝜔 + 𝑅𝐼2 ) sen 𝜔𝜔 + (𝐿𝐼2 𝜔 + 𝑅𝐼2 − 𝑉) cos 𝜔𝜔 = 0
expresión que se cumple sólo si los dos coeficientes que multiplican a las funciones trigonométricas son
nulos:
−𝐿𝐼1 𝜔 + 𝑅𝐼2 = 0 ; 𝐿𝐼2 𝜔 + 𝑅𝐼2 − 𝑉 = 0
es decir
𝑅𝑅
𝜔𝜔𝜔
; 𝐼2 = 2
𝐼1 = 2
2
2
𝑅 +𝜔 𝐿
𝑅 + 𝜔 2 𝐿2
Por tanto, la solución de la ecuación diferencial es
𝜔𝜔𝜔
𝑅𝑅
cos 𝜔𝜔 + 2
sen 𝜔𝜔
𝑖(𝑡) = 2
2
2
𝑅 + 𝜔 2 𝐿2
𝑅 +𝜔 𝐿
que se simplifica empleando relaciones trigonométricas:
𝑉
𝜔𝜔
cos �𝜔𝜔 − 𝑡𝑡𝑡−1 �
𝑖(𝑡) =
𝑅
√𝑅 2 + 𝜔 2 𝐿2
0o0
Analicemos ahora el mismo circuito, utilizando fasores:
La impedancia del circuito es
𝑍̅ = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 = �𝑅 2 + 𝑋𝐿 2 𝑒 𝑗𝑗
con
𝜑 = 𝑡𝑡𝑡−1
aplicando la ley de Ohm:
𝐼̅ =
𝑉�
=
𝑍̅
𝑉𝑒 𝑗𝑗𝑗
�𝑅 2 + 𝑋𝐿 2 𝑒 𝑗𝑗
y deshaciendo la transformación fasorial:
𝑖(𝑡) =
�𝑅 2
=
𝑉
+ 𝑋𝐿
2
𝑋𝐿
𝑅
𝑉
�𝑅 2 + 𝑋𝐿 2
𝑒 𝑗(𝜔𝜔−𝜑)
cos(𝜔𝜔 − 𝜑)
o sea, el mismo resultado que el obtenido en el dominio del tiempo, pero con una forma de operar mucho
más sencilla y rápida.
31
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.4. El circuito RC paralelo
con
Realicemos el cálculo fasorial del circuito RC paralelo (fig. 10) que, como dijimos, representa el modelo
de una condensador real.
La impedancia 𝑍̅ se calcula mediante la expresión
1
1 1
= +
̅
1
𝑍 𝑅
𝑗𝑗𝑗
de donde se deduce que
𝑅
𝑍̅ =
1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗
es decir
𝑅𝑒 𝑗0
𝑅
𝑅(1 + 𝑗0)
=
=
𝑒 −𝑗𝑗
𝑍̅ =
1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 �1 + (𝜔𝜔𝜔)2 𝑒 𝑗𝑗 �1 + (𝜔𝜔𝜔)2
𝜑 = 𝑡𝑡𝑡−1 𝜔𝜔𝜔
aplicando la ley de Ohm:
𝑉� 𝑉𝑒 𝑗𝑗𝑗 · �1 + (𝜔𝜔𝜔)2 𝑉�1 + (𝜔𝜔𝜔)2 𝑗(𝜔𝜔+𝜑)
=
=
𝑒
𝑅
𝑅𝑒 −𝑗𝑗
𝑍̅
y deshaciendo la transformación fasorial, resulta:
𝐼̅ =
2.5. El circuito RLC serie
𝑖(𝑡) =
𝑉�1 + (𝜔𝜔𝜔)2
cos(𝜔𝜔 + 𝜑)
𝑅
La impedancia de este circuito (fig. 11) es
𝑍̅ = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 − 𝑗𝑋𝐶
agrupando términos:
𝑍̅ = 𝑅 + 𝑗(𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )
es decir
𝑍̅ = �𝑅 2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )2 𝑒 𝑗𝑗
con
𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝜑 = 𝑡𝑡𝑡−1
𝑅
aplicando la ley de Ohm:
𝑉𝑒 𝑗𝑗𝑗
𝑉
𝑉�
=
𝑒 𝑗(𝜔𝜔−𝜑)
𝐼̅ = =
̅
2
2
𝑗𝜑
2
𝑍 �𝑅 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 ) 𝑒
�𝑅 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )2
y deshaciendo la transformación fasorial, resulta:
𝑉
𝑖(𝑡) =
cos(𝜔𝜔 − 𝜑)
�𝑅 2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )2
2.6. El circuito RLC paralelo
Este circuito (fig. 12) se resuelve más fácilmente empleando admitancias. La admitancia de las tres
ramas en paralelo es la suma de las admitancias:
con
𝑌� =
1
1
1
1
1 2
1 2 𝑗𝑗
�
+
+ 𝑗𝑗𝑗 = + 𝑗 �𝜔𝜔 −
� = � � + �𝜔𝜔 −
� 𝑒
𝑅 𝑗𝑗𝑗
𝑅
𝜔𝜔
𝑅
𝜔𝜔
32
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
aplicando la ley de Ohm:
𝐼 ̅ = 𝑉� 𝑌�
𝜑 = 𝑡𝑡𝑡−1 𝑅 �𝜔𝜔 −
1
�
𝜔𝜔
1 2 𝑗𝑗
1 2
̅I = 𝑉 �� � + �𝜔𝜔 −
� 𝑒
𝜔𝜔
𝑅
1 2 𝑗(𝜔𝜔+𝜑)
1 2
� 𝑒
I̅ = 𝑉�� � + �𝜔𝜔 −
𝜔𝜔
𝑅
Y la solución en el dominio del tiempo es
1 2
1 2
𝑖(𝑡) = 𝑉�� � + �𝜔𝜔 −
� cos(𝜔𝜔 + 𝜑)
𝑅
𝜔𝜔
3. POTENCIA EN LA CORRIENTE ALTERNA
Como estamos viendo, en los circuitos que emplean corriente alterna existen desfases entre la tensión
y la corriente debido a la presencia de condensadores y bobinas que crean campos eléctricos y magnéticos
respectivamente. La energía que almacenan estos campos se devuelve a los circuitos (por ejemplo, cuando
los condensadores se descargan) provocando que la potencia total suministrada por la fuente no siempre
sea la consumida por los circuitos, porque una parte de ella se utiliza para crear esos campos; sin embargo,
la fuente debe proveerla.
Sean la tensión y la corriente proporcionadas por la fuente
𝑣(𝑡) = 𝑉0 cos 𝜔𝜔
𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos(𝜔𝜔 + 𝜑)
La potencia instantánea suministrada por la fuente es
cos 𝜑 + cos(2𝜔𝜔 + 𝜑)
𝑃(𝑡) = 𝑣(𝑡) · 𝑖(𝑡) = 𝑉0 𝐼0 cos 𝜔𝜔 cos(𝜔𝜔 + 𝜑) = 𝑉0 𝐼0
2
Y empleando los valores eficaces de la tensión y la corriente:
𝑃(𝑡) = 𝑉𝑉 cos 𝜑 + 𝑉𝑉 cos(2𝜔𝜔 + 𝜑)
3.1. Potencia activa, aparente y reactiva
La potencia activa o real es la potencia eléctrica que se convierte en trabajo en la unidad de tiempo. Es
la potencia que disipa un circuito en sus elementos resistivos; es decir, la que se transforma en calor o
trabajo. Se trata, por lo tanto, de la realmente consumida. Cuando se habla de demanda eléctrica, es la
potencia que se utiliza para determinar dicha demanda.
La potencia activa 𝑷 es la potencia media consumida por el circuito en vatios (W) durante un periodo
completo 𝑇. Se obtiene integrando la expresión de la potencia instantánea 𝑃(𝑡):
𝑇
1
𝑃 = �[𝑉𝑉 cos 𝜑 + 𝑉𝑉 cos(2𝜔𝜔 + 𝜑)]𝑑𝑑 = 𝑉𝑉 cos 𝜑
𝑇
0
Si llamamos potencia aparente a 𝑺 = 𝑽𝑽, medida en voltamperios (VA), podemos construir en el plano
complejo un triángulo de potencias (fig. 13) semejante al de impedancias donde la potencia activa es la
parte real, mientras que la parte imaginaria se conoce como potencia reactiva 𝑸, medida en voltamperios
reactivos. Con estas consideraciones podemos escribir que:
𝑃 = 𝑅𝑅�𝑉𝑉𝑒 𝑗𝑗 � = 𝑆 cos 𝜑 = 𝑉𝑉 cos 𝜑 = 𝐼 2 𝑍 cos 𝜑 = 𝐼 2 𝑅
𝑄 = 𝐼𝐼�𝑉𝑉𝑒 𝑗𝑗 � = 𝑆 sen 𝜑 = 𝑉𝑉 sen 𝜑 = 𝐼 2 𝑍 𝑠𝑠𝑠 𝜑 = 𝐼 2 (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )
33
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
La potencia aparente es la suministrada por la fuente, mientras que potencia reactiva es la que se
manifiesta en los intercambios de energía entre los campos eléctricos de los condensadores y los campos
magnéticos de las bobinas.
3.2. El factor de potencia 𝐜𝐜𝐜 𝝋
La potencia activa está relacionada con la potencia aparente a través del cos 𝜑, llamado factor de
potencia de la carga.
La importancia del factor de potencia es enorme; basta observar que en un generador de potencia
aparente 𝑆, conectado a una instalación con un cos 𝜑 = 1, la potencia aprovechada es 𝑃 = 𝑆, pero si
cos 𝜑 = 0.5, sólo se utiliza la mitad.
Incidiendo en la importancia del factor de potencia, atendamos ahora a las líneas de conexión entre el
generador y las cargas. La caída de tensión y la pérdida de potencia en las líneas son tanto mayores cuantos
más amperios circulen por los cables. Para transmitir una determinada potencia activa 𝑃 a una carga se
necesita una corriente
𝑃
𝐼=
𝑉 cos 𝜑
Con un cos 𝜑 = 0.5, la corriente que se necesita es 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 que con cos 𝜑 = 1. Si la línea tiene una
resistencia 𝑅, la caída de tensión en ella es 𝐼𝐼; es decir, manteniendo el mismo conductor, al duplicarse la
corriente, la caída de tensión en los cables sería también el doble. Si se quisiese mantener la tensión, habría
que duplicar la sección del conductor de la línea. Pero tiene mayor importancia, si cabe, la pérdida de
potencia en las líneas debida al calentamiento o efecto Joule, cuantificado por la expresión 𝐼 2 𝑅 donde la
corriente está elevada al cuadrado.
Lo ideal es que las cargas tengan un factor de potencia unidad, pero esa situación es prácticamente
imposible de conseguir. Cuanto más bajo sea el factor de potencia mayor cantidad de energía se
desperdicia. Las compañías de distribución de electricidad penalizan a los consumidores que tienen un bajo
factor de potencia, pues se ven obligadas a enviar más amperios por las líneas de suministro, aumentando
considerablemente las pérdidas por efecto Joule. Un factor de potencia típico está en torno a 0.8.
Para corregir el factor de potencia se emplean motores síncronos y baterías de condensadores.
34
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
4. CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Si el rotor de un generador tiene 𝑛 bobinas idénticas distribuidas simétricamente, entonces puede
generar 𝑛 ondas sinusoidales desfasadas 2𝜋/𝑛 radianes entre ellas.
Un generador elemental necesita dos
terminales para la conexión exterior. Una
máquina polifásica precisaría, en principio, 2𝑛
conductores para conectarla con la carga. Por
tanto, de no existir un método para reducir este
número, los sistemas polifásicos no tendrían
aplicaciones industriales.
Hay dos formas de emplear sólo la mitad (o
la mitad más uno) de los conductores: la
conexión en estrella y la conexión en polígono.
Las corrientes polifásicas más empleadas
son las trifásicas (𝑛 = 3) en estrella (Y) o
triángulo (∆), porque con ellas se consigue la
mejor relación entre la energía disponible y el
coste de la instalación. Por eso, centraremos el
estudio exclusivamente en las corrientes
trifásicas desfasadas 120º (fig. 14).
Se emplea el siguiente glosario de términos:
• Tensión simple o de fase: La tensión generada en cada una de las bobinas.
• Tensión compuesta o de línea: La tensión existente entre dos terminales exteriores, exceptuando el
neutro si existe. Estos conectores según la norma UNE 21302 se denominan L1, L2 y L3, aunque
tradicionalmente se conocen como R, S y T (y N, el neutro).
• Intensidad de fase: la que circula por cada bobina del generador.
• Intensidad de línea: la que circula por los conductores de línea.
4.1. La conexión en estrella Y
Para realizar la conexión en Y se unen los terminales negativos de todas las bobinas, tal como se
muestra en la figura 15. Los esquemas (a) y (b) son equivalentes.
Las expresiones matemáticas de las tensiones son
𝑉1 = 𝑉 cos 𝜔𝜔
𝑉2 = 𝑉 cos(𝜔𝜔 − 120º)
𝑉3 = 𝑉 cos(𝜔𝜔 − 240º)
35
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
El neutro es el centro de la estrella. La tensión entre un terminal y el neutro es la tensión de fase. La
tensión entre dos terminales cualesquiera es la de línea.
Las tensiones de fase 𝑉𝐹 son
𝑉�𝑅𝑅 = 𝑉�1
𝑉�𝑆𝑆 = 𝑉�2 𝑉�𝑇𝑇 = 𝑉�3
Las tensiones de línea 𝑉𝐿 son
𝑉�𝑅𝑅 = 𝑉�1 − 𝑉�2
𝑉�𝑆𝑆 = 𝑉�2 − 𝑉�3
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉�3 − 𝑉�1
En la figura 16 se representan los
fasores de las tensiones en la conexión en
estrella. De ella se desprende la relación
entre la tensión de fase y la de línea:
|𝑉𝑅𝑅 | = 2 · |𝑉1 | cos 30º
Por tanto:
𝑉𝐹 = 𝐼𝐹 𝑍
𝑉𝐿 = √3𝑉𝐹
Una carga se puede conectar también
en estrella o en triángulo y se dice que está
equilibrada si 𝑍1 = 𝑍2 = 𝑍3 = 𝑍, tanto en Y
como en ∆. Esta premisa casi nunca se
cumple, pero es muy importante procurar
que se encuentre lo más cerca posible del
equilibrio para optimizar la utilización de los
generadores.
Si la carga está conectada en Y (fig. 17),
la corriente que circula por cada una de las
ramas de la estrella es la misma, pero
desfasada 120º entre ramas. Lo mismo
sucede con las tensiones:
Se puede observar que en la conexión en estrella solo existe la corriente de línea que coincide con la de
fase:
𝐼𝐹 = 𝐼𝐿
La corriente que circula por el neutro es
𝐼𝑁 = 𝐼𝑅 + 𝐼𝑆 + 𝐼𝑇
Si la carga está equilibrada entonces 𝐼𝑁 = 0; en caso contrario 𝐼𝑁 ≠ 0. Además, por cada fase del
generador circula una corriente distinta y diferente de la que habría si la carga estuviera equilibrada; esta
situación a pequeña escala no es muy perniciosa pero en casos extremos de desequilibrio podría producir
averías.
36
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
4.2. La conexión en triángulo ∆
La conexión en triángulo para un generador se realiza tal como se muestra en la figura 18. En este tipo
de conexión no existe el neutro. Los esquemas (a) y (b) son equivalentes.
Se aprecia que la tensión de línea y la de fase son iguales:
VL = VF
En la figura 19 se representan los fasores de las corrientes en la conexión en triángulo. Por ejemplo, la
corriente de línea 𝐼𝑆̅ es
𝐼𝑆̅ = 𝐼1̅ − 𝐼2̅
De esta relación fasorial se desprende la que existe entre la corriente de fase y la de línea, para ello basta
tener presente que |𝐼1 | = |𝐼2 |:
|𝐼𝑆 | = 2 · |𝐼1 | cos 30º
por tanto
𝐼𝐿 = √3𝐼𝐹
La corriente que circula por cada una de las impedancias es
𝑉𝐹
𝐼𝐹 =
𝑍
A continuación se muestran las impedancias conectadas en ∆:
37
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Obsérvese que si la carga no está equilibrada, se produce una circulación de corriente 𝐼 (en el sentido
indicado en la figura 20 o en el contrario), mientras que si 𝑍1 = 𝑍2 = 𝑍3 entonces 𝐼 = 0.
En el siguiente cuadro se presentan los tipos posibles de conexiones entre el generador y la carga, y las
relaciones entre las tensiones y las corrientes, siempre que la carga esté equilibrada:
Conexión
∆-∆
∆-Y
Y-∆
Y-Y
Tensiones y corrientes de fase Tensiones y corrientes de línea
𝑉𝑅𝑅 = 𝑉𝐹 ∠0˚
Voltajes Iguales a los de fase
𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝐹 ∠ − 120˚
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉𝐹 ∠ + 120˚
𝐼1 = √3𝐼𝐴𝐴 ∠ − 30˚
𝐼𝑅𝑅 = 𝑉𝑅𝑅 ⁄𝑍
𝐼2 = 𝐼1 ∠ − 120˚
𝐼𝑆𝑆 = 𝑉𝑆𝑆 ⁄𝑍
𝐼3 = 𝐼1 ∠ + 120˚
𝐼𝑇𝑇 = 𝑉𝑇𝑇 ⁄𝑍
Voltajes Iguales a los de fase
𝑉𝑅𝑅 = 𝑉𝐹 ∠0˚
𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝐹 ∠ − 120˚
𝐼1 = 𝑉𝐹 ∠ − 30˚⁄√3𝑍
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉𝐹 ∠ + 120˚
𝐼2 = 𝐼1 ∠ − 120˚
Corrientes iguales a las de línea
𝐼3 = 𝐼1 ∠ + 120˚
𝑉𝑅𝑅 = √3𝑉𝐹 ∠30˚
𝑉1 = 𝑉𝐹 ∠0˚
𝑉𝑆𝑆 = √3𝑉𝑅𝑅 ∠ − 120˚
𝑉2 = 𝑉𝐹 ∠ − 120˚
𝑉3 = 𝑉𝐹 ∠ + 120˚
𝑉𝑇𝑇 = √3𝑉𝑅𝑅 ∠ + 120˚
𝐼𝑅𝑅 = 𝑉𝑅𝑅 ⁄𝑍
𝐼1 = √3𝐼𝐴𝐴 ∠ − 30˚
𝐼𝑆𝑆 = 𝑉𝑆𝑆 ⁄𝑍
𝐼2 = 𝐼1 ∠ − 120˚
𝐼𝑇𝑇 = 𝑉𝑇𝑇 ⁄𝑍
𝐼3 = 𝐼1 ∠ + 120˚
𝑉𝑅𝑅 = √3𝑉𝐹 ∠30˚
𝑉1 = 𝑉𝐹 ∠0˚
𝑉𝑆𝑆 = √3𝑉𝑅𝑅 ∠ − 120˚
𝑉2 = 𝑉𝐹 ∠ − 120˚
𝑉𝑇𝑇 = √3𝑉𝑅𝑅 ∠ + 120˚
𝑉3 = 𝑉𝐹 ∠ + 120˚
𝐼1 = 𝑉1⁄𝑍
Corrientes iguales a las de línea
𝐼2 = 𝐼1 ∠ − 120˚
𝐼3 = 𝐼1 ∠ + 120˚
4.3. Impedancias en estrella y en triángulo equivalentes
En la figura 21 se representan las impedancias 𝑍1 , 𝑍2 y 𝑍3 conectadas en estrella y 𝑍12 , 𝑍13 y 𝑍23
conectadas en triángulo. Calculemos la relación que debe existir entre ellas para que por las líneas R, S
y T circule la misma corriente sea cual sea la disposición de dichas impedancias. Para ello se conecta
sucesivamente una fuente de tensión 𝑣(𝑡), siempre la misma, entre los terminales R-S, S-T y R-T. Al
aplicar la ley de Ohm, resulta:
38
•
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Terminales R-S alimentados (el T desconectado)
Conexión en estrella
𝑣(𝑡)
= 𝑍1 + 𝑍2
𝑖1 (𝑡)
Conexión en triángulo
𝑍12 (𝑍13 + 𝑍23 )
𝑣(𝑡)
=
𝑖1 (𝑡) 𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
• Terminales S-T alimentados (el R desconectado)
Conexión en estrella
𝑣(𝑡)
= 𝑍2 + 𝑍3
𝑖2 (𝑡)
Conexión en triángulo
𝑍23 (𝑍12 + 𝑍13 )
𝑣(𝑡)
=
𝑖2 (𝑡) 𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
• Terminales R-T alimentados (el S desconectado)
Conexión en estrella
𝑣(𝑡)
= 𝑍1 + 𝑍3
𝑖3 (𝑡)
Conexión en triángulo
𝑍13 (𝑍12 + 𝑍23 )
𝑣(𝑡)
=
𝑖3 (𝑡) 𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
Para que en cada par de terminales se cumplan las igualdades debe cumplirse que:
𝑍12 (𝑍13 + 𝑍23 )
𝑍23 (𝑍12 + 𝑍13 )
𝑍13 (𝑍12 + 𝑍23 )
𝑍1 + 𝑍2 =
; 𝑍2 + 𝑍3 =
; 𝑍1 + 𝑍3 =
𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
es decir
𝑍12 𝑍13
𝑍12 𝑍23
𝑍13 𝑍23
𝑍1 =
; 𝑍2 =
; 𝑍3 =
𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
𝑍12 + 𝑍13 + 𝑍23
o
𝑍1 𝑍2
𝑍1 𝑍3
𝑍2 𝑍3
𝑍12 = 𝑍1 + 𝑍2 +
; 𝑍13 = 𝑍1 + 𝑍3 +
; 𝑍23 = 𝑍2 + 𝑍3 +
𝑍3
𝑍2
𝑍1
4.4. Potencia trifásica
Sea un generador trifásico en estrella o en triángulo, conectado a una carga trifásica equilibrada.
Precisamente por estar la carga equilibrada la potencia aportada por cada una de las fases es la misma:
𝑃𝑅 = 𝑃𝑆 = 𝑃𝑇
La potencia total es la suma de las tres:
𝑃𝑇 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇
39
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Como la potencia activa de una fase es
la potencia activa total trifásica es:
𝑃𝐹 = 𝑉𝐹 𝐼𝐹 cos 𝜑
𝑃𝑇 = 3𝑃𝐹 = 3𝑉𝐹 𝐼𝐹 cos 𝜑
Teniendo en cuenta las relaciones que existen entre las tensiones y corrientes de línea y de fase, tanto
para la conexión en estrella como en triángulo se cumple que:
𝑃𝑇 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿 𝑐𝑐𝑐𝑐
siendo cos 𝜑 el factor de potencia de las cargas.
Es necesario tener presente las siguientes observaciones:
• La potencia en un sistema trifásico es la total del sistema, no la de una de sus fases.
• La tensión nominal de un sistema trifásico es la tensión de línea.
• En la placa de características de un receptor de corriente trifásica, la intensidad que se indica es el
valor eficaz de la corriente de línea.
• Normalmente los receptores están conectados en triángulo y los generadores en estrella.
• Es frecuente que, por medio de arrancadores o aparatos auxiliares, se pueda cambiar la conexión
del receptor de estrella a triángulo. Muchos motores eléctricos de potencia superior a 7.5 CV se
arrancan en estrella para reducir el consumo de corriente y, después del arranque, se conectan
automáticamente en triángulo.
Ejemplo 1
La figura representa un generador trifásico equilibrado que alimenta una carga trifásica pasiva Z,
equilibrada y conectada en estrella mediante tres hilos cuya impedancia por fase es 𝑍𝐿 = 1 + 𝑗. El
generador trabaja a 50 Hz y entrega una potencia 𝑃𝐺 = 21.2 𝑘𝑘. La carga pasiva consume 𝑃𝑍 = 20 𝑘𝑘
con un factor de potencia 0.8 inductivo. Determinar: a) La intensidad de línea. b) La tensión de fase en la
carga. c) La impedancia Z por fase de la carga. d) La tensión de línea en el generador. e) La capacidad por
fase de la batería de condensadores, conectados en triángulo, en paralelo con la carga, que hace aumentar
el factor de potencia del conjunto a 0.9. f) Ídem, si los condensadores están conectador en estrella. g) Una
vez conectados los condensadores según los apartados e y f, calcular la nueva intensidad de línea en cada
uno de los casos para que las tensiones en la carga sean las mismas que antes de conectar los
condensadores.
Solución:
a)
La diferencia de potencia entre la suministrada por el generador 𝑃𝐺 = 21.2 𝑘𝑘 y la consumida por la carga
𝑃𝑍 = 20 𝑘𝑘 es la que se invierte en las impedancias 𝑍𝐿 = 1 + 𝑗 de las líneas 𝑃𝐿 = 1.2 𝑘𝑘. Pero este
consumo se produce en la parte resistiva de la línea (𝑅 = 1):
𝑃𝐿 = 3 𝐼𝐿2 𝑅
por tanto
40
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑃𝐿
1.2 · 1000
𝐼𝐿 = � = �
= 20 𝐴
3𝑅
3·1
Como el factor de potencia 0.8 es inductivo, la corriente está retrasada respecto a la tensión, si un fasor de
la tensión se encuentra en 0º entonces el fasor de la corriente es
𝐼𝐿̅ = 20∠ − 𝑐𝑐𝑐 −1 0.8 = 20∠ − 36.87º
b)
Como la potencia consumida en la carga es
𝑃𝑍 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿 𝑐𝑐𝑐 𝜑
entonces la tensión de línea es
y la tensión de fase es
𝑉𝐹 =
𝑉𝐿
√3
𝑉𝐿 =
=
𝑃𝑍
𝑃𝑍
√3𝐼𝐿 𝑐𝑐𝑐 𝜑
√3√3𝐼𝐿 𝑐𝑐𝑐 𝜑
=
20 · 1000
= 416. 6� 𝑉
3 · 20 · 0.8
c)
La impedancia de la carga por fase es
416. 6� 𝑉∠0º
𝑉𝐹
=
= 20.83� ∠36.87º
𝑍=
𝐼𝐿 20∠ − 36.87º
d)
Estudiamos el circuito monofásico de cualquier fase:
La tensión de fase en el generador 𝑉𝐹𝐹 es
𝑉𝐹𝐹 = 𝐼𝐿 𝑍𝐿 + 𝑉𝐹 = 20∠ − 36.87º · √2∠45º + 416. 6� 𝑉∠0º = 444.68∠0.5º
Pero la tensión de línea en el generador 𝑉𝐿𝐿 es √3 la de fase y está adelantada 30º respecto a la de fase:
𝑉𝐿𝐿 = √3444.68∠0.5º + 30º = 770∠30.5º
0o0
Otra forma de calcular esta tensión es empleando potencias. La potencia reactiva en la carga 𝑄𝑍 es
𝑄𝑍 = 𝑃𝑍 𝑡𝑡𝑡 𝜑 = 20 𝑡𝑡𝑡 36.87 = 15 𝑘𝑘𝑘 𝑟
La potencia reactiva en las líneas es
𝑄𝐿 = 3𝐼𝐿2 𝑋𝐿 = 3 · 202 · 1 = 1.2 𝑘𝑘𝑘𝑘
Por tanto, la potencia reactiva que soporta el generador es
𝑄𝑔 = 𝑄𝐿 + 𝑄𝑍 = 1.2 + 15 = 16.2 𝑘𝑘𝑘𝑘
La potencia aparente del generador es
Como
entonces
𝑆 = �𝑃𝑔2 + 𝑄𝑔2 = �21.22 + 16.22 = 26.68 𝑘𝑘𝑘
𝑆 = √3𝑉𝐿𝐿 𝐼𝐿
41
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑉𝐿𝐿 =
𝑆
√3𝐼𝐿
=
26.68
√3 · 20
= 770 𝑉
e)
Para un factor de potencia 0.9, la nueva potencia reactiva en la carga 𝑄𝑍 es
𝑄𝑍 = 𝑃𝑍 𝑡𝑡𝑡 𝜑 = 20 𝑡𝑡𝑡(𝑐𝑐𝑐 −1 0.9) = 9.686 𝑘𝑘𝑘 𝑟
Antes de instalar los condensadores la potencia reactiva era 15 𝑘𝑘𝑘𝑘, entonces los condensadores deben
suministrar la siguiente potencia reactiva
𝑄𝐶 = 15 − 9.686 = 5.314 𝑘𝑘𝑘𝑘
como
2
𝑉𝐹𝐹
2
= 3𝜔𝐶∆ 𝑉𝐹𝐹
𝑄𝐶 = 3𝑄𝐹𝐹 = 3
𝑋𝐶∆
donde 𝑄𝐹𝐹 es la potencia reactiva por fase cedida a los condensadores y 𝑉𝐹𝐹 es la tensión que soportan los
condensadores que tiene que ser igual a la de línea en la carga. Por tanto, la capacidad 𝐶∆ es
𝑄𝐶
5314
=
= 10.8 𝜇𝜇
𝐶∆ =
2
3𝜔𝑉𝐹𝐹
3 · 2𝜋 · 50 · (√3416. 6� )2
f)
Los condensadores, conectados ahora en estrella, deben proporcionar la misma potencia reactiva que en
triángulo.
Pero la relación de impedancias equivalentes entre una estrella y un triángulo es 𝑍∆ = 3𝑍𝑌 . Como la
impedancia de un condensador es inversamente proporcional a su capacidad, entonces
𝐶𝑌 = 3𝐶∆ = 3 · 10.8 = 32.4 𝜇𝜇
g)
En ambos casos las potencias activas consumidas por el conjunto formado por la carga y los condensadores
tiene que seguir siendo 20 𝑘𝑘, pero la potencia reactiva ahora es
𝑄 = 20000 𝑡𝑡𝑡(𝑐𝑐𝑐 −1 0.9) = 9.7 𝑘𝑘𝑘𝑘
y la potencia aparente es
𝑆 = �202 + 9.72 = 22. 2� 𝑘𝑘𝑘
Como
𝑆 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿
la nueva corriente de línea es
42
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
22. 2� · 1000
= 17.78 𝐴
√3𝑉𝐿 √3√3416. 6�
Se observa que, al mejorar el factor de potencia, la corriente de línea disminuye, con lo que también se
reducirán las pérdidas en los hilos de las líneas. Además, se requiere menos tensión en bornes del generador
para mantener la misma tensión en la carga:
𝑉𝐿𝐿 = √3416. 6� = 721.687 𝑉 < 770 𝑉
𝑆
𝐼𝐿 =
=
Ejemplo 2
En la figura se aprecian dos cargas trifásicas, pasivas y equilibradas, conectadas en paralelo a una red de
tensiones de línea de 380 𝑉. La carga 1 consume 80 𝑘𝑘 con un factor de potencia inductivo 0.8. La carga 2
consume 30𝑘𝑘 con un factor de potencia inductivo 0.6. Calcular: a) El factor de potencia del conjunto. b) La
Intensidad de línea del conjunto. c) La intensidad de fase en la carga 1 si está conectada en estrella. d) La
intensidad de fase en la carga 2 si está conectada en triángulo.
a)
La potencia reactiva de la carga 1 es
𝑄1 = 𝑃1 𝑡𝑡𝑡 𝜑1 = 80 · 𝑡𝑡𝑡(𝑐𝑐𝑐 −1 0.8) = 60
y la de la carga 2 es
𝑄2 = 𝑃2 𝑡𝑡𝑡 𝜑2 = 30 · 𝑡𝑡𝑡(𝑐𝑐𝑐 −1 0.6) = 40
La potencia reactiva total es
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 60 + 40 = 100
La potencia activa total es
𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 = 80 + 30 = 110
El nuevo factor de potencia es
𝑄 100
𝑡𝑡𝑡 𝜑′ = =
𝑃 110
por tanto
100
� = 0.74
𝑐𝑐𝑐 𝜑′ = 𝑐𝑐𝑐 �𝑡𝑡𝑡−1
110
b)
entonces
c)
𝐼𝐿 =
√3𝑉𝐿
𝐼𝐹 = 𝐼𝐿 =
𝑃
𝑃 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿 𝑐𝑐𝑐 𝜑′
𝑐𝑐𝑐 𝜑′
𝑃1
=
110 · 1000
√3 · 380 · 0.74
√3𝑉𝐿 𝑐𝑐𝑐 𝜑1
=
80 · 1000
= 225.87 𝐴
√3 · 380 · 0.8
43
= 151.93 𝐴
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
d)
𝑃2 30
=
= 10 𝑘𝑘
𝑃𝐹 =
3
3
𝑃𝐹
10 · 1000
=
= 43.86 𝐴
𝐼𝐹 =
𝑉𝐿 𝑐𝑐𝑐 𝜑2
380 · 0.6
44
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 3
TRANSFORMADORES
1. EL TRANSFORMADOR IDEAL
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
Transformador ideal. Hipótesis
Relación de transformación de tensiones e intensidades
Potencia en un transformador ideal
Transformador de tensiones
Transformador de intensidades
Transformador de impedancias. Impedancia reflejada
Autotransformador
Transformador de aislamiento
Transformadores de medida
2. EL TRANSFORMADOR REAL MONOFÁSICO
2.1. Pérdidas magnéticas
2.2. Corrientes de vacío y de carga
2.3. Circuito equivalente de un transformador real
3. VALORES NOMINALES DE LOS TRANSFORMADORES
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Voltaje nominal
Frecuencia nominal
Potencia aparente nominal. Corriente nominal
Corriente de irrupción
4. ENSAYOS EN LOS TRANSFORMADORES
4.1. Ensayo en vacío
4.2. Ensayo en cortocircuito
5. REGULACIÓN DE VOLTAJE
6. EFICIENCIA DE UN TRANSFORMADOR
7. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
Conexión Y-Y
Conexión Y-Δ
Conexión Δ-Y
Conexión Δ-Δ
Desfase entre el primario y el secundario de transformadores trifásicos
45
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Los transformadores son máquinas eléctricas estáticas cuyo objetivo es modificar las características de
la corriente alterna.
La estructura básica de un transformador está
formada por dos arrollamientos o bobinados (fig. 1),
llamados devanados primario y secundario, que rodean a
un núcleo laminado de material ferromagnético como la
ferrita.
Su funcionamiento se basa en variar mediante una
corriente alterna el flujo magnético que soportan sus
devanados. Un transformador no puede trabajar con
corriente continua.
La transformación de tensión, su uso más importante,
tiene grandes aplicaciones industriales pues permite
transportar económicamente la energía eléctrica a largas
distancias al disminuir las pérdidas energéticas por
calentamiento (efecto Joule) en los conductores de las
líneas. La causa que provoca el calentamiento en los
cables es la intensidad de la corriente que circula por dichos cables; por lo tanto, con vista a transportar de
manera rentable la energía eléctrica, se eleva la tensión para disminuir la corriente en la misma proporción.
1. EL TRANSFORMADOR IDEAL
1.1. Transformador ideal. Hipótesis
•
•
Las dos simplificaciones que permiten suponer que un transformador es ideal son:
Los devanados primario y secundario son arrollamientos sin resistencia óhmica. Con ello se están
despreciando el efecto Joule y las caídas de tensión en el interior del transformador.
Todo el flujo magnético está confinado en el núcleo del transformador; es decir, no hay flujos
dispersos (ver figura 13).
1.2. Relación de transformación de tensiones e intensidades
Cuando se aplica una tensión alterna a uno de los devanados de un transformador ideal, por ejemplo al
primario, por dicho devanado circula una corriente alterna que produce una variación del flujo magnético
en el núcleo, que se transmite y se manifiesta en el secundario. Esta variación del flujo genera fuerzas
electromotrices inducidas en el primario y el secundario que, según la ley de Faraday, son
𝑑(𝐵 · 𝑆 cos 𝜔𝜔)
𝐵 · 𝑆 𝑑(cos 𝜔𝜔)
𝑑𝛷
= 𝑁𝑝
= 𝑁𝑝
= −𝑁𝑝 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔 sen 𝜔𝜔
𝑒𝑝 (𝑡) = 𝑁𝑝
𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑑𝑑
análogamente
𝑑𝛷
= − 𝑁𝑠 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔 sen 𝜔𝜔
𝑒𝑠 (𝑡) = 𝑁𝑠
𝑑𝑑
sus valores eficaces son
𝑁𝑝 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔
𝑁𝑠 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔
= 4,44 𝑓 𝑁𝑝 𝛷𝑚𝑚𝑚 ; 𝐸𝑠 =
= 4,44 𝑓 𝑁𝑠 𝛷𝑚𝑚𝑚
𝐸𝑝 =
√2
√2
donde 𝐸𝑝 es la tensión en el primario, 𝐸𝑠 es la tensión en el secundario, 𝑁𝑝 el número de espiras del
primario, 𝑁𝑠 el número de espiras del secundario y 𝑓 la frecuencia.
Dividiendo 𝐸𝑝 por 𝐸𝑠 y teniendo en cuenta que la tensión aplicada es igual a la f.e.m. inducida, pues,
como se ha supuesto, la resistencia óhmica de los cables es nula:
𝐸𝑝 𝑉𝑝 𝑁𝑝
= =
=𝑎
𝐸𝑠 𝑉𝑠 𝑁𝑠
46
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
siendo 𝑎 la relación de transformación. Por ejemplo, en un transformador de distribución, que reduce la
tensión de las subestaciones (del orden de los 3000 V), hasta las tensiones de consumo (220 V en Europa),
el valor de 𝑎 es:
𝑉𝑝 3000
=
= 13,63
𝑉𝑠
220
Por otro lado, supongamos que en el secundario hay una carga de impedancia 𝑍𝑠 (fig. 2), que la
intensidad que circula por el primario es 𝐼𝑝 y por el secundario 𝐼𝑠 . Sabemos que la fuerza magnetomotriz
(fmm) resultante es la suma de las fmm de los dos devanados. Debido al signo del flujo magnético en cada
devanado, esta fmm es positiva en el primario y negativa en el secundario, por tanto:
𝑓𝑓𝑓 = 𝛷𝑅𝑅 = 𝑁𝑝 𝐼𝑝 − 𝑁𝑠 𝐼𝑠
Pero en el transformador ideal la reluctancia 𝑅𝑅 es cero, o sea 𝑁𝑝 𝐼𝑝 = 𝑁𝑠 𝐼𝑠 . Esta relación de
intensidades es válida para valores instantáneos, máximos y eficaces. Por tanto, en un transformador ideal
se cumple que:
𝐸𝑝 𝑉𝑝 𝐼𝑠 𝑁𝑝
= = =
=𝑎
𝐸𝑠 𝑉𝑠 𝐼𝑝 𝑁𝑠
Si 𝑎 > 1 entonces 𝑉𝑠 < 𝑉𝑝 y el transformador reduce la tensión. Si 𝑎 < 1 entonces 𝑉𝑠 > 𝑉𝑝 y el
transformador eleva la tensión. Si 𝑎 = 1 entonces 𝑉𝑠 = 𝑉𝑝 y el transformador aísla eléctricamente; por
ejemplo, si un circuito conectado al primario tiene una masa o tierra indeseable, los circuitos alimentados
por el secundario no se ven afectados por este percance.
En el esquema de la figura 2 se aprecian también dos
puntos situados en las proximidades de las bobinas. La
ubicación de estos puntos indica la polaridad del
transformador. Veamos dos ejemplos. En la figura 2(a) cada
punto está colocado en la parte superior de ambas bobinas
indicando que la corriente entra por la parte superior del
primario (donde está dibujado el punto), de tal manera que
el voltaje generado en el secundario es positivo donde se
encuentre el punto del secundario y negativo donde no lo hay. En la figura 2(b), la corriente entra en el
primario por el terminal sin punto, de modo que el voltaje generado en el secundario es positivo en el
terminal sin punto y negativo en el terminal que tiene punto. En resumen, podemos decir que la polaridad
del punto del primario se «traslada» al punto del secundario.
1.3. Potencia en un transformador ideal
Suponiendo que el secundario tiene una carga con una impedancia 𝑍𝑠 cuyo
factor de potencia es cos 𝜑, la potencia entregada a dicha carga es 𝑃𝑠 =
𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑. Teniendo en cuenta que tanto las intensidades como las tensiones
están en fase tanto en el primario como en el secundario, respectivamente (fig.
47
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
3), el desfase entre la intensidad y la tensión del primario tiene que ser también 𝜑, por lo tanto, la potencia
de entrada al primario es:
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝 𝐼𝑝 cos 𝜑
Al sustituir en esta expresión los valores de 𝑉𝑝 e 𝐼𝑝 , tenemos:
𝑁𝑝 𝑁𝑠
𝐼
cos 𝜑 = 𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑 = 𝑃𝑠
𝑃𝑝 = 𝑉𝑠
𝑁𝑠 𝑠 𝑁𝑝
lo que demuestra que en un transformador ideal (aquél en el cual no hay pérdidas de ningún tipo), la
potencia a la entrada al primario es igual a la potencia de salida del secundario, como cabía esperar.
El rendimiento o eficiencia de los transformadores reales es excelente, del orden del 90 al 98%. De ahí
que podamos afirmar que, prácticamente, toda la potencia del primario se transfiere al secundario como
sucede en un transformador ideal.
1.4. Transformador de tensiones
Un transformador de tensiones está diseñado para conectar una fuente de tensión constante en el
primario, de tal manera que la tensión en el secundario sea prácticamente constante para un amplio rango
de cargas.
Supongamos que un transformador de tensiones, alimentado con tensión constante, tiene su
secundario conectado a una resistencia variable. Para obtener la curva característica de este transformador
variemos el valor de dicha resistencia desde cero hasta infinito. Veamos los casos extremos:
• Cuando la resistencia es muy elevada, infinita (fig. 4), el transformador se encuentra sin carga, en
vacío, con el secundario «abierto», sin que por este devanado circule corriente. La tensión es,
entonces, la correspondiente a la relación de transformación.
• Si la resistencia conectada al secundario es prácticamente nula, el secundario está en cortocircuito,
la intensidad es muy elevada (llamada intensidad de cortocircuito 𝐼𝑐𝑐 ) y la tensión en el secundario
es casi nula.
𝐼𝑐𝑐 es una magnitud relevante para el funcionamiento de un transformador de tensión. En efecto, esta
intensidad genera un calentamiento excesivo por efecto Joule y provoca que el transformador opere por
encima de su temperatura límite de trabajo, con las consecuencias negativas que acarrea. De hecho, en la
curva de variación de la corriente secundaria en un transformador de tensión (fig. 4), observamos que el
rango de calentamiento excesivo se encuentra entre 𝐼𝑐𝑐 e 𝐼2𝑛 , donde 𝐼2𝑛 es la corriente límite entre la zona
normal y la de calentamiento excesivo.
En la curva de variación de la tensión secundaria (fig. 5), el intervalo normal de funcionamiento se
encuentra entre 𝑉2𝑛 (la tensión umbral de la zona normal) y 𝑉20 (la tensión en condición de vacío). La
diferencia entre estas dos tensiones es una característica del transformador. Si se reduce la impedancia de
la carga por debajo del valor correspondiente a 𝑉2𝑛 , el transformador trabaja en una zona de
calentamiento excesivo, que irá en aumento a medida que se acerque a la situación de cortocircuito.
48
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1.5. Transformador de intensidades
El transformador de intensidades está diseñado para conectar una fuente de intensidad constante en el
primario, de tal manera que la intensidad en el secundario sea prácticamente constante para un amplio
rango de cargas.
Como antes, con una resistencia en el secundario que varíe desde cero hasta infinito analicemos los
casos extremos:
• Si la resistencia es nula, el secundario está en cortocircuito y la intensidad en el secundario viene
dada por la relación de transformación. En estas condiciones el transformador de intensidad se
encuentra sin carga o en vacío.
• Cuando la resistencia es muy elevada, la tensión es muy alta (fig. 7) y se puede provocar un
deterioro del aislamiento. Asimismo, se produce un gran flujo magnético que provoca la saturación
del núcleo. Cuando la resistencia es infinita (es decir, con el secundario en circuito abierto), la
tensión también debería ser infinita, pero su valor se ve limitado por el citado efecto de saturación
del núcleo.
La corriente secundaria del transformador (fig. 6) permanece casi constante desde 𝐼20, en vacío, hasta
𝐼2𝑛 , el umbral de la zona normal. A la hora de diseñar este tipo de transformadores se pretende que la
diferencia entre estas dos corrientes sea la menor posible para que la transformación de intensidad sea
estable.
1.6. La transformación de impedancias. Impedancia reflejada
Dentro del análisis del transformador ideal, una aplicación importante es la transformación de
impedancias. Esta propiedad se emplea en antenas y líneas de transmisión para «adaptar» la impedancia
del primario a la del secundario y viceversa.
Si el secundario tiene una carga 𝑍𝑠 , dicha impedancia puede expresarse como:
𝑉𝑝
𝑉𝑝 1 2
𝑉𝑠
𝑎
=
=
� �
𝑍𝑠 =
𝐼𝑠
𝐼𝑝 𝑎
𝐼𝑝 𝑎
El cociente 𝑉𝑝 ⁄𝐼𝑝 (que tiene dimensión de impedancia) se denomina impedancia reflejada en el
primario 𝑍𝑠′ de la impedancia 𝑍𝑠 . Despejando 𝑍𝑠′ :
𝑍𝑠′ = 𝑍𝑠 𝑎2
Así, 𝑍𝑠′ se puede interpretar como la impedancia de la carga «vista» desde el primario.
49
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1.7. Autotransformador
Un autotransformador (fig. 8) es un transformador formado por un único devanado continuo, que se
emplea como primario y secundario mediante una toma intermedia, de tal manera que las tensiones de
alimentación y salida no se encuentran aisladas entre sí.
Según las relaciones obtenidas para el transformador ideal, en el autotransformador ideal tenemos
igualmente:
𝑁𝑝
𝑉𝑝
𝐼𝑠
=
=
𝑁𝑠
𝐼𝑝
𝑉𝑠
y también se cumple que
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝 𝐼𝑝 cos 𝜑 = 𝑃𝑠 = 𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑
Ahora bien, hay una importante diferencia en cuanto a la forma
en la que la energía del primario pasa al secundario pues se produce en
parte mediante una conexión eléctrica directa y en parte a través de un
acoplamiento magnético. En efecto, en la expresión anterior la
potencia entregada al secundario se puede escribir también de la
siguiente manera:
𝑃𝑠 = 𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑 = 𝑉𝑠 𝐼𝑝 cos 𝜑 + 𝑉𝑠 (𝐼𝑠 − 𝐼𝑝 ) cos 𝜑
El primer sumando, 𝑉𝑠 𝐼𝑝 cos 𝜑, llamado potencia de conducción 𝑃𝑐 , expresa la potencia del primario
entregada al secundario a través de la corriente 𝐼𝑝 . El segundo sumando, 𝑉𝑠 (𝐼𝑠 − 𝐼𝑝 ) cos 𝜑, denominado
potencia de inducción 𝑃𝑖 , representa la potencia del primario que recibe el secundario debido al devanado
común (o a su circuito magnético) a través de la corriente 𝐼𝑠 − 𝐼𝑝 .
La potencia de inducción caracteriza al autotransformador pues a mayor 𝑃𝑖 , mayor es el tamaño del
circuito magnético y mayor el peso, volumen y precio del autotransformador.
La suma de la potencia de conducción y la potencia de inducción se denomina potencia total o de paso
𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝 :
𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑃𝑐 + 𝑃𝑖
La relación entre 𝑃𝑖 y 𝑃𝑐 es
𝑉𝑠 (𝐼𝑠 − 𝐼𝑝 ) cos 𝜑
𝐼𝑠 − 𝐼𝑝
𝑉𝑝 − 𝑉𝑠
𝑃𝑖
=
=
=𝑎−1=
𝑃𝑐
𝐼𝑝
𝑉𝑠
𝑉𝑠 𝐼𝑝 cos 𝜑
De esta última expresión deducimos que, a mayor diferencia de
potencial entre el primario y el secundario, mayor es la potencia de
inducción frente a la de conducción, aumentando a su vez el tamaño del
autotransformador.
La relación entre 𝑃𝑖 y 𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝 es
𝑉𝑠 (𝐼𝑠 − 𝐼𝑝 ) cos 𝜑
𝐼𝑠 − 𝐼𝑝
𝑎−1
𝑃𝑖
=
=
=
𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝
𝐼𝑠
𝑎
𝑉𝑠 𝐼𝑝 cos 𝜑 + 𝑉𝑠 (𝐼𝑠 − 𝐼𝑝 ) cos 𝜑
Si representamos gráficamente 𝑃𝑖 ⁄𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝 según los valores de 𝑎 (fig. 9), se aprecia que, para valores
elevados de 𝑎, 𝑃𝑖 se aproxima a la potencia de paso, como sucede en un transformador convencional en el
cual toda la potencia se transforma de forma inductiva. En cambio, a medida que disminuye 𝑎 se reduce 𝑃𝑖
y aumenta 𝑃𝑐 respecto a la potencia total. En este caso el tamaño del circuito magnético (y, por tanto, el del
autotransformador) es más reducido con el consiguiente ahorro económico y de espacio. Dicho de otra
manera, para una misma potencia total, un autotransformador tiene menor tamaño que un transformador
convencional si la relación de transformación es baja.
La mayoría de los transformadores domésticos son autotransformadores porque no requieren un valor
grande de 𝑎. Existen también autotransformadores con relaciones de transformación variables; este efecto
se consigue modificando la posición de la toma intermedia.
Finalmente, es importante mencionar que en un autotransformador, tal como está diseñado, no existe
aislamiento eléctrico entre el primario y el secundario, lo que conlleva un inconveniente en el caso de que,
por ejemplo, se produzca un cortocircuito en alguna de sus partes.
50
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1.8. Transformador de aislamiento
Un transformador de aislamiento es uno convencional con una relación de transformación 𝑎 = 1. Su
función es proporcionar aislamiento galvánico entre el primario y el secundario sin que se produzca
elevación o reducción de tensión o intensidad. Cuando hablamos de aislamiento galvánico nos referimos a
que este transformador impide que los portadores de carga pasen del primario al secundario y viceversa,
tal como sucede en cualquier transformador convencional (no en el autotransformador, como acabamos de
ver).
Los transformadores de aislamiento se utilizan principalmente para proporcionar protección eléctrica a
equipos que trabajan directamente con tensión de red.
Algunos autores llaman transformadores de aislamiento a los que en este texto denominamos
transformadores convencionales; es decir, aquéllos que tienen cualquier relación de transformación, con el
primario y el secundario físicamente separados, sin conexión eléctrica entre ambos.
1.9. Transformadores de medida
En numerosas instalaciones eléctricas, especialmente en las de Alta Tensión es necesario medir voltajes
e intensidades elevadas. Pero no se deben conectar directamente los aparatos de medida (voltímetros y
amperímetros) a los circuitos de Alta Tensión debido al peligro que entrañaría para el personal que los
maneja. Los transformadores de medida separan los circuitos de Alta Tensión de los empleados en los
instrumentos y permiten normalizar los valores a unos 5 amperios y alrededor de unos 110 voltios.
Para conectar los amperímetros se emplean transformadores de intensidades, mientras que para los
voltímetros se usan transformadores de tensiones. Las características de los transformadores de medida
están recogidas en la norma UNE 21088.
En el transformador de tensiones de un transformador de medida (fig. 10), el primario se conecta en
paralelo con la red y el secundario en paralelo con el voltímetro. En el diseño de este transformador se
minimizan las pérdidas por flujo disperso de manera que la relación de espiras sea prácticamente la
relación de tensiones entre el primario y el secundario. Puesto que el voltímetro tiene una impedancia muy
elevada, el secundario trabaja prácticamente en vacío y debe conectarse a tierra para prevenir el peligro de
un contacto accidental entre el primario y el secundario.
En el transformador de intensidades de un transformador de medida, el primario se conecta en serie
con la red y el secundario en serie con un amperímetro. La relación de transformación es el cociente entre
la corriente a medir y la intensidad que circula por el amperímetro. Debido a la baja impedancia del
amperímetro, el secundario trabaja casi en cortocircuito y debe conectarse a tierra para prevenir el peligro
de un contacto accidental con el primario. Además, es importante no dejar jamás el secundario en circuito
abierto porque toda la fuerza magnetomotriz del primario se convertiría en excitación del secundario,
provocando un incremento enorme de la tensión en el secundario que podría poner en peligro al personal.
Por ello, para realizar los mantenimientos en este transformador hay dos opciones: o se interrumpe el
suministro de la red o se cortocircuita previamente el secundario.
51
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2. EL TRANSFORMADOR REAL MONOFÁSICO
2.1. Pérdidas magnéticas
En un transformador real tenemos cuatro causas principales de pérdidas magnéticas que habíamos
despreciado en el modelo del transformador ideal:
•
•
•
•
Las pérdidas debidas a las resistencias óhmicas de ambos devanados.
Las pérdidas por histéresis (fig. 11), provocadas por los reordenamientos magnéticos en el núcleo.
Cuando a un núcleo se le aplica un campo magnético (en un semiciclo de la corriente alterna, por
ejemplo), sus imanes elementales se orientan en una determinada dirección. Al cambiar el sentido
del campo magnético (en el siguiente semiciclo de la corriente alterna) dichos imanes mantienen la
orientación inicial y necesitan una energía suplementaria para reorientarse. Ésta es la pérdida de
energía por histéresis que se cuantifica mediante una función no lineal del voltaje aplicado al
primario.
Las pérdidas por corrientes parásitas o de Foucault, debidas a calentamientos del interior del
núcleo. Estas pérdidas son proporcionales al cuadrado de la tensión del primario.
Las pérdidas por flujos dispersos en el primario 𝛷𝑑𝑑 y en el secundario 𝛷𝑑𝑑 (fig. 13), causadas por
las líneas de fuerza magnéticas que se escapan del núcleo. Para minimizar estas pérdidas se suele
bobinar primero el secundario y, encima de éste, el primario.
2.2. Corriente de vacío y corriente de carga
Para comprender el funcionamiento del transformador real es necesario efectuar un análisis de las dos
corrientes más importantes que entran en juego: a) la de vacío y b) la de carga.
a) Corriente de vacío
Cuando se conecta una fuente alterna al primario, aunque el secundario se encuentre sin carga, circula
una corriente por el primario: la llamada corriente de excitación o de vacío 𝐼0 que tiene dos componentes:
La corriente de magnetización 𝐼𝑀 , necesaria para generar el flujo en el núcleo del transformador, y la
corriente de pérdidas en el núcleo 𝐼ℎ+𝑝 , que cuantifica los efectos del fenómeno de histéresis y las
corrientes parásitas, de tal manera que:
𝐼0 = 𝐼𝑀 + 𝐼ℎ+𝑝
La corriente de magnetización 𝐼𝑀 no es sinusoidal (ver figura 20) y su componente fundamental se
atrasa 90º respecto al voltaje aplicado (efecto inductivo). Además, cuando el flujo alcanza el nivel de
saturación en el núcleo, un pequeño incremento de flujo requiere un gran incremento de 𝐼𝑀 .
La corriente de pérdidas en el núcleo 𝐼ℎ+𝑝 no es lineal (debida al fenómeno de histéresis) y su
componente fundamental está en fase con el voltaje aplicado (efecto resistivo).
52
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
b) Corriente de carga
Durante el transitorio que se produce durante el proceso de conectar carga a un transformador,
aparece una corriente en el secundario 𝐼𝑠 que provoca una fmm
desmagnetizante 𝑁𝑠 𝐼𝑠 que se opone a la fmm primaria existente
𝑁𝑝 𝐼0 antes de que se conectase la carga. Para que se restablezca el
equilibrio en el transformador y se neutralice esta fuerza
desmagnetizante (fig. 12), es preciso que se genere una corriente
adicional primaria 𝐼0′ , denominada corriente de carga, que
provoque una fmm, ahora magnetizante 𝑁𝑝 𝐼0′ . Como ambas fmm
deben ser iguales, la corriente de carga ha de ser tal que
𝑁𝑝 𝐼0′ = 𝑁𝑠 𝐼𝑠
o sea
𝑁𝑠
𝐼𝑠
𝐼𝑠 =
𝐼0′ =
𝑁𝑝
𝑎
de este modo, la corriente del primario 𝐼𝑝 tiene dos componentes: la de vacío 𝐼0 y la adicional de carga 𝐼0′ .
Es decir:
𝐼𝑝 = 𝐼0 + 𝐼0′ = 𝐼0 + 𝐼𝑠 /𝑎
2.3. Circuito equivalente de un transformador real
Conocidas ya las pérdidas magnéticas de un transformador real y las corrientes presentes, diseñemos
un circuito equivalente que facilite su estudio.
Veamos el efecto de los flujos dispersos (fig. 13). En el
transformador real el flujo total de los devanados primario y
secundario, es
𝛷𝑝 = 𝛷𝑐 + 𝛷𝑑𝑑
𝛷𝑠 = 𝛷𝑐 + 𝛷𝑑𝑑
donde 𝛷𝑝 es el flujo total en el primario, 𝛷𝑠 en el secundario, 𝛷𝑐 es
el flujo común a ambos devanados, 𝛷𝑑𝑑 es el disperso del primario
y 𝛷𝑑𝑑 el disperso en el secundario.
En el circuito equivalente (fig. 14) se emplea un transformador
ideal cuyo flujo es sólo el común 𝛷𝑐 , y se introducen dos bobinas,
una en el primario y otra en el secundario, que generan los flujos dispersos 𝛷𝑑𝑑 y 𝛷𝑑𝑑 , cuyos coeficientes
de autoinducción son:
𝑑𝛷𝑑𝑑
𝑑𝛷𝑑𝑑
𝐿𝑑𝑑 = 𝑁𝑝
𝐿𝑑𝑑 = 𝑁𝑠
𝑑𝐼𝑝
𝑑𝐼𝑠
53
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Por otra parte, las pérdidas resistivas se incorporan al circuito equivalente mediante las resistencias de
cada uno de los devanados 𝑅𝑝 y 𝑅𝑠 .
Las tensiones en bornes del transformador «ideal» empleado en el circuito equivalente son
𝑑𝛷𝑐
𝑑𝛷𝑐
𝑒𝑠 (𝑡) = 𝑁𝑠
𝑒𝑝 (𝑡) = 𝑁𝑝
𝑑𝑑
𝑑𝑑
donde 𝑒𝑝 (𝑡) y 𝑒𝑠 (𝑡) son funciones del flujo común 𝛷c y, respectivamente, del número de espiras en el
primario y secundario del transformador ideal del modelo.
Tal como se detalla en el epígrafe 1.2., los valores eficaces de 𝑒𝑝 (𝑡) y 𝑒𝑠 (𝑡) son
𝐸𝑝 = 4,44 𝑓 𝑁𝑝 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐸𝑠 = 4,44 𝑓 𝑁𝑠 𝛷𝑚𝑚𝑚
Dividiendo, obtenemos la relación de transformación ya conocida:
𝐸𝑝 𝑁𝑝
=
=𝑎
𝐸𝑠 𝑁𝑠
sólo válida en bornes del transformador ideal, pues existen caídas de tensión en las dos bobinas que
generan los flujos dispersos y en las resistencias 𝑅𝑝 y 𝑅𝑠 . Ahora bien, en un transformador real
correctamente diseñado las caídas de tensión por flujo disperso son del orden del 1 al 10 por ciento de las
tensiones asignadas, por tanto se puede aceptar como buena aproximación que
𝐸𝑝 ≅ 𝑉𝑝
𝐸𝑠 ≅ 𝑉𝑠
es decir
𝑉𝑝
≅𝑎
𝑉𝑠
Por otro lado, los cálculos se simplifican si el primario y el secundario se reducen al mismo número de
espiras. Se puede reducir el número de espiras del secundario al del primario o viceversa. Veamos
detalladamente el primer caso, sustituyendo el transformador por uno en el cual el número de espiras del
primario es el original 𝑁𝑝 , mientras que el número de espiras del nuevo secundario es 𝑁𝑠′ = 𝑁𝑝 (fig. 15);
para ello se realizan las siguientes operaciones:
• En las fuerzas electromotrices y tensiones:
Como
𝑁𝑝
𝐸𝑝
=
=𝑎
𝐸𝑠
𝑁𝑠
entonces 𝐸𝑝 = 𝑎 𝐸𝑠 y si 𝐸𝑠′ es la nueva fuerza electromotriz en el secundario, al ser 𝑁𝑠′ = 𝑁𝑝 :
𝐸𝑝 𝑁𝑝
=
=1
𝐸𝑠′ 𝑁𝑠′
𝐸𝑝 = 𝐸𝑠′ = 𝑎 𝐸𝑠
•
•
Análogamente con las tensiones, aunque no olvidemos que, en este caso, partimos de la
aproximación comentada anteriormente:
𝑉𝑠′ = 𝑎 𝑉𝑠
siendo 𝑉𝑠′ la nueva tensión en el secundario.
En las corrientes:
La conservación de la energía entre el transformador original y el reducido al primario exige la
igualdad de las potencias aparentes: 𝑆𝑠 = 𝑉𝑠 𝐼𝑠 = 𝑉𝑠′ 𝐼𝑠′ , siendo 𝐼𝑠′ la nueva corriente que circula por
el secundario. Y teniendo en cuenta la relación de tensiones ya obtenida:
𝐼𝑠
𝐼𝑠′ =
𝑎
En impedancias:
Igualamos las potencias consumidas en las resistencias: 𝑅𝑠 𝐼𝑠2 = 𝑅𝑠′ 𝐼𝑠′2, siendo 𝑅𝑠′ la nueva
resistencia del secundario. Y considerando las relaciones en intensidades y tensiones:
𝑅𝑠′ = 𝑎2 𝑅𝑠
Igualando las potencias en las reactancias: 𝑋𝑠 𝐼𝑠2 = 𝑋𝑠′ 𝐼𝑠′2, con lo que:
𝑋𝑠′ = 𝑎2 𝑋𝑠
54
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Y cualquier impedancia 𝑍𝐿 situada en el secundario del transformador real se reduce al primario de
una forma análoga. En efecto, como
𝑉𝑠
𝑍𝐿 =
𝐼𝑠
y
𝑉𝑠′
𝑍𝐿′ = ′
𝐼𝑠
sustituyendo las relaciones de intensidades y tensiones:
𝑉𝑠′ 𝑎 𝑉𝑠
𝑎2 𝑉𝑠
𝑍𝐿′ = ′ =
=
𝐼𝑠
𝐼𝑠
𝐼𝑠
𝑎
entonces
𝑍𝐿′ = 𝑎2 𝑍𝐿
La consecuencia de reducir uno de los devanados es que se puede representar el transformador sin que
exista la función de transformación. En otras palabras, es posible sustituir el transformador real, cuyos
devanados están acoplados magnéticamente, por un circuito equivalente en el cual el transformador
utilizado tiene sus elementos acoplados sólo eléctricamente. En efecto, como 𝐸𝑝 = 𝐸𝑠′ se pueden unir los
extremos de igual polaridad instantánea, quedando de esta manera un solo devanado (fig. 16) por el cual
circula nada más que la corriente de vacío 𝐼0 cuyo valor es 𝐼0 = 𝐼𝑝 − 𝐼𝑠′ . Pero, según las componentes
obtenidas de la corriente en el primario con un transformador en carga, 𝐼0 también es 𝐼0 = 𝐼𝑝 − 𝐼0′. Por lo
tanto, observamos que 𝐼𝑠′ = 𝐼0′. Es decir, al realizar la reducción al primario, la nueva corriente que circula
por el secundario 𝐼𝑠′ es igual a la corriente de carga 𝐼0′ .
También podemos incorporar las dos componentes de la corriente de vacío 𝐼𝑀 e 𝐼ℎ+𝑝 del epígrafe 2.2.
Ya que 𝐼𝑀 está retrasada 90º respecto a la tensión, pero 𝐼ℎ+𝑝 está en fase, es como si 𝐼𝑀 circulase por una
bobina de impedancia 𝑋𝑀 e 𝐼ℎ+𝑝 lo hiciese por una resistencia 𝑅𝐹𝐹 (el subíndice 𝐹𝐹 se debe a que las
pérdidas por histéresis y corrientes parásitas se llaman también pérdidas en el hierro). Con estas
consideraciones obtenemos el circuito de la fig. 17:
55
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Efectuando un proceso similar podríamos reducir al secundario y obtendríamos:
′
′
𝐸𝑠 = 𝐸𝑝′ = 𝐸𝑝 /𝑎 𝑉𝑝′ = 𝑉𝑝 /𝑎 𝐼𝑝′ = 𝑎 𝐼𝑝 𝑅𝑝′ = 𝑅𝑝 /𝑎2 𝑋𝑝′ = 𝑋𝑝 /𝑎2 𝑋𝑀
= 𝑋𝑀 /𝑎2 𝑅𝐹𝐹
= 𝑅𝐹𝐹 /𝑎2
Este circuito equivalente (o el análogo de reducción al secundario) se considera exacto, aunque no
debemos olvidar la aproximación realizada con las tensiones.
Finalmente, existe un circuito equivalente aproximado, útil en determinados diseños. La simplificación
consiste en tener en cuenta el pequeño valor de 𝐼0 frente a 𝐼𝑝 e 𝐼𝑠′ , lo que permite desplazar hacia la
izquierda la rama en paralelo de 𝐼𝑀 e 𝐼ℎ+𝑝 dejando en serie 𝑅𝑝 , 𝑋𝑝 , 𝑋𝑠′ y 𝑅𝑠′ . Además se pueden asociar las
reactancias y resistencias del siguiente modo:
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑝 + 𝑅𝑠′ ; 𝑋𝑐𝑐 = 𝑋𝑝 + 𝑋𝑠′
donde 𝑅𝑐𝑐 y 𝑋𝑐𝑐 son las llamadas resistencia y la reactancia de cortocircuito. El circuito equivalente
aproximado es entonces el de la figura 18.
3. VALORES NOMINALES DE LOS TRANSFORMADORES
Los principales valores nominales de los transformadores son el voltaje, la frecuencia, la potencia
aparente, la corriente nominal y, en menor escala, la corriente de irrupción.
3.1. Voltaje nominal
Para proteger el aislamiento de los devanados es fundamental no sobrepasar el valor nominal del
voltaje. Si el primario soporta una tensión sinusoidal 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 sen 𝜔𝜔, el flujo magnético generado en sus
𝑁𝑝 espiras es
1
1
� 𝑣(𝑡)𝑑𝑑 =
� 𝑉𝑚 sen 𝜔𝜔 𝑑𝑑
𝛷(𝑡) =
𝑁𝑝
𝑁𝑝
suponiendo que el flujo inicial sea cero, entonces
𝑉𝑚
cos 𝜔𝜔
𝛷(𝑡) = −
𝜔𝑁𝑝
56
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la figura 20, a la izquierda está representado 𝛷(𝑡) en función del tiempo; a la derecha aparece la
curva de magnetización que relaciona el flujo con la corriente de magnetización 𝑖𝑀 (𝑡) generada en el
primario; y abajo se dibuja dicha corriente en función del tiempo.
Supongamos que se incrementa la tensión máxima 𝑉𝑚 . Según la expresión anterior, el flujo aumenta
también en la misma proporción, hasta alcanzar el valor 𝛷1 que se manifiesta en una corriente de
magnetización 𝑖𝑀1 que todavía puede soportar el transformador. Pero, si el flujo sigue creciendo hasta 𝛷2 ,
el primario entra en la zona de saturación, generándose una corriente 𝑖𝑀2 muy elevada que podría calentar
el devanado hasta deteriorar su aislamiento.
3.2.Frecuencia nominal
Veamos el efecto que tiene la frecuencia en el diseño de un transformador. Acabamos de decir que el
flujo máximo es
𝑉𝑚
𝛷𝑚𝑚𝑚 =
𝜔𝑁𝑝
con 𝜔 = 2𝜋𝜋, siendo 𝑓 la frecuencia:
57
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑉𝑚
2𝜋𝜋𝑁𝑝
Sean dos frecuencias 𝑓1 y 𝑓2. De la expresión anterior se deduce que
𝑓1
𝛷𝑚𝑚𝑚2 = 𝛷𝑚𝑚𝑚1
𝑓2
Si estas frecuencias se corresponden con los picos de 𝛷𝑚𝑚𝑚1 y 𝛷𝑚𝑚𝑚2 de la figura, se genera un gran
incremento en el pico de la corriente de magnetización que podría deteriorar el devanado del
transformador. Por ejemplo, si el primario está diseñado para 60 𝐻𝐻, pero se conecta a una fuente de
50 𝐻𝐻, se produce un incremento del flujo del 20 por ciento:
𝛷𝑚𝑚𝑚2 − 𝛷𝑚𝑚𝑚1
𝑓1
60
· 100 = � − 1� · 100 = � − 1� · 100 = 20%
𝛷𝑚𝑚𝑚1
𝑓2
50
Cabría preguntarse cuánto habría que disminuir la tensión máxima de alimentación del primario para
que este cambio de frecuencia no afectase al flujo, pero en ese caso estaríamos influyendo en la tensión de
salida del secundario.
𝛷𝑚𝑚𝑚 =
3.3.Potencia aparente nominal. Corriente nominal
Establecido el valor nominal del voltaje, se puede definir el de la potencia aparente nominal pues
𝑆 = 𝑉 · 𝐼. En estas condiciones, se debe determinar el valor nominal de la corriente que por efecto Joule
provoca el calentamiento de las bobinas del transformador.
Hay que tener en cuenta que un transformador puede tener más de un valor nominal de la potencia
aparente, según esté o no refrigerado.
3.4.Corriente de irrupción
Un problema relacionado con el nivel de voltaje de un transformador es la corriente de irrupción
(también llamada extracorriente de arranque) que debe soportar. Supongamos que el voltaje de
alimentación del primario es 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 sen(𝜔𝜔 − 𝜃). Si, en el instante inicial, al conectar el primario a la
fuente, 𝜃 es 90º, entonces 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝜔; y si el flujo inicial es cero, al cabo de un cuarto de período
alcanza un valor
𝜋
1 𝑇/4
1
𝑉𝑚
2𝜔
𝛷𝑇/4 =
� 𝑣(𝑡)𝑑𝑑 =
� 𝑉𝑚 cos 𝜔𝜔 𝑑𝑑 =
𝜔𝑁𝑝
𝑁𝑝 0
𝑁𝑝 0
que coincide con el flujo máximo de los epígrafes 3.1. y 3.2. Pero, si el voltaje aplicado en el instante inicial
se corresponde con 𝜃 = 0, entonces 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 sen 𝜔𝜔. Al cabo de medio periodo se obtiene un valor
𝜋
1 𝑇/2
1 𝜔
2𝑉𝑚
𝛷𝑇/2 =
� 𝑣(𝑡)𝑑𝑑 =
� 𝑉𝑚 sen 𝜔𝜔 𝑑𝑑 =
𝜔𝑁𝑝
𝑁𝑝 0
𝑁𝑝 0
el doble del máximo flujo de diseño que, según la forma de la curva de magnetización, podría provocar la
circulación de una corriente muy elevada por el primario.
Para cualquier otro valor de 𝜃 comprendido entre 0º y 90º existe una cierta cantidad de flujo (y, por
tanto, de corriente) que se manifiesta durante los primeros ciclos después de conectar el transformador a
la fuente, de ahí que los devanados de todos los transformadores deban estar diseñados para soportar
estas corrientes de irrupción.
4. ENSAYOS EN LOS TRANSFORMADORES
Se aprecia en la práctica que los modelos equivalentes del transformador real evalúan con bastante
precisión su comportamiento. Necesitamos, por tanto, determinar cuantitativamente los elementos que
componen dicho circuito equivalente. Para ello existen unos ensayos que permiten obtener sus
parámetros; los dos más importantes son el ensayo en vacío y el ensayo en cortocircuito
58
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
4.1.Ensayo en vacío
Con este ensayo se pueden calcular los valores 𝑋𝑀 y 𝑅𝐹𝐹 del circuito equivalente aproximado. Para ello
se aplica la tensión de trabajo al primario 𝑉𝑝 y se deja el secundario en circuito abierto. Entonces se mide en
el primario la corriente de vacío 𝐼0 y la potencia absorbida en este devanado 𝑃0 . También se mide el voltaje
en vacío del secundario 𝑉𝑠0 .
Al encontrarse el transformador en vacío, la corriente 𝐼𝑠 del secundario es nula, de modo que la
potencia en el primario es prácticamente igual a la potencia consumida por histéresis y corrientes parásitas,
llamada potencia en el hierro 𝑃𝐹𝐹 , de tal manera que:
𝑃0 = 𝑉𝑝 𝐼0 cos 𝜑0 = 𝑃𝐹𝐹
La tensión 𝑉𝑝 aplicada por el generador empleado en el ensayo es muy aproximadamente igual a 𝐸𝑝 . Con la
expresión anterior se calcula el ángulo de fase en vacío 𝜑0 .
Sabemos que 𝐼0 es la suma de 𝐼𝑀 e 𝐼ℎ+𝑝 pero dijimos que 𝐼𝑀 está retrasada 90º respecto a la tensión y
que 𝐼ℎ+𝑝 está en fase. Por tanto, podemos descomponer 𝐼0 de la siguiente manera:
𝐼ℎ+𝑝 = 𝐼0 cos 𝜑0 ; 𝐼𝑀 = 𝐼0 sen 𝜑0
y así calcular:
𝑅𝐹𝐹 =
𝑉𝑝
𝐼ℎ+𝑝
; 𝑋𝑀 =
𝑉𝑝
𝐼𝑀
Por otro lado al medir también la fuerza electromotriz en el secundario 𝐸𝑠 (igual a la tensión en el
secundario en vacío 𝑉𝑠0 ), este ensayo permite determinar la relación de transformación:
𝑁𝑝
𝑉𝑝
𝐸𝑝
=
=
𝑎=
𝐸𝑠
𝑁𝑠
𝑉𝑠0
4.2.Ensayo en cortocircuito
Con este ensayo se calculan los valores de 𝑋𝑐𝑐 y 𝑅𝑐𝑐 del circuito equivalente aproximado. Para ello se
cortocircuita el secundario y se aplica una tensión 𝑉𝑝𝑝𝑝 tal que circule la corriente de plena carga por el
primario 𝐼𝑝𝑝𝑝 . En estas condiciones la potencia del primario es: 𝑃𝑐𝑐 = 𝑉𝑝𝑝𝑝 𝐼𝑝𝑝𝑝 cos 𝜑𝑐𝑐 . Con las medidas
𝑉𝑝𝑝𝑝 , 𝐼𝑝𝑝𝑝 y 𝑃𝑐𝑐 se determina 𝜑𝑐𝑐 .
Del circuito de la figura 21(a) se desprende el diagrama fasorial de la figura 21(b) del cual se deduce
que:
𝑉𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑐𝑐 𝐼𝑝𝑝𝑝 = 𝑉𝑝𝑝𝑝 cos 𝜑𝑐𝑐
𝑉𝑋𝑋𝑋 = 𝑋𝑐𝑐 𝐼𝑝𝑝𝑝 = 𝑉𝑝𝑝𝑝 sen 𝜑𝑐𝑐
por tanto:
𝑉𝑝𝑝𝑝
𝑉𝑝𝑝𝑝
cos 𝜑𝑐𝑐 ; 𝑋𝑐𝑐 =
sen 𝜑𝑐𝑐
𝑅𝑐𝑐 =
𝐼𝑝𝑝𝑝
𝐼𝑝𝑝𝑝
Debe señalarse que en este ensayo se determina la impedancia total del transformador 𝑍𝑐𝑐 = 𝑅𝑐𝑐 +
𝑗𝑋𝑐𝑐 pero no puede calcularse su distribución entre los devanados del primario y el secundario, es decir:
59
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑝 + 𝑅𝑠′ y 𝑋𝑐𝑐 = 𝑋𝑝 + 𝑋𝑠′ . En la práctica, cuando se desea conocer dicha distribución se recurre a
la siguiente solución aproximada:
𝑅𝑝 = 𝑅𝑠′ = 𝑅𝑐𝑐 /2 ; 𝑋𝑝 = 𝑋𝑠′ = 𝑋𝑐𝑐 /2
5. REGULACIÓN DE VOLTAJE
Aunque el voltaje de entrada de un transformador permanezca constante, su tensión de salida varía con
la carga debido a su impedancia interna. Por ello, se denomina regulación de voltaje 𝑅𝑅 a la siguiente
expresión:
𝑉𝑠0 − 𝑉𝑠
𝑅𝑅 =
· 100
𝑉𝑠0
donde 𝑉𝑠0 es la tensión en vacío y 𝑉𝑠 la tensión a plena carga.
Si multiplicamos el numerador y el denominador por la relación de transformación 𝑎:
𝑎 · (𝑉𝑠0 − 𝑉𝑠 )
𝑅𝑅 =
· 100
𝑎 · 𝑉𝑠0
pero 𝑉𝑠′ = 𝑎 𝑉𝑠 , relación obtenida al estudiar el circuito equivalente aproximado de la figura 18, y
𝑉𝑝 = 𝑎 𝑉𝑠0 se determinó en el ensayo en vacío, entonces:
𝑉𝑝 − 𝑉𝑠′
· 100
𝑅𝑅 =
𝑉𝑝
Pero, como se aprecia en la fig. 18, 𝑉𝑝 puede expresarse de la siguiente manera:
𝑉�𝑝 = ���
𝑉𝑠 ′ + (𝑅𝑐𝑐 + 𝑗𝑋𝑐𝑐 )𝐼���
𝑠′
60
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la figura 22 se representa dicha ecuación con el fasor 𝐼𝑠̅ ′ retrasado un ángulo 𝜑𝑠 respecto a 𝑉�𝑠′ .
También se aprecia que BC y BF forman el ángulo 𝜑𝑠 y lo mismo sucede con HF y HE. Además 𝑉𝑝 − 𝑉𝑠′ =
AG − AB = BG, pues G es la intersección del arco de radio AH = 𝑉𝑝 . Suponiendo, como sucede en la
mayoría de los transformadores, que el valor de DG es muy pequeño frente a 𝑉𝑝 y 𝑉𝑠′ , podemos hacer la
aproximación 𝑉𝑝 − 𝑉𝑠′ ≅ BD. Pero
BD = BC + CD = BC + FE = 𝑅𝑐𝑐 𝐼𝑠′ cos 𝜑𝑠 + 𝑋𝑐𝑐 𝐼𝑠′ sen 𝜑𝑠
es decir
𝑉𝑝 − 𝑉𝑠′ ≅ 𝑅𝑐𝑐 𝐼𝑠′ cos 𝜑𝑠 + 𝑋𝑐𝑐 𝐼𝑠′ sen 𝜑𝑠
por tanto
𝑅𝑐𝑐 𝐼𝑠′ cos 𝜑𝑠 + 𝑋𝑐𝑐 𝐼𝑠′ 𝑠𝑠𝑠 𝜑𝑠
𝑅𝑅 ≅
· 100
𝑉𝑝
6. EFICIENCIA DE UN TRANSFORMADOR
La eficiencia 𝜂 es una medida del rendimiento. Su valor es
𝑃𝑠
𝑃𝑠
· 100 =
· 100
𝜂=
𝑃𝑝
𝑃𝑠 + 𝑃𝑙
donde 𝑃𝑠 es la potencia entregada en el secundario, 𝑃𝑝 la potencia recibida en el primario y 𝑃𝑙 la potencia
disipada en pérdidas (suma de la que se consume en el hierro 𝑃𝐹𝐹 debida a la histéresis y las corrientes
parásitas, y la que se invierte en calentamientos de los dos devanados, conocida como pérdidas en el cobre
𝑃𝐶𝐶 ). Como 𝑃𝑠 = 𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑𝑠 , entonces:
𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑𝑠
𝜂=
· 100
𝑃𝐹𝐹 + 𝑃𝐶𝐶 + 𝑉𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜑𝑠
7. TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS
El transformador trifásico es el que más se emplea en los sistemas de transporte y distribución de
energía eléctrica.
Se puede decir que un transformador trifásico está formado por tres monofásicos montados en un
núcleo común (fig. 23); por ello, los principios teóricos que se han expuesto para los monofásicos son
totalmente aplicables a cada una de las fases de los
trifásicos.
También es posible construir un transformador
trifásico a partir de tres monofásicos idénticos
constituyendo lo que se conoce como banco de
transformadores. Este diseño presenta algunas
ventajas (para potencias elevadas es más fácil su
transporte por carretera; en caso de avería de una fase,
no suele afectar a las otras dos; y sólo se necesita un
transformador monofásico de reserva, lo que abarata
el coste en repuestos), pero tiene el inconveniente de
que un banco completo de tres transformadores es
bastante más caro que uno trifásico. En la práctica se
prefiere el de un solo núcleo y el banco se emplea sólo en casos muy especiales.
Se aprecia en la figura 23 que el circuito magnético no es del todo simétrico, pues la columna central
soporta un flujo distinto que las otras dos, pero este desequilibrio es insignificante. En la misma figura se
muestra la denominación habitual de los terminales de los devanados: Las letras A, B y C designan los
principios de las bobinas de alta tensión; mientras que A’, B’ y C’ son los finales de las mismas. Para los
devanados de baja tensión se sigue el mismo criterio pero empleando letras minúsculas a, b, c, a’, b’ y c’.
61
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Los primarios y secundarios de los transformadores trifásicos se pueden conectar independientemente
en estrella (Y) y en triángulo (Δ). En la figura 24 se aprecian los diagramas de las dos conexiones; obsérvese
que el esquema (a) es equivalente al (b) y que lo mismo sucede con el (c) y el (d).
En la conexión en Y, la tensión de cada fase es √3 veces menor que la tensión de línea, por lo que es
posible reducir el número de espiras con respecto a la conexión Δ para la misma relación de
transformación, pero por cada fase circula una corriente √3 veces mayor que en la conexión Δ, con lo que
la sección de los conductores debe ser mayor. Entre dos devanados trifásicos equivalentes, conectados en
Δ y en Y, el Y es más caro. Las bobinas construidas con hilos de mayor sección son mecánicamente más
resistentes y soportan mejor las corrientes de cortocircuito; además, con tensiones más bajas se reduce el
esfuerzo dieléctrico sobre el aislamiento. Una ventaja de la conexión en Y es que el secundario puede
dotarse de neutro, lo que permite tener dos tensiones de distribución y también unir el neutro a tierra para
garantizar la seguridad de las instalaciones.
7.1. Conexión Y-Y
En la figura 25 se presenta un esquema de esta conexión. El primario se encuentra a la izquierda y el
secundario a la derecha.
La relación de transformación es:
𝑉𝐿𝐿 √3𝑉𝐹𝐹
=
𝑉𝐿𝐿 √3𝑉𝐹𝐹
donde 𝑉𝐿𝐿 y 𝑉𝐿𝐿 son los voltajes de línea primario y secundario, mientras que 𝑉𝐹𝐹 y 𝑉𝐹𝐹 son los voltajes de
fase primario y secundario.
Esta conexión se emplea poco porque si se conectan las cargas al secundario y no
están equilibradas (como ocurre a menudo), se desequilibran las corrientes en el
primario, lo que a su vez ocasiona una asimetría de los flujos, provocando que la
tensión de salida aumente en las fases menos cargadas y disminuya en las más
cargadas. Una forma de evitar este fenómeno consiste en conectar el secundario en
zig-zag (Z), para lo cual se divide el devanado de cada fase del secundario en dos
partes iguales que se arrollan en sentido contrario, entonces cada parte se conecta
en serie con la columna consecutiva (fig. 26). La conexión Z es un poco más cara y sólo se usa en algunos
secundarios de pequeños transformadores de baja tensión.
𝑎=
62
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Otro inconveniente que acarrea la conexión Y-Y son los efectos perniciosos de los terceros armónicos.
Según el teorema de Fourier una señal periódica se puede descomponer en su componente principal a la
frecuencia fundamental de trabajo, más una serie infinita de armónicos, a frecuencias múltiplos de la
fundamental, cuya amplitud decrece conforme aumenta el múltiplo. En la figura 27(a) se presenta una
onda fundamental a 50 Hz y los armónicos 2º, 3º, 4º y 5º. En la figura 27(b) se observan tres armónicos de
una onda periódica cualquiera.
Cuando se aplica una tensión sinusoidal a un transformador y el
núcleo trabaja en la zona del codo de la curva de magnetización (fig.
20), se observa una corriente de magnetización que contiene
armónicos impares. El armónico fundamental es el más importante,
seguido del tercer armónico.
Sea la frecuencia fundamental de 50 Hz; en este caso la del
tercer armónico es 150 Hz, que se encuentra dentro de la zona
audible del espectro. Si esta frecuencia circula por las líneas de
suministro de alta tensión puede interferir por inducción mutua con
las líneas telefónicas paralelas cercanas. Otro inconveniente de los
terceros armónicos de la corriente es que distorsionan la forma de la
onda de las tensiones, haciendo que pierdan su carácter sinusoidal.
Estos problemas se resuelven de dos formas: a) conectando a tierra
los neutros, principalmente el del primario, de esta manera los
terceros armónicos generan un flujo de corriente en el neutro en
lugar de acumularse en las fases, pero esta alternativa tiene la
desventaja de permitir la circulación de los armónicos de la corriente
de vacío; b) añadiendo un tercer devanado conectado en Δ que
anula los flujos debidos a los armónicos de tensión y a los desequilibrios de las cargas.
En la práctica, la conexión Y-Y se usa muy poco, ya que pueden lograrse las mismas prestaciones con
otro tipo de conexiones.
7.2. Conexión Y-Δ
La relación de transformación es:
𝑎=
𝑉𝐿𝐿 √3𝑉𝐹𝐹
=
𝑉𝐿𝐿
𝑉𝐹𝐹
Esta conexión no presenta problemas con las corrientes de los terceros armónicos, ya que circulan por
la conexión en Δ. Además, es razonablemente estable con cargas desequilibradas pues el triángulo las
redistribuye parcialmente. Presenta la desventaja de que el voltaje secundario se retrasa 30° con respecto
al voltaje del primario, lo que ocasiona problemas en los secundarios si se conectan en paralelo con otro
transformador, pues los ángulos de fase de los secundarios pueden no ser iguales. Se utiliza como
transformador reductor en las redes de Alta Tensión.
63
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
7.3. Conexión Δ-Y
La relación de transformación es:
𝑎=
𝑉𝐹𝐹
𝑉𝐿𝐿
=
𝑉𝐿𝐿 √3𝑉𝐹𝐹
Esta conexión tiene las mismas ventajas y el mismo desplazamiento de fase que la conexión Y-Δ. Se
utiliza como transformador elevador en las redes de Alta Tensión y en los transformadores de distribución.
Conectando la Y en la parte de Alta Tensión se puede poner el neutro a tierra, limitando de esta manera el
voltaje de cualquiera de las fases a la tensión de línea y reduciendo el coste de los devanados. Conectando
la Y al lado de Baja Tensión, permite alimentar cargas trifásicas y cargas monofásicas (en este caso entre
fase y neutro); además, el Δ tiende a compensar los desequilibrios de las cargas.
7.4. Conexión Δ-Δ
La relación de transformación es:
𝑎=
𝑉𝐿𝐿 𝑉𝐹𝐹
=
𝑉𝐿𝐿 𝑉𝐹𝐹
No presenta desplazamiento de fase ni problemas con cargas desequilibradas y terceros armónicos. Se
utiliza en los transformadores de Baja Tensión, ya que necesitan más espiras por fase y dichas espiras son
de menor sección. La ausencia de neutro es una desventaja. Este montaje puede funcionar al 58 % (es
decir, 100/√3) de la potencia asignada trabajando como triángulo abierto en el caso de un banco con
transformadores monofásicos en el que haya una unidad averiada.
7.5. Desfase entre el primario y el secundario de transformadores trifásicos
Cuando se conectan el primario y el secundario de la misma forma, por ejemplo Y-Y y Δ-Δ, el ángulo de
desfase entre ambos puede ser 0º o 180º, según la posición de los terminales. Pero si las conexiones son YZ, Y-Δ y Δ-Y, el desfase puede ser 150º o 180º. Normalmente estos resultados se expresan de manera
horaria, de tal forma que la tensión primaria represente siempre las 12 y la secundaria el resto de las horas.
64
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Cada hora equivale a 360/12 = 30º. Así, un transformador conectado en Y-Δ para un desfase de
150º = 5 · 30º es una conexión Y-Δ5 y para un desfase de 330º = 11 · 30º es una conexión Y-Δ11.
Las conexiones más comunes son: Δ-Δ0, Y-Y0, Δ-Z0, Δ-Δ6, Y-Y6, Δ-Z6, Δ-Y5, Y-Δ5, Y-Z5, Δ-Y11, Y-Δ11, YZ11.
Estos grupos de conexiones se indican en la placa de características de los transformadores.
65
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 4
MÁQUINAS SÍNCRONAS
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Generadores y motores síncronos
1.2. Diseño de las máquinas síncronas
1.3. Sistemas de excitación
2. GENERADORES SÍNCRONOS
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Voltaje en los terminales de los generadores síncronos
Diagrama fasorial de un generador síncrono
Circuito equivalente de un generador síncrono trifásico
Potencia y par en los generadores síncronos
Efecto de los cambios en la carga de un generador síncrono
Generadores síncronos acoplados en paralelo
3. MOTORES SÍNCRONOS
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
Campo magnético giratorio
Relación entre la frecuencia eléctrica y la velocidad de rotación del campo magnético
Principio de funcionamiento de los motores síncronos
Circuito equivalente de un motor síncrono
Efecto de los cambios de carga en los motores síncronos
Efecto de los cambios de la corriente de campo en los motores síncronos
Los motores síncronos y la corrección del factor de potencia
Arranque de los motores síncronos
66
1.
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
INTRODUCCIÓN
1.1. Generadores y motores síncronos
Los generadores y motores síncronos son máquinas eléctricas cuya velocidad de rotación 𝑁𝑆 está
rígidamente asociada a la frecuencia 𝑓 de la red de la corriente alterna con la cual operan, según la
expresión
60 𝑓
𝑁𝑆 =
𝑃
donde 𝑃 es el número de pares de polos. Esta expresión se analizará en el epígrafe 3.2.
Las máquinas síncronas pueden funcionar como generadores o como motores. Lo más frecuente es
emplearlas como generadores para producir corriente alterna, de ahí que en este caso se llamen
alternadores. Pero también se usan como motores cuando no se requieren velocidades de rotación
variables; además los motores síncronos tienen la ventaja, frente a los asíncronos, de regular el factor de
potencia (ver epígrafe 3.7.), lo que en determinadas aplicaciones evita tener que instalar condensadores
para reducir la potencia reactiva absorbida por las instalaciones de consumo; así, cuando un motor
síncrono trabaja con un factor de potencia capacitivo se dice que opera como compensador o condensador
síncrono. Las centrales eléctricas hidráulicas son un ejemplo de este funcionamiento dual de las máquinas
síncronas: por el día se aprovecha el salto de agua para mover la turbina que hace girar a una máquina que
funciona como generador; mientras que por la noche o en las horas de menor consumo eléctrico, dicha
máquina opera como motor, aprovechando la energía sobrante de otras centrales para mover la turbina y
bombear agua de un embalse a otro colocado a más altura; así se consigue mejorar el rendimiento de la
instalación y, a la vez, el factor de potencia de la red.
1.2. Diseño de las máquinas síncronas
Las máquinas síncronas están constituidas por dos devanados independientes: un inductor (también
llamado devanado de campo) alimentado con corriente continua con el que se activan los polos, y un
inducido recorrido por corriente alterna normalmente trifásica.
En las máquinas pequeñas de menos de 10 kVA, el inductor es normalmente el estator y el inducido es
el rotor cuyas fases se conectan con el exterior mediante tres anillos, como se representa en la figura 1(a).
En las máquinas síncronas más grandes, como los alternadores que pueden llegar a ser de hasta 1500
MVA, la disposición de los devanados es la contraria: el inducido es el estator y los polos están colocados en
el rotor, ya sea formado una estructura de polos salientes como en la fig. 1(b) o de polos lisos o rotor
cilíndrico como en la fig. 1(c).
67
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Los diseños (b) y (c) son más caros pero presentan varias ventajas frente al (a): por una parte, un
inducido giratorio requiere tres anillos que han de ser accesibles y en ellos se pueden provocar chispas y
cortocircuitos; sin embargo, un inducido fijo no necesita anillos y sus conductores pueden estar dotados
con un aislamiento continuo desde las espiras hasta las barras del cuadro de salida. Además, la fuerza
centrípeta y las vibraciones provocadas por la rotación, dificultan el aislamiento de un inducido giratorio.
Por otro lado, cuando el inductor está en el rotor, la corriente continua que lo alimenta, llega hasta él por
medio de dos anillos, pero su tensión rara vez sobrepasa los 1000 V y, como absorbe muy poca potencia,
los anillos no suelen producir problemas.
Otro aspecto del diseño es la refrigeración necesaria para evacuar las pérdidas por efecto Joule de los
devanados y evitar que se dañen los aislamientos. En los generadores pequeños suele ser suficiente con un
ventilador movido por su propio eje; en máquinas mayores es preciso recurrir a intercambiadores de calor
colocados en el exterior de la estructura del estator.
1.3. Sistemas de excitación
El suministro de corriente continua al inductor se puede realizar mediante excitadores o a través de dos
anillos y escobillas.
Los excitadores (sin escobillas), como el representado esquemáticamente en la figura 2, funcionan de la
siguiente manera: una pequeña corriente continua 𝐼𝑒𝑒 que procede de un rectificador trifásico formado por
un puente de diodos, alimenta el campo del excitador situado en el estator a través de una resistencia de
ajuste 𝑅𝑎𝑎 . El inducido del excitador gira con el rotor generando otra corriente trifásica que también se
rectifica para alimentar el devanado del inductor con una corriente continua 𝐼𝐹 y crear el campo principal
que induce el voltaje trifásico de salida.
Cuando se emplean dos anillos en vez de excitadores, dichos anillos se disponen concéntricos con el eje
del rotor, pero aislados de él (fig. 3). Cada extremo del devanado del inductor (el rotor en este caso) se
conecta a un anillo en contacto con una escobilla a través de la cual circula la corriente continua que lo
alimenta. Las escobillas se fabrican con compuestos a base de grafito que conducen la electricidad pero que
no desgastan los anillos, aunque deben reemplazarse periódicamente para evitar caídas de tensión que
provocarían pérdidas importantes de potencia.
68
2.
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
GENERADORES SÍNCRONOS
Como dijimos, los generadores síncronos convierten la energía mecánica en energía eléctrica de
corriente alterna (normalmente trifásica, a la cual nos referiremos en lo sucesivo).
El inductor (para mayor facilidad en la explicación, estableceremos que el inductor es el rotor. En la fig. 3
se aprecia), alimentado con una corriente continua que crea un campo magnético fijo, gira impulsado por
un motor primario (una turbina, un motor diesel, etc.).
El inducido (el estator, continuando con la suposición) está formado por tres devanados separados
geométricamente 120º. De esta manera, el campo magnético del rotor induce un voltaje trifásico en las
bobinas del estator. Con esta tensión se alimenta una carga eléctrica.
2.1. Voltaje en los terminales de los generadores síncronos
De lo dicho en el capítulo 1, epígrafe 4.7., podemos deducir que el voltaje inducido en cada fase del
estator de un generador síncrono es:
𝑉 = 𝑁𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔
siendo 𝑁 el número de espiras de cada fase, 𝛷𝑚𝑚𝑚 el flujo magnético máximo y 𝜔 = 2𝜋𝜋. Pero
normalmente este voltaje no es el que se presenta en los terminales del generador 𝑉𝑡 . Las tres causas
principales que provocan que haya diferencias entre 𝑉 y 𝑉𝑡 son:
• La distorsión del campo magnético del entrehierro, debida a la corriente que fluye en el estator,
llamada reacción del inducido.
• La corriente de autoinducción de las bobinas del estator.
• La resistencia de las bobinas del estator.
La reacción del inducido es normalmente lo que más contribuye a que 𝑉 y 𝑉𝑡 sean distintos. Este
fenómeno se provoca al conectar una carga al generador: en ese momento circula una corriente 𝐼 cuyo
paso por los devanados del estator produce su propio campo magnético que distorsiona el campo
magnético original del rotor, perturbando a la tensión 𝑉. Por otro lado, 𝐼 también autoinduce en el estator
un voltaje que se opone al paso de dicha corriente. Todos estos efectos se cuantifican englobándolos en
una reactancia 𝑋𝑆 , llamada reactancia síncrona.
Y, por último, hay que tener en cuenta la caída tensión debida a la resistencia óhmica 𝑅𝑆 de los
devanados del estator.
Con estas consideraciones podemos escribir la siguiente relación fasorial:
𝑉𝑡 = 𝑉 − 𝑗𝑋𝑠 𝐼 − 𝑅𝑠 𝐼
69
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.2. Diagrama fasorial de un generador síncrono
En la figura 4 se aprecia el diagrama fasorial de un generador síncrono conectado a una carga cuyo
factor de potencia es la unidad, es decir, una carga puramente resistiva.
Todas las corrientes y tensiones están referidas a 𝑉𝑡 , que se dibuja por comodidad con un argumento de
0º.
En la figura 5 se presenta el diagrama con un factor de potencia de la carga en retraso (a) y en adelanto
(b). Nótese que, para el mismo valor de los módulos de 𝑉𝑡 e 𝐼, 𝑉 es mayor en (a) que en (b), por lo que sería
necesario aumentar la corriente de campo 𝐼 para que el voltaje 𝑉 en (b) fuese el mismo que en (a).
2.3. Circuito equivalente de un generador síncrono trifásico
Por lo tanto, el circuito equivalente de un generador síncrono trifásico es el de la figura 6.
70
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Los tres devanados del inducido se pueden conectar en estrella o en triángulo, tal como se representa
en la figura 7.
2.4. Potencia y par en los generadores síncronos
El motor primario que mueve a un generador síncrono tiene que estar dotado con los sistemas de
regulación adecuados para mantener constantes las revoluciones del generador aunque varíe la demanda
de la carga eléctrica soportada. Si esto no se cumpliese, se alteraría la frecuencia suministrada por el
generador. Además, hay que tener en cuenta que no toda la potencia mecánica aportada por el motor
primario se convierte en potencia eléctrica, pues parte se pierde en rozamientos, calentamientos por
efecto Joule, corrientes parásitas, etc. Al final la potencia eléctrica consumida es:
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉𝑡 𝐼 cos 𝜑
Si se desprecia el valor de la resistencia del inducido 𝑅𝑆 frente al de la reactancia síncrona 𝑋𝑆 (se puede
comprobar que 𝑅𝑆 ≪≪ 𝑋𝑆 ), tal como se representa en la figura 8, entonces la ecuación de la potencia se
simplifica. En efecto, el segmento AB es:
𝐴𝐴 = 𝑉 𝑠𝑠𝑠 𝜃 = 𝑋𝑆 𝐼 cos 𝜑
de manera que:
3𝑉𝑡 𝑉 sen 𝜃
𝑃𝑒𝑒𝑒 =
𝑋𝑆
lo que muestra que la potencia producida por
un generador síncrono depende del ángulo 𝜃
que forman 𝑉 y 𝑉𝑡 . Como dicha potencia se
puede expresar como el producto de la
pulsación 𝜔 por el par del inducido 𝜏𝑖𝑖𝑖 :
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝜔 · 𝜏𝑖𝑖𝑖
entonces:
3𝑉𝑡 𝑉 sen 𝜃
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
𝜔𝑋𝑆
En un generador síncrono que trabaja a
plena carga el valor típico de 𝜃 está
comprendido entre 15 y 20º.
71
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.5. Efecto de los cambios en la carga de un generador síncrono
El comportamiento de un generador síncrono conectado a una carga varía sustancialmente
dependiendo del factor de potencia de dicha carga y de si opera solo o acoplado en paralelo con otro u
otros generadores. Estudiemos, en primer lugar, los efectos que se producen sobre un solo generador
cuando se modifica la carga que soporta.
Suponemos que la velocidad del generador es constante pues el motor primario tiene los elementos de
regulación necesarios para conseguir este fin; en estas condiciones 𝜔 es constante. Si no se altera la
corriente 𝐼𝐹 , entonces el flujo 𝛷𝑚𝑚𝑚 también es constante y no varia el voltaje interno 𝑉 = 𝑁𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔.
Entonces nos podemos preguntar, ¿qué cambia con una variación de carga? Para ilustrarlo emplearemos
diagramas fasoriales simplificados en los que se desprecian los efectos de la resistencia del inducido 𝑅𝑆 .
Examinemos un generador que opera con un factor de potencia en retraso, fig. 9(a). Si se añade más
carga con el mismo factor de potencia, entonces el módulo de 𝐼 aumenta hasta 𝐼′, pero manteniendo el
mismo ángulo φ respecto a 𝑉𝑡 . También se incrementa el voltaje de reacción de inducido 𝑗𝑋𝑆 𝐼 hasta 𝑗𝑋𝑆 𝐼ʹ′,
pero sin modificar el ángulo que forma con 𝑉𝑡 . Como 𝑉 debe permanecer constante, en el diagrama fasorial
de la fig. 9(a) trazamos un arco con centro en O y desplazamos el fasor 𝑗𝑋𝑆 𝐼ʹ′ paralelamente a sí mismo
hasta cortar el arco de 𝑉, de esta manera encontramos el nuevo valor de la tensión en los terminales del
generador 𝑉𝑡 ’ que, como se aprecia, es significativamente menor que 𝑉𝑡 .
Realicemos la misma construcción con cargas puramente resistivas, fig. 9(b). En este caso el valor de 𝑉𝑡
es ligeramente menor.
Y si se opera con un factor de potencia en adelanto y la carga añadida tiene el mismo factor de potencia,
fig. 9(c), entonces 𝑉𝑡 aumenta. Este último resultado no sería el esperado si nos basáramos únicamente en
la intuición.
Normalmente se desea que 𝑉𝑡 , el voltaje suministrado a la carga, sea constante, incluso cuando la carga
varía. ¿Cómo conseguirlo? El método más evidente consiste en alterar el valor de la tensión 𝑉 = 𝑁𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔.
Como la frecuencia también debe ser constante, sólo queda modificar 𝛷𝑚𝑚𝑚 cambiando la corriente 𝐼𝐹 (fig.
6). Este efecto se consigue modificando el valor de la resistencia ajustable 𝑅𝑎𝑎 . Por ejemplo, supongamos
que 𝑉𝑡 disminuye por haber añadido cargas en retraso. Para que aumente hasta el nivel previo, se
72
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
disminuye la resistencia 𝑅𝑎𝑎 , lo que provoca el incremento de 𝐼𝐹 y, por tanto, el del flujo, con el
consiguiente aumento de 𝑉 que a su vez se traduce en un incremento de 𝑉𝑡 . De manera análoga se actuaría
si se produjese un aumento de 𝑉𝑡 por haber añadido cargas en adelanto.
2.6. Generadores síncronos acoplados en paralelo
Lo normal es que haya varios generadores síncronos acoplados en paralelo, por las siguientes razones:
• Varios generadores pueden alimentar una carga más grande que uno solo.
• Con varios generadores acoplados aumenta la fiabilidad pues, aunque se averíe alguno, los demás
pueden seguir soportando la carga.
• Tener varios generadores en paralelo permite parar alguno para realizar mantenimientos.
• El máximo rendimiento de un generador se consigue con una carga determinada. Como regla
práctica, podemos decir que se hace un uso
adecuado de un generador si está
soportando entre el 80 y el 100% de la carga
máxima para la que está diseñado. Si se
utiliza un solo generador operando por
debajo de ese margen, su rendimiento
decrece; en ese caso es preferible sustituirlo
por varios generadores en paralelo de
menor potencia que funcionen en las
condiciones citadas.
Para poder acoplar un generador a unas
barras alimentadas por otros, fig. 10(a), se
deben cumplir los siguientes requisitos:
• Los voltajes de las barras y el del generador que se va a acoplar han de ser iguales tanto en módulo
como en ángulo de fase.
• Las barras y el generador deben tener la misma secuencia de fase. Si fuese diferente, como se
observa en la fig. 10(b), entonces, aunque un par de tensiones estuviesen en fase (los de la fase a),
las otros dos estarían desfasados 120º, y al cerrar el interruptor S fluirían corrientes muy intensas
por las fases b y c que podrían dañarlo. Para conseguir que la secuencia de fase sea la adecuada se
utilizan los sincronoscopios.
• La frecuencia del generador que queremos acoplar debe ser ligeramente mayor que la de las barras
para que al conectarlo a la línea suministre potencia como generador, en lugar de consumirla como
si fuese un motor, de esta manera los ángulos de fase del generador se van ajustando lentamente a
los de las barras. De hecho, muchos generadores disponen de unas protecciones denominadas
disparadores de potencia inversa que impiden conectarlos a una frecuencia inferior a las de las
barras, y que los desconectan automáticamente si comienzan a consumir potencia de la línea.
3.
MOTORES SÍNCRONOS
3.1. Campo magnético giratorio
Como vimos en el capítulo 1, epígrafe 3.5., si situamos una bobina en el seno de un campo magnético
�⃗ y hacemos circular una corriente continua 𝐼𝐹 por ella, sabemos que 𝐼𝐹 crea otro campo magnético 𝐵
�⃗𝑅
fijo 𝐵
perpendicular a la superficie de la bobina que genera un par inducido 𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 que tiende a alinear los dos
campos magnéticos según la expresión:
�⃗𝑅 × 𝐵
�⃗
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝐵
donde 𝑘 depende de las características geométricas y físicas de la bobina.
73
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
�⃗ girase en vez de estar fijo, entonces el campo 𝐵
�⃗𝑅 «perseguiría»
Si hubiera una forma de que el campo 𝐵
�⃗ constantemente, haciendo girar a la bobina.
al 𝐵
Pues bien, sean tres corrientes trifásicas de igual magnitud pero desfasadas 120º eléctricos que
alimentan un estator con tres devanados aa’, bb’ y cc’ separados geométricamente también 120º. A
�⃗. Por lo tanto, una bobina por la que
continuación se demuestra que crean un campo magnético giratorio 𝐵
�⃗.
circule una corriente continua, situada en un rotor concéntrico con el estator, «giraría persiguiendo» a 𝐵
En el estator de la figura 11, las bobinas aa’, bb’ y cc’ están separadas geométricamente 120º. Por ellas
circulan las corrientes trifásicas:
𝐼𝑎𝑎′ = 𝐼 𝑠𝑠𝑠 (𝜔𝜔 − 0º); 𝐼𝑏𝑏′ = 𝐼 𝑠𝑠𝑠 (𝜔𝜔 − 120º); 𝐼𝑐𝑐′ = 𝐼 𝑠𝑠𝑠 (𝜔𝜔 − 240º)
�⃗𝑎𝑎′ (𝑡), 𝐵
�⃗𝑐𝑐′ (𝑡). El campo total 𝐵
�⃗(𝑡) es la suma vectorial:
�⃗𝑏𝑏′ (𝑡) 𝑦 𝐵
que generan los campos magnéticos 𝐵
�⃗(𝑡) = 𝐵
�⃗𝑎𝑎′ (𝑡) + 𝐵
�⃗𝑏𝑏′ (𝑡) + 𝐵
�⃗𝑐𝑐 ′ (𝑡)
𝐵
�⃗(𝑡) = 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 0º)∠0º + 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 120º)∠120º + 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 240º)∠240º
𝐵
Descomponemos los tres campos según sus coordenadas cartesianas X e Y:
�⃗ (𝑡) = 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 0º)(cos 0º 𝚤⃗ + sen 0º 𝚥⃗) + 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 120º)(cos 120º 𝚤⃗ + sen 120º 𝚥⃗)
𝐵
+ 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 240º)(cos 240º 𝚤⃗ + sen 240º 𝚥⃗)
operando y agrupando términos, obtenemos
�⃗ (𝑡) = 1.5𝐵(𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔 𝚤⃗ − 𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔 𝚥⃗)
𝐵
�⃗(𝑡), de módulo 1.5𝐵, está girando en el sentido contrario a las agujas del
lo que demuestra que el campo 𝐵
reloj a una velocidad angular ω.
Un aspecto interesante es que si se intercambian las corrientes en dos de las tres bobinas, se invierte
�⃗(𝑡). Esto significa que es posible invertir la dirección de la rotación de
también el sentido de la rotación de 𝐵
una máquina de corriente alterna conmutando dos de las tres bobinas. Para comprobar este resultado
intercambiemos las fases bb’ y cc’. En estas condiciones:
𝐼𝑎𝑎′ = 𝐼 sen (𝜔𝜔 − 0º); 𝐼𝑏𝑏′ = 𝐼 sen (𝜔𝜔 − 240º); 𝐼𝑐𝑐′ = 𝐼 sen (𝜔𝜔 − 120º)
�⃗(𝑡) es ahora:
El campo neto 𝐵
�⃗
𝐵(𝑡) = 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 0º)∠0º + 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 120º)∠240º + 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 240º)∠120
es decir:
�⃗ (𝑡) = 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 0º)(cos 0º 𝚤⃗ + 𝑠𝑠𝑠 0º 𝚥⃗) + 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 120º)(cos 240º 𝚤⃗ + sen 240º 𝚥⃗)
𝐵
+ 𝐵 sen (𝜔𝜔 − 240º)(cos 120º 𝚤⃗ + sen 120º 𝚥⃗)
operando y agrupando términos, obtenemos
�⃗ (𝑡) = 1.5𝐵(𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔 𝚤⃗ + 𝑐𝑐𝑐 𝜔𝜔 𝚥⃗)
𝐵
74
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
3.2. Relación entre la frecuencia eléctrica y la velocidad de rotación del campo magnético
En la figura 12(a) se muestra que el campo magnético giratorio en el estator se puede representar como
si hubiese un polo norte (por donde el flujo sale del estator) y un polo sur (por donde el flujo entra en el
estator). Este par de polos completan una rotación mecánica por cada ciclo eléctrico de la corriente
aplicada a las bobinas aa’, bb’ y cc’. Por lo tanto, la velocidad mecánica 𝜔𝑚 de rotación del campo
magnético es igual a la pulsación eléctrica 𝜔𝑒 :
𝜔𝑚 = 𝜔𝑒 (1 par de polos)
Nótese que el orden de los devanados de este estator de dos polos es (a-c’-b-a’-c-b’) en el sentido
contrario a las agujas del reloj.
¿Qué pasaría si esta forma de bobinar se repitiera dos veces en el estator? La figura 12(b) muestra esta
situación, donde los devanados siguen la secuencia (a-c’-b-a’-c-b’)-(a-c’-b-a’-c-b’). Cuando un conjunto de
corrientes trifásicas se aplica a este estator, se producen dos polos norte y dos polos sur, de manera que
por cada pulsación eléctrica 𝜔𝑒 tenemos el doble de velocidad mecánica 𝜔𝑚 de rotación del campo
magnético:
𝜔𝑚 = 2 · 𝜔𝑒 (2 pares de polos)
En general, si P es el número de pares de polos magnéticos del estator:
𝜔𝑚 = 𝑃 · 𝜔𝑒 (𝑃 pares de polos)
Si 𝑁𝑆 son las revoluciones por minuto a las que está girando el campo magnético del estator, entonces:
2𝜋𝑁𝑆
𝜔𝑚 =
60
como 𝜔𝑒 = 2𝜋𝜋, con 𝑓 la frecuencia de la corriente alterna, entonces:
60 𝑓
𝑁𝑆 =
𝑃
Estas relaciones son válidas para todas las máquinas síncronas, tanto generadores como motores.
3.3. Principio de funcionamiento de los motores síncronos
�⃗ y hagamos circular por ella una
Situemos una bobina en el seno de un campo magnético giratorio 𝐵
�⃗
corriente continua 𝐼𝐹 para crear otro campo magnético 𝐵𝑅 (fig. 13). Ya sabemos que así se genera un par
inducido 𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 que tiende a alinear los dos campos magnéticos, según la expresión:
�⃗𝑅 × 𝐵
�⃗
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝐵
75
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Por lo tanto, si esa bobina está colocada en un rotor concéntrico con un estator dotado del campo
�⃗, «girará persiguiendo» dicho campo. En esta propiedad se basa el funcionamiento de un motor
giratorio 𝐵
síncrono.
3.4. Circuito equivalente de un motor síncrono
Un motor síncrono es igual en todos los aspectos a un generador síncrono, excepto en que tiene
invertido el sentido del flujo de potencia. De ahí que su circuito equivalente sólo se diferencie del de un
generador síncrono en que el sentido de la corriente 𝐼 es entrante (fig.14). Por lo tanto, el valor de la
tensión en terminales es
𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑗𝑋𝑠 𝐼 + 𝑅𝑠 𝐼
expresión similar a la del generador, salvo en el cambio de signo de la corriente.
La diferencia básica entre el funcionamiento como generador y como motor de las máquinas síncronas
se puede observar en el diagrama fasorial de la figura 15, donde se ha despreciado el efecto de la
resistencia del inducido 𝑅𝑆 frente al de la reactancia síncrona 𝑋𝑆 (pues 𝑅𝑆 ≪ 𝑋𝑆 ). En un generador, la
tensión 𝑉 está adelantada respecto a 𝑉𝑡 . En un motor, la tensión 𝑉 está retrasada respecto a 𝑉𝑡 .
76
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Por construcción, la potencia eléctrica de un motor es la misma que la de un generador:
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉𝑡 𝐼 cos 𝜑
Y despreciando el valor de la resistencia del inducido frente al de la reactancia síncrona (ver epígrafe 2.4.):
3𝑉𝑡 𝑉 sen 𝜃
𝑃𝑒𝑒𝑒 =
𝑋𝑠
Como dicha potencia es el producto de la pulsación 𝜔 por el par del inducido 𝜏𝑖𝑖𝑖 :
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝜔 · 𝜏𝑖𝑖𝑖
entonces
3𝑉𝑡 𝑉 sen 𝜃
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
𝜔𝑋𝑆
con la salvedad de que en el motor este par tiene el sentido de giro del movimiento, y el contrario en el
generador.
3.5. Efecto de los cambios de carga en los motores síncronos
Sea un motor síncrono que desarrolla suficiente par como para mantenerse a la velocidad de
sincronismo 𝜔. Con un ejemplo práctico analicemos qué le sucede al motor si se modifica la carga que
soporta su eje.
Un motor síncrono de 60 Hz, cuya tensión de línea es 208 V, está conectado en triángulo. Su reactancia
síncrona es de 2.5 Ω y la resistencia del inducido es despreciable. Consume 1.5 kW en pérdidas por fricción y
1 kW en pérdidas en el núcleo. Inicialmente su eje soporta una carga de 11.19 kW con un factor de potencia
de 0.8 en adelanto. a) Calcular los valores de 𝐼 y 𝑉. Si se duplica la carga, b) calcular los nuevos valores de 𝐼,
𝑉 y el nuevo factor de potencia.
Solución:
a)
En el esquema de la figura 16:
𝑋𝑆 = 2.5 ; 𝑅𝑆 = 0; 𝑉𝑡 = 208 ; cos 𝜑 = 0.8
La potencia eléctrica del motor se emplea en soportar la carga y en vencer las pérdidas por fricción y en
el núcleo:
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 + 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 = 11.19 + 1.5 + 1 = 13.69 𝑘𝑘
como 𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉𝑡 𝐼 co𝑠 𝜑, entonces
77
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑃𝑒𝑒𝑒
13.69 𝑘𝑘
=
= 27.42 𝐴
3 𝑉𝑡 cos 𝜑 3 · 208 · 0.8
Esta corriente del inducido tiene un factor de potencia en adelanto de 0.8, que se corresponde con un
ángulo
𝜑 = cos −1 0.8 = 36.87º
Este ángulo se mide respecto al fasor 𝑉𝑡 al que, por comodidad, se
asigna un argumento de 0º. Por lo tanto, el fasor 𝐼 es
Respuesta: 𝐼 = 27.42 ∠ 36.87º 𝐴
Para calcular 𝑉, sabemos que
𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑗𝑋𝑠 𝐼 + 𝑅𝑠 𝐼
es decir
𝑉 = 𝑉𝑡 − 𝑗𝑋𝑠 𝐼 − 𝑅𝑠 𝐼
Introduciendo los datos, con 𝑅𝑆 = 0:
𝑉 = 208 ∠ 0º 𝑉 − (𝑗 2.5 𝛺)(27.42 ∠ 36.87º 𝐴)
Respuesta: 𝑉 = 255 ∠ − 12.4º 𝑉
𝐼=
b)
Al duplicar la potencia de la carga, la nueva potencia de salida es:
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 + 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 = 22.38 + 1.5 + 1 = 24.88 𝑘𝑘
Como la potencia de salida también es:
3𝑉𝑡 𝑉 𝑠𝑠𝑠 𝜃
𝑃𝑒𝑒𝑒 =
𝑋𝑠
Si la fuente que aporta la tensión al motor mantiene el módulo de 𝑉𝑡 constante, como 𝑋𝑆 no varía, el
módulo del nuevo voltaje interno 𝑉 ′ debe permanecer también constante; por lo tanto, el aumento de la
potencia de salida se manifiesta en un incremento de 𝜃 hasta el valor 𝜃′ de la figura 17:
𝑃𝑒𝑒𝑒 𝑋𝑆
3 𝑉𝑡 𝑉 ′
24.88 𝐾𝐾 · 2.5 𝛺
= 23º
𝜃′ = sen−1
3 · 208 𝑉 · 255 𝑉
𝜃′ = sen−1
de manera que el fasor del nuevo voltaje interno es
78
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Respuesta: 𝑉′ = 255 ∠ − 23º 𝑉
En 𝑉′ = 𝑉𝑡 − 𝑗𝑋𝑠 𝐼′ − 𝑅𝑠 𝐼′ calculamos 𝐼′:
𝑉𝑡 − 𝑉′ʹ 208 ∠ 0º 𝑉 − 255 ∠ − 23º 𝑉
=
𝐼′ =
𝑗 2.5𝛺
𝑗𝑋𝑠 + 𝑅𝑠
El nuevo factor de potencia en adelanto es:
Respuesta: 𝐼′ = 41.2 ∠ 15º 𝐴
Respuesta: cos 𝜑′ = cos 15º = 0.966
3.6. Efecto de los cambios de la corriente de campo en los motores síncronos
Estudiemos el efecto que produce un cambio de la corriente de campo en un motor síncrono. Para ello
recurrimos a un caso práctico.
Un motor síncrono de 60 Hz, cuya tensión de línea es 208 V, está conectado en triángulo. Su reactancia
síncrona es de 2.5 Ω y la resistencia del inducido es despreciable. Consume 1.5 kW en pérdidas por fricción y
1 kW en pérdidas en el núcleo. Inicialmente, su eje soporta una carga de 11.19 kW con un factor de potencia
de 0.85 en retraso. En estas condiciones la corriente de campo 𝐼𝐹 es de 4 A. a) Calcular los valores de 𝐼 y 𝑉.
Si, soportando la misma carga, se incrementa el flujo del motor en un 25 %, b) calcular los nuevos valores de
𝐼, 𝑉 y el nuevo factor de potencia. Suponiendo que el flujo varía linealmente con la corriente de campo 𝐼𝐹 ,
c) dibujar una gráfica de 𝐼 frente a 𝐼𝐹 para los siguientes valores de la tensión de línea: 158 V, 183 V, 208 V,
233 V y 258 V.
Solución:
a)
En el esquema de la figura 18:
𝑋𝑆 = 2.5 ; 𝑅𝑆 = 0; 𝑉𝑡 = 208 ; cos 𝜑 = 0.85
La potencia eléctrica del motor se emplea en soportar la carga y en vencer las pérdidas por fricción y en el
núcleo:
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 + 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 = 11.19 + 1.5 + 1 = 13.69 𝑘𝑘
como
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉𝑡 𝐼 cos 𝜑
entonces
13.69 𝑘𝑘
𝑃𝑒𝑒𝑒
=
= 25.81 𝐴
𝐼=
3 𝑉𝑡 cos 𝜑 3 · 208 · 0.85
Esta corriente del inducido tiene un factor de potencia en
retraso de 0.85, que se corresponde con un ángulo
𝜑 = cos −1 0.85 = − 31.79º
Este ángulo se mide respecto al fasor 𝑉𝑡 al que, por comodidad, se
asigna un argumento de 0º. Por lo tanto, el fasor 𝐼 es
Respuesta: 𝐼 = 25.81 ∠ − 31.79º 𝐴
Para calcular 𝑉, sabemos que:
𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑗𝑋𝑠 𝐼 + 𝑅𝑠 𝐼
es decir
𝑉 = 𝑉𝑡 − 𝑗𝑋𝑠 𝐼 − 𝑅𝑠 𝐼
Introduciendo los datos, con 𝑅𝑆 = 0:
𝑉 = 208 ∠ 0º 𝑉 − (𝑗 2.5 𝛺)(25.81 ∠ − 31.79º 𝐴)
Respuesta: 𝑉 = 182.4 ∠ − 17.5º 𝑉
79
b)
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Si se incrementa el flujo 𝛷𝑚𝑚𝑚 en un 25%, como en 𝑉 = 𝑁𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔, 𝑁 y 𝜔 no varían, el módulo de la
tensión interna 𝑉 también aumenta un 25%. Por lo tanto:
𝑉 ′ = 1.25 𝑉 = 1.25 · 182.4 = 228 𝑉
La potencia suministrada a la carga es:
3𝑉𝑡 𝑉 sen 𝜃
𝑃𝑒𝑒𝑒 =
𝑋𝑠
La fuente que aporta la tensión al motor mantiene el módulo de 𝑉𝑡 constante y 𝑋𝑆 tampoco varía. Para que
no se modifique la potencia absorbida por la carga, el cambio a la nueva tensión interna 𝑉 ′ (fig. 19) debe ir
acompañado por una modificación del ángulo 𝜃, es decir:
3𝑉𝑡 𝑉 𝑠𝑠𝑠 𝜃 3𝑉𝑡 𝑉′ 𝑠𝑠𝑠 𝜃′
𝑃𝑒𝑒𝑒 =
=
𝑋𝑠
𝑋𝑠
por lo tanto
𝑉 sen 𝜃 = 𝑉 ′ sen 𝜃′
así
𝑉 sen 𝜃
182.4 sen (−17.5)
𝜃 ′ = sen−1
= sen−1
= −13.92º
′
228
𝑉
de manera que el fasor del nuevo voltaje interno es
Respuesta: 𝑉′ = 228 ∠ − 13.92º 𝑉
En 𝑉′ = 𝑉𝑡 − 𝑗𝑋𝑠 𝐼′ − 𝑅𝑠 𝐼′ calculamos 𝐼′:
𝑉𝑡 − 𝑉′ʹ 208 ∠ 0º 𝑉 − 228 ∠ − 13.92º 𝑉
=
𝐼′ =
𝑗 2.5𝛺
𝑗𝑋𝑠 + 𝑅𝑠
Respuesta: 𝐼′ = 22.57 ∠ 13.6º 𝐴
El nuevo factor de potencia en adelanto es
Respuesta: cos 𝜑 ′ = 𝑐𝑐𝑐 13.6º = 0.972
Obsérvese que ya que el módulo de 𝑉𝑡 es constante, para que no se modifique la potencia absorbida por la
carga debe cumplirse que
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉𝑡 𝐼 cos 𝜑 = 3𝑉𝑡 𝐼′ cos 𝜑′
por tanto
𝐼 cos 𝜑 = 𝐼′ cos 𝜑′
80
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
c)
Si se supone que el flujo 𝛷𝑚𝑚𝑚 varia linealmente con la corriente de campo, como en 𝑉 = 𝑁𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔, 𝑁 y
𝜔 son constantes, la tensión interna 𝑉 también varia linealmente con la corriente de campo. Por lo tanto
𝑉 𝐼𝐹
=
𝑉 ′ 𝐼𝐹′
o sea
182.4 4
= ′
𝐼𝐹
𝑉′
por tanto
𝑉 ′ = 45.6 𝐼𝐹′
pero
𝑉 sen 𝜃 = 𝑉 ′ sen 𝜃′
luego
182.4 sen (−17.5) = 45.6 𝐼𝐹′ sen 𝜃′
(1)
y
𝑉𝑡 − 𝑉′ʹ
𝐼′ =
𝑗𝑋𝑠 + 𝑅𝑠
es decir
208 ∠ 0º − 45.6 𝐼𝐹′ ∠ 𝜃′
𝐼′ =
𝑗 2.5
(2)
Las dos expresiones (1) y (2) permiten encontrar la relación entre 𝐼𝐹′ e 𝐼′ y, por lo tanto, entre sus módulos
𝐼 ′ = 𝑓(𝐼𝐹′ ). En la siguiente gráfica se representa esta función para 𝑉𝑡 158 V, 183 V, 208 V, 233 V y 258 V.
81
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Obsérvese en el diagrama fasorial que, cuando 𝐼′ está alineado con 𝑉𝑡 , el valor de 𝐼′ es mínimo y el
factor de potencia es la unidad, cos 𝜑 = 1, que se corresponde con los mínimos de las curvas 𝑓(𝐼𝐹′ ).
Nótese en la gráfica que, conforme se incrementa el módulo de 𝑉, la corriente en el inducido 𝐼 al
principio disminuye; es decir, primero está en retraso (𝜑 < 0) y el motor es una carga inductiva que, como
tal, consume potencia reactiva, siendo 𝑉 cos 𝜃 < 𝑉𝑡 (ver fig. 20). Como en esta situación la corriente de
campo es pequeña, se dice que el motor está subexcitado. Pero, a partir de los mínimos (𝜑 = 0), la
corriente en el inducido 𝐼 aumenta y está en adelanto (𝜑 > 0), de manera que el motor se convierte en
una carga capacitiva que suministra potencia reactiva al sistema de alimentación con 𝑉 cos 𝜃 > 𝑉𝑡 . Debido
a que ahora la corriente de campo es grande, se dice que el motor está sobreexcitado.
3.7. Los motores síncronos y la corrección del factor de potencia
En el ejemplo que acabamos de estudiar hemos visto que se puede manipular la corriente del campo del
inductor de un motor síncrono para modificar el factor de potencia.
Como casi todas las cargas producen un factor de potencia en retraso (estas cargas suelen ser motores
de inducción que se estudian en el capítulo siguiente), es muy conveniente incorporar cargas en adelanto,
mediante, por ejemplo, motores síncronos sobreexcitados que incrementen el factor de potencia,
reduciendo con ello las pérdidas de energía que se producen en las líneas de transporte; de hecho, las
grandes instalaciones industriales suelen estar dotadas con bancos de condensadores o con motores
síncronos que operan en vacío, simplemente para corregir el factor de potencia.
3.8. Arranque de los motores síncronos
En todo lo que se ha dicho hasta aquí sobre los motores síncronos se ha partido de la base de que están
funcionando en estado estacionario a la velocidad de sincronismo; pero, ¿cómo se arrancan y cómo
aumentan sus revoluciones hasta alcanzar dicha velocidad?
82
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Para entender el problema, en la figura 21 se estudia secuencialmente el proceso de arranque en un
motor de 60 Hz de dos polos.
�⃗ alineado con 𝐵
�⃗𝑅 . Como el par
• En (a) se representa el instante 𝑡 = 0, con el campo giratorio 𝐵
�⃗𝑅 × 𝐵
�⃗, en ese instante es 𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 0.
inducido es 𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝐵
1 1
�⃗ ha girado un cuarto de vuelta;
• En (b) se presenta la situación en 𝑡 = · segundos, cuando 𝐵
4 60
pero, el rotor, debido a su inercia, apenas se ha movido en tan corto período de tiempo y el par
inducido tiene ahora el sentido contrario a la agujas del reloj.
2 1
�⃗ y 𝐵
�⃗𝑅 apuntan en sentidos opuestos y el par inducido vuelve a
• En (c), instante 𝑡 = · segundos, 𝐵
4 60
anularse.
3 1
• Y en (d), cuando han pasado sólo 𝑡 = · segundos, el par inducido tiene el sentido de las agujas
4 60
4
1
del reloj, para anularse de nuevo en el instante 𝑡 = · , representado en (e).
4 60
Es decir, durante un ciclo eléctrico, en sólo 1/60 segundos, el par ha cambiado dos veces de sentido de
giro, de manera que su promedio es cero. Este efecto se traduce en que el rotor «no tiene tiempo» de
ponerse en marcha, lo que termina provocando vibraciones y calentamientos indeseables.
Se pueden utilizar tres métodos para arrancar motores síncronos: a) reducir la velocidad del campo
giratorio del estator, b) emplear un motor primario para llevar al motor síncrono hasta la velocidad de
sincronismo, y c) utilizar devanados de amortiguamiento.
a) Arranque reduciendo la velocidad del campo giratorio
�⃗ hasta un valor lo
Lo que se pretende con este método es reducir la velocidad de rotación de 𝐵
�⃗». Esto conlleva
suficientemente bajo como para que el rotor «tenga tiempo de acelerar y perseguir a 𝐵
disminuir la frecuencia eléctrica hasta valores muy pequeños e irla controlando y elevando
progresivamente hasta alcanzar la frecuencia de régimen. Para ello el circuito de control del motor debe
estar dotado con una unidad de frecuencia variable.
83
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
b) Arranque mediante un motor primario externo
Este método consiste en emplear un motor primario externo para llevar al motor síncrono hasta la
velocidad de sincronismo. Entonces se desconecta el motor primario.
Como el motor primario sólo se necesita para superar la inercia del motor síncrono en vacío (el eje del
motor síncrono no se embraga a su carga hasta que alcanza las revoluciones de régimen), puede tener
características nominales muy inferiores a la del motor síncrono que arrastra. Además, ya que la mayoría
de los motores síncronos tienen sistemas de excitación instalados en sus ejes, a menudo se utilizan estos
excitadores como motores primarios.
c) Arranque con devanados de amortiguamiento
Es el método de arranque más usado. Los devanados de
amortiguamiento son unas barras conductoras dispuestas en
ranuras labradas a lo largo del rotor, cortocircuitadas con un
aro en cada extremo (fig. 22. Obsérvese que los vectores
superficie de los devanados de amortiguamiento son distintos
del vector superficie de la bobina del rotor). Estas barras se
�⃗.
comportan como espiras expuestas al campo giratorio 𝐵
Supongamos, en un principio, que la bobina del rotor está en circuito abierto; en estas condiciones 𝐼𝐹 = 0
�⃗𝑅 = 0. Con el motor en vacío, sin soportar carga, conforme 𝐵
�⃗ gira en sentido contrario a las
y, por tanto, 𝐵
�⃗𝐴 tal que en (a), instante 𝑡 = 0, está orientado hacia
agujas del reloj (fig. 23), se va induciendo otro campo 𝐵
1 1
2 1
la derecha; en (b), 𝑡 = · , es nulo en un motor de dos polos; en (c), 𝑡 = · , se orienta hacia la
4 60
4 60
3 1
�⃗𝐴 × 𝐵
�⃗
izquierda; y en (d), 𝑡 = 4 · 60, vuelve a ser cero. Así, en (a) y (c) se genera en el rotor un par 𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝐵
�⃗𝑅 ) que lo
en el sentido opuesto a la agujas del reloj (no cambia de sentido, como sucedía en presencia de 𝐵
acelerará hasta casi alcanzar la velocidad 𝜔.
En ese momento el eje del motor se embraga
a su carga.
En un motor real la bobina del rotor no
está en circuito abierto durante el arranque,
sino cerrada sobre una resistencia 10 a 15
veces superior a la propia. Sería peligroso
dejarla abierta porque el campo giratorio
induciría en ella una tensión muy alta que
podría degradar el aislamiento. Tampoco se
pone en cortocircuito pues se crearía una
corriente muy elevada que frenaría el motor.
Los devanados de amortiguamiento se
emplean además para mejorar la estabilidad
de los motores síncronos. En efecto, si el
rotor gira exactamente a la velocidad de
sincronismo, en estos devanados no se induce
voltaje, pero si va más lento, se produce un
movimiento relativo entre el rotor y el campo
giratorio que genera un voltaje en los
devanados de amortiguamiento, creando un
par inducido adicional que acelera el rotor. Y
si, por el contrario, el rotor se embala
(porque, por ejemplo, se reduzca repentinamente la carga que soporta), entonces se genera un par
inducido que tiende a frenarlo. De ahí que se conozcan como devanados de amortiguamiento o atenuación.
84
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 5
MÁQUINAS ASÍNCRONAS O DE INDUCCIÓN
1. INTRODUCCIÓN
1.1 Aspectos constructivos de un motor de inducción. Rotor de jaula y rotor bobinado
1.2 Idea del funcionamiento de un motor inducción
2. DESLIZAMIENTO Y FRECUENCIA EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN
2.1. Deslizamiento del rotor
2.2. Frecuencia eléctrica en el rotor
3. CIRCUITO EQUIVALENTE DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
4. POTENCIA DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
5. PAR INDUCIDO, MÁXIMO Y DE ARRANQUE EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
5.1. Par inducido
5.2. Par máximo
5.3. Par de arranque
6. ENSAYOS CARACTERÍSTICOS DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Ensayo con corriente continua sobre el rotor
Ensayo con el rotor bloqueado
Ensayo en vacío
Ensayo a la velocidad de sincronismo
7. CONTROL DEL PAR INDUCIDO EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
8. ARRANQUE DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
8.1. Arranque de los motores de rotor bobinado
8.2. Arranque de los motores de rotor de jaula
9. REGULACIÓN DE LA VELOCIDAD DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
Regulación de la velocidad variando la frecuencia
Regulación de la velocidad variando la tensión de alimentación
Regulación de la velocidad variando el número de pares de polos
Regulación de la velocidad variando la resistencia del rotor
10.MOTORES DE INDUCCIÓN MONOFÁSICOS
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
Motor de inducción monofásico con rotor de jaula
Motor de inducción monofásico de fase partida sin condensador de arranque
Motor de inducción monofásico de fase partida con condensador de arranque
Motor de inducción monofásico con espira en cortocircuito
85
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1. INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior se vio como los devanados de amortiguamiento de un motor síncrono pueden
desarrollar suficiente par como para llevarlo hasta la velocidad de sincronismo sin necesidad de alimentar
el inductor con corriente continua. De hecho, estos arrollamientos son tan eficientes que es posible diseñar
una máquina sin el devanado del rotor del motor síncrono:
esta máquina es la de inducción, también llamada asíncrona
debido a que la velocidad de giro del rotor no es la de
sincronismo, impuesta por la frecuencia de la red.
En este capítulo se emplea únicamente la expresión
motor de inducción para referirse al motor asíncrono.
El motor de inducción, monofásico y trifásico, es el más
utilizado debido a su bajo coste, tanto de adquisición como
de mantenimiento, y se emplea en las instalaciones en las
que se precise mantener constante la velocidad del rotor.
1.1. Aspectos constructivos de un motor de inducción.
Rotor de jaula y rotor bobinado
Un motor de inducción tiene el mismo estator que una
máquina síncrona, pero el rotor es diferente. Se emplean
dos tipos de rotores (fig. 1): el de jaula (más conocido como
de jaula de ardilla, también llamado rotor en cortocircuito)
y el devanado.
El rotor de jaula está formado por una serie de barras
conductoras que se cortocircuitan en uno o ambos
extremos mediante aros metálicos.
El rotor bobinado tiene unos arrollamientos trifásicos
similares a los del estator, de manera que las fases se
conectan a tres anillos aislados entre sí. Esta disposición
permite introducir resistencias externas en contacto con los
anillos a través de escobillas, para limitar las corrientes de
arranque, mejorar el par y controlar la velocidad.
1.2. Idea del funcionamiento de un motor de inducción
Como ya dijimos, generalmente la máquina asíncrona se
utiliza como motor. A este régimen de funcionamiento nos
referiremos en lo sucesivo, salvo que se diga lo contrario.
En el capítulo anterior se explicó el proceso de
�⃗ que se
generación del campo magnético giratorio 𝐵
produce en el estator de una máquina síncrona. Como el
motor de inducción tiene el mismo estator, podemos
�⃗
afirmar que la velocidad de giro de 𝐵 es, en revoluciones por minuto
60 𝑓S
𝑁𝑆 =
𝑃
conocida también como velocidad de sincronismo, donde 𝑓𝑆 es la frecuencia de las corrientes que
alimentan al estator y 𝑃 el número de pares de polos.
El rotor del motor de inducción no es más que un conjunto de espiras expuestas a la acción del campo
�⃗, cortocircuitadas en el caso del rotor de jaula, o conectadas a unas escobillas en el rotor
giratorio 𝐵
bobinado, pero en ningún caso alimentadas con corriente continua como en la máquina síncrona (de
86
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
hecho, los motores de inducción también se conocen como máquinas de excitación única, a diferencia de
las máquinas síncronas de excitación doble).
�⃗ induce en el rotor otro campo 𝐵
�⃗𝑅 perpendicular al plano de cada espira, de
Como sabemos, el giro de 𝐵
manera que se crea un par inducido en el rotor
�⃗𝑅 × 𝐵
�⃗
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝐵
�⃗» (un efecto análogo al producido por los devanados de
que lo hace girar «persiguiendo a 𝐵
amortiguamiento de una máquina síncrona). Pero, debe tenerse muy presente que cuanto más se
aproxime el rotor a la velocidad 𝑁𝑆 del campo giratorio, menor es el voltaje inducido en sus conductores
�⃗ y el rotor, y menor es también 𝐵
�⃗𝑅 , disminuyendo, por tanto,
porque se reduce la velocidad relativa entre 𝐵
𝜏⃗𝑖𝑖𝑖 . Si, en el límite, el rotor girase a la velocidad de sincronismo, no habría movimiento relativo y el par
inducido se anularía. Por consiguiente, el rotor debe girar a una velocidad 𝑁𝑅 inferior a la de sincronismo
(𝑁𝑅 < 𝑁𝑆 ); es decir, su velocidad de régimen es asíncrona y tanto menor cuanto mayor es el par resistente
de la carga movida por el motor.
2. DESLIZAMIENTO Y FRECUENCIA EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN
2.1. Deslizamiento del rotor
Se conoce con el nombre de deslizamiento s al cociente
𝑁𝑅
𝑁𝑆 − 𝑁𝑅
=1−
𝑠=
𝑁𝑆
𝑁𝑆
cuyo valor está comprendido entre 0.03 y 0.08 a plena carga, en la mayoría de los motores. Al aumentar la
carga que soporta el motor, el par resistente y el deslizamiento crecen. De esta expresión se deduce que
𝑁𝑅 = (1 − 𝑠)𝑁𝑆
(1)
El deslizamiento se puede expresar en términos de velocidad angular
𝜔𝑆 − 𝜔𝑅
𝜔𝑅
𝑠=
=1−
𝜔𝑆
𝜔𝑆
o sea
𝜔𝑅 = (1 − 𝑠)𝜔𝑆
(1’)
así, con el rotor parado o bloqueado 𝑁𝑅 = 0, 𝜔𝑅 = 0 y 𝑠 = 1.
2.2. Frecuencia eléctrica en el rotor
A veces al motor de inducción se le llama transformador rotativo, pues, al igual que un transformador
ordinario, su primario (el estator) induce un voltaje en su secundario (el rotor), pero con la diferencia de
que la frecuencia del secundario no es necesariamente igual a la del primario. Así, si el rotor gira a la
velocidad de sincronismo (𝑠 = 0), la frecuencia en el rotor 𝑓𝑅 es cero; pero, si está parado (𝑠 = 1), es la
misma que la del estator; y, para cualquier velocidad del rotor, 𝑓𝑅 es directamente proporcional a 𝑠:
𝑓𝑅 = 𝑠 𝑓𝑆
Ejemplo. Un motor de inducción de 208 V, 7.46 kW, cuatro polos y 60 Hz, tiene un deslizamiento a plena
carga del 5 por 100. Calcular la velocidad de sincronismo. Con la carga nominal, determinar la velocidad de
sincronismo, la velocidad y la frecuencia del rotor y el par en el eje del motor.
Solución:
La velocidad de sincronismo es:
𝑁𝑆 =
60 𝑓𝑆 60 · 60 𝐻𝐻
=
4 polos
𝑃
2
87
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Respuesta: 𝑁𝑆 = 1800 𝑅𝑅𝑅
La velocidad del rotor se determina con la expresión:
𝑁𝑅 = (1 − 𝑠)𝑁𝑆 = (1 − 0.05) · 1800
La frecuencia del rotor es:
El par aplicado al eje es:
𝑓𝑅 = 𝑠 𝑓𝑆 = 0.05 · 60
𝜏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
3.
Respuesta: 𝑁𝑅 = 1710 𝑅𝑅𝑅
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 7.46 · 1000 𝑊
=
2𝜋 𝑟𝑟𝑟
𝜔𝑅
1710 60
𝑠
Respuesta: 𝑓𝑅 = 3 𝐻𝐻
Respuesta: 𝜏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 41.66 𝑁 · 𝑚
CIRCUITO EQUIVALENTE DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
Puesto que la inducción de voltajes y corrientes en el rotor de un motor de inducción es esencialmente
una acción transformadora, su circuito equivalente es similar al de un transformador.
En la figura 2 se muestra este circuito por fase, donde se aprecian las resistencias del estator 𝑅𝑆 y el
rotor 𝑅𝑅 , las reactancias de dispersión 𝑋𝑆 y 𝑋𝑅 , la resistencia del núcleo 𝑅𝑁 y su reactancia de
magnetización 𝑋𝑀 .
El voltaje interno del primario 𝑉 se acopla al del secundario 𝑉𝑅 por medio de un transformador ideal,
cuya relación de transformación es 𝑎.
Sabemos que cuanto mayor sea el movimiento relativo entre el rotor y el estator, mayor es el voltaje del
rotor, de tal manera que si el rotor está bloqueado el voltaje es máximo, 𝑉𝑅0, y nulo si está girando a la
velocidad de sincronismo. Es más, podemos afirmar que dicho voltaje es directamente proporcional al
deslizamiento, de manera que
𝑉𝑅 = 𝑠 𝑉𝑅0
Mientras que la resistencia del rotor 𝑅𝑅 es independiente del deslizamiento, no sucede así con 𝑋𝑅 pues
si 𝐿𝑅 es la inductancia del rotor, entonces
𝑋𝑅 = 𝜔𝑅 𝐿𝑅 = 2𝜋𝑓𝑅 𝐿𝑅
pero 𝑓𝑅 = 𝑠 𝑓𝑆 , por tanto
𝑋𝑅 = 2𝜋𝜋𝑓𝑆 𝐿𝑅 = 𝑠(2𝜋𝑓𝑆 𝐿𝑅 )
𝑋𝑅 = 𝑠 𝑋𝑅0
donde 𝑋𝑅0 es la reactancia de dispersión con el rotor bloqueado.
Todo ello se aprecia en la figura 3 de la que se desprende que
𝑉𝑅
𝑠𝑉𝑅0
=
𝐼𝑅 =
𝑅𝑅 + 𝑗𝑋𝑅 𝑅𝑅 + 𝑗𝑠𝑠𝑅0
88
o bien
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
además 𝑅𝑅 /𝑠 se puede escribir como
por tanto
𝐼𝑅 =
𝑉𝑅0
𝑅𝑅 /𝑠 + 𝑗𝑋𝑅0
𝑅𝑅
1−𝑠
= 𝑅𝑅 + 𝑅𝑅
𝑠
𝑠
𝑉𝑅0
1−𝑠
𝑅𝑅 + 𝑅𝑅
+ 𝑗𝑋𝑅0
𝑠
Nótese que este artificio permite tratar todos los efectos en el
rotor como si fuesen debidos a una impedancia variable con el
deslizamiento (o sea, con el movimiento):
1−𝑠
+ 𝑗𝑋𝑅0
𝑅𝑅 + 𝑅𝑅
𝑠
que está alimentada (fig. 4) con una diferencia de potencial
constante 𝑉𝑅0 .
Para completar el circuito equivalente, sólo queda referir la parte del rotor al lado del estator. Para ello
se determina la relación de transformación 𝑎 mediante la expresión 𝑉 = 𝑎 𝑉𝑅0 ; por tanto:
𝐼𝑅
1−𝑠
𝐼2 =
; 𝑅2 = 𝑎2 𝑅𝑅 ; 𝑋2 = 𝑎2 𝑋𝑅0 ; 𝑅𝐶 = 𝑅2
𝑎
𝑠
Y, para unificar la nomenclatura, adjudicamos el subíndice 1 a los parámetros del estator y el 2 a los del
rotor. De esta manera, el circuito equivalente por fase se representa en la figura 5.
𝐼𝑅 =
4. POTENCIA DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
La potencia de entrada a un motor de inducción (ver figuras 5 y 6), es la potencia eléctrica 𝑃𝑒𝑒𝑒 con la
que se alimentan los devanados del estator.
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉1 𝐼1 cos 𝜑
Las pérdidas de potencia que experimenta el motor son:
•
Las debidas al efecto Joule en los devanados, conocidas como pérdidas en el cobre 𝑃𝐶𝐶 :
Las pérdidas en el cobre en las tres fases del estator 𝑃𝐶𝐶𝐶 son
𝑃𝐶𝐶𝐶 = 3𝐼12 𝑅1
Y en las tres fases del rotor 𝑃𝐶𝐶𝐶 son
𝑃𝐶𝐶𝐶 = 3𝐼22 𝑅2
•
Las debidas a la histéresis y las corrientes parásitas en el estator y en el rotor, llamadas
pérdidas en el núcleo 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 :
3𝑉22
𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑅𝑁
89
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
•
Las debidas al rozamiento propio y con el aire 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 .
•
Y otras pérdidas 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 en las que se engloban las demás que pudiera haber.
Las pérdidas en el núcleo del rotor son muy pequeñas comparadas con las que se producen en el núcleo
del estator, por eso se suelen incluir en estas últimas y se tienen en cuenta en el circuito equivalente
mediante la resistencia 𝑅𝑁 . Además, cuanto mayor es la velocidad del rotor, mayor es 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 y menor es
𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 , de ahí que a las pérdidas 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 se las denomine también pérdidas rotatorias.
Si llamamos 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 a la potencia que el motor transmite a la carga
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜔𝑅
entonces se produce el siguiente flujo de potencias:
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝐶𝐶𝐶 + 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝐶𝐶𝐶 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 + 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
En la figura 6 se presenta el diagrama con este flujo donde aparecen además dos medidas intermedias
de la potencia: la potencia en el entrehierro 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 y la convertida 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 .
•
Del esquema se deprende que la potencia que cruza el espacio entre el circuito del estator y el
circuito del rotor es 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 :
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑒𝑒𝑒 − 𝑃𝐶𝐶𝐶 − 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐
pero, en la figura 5 se aprecia que el único elemento que absorbe potencia activa en el rotor es
la resistencia 𝑅2 + 𝑅𝐶 = 𝑅2 /𝑠, por lo tanto 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 también es
𝑅2
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 3𝐼22
𝑠
(2)
•
La potencia convertida 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 es aquélla que llega al rotor una vez descontadas sus pérdidas en
el cobre 𝑃𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑃𝐶𝐶𝐶
es decir
𝑅2
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 3𝐼22 − 3𝐼22 𝑅2
𝑠
o sea
1−𝑠
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 3𝐼22 𝑅2 �
�
𝑠
Obsérvese que se corresponde con la potencia disipada por efecto Joule en 𝑅𝐶 . Además, de (2)
se deduce que:
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = (1 − 𝑠)𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
(3)
Nótese que si el rotor no gira (𝑠 = 1), la potencia convertida es cero. Este resultado es
lógico, pues la potencia suministrada a la carga 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 debe ser nula.
La potencia convertida 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 también se manifiesta en el par inducido 𝜏𝑖𝑖𝑖 en el rotor y en
su velocidad angular de giro 𝜔𝑅 , es decir:
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜏𝑖𝑖𝑖 𝜔𝑅
(4)
90
•
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Por último, del diagrama de la figura 6 se deduce que:
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 − 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Ejemplo. A un motor de inducción trifásico de 480 V y 60 Hz se le suministran 60 A con un factor de
potencia de 0.85 en retraso. Las pérdidas en el cobre del estator son 2 kW y en el cobre del rotor 700 W. Las
pérdidas por rozamiento propio y con el aire son 600 W, las del núcleo 1800 W y las demás pérdidas son
despreciables. Calcular: a) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 , b) 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 , c) 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 y d) el rendimiento del motor.
Solución:
a)
𝑃𝑒𝑒𝑒
b)
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑒𝑒𝑒 − 𝑃𝐶𝐶𝐶 − 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐
60 𝐴
= 3𝑉1 𝐼1 cos 𝜑 = 3 · 480 𝑉 ·
· 0.85 = 42400 𝑊
√3
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 42400 𝑊 − 2000 − 1800
Respuesta: 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 38600 𝑊
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐
c)
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑃𝐶𝐶𝐶
= 38600 𝑊 − 700 𝑊 = 37900 𝑊
Respuesta: 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 37900 𝑊
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝐶𝐶𝐶 + 𝑃𝐶𝐶𝐶 + 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 + 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
42400 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 2000 + 700 + 1800 + 600 + 0
por lo tanto la potencia suministrada a la carga es:
Respuesta: 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 37300 𝑊
d)
El rendimiento del motor es:
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
37300
· 100 =
· 100
𝜂=
𝑃𝑒𝑒𝑒
42400
Respuesta: 𝜂 = 88%
5. PAR INDUCIDO, MÁXIMO Y DE ARRANQUE EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
5.1. Par inducido
De la expresión (4) se desprende que
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜔𝑅
pero, de (1’) y (3) se deduce que el par inducido también es
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
𝜔𝑆
y con (2):
𝑅
3𝐼22 2
𝑠
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
𝜔𝑆
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
(5)
Obsérvese que en el circuito equivalente (fig. 5) no hay ningún elemento que permita medir las pérdidas
𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 y 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 , mientras que
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 3𝐼22 𝑅2 /𝑠 = 3𝐼22 (𝑅2 + 𝑅𝐶 )
es la potencia que se manifiesta en 𝑅2 + 𝑅𝐶 .
91
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Podemos todavía realizar una simplificación que consiste en eliminar 𝑅𝑁 , con lo cual no se tendrían en
cuenta las pérdidas 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 (se justifica porque 𝑅𝑁 ≫ 𝑋𝑀 , por tanto, la mayor parte de la corriente 𝐼𝑀
circula por 𝑋𝑀 ).
En resumen, en el circuito de la figura 7 no se tienen en cuenta las pérdidas rotatorias: 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 +
𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 ni las llamadas 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 (la suma 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 + 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 no suele superar el 10% de la potencia
suministrada a la carga 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ).
La tensión 𝑉2 no varía con las revoluciones del motor, no así la resistencia 𝑅𝐶 cuyo valor en reposo
(𝑠 = 1) sería cero, y si el rotor girase a la velocidad de sincronismo (𝑠 = 0) sería infinito, lo que equivale a
que esta rama del circuito estuviese abierta.
Normalmente la intensidad de magnetización 𝐼𝑀 no puede despreciarse frente a 𝐼1 e 𝐼2 . El motivo es
que esta corriente –que establece el flujo común entre el estator y el rotor a través del entrehierro– es de
cuantía, debido a que la reluctancia del aire es mucho mayor que la del hierro. En los transformadores
ordinarios, al ser el circuito magnético de material ferromagnético, sin entrehierro, la corriente 𝐼𝑀 es
relativamente pequeña, hasta el punto de que en el modelo del transformador con núcleo ideal se suprime
también esta rama en paralelo.
Resolvamos el circuito de la figura 7 aplicando el teorema de Thevenin (ver capítulo 1, epígrafe 2.6)
según el cual todo circuito lineal que se pueda separar del resto mediante dos terminales, se puede
reemplazar por una fuente de tensión conectada en serie con una impedancia.
Para calcular el equivalente Thevenin a la izquierda de los terminales A y B se realizan dos pasos:
Primer paso (fig. 8): Se abren dichos terminales y se calcula el voltaje 𝑉𝑇𝑇 en circuito abierto entre A y B:
𝑗𝑋𝑀
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉1
𝑅1 + 𝑗𝑋1 + 𝑗𝑋𝑀
cuya magnitud es
𝑋𝑀
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉1
2
�𝑅1 + (𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
(6)
Pero, la reactancia de magnetización 𝑋𝑀 ≫ 𝑋1 y 𝑋1 + 𝑋𝑀 ≫ 𝑅1 , por lo tanto:
𝑋𝑀
𝑉𝑇𝑇 ≅ 𝑉1
𝑋1 + 𝑋𝑀
(6’)
92
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Segundo paso (fig. 9): Para encontrar la impedancia equivalente 𝑍𝑇𝑇 , se cortocircuita 𝑉1 y se calcula la
impedancia «mirando» hacia la izquierda de los terminales A y B:
𝑗𝑗𝑀 (𝑅1 + 𝑗𝑋1 )
𝑍𝑇𝑇 = 𝑅𝑇𝑇 + 𝑗𝑋𝑇𝑇 =
𝑅1 + 𝑗(𝑋1 + 𝑋𝑀 )
de manera que
2
𝑋𝑀
𝑅𝑇𝑇 = 𝑅1 2
𝑅1 + (𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
𝑋𝑇𝑇 =
Ya que 𝑋𝑀 ≫ 𝑋1 y 𝑋1 + 𝑋𝑀 ≫ 𝑅1, entonces
2
𝑋𝑀 𝑅12 + 𝑋𝑀 𝑋12 + 𝑋1 𝑋𝑀
𝑅12 + (𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
𝑅𝑇𝑇 ≅ 𝑅1
y
2
𝑋𝑀
(𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
𝑋𝑇𝑇 ≅ 𝑋1
El circuito equivalente resultante se presenta en la figura 10 donde la corriente 𝐼2 es
𝑉𝑇𝑇
𝐼2 =
1−𝑠
𝑅𝑇𝑇 + 𝑗𝑋𝑇𝑇 + 𝑗𝑋2 + 𝑅2 + 𝑅2
𝑠
cuyo módulo es
𝑉𝑇𝑇
𝐼2 =
�(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ⁄𝑠)2 + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2
y, según (5), el par inducido es
5.2. Par máximo
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
2
3𝑉𝑇𝑇
𝑅2 ⁄𝑠
2
𝜔𝑆 [(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ⁄𝑠) + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 ]
(7)
Para calcular el par máximo 𝜏𝑚𝑚𝑚 igualamos a cero la derivada respecto a 𝑠 de la expresión anterior. De
este cálculo se concluye que el valor del deslizamiento 𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 que provoca el par máximo es
𝑅2
𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 =
2
�𝑅𝑇𝑇 + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2
(8)
y que el par máximo es
2
3𝑉𝑇𝑇
𝜏𝑚𝑚𝑚 =
2
2𝜔𝑆 �𝑅𝑇𝑇 + �𝑅𝑇𝑇
+ (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 �
(9)
5.3. Par de arranque
El par en el arranque 𝜏𝑎𝑎𝑎 se calcula haciendo 𝑠 = 1 en (7):
93
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝜏𝑎𝑎𝑎 =
2
3𝑉𝑇𝑇
𝑅2
2
𝜔𝑆 [(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ) + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 ]
En el circuito de la figura 10 se cumple que
entonces, su factor de potencia es
y en (7):
tan 𝜑 𝑇𝑇 =
(10)
𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2
𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2
=
𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 + 𝑅𝐶 𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ⁄𝑠
(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ⁄𝑠)2
1
�
=
cos 𝜑 𝑇𝑇 = �
(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ⁄𝑠)2 + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2
1 + tan2 𝜑𝑇𝑇
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
2
3𝑉𝑇𝑇
𝑅2 ⁄𝑠
cos2 𝜑𝑇𝑇
𝜔𝑆 (𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ⁄𝑠)2
(11)
En la figura 11 se representan las curvas 𝐼2 , cos 𝜑𝑇𝑇 y 𝜏𝑖𝑖𝑖 de un motor de inducción típico en función
de 𝑠 y, por tanto, de la velocidad angular del rotor 𝜔𝑅 = (1 − 𝑠)𝜔𝑆 .
Se distinguen tres regiones según el valor de 𝑠: la situada más a la derecha, de bajo deslizamiento; la
central, de deslizamiento moderado; y la de alto deslizamiento, a la izquierda.
Región de bajo deslizamiento
Cuando el motor trabaja en vacío; es decir, sin carga, el deslizamiento del rotor es muy escaso
(en el límite, 𝑠 = 0 y la velocidad del rotor sería la de sincronismo: 𝜔𝑅 = 𝜔𝑆 ).
Mientras que el valor de s es pequeño, el movimiento relativo entre el rotor y el campo
giratorio del estator es muy reducido, la corriente inducida 𝐼2 es muy pequeña y la frecuencia del
rotor muy baja, tanto que su reactancia 𝑋2 = 2𝜋𝑓𝑅 𝐿𝑅 es despreciable; además, para valores muy
94
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
próximos al sincronismo (𝑠 → 0) es 𝑅𝑇𝑇 ≪ 𝑅2 ⁄𝑠 y 𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 ≪ 𝑅2 ⁄𝑠; en tal caso cos 𝜑 𝑇𝑇 ≅ 1 y
en la expresión (11) se aprecia que el par inducido es prácticamente proporcional al deslizamiento:
2
3𝑉𝑇𝑇
𝜏𝑖𝑖𝑖 ≅
𝑠
𝜔𝑆 𝑅2
Conforme se incrementa la carga del motor, va creciendo el deslizamiento y reduciéndose 𝜔𝑅 ,
de manera que el movimiento relativo entre el rotor y el campo giratorio del estator provoca que
𝐼2 aumente de forma prácticamente lineal con el deslizamiento (siempre que el rotor no se sature).
Este comportamiento que relaciona linealmente 𝜏𝑖𝑖𝑖 e 𝐼2 con 𝜔𝑅 permite afirmar que la región de
bajo deslizamiento es la más adecuada para que opere un motor de inducción en régimen
estacionario.
Obsérvese que la región de bajo deslizamiento llega prácticamente hasta el valor del par
máximo inducido. Este par se produce cuando el incremento de 𝐼2 se compensa con la disminución
del factor de potencia. En un motor de inducción típico 𝜏𝑚𝑚𝑚 es 2 a 3 veces el valor del par a plena
carga. Además, 𝜏𝑎𝑎𝑎 (con 𝜔𝑅 = 0) también es aproximadamente el doble del par a plena carga, de
ahí que, a diferencia de lo que sucede con los motores síncronos, un motor de inducción puede
arrancar con cualquier carga que pueda soportar.
Región de deslizamiento moderado
En esta región la frecuencia del rotor ha crecido lo suficiente como para que 𝑋2 sea del mismo
orden de magnitud que 𝑅2 , provocando una caída del factor de potencia y que la tasa de
crecimiento de 𝐼2 sea menor que la de la región de bajo deslizamiento.
Región de alto deslizamiento
En esta región el par inducido disminuye ante un aumento de la carga, puesto que 𝐼2 apenas
puede crecer más. Además, como la frecuencia del rotor sigue subiendo, su reactancia crece al
mismo tiempo que sigue cayendo el factor de potencia.
95
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la figura 12 se representa la potencia convertida 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 , expresión (4), y el par inducido en un motor
típico de cuatro polos. Se aprecia que el pico de potencia máxima se produce a una velocidad diferente que
el del par máximo, y que cuando el rotor está detenido la potencia es nula.
De las expresiones (8) y (9) se pueden extraer conclusiones muy útiles:
• 𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 es directamente proporcional a la resistencia del rotor 𝑅2 , pero 𝜏𝑚𝑚𝑚 es independiente
de 𝑅2 .
• 𝜏𝑚𝑚𝑚 es proporcional al cuadrado de 𝑉𝑇𝑇 , lo que se traduce, según (6) en que es proporcional al
cuadrado del voltaje 𝑉1 con el que se alimenta el motor.
• 𝜏𝑚𝑚𝑚 está inversamente relacionado con la impedancia del estator y la reactancia del rotor.
Tengamos ahora presente que en un motor de inducción con el rotor bobinado es posible modificar 𝑅2
insertando resistencias en el circuito del rotor a través de los anillos en contacto con las escobillas (ver fig.
1). Obsérvese que, según (8), conforme se incrementa 𝑅2 se reduce la velocidad a la que se consigue el par
máximo, aunque el valor de dicho par permanece constante. Esta propiedad del motor de inducción de
rotor bobinado es muy útil porque permite arrancarlo con grandes cargas. En efecto, si se inserta una
resistencia adicional en el circuito del rotor del valor necesario para que 𝑅2 sea precisamente el de 𝑅2𝐼𝐼 en
la figura 13, entonces
𝜏𝑎𝑎𝑎 = 𝜏𝑚𝑚𝑚
es decir, en el arranque se dispondría del par máximo, y, una vez que el motor estuviese girando, se puede
eliminar la resistencia adicional y el rotor acelerará hasta alcanzar casi la velocidad de sincronismo.
6.
ENSAYOS CARACTERÍSTICOS DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
Las magnitudes del circuito equivalente de la figura 7 pueden determinarse, con una buena
aproximación, realizando una serie de ensayos. Los más típicos son:
• Ensayo con corriente continua sobre el rotor.
• Ensayo con el rotor bloqueado.
• Ensayo en vacío.
• Ensayo a la velocidad de sincronismo
96
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
6.1. Ensayo con corriente continua sobre el rotor
En este ensayo se alimenta el estator con una tensión continua. El motor se encuentra parado y
desconectado de cualquier otra fuente que no sea la tensión continua. Es importante que durante el
ensayo los devanados del estator no se calienten excesivamente.
El paso de la corriente continua por las bobinas del estator no provoca movimiento del rotor, pero
permite medir su resistencia óhmica. En efecto, si los devanados están conectados en estrella, como en la
figura 14(a), la resistencia por fase 𝑅1 se calcula con la ley de Ohm aplicada a las dos resistencias en serie:
1 𝑉𝐶𝐶
𝑅1 =
2 𝐼𝐶𝐶
donde 𝑉𝐶𝐶 e 𝐼𝐶𝐶 se miden con el amperímetro A y el voltímetro B que se muestran en la figura.
Si el estator estuviese conectado en triángulo,
figura 14(b), entonces
3 𝑉𝐶𝐶
𝑅1 =
2 𝐼𝐶𝐶
El ensayo se realiza haciendo pasar una corriente
continua igual, o ligeramente menor, a la corriente
eficaz que circula por el motor en condiciones
nominales, para que la temperatura de las bobinas
sea del mismo orden de magnitud. De esta manera
se tiene en cuenta el efecto de la temperatura sobre la resistencia.
6.2. Ensayo con el rotor bloqueado
En este ensayo el rotor se fija convenientemente para impedir que gire. En estas condiciones, se aplica
al motor una tensión alterna, inferior a la nominal, que haga pasar una corriente del orden de la nominal
por el estator. Se puede aumentar dicha corriente durante un tiempo breve (para evitar que se dañen los
devanados con la temperatura). La razón para recomendar este incremento de la corriente es darle más
validez a la hipótesis de que la corriente de magnetización 𝐼𝑀 por
la rama en paralelo sea menor que la corriente principal; además,
al ser la tensión aplicada inferior a la nominal, 𝐼𝑀 es también
mucho menor que en condiciones nominales. De esta manera,
con 𝑠 = 1 y suprimida la rama en paralelo, el circuito equivalente
correspondiente a una fase es el de la figura 15.
Llamando 𝑉𝑅𝑅 a la tensión aplicada, 𝐼𝑅𝑅 a la corriente que
circula y 𝑃𝑅𝑅 a la potencia activa consumida en el ensayo, de la figura se deduce que
2
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝑃𝑅𝑅 = 3𝐼𝑅𝑅
es decir, 𝑃𝑅𝑅 equivale, aproximadamente, a las pérdidas en el cobre en condiciones nominales. Además,
conocida 𝑅1 en el ensayo precedente, basta medir 𝑃𝑅𝑅 con un vatímetro e 𝐼𝑅𝑅 con un amperímetro para
deducir el valor de 𝑅2 .
Por otro lado, del circuito de la figura 15 se deduce que
𝑉𝑅𝑅 = 𝐼𝑅𝑅 �(𝑅1 + 𝑅2 )2 +(𝑋1 + 𝑋2 )2
En esta expresión puede calcularse
𝑋𝑅𝑅 = 𝑋1 + 𝑋2
No hay una manera sencilla de separar las contribuciones de las reactancias del rotor y el estator, pero
la experiencia demuestra que, según los diseños del rotor (de los que hablaremos más adelante), los
valores de 𝑋1 y 𝑋2 son los de la tabla siguiente:
97
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Diseño del rotor
Bobinado
Tipo A
Tipo B
Tipo C
Tipo D
𝑿𝟏
0.5 𝑋𝑅𝑅
0.5 𝑋𝑅𝑅
0.4 𝑋𝑅𝑅
0.3 𝑋𝑅𝑅
0.5 𝑋𝑅𝑅
6.3. Ensayo en vacío
𝑿𝟐
0.5 𝑋𝑅𝑅
0.5 𝑋𝑅𝑅
0.6 𝑋𝑅𝑅
0.7 𝑋𝑅𝑅
0.5 𝑋𝑅𝑅
En este ensayo el motor se conecta a su tensión nominal, pero sin ninguna carga mecánica acoplada a su
eje. En estas condiciones la velocidad del rotor es muy próxima a la de sincronismo y el deslizamiento
prácticamente nulo. El valor de 𝑅𝐶 :
1−𝑠
𝑅𝐶 = 𝑅2
𝑠
es enorme, lo que equivale a que esta rama del circuito esté abierta y que el circuito equivalente para este
ensayo sea el de la figura 16.
Como la corriente que circula por el rotor es nula, la del estator 𝐼0 es la misma que la que pasa por 𝑋𝑀 .
La potencia activa tomada de la red se invierte en las pérdidas en el cobre del estator debidas a 𝐼0 , en
las pérdidas rotatorias 𝑃𝑟𝑟𝑟 = 𝑃𝑛ú𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛 y en otras pérdidas 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 :
𝑃0 = 3 𝐼02 𝑅1 + 𝑃𝑟𝑟𝑟 + 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
Conocida 𝑅1 en el ensayo con corriente continua, de este ensayo se deducen 𝑃𝑟𝑟𝑟 + 𝑃𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 , ya que los
valores de 𝑃0 e 𝐼0 se pueden leer con los instrumentos de medida conectados al motor.
Por otro lado, del circuito de la fig. 16 se deduce que
𝑉1 = 𝐼0 �𝑅12 +(𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
Si se mide 𝑉1, en esta expresión se calcula 𝑋1 + 𝑋𝑀 . Conocida 𝑋1 del ensayo con el rotor bloqueado, se
determina 𝑋𝑀 .
6.4. Ensayo a la velocidad de sincronismo
Para realizar este ensayo se necesita una fuente mecánica que arrastre al motor a una velocidad
regulable (un motor térmico, por ejemplo). También se necesita una
fuente de alimentación trifásica regulable en tensión y frecuencia. Para
una velocidad 𝑁 determinada, se alimenta el estator a una frecuencia
𝑓, tal que
𝑁𝑃
𝑓=
60
Con esta frecuencia el motor girará a la velocidad de sincronismo y
no circulará corriente por el rotor. El circuito equivalente es el mismo
que el de la figura 16. En estas condiciones se modifica la tensión de
alimentación, manteniendo constantes la frecuencia y la velocidad,
anotándose en cada caso la corriente consumida por el motor. Así se
obtiene la curva de magnetización del estator (fig. 17), ya que la
corriente consumida es 𝐼𝑀 y la tensión aplicada es prácticamente la interna 𝑉; pero, para mayor precisión,
de acuerdo con la figura 16, es mejor emplear la siguiente expresión:
98
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑉 = 𝑉1 − (𝑅1 + 𝑗𝑋1 )𝐼0
Debido al magnetismo remanente, la tensión no es cero cuando se anula la corriente. En la curva se
aprecia también el efecto de saturación para corrientes elevadas.
Con otras velocidades distintas, y ajustando la frecuencia en cada caso, se obtienen curvas similares a la
anterior (fig. 18), pero desplazadas según el valor de 𝑁.
A continuación se presentan las gráficas más significativas de un motor de inducción real de 6 polos que
trabaja a 380 V. A 946 revoluciones por minuto (RPM) consume una potencia de 9.5 kW y una corriente de
17 A.
99
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
100
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la tabla siguiente se presenta la relación típica entre la velocidad de sincronismo y la velocidad a
plena carga de varios motores de inducción de 50 Hz, según el número de polos.
Número de
polos
(50 Hz)
2
4
6
8
10
12
16
Velocidad
de sincronismo
RPM
3000
1500
1000
750
600
500
375
Velocidad típica
a plena carga
RPM
2900
1440
960
720
580
480
360
Ejemplo. En los ensayos correspondientes en un motor de inducción de 460 V, 60 Hz y cuatro polos, se
han determinado las siguientes impedancias por fase, referidas al estator:
𝑅1 = 0.641 Ω; 𝑅2 = 0.332 Ω; 𝑋1 = 1.106 Ω; 𝑋2 = 0.464 Ω; 𝑋𝑀 = 26.3 Ω
Las pérdidas rotatorias son de 1100 W y se suponen constantes. Las pérdidas en el núcleo se agrupan
con las pérdidas rotatorias. Para un deslizamiento del rotor de 0.022 a voltaje y frecuencia nominales,
calcular: a) la velocidad. b) La corriente del estator. c) El factor de potencia. d) 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 y 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 . e) 𝜏𝑖𝑖𝑖 y
𝜏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 . f) El rendimiento. g) El par máximo, el deslizamiento y la velocidad del par máximo. h) El par de
arranque. i) Cuando se duplica la resistencia del rotor, ¿cuál es la velocidad a la que se presenta el par
máximo y el nuevo par de arranque? j) Representar las curvas de par y de potencia convertida para los dos
valores de 𝑅2 .
Solución:
a)
𝑁𝑆 =
b)
60 𝑓𝑆
60 · 60 𝐻𝐻
=
= 1800 𝑅𝑅𝑅
𝑃
2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑁𝑅 = (1 − 𝑠)𝑁𝑆 = (1 − 0.022) · 1800
Respuesta: 𝑁𝑅 = 1760.4 𝑅𝑅𝑅
Para obtener la corriente del estator se calcula la impedancia equivalente del circuito de la figura 7.
La impedancia de la rama del rotor es
𝑍2 = (𝑅2 + 𝑅𝐶 ) + 𝑗𝑋2 =
y la impedancia equivalente del circuito es
𝑅2
0.332
116
58
+ 𝑗𝑋2 =
+ 𝑗0.464 =
+𝑗
𝑆
0.022
11
125
101
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
58
116
�
𝑗26.3 · � 11 + 𝑗
𝑗𝑋𝑀 𝑍2
125
𝑍 = 𝑅1 + 𝑗𝑋1 +
= 0.641 + 𝑗1.106 +
116
58
𝑗𝑋𝑀 + 𝑍2
𝑗26.3 +
11 + 𝑗 125
La corriente del estator es
460
+ 𝑗0
𝑉�1
√3
̅𝐼1 = =
58
116
𝑍
�
𝑗26.3 · � 11 + 𝑗
125
0.641 + 𝑗1.106 +
58
116
𝑗26.3 + 11 + 𝑗
125
Respuesta: 18.8919 ∠ − 33.6825 𝐴
c)
El factor de potencia del motor es
Respuesta: cos 𝜑 = cos −33.6825 = 0.832122
d)
La potencia de entrada al motor es
𝑃𝑒𝑒𝑒 = 3𝑉1 𝐼1 cos 𝜑 = 3
e)
460
18.8919 · 0.832122 = 12525.1 𝑊
√3
Las pérdidas en el cobre en las tres fases del estator son
𝑃𝐶𝐶𝐶 = 3𝐼12 𝑅1 = 3 · 18.89192 · 0.641 = 686.329 𝑊
La potencia en el entrehierro es
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑃𝑒𝑒𝑒 − 𝑃𝐶𝐶𝐶 = 12525.1 − 686.329 = 11838.8 𝑊
La potencia convertida es
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = (1 − 𝑠)𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = (1 − 0.022) · 11838.8
Respuesta: 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 11578.3 𝑊
La potencia en la carga es
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑃𝑟𝑟𝑟 = 11578.3 − 1100
Respuesta: 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 10478.3 𝑊
El par inducido es
𝜏𝑖𝑖𝑖 =
El par en la carga es
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 11838.8
=
2𝜋
𝜔𝑆
1800 60
𝜏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =
f)
El rendimiento es
𝜂=
g)
Respuesta: 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 62.8068 𝑁 · 𝑚
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
10478.3
=
2𝜋
𝜔𝑅
1760.4 60
Respuesta: 𝜏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 56.8398 𝑁 · 𝑚
𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
10478.3
· 100 =
· 100
𝑃𝑒𝑒𝑒
12525.1
Respuesta: 𝜂 = 83.6588 %
El deslizamiento para el par máximo es
460
𝑋𝑀
26.3
𝑉𝑇𝑇 = 𝑉1
=
= 254.793 𝑉
√3 �0.6412 + (1.106 + 26.3)2
�𝑅12 + (𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
102
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑅𝑇𝑇
2
𝑋𝑀 𝑅12 + 𝑋𝑀 𝑋12 + 𝑋1 𝑋𝑀
26.3 · 0.6412 + 26.3 · 1.1062 + 1.106 · 26.32
=
= 1.07516 Ω
0.6412 + (1.106 + 26.3)2
𝑅12 + (𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
𝑅2
0.332
=
𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 =
2
�𝑅𝑇𝑇
+ (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 �0.5899842 + (1.07516 + 0.464)2
Respuesta: 𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 = 0.201411
La velocidad para este deslizamiento es
𝑁𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = (1 − 𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 )𝑁𝑆 = (1 − 0.201411)1800
Respuesta: 𝑁𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1437.45 𝑅𝑅𝑅
El par máximo es
2
3𝑉𝑇𝑇
𝜏𝑚𝑚𝑚 =
2
2𝜔𝑆 �𝑅𝑇𝑇 + �𝑅𝑇𝑇
+ (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 �
3 · 254.7932
=
2 · 1800 · 2𝜋�60 �0.589984 + �0.5899842 + (1.07516 + 0.464)2 �
Respuesta: 𝜏𝑚𝑚𝑚 = 230.801 𝑁 · 𝑚
𝑋𝑇𝑇 =
h)
2
26.32
𝑋𝑀
= 𝑅1 2
=
0.641
= 0.589984 Ω
0.6412 + (1.106 + 26.3)2
𝑅1 + (𝑋1 + 𝑋𝑀 )2
El par de arranque es
𝜏𝑎𝑎𝑎 =
i)
2
3𝑉𝑇𝑇
𝑅2
2
𝜔𝑆 [(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ) + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 ]
3 · 254.7932 · 0.332
=
1800 · 2𝜋⁄60[(0.58994 + 0.332)2 + (1.07516 + 0.464)2 ]
Respuesta: 𝜏𝑎𝑎𝑎 = 106.562 𝑁 · 𝑚
Si se duplica la resistencia del rotor, también se duplica el deslizamiento al cual se presenta el par
máximo:
𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 = 0.402822
𝑁𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = (1 − 𝑠𝜏𝜏𝜏𝜏 )𝑁𝑆 = (1 − 0.402822)1800
Respuesta: 𝑁𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1074.92 𝑅𝑅𝑅
El par máximo sigue siendo el mismo, pero el par de arranque es ahora
2
3𝑉𝑇𝑇
𝑅2
𝜏𝑎𝑎𝑎 =
2
𝜔𝑆 [(𝑅𝑇𝑇 + 𝑅2 ) + (𝑋𝑇𝑇 + 𝑋2 )2 ]
3 · 254.7932 · 0.664
=
1800 · 2𝜋⁄60[(0.58994 + 0.664)2 + (1.07516 + 0.464)2 ]
Respuesta: 𝜏𝑎𝑎𝑎 = 174.061 𝑁 · 𝑚
j)
A continuación se presenta las curvas de par inducido 𝜏𝑖𝑖𝑖 y de potencia convertida 𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜏𝑖𝑖𝑖 𝜔𝑅
para cada valor de 𝑅2 :
103
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
7. CONTROL DEL PAR INDUCIDO EN LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
Ya vimos en la figura 13 que en los motores con el rotor bobinado se mejora el par de arranque
incorporando resistencias adicionales al rotor. Pero, también se detecta en la figura 20 que conforme
aumenta 𝑅2 , el punto de trabajo a plena carga se aleja de la velocidad de sincronismo, con la consiguiente
pérdida de rendimiento que se podría cuantificar calculando el decrecimiento del factor de potencia.
104
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Lo ideal sería que en el arranque el motor funcionase según la curva correspondiente a 𝑅2𝐼𝐼 , mientras
que a plena carga y en condiciones normales de trabajo lo hiciese sobre la de 𝑅2𝐼 . Un procedimiento sería ir
eliminando progresivamente las resistencias añadidas al rotor, de manera que el motor se comportase
según la curva dentada que se aprecia en la figura 21.
Pero, mientras que en los rotores bobinados es sencillo añadir y eliminar resistencias a través de las
escobillas y los anillos (fig. 1), ¿cómo se puede conseguir un efecto similar en los rotores de jaula que, como
sabemos, no tienen escobillas? O lo que es lo mismo, ¿cómo se puede lograr que un rotor de jaula se
comporte según la «curva deseada» de la figura 21? La clave está en realizar un diseño de las barras del
rotor que conjugue la resistencia 𝑅2 con su reactancia de dispersión 𝑋2 . Recuérdese que 𝑋2 cuantifica las
líneas de flujo del rotor que no se acoplan adecuadamente con los devanados del estator. En general
podemos decir que cuanto más lejos de la superficie del rotor se encuentre la barra de la jaula (o parte de
ella), mayor es la reactancia de dispersión.
105
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la figura 22 se presentan los cuatro diseños básicos
de las barras. El D muestra el corte de una barra situada
cerca de la superficie del rotor. Puesto que el área de la
sección transversal de esta barra es menor que la de los
otros tipos, su resistencia es mayor que la de los diseños 2
A, B y C; pero al estar toda ella, por término medio,
situada más cerca del estator, su reactancia de dispersión
es menor que la de los otros tipos. Un motor dotado con
barras clase D presenta una curva de par muy parecida a
la de 𝑅2𝐼𝐼𝐼 de la figura 20.
La barra del rotor clase A tiene una sección transversal
mayor que la del D y, por tanto, una menor resistencia;
además, su reactancia de dispersión es todavía lo
suficientemente baja, de ahí que su curva de par se
parezca a la de 𝑅2𝐼 de la figura 20.
El diseño clase B (llamado de barra profunda) y el C
(conocido como de doble jaula) conjugan las
características de A y D. Con ellos se puede conseguir una
resistencia variable en el rotor de jaula.
En efecto, en la figura 23 se aprecia una barra profunda. En (a) se muestra como la corriente que fluye
por la parte superior de la barra está muy acoplada al estator, de ahí que su inductancia de dispersión sea
pequeña (se han representado tres líneas de fuerza del campo magnético). En (b), sin embargo, la corriente
que circula por la parte profunda de la barra tiene mayor dispersión (sólo una línea de fuerza afecta al
estator). Puesto que se puede considerar que todas las partes de la barra están en paralelo eléctricamente,
la barra se representa como se aprecia en (c), a base de ramas en paralelo con mayor inductancia conforme
más lejos del estator se encuentren.
Si el deslizamiento es bajo, la frecuencia del rotor es muy pequeña y las reactancias de todas las ramas
en paralelo son pequeñas comparadas con las resistencias, por lo que la corriente fluye prácticamente por
igual a través de toda la sección de la barra.
Los diseños de los rotores de jaula clases A, B, C y D están normalizados por la NEMA (National Electrical
Manufacturers Association) en EE. UU. y la IEC (International Electrotechnical Comission) en Europa.
2
106
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Ahora bien, si el deslizamiento es alto (como ocurre en las condiciones de arranque), las reactancias son
grandes en comparación con las resistencias, por lo que la mayor parte de la corriente se ve obligada a fluir
por las partes de la barra con menos impedancia –las más cercanas al estator–, provocando que la sección
efectiva del rotor sea menor que con deslizamientos bajos y, como consecuencia, que la resistencia sea más
alta que antes. Es decir, la resistencia crece con el deslizamiento, aumentando el par de arranque y
disminuyendo la corriente que se consume durante el arranque.
El diseño de doble jaula, clase C, figura 22, conjuga la barra profunda de baja resistencia con la barra de
alta resistencia situada cerca de la superficie del rotor. Su funcionamiento es similar al B, pero con una
diferencia de prestaciones más marcada entre deslizamientos altos y bajos.
Los rotores de doble jaula son más caros que los otros rotores de jaula, pero más económicos que los
bobinados a los que se equiparan en prestaciones, con costes de mantenimiento y reparación muy
inferiores debido a la ausencia de escobillas y anillos.
En la figura 24 se muestran las curvas par-velocidad típicas de los cuatro diseños. A continuación se
presentan los datos más relevantes de cada clase.
Diseño clase A
•
•
•
•
Bajo par de arranque.
El par a plena carga se consigue con deslizamientos menores del 5 %.
El par máximo es dos a tres veces el par a plena carga y se presenta con
deslizamientos inferiores al 20 %.
La corriente de arranque es muy elevada, de cinco a ocho veces la nominal. Para
107
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
•
•
potencias superiores a 5.5 kW se emplean sistemas de arranque que limitan la corriente.
Rendimiento alto.
Se usa en bombas, ventiladores, máquinas herramientas.
Diseño clase B
•
•
•
•
•
•
Bajo par de arranque, similar a la clase A.
El par a plena carga se consigue con deslizamientos menores del 5 %.
El par máximo es unas dos veces el par a plena carga o algo superior, pero menor
que el de la clase A.
La corriente de arranque es un 25 % menor que en la clase A.
Rendimiento alto.
Se emplea en aplicaciones similares a los de la clase A, a los que están reemplazando.
Diseño clase C
•
•
•
•
•
•
Alto par de arranque, unas dos veces el par a plena carga.
El par a plena carga se consigue con deslizamientos menores del 5 %.
El par máximo es ligeramente menor que el de la clase A.
La corriente de arranque es mucho más baja que en la clase B.
Rendimiento alto.
Se emplea en aplicaciones que requieren un par de arranque alto como en
bombas, compresores, bandas transportadoras, etc.
Diseño clase D
•
•
•
•
•
Par de arranque muy alto, unas tres veces el par a plena carga o más.
El par a plena carga se consigue con deslizamientos altos, del 7 al 17%.
La corriente de arranque es más baja que en la clase C.
Rendimiento bajo.
Se emplea para acelerar grandes volantes de inercia, hasta alcanzar de forma
gradual su máxima velocidad, como en las máquinas de troquelado y las cortadoras.
8. ARRANQUE DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
La puesta en marcha de un motor de inducción se produce al alimentar los devanados del estator con la
tensión adecuada. Estos motores no presentan los problemas de arranque que sufren los síncronos, pues,
como acabamos de ver, todos tienen par de arranque, pero en el instante del arranque la corriente que
consumen es de orden de cuatro a siete veces la nominal y, si bien sus devanados están diseñados para
soportar unas corrientes tan elevadas, podría ocurrir que, según la potencia de los motores, estos
consumos sobrecargasen las líneas de la red de alimentación poniendo en peligro el aislamiento de la
misma o perjudicando a otras cargas conectadas.
Analizaremos someramente los métodos de arranque, primero de los motores con el rotor bobinado y
después con el rotor de jaula.
8.1. Arranque de los motores de rotor bobinado
En los rotores bobinados se puede reducir la corriente de arranque introduciendo una resistencia
adicional en cada una de las fases del rotor, con la virtud de que, al mismo tiempo, se consigue desplazar el
par máximo a valores de mayor deslizamiento, como se aprecia en la figura 20. La operación se realiza
108
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
empleando un reóstato trifásico accionado, manual o automáticamente, mediante contactos y relés de
tiempo que van eliminando secuencialmente las resistencias adicionales.
8.2. Arranque de los motores de rotor de jaula
En los rotores de jaula se emplean tres métodos: a) el arranque directo, b) el arranque mediante
autotransformador, y c) el de conmutación estrella-triángulo.
a)
Arranque directo
El arranque directo consiste en alimentar el motor directamente de la red, sin ningún tipo de protección
frente a la sobrecarga por consumo de corriente. Este método sólo se puede emplear en motores
pequeños, de una potencia inferior a 5 kW, para no sobrepasar los valores máximos de corriente
permitidos por los reglamentos.
Las instalaciones de gran potencia suelen estar alimentadas con alta tensión que reducen mediante
transformadores. En este caso, la legislación permite arranques directos de motores de hasta 100 CV (73.55
kW).
b)
Arranque mediante autotransformador
Consiste en intercalar un autotransformador trifásico
entre la red de alimentación y el motor, para reducir el
voltaje aplicado al estator durante el arranque, teniendo
muy presente que, según las expresiones (5) y (10), el
par de arranque disminuye con el cuadrado de dicha
tensión de alimentación.
En la figura 25 se muestra un esquema. A través de
un conmutador, situado inicialmente en la posición 1, se
alimenta el autotransformador con una fracción de la
tensión de la red. Cuando el motor alcanza una
determinada velocidad se sitúa el conmutador en la
posición 2, lo que eleva la tensión provocando un nuevo
aumento de las revoluciones. Por fin, alcanzada la velocidad nominal, el conmutador se coloca en la
posición 3, de manera que la totalidad del voltaje de la red se aplica directamente al estator.
c)
Arranque por conmutación estrella-triángulo
Este método, probablemente el más utilizado, consiste en emplear un conmutador, manual o
automático, que durante el arranque conecta en estrella los devanados del estator, cambiando a la
configuración de triángulo cuando el motor ha alcanzado cierta velocidad. Para poder usarlo, el motor debe
estar calculado para ofrecer sus prestaciones nominales con la conexión en triángulo, pues, si estuviese
diseñado para hacerlo en estrella, las bobinas soportarían una tensión √3 veces superior a la nominal.
109
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
De nuevo, como sucede en el arranque con autotransformador, según las expresiones (5) y (10) hay que
tener en cuenta que al reducir el voltaje en la proporción 1⁄√3 ≅ 0.577 (casi al 60% del nominal), el par de
arranque disminuye a un tercio de su valor (fig. 27).
9. REGULACIÓN DE LA VELOCIDAD DE LOS MOTORES DE INDUCCIÓN TRIFÁSICOS
El motor de inducción tiene una curva par-revoluciones que es prácticamente vertical en la zona de
trabajo estable, lo que en la práctica se traduce en que su velocidad es casi constante, muy próxima a la de
sincronismo. Esta propiedad lo hace idóneo para emplearlo en condiciones en las que las revoluciones no
deban variar. No obstante, en algunas aplicaciones es posible regular su velocidad dentro de unos
márgenes.
En la figura 28 se presentan las curvas de par de las cargas más habituales movidas por los motores de
inducción.
110
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la expresión
60 𝑓𝑆
𝑃
se aprecia que la velocidad del rotor 𝑁𝑅 es una función del deslizamiento 𝑠, la frecuencia de sincronismo 𝑓𝑆
y el número de pares de polos 𝑃. Como el deslizamiento depende de la carga conectada al motor, no es una
magnitud que se pueda considerar a la hora de regular la velocidad.
𝑁𝑅 = (1 − 𝑠)𝑁𝑆 = (1 − 𝑠)
9.1. Regulación de la velocidad variando la frecuencia
El sistema más efectivo de regular la velocidad es variar la frecuencia lo que, en definitiva, consiste en
modificar tanto la velocidad de sincronismo como la curva de respuesta del motor, como se aprecia en la
figura 29 en la que también está representado el par de la carga. Pero, de la expresión 𝑉 = 𝑁𝑆 𝛷𝑚𝑚𝑚 𝜔
se deduce que
𝑉
𝛷𝑚𝑚𝑚 =
2𝜋𝑓𝑆 𝑁𝑆
por tanto, una variación de 𝑓𝑆 manteniendo constante la tensión, se manifiesta en que el flujo máximo
también se modifica. Puesto que el motor está diseñado para dar sus prestaciones nominales a un valor
determinado del flujo magnético, cuando se cambie la frecuencia también hay que actuar, en la misma
proporción, sobre la tensión para mantener 𝛷𝑚𝑚𝑚 constante; es decir, la alimentación del motor debe
realizarse a través de un convertidor que modifique la frecuencia y la tensión (fig. 30). Con este sistema se
consigue una regulación continua y de gran estabilidad en una amplia gama de velocidades (entre la
nominal y el 30% de la misma), pero el coste del convertidor es elevado y se incrementa con la potencia del
motor que debe controlar.
111
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
9.2. Regulación de la velocidad variando la tensión de alimentación
En algunos diseños se puede optar por regular la velocidad mediante una ligera modificación de la
tensión de alimentación; pero, en general este procedimiento no suele ser aconsejable porque, como
sabemos, según (5) y (7), el par desarrollado es proporcional al cuadrado del voltaje aplicado. Además (fig.
31), la variación que se consigue es relativamente pequeña y puede presentar problemas de inestabilidad si
se trabaja en las cercanías del punto 1 de la figura.
9.3. Regulación de la velocidad variando el número de pares de polos
Con este método no se obtiene una variación continua, sino sólo determinadas velocidades
escalonadas: las correspondientes a un par de polos, dos, tres, etc., de manera que el motor girará a unas
revoluciones 𝑁𝑅 , 2𝑁𝑅 , 3𝑁𝑅 , etc. Para ello es necesario que el rotor sea de jaula, ya que en este tipo de rotor
se genera por inducción el mismo número de polos que en el estator.
La modificación del número de pares de polos se consigue cambiando la forma de conectar los
devanados del estator. Por ejemplo, en la figura 32 se presenta la conexión Dahlander, por fase, que
permite conmutar de dos a cuatro polos de una manera fácil y económica.
112
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En los motores trifásicos la conmutación se realiza tal como se muestra en la figura 33. El cambio de
estrella a doble estrella se emplea con cargas que trabajan a par constante (ver fig. 28) pues, suponiendo
que el motor funcione en ambos casos con la misma corriente 𝐼 y el mismo factor de potencia, para la
estrella se cumple que
𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = √3𝑉 · 𝐼 · cos 𝜑
mientras que en la doble estrella es
𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = √3𝑉 · 2𝐼 · cos 𝜑
por tanto
𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 2 · 𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
Como en la doble estrella la velocidad también se duplica, el par se mantiene constante.
La conmutación de triángulo a doble estrella se utiliza cuando se pretende conservar la potencia. En
efecto:
𝑃𝑡𝑡𝑡á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 3𝑉 · 𝐼 · cos 𝜑
Comparando esta potencia con la de la doble estrella, resulta
2
𝑃𝑡𝑡𝑡á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 1.155 · 𝑃𝑡𝑡𝑡á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 =
√3
o sea, prácticamente la misma.
9.4. Regulación de la velocidad variando la resistencia del rotor
En los motores de inducción con el rotor bobinado se puede regular la velocidad variando la resistencia
conectada al rotor, mediante un reóstato trifásico como el de la figura 34, similar al empleado para el
arranque, pero diseñado para trabajar de manera continua. En la figura 35 se aprecia el efecto conseguido.
Este procedimiento, no obstante, provoca pérdidas muy importantes por efecto Joule que reducen
considerablemente el rendimiento de los motores.
113
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
10. MOTORES DE INDUCCIÓN MONOFÁSICOS
No siempre es posible disponer de corriente trifásica. Por ejemplo, las viviendas normalmente están
alimentadas con corriente alterna monofásica (a través de una fase y el neutro) ya que los
electrodomésticos necesitan potencias muy inferiores a las de las grandes instalaciones industriales. Es en
estos casos, en aplicaciones de pequeña potencia, donde se emplean motores de inducción monofásicos,
todos ellos con el rotor de jaula, dada su sencillez, bajo precio y robustez.
10.1. Motor de inducción monofásico con rotor de jaula
El funcionamiento del motor de inducción monofásico con el rotor de jaula es análogo al trifásico, pero
con el inconveniente de que el bobinado monofásico del estator, sometido a una tensión alterna sinusoidal,
114
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
genera un campo magnético que no es giratorio, sino fijo, y que cambia de polaridad con cada semiperiodo.
En estas condiciones, el motor no es capaz de arrancar por sí mismo, pues las variaciones del flujo generan
pares de fuerzas que cambian de sentido con cada semiciclo de la corriente que alimenta al estator. Ahora
bien, basta provocar un giro inicial del rotor para que se induzca en él una corriente debida al campo
magnético del estator; esta corriente crea en el rotor un campo magnético desfasado respecto al del
estator que genera un par de fuerzas que hace girar al rotor en el mismo sentido en el que se ha impulsado
inicialmente, hasta alcanzar la velocidad nominal. En lo que sigue veremos cómo provocar este giro inicial.
10.2. Motor de inducción monofásico de fase partida sin condensador de arranque
Una forma de conseguir que un motor de inducción monofásico arranque es insertar en las ranuras del
estator un bobinado auxiliar que ocupa la tercera parte de dichas ranuras. El cable de esta bobina auxiliar
es de menor sección que el del devanado principal, por lo tanto tiene más resistencia óhmica. En estas
condiciones se produce un ángulo de desfase entre la corriente absorbida por el devanado principal y el
auxiliar que genera un campo magnético giratorio suficiente para iniciar el giro del rotor. Como dicho
desfase es muy pequeño, el par de arranque también lo es, de ahí que estos motores se usen en
ventiladores, bombas centrífugas, etc.
Dada la alta resistencia que posee el bobinado auxiliar, es conveniente desconectarlo automáticamente
cuando el rotor alcanza alrededor del 75% de su velocidad nominal. Para ello se suelen emplear
interruptores centrífugos.
Es interesante destacar que el motor gira al revés si se invierten las conexiones del devanado auxiliar.
10.3. Motor de inducción monofásico de fase partida con condensador de arranque
Para aumentar el par de arranque de los motores de fase partida, se añade un condensador en serie con
el bobinado auxiliar, de tal forma que el ángulo de desfase se acerque a 90º. De esta manera es posible
aumentar la sección de los conductores del devanado auxiliar.
El par de arranque aumenta con la capacidad del condensador, pero una capacidad excesiva reduce la
impedancia total del devanado auxiliar, provocando un aumento de la corriente que circula por él. Esta
corriente podría deteriorarlo. En este caso, cuando el motor alcanza ciertas revoluciones se desconecta
automáticamente el conjunto formado por el condensador y el devanado auxiliar.
Los motores con condensador poseen un buen factor de potencia y un rendimiento aceptable (aunque
inferior a sus equivalentes trifásicos) y se emplean en electrodomésticos, máquinas herramientas, bombas,
etc.
10.4. Motor de inducción monofásico con espira en cortocircuito
Cuando la potencia que se requiere es inferior a unos 200 vatios,
se puede emplear un motor con espira en cortocircuito (también
llamado motor con espira de sombra o de polos sombreados), cuya
construcción es muy sencilla (fig.36).
En este motor el estator es de polos salientes, y en la parte
extrema de cada polo se coloca una espira o anillo de cobre en
cortocircuito. El devanado principal produce un campo magnético que
atraviesa el rotor y los dos anillos de manera que en estos anillos se
induce un pequeño flujo magnético retrasado respecto al principal, lo
suficiente como para provocar un ligero par de arranque.
El sentido de giro depende de la disposición relativa de los anillos y
los polos principales.
Aunque el par de arranque, el rendimiento y el factor de potencia de este motor no son muy buenos, su
gran sencillez le confiere muchas aplicaciones.
115
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 6
MÁQUINAS DE CORRIENTE CONTINUA
1. INTRODUCCIÓN
2. GENERADORES DE CC
2.1. Rectificación de la corriente mediante el colector de delgas
2.2. Circuito magnético de un generador de CC. Tensión generada en el inducido
2.3. Reacción del inducido. Polos de conmutación. Devanado de compensación
3. TIPOS DE GENERADORES DE CC
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Generador de CC con excitación independiente
Generador de CC con excitación en paralelo
Generador de CC con excitación en serie
Generador de CC con excitación mixta
4. REGULACIÓN DE LA TENSIÓN EN LOS GENERADORES DE CC
5. RENDIMIENTO DE UN GENERADOR DE CC
6. BALANCE DE POTENCIAS DE UN GENERADOR DE CC
7. MOTORES DE CC
8. BALANCE DE POTENCIAS DE UN MOTOR DE CC
9. TIPOS DE LOS MOTORES DE CC
9.1. Motores de CC con excitación independiente y en paralelo
e) Regulación de la velocidad actuando sobre la tensión del inducido
f) Regulación de la velocidad variando la resistencia en serie con el inducido
g) Regulación de la velocidad variando la resistencia en serie con el circuito de excitación
h) Sistema de regulación Ward-Leonard
9.2. Motor de CC con excitación en serie
9.3. Motor de CC con excitación mixta
116
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1. INTRODUCCIÓN
Una de las ventajas que presenta la corriente continua –también llamada corriente directa, en inglés
direct current (DC)– es que puede ser almacenada fácilmente. Su utilidad industrial se basa en esta
característica y en otras peculiares que permiten emplearla en procesos electrolíticos, elementos de
tracción eléctrica, etc. Las máquinas de corriente continua (CC, en lo sucesivo) pueden ser generadores
(también se llaman dinamos) que convierten energía mecánica en eléctrica de CC, o motores que realizan el
proceso inverso. La mayoría son semejantes en su diseño a las de corriente alterna (fig. 1), salvo en su
circuito exterior –el colector– donde la corriente alterna del inducido se transforma en continua. Por este
motivo se conocen también como máquinas con colector.
Como se aprecia en las fig. 1 y 2, sus partes básicas son el estator o inductor, el rotor o inducido, el
colector, las escobillas y los polos de conmutación. El colector es un conjunto de láminas conductoras
denominadas delgas, aisladas entre sí, que forman un cuerpo cilíndrico. El rotor y el colector giran
conjuntamente. Las escobillas rozan sobre las delgas, y debido a esta fricción es necesario reemplazarlas
periódicamente. Los polos de conmutación son polos auxiliares empleados para mejorar la conmutación
entre delgas; sólo se utilizan en las máquinas de mediana y gran potencia.
2. GENERADORES DE CC
Como sabemos, cuando una máquina motriz provoca el giro de una espira en el seno de un campo
magnético (fig. 3), en los conductores a y b del inducido se genera una tensión cuyo valor y sentido varían
en cada instante según la posición de dicha espira respecto al campo.
117
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.1. Rectificación de la corriente mediante el colector de delgas
Si en vez de extraer corriente alterna del inducido (fig. 3) conectando la espira a dos «anillos»
metálicos, deseamos rectificar dicha corriente, basta sustituir estos anillos por dos «semianillos» aislados
entre sí (fig. 4) que giran con la espira.
En la posición de la fig. 5, la delga o semianillo 1 está en contacto con la escobilla A y el conductor a, y
la delga 2 con B y b, y la corriente circula en el sentido indicado por las fechas. Al girar la espira hasta la
posición de la fig. 6, la delga 1 está ahora en contacto con el conductor b y la 2 con el a, provocando que la
corriente en las escobillas A y B circule en el mismo sentido que en la fig. 5.
En resumen, la corriente que fluye por la espira es alterna, pero en el colector de delgas es ya continua.
Con una sola espira y dos delgas se consigue una CC como la de la fig. 7(a) que tiene un rizado excesivo.
Basta colocar una segunda espira calada 90º con respecto a la primera, conectada a dos nuevas delgas,
para conseguir una CC como la de la fig. 7(b). Y así sucesivamente, como se aprecia en la fig. 7(c) con cuatro
espiras y ocho delgas, de manera que cuantas más espiras y delgas existan menos rizada será la CC.
118
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
2.2. Circuito magnético de un generador de CC. Tensión generada en el inducido
En la fig. 8 se representan las líneas del campo magnético que, como sabemos, transcurren por un
pequeño espacio no ferromagnético, el entrehierro, donde sufren una distorsión que hay que minimizar.
Para calcular la fuerza electromotriz inducida en una máquina de CC (generador o motor) hay que tener
en cuenta que en cada espira se obtiene una f.e.m. alterna (ver epígrafe 4.7. del capítulo 1), de tal manera
que el flujo magnético varía entre los límites −𝛷𝑚𝑚𝑚 y 𝛷𝑚𝑚𝑚 en cada semiperiodo 𝑇/2. El valor medio de
dicha f.e.m. es:
2 𝛷𝑚𝑚𝑚
4𝛷𝑚𝑚𝑚
𝑉=− �
𝑑𝛷 =
𝑇 −𝛷𝑚𝑚𝑚
𝑇
Como la frecuencia 𝑓 = 1/𝑇 está relacionada con el número de pares de polos 𝑃 y las revoluciones por
minuto de la máquina 𝑁 (ver epígrafe 3.2. del capítulo 4):
𝑃𝑃
𝑓=
60
se deduce que
4𝑃
𝛷
𝑁
𝑉=
60 𝑚𝑚𝑚
y, teniendo en cuenta «todas» las bobinas, entonces la tensión del inducido es directamente proporcional a
𝛷𝑚𝑚𝑚 y a 𝑁:
𝑉 = 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁
donde 𝑘 es una constante que depende del diseño de la máquina de CC.
2.3. Reacción del inducido. Polos de conmutación. Devanado de compensación
Reacción del inducido
El fenómeno de la reacción del inducido en los generadores de CC es similar al que ocurre en los
generadores síncronos (ver punto 2.1. del capítulo 4). La reacción del inducido se produce al conectar una
carga al generador; en ese momento circula una corriente cuyo paso por los devanados del estator genera
su propio campo magnético que desvía las líneas de fuerza del campo original del rotor (fig. 8). Por otro
lado, esta corriente también autoinduce en el estator un voltaje que se opone a su paso. Esta desviación de
las líneas del campo provoca chispas en las escobillas durante la conmutación de una delga a otra. Existen
tres métodos para minimizarla: orientar el eje de las escobillas, instalar polos de conmutación y colocar un
devanado de compensación.
Orientación del eje las escobillas
Consiste en girar el eje de las escobillas en el sentido de giro del generador (fig. 9). El inconveniente es
que, como el valor de la reacción del inducido depende de la corriente que circula por él, la desviación del
eje de las escobillas sólo es la adecuada para una corriente determinada.
119
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Polos de conmutación
Los polos de conmutación se colocan en la carcasa del generador (ver fig. 1) para producir un campo
del mismo valor y sentido contrario al de la
reacción del inducido. Para ello, su
devanado se conecta en serie con el
inducido (fig. 10) de manera que estén
alimentados por la misma corriente.
Devanado de compensación
En los generadores de mediana y gran
potencia, además de los polos de
conmutación, se conecta en serie con el
inducido un devanado de compensación que se instala en unas ranuras
labradas en los polos principales, como
se aprecia en la fig. 11.
3. TIPOS DE GENERADORES DE CC
Existen cuatro clases de generadores de CC, según el tipo de
excitación a la que estén sometidos: el generador con excitación
independiente, en paralelo, en serie, y con excitación mixta.
3.1. Generador de CC con excitación independiente
La tensión en los bornes de este generador es prácticamente
independiente de su carga y de su velocidad, ya que se puede regular la
excitación del campo inductor mediante un reóstato. Esta regulación sólo está limitada por el nivel de
saturación de las bobinas del inductor.
En la fig. 12 se representa el esquema de conexiones y las curvas características en carga. Se aprecian
dos partes: el circuito principal y el de excitación.
120
Circuito principal
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
El circuito principal está formado por:
• Dos barras P y N, la P se conecta al borne positivo del generador y la N al negativo.
• Un interruptor bipolar que une los bornes del generador con las barras.
• Dos fusibles generales, instalados entre las barras y el interruptor.
• Para intensidades elevadas conviene reemplazar el interruptor bipolar y los fusibles generales por
un interruptor automático de máxima intensidad que reduzca el tiempo sin servicio, ya que se
tarda menos en volver a cerrar dicho interruptor que en sustituir los fusibles fundidos.
• Un amperímetro.
• Un voltímetro, montado como se indica en la fig. 12, es decir, en los bornes del interruptor
correspondientes al circuito del generador; de esta forma se puede medir la tensión, aunque el
interruptor esté abierto. En el circuito del voltímetro conviene instalar fusibles para evitar el efecto
de un eventual cortocircuito entre los hilos del aparato de medida.
Circuito de excitación
El circuito de excitación está formado por:
• Un reóstato de campo provisto de un contacto q que permite cerrar en cortocircuito el circuito de
excitación. En el circuito de excitación no deben instalarse fusibles porque si se fundieran se
produciría una corriente muy elevada que pondría en peligro la instalación.
• Un amperímetro para medir la corriente de excitación.
Para la puesta en marcha hay que excitar el generador; para ello se intercala toda la resistencia del
reóstato de campo, pero sin llegar a provocar el cortocircuito con q; después se aumenta de forma gradual
la velocidad de la máquina motriz hasta conseguir las revoluciones de régimen a las que está ajustado su
regulador mecánico. A medida que crece la velocidad, aumenta la tensión hasta que alcanza el valor
nominal. En estas condiciones ya se puede conectar el generador al circuito exterior.
Hay que distinguir dos casos: a) que las barras estén sin tensión (por ejemplo, si el generador trabaja
independientemente), y b) que estén bajo tensión (por ejemplo, si hay baterías de acumuladores en el
circuito exterior).
a) Cuando las barras están sin tensión, se acopla el generador cerrando el interruptor bipolar;
después se van conectando las cargas de una manera gradual, maniobrando al mismo tiempo el
reóstato de campo para aumentar la corriente de excitación y mantener constante la tensión en los
bornes del generador.
b) Si las barras ya estaban soportando tensión antes de acoplar el generador, el interruptor bipolar se
debe cerrar cuando se consiga un voltaje en bornes del generador igual al de las barras.
Durante el funcionamiento hay que tener en cuenta que cualquier cambio en la carga produce una
variación de la tensión que es necesario regular actuando sobre el reóstato de campo. Si con dicho reóstato
se aumenta la resistencia, entonces disminuye la corriente de excitación provocando una menor tensión en
los bornes del generador y una reducción de la corriente principal. Reduciendo la resistencia se consiguen
los efectos contrarios.
La parada se efectúa teniendo presentes las mismas precauciones que durante la puesta en marcha. Es
muy peligroso abrir el interruptor bipolar con el generador en carga debido a la elevada extracorriente de
ruptura que se produciría, lo que ocasionaría chispas en el interruptor y en el colector del generador y una
brusca variación de los esfuerzos mecánicos. Por lo tanto es esencial ir disminuyendo gradualmente la
carga intercalando lentamente resistencia con el reóstato de campo. Cuando la lectura del amperímetro
indique que la corriente se aproxima a cero, se puede abrir el interruptor bipolar. Ahora la máquina está
descargada pero sigue excitada, es decir, todavía hay tensión entre sus bornes. Para dejar de excitarla se
cortocircuita el reóstato a través del contacto q.
Este generador se suele emplear como amplificador-multiplicador y como tacómetro.
121
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
3.2. Generador de CC con excitación en paralelo
El generador con excitación en paralelo (o shunt) suministra energía eléctrica a una tensión
aproximadamente constante, cualquiera que sea la carga.
Cuando el circuito exterior está abierto la máquina tiene la máxima excitación porque toda la corriente
producida se destina a alimentar dicha excitación (ver fig. 13); por lo tanto, la tensión en bornes es máxima;
pero, si el circuito exterior estuviera cortocircuitado, casi toda la corriente pasaría por el circuito del
inducido, la excitación sería mínima y la tensión disminuiría rápidamente; es decir, un cortocircuito en la
línea no compromete la integridad de la máquina pues no produce corriente porque deja de excitarse
automáticamente.
Respecto al generador con excitación independiente, el de excitación en paralelo presenta el
inconveniente de no excitarse si no está en movimiento. El amperímetro del circuito de excitación podría
suprimirse aunque se emplea para comprobar si, por alguna avería, se absorbe una corriente de excitación
anormal. Cuando hay tensión en P y N a veces se prefiere alimentar la excitación con estas barras en vez
hacerlo desde las escobillas; es decir, la máquina se comporta como un generador con excitación
independiente; y, si no hay tensión en P y N, como un generador con excitación en paralelo.
Para la puesta en marcha hay que comprobar que el interruptor bipolar está abierto y que está
intercalada toda la resistencia del reóstato. En estas condiciones se arranca la máquina motriz
incrementando paulatinamente su velocidad hasta que alcanza el valor nominal. Al mismo tiempo aumenta
la corriente de excitación y, por lo tanto, la tensión en los bornes del generador.
Si en la red no hay baterías de acumuladores el generador se acopla a la red a una tensión algo inferior
a la nominal. Para conseguir esta tensión se maniobra el reóstato paulatinamente, quitando resistencias.
Pero, si en la red hubiese baterías, se cerrará el interruptor bipolar solo cuando la tensión en los bornes sea
igual a la de la red. Para evitar que las baterías se descarguen sobre el generador se instala un interruptor
de mínima tensión tal como se indica en la fig. 13. No es conveniente acoplar el generador a la red antes de
excitarlo o a una tensión muy baja porque si la resistencia de la red fuese muy pequeña la corriente de
excitación sería insuficiente para excitarlo.
Para detenerlo se descarga previamente disminuyendo la excitación por medio del reóstato y teniendo
cuidado de mantener la tensión nominal para que las baterías de la red no se descarguen sobre el
generador. Si no hay baterías acopladas se disminuyen las revoluciones y, en cuanto el amperímetro
indique una intensidad nula o casi nula, se abre el interruptor bipolar y se detiene la máquina motriz.
Debido a la inercia el generador seguirá girando durante un tiempo y dejará de excitarse gradualmente. Si
hubiera que eliminar la excitación rápidamente, se abriría el circuito de excitación y se frenaría el volante
de inercia de la máquina motriz.
122
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Este generador no está expuesto al peligro de que se invierta la polaridad de su circuito de excitación si
está acoplado a un banco de baterías B como se aprecia en la fig. 14. En efecto,
cuando el generador está cargando las baterías B, la corriente tiene el sentido
de la flecha de línea continua; pero, si por cualquier causa (por ejemplo, una
disminución de las revoluciones), la tensión del generador es inferior a la de B,
la corriente suministrada por B atraviesa la máquina en sentido opuesto (flecha
de línea discontinua), pero en el circuito de excitación circula en el mismo
sentido que antes, aunque la máquina opere ahora como motor, girando en el
mismo sentido que tenía cuando funcionaba como generador. De lo dicho se
deduce también que este generador puede acoplarse en paralelo con otros sin
provocar peligros para la instalación.
En la curva característica de estos generadores (fig. 13) se observa que la
tensión se reduce más drásticamente con los aumentos de carga que en el de excitación independiente,
debido a la caída de tensión en el inducido que provoca una reducción de la corriente de excitación. Por eso
se usan en instalaciones donde no se esperan cambios frecuentes y considerables de la carga (grúas de
gran potencia, laminadoras, etc.) o bien si hay elementos compensadores acoplados a la red, como
generadores auxiliares, baterías, etc. También pueden emplearse en pequeñas instalaciones que precisen
tensión constante; sin embargo, hay que tener en cuenta que su autorregulación no es perfecta por lo que,
en instalaciones de mayor entidad, que precisen una tensión muy estable, deben sustituirse por
generadores con excitación mixta.
3.3. Generador de CC con excitación en serie
En el generador con excitación en serie los devanados de excitación y del inducido se conectan en serie
(fig. 15) y, por lo tanto, la corriente que circula por el inducido es la misma que la que atraviesa la
excitación. El devanado de excitación está constituido por pocas espiras de un hilo conductor de gran
sección pues la tensión para producir el campo principal se consigue con grandes corrientes.
El inconveniente de este tipo de generador es que no se excita cuando trabaja en vacío (al ser la
corriente nula). En su curva característica se aprecia una zona de funcionamiento inestable entre A y M. La
zona estable es la comprendida entre B y C donde la corriente de carga es prácticamente constante,
independientemente del valor de la impedancia de la carga. Se puede considerar entonces que este
generador es una fuente de intensidad constante.
Se emplea en aquellas instalaciones que necesitan una corriente constante, como sucede en los
equipos de soldadura.
123
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
3.4. Generador de CC con excitación mixta
En el generador con excitación mixta (o compound) las espiras de la excitación que están en serie con
el inducido (fig. 16) producen mayor flujo cuanto mayor sea la corriente de excitación, o sea, cuando
aumente la carga, y por tanto la tensión, de forma análoga a como sucede en el generador con excitación
en serie. Por otro lado, las espiras del devanado de excitación en paralelo contribuyen a proporcionar una
tensión decreciente con la carga, como corresponde a la característica de un generador con excitación en
paralelo. Como se aprecia en las curvas características, según se hayan diseñado los devanados serie y
paralelo, se conseguirá una tensión que aumente con la carga (excitación acumulativa) o que disminuya
(excitación sustractiva). En el caso de que los flujos de ambos devanados sean iguales, se obtiene una
tensión prácticamente constante (excitación equilibrada).
Este generador tiene la ventaja, respecto al de excitación en paralelo, que puede excitarse aunque no
esté acoplado al circuito exterior. Sin embargo, no puede utilizarse para
cargar baterías. En la fig. 17 se observa que si la tensión de las baterías es
mayor que la tensión en bornes del generador, la corriente tiene el sentido
indicado por la flecha de puntos y circula en sentido contrario por la
excitación en serie.
Además, este generador, igual que el de excitación independiente, no
debe funcionar en cortocircuito porque la acción del arrollamiento serie
puede llegar a ser superior a la del arrollamiento en paralelo y, como
consecuencia, la corriente del inducido puede alcanzar un valor dos a tres
veces mayor del nominal, con el consiguiente peligro para los devanados.
Se utilizan en aviones que tienen un generador para cada motor y en
grandes instalaciones que precisen una tensión muy estable.
4. REGULACIÓN DE LA TENSIÓN EN LOS GENERADORES DE CC
Los generadores con excitación en paralelo o mixta son los que se suelen emplear como fuentes de
tensión constante. En la fig. 18 se presenta el esquema del sistema de regulación de tensión donde se
aprecia que la tensión en bornes 𝑉𝑡 de un generador en paralelo es:
𝑉𝑡 = 𝑉 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖 = 𝑉 = 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖
donde 𝑅𝑖 es la resistencia óhmica del inducido.
124
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
La tensión 𝑉𝑡 varía porque se modifica la carga y por tanto 𝐼𝑖 , o porque las revoluciones 𝑁 no son
constantes, o por ambos fenómenos a la vez. Por tanto, para mantener 𝑉𝑡 dentro de un margen es
necesario actuar sobre 𝛷𝑚𝑚𝑚 : aumentando el flujo se compensan las caídas de tensión, y lo contrario
disminuyéndolo. Esta variación del flujo se consigue haciendo pasar más o menos corriente 𝐼𝑒 por el
devanado de excitación. Una forma es, como ya hemos dicho, intercalando una resistencia variable (o
reóstato de campo) 𝑅𝑥 en la rama de dicho devanado (fig. 18). Cuanto mayor sea 𝑅𝑥 más pequeña será 𝐼𝑒 ,
y viceversa.
Un sistema muy robusto y eficiente es el de la fig. 19 donde la corriente de excitación se controla con
un transistor de potencia que sustituye al reóstato y que permite una regulación del orden del ± 1% de la
tensión nominal.
5. RENDIMIENTO DE UN GENERADOR DE CC
El rendimiento de una máquina de CC es:
𝜂=
también es:
o
𝜂=
𝜂=
Potencia útil
Potencia absorbida
Potencia útil
Potencia útil + Pérdidas
Potencia absorbida − Pérdidas
Potencia absorbida
(1)
(2)
(3)
Si se conocen las pérdidas se puede obtener el rendimiento correspondiente a cualquier potencia útil.
La expresión (1) se emplea en los generadores (potencia útil eléctrica) y la (3) en los motores (potencia
absorbida eléctrica). En un generador se mide la potencia útil con vatímetros, pero para la potencia motriz
se necesita un dinamómetro que no suele estar instalado. En los motores se determina fácilmente la
potencia absorbida, pero para la útil se necesita un dinamómetro.
Otro aspecto que hay que tener en cuenta al emplear (1) es que un error en la medida de la potencia
útil o en la de la absorbida se manifiesta en un error de la misma cuantía en el valor del rendimiento. Como
la precisión de los aparatos eléctricos de medida es elevada y la diferencia entre la potencia útil y la
absorbida es a menudo pequeña, la expresión (1) puede no ser muy precisa.
125
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Por otro lado, como las pérdidas no suelen ser importantes comparadas con la potencia útil o la
absorbida (excepto para cargas pequeñas), cualquier error en la evaluación de las pérdidas afecta poco a 𝜂,
de ahí que, en muchos casos, se prefieran las expresiones (2) y (3).
Las pérdidas se dividen en dos grandes grupos: las pérdidas en vacío y las pérdidas en carga.
• En las pérdidas en vacío 𝑷𝒐 están incluidas las debidas a la excitación y todas las que no dependen
de la carga ni de la corriente del inducido 𝐼𝑖 . Las pérdidas en la excitación son proporcionales al
cuadrado de la corriente de excitación 𝐼𝑒2 , pero muy pequeñas comparadas con las demás. Por lo
tanto, se puede decir que las pérdidas en vacío son prácticamente constantes.
• Las pérdidas en carga 𝑷 dependen, esencialmente, del cuadrado de la corriente del inducido: 𝐼𝑖2 . El
resto de las pérdidas en carga no se tienen en cuenta porque su valor es muy pequeño.
En la fig. 20 se representa una curva de rendimiento 𝜂 típica de un generador de CC. Se aprecia que
para una carga pequeña 𝜂 es muy bajo debido a la influencia de las pérdidas en vacío; pero, a medida que
aumenta la carga, crece hasta alcanzar un máximo situado generalmente en el entorno del 70% de la
corriente nominal del inducido 𝐼𝑛 . A partir de este punto vuelve a disminuir, pero con una pendiente menor
debido a que las pérdidas en carga aumentan con 𝐼𝑖2 .
6. BALANCE DE POTENCIAS DE UN GENERADOR DE CC
Para evaluar el proceso de transformación de la energía mecánica en eléctrica consideremos el
generador de la fig. 21, donde 𝑉𝑖 es la tensión del inducido (antes de las escobillas), 𝑉𝑒𝑒𝑒 es la caída de
tensión en las escobillas, 𝑅𝑖 es la resistencia del inducido y 𝑉𝑡 es la tensión con la que se alimenta a la carga.
Entonces:
𝑉𝑡 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑒𝑒𝑒 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖
y multiplicando por 𝐼𝑖 :
𝑉𝑡 𝐼𝑖 = 𝑉𝑖 𝐼𝑖 − 𝑉𝑒𝑒𝑒 𝐼𝑖 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖2
donde:
• 𝑉𝑡 𝐼𝑖 es la potencia eléctrica suministrada a la carga: 𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
• 𝑉𝑖 𝐼𝑖 es la potencia electromagnética desarrollada por el generador: 𝑷𝒂
• 𝑉𝑒𝑒𝑒 𝐼𝑖 es la potencia consumida en las escobillas: 𝑷𝒆𝒆𝒆
• 𝑅𝑖 𝐼𝑖2 es la pérdida por efecto Joule en los devanados del inducido: 𝑷𝑪𝑪𝒊
Si 𝑷𝒎 es la potencia mecánica sumnistrada por la máquina motriz, hay que tener presentes también:
• La potencia consumida en el rozamiento propio y con el aire: 𝑷𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏
• La pérdida debida a la distorsión del flujo magnético en el entrehierro: 𝑷𝑭𝑭
• La pérdida por efecto Joule en los devanados de excitación (salvo para los generadores con
excitación independiente, donde no debe tenerse en cuenta): 𝑷𝒆𝒆𝒆 = 𝑅𝑒 𝐼𝑒2
126
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
y
En la fig. 22 se presenta el balance de potencias, donde se aprecia que:
𝑷𝒂 = 𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝑷𝑪𝑪𝒊 + 𝑷𝒆𝒆𝒆
7. MOTORES DE CC
𝑷𝒎 = 𝑷𝒆𝒆𝒆 + 𝑷𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏 + 𝑷𝑭𝑭 + 𝑷𝒂
Un motor de CC transforma energía eléctrica en mecánica. Esencialmente es un generador trabajando
«al revés».
Consideremos un generador de CC con excitación en paralelo como el de la fig. 23. Del circuito se
desprende la siguiente relación:
𝑉 = 𝑉𝑡 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖
y, teniendo en cuenta la caída de tensión en las escobillas:
𝑉 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑒𝑒𝑒
127
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Si 𝑉 > 𝑉𝑡 la máquina trabaja como generador e 𝐼𝑖 circula en el sentido indicado en la fig. 23; pero, si se
disminuye 𝑉 (reduciendo la velocidad de rotación o la excitación del inductor), cuando sea 𝑉 < 𝑉𝑡 la
corriente 𝐼𝑖 cambiará de sentido y la máquina trabajará como motor, como se aprecia en la fig. 24.
Obsérvese que en ambos casos la corriente de excitación 𝐼𝑒 tiene el mismo sentido.
8. BALANCE DE POTENCIAS DE UN MOTOR DE CC
y
Considerando positivo el signo de la corriente absorbida de la red, entonces:
𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖
o sea
y multiplicando por 𝐼𝑖
𝑉 = 𝑉𝑖 + 𝑉𝑒𝑒𝑒
𝑉𝑡 = 𝑉𝑖 + 𝑉𝑒𝑒𝑒 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖
𝑉𝑡 𝐼𝑖 = 𝑉𝑖 𝐼𝑖 + 𝑉𝑒𝑒𝑒 𝐼𝑖 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖2
donde:
• 𝑉𝑡 𝐼𝑖 es la potencia eléctrica absorbida por el inducido del motor: 𝑷𝒂𝒂𝒂
• 𝑉𝑖 𝐼𝑖 es la potencia electromagnética desarrollada por el motor: 𝑷𝒂 . Al dividirla por la velocidad de
giro 𝜔 se obtiene el par inducido 𝝉𝒊𝒊𝒊 = 𝑃𝑎 /𝜔
• 𝑉𝑒𝑒𝑒 𝐼𝑖 es la potencia absorbida en las escobillas: 𝑷𝒆𝒆𝒆
• 𝑅𝑖 𝐼𝑖2 es la pérdida por efecto Joule en los devanados del inducido: 𝑷𝑪𝑪𝒊
Si 𝑷𝒎 es la potencia mecánica útil en el eje del motor, hay que tener presentes también:
• La potencia consumida en el rozamiento propio y con el aire: 𝑷𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏
• La pérdida debida a la distorsión del flujo magnético en el entrehierro: 𝑷𝑭𝑭
• La pérdida por efecto Joule en los devanados de excitación (salvo para los motores con excitación
independiente, donde no debe tenerse en cuenta): 𝑷𝒆𝒆𝒆 = 𝑅𝑒 𝐼𝑒2
En la fig. 25 se presenta el balance de potencias, donde se aprecia que:
𝑷𝒂𝒂𝒂 = 𝑷𝒆𝒆𝒆 + 𝑷𝒆𝒆𝒆 + 𝑷𝑪𝑪𝒊 + 𝑷𝒂
y
𝑷𝒎 = 𝑷𝒂 − 𝑷𝑭𝑭 − 𝑷𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏
9. TIPOS DE LOS MOTORES DE CC
Los motores de CC presentan una gran ventaja sobre los de corriente alterna: la posibilidad de
modificar fácilmente su velocidad. En efecto, sustituyendo 𝑉 = 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁 en 𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖 y despejando
𝑁:
𝑉𝑡 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖
𝑁=
𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚
En la expresión anterior se aprecia que es posible regular la velocidad controlando:
128
•
•
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
la tensión de alimentación 𝑉𝑡 . Al disminuirla se reduce 𝑁, y viceversa.
la resistencia del inducido 𝑅𝑖 conectando un reóstato variable 𝑅𝑠 en serie con este devanado. Al
aumentar 𝑅𝑠 disminuye 𝑁, y viceversa.
• el flujo 𝛷𝑚𝑚𝑚 generado por la corriente de excitación 𝐼𝑒 . Al disminuir 𝛷𝑚𝑚𝑚 aumenta 𝑁, y viceversa.
Por otro lado, el par inducido es:
𝑃𝑎
𝑉𝑖 𝐼𝑖
𝜏𝑖𝑖𝑖 = =
𝜔 2𝜋 𝑁
60
como 𝑉𝑖 = 𝑉 − 𝑉𝑒𝑒𝑒 y 𝑉 = 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁 , entonces 𝜏𝑖𝑖𝑖 es directamente proporcional a 𝛷𝑚𝑚𝑚 y a 𝐼𝑖 :
𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖
donde 𝑘′ es una constante que depende del diseño del motor.
Asimismo, para cambiar el sentido de rotación basta invertir la corriente en uno de los devanados ya
sea en el inducido o en el inductor.
Otro aspecto importante es el proceso de arranque. Como 𝐼𝑖 = (𝑉𝑡 − 𝑉)/𝑅𝑖 y al arrancar la velocidad
es nula (y, por tanto, 𝑉 = 0), entonces 𝐼𝑖 es muy elevada porque 𝑅𝑖 es pequeña. Para proteger al motor
contra esta corriente tan alta se utilizan reóstatos de arranque conectados en serie con el inducido.
Como sucede con los generadores, los motores de CC se clasifican también según el tipo de excitación
en motores con excitación independiente, en paralelo, en serie, y con excitación mixta.
9.1. Motores de CC con excitación independiente y en paralelo
Las conexiones para el arranque y la regulación de la velocidad de los motores con excitación
independiente y en paralelo son similares. En el caso de excitación independiente, fig. 26(a), el inductor y el
inducido se alimentan de fuentes distintas, mientras que en el motor en paralelo, fig. 26(b), se emplea la
misma fuente. Puesto que 𝑉𝑡 es prácticamente constante, ambos motores tiene un comportamiento
análogo, de ahí que podamos estudiarlos a la vez. Centraremos la explicación en el motor en paralelo, fig.
26(b), salvo en aquellos aspectos que presenten diferencias respecto al de excitación independiente.
Durante la puesta en marcha interesa que el flujo sea el máximo para conseguir el par de arranque
necesario, por tanto el reóstato 𝑅𝑥 tiene que estar situado en la posición de mínima resistencia para que la
corriente de excitación sea la mayor posible.
Con vistas a obtener las curvas características par-velocidad (𝜏𝑖𝑖𝑖 - 𝑁) supondremos inicialmente que
los motores trabajan en la zona lineal de la curva de magnetización. De 𝑉 = 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁, 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖 y
𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖 deducimos:
𝑉𝑡 − 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁
𝐼𝑖 =
𝑅𝑖
(1)
𝑅𝑖
𝑉𝑡
−
𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑁𝑜 + 𝑚 · 𝜏𝑖𝑖𝑖
𝑁=
2
𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑘𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚
(2)
129
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Si aumenta el par resistente que está soportando el motor, disminuye su velocidad 𝑁; como
consecuencia, en (1) crece 𝐼𝑖 y 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖 se eleva hasta igualarse con el par resistente ofrecido por la
carga. Según (2), la curva par-velocidad es la recta de la fig. 27(a), denominada característica natural,
2
donde 𝑁𝑜 = 𝑉𝑡 /𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 es la velocidad en vacío (para 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 0) y 𝑚 = −𝑅𝑖 /𝑘𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚
la pendiente.
Para pares resistentes elevados aumenta 𝐼𝑖 y se reduce el flujo a consecuencia de la reacción del
inducido, provocando que la curva característica se desvíe ligeramente de la línea recta; pero, dicha
distorsión es muy pequeña, lo que permite emplear este tipo de motores en aplicaciones que requieran
una velocidad casi constante: ventiladores, bombas centrífugas, máquinas herramientas, etc.
Se puede regular la velocidad actuando sobre la tensión aplicada al inducido, fig. 27 (b); variando 𝑅𝑠 ,
fig. 27 (c) y ajustando 𝑅𝑥 para modificar el flujo, fig.27 (d).
a) Regulación de la velocidad actuando sobre la tensión del inducido
Este sistema de control sólo se puede emplear en el motor con excitación independiente ya que es el
que tiene separados los circuitos de excitación y del inducido. Según (1), si decrece 𝑉𝑡 disminuye 𝐼𝑖 , por lo
que 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖 también se reduce y, al hacerse inferior al par resistente, cae 𝑁. Y viceversa, si
aumenta 𝑉𝑡 también lo hace 𝑁. En la fig. 27(b) se muestran las curvas obtenidas con este procedimiento. Se
observa que la velocidad en vacío 𝑁𝑜 va cambiando pues es directamente proporcional a 𝑉𝑡 , pero no se
modifican las pendientes 𝑚 (porque no se altera ni 𝛷𝑚𝑚𝑚 ni 𝑅𝑖 ); es decir, son rectas paralelas situadas por
debajo de la característica natural ya que 𝑉𝑡 se va disminuyendo por debajo de la tensión nominal (la
máxima prevista para no dañar los aislamientos).
b) Regulación de la velocidad variando la resistencia en serie con el inducido
Según (2), al introducir 𝑅𝑠 en serie con 𝑅𝑖 la pendiente 𝑚 se hace más negativa, como se aprecia en la
fig.27(c).
130
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Este sistema se puede emplear en motores con excitación independiente o en paralelo, pero es poco
rentable debido a las pérdidas por efecto Joule en 𝑅𝑠 , por lo que solo se utiliza en motores de poca
potencia.
Obsérvese que todas las rectas pasan por 𝑁𝑜 pues esta velocidad no depende de 𝑅𝑖 ni de 𝑅𝑠 .
c) Regulación de la velocidad variando la resistencia en serie con el circuito de excitación
En el motor con excitación independiente o en paralelo, al introducir 𝑅𝑥 en serie con el circuito de
excitación se produce una disminución tanto de 𝐼𝑒 como de 𝛷𝑚𝑚𝑚 . Como consecuencia, en (1) aumenta 𝐼𝑖 y
también 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖 ya que la disminución del flujo está compensada con creces por el aumento en 𝐼𝑖 .
Todos estos efectos se manifiestan en (2) provocando que aumente 𝑁. Obsérvese que al reducirse 𝛷𝑚𝑚𝑚 se
produce un crecimiento de 𝑁𝑜 y que la pendiente 𝑚 se hace más negativa. Todo ello se traduce en que, si
se desprecia la reacción del inducido, se obtiene un haz de rectas situadas por encima de la característica
natural, como se aprecia en la fig. 27(d).
Un motor de CC que funciona con sus valores de tensión, corriente de excitación y potencia nominales
se dice que gira a la velocidad base. Hay que tener en cuenta que
• La regulación de la velocidad controlando la tensión del inducido se emplea a velocidades inferiores
a la velocidad base, pero no es adecuada para velocidades superiores a ella, ya que requeriría una
tensión mayor que la nominal con el consiguiente riesgo para los devanados del inducido.
• La regulación de la velocidad controlando la corriente de excitación se emplea a velocidades
superiores a la velocidad base.
Cuando se requiere un motor de CC que tenga una regulación de velocidad amplia, el más adecuado es
el de excitación independiente, en el que se controla tanto la tensión del inducido como la corriente de
excitación de forma independiente.
d) Sistema de regulación Ward-Leonard
Existen varios sistemas de regulación, pero el más conocido es el Ward-Leonard (fig. 28). Está formado
por un motor de inducción trifásico 𝑀1 acoplado mecánicamente a un generador 𝐺 de CC con excitación
independiente cuyo reóstato 𝑅𝑔 permite obtener diferentes tensiones de salida. El generador 𝐺 alimenta al
inducido de un motor 𝑀2 de CC, también con excitación independiente. La tensión de los inductores de 𝐺 y
𝑀2 la proporciona un pequeño generador de CC en paralelo 𝐸, llamado excitatriz, acoplado al mismo eje
mecánico. Para cambiar el sentido de giro de 𝑀2 se emplea un conmutador que invierte la polaridad del
inductor de 𝐺.
131
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Durante la puesta en marcha se actúa sobre el reóstato del generador 𝑅𝑔 para reducir la tensión y
disminuir la corriente de arranque.
Para una determinada corriente 𝐼𝑖 suministrada por 𝐺 y absorbida por 𝑀2 , la variación de velocidad
desde cero hasta la velocidad base se efectúa a flujo constante con el valor nominal de la corriente de
excitación, aumentando progresivamente la tensión 𝑉 del generador hasta alcanzar la tensión nominal del
motor. En estas condiciones, el par desarrollado por el motor es:
𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖
Si se desprecia la caída de tensión en el circuito del inducido, la velocidad del motor es:
𝑉
𝑁=
𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚
En estas condiciones, la potencia electromagnética desarrollada por el motor es:
𝑉
2𝜋
2𝜋𝜋
𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚
𝑃𝑎 = 𝜏𝑖𝑖𝑖 𝜔 = 𝜏𝑖𝑖𝑖
= 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖
60
60
o sea
𝑃𝑎 = 𝐴 · 𝑉
en la que 𝐴 es una constante. Es decir, en esta etapa hasta alcanzar la velocidad base, la potencia aumenta
linealmente con la velocidad, que a su vez va elevándose conforme crece la tensión aplicada 𝑉. Este modo
de funcionamiento está representado en la parte izquierda de las curvas de la fig. 29.
A partir de la velocidad base 𝑁1 el control de la velocidad se realiza manteniendo constante la tensión
𝑉 (que en la etapa anterior había alcanzado el valor asignado) y reduciendo el flujo del motor. Como
𝑃𝑎 = 𝑉 · 𝐼𝑖 , en esta segunda etapa la potencia se mantiene constante. Al mismo tiempo el par 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑃𝑎 /𝜔
se irá reduciendo según la ecuación de una hipérbola a medida que aumenta la velocidad, como se aprecia
en la parte derecha de las curvas de la fig. 29.
En la actualidad existen grupos Ward-Leonard estáticos a base de convertidores electrónicos que
suministran una tensión variable para alimentar tanto el inductor como el inducido del motor 𝑀2 , que
sustituyen al sistema rotativo formado por 𝐺 y 𝑀1 , consiguiendo, de esta manera, mejorar el rendimiento y
reducir el nivel de ruido.
El sistema Ward-Leonard se emplea donde se necesita una regulación muy fina de la velocidad y una
aceleración muy suave (ascensores de velocidad media y elevada, grúas, trenes de laminación, máquinas de
arrastre de papel, etc.).
9.2. Motor de CC con excitación en serie
El esquema de conexiones de este motor es el de la fig. 30.
132
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Si no se satura el circuito magnético, el flujo es directamente proporcional a la corriente del inducido
𝛷𝑚𝑚𝑚 = 𝑘′′𝐼𝑖 . Como 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖 entonces 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘 ′ 𝑘 ′′ 𝐼𝑖2 ; es decir
𝜏𝑖𝑖𝑖
𝐼𝑖 = �
𝑘′𝑘′′
La curva característica de carga (par-velocidad) se deduce de las ecuaciones 𝑉 = 𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑁, 𝜏𝑖𝑖𝑖 =
𝑘′𝛷𝑚𝑚𝑚 𝐼𝑖 y 𝑉𝑡 = 𝑉 + 𝑅𝑖 𝐼𝑖 :
𝑉𝑡
𝑅𝑖
𝑉𝑡
𝑅𝑖
𝑉𝑡
𝑉𝑡 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖 𝑉𝑡 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖
=
=
−
=
−
=𝑎
−𝑏
𝑁=
𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚
𝑘𝑘′′𝐼𝑖
𝑘𝑘′′𝐼𝑖 𝑘𝑘′′
𝑘𝑘′′
𝜏
�𝜏𝑖𝑖𝑖
𝑘𝑘′′� 𝑖𝑖𝑖
𝑘′𝑘′′
con 𝑎 = 𝑉𝑡 /√𝑘𝑘′′ y 𝑏 = 𝑅𝑖 /𝑘𝑘′′. En la fig. 31 se
representa esta curva que tiene forma hiperbólica y se
aparta tanto más de ella cuanto más se satura el circuito
magnético. El par de arranque 𝜏𝑎𝑎𝑎 = 𝑏 2 /(𝑎𝑉𝑡 )2 es el
correspondiente a 𝑁 = 0.
Según la expresión 𝜏𝑖𝑖𝑖 = 𝑘 ′ 𝑘 ′′ 𝐼𝑖2, al duplicarse el
par 𝜏𝑖𝑖𝑖 aplicado al eje del motor, la corriente consumida
aumenta sólo un 140% y las revoluciones 𝑁 caen hasta un
70% del valor primitivo. En un motor en paralelo esta
misma sobrecarga no altera prácticamente la velocidad,
pero, en cambio, consume una corriente doble de la
inicial. Por tanto, el motor en serie puede soportar
grandes sobrecargas con un moderado aumento de la
corriente. Ésta es su propiedad más importante. Al
disminuir el par resistente se reduce lentamente la corriente, pero la velocidad se eleva rápidamente
aunque las revoluciones adquieren valores peligrosos para la integridad del motor con cargas inferiores al
25%. Por esta razón el motor en serie no debe arrancarse en vacío o con poca carga. Todas estas
características hacen que sea el más apropiado para la tracción eléctrica de trenes, tranvías y grúas donde
se necesitan pares elevados a bajas velocidades, y viceversa.
La regulación de la velocidad se efectúa controlando solamente la tensión aplicada. Este
procedimiento se realiza de manera económica si se dispone de al menos dos motores (pueden ser
también cuatro o seis), como sucede en los ferrocarriles eléctricos equipados con un motor acoplado al
boje de las ruedas delanteras y otro al boje trasero (fig. 32). Las velocidades de ambos motores son iguales
en todo momento. Según se emplee la conexión en serie o en paralelo de ambos motores, pueden
obtenerse dos velocidades de trabajo con un buen rendimiento energético. Inicialmente están conectados
en serie a través de una resistencia variable que se va eliminando gradualmente hasta que la tensión en
bornes de cada motor es la mitad de la que proporciona la línea. Con ello se obtiene la primera velocidad
de marcha. Para la segunda velocidad se pasa a la conexión en paralelo insertando al mismo tiempo entre
los motores y la línea una resistencia exterior que se va eliminando poco a poco hasta que los motores
soportan toda la tensión de la línea.
133
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Para comparar ambos tipos de conexiones se suponen despreciables las resistencias 𝑅𝑖 de los dos
motores y se admite que no se alcanza la saturación magnética; en estas condiciones las ecuaciones del par
y la velocidad en cada motor son:
• Conexión en serie: 𝑉𝑖 = 𝑉/2
𝜏𝑖𝑖𝑖𝑠 = 𝐶1 𝐼2
𝑉𝑡
𝑉𝑡
𝑉/2
=
=
𝑁𝑠 =
𝑘𝛷𝑚𝑚𝑚 𝑘𝑘′′𝐼𝑖 𝐶2 𝐼
•
Conexión en paralelo: 𝑉𝑖 = 𝑉
con 𝐶1 y 𝐶2 constantes. Se aprecia que 𝜏𝑖𝑖𝑖𝑠
9.3. Motor de CC con excitación mixta
𝜏𝑖𝑖𝑖𝑝 = 𝐶1 𝐼2
𝑉
𝑁𝑝 =
𝐶2 𝐼
= 𝜏𝑖𝑖𝑖𝑝 y 𝑁𝑝 = 2𝑁𝑠 .
El esquema de conexiones de este motor es el de la fig. 33. El devanado de excitación en serie puede
conectarse de forma que refuerce el campo en paralelo o que se oponga a él. La corriente del devanado en
paralelo es constante, mientras que la intensidad del arrollamiento en serie crece con la carga; de esta
forma se obtiene un flujo que aumenta también con la carga, pero no tan rápidamente como en el motor
en serie. En la fig. 33 también se muestra la curva par-velocidad de estos motores que, como se aprecia, es
una especie de combinación entre las curvas del motor en paralelo y el motor en serie.
134
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 7
DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS
1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS
2. CARACTERÍSTICAS
2.1. Tensión nominal
2.2. Corriente nominal
2.3. Otras características
3. DISPOSITIVOS DE MANIOBRA
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Contactos
Interruptores
Relés
Contactores
Termostatos y presostatos eléctricos
4. DISPOSITIVOS DE PROTECCIÓN
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Fusibles
Interruptores automáticos
Interruptores diferenciales
Relés térmicos
Relés electromagnéticos
Relés magnetotérmicos
Relés de inversión de corriente
135
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS
Son dispositivos eléctricos todos los accionamientos de maniobra, regulación, control y protección, con
sus accesorios y canalizaciones, utilizados en las instalaciones eléctricas, cualquiera que sea su tensión. Una
forma de clasificarlos es:
• Por su función:
- de maniobra
- de protección
• Por su tensión:
- Baja tensión (BT): ≤ 1.000 V en corriente alterna y ≤ 1.500 V en corriente continua
- Media tensión (MT): de 3000 a 36000 V
- Alta tensión (AT): de 45000 a 220000 V
- Muy alta tensión (MAT): > 220000 V
• Por su utilización en:
- Instalaciones domésticas
- Instalaciones industriales
- Redes eléctricas de producción, transporte y distribución
2. CARACTERÍSTICAS
Las principales características nominales (o asignadas) de los dispositivos eléctricos son la tensión
medida en voltios (V) y la corriente en amperios (A) (ver fig. 1). A ellas hay que añadir otras como la
potencia, la frecuencia, el factor de potencia, la corriente de corte, la tensión aplicada, etc.
2.1. Tensión nominal
Es la tensión más elevada que puede soportar un dispositivo, establecida por el fabricante y a la cual
están referidas las condiciones normales de funcionamiento.
2.2. Corriente nominal
Es la corriente establecida por el fabricante que en condiciones normales de funcionamiento puede
mantenerse indefinidamente en los circuitos principales de los dispositivos, sin que ninguna de sus partes
alcance un calentamiento superior a los valores prefijados por las normas y sin que se modifiquen sus
cualidades operativas.
Como regla general, la corriente nominal de un dispositivo debe ser algo superior a la corriente
susceptible de recorrerlo durante el régimen normal de funcionamiento.
2.3. Otras características
Corriente de corte
Es la corriente que circula por un interruptor o contactor en el instante de cebado del arco durante una
maniobra de apertura.
136
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Poder de cierre
Es el valor máximo de la corriente que un interruptor o contactor es capaz de soportar bajo una tensión
dada y en las condiciones prescritas de empleo y comportamiento.
Poder de corte
Es el valor de la corriente de corte que un dispositivo es capaz de interrumpir bajo una tensión dada y
en las condiciones prescritas de empleo y comportamiento.
Corriente de corta duración admisible
Es la corriente de corta duración que un dispositivo puede soportar en la posición de cierre durante un
intervalo de tiempo especificado y en las condiciones prescritas de empleo y comportamiento.
Tensión aplicada
Es la tensión que hay en bornes de un dispositivo inmediatamente antes de que se establezca la
corriente.
Tensión de restablecimiento
Es la tensión que hay en bornes de un dispositivo después de interrumpir la corriente.
3. DISPOSITIVOS DE MANIOBRA
Se denominan dispositivos de maniobra a los accesorios eléctricos que gobiernan la energía entregada
a una carga. Existe una gran variedad; en la fig. 2 se presentan los más importantes.
3.1. Contactos
Los contactos eléctricos son dispositivos que conectan o desconectan las cargas a las fuentes. Se
accionan mediante pulsadores, interruptores, relés, etc. Básicamente existen tres tipos: el normalmente
abierto (NO) que no permite el paso de la corriente hasta que se acciona (fig. 3); el normalmente cerrado
(NC) que deja pasar la corriente hasta que se acciona (fig. 4); y los contactos especiales que son aquellos
que pertenecen a dispositivos de protección (como relés térmicos, presostatos, etc.), a temporizadores,
etc.
137
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Normalmente los contactos se sitúan en un lugar denominado cámara o caja de contactos. En la fig. 5
vemos un ejemplo. La línea discontinua indica los que se accionan simultáneamente.
Para diferenciarlos se utilizan dos dígitos: el primero indica el número de orden en la cámara de
contactos; el segundo tiene el significado señalado en la siguiente tabla.
Segunda cifra Significado
1ó2
NC
3ó4
NO
5ó6
NC especial
7ó8
NO especial
El número más bajo se coloca en el borne positivo en el caso de corriente continua, y en el borne que
se encuentre más cerca de la fuente si se trata de corriente alterna.
3.2. Interruptores
Los interruptores son dispositivos mecánicos de conexión y desconexión eléctrica, capaces de
establecer, soportar e interrumpir la corriente en las condiciones
normales de funcionamiento del circuito donde se instalan. Se
clasifican en dos grandes grupos: manuales y automáticos. Los
manuales se abren o cierran con movimientos efectuados por el
operador mediante pulsadores, palancas, elementos giratorios,
etc. Los automáticos pueden actuar sin la intervención del
operador y, además, pueden disponer de dispositivos para
proteger los circuitos en el caso de detectar una anomalía;
normalmente también se accionan de manera manual.
Para interrumpir la corriente en un aparato monofásico es
posible emplear un interruptor unipolar, pero así no se aísla
totalmente de la línea, puesto uno de los cables sigue conectado,
como se aprecia en la fig. 7(a); para conseguirlo es necesario
abrir el circuito por tantos puntos como conexiones tenga con la
línea, tal como sucede en la fig. 7(b), de ahí que los interruptores
unipolares solamente se utilicen en pequeños electrodomésticos; en el resto deben emplearse
interruptores con tantos polos como conductores de alimentación haya, como se representa en la fig. 7(c).
138
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Los requisitos que debe cumplir un buen interruptor son los siguientes:
• Que las superficies que realizan el contacto eléctrico sean del tamaño adecuado para que circule la
corriente nominal prevista en el circuito, sin que se eleve la temperatura en exceso. Hay que
procurar que dichas superficies sean lo más perfectas posible y que exista una cierta presión entre
ellas; en estas condiciones la intensidad nominal es directamente proporcional a las superficies de
los contactos y a la presión ejercida sobre ellos.
• Que el arco de ruptura que se forma al abrir el circuito se extinga lo más rápidamente posible, sin
formarse un arco permanente que destruiría rápidamente los contactos.
Apertura de los interruptores. El arco de ruptura
La rápida extinción del arco se logra fácilmente cuando la tensión e intensidad nominales son
pequeñas, pero se complica enormemente para voltajes y corrientes elevadas.
Cuando un interruptor está cerrado existe una cierta presión sobre la superficie de contacto para que la
densidad de corriente sea la menor posible (mínima elevación de la temperatura). En la maniobra de
apertura, al iniciarse el despegue de los contactos, disminuye la presión y aumenta la densidad de
corriente. En el instante de la separación de los contactos, la finísima capa de aire que los separa es
atravesada por dicha corriente provocando una rápida elevación de temperatura que da lugar a un arco de
resplandor azulado muy brillante. A partir de un determinado valor de la densidad de corriente la elevación
de temperatura puede ser suficiente para provocar la fusión y volatilización del metal de los contactos.
Iniciada la apertura y establecido el arco, éste se irá alargando a medida que los contactos se separan,
y, en consecuencia, la intensidad 𝑖(𝑡) irá disminuyendo hasta anularse. La tensión entre los contactos
𝑒(𝑡) pasa de un valor prácticamente nulo (contacto cerrado), hasta uno igual a la tensión de la
alimentación (contacto abierto). El trabajo de ruptura 𝑊𝑟 desarrollado en el tiempo 𝑡 que dura el arco es:
𝑡
𝑊𝑟 = � 𝑒(𝑡) · 𝑖(𝑡) 𝑑𝑑
0
Si 𝐸 e 𝐼 son la tensión e intensidad máxima que puede soportar el interruptor, el trabajo de ruptura debe
ser inferior al producto 𝐸 · 𝐼 · 𝑡, pudiendo admitirse que:
𝑊𝑟 = 𝑘 · 𝐸 · 𝐼 · 𝑡
siendo 𝑘 una constante cuyo valor es aproximadamente 0.1.
Dado que el trabajo de ruptura debe ser el menor posible, hay que instalar interruptores capaces de
suprimir el arco en un tiempo mínimo 𝑡𝑚𝑚𝑚 = 𝑑/𝑣, siendo 𝑑 la distancia necesaria para cortar el arco y 𝑣 la
velocidad de separación de los contactos; es decir:
𝑊𝑟 = 𝑘 · 𝐸 · 𝐼 · 𝑑/𝑣
En la mayoría de los interruptores, la velocidad 𝑣 la proporcionan muelles antagonistas capaces de
provocar tiempos de corte del orden de centésimas de segundo.
3.3. Relés
Los relés son dispositivos de maniobra que, activados por una variación de las características de un
circuito eléctrico, actúan sobre otros aparatos en el mismo o en otros circuitos. Están diseñados para
responder a variaciones de la tensión, a corriente, del sentido de la corriente, etc., e incluso para ser
accionados por mecanismos de relojería (leer también el punto 4.4. y los sucesivos).
139
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Un relé típico (fig. 8) está formado por una bobina enrollada a un núcleo de hierro, con al menos dos
contactos, por el que circula una corriente que crea un campo magnético. Cuando la corriente alcanza un
valor determinado, el campo magnético atrae una armadura que mueve los contactos, abriendo o cerrando
circuitos.
3.4. Contactores
Un contactor es un interruptor accionado a distancia mediante una bobina que vuelve a la posición de
reposo cuando la fuerza de accionamiento deja de actuar sobre él. Un contactor permite abrir o cerrar
circuitos con menos esfuerzo físico y más seguridad. Se utiliza para conectar elementos de potencia,
automatizar las maniobras y controlar aparatos eléctricos desde varios lugares diferentes. Como se aprecia
en la fig. 9, posee diversos bornes; dos pertenecen a la bobina y el resto a los contactos principales y
auxiliares.
• Los contactos principales (de potencia) realizan el cierre/apertura del circuito principal. A través de
ellos se conduce la corriente a la carga. Se construyen con aleaciones especiales para poder
soportar grandes corrientes.
• Los contactos auxiliares (de mando o de maniobra) gobiernan el contactor y su señalización,
mediante pulsadores, interruptores, etc., identificados con la letra S. Generalmente dan paso a
corrientes muy débiles por lo que suelen ser de pequeño tamaño.
La bobina genera el campo magnético que atrae una armadura y cambia la posición de los contactos
móviles. La corriente que crea el campo es muy pequeña comparada con la que circula por los contactos
principales. Además, los circuitos de potencia y de mando pueden trabajar a tensiones diferentes (por
ejemplo, el de potencia a 380 V de corriente alterna, y el de mando a 24 V de continua).
3.5. Termostatos y presostatos eléctricos
Los termostatos son interruptores controlados por la temperatura de un recipiente o del aire que rodea
a una pieza sensible al calor llamada elemento sensible o termostático. El elemento termostático se
construye de forma que los cambios de temperatura varíen la presión de un gas sellado introducido en un
bulbo (para líquidos) o en un añillo helicoidal (para gases). Este gas se comunica mediante un tubo capilar
con un dispositivo de accionamiento dotado con un diafragma (fig. 10). Los cambios de temperatura
producen una variación del volumen de dicho gas que se manifiesta en el movimiento del diafragma. Este
movimiento se transmite al brazo de un interruptor por medio de un vástago. Sobre este brazo va instalado
un contacto móvil que abre o cierra el interruptor.
140
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Los presostatos son interruptores controlados por los cambios de presión que se producen en un
recipiente. Su funcionamiento es similar al de los termostatos.
Tanto en los termostatos como en los presostatos, los contactos del interruptor se cierran y abren
cuando la variable controlada alcanza dos valores determinados. La diferencia de temperaturas/presiones
para la apertura o cierre de los contactos se denomina margen de funcionamiento o diferencial. El
mecanismo que actúa sobre el interruptor dispone de un ajuste diferencial que permite variar este margen.
4. DISPOSITIVOS DE PROTECCIÓN
Dado que los conductores de las instalaciones eléctricas tienen una cierta resistencia, cuando son
atravesados por una corriente se produce una caída de tensión en su recorrido hasta los aparatos que
alimentan y un consumo de energía debido al calentamiento por efecto Joule, que, si es excesivo, puede
llegar a deteriorar su aislamiento y provocar importantes averías o daños a los utilizadores. Para prevenir y
evitar estos daños se emplean los dispositivos de protección, la mayoría de los cuales se diseñan para
cortar la corriente cuando las condiciones de trabajo son peligrosas. Los dispositivos de protección más
importantes son los fusibles, los interruptores y los relés. Un equipo de mando bien proyectado debe estar
dotado con uno o varios de ellos.
Además, hay que tener presente que los materiales aislantes sometidos a altas temperaturas acaban
volviéndose quebradizos y perdiendo parte de sus propiedades aislantes. Cuanto mayor es la sobrecarga,
mayores son los daños, pudiéndose llegar, en el caso de un cortocircuito, a la destrucción inmediata por la
fusión de los conductores. Una protección contra una sobrecarga es la que tiene un sistema eléctrico
contra un calentamiento excesivo. Las causas más comunes de sobrecarga son:
• Baja tensión en la línea de alimentación a las cargas. En estas condiciones las cargas demandarán
mayor intensidad de corriente para mantener su potencia nominal según la expresión 𝑃 = 𝑉 · 𝐼.
• Ciclos de trabajo excesivamente rápidos, tales como arranques y paradas demasiado frecuentes.
Por ejemplo, durante el arranque, los motores de inducción consumen una corriente entre 4 y 7
veces superior a la nominal.
• Carga mecánica excesiva por conectar demasiados receptores en una línea o debido al mal
funcionamiento de algún receptor que demande un mayor consumo eléctrico.
• Anormalidad mecánica en la carga, como, por ejemplo, un cojinete en mal estado que impida el
giro normal de un rotor.
• Temperatura ambiente excesiva. A medida que aumenta la temperatura ambiente, el aislamiento
va perdiendo sus propiedades.
En la fig. 11 se presenta la simbología de algunos dispositivos de protección.
141
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
4.1. Fusibles
El dispositivo de protección más sencillo es un fusible compuesto por un hilo de mayor resistencia
eléctrica que los conductores del circuito que protege. Esto se consigue con un hilo de menor sección o de
mayor coeficiente de resistividad que, además, debe tener un punto de fusión más bajo que los
conductores de la línea. Para fabricar hilos fusibles se emplean aleaciones especiales de cobre-plata,
plomo-estaño, etc.
Los fusibles se calibran según la corriente que puede circular con seguridad por ellos. En caso de una
sobrecarga o cortocircuito, la intensidad se eleva, pero antes de alcanzar valores peligrosos, el fusible se
funde e interrumpe el circuito. Hay que tener presente que durante este proceso su material en estado
líquido se puede proyectar y producir quemaduras, accidentes, e incluso incendios. Por esta razón, los hilos
fusibles se deben colocar dentro de recipientes herméticamente cerrados (fig. 12). Cuando un fusible se
funde debe reemplazarse por otro que tenga:
• el mismo calibre, es decir, la máxima intensidad que puede pasar por él sin fundirse
• la misma capacidad de corte, definida mediante el margen de tiempo que tarda en fundirse ante
una sobrecarga. Hay tres tipos: fusibles rápidos que se funden en 0.5 segundos; medios que lo
hacen en un intervalo comprendido entre 0.5 y 5 segundos; y retardados que duran sin fundirse
entre 5 y 25 segundos. Algunos equipos, como los motores eléctricos, absorben más corriente
durante su arranque que durante su marcha normal; esta corriente de arranque fundiría los
fusibles que podrían servir durante la marcha normal; en estos casos se emplean los fusibles
retardados.
142
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
No siempre un fusible se funde debido a una sobrecarga. Existen otras causas que alteran sus
características; las más importantes son: la edad del hilo fusible, una atmósfera caldeada, un mal contacto,
la formación de óxido o la presencia de corrosión en el interior del portafusibles.
Los fusibles tienen el inconveniente de que reaccionan muy lentamente ante las sobrecargas por lo que
en muchas instalaciones es necesario disponer de dispositivos de protección adicionales.
4.2. Interruptores automáticos
Los interruptores automáticos son dispositivos que gobiernan circuitos mediante su accionamiento
manual o eléctrico (en modo local, a distancia o ambos) y que pueden disponer de automatismos para abrir
los contactos cuando la tensión o la corriente sobrepasen ciertos límites (leer también el punto 3.2.).
Sustituyen en muchas aplicaciones a los fusibles pues proporcionan una buena protección contra los
cortocircuitos y actúan más rápido en caso de sobrecarga. Tienen la ventaja de que, una vez que hayan
abierto el circuito, se pueden reponer manualmente con rapidez, tras reparar el fallo, sin necesidad de
utilizar recambios, como sucede con los fusibles. Están calibrados en amperios con la intensidad nominal
que puede circular por ellos de manera ininterrumpida, sin que se llegue a abrir el circuito. Su tiempo de
respuesta depende de la cantidad de corriente que supera dicha intensidad nominal. Se emplean
• como protección contra sobrecargas y cortocircuitos
• para la transferencia manual o automática de cargas entre distintos cuadros (estos interruptores se
conocen con el nombre de transfers)
• para aislar circuitos defectuosos mientras se realizan las reparaciones
• para arrancar motores eléctricos de mediana y gran potencia
Su estructura principal está formada por contactos que pueden ser fijos o móviles. Además, para
accionarlos a distancia de manera automática pueden llevar una bobina de disparo paralelo que en su
estado normal está sin energía, pero cuando se alimenta (por la acción del operador o de un elemento
automático) abre un interruptor. También pueden tener dispositivos de protección contra sobrecargas o
cortocircuitos, como relés térmicos, electromagnéticos y magnetotérmicos (ver puntos 4.3., 4.4. y 4.5.),
conectados en serie con el circuito a proteger, de manera que toda la corriente del circuito pase por ellos.
Tipos de interruptores automáticos
Los interruptores automáticos más usuales son: el ACB, AQB, NQB, ALB y el NLB. Se denominan
interruptores de ruptura o corte en aire, porque sus contactos principales están rodeados de aire, sin el
intermedio de otros gases o líquidos. Llevan una cifra que indica la intensidad en amperios que pueden
soportar los contactos principales en servicio continuo.
Interruptores ACB
Pueden accionarse en modo local manual o eléctrico a distancia. Proporcionan protección contra
las sobrecargas, cortocircuitos, bajas tensiones y, cuando se emplean como interruptores de
suministro, contra las corrientes inversas. Para accionarlos a distancia disponen de bobina de
disparo paralelo. Se instalan normalmente donde existen grandes cargas y grandes corrientes de
cortocircuito.
143
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Se emplean como:
o Interruptores de interconexión entre cuadros principales y de emergencia
o Interruptores de toma de tierra
o Interruptores de alimentación de grandes cargas, directamente desde los cuadros
principales.
Interruptores AQB
Pueden accionarse en modo local manual o eléctrico a distancia. Proporcionan protección contra
sobrecargas, cortocircuitos y opcionalmente contra baja tensión. Se emplean para proteger
circuitos con una sola carga y las alimentaciones que parten de los paneles de distribución de
fuerza. Existe un tipo especial, el AQB-LF, que combina un AQB y una unidad de fusibles que abre el
circuito cuando la corriente sobrepasa el valor de la capacidad de corte del interruptor; además, la
unidad de fusibles está proyectada para disparar el interruptor si se funde cualquiera de sus
fusibles y para que el interruptor no pueda volver a cerrarse hasta haber reemplazado el fusible
fundido.
Interruptores NQB
Son similares a los AQB excepto en que no tienen dispositivos de protección para dispararlos
automáticamente. Se emplean para aislar circuitos y como conmutadores para transferir
manualmente una carga entre dos alimentaciones. Son grandes interruptores manuales de dos
posiciones (ON y OFF) que pueden accionarse en modo local manual o eléctrico a distancia.
Interruptores ALB
Son interruptores de baja tensión utilizados normalmente en los sistemas de distribución de
alumbrado. Proporcionan protección contra sobrecargas y cortocircuitos, pero no se pueden
accionar a distancia.
Interruptores NLB
Son pequeños interruptores empleados para aislar circuitos alimentados con 24 V. No pueden ser
accionados a distancia ni proporcionan ningún tipo de protección.
4.3. Interruptores diferenciales
Un interruptor diferencial es un dispositivo de protección de las personas, sensible a la diferencia entre
la corriente entrante y la saliente en una instalación. Esta diferencia de corrientes se conoce con el nombre
de corriente de defecto 𝐼𝑑 .
El elemento sensible es una bobina diferencial alimentada por los conductores de la instalación como
se representa en la fig. 13. Estos conductores, en condiciones normales, producen un flujo magnético cuya
resultante es nula pues las corrientes que circulan por ellos son iguales y de sentido contrario. Cuando
existe una derivación hacia la masa de la instalación, las corrientes que circulan por los conductores son
diferentes (la entrante tiene que ser igual a la que consume el aparato más la corriente de defecto) y se
produce un flujo resultante que activa un relé que a su vez abre el interruptor principal.
144
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
4.4. Relés térmicos
Los relés térmicos protegen contra sobrecargas moderadas. Están formados por bobinas de pocas
espiras y baja resistencia, devanadas sobre una lámina bimetálica, normalmente de hierro-níquel. El relé se
dispara cuando la corriente que circula por las bobinas es superior a la nominal. Esta corriente calienta el
elemento bimetálico cuyas láminas se curvan porque se dilatan de manera diferente (fig. 14). Un relé
térmico que proteja un motor eléctrico debe reunir tres condiciones:
• Permitir su arranque en condiciones normales, o sea que el paso de la corriente de arranque
durante un tiempo razonable no dispare el relé
• Permitir el paso de la corriente nominal del motor indefinidamente
• Dispararse ante cualquier sobrecarga mantenida, antes de que se dañe el motor
4.5. Relés electromagnéticos
Los relés electromagnéticos tienen tantos contactos como
circuitos eléctricos pueden conectar o desconectar. En la fig. 15 se
aprecia el funcionamiento de un relé de un solo contacto. La
corriente que circula por la bobina imanta el núcleo
ferromagnético y atrae al brazo del contacto venciendo la
resistencia de un resorte. Cuando cesa dicha corriente, el resorte
abre el contacto.
145
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Un relé bien construido puede manejar potencias eléctricas decenas de miles de veces mayores que la
potencia utilizada para operarlo.
4.6. Relés magnetotérmicos
Los relés magnetotérmicos (fig. 16) protegen contra sobrecargas elevadas y cortocircuitos, combinando
las ventajas de un relé térmico de tiempo inverso (cuanto mayor es la intensidad de sobrecarga, menor es
el tiempo necesario para interrumpir la corriente) para sobrecargas relativamente débiles y de larga
duración, y de un relé electromagnético de disparo instantáneo para cortocircuitos o sobrecargas elevadas
en las que la actuación del relé térmico resultaría demasiado lenta. Están formados por una lámina
bimetálica y un circuito electromagnético, como se aprecia en la fig. 15, en la que también se representa
una gráfica típica en la que se detallan los rangos de su funcionamiento.
4.7. Relés de inversión de corriente
Dos o más generadores pueden acoplarse en paralelo para suministrar energía a las barras de un
cuadro. Cada generador va movido por su motor primario. Si uno de los motores primarios disminuye sus
revoluciones, su generador puede tomar corriente de la línea y funcionar como motor. Este fenómeno
puede provocar averías en el motor primario y sobrecargas en el generador. Para evitarlo se emplean relés
de inversión de corriente. Cuando la corriente invertida alcanza un valor determinado respecto a la
corriente de régimen, el relé abre el interruptor de suministro.
146
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APÉNDICE I
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO CON NÚMEROS COMPLEJOS
1.
EL NÚMERO COMPLEJO
2.
FORMA BINOMIAL DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒂 + 𝒃𝒃
3.
IDENTIDAD DE EULER
4.
FORMA EXPONENCIAL DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒓𝒓𝒋𝒋
5.
FORMA POLAR DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒓∠𝜽
147
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
1. EL NÚMERO COMPLEJO
Con los números complejos se resuelven problemas que no tienen solución con los números reales.
Así, la ecuación más simple para la que es necesario recurrir a los números complejos es 𝑥 2 = −1. Para
encontrar la raíz par de un número negativo (imposible con números reales) se recurre al operador
imaginario 𝑗, tal que:
𝑗 = √−1 ó 𝑗 2 = −1
2. FORMA BINOMIAL DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒂 + 𝒃𝒃
Todo número complejo 𝐴 se expresa mediante una parte real y una imaginaria en la forma binomial
o binómica :
𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑏
La parte real es 𝑎, y la imaginaria 𝑏 (no es 𝑏𝑏, ya que la parte imaginaria de un número complejo es
un número real). De manera que
𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑅𝑅 (𝐴) + 𝑗 𝐼𝐼 (𝐴)
Teniendo en cuenta que los complejos están caracterizados por parejas ordenadas de números
reales, existe una relación biunívoca con el plano ℝ2 de manera que a todo punto de ℝ2 le
corresponde un punto y solo uno en el denominado plano complejo
formado por el eje real y el de ordenadas o eje imaginario. Gracias a esta
relación, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir números
complejos. Sean 𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑏, 𝐵 = 𝑐 + 𝑑𝑑, 𝜆 ∈ ℝ entonces:
𝐴 + 𝐵 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑗
𝐴 − 𝐵 = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑗
𝜆𝜆 = 𝜆𝜆 + 𝜆𝜆𝜆
El número complejo conjugado de 𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑏 es aquel cuya parte imaginaria está cambiada de
signo: 𝐴∗ = 𝑎 − 𝑏𝑏.
3. IDENTIDAD DE EULER
La identidad de Euler es:
por tanto
𝑒 𝑗𝑗 = cos 𝜃 + 𝑗 sen 𝜃
𝑒 −𝑗𝑗 = cos 𝜃 − 𝑗 sen 𝜃
de estas dos expresiones se deduce que:
𝑒 𝑗𝑗 + 𝑒 −𝑗𝑗
cos 𝜃 =
2
𝑒 𝑗𝑗 − 𝑒 −𝑗𝑗
sen 𝜃 =
2𝑗
4. FORMA EXPONENCIAL DEL NÚMERO COMPLEJO 𝒓𝒓𝒋𝒋
Utilizando la identidad de Euler se puede expresar un número complejo en la llamada forma
exponencial:
𝑟𝑟 𝑗𝑗 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑗 sen 𝜃)
siendo 𝑟 el módulo y 𝜃 el argumento.
De la forma binomial 𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑏 se deduce que:
𝑎 = 𝑟 cos 𝜃
𝑏 = 𝑟 sen 𝜃
148
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
𝑏
𝑎
2
�
𝑟 = 𝑎 + 𝑏2
𝜃 = 𝑡𝑡𝑡−1
Con la forma exponencial es más fácil multiplicar y dividir números complejos que empleando la
forma binomial, pues dos exponenciales se multiplican o dividen sumando o restando los exponentes.
𝑟1 𝑒 𝑗𝜃1 · 𝑟2 𝑒 𝑗𝜃2 = 𝑟1 · 𝑟2 𝑒 𝑗(𝜃1 +𝜃2 )
5. FORMA POLAR 𝒓∠𝜽
𝑟1 𝑒 𝑗𝜃1 𝑟1 𝑗(𝜃 − 𝜃 )
= 𝑒 1 2
𝑟2 𝑒 𝑗𝜃2 𝑟2
Otra manera de expresar un número complejo es la polar. Partiendo de su forma exponencial
𝐴 = 𝑟𝑒 𝑗𝑗 , la forma polar es:
𝐴 = 𝑟∠𝜃
En resumen:
𝐴 = 𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑅𝑅(𝐴) + 𝑗 𝐼𝐼(𝐴) = 𝑟𝑟 𝑗𝑗 = �𝑎2 + 𝑏 2 𝑒 𝑗𝑡𝑡𝑡
149
−1 𝑏
𝑎
= �𝑎2 + 𝑏 2 ∠𝑡𝑡𝑡−1 �𝑏�𝑎�
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
APÉNDICE II
NORMATIVA ELECTROTÉCNICA DE APLICACIÓN EN LA ARMADA
En el ámbito de la Armada son de aplicación los siguientes reglamentos y normas:
•
•
•
•
•
Reglamento Electrotécnico de Baja Tensión.
Reglamento Electrotécnico de Alta Tensión.
STANAG 1008 (Edición 9).
UNE 21-135-93 (parte 101) «Instalaciones Eléctricas en Buques».
Norma IEC 60092 «Electrical Installations in Ships».
Los dos primeros, aunque están orientados a las instalaciones eléctricas en tierra, pueden tener
aplicación en los buques, sobre todo cuando están en puerto, recibiendo corriente de tierra, pues se
comportan como una carga más de la red eléctrica general.
La UNE 21-135-93 es una traducción de la norma IEC 60092.
1. REGLAMENTO ELECTROTÉCNICO DE BAJA TENSIÓN
El objeto del Reglamento de Baja Tensión (RBT) es establecer las condiciones técnicas y las garantías
que deben reunir las instalaciones eléctricas conectadas a una fuente de suministro en los límites de baja
tensión, con la finalidad de:
-
Preservar la seguridad de las personas y los bienes.
Asegurar el normal funcionamiento de dichas instalaciones y prevenir las perturbaciones en otras
instalaciones y servicios.
Contribuir a la fiabilidad técnica y a la eficiencia económica de las instalaciones.
El RBT se aplica a las instalaciones que distribuyen la energía eléctrica, a las generadoras de electricidad
para consumo propio y a las receptoras, en los siguientes límites de tensiones nominales:
-
Corriente alterna: igual o inferior a 1.000 voltios.
Corriente continua: igual o inferior a 1.500 voltios.
-
En la ITC 001 se recogen los términos técnicos más generales utilizados en el RBT y en sus ITC.
Emplea, cuando es posible y conveniente, las definiciones que figuran en la UNE 21302. En otros
casos, simplifica o amplia estas definiciones.
En la ITC 002 hasta la 008 se especifican las normas sobre materiales, ejecución de instalaciones,
intensidades admisibles y la puesta a neutro de masas en las redes de distribución de baja tensión,
tanto aéreas como subterráneas.
La ITC 009 trata de las instalaciones de alumbrado público.
La ITC 010 especifica las normas para clasificar los lugares de consumo eléctrico y para realizar una
previsión de cargas.
En la ITC 011 hasta la 016 se establecen las normas sobre las instalaciones de enlace y sus
protecciones.
Las instalaciones de tierra de la Armada deben cumplir las normas del RBT. También puede ser de
aplicación en la mayoría de las cargas presentes en los buques, con la excepción de los motores eléctricos
del Juan Carlos I alimentados con 6000 voltios.
El RBT está dividido en dos partes: la primera está formada por los artículos generales del reglamento, y
en la segunda figuran las 43 Instrucciones Técnicas Complementarias (ITC) que lo desarrollan:
-
-
150
-
-
-
-
-
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
En la ITC 017 hasta la 021 se desarrollan las normas referentes a las instalaciones interiores o
receptoras, desde las prescripciones de carácter general hasta las protecciones.
En la ITC 022 hasta la 025 figuran las normas sobre las instalaciones eléctricas de viviendas y locales
de pública concurrencia.
En la ITC 026 hasta la 028 se establecen las normas referentes a las instalaciones eléctricas en
locales de características especiales y con fines especiales, entre los que se incluyen aquellos donde
exista peligro de explosión, fuego, etc.
Las ITC 029 y 030 se refieren a tensiones pequeñas (< 50V) y tensiones especiales en los límites
altos del RBT.
En la ITC 031 hasta la 038 se especifican las normas relativas a cada uno de los receptores o cargas
eléctricas.
La ITC 039 establece las normas sobre las puestas a tierra.
En la ITC 040 hasta la 043 figuran las normas sobre los instaladores autorizados, la autorización y
puesta en servicio, la inspección y la calificación de las instalaciones eléctricas.
2. EL REGLAMENTO DE ALTA TENSIÓN
El reglamento de alta tensión (RAT) contiene en sus prescripciones y en las de las instrucciones técnicas
complementarias (ITC) una serie de normas que tienen la consideración de mínimos, de acuerdo con el
estado de la técnica, pero admite ejecuciones distintas de las previstas siempre que ofrezcan niveles de
seguridad que puedan considerarse, al menos, equivalentes.
El RAT tiene por objeto establecer las condiciones técnicas y garantías de seguridad a las que han de
someterse las líneas eléctricas de alta tensión, a fin de:
-
-
Proteger a las personas y la integridad y funcionalidad de los bienes que pueden resultar afectados.
Conseguir la necesaria regularidad en los suministros de energía eléctrica.
Establecer la normalización precisa para reducir la extensa tipificación que existe en la fabricación
de material eléctrico.
Facilitar, desde la fase de proyecto de las líneas, su adaptación a los futuros aumentos de carga
racionalmente previsibles.
Las disposiciones de este reglamento se aplican a las líneas eléctricas de alta tensión, entendiéndose
como tales las de corriente alterna trifásica a 50 Hz de frecuencia, cuya tensión nominal eficaz entre fases
sea superior a 1 kV. Aquellas líneas en las que se prevea utilizar otros sistemas de transporte o distribución
de energía (corriente continua, corriente alterna monofásica o polifásica, etc.), tendrán que ser objeto de
una justificación especial por el proyectista, el cual deberá adaptar las prescripciones y principios básicos de
este reglamento a las peculiaridades del sistema propuesto.
Las líneas eléctricas incluidas en este reglamento se clasifican, atendiendo a su tensión nominal, en las
categorías siguientes:
-
Categoría especial: Las de tensión nominal igual o superior a 220 kV y las de tensión inferior que
formen parte de la red de transporte, conforme a lo establecido en el artículo 5 del Real Decreto
1955/2000, de 1 de diciembre, por el que se regulan las actividades de transporte, distribución,
comercialización, suministro y procedimientos de autorización de instalaciones de energía eléctrica.
Primera categoría: Las de tensión nominal inferior a 220 kV y superior a 66 kV.
Segunda categoría: Las de tensión nominal igual o inferior a 66 kV y superior a 30 kV.
Tercera categoría: Las de tensión nominal igual o inferior a 30 kV y superior a 1 kV
Si en la línea existen circuitos o elementos en los que se utilicen distintas tensiones, el conjunto de la
línea se considerará, a efectos administrativos, con el valor de la mayor tensión nominal.
151
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Cuando en el proyecto de una nueva línea se considere necesaria la adopción de una tensión nominal
superior a 400 kV, la administración competente establecerá la tensión que deba autorizarse.
El RAT se desarrolla en las siguientes ITC:
-
-
-
ITC-LAT 01. Terminología
ITC-LAT 02. Normas y especificaciones técnicas
ITC-LAT 03. Instaladores autorizados y empresas instaladoras autorizadas para líneas de alta
tensión.
ITC-LAT 04. Documentación y puesta en servicio de las líneas de alta tensión.
ITC-LAT 05. Verificación e inspecciones.
ITC-LAT 06. Líneas subterráneas con cables aislados.
ITC-LAT 07. Líneas aéreas con conductores desnudos.
ITC-LAT 08. Líneas aéreas con cables unipolares aislados reunidos en haz o con conductores
recubiertos.
ITC-LAT 09. Anteproyectos y proyectos.
Estas ITC son de aplicación en el ámbito de la Armada si no existe una reglamentación específica. En el
caso de la distribución de media tensión (6 kV) del Juan Carlos I, la normativa que se aplica es el STANAG
1008 (edición 9) que se comenta a continuación.
3. STANAG 1008 EDICIÓN 9
El STANAG 1008 tiene por objeto establecer la compatibilidad de las plantas eléctricas de buques de la
OTAN, especificando los parámetros que se deben respetar en el suministro de energía eléctrica.
Los buques de la OTAN de nueva construcción tienen que seguir las normas que figuran en dicho
STANAG.
Es de aplicación solo para regímenes normales de funcionamiento, y contempla tres tipos de
suministro eléctrico: corriente continua, alterna a 400 Hz y alterna a 60 Hz. Consta de los siguientes
anexos:
Anexo A – Definiciones
Anexo B – Información para el usuario y restricciones.
Anexo C – Características de suministro de potencia eléctrica estándar.
Anexo D – Especificaciones nacionales de los estados miembros.
En el anexo B se establecen las restricciones que hay que tener en cuenta para garantizar la
compatibilidad y minimizar las interferencias entre equipos. Desarrolla aspectos como la puesta a tierra, la
interrupción del suministro, el suministro no estándar, el desequilibrio de cargas, la distorsión de señal, la
carga pulsada y los picos de voltaje.
En el Anexo C se establecen las características de suministro de potencia eléctrica estándar a 60 Hz,
400 Hz, bajo voltaje de corriente continua y otros tipos de suministro.
4. UNE 21-135-93 (PARTE 101) «INSTALACIONES ELÉCTRICAS EN BUQUES»
Esta norma está dividida en dos secciones: la primera dedicada a definiciones, y la segunda a
prescripciones y condiciones generales, a saber:
1. Instalación y materiales.
2. Aplicación de las normas en corriente alterna y continua: todas las normas se aplican a
instalaciones de corriente alterna y continua de hasta 1000 voltios.
3. Aceptación de variantes.
152
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Disposiciones respecto a la carga máxima.
Ampliaciones y modificaciones.
Temperatura del aire ambiente y del agua de refrigeración.
Inclinación del buque.
Materiales.
Variaciones de tensión y de frecuencia: se especifican las tolerancias de tensión y frecuencia para
todos los equipos. Las tolerancias en frecuencia se refieren únicamente a la construcción de
equipos, no a las consecuencias eventuales de variaciones en la carga.
10. Material eléctrico para atmósferas explosivas.
11. Precauciones cuando los cables, accesorios eléctricos, etc., estén fijados sobre estructuras de
aluminio.
12. Líneas de fuga y distancias al aire.
13. Aislantes.
14. Mantenimiento e inspección.
15. Lámparas de señalización.
16. Entradas de cables.
17. Precauciones contra las vibraciones y choques mecánicos.
18. Emplazamientos a bordo.
19. Compartimentos.
20. Protección mecánica.
21. Protección contra el agua, vapor y aceite.
22. Protección contra goteo de agua.
23. Protección contra el choque eléctrico.
24. Ejes de rotación.
25. Materiales combustibles próximos.
26. Pasamanos.
27. Compás magnético.
28. Envolventes.
29. Ensayos de calificación de los materiales
- Ensayo de retardo de la propagación de la llama para los cables.
- Ensayo de cables eléctricos sometidos al fuego, ensayo de cables en capas.
30. Normas para consulta
- UNE-20-324/1 R. Clasificación de los grados de protección por los envolventes.
- UNE-432/3. Ensayo de cables eléctricos sometidos al fuego. Ensayo de los cables colocados en
capas.
- UNE-21-302. Vocabulario electrotécnico internacional.
- UNE 21-304/2R. Índice de resistencia a la formación de caminos conductores.
- UNE 21-306. Determinación de la resistencia de aislamiento y aislantes sólidos.
- UNE 21-814 a 21-820. Material eléctrico para atmósferas explosivas gaseosas.
- CEI 79-14. Material eléctrico para atmósferas explosivas gaseosas. Instalaciones eléctricas en
atmósferas explosivas gaseosas.
- CEI 92-3. Cables, construcción, ensayo e instalación.
- CEI 92-306. Material, luminarias y aparamenta de instalación.
- CEI 92-502. Características especiales. Buques cisterna.
- CEI 92-504. Características especiales. Control e instrumentación.
31. Correspondencia con otras normas
153
BIBLIOGRAFÍA
-
MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Agustín E. González Morales
Máquinas eléctricas. Jesús Fraile Mora
Máquinas eléctricas. Stephen Chapman
Máquinas eléctricas. Rafael Sanjurjo Navarro
Máquinas síncronas y asíncronas. Universidad de Oviedo
Tratado de electricidad. Tomos I y II. Chester L. Dawes
Reglamento Electrotécnico de Baja Tensión
Reglamento Electrotécnico de Alta Tensión
STANAG 1008
Norma UNE 21-135-93 (parte 101) «Instalaciones Eléctricas en Buques»
Norma IEC 60092 «Electrical Installations in Ships»
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