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UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA
Vicerrectora Académica
Dirección de Estudios, Innovación Curricular y Desarrollo Docente
PROGRAMA FORMATIVO
CARRERA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA
MÓDULO: Matemática Discreta
CONFORME A ARCHIVO ORIGINAL EN VRA
Clave y Sigla
Timbre de recepción DEIC
Timbre
Vicerrectoría Académica
Amplitud del archivo
Folio
CARRERA
Pedagogía en Matemática / Licenciatura en
Educación
CPM 4331 Matemática Discreta
NOMBRE DEL
PROGRAMA FORMATIVO
TOTAL DE CRÉDITOS
4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales
Presencialidad (41,67%)
No presencialidad (58,33%)
45 horas semestrales,
63 horas semestrales
2 períodos semanales (2,5 hrs)
UNIDAD RESPONSABLE
DOCENTE RESPONSABLE Eduardo Cabrera de Arrizabalaga
DATOS DE CONTACTO
CORREO ELECTRÓNICO
[email protected]
TELÉFONO
COMPLEJIDAD ACTUAL Y FUTURA DE LA DISCIPLINA (JUSTIFICACIÓN)
Es un curso teórico y de aplicación, destinado a alumnos y alumnas de Pedagogía en
Matemática, que deberá permitir a estos el desarrollo de competencias teóricas y de
aplicación en los tópicos relativos a: relaciones, correspondencia biunívoca entre
conjuntos, conjuntos ordenados, retículos, álgebra booleana, teoría de grafos y
algoritmos de optimización en grafos.
Este curso desarrolla una base conceptual de modo que a los y las estudiantes les permita
desarrollar un nivel de competencias disciplinares matemáticas de mayor complejidad,
reconociendo que este desarrollo le permiten resolver situaciones de problemas en
contextos diversos y generar procesos de aprendizaje coherentes con el perfil de egreso.
Este curso, además, entrega la suficiente información teórica sobre los tópicos
mencionados, que permita a los y las estudiantes emprender sus actividades
profesionales eficientemente y con un compromiso de investigación y perfeccionamiento
permanente.
UNIDAD COMPETENCIA GENERAL
Al finalizar –exitosamente- este curso los y las estudiantes estarán habilitados para
aplicar, argumentar y validar las estructuras discretas que subyacen en la matemática
enmarcada en los tópicos antes señalados de acuerdo a los Estándares Orientadores para
Carreras de Pedagogía en el área de Matemática.
N° SUB UNIDADES DE COMPETENCIA
1 Fortalecen el conocimiento y aplicación del vocabulario básico referente a
2
3
4
5
Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos,
Algebra booleana, Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en Grafos.
Comprenden y valoran los procesos relativos a los tópicos de Correspondencia
biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana,
Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en Grafos.
Resuelven situaciones aplicando los tópicos de Correspondencia biunívoca entre
conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana, Teoría de grafos y
Algoritmos de Optimización en grafos a situaciones teórico-prácticas
preestablecidas.
Argumentan y demuestran si un aserto dado sobre los tópicos de Correspondencia
biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana,
Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en grafos es o no tautología.
Fortalece una actitud positiva y propositiva frente a la aplicabilidad del
conocimiento matemático asociado a las estructuras discretas.
Unidades de Aprendizaje (Saberes)
Fecha
Semana 1
Semana 2
Semana 3
I)
Correspondencia Biunívoca entre conjuntos
1. Relación binaria
Concepto, ejemplos. Propiedades de una relación, caracterización de
una relación.
2. Función (o aplicación).
Concepto, ejemplos. Propiedades fundamentales. Relación entre
conjunto imagen directa, conjunto imagen recíproca.
3. Correspondencia biunívoca entre conjuntos,
Conjuntos equipotentes. Conjuntos finitos e infinitos. Propiedades.
Conjuntos numerables y a lo sumo numerables (contables).
Unión finita y unión numerable. Propiedades.
Fecha
Semana 4
Semana 5
Semana 6
Semana 7
II)
Conjuntos Ordenados y Algebra Booleana
II.1) Conjuntos Ordenados
1. Relación de orden
2. Representación de una relación de orden
2.1 Grafo dirigido o dígrafo
2.2 Diagrama de Hasse
3. Conjunto ordenado
3.1 Orden inverso o dual
3.2 Orden Producto
3.3 Orden Lexicográfico
3.4 Relación conexa
4. Conjunto totalmente ordenado
5. Elementos característicos de un conjunto ordenado
6. Conjunto ordenado acotado
II.2) Retículos
1. Retículo
2. Retículo inverso o dual
3. Retículo producto
4. Definición algebraica de retículo
5. Propiedades de los retículos
Semana 8
6. Subretículo
7. Homomorfismo de retículos
8. Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo de retículo
9. Retículo acotado
10. Propiedades de retículo acotado
11. Retículo distributivo
12. Retículo complementario
Semana 9
Semana 9
Evaluación 1
II.3) Álgebra de Boole
1. Álgebra de Boole
2. Propiedades del Algebra de Boole
3. Proposiciones fundamentales del álgebra de Boole
4. Conjunto de átomos de un álgebra de Boole
5. Conjunto de súper-átomos de un álgebra de Boole
Semana 10
Semana 11
Semana 12
Semana 13
Semana13
Semana 14
Semana 15
6. Las álgebras de Boole [0,1]𝑛
II.4) Funciones Booleanas
1. Funciones Booleanas
2. Representación de una función Booleana
2.1 Tabla de verdad
2.2 Expresiones Booleanas.
2.2.1 Forma normal disyuntiva (f.n.d)
2.2.2. Forma normal conjuntiva (f.n.c)
3. Diagramas Lógicos
4 Simplificación de expresiones Booleanas
4.1 Simplificación de expresiones booleanas mediante leyes del
álgebra de Boole.
4.2 Simplificación de expresiones Booleanas por Mapas de
Karnaugh
i.
Mapa de Karnaugh de dos, tres y cuatro
variables.
ii. Mapa de Karnaugh de cinco o más variables.
4.3 Método de simplificación de expresiones Booleanas
mediante el algoritmo de Quine-McCluskey.
5 Aplicaciones del álgebra Booleana
Evaluación 2
III) Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización.
1. Grafos. Elementos de un grafo. Definición, ejemplos.
2. Grafos y subgrafos: grafo completo, bipartidos, n-partido, npartido completo. Complementarios. Matriz de adyacencia y
matriz de incidencia.
3. Operaciones entre grafos: unión, suma, producto cartesiano,
producto lexicográfico (composición), sustitución.
4. Realización de un grafo. Sucesión de grados, Teo de HavelHakimi, Teo de Erdos y Gallai.
5. Homeomorfismo e Isomorfismo de grafos. Subgrafos inducidos;
por vértices, por líneas. Subgrafo gererador.
6. Distacia en grafo (simples y pesados), excentricidad de vértice,
radio de un grafo, diámetro y centro de un grafo.
7. Digrafos, multigrafos y grafos pesados.
Caminos, trayectorias y circuitos: eulerianos (algoritmo de Fleury),
hamiltonianos.
Caminos más cortos en grafos ponderados (pesados). Algoritmo de
Dijkstra. Problema del vendedor viajero.
Grafos planares, grafos planos. Teorema de Kuratowski.
Semana 16
Semana 17
Semana 18
Árboles. Definiciones, propiedades y ejemplos.
Árboles enraizados y su longitud de caminos.
Árboles pesados y prefijos codificados.
Árboles generados y conjuntos de corte.
Árboles generadores mínimos. Algoritmos de Kruskal y Prim.
Redes de transporte. Teorema del flujo máximo-corte mínimo
Síntesis y Evaluación 3
Síntesis, pruebas pendientes, examen final
Competencias I
Competencias
Indicadores
Conocimiento y comprensión de los
 Clasifican las relaciones binarias según sus
fundamentos teóricos que sustentan la características
correspondencia entre conjuntos
 Demuestran o refutan que una relación
binaria es o no aplicación
Empleo de diagramas para visualizar
 Emplean pseudodigrafos y diagramas para
definiciones, proposiciones y
representar una relación.
propiedades referentes
 Reconocen y distinguen los elementos
correspondencia entre conjuntos
característicos de una relación y en especial
de una aplicación.
 Discriminan si una relación entre
conjuntos es biunívoca o no basándose en su
definición y de manera visual utilizando
esquemas afines.
Habilidad para trabajar de forma
 Aplican teoremas, definiciones y
autónoma en la resolución de
proposiciones en la resolución de ejercicios
ejercicios que involucren los
como en la argumentación para demostrar
conceptos asociados a
asertos dados.
correspondencia entre conjuntos
 Utilizan de manera precisa la terminología
matemática en la expresión escrita.
Competencias II.1
Competencias
Indicadores
Conocimiento y comprensión de los
 Demuestran o refutan que una dupla
fundamentos teóricos que sustentan
ordenada formada por un conjunto y una
los conjuntos ordenados.
relación definida en él, es un conjunto
ordenado.
 Clasifican los conjuntos ordenados en
parcialmente ordenados y totalmente
ordenados.
Empleo de diagramas para visualizar
 Emplean pseudodigrafos y diagramas de
definiciones, proposiciones y
Hasse para representar conjuntos ordenados.
propiedades referentes a los conjuntos  Reconocen y distinguen los elementos
ordenados.
característicos de los conjuntos ordenados en
base a su definición y de manera visual
utilizando su representación en diagramas de
Hasse.
 Discriminan si un conjunto ordenado es
acotado, acotado superiormente, acotado
inferiormente o no es acotado basándose en su
definición y de manera visual utilizando su
representación en diagrama de Hasse.
Habilidad para trabajar de forma
autónoma en la resolución de
ejercicios que involucren los
conceptos asociados a conjuntos
ordenados.
 Aplican teoremas, definiciones y
proposiciones en la resolución de ejercicios.
 Utilizan de manera precisa la terminología
matemática en la expresión escrita.
Competencias II.2
Competencia
Conocimiento y comprensión de los
fundamentos teóricos que sustentan
los retículos.
Empleo de diagramas para visualizar
definiciones, proposiciones y
propiedades referentes a los retículos.
Habilidad para trabajar de forma
autónoma en la resolución de
ejercicios que involucren los
conceptos asociados a los retículos.
Indicadores
 Usan las definiciones 1 y 2 de retículo.
 Demuestran que ciertos conjuntos
ordenados son retículos.
 Demuestran las propiedades de retículos.
 Utilizan la definición de Homomorfismo
de retículos.
 Definen monomorfismo, epimorfismo e
isomorfismo de retículo.
 Discriminan si un Retículo es acotado y
demuestran sus propiedades.
 Identifican los retículos distributivos
utilizando diferentes criterios y las
propiedades distributivas.
 Identifican los retículos complementarios y
sus características.
 Utilizan diagramas de Hasse para
visualizar las definiciones, proposiciones y
propiedades referentes a los retículos.
 Esquematizan los monomorfismos,
epimorfismos e isomorfismos de retículo.
 Crean, analizan y usan diferentes
estrategias y modelos para solucionar
problemas sobre homomorfismo de retículos.
 Utilizan de manera precisa la terminología
matemática en la expresión escrita.
Competencias II.3
Competencia
Conocimiento y comprensión de los
fundamentos teóricos que sustentan el
álgebra Booleana.
Indicadores
 Demuestran que ciertos retículos son
álgebras de Boole.
 Comprenden las proposiciones
fundamentales del álgebra Booleana para
determinar si un conjunto ordenado es un
álgebra de Boole.
 Utilizan las proposiciones
fundamentales del álgebra Booleana para
determinar si un conjunto ordenado es un
álgebra de Boole.
 Demuestran las propiedades del álgebra
Booleana.
Empleo de diagramas para visualizar
definiciones, proposiciones y
propiedades referentes al álgebra de
Boole.
 Utilizan diagramas de Hasse para
visualizar las definiciones, proposiciones y
propiedades del álgebra Booleana.
 Esquematizan la isomorfía de álgebras
Booleanas.
 Aplican teoremas, definiciones,
proposiciones y propiedades del álgebra
Booleana en la resolución de ejercicios.
 Crean y usan diferentes estrategias y
modelos para solucionar problemas sobre
el álgebra de Boole.
 Analizan y usan diferentes estrategias y
modelos para solucionar problemas sobre
el álgebra de Boole.
 Utilizan precisamente la terminología
matemática en la expresión escrita.
Habilidad para trabajar de forma
autónoma en la resolución de ejercicios
que involucren los conceptos asociados
al álgebra Booleana.
Competencias II.4
Competencia
Conocimiento y comprensión
de los fundamentos teóricos
que sustentan las funciones
Booleanas.
Conocimiento y comprensión
de las formas de representar
una función Booleana.
Indicadores
 Determinan funciones Booleanas a partir de su
definición y reconocen la relación con el álgebra de
booleana.
 Representan funciones Booleanas a través de
tablas de verdad.
 Representan funciones Booleanas mediante
expresiones Booleanas.
 Determinan la forma normal disyuntiva de una
expresión Booleana.
 Determinan la forma normal conjuntiva de una
expresión Booleana.
 Representan expresiones Booleanas mediante
diagramas lógicos.
Empleo de distintos métodos  Simplifican expresiones Booleanas mediante
de simplificación de
leyes de álgebra de Boole.
expresiones Booleanas.
 Simplifican expresiones Booleanas mediante
mapas de Karnaugh.
 Simplifican expresiones Booleanas utilizando el
método de Quine-McKluskey.
Habilidad para trabajar de
 Aplican teoremas, definiciones, proposiciones y
forma autónoma en la
propiedades del álgebra Booleana en la resolución
resolución de ejercicios que
de ejercicios asociados a las funciones Booleanas.
involucren los conceptos
 Crean, analizan y usan diferentes estrategias y
asociados las funciones
modelos para solucionar problemas sobre funciones
Booleanas.
booleanas.
 Utilizan precisamente la terminología
matemática en la expresión escrita.
Competencias II.5
Competencia
Indicadores
Aplicación y relación de los
 Diseñan circuitos lógicos que permitan simular
conocimientos matemáticos
situaciones reales.
asociados al álgebra Booleana  Implementan en un software diferentes circuitos
con otras áreas del saber,
lógicos para visualizar su funcionamiento.
como por ejemplo la
 Implementan en una protoboard los circuitos
computación y la electrónica. lógicos utilizando diferentes componentes
electrónicos.
Comprensión y empleo del
concepto de expresión
booleana.
Competencias III
Competencia
Conocimiento y comprensión de
los fundamentos teóricos que
sustentan los Grafos y Digrafos
Indicadores
 Determinan los elementos de un grafo y sus
relaciones a partir de su definición y reconocen la
relación de ellos.
Conocimiento y comprensión de
las formas de representar y operar
grafos.
 Representan grafos asociados a la operación
entre ellos (unión, suma, producto, sustitución)..
 Representan la matriz de adyacencia y de
incidencia de un grafo
Comprensión y empleo del
concepto de Homeomorfismo e
Isomorfismo de grafos.
 Determinan la relación (morfismo) existente
entre grafos.
 Determinan susbgrafos inducidos y subgrafo
generado..
 Caracterizan la sucesión de grados de un grafo.
 Determinan si la sucesión es realizable en un
grafo o familia de grafos.
 Aplican el Teorema de Havel-Hakimi para la
realización de un grafo
 Aplican teoremas, definiciones, proposiciones
y propiedades en la determinación de elementos
característicos de un grafo (excentricidad, radio,
diámetro, centro de un grafo)
 Crean, analizan y usan diferentes estrategias y
modelos para determinar grafos Eulerianos y
grafos Hamiltonianos
 Utilizan precisamente la terminología
matemática en la expresión escrita.
 Determinan caminos, trayectorias y circuitos .
 Describen grafos planares y grafos planos vía
teorema de Kuratowski.
 Determinan, vía algoritmo de Dijkstra,
caminos más cortos en grafos ponderados
(pesados).
 Determinan, vía algoritmo de Kruskal y de
Prim, árboles generadores mínimos.
Comprensión y empleo del
concepto de la Realización de un
grafo.
.
Habilidad para trabajar de forma
autónoma en la resolución de
ejercicios que involucren los
conceptos asociados a la teoría de
grafos.
Aplicación y relación de los
conocimientos matemáticos
asociados a la optimización en
grafo vía algoritmos, en grafos y
dígrafos.
Bibliografía
Básica:
Abellanas, M., Lodares, D.
Matemática Discreta.
Editorial Macrobit Editores, Mexico, 1991.
Ross, Kenneth A.
Wright, Charlesm R.B.
Matemáticas Discretas.
Editorial Prentice-Hall Hispanoamérica, S. A., México, 1990.
Chartrand, G. & Lesniak, L.
Graphs and Digraphs.
Ed. Chapman and Hall. 3ª Edition, 1996.
Complementaria:
Brown, John W., Sherbert, Donald R.
Methods of Finite Mathematics.
Editorial John Wiley & Sons, Inc., U.S.A., 1989.
Grimaldi, Ralph P.
Matemáticas Discreta y Combinatoria.
Addison-Wesley Iberoamérica, México,1989.
Liu, C. L.
Elementos de Matemáticas Discretas.
McGraw-Hill, segunda edición, México, 1995.
Mizrahi, Abe. & Sullivan, Michael.
Matemáticas Finitas - aplicaciones en ciencias sociales y administrativas.
Editorial Limusa, México, 1978.
Johnsonbaugh, Richard.
Matemáticas Discretas.
Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1988.
Robledo, Alamiro.
Lecciones de Álgebra Elemental Moderna.
Editorial Universitaria S. A., Tomo I, Santiago, 1971.