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Matemáticas 2 Bloque 1 Solucionario Triángulos: ángulos y relaciones métricas Mis saberes y experiencias 1. 40o 140o 140o 40o 140o 140o 40o 2. a) b) 3. a) escaleno, obtusángulo b) escaleno, acutángulo c) escaleno, rectángulo d) isósceles, acutángulo e) equilátero, acutángulo 4. 5 97o, 24o Lección 1 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 3 u2 y 7 u2 a) 4 rectas b) 6 segmentos Los puntos C y D a) CAB b) CAD Son 14 ángulos, Alicia está bien porque se forman ángulos en donde empieza y termina cada rama (aunque están en sentido inverso). a) Se pueden formar 16 ángulos, los cuales son: ECD, DCA, ACB, BCE, ECA, DCB, ACE, BCD, DCE, ACD, BCA, ECB, ECE, DCD, ACA, BCB b) Los ángulos iguales son: ECD y ACB DCA y BCE ECA, DCB, ACE y BCD DCE y BCA ACD y ECB ECB, ECE, DCD, ACA y BCB a) ABC 34o b) FED 135o c) HGI 90o d) KLM 15o a) Las 3 b) Las 2 c) Las 6 d) Las 9 e) Las 10 f) Las 12 g) Las 9 h) Las 10 CEA 60o BEC 120o AED 5 120o DEC 5 180o DEB 5 60o BEA 5 180o CEA 5 DEB BEC 5 AED BEA 5 DEC DEB + BEC 5 DEC BEC + CEA 5 BEA Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Al intersecarse dos rectas, los ángulos adyacentes que se forman suman 180o. 1 Matemáticas 2 Bloque 1 Solucionario 16. a) 90o b) 90o 17. Perpendicular, perpendicular, paralela, paralela, paralela, perpendicular, perpendicular. 21. En un caso se está calculando el ángulo que se obtiene de girar de M hasta E; en el otro se está calculando el ángulo que se obtiene al girar de E hasta M. 23. c, d, e, g 24. x 5 133.7o y 5 46.3o z 5 46.3o o o w 5 133.7 m 5 133.7 n 5 46.3o o t 5 133.7 25. a) m y w b) x, t o y, n c) x, m o z, n o w, t d) cualesquiera adyacentes 26. a) CEA 5 55o b) DEB 5 30o c) BEC 5 160o o o d) CEA 5 20 e) AED 5 160 f) BEF 5 19o o g) DEA 5 149 Lección 2 29. En el lado izquierdo todos los triángulos tienen lados diferentes, en el lado derecho cada triángulo tiene dos lados iguales. 30. Los del lado izquierdo son escalenos, los del lado derecho isósceles. 31. 1. Escaleno, 2. Isósceles, 3. Escaleno, 4. Equilátero, 5. Isósceles. 32. Triángulo 1, 2 ángulos agudos y 1 obtuso Triángulo 2, 3 ángulos agudos Triángulo 3, 2 ángulos agudos y 1 recto Triángulo 4, 3 ángulos agudos Triángulo 5, 2 ángulos agudos y 1 obtuso 33. No puede haber un triángulo con un ángulo interior recto y uno obtuso. Un triángulo puede tener a lo más un ángulo interior obtuso. Un triángulo puede tener a lo más un ángulo interior recto. Los tres ángulos interiores de un triángulo pueden ser agudos. Si un triángulo tiene un ángulo interior recto, los otros dos ángulos interiores serán agudos. Si un triángulo tiene un ángulo interior obtuso, los otros dos ángulos interiores serán agudos. 37. a) 92 cm2 b) 42 cm2 c) 42 cm2 38. 12 cm 39. 15.2 cm 40. El triángulo del inciso b, porque tiene mayor altura que los otros. 41. 9 unidades cuadradas. 42. 21 unidades cuadradas. Mido mi rendimiento Lección 1 43. 65o 44. 155o 45. Tanto para los ángulos internos como para los externos, todos los ángulos agudos miden 54o y todos los ángulos obtusos miden 126o. 2 Matemáticas 2 46. 47. Solucionario Bloque 1 De acuerdo a la siguiente figura: Son ángulos correspondientes 1 y 5 2 y 6 3 y 7 4 y 8 Son ángulos alternos internos 4 y 5 3 y 6 Son ángulos alternos externos 1 y 8 2 y 7 Son opuestos por el vértice 1 y 4 2 y 3 5 y 8 7 y 6 Son ángulos suplementarios 1 y 2 2 y 4 4 y 3 3 y 1 5 y 6 6 y 8 8 y 7 7 y 5 De acuerdo a la siguiente figura: Son ángulos correspondientes d y e a y f c y h b y g Son ángulos alternos internos a y h b y e Son ángulos alternos externos f y c g y d Son ángulos opuestos por el vértice a y c d y b e y g f y h Son ángulos suplementarios a y d d y c c y b b y a 2 1 3 6 5 7 8 e a d c 4 b h f g 3 Matemáticas 2 48. Bloque 1 Solucionario e y h h y g g y f f y e No son paralelas porque los ángulos alternos externos son diferentes. Lección 2 49. 50. 52. Triángulo A, obtusángulo, escaleno Triángulo B, equilátero, acutángulo Triángulo C, rectángulo, isósceles k 5 108o w 5 76o 9 unidades cuadradas, 12.5 unidades cuadradas. 4 Matemáticas 2 Bloque 2 Solucionario Congruencia de triángulos Mis saberes y experiencias 1. a) ABC BCD CDA DAB ABC BAD BCA CBD DAC ADB APB DPC CPB APD ADC CBA DCB BAD b) HEI HFG c) JQK KQL LQM MQN NQO OQJ 2. a) Hay dos tamaños de triángulos congruentes: aquellos que corresponden a la mitad del cuadrado, en cuyo caso se puede garantizar que todos los triángulos en esas condiciones son congruentes, porque si se toman los lados que forman el ángulo recto, por ser lados de un cuadrado son iguales en cualquier pareja de triángulos que se tome, y como hay un ángulo de 90° entre esos lados, eso garantiza la congruencia de los dos triángulos. Un ejemplo específico se tiene con: Como AB BA, en este caso el mismo lado BC AD en cuyo caso se garantiza que son iguales por ser lados de un cuadrado y el DAB CBA 90o por ser ángulos de un cuadrado; por lo tanto ABC BAD. El otro caso de triángulos congruentes es el de los triángulos pequeños que tienen un vértice en el centro. Para garantizar la congruencia primero se verificará que tienen dos ángulos de 45o; para demostrarlo se puede observar que ABC y todos sus triángulos congruentes son isósceles, porque dos de sus lados coinciden con los lados del cuadrado, por lo tanto como ABC 90o, BCA CAB y BCA 1 CAB 90o, ya que la suma de los ángulos interiores es de 180o y BCA 1 CAB 45o Esto ocurre para todos los triángulos pequeños de la figura; por lo tanto APB BPC CPD DPA 90o, ya que cada uno de ellos forma parte de un triángulo isósceles, cuyos otros dos ángulos son de 45°. Se tomará como ejemplo la congruencia de la siguiente pareja de triángulos, pero para cualquiera de los triángulos pequeños de la figura se hace del mismo modo. Para demostrar que CPB APD CPB APD 90o Por otro lado PBC PDA 5 45o y BCP DAP 45o Además su lado mayor DA BC, por ser lados del cuadrado. Con esto se puede garantizar que cualquier pareja de los triángulos pequeños que se forman en la figura son congruentes. b) Para demostrar que son congruentes HEI HFG se tiene que HI HG y también GF IE porque respectivamente son lados de un pentágono regular. Por otro lado HIE HGF, ya que son ángulos interiores de un pentágono regular; esto es suficiente para garantizar que son congruentes los triángulos. c) Para cada pareja de triángulos, dado que Q es el centro, la distancia de Q a cada uno de los vértices es la misma, ya que es un polígono regular; para un caso específico, por ejemplo: JQL KQL, se tiene que JQ KQ y QK QL, en ambos casos por ser la distancia del centro del vértice. 5 Matemáticas 2 Bloque 2 Solucionario Por otro lado JK KL, ya que son lados de un polígono regular, por lo tanto se tiene la congruencia de JQK KQL; esto mismo se puede hacer para cada pareja de triángulos. Lección 1 5. Sí. 6. Sí. 7. Porque si los lados correspondientes de dos triángulos son iguales, quiere decir que los triángulos son iguales. 9. No. 10. Porque el triángulo no alcanza a cerrar, ya que al unir los lados más pequeños no se cubre el lado más grande y al transportar las medidas de los lados los círculos no se intersecan. 12. La longitud de un segmento debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros dos. 13. a) Sí, porque la suma de la longitud de cada posible pareja de segmentos es mayor que el segmento restante. b) Sí, porque la suma de la longitud de cada pareja de segmentos es mayor que el segmento restante. c) No, porque la suma de 5.23 cm y 12.2 cm es menor que 18.25 cm, por lo cual no se puede construir un triángulo con esas medidas. 14. a) El segmento que falta debe ser mayor que 1.24 cm y menor que 25.6 cm. b) cualquier valor positivo menor que 35.08 cm. c) cualquier valor mayor que 12 cm y menor que 33 cm. 15. a) 37o b) En la mayoría de los casos no será congruente con los triángulos de sus compañeros, porque sus lados no serán del mismo tamaño. 16. Las medidas pueden variar y los triángulos construidos pueden o no ser congruentes. 17. Las medidas pueden variar y los triángulos construidos pueden o no ser congruentes. 18. Las conclusiones pudieran ser: Aunque dos triángulos tengan sus ángulos correspondientes iguales, esto no garantiza que sean congruentes. Si dos triángulos tienen dos ángulos y un lado iguales, esto no garantiza que sean congruentes, a menos que se encuentren ordenados los ángulos y el lado de cierta manera. Si dos triángulos tienen un ángulo y dos lados iguales, esto no garantiza que sean congruentes, a menos que se encuentren ordenados el ángulo y los lados de cierta manera. Lección 2 19. a) Se intersecan formando un triángulo. b) AC 5 5.24 cm c) BC 5 2.66 cm d) Deben ser iguales e) Son congruentes 20. a) Se forma un triángulo b) BC 5 3.56 cm c) ACB 5 52.6° d) Deben ser iguales e) Son congruentes 23. LAL, se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 6 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 2 24. a) DC 5 D’C , DE 5 D’E y el lado CE es el mismo. b) Son congruentes por el criterio LLL. 25. Los triángulos dibujados son congruentes y el criterio para garantizarlo es ALA. 26. Los triángulos dibujados son congruentes y el criterio para garantizarlo es ALA. 27. a) AC 5 CB porque C es punto medio de AB DC 5 CE porque C es punto medio de DE ACD 5 BCE porque son opuestos por el vértice. Por lo tanto, por el criterio LAL: ACD BCE. 28. Tienen la misma forma pero no son congruentes, son de diferente tamaño. 29. a) Falso, los lados opuestos del paralelogramo miden lo mismo pero no necesariamente los lados adyacentes son iguales. C D A B Como AB y CD son paralelas entonces DAB 5 ADC por ser alternos internos. Como AC y DB son paralelas entonces CAD 5 BDA por ser alternos internos. El lado AD es común. Por lo tanto ACD DBA. A pesar de que no se sabía antes que los lados opuestos eran congruentes, con los mínimos elementos que se tienen se puede garantizar ahora que AB 5 CD y que AC 5 DB. b) Verdadero, porque se forman triángulos congruentes. C D E A B CED BEA por el criterio ALA, ya que los ángulos correspondientes son iguales por ser paralelas AB y CD y se demostró en el inciso anterior que son iguales AB y CD Esto implica que CE 5 EB y AE 5 ED porque E es el punto medio de AD y CB. c) Falso, esto sólo en caso de que el paralelogramo fuera un rectángulo, ya que ABD o BDC debieran ser rectos y eso no ocurre en todos los paralelogramos. d) Verdadero, se demostró en el inciso a. 7 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 2 30. A partir de la siguiente figura se tiene que: D A M B AD 5 BD porque el triángulo es isósceles ADM 5 BDM porque DM es bisectriz El lado DM es común a ambos triángulos. Por lo tanto DAM DBM por el criterio LAL. Esto implica que DAM 5 DMB y dado que son suplementarios DAM 1 DMB 5 180°, es decir, DMA 5 DMB 5 90°. Por lo tanto DM es perpendicular a AB 31. Antes que nada se demostrará que ABC ADC Por la definición de romboide: AB 5 AD y BC 5 DC Además el lado AC es común, por lo tanto por el criterio LLL se tiene ABC ADC. Por lo tanto BCA 5 DCA y dado que el BCD es isósceles y CA es su bisectriz principal, se tiene que CA es perpendicular a BD. Por otro lado BCN DCN, ya que BC 5 DC, CN es común y BCN 5 DCN. De la misma manera se demuestra que BAN DAN. B C N A D 8 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 2 Mido mi rendimiento Lección 1 32. a) Los triángulos no son congruentes porque aunque tienen dos lados y un ángulo iguales, el ángulo que es igual no es el correspondiente, sino el comprendido entre los lados que son iguales. b) Los triángulos son congruentes por el criterio LLL. c) Los triángulos no son congruentes, ya que aunque todos sus ángulos son iguales, no tienen ningún lado igual. d) Los triángulos son congruentes por el criterio LLL, ya que los triángulos que se forman son isósceles y tienen la base común. C A D E 33. ACD AED por el criterio LLL, ya que AC 5 DE 5 AE 5 DC y el lado AD es común, por lo tanto CDA 5 EAD 5 CAD 5 EDA. Por otro lado CAE EDC también por el criterio LLL, por lo tanto DCE 5 AEC 5 ACE 5 DEC. Esto implica que por el criterio ALA: DCM ACM ACM DEM, lo que lleva a que AM 5 MD y CM 5 ME, por lo cual M es el punto medio de ambas diagonales. J I K H L F G 34. FLK FGH ya que LF 5 FG 5 GH 5 LK, dado que son lados de un polígono regular y además KLF 5 HGK por ser ángulos internos de un polígono regular, por lo tanto FLK FGH. Dada la congruencia anterior, se tiene que FK 5 FH y LKF 5 GHF; y como LKJ 5 FHI, esto lleva a que FKJ 5 FHI; y como KJ 5 HI, ya que son lados de un polígono regular, entonces FKJ FHI. 9 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 3 Semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras Mis saberes y experiencias 1. DEC y ABC son semejantes. FGH, GIH y FIG son semejantes. RPQ y KLM son semejantes. 2. En el primer caso las rectas DE y AB son paralelas, por lo que los ángulos de los dos triángulos son iguales y se usa el criterio de ángulo, ángulo, ángulo. En el segundo caso dos de los ángulos de todos los triángulos son iguales, por lo que el tercero también es igual, por lo tanto se usa el criterio ángulo, ángulo, ángulo otra vez. En el tercer caso hay un ángulo igual en los dos triángulos y los lados correspondientes están en la misma proporción, por lo que se usa el criterio lado, ángulo, lado. 3. Dado que la proporción es 1:3, la longitud de KM es 4. HG 5 12 unidades. 5. CF ≈ 0.787 unidades, EG ≈ 2.51 unidades. 36 5 7.2 unidades. 5 9.5 5 3.1666 3 Lección 1 7. 12 unidades. 11. EIF y ABG son semejantes por el criterio AA. JKP y NOR son semejantes por el criterio AA. DCH y BAG son semejantes por LAL. 12. 6.31 m 13. 4.88 km Lección 3 16. 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. 17. 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 9, 12, 15; 8, 15, 17; 12, 16, 20. 18. a) c 8.6; b) c 6.71; c) b 5 8; d) a 19.67 19. a) x 16; b) x 15 ; c) x 9.54; d) x 5 5; e) x 11.54, y 23.08 20. 4 cm 21. 8 m Lección 4 22. Altura sobre la hipotenusa BD 5 4, hipotenusa AC 5 25 20 , cateto AB 5 3 3 23. La medida de los catetos es aproximadamente 2.154 y 5.38 24. Los rieles deben medir aproximadamente 490.09 m y la distancia horizontal que estaría cubriendo sería de 343.08 m aproximadamente. 10 Matemáticas 2 Bloque 3 Solucionario Mido mi rendimiento Lección 1 25. Sugerencia: usar criterio AA. 26. Sugerencia: usar que en una recta que corta a dos paralelas, los ángulos alternos internos que se forman miden lo mismo. 27. 11.33 y 17 unidades. Lección 2 28. Sugerencia: usar teorema de Tales. 29. Faltan 2 metros de cuerda desde el punto B hasta donde está Alfonso. Lección 3 30. 3 a 2 31. Área 5 3 * 27 23.38 2 32. 12.5 unidades. 33. Dibujando la diagonal de un cuadrado de lado igual a una unidad (existen otras formas de hacerlo, ésta es sólo un ejemplo). 34. 96 m Lección 4 35. 2.65 y 6.78 unidades aproximadamente. 11 Matemáticas 2 Bloque 4 Solucionario Propiedades de los polígonos Mis saberes y experiencias 2. 3. 4. 5. 6. El balón de soccer tiene 12 pentágonos y 20 hexágonos. 7 lados, heptágono; 8 lados octágono, 9 nonágono, 10 decágono. 10.83 cm2 aproximadamente. 72°, 54° y 54° Los nombres de las figuras en el orden de aparición son: octágono, cuadrado, trapecio, paralelogramo, rombo. Lección 1 7. a) 1) 57°, 2) 60°, 3) 52°, 4) 56° b) Todos miden 36° c) 1) 73°, 2) 67°, 3) 224°, 4) 72°, 5) 68°, 6) 217° d) Todos miden 77° 8. a) 4, cuadrilátero, no, no. b) 5, pentágono, sí, sí. c) 6, hexágono, no, no. d) 7, heptágono, sí, sí. 9. a) Trapecio, irregular, convexo. b) Octágono, irregular, cóncavo. c) Paralelogramo, irregular, convexo. d) Decágono, regular, cóncavo. e) Rombo, irregular, convexo. f) Rectángulo, irregular, convexo. Lección 2 10. a) 16 627.68 cm2 es el área de la mesa hexagonal, por lo que el área de cada mesa trapezoidal es la mitad, 8 313.84 cm2 b) 136 819.19 m2 c) 75.40 cm2 11. a) Para n 5 7 hay 4 diagonales. Para n 5 8 hay 5 diagonales. Para n 5 9 hay 6 diagonales. Para n 5 10 hay 7 diagonales. La fórmula es n23 12. a) Para n 5 7 hay 14 diagonales. Para n 5 8 hay 20 diagonales. Para n 5 9 hay 27 diagonales. Para n 5 10 hay 35 diagonales. La fórmula es: n (n22 3) Lección 3 13. El cuadrado tiene cuatro simetrías o rotaciones: 90°, 180°, 270°, 360°. El pentágono regular tiene 5: 72°, 144°, 216°, 288°, 360° 14. El pentágono no tiene reflexiones por un punto. El hexágono tiene 3 simetrías por un punto. Las simetrías corresponden a los puntos opuestos por el centro del hexágono. 15. El hexágono tiene 6, mientras que el heptágono tiene 7, por lo tanto el heptágono tiene más ejes de simetría. 16. Los polígonos regulares con un número par de lados tienen dos tipos de ejes de simetría: los que pasan por los puntos medios de lados opuestos y los que pasan por los vértices opuestos. En el caso de los polígonos con un número impar de lados los ejes de simetría pasan por el punto medio de un lado y por su vértice opuesto. 12 Matemáticas 2 Bloque 4 Solucionario 17. a) Para n 5 5 el ángulo central mide 72°. Para n 5 6 el ángulo central mide 60°. Para n 5 7 el ángulo central mide 51.43°. Para n 5 8 el ángulo central mide 45°. Para n 5 9 el ángulo central mide 40°. Para n 5 10 el ángulo central mide 36°. La fórmula es: 360º n 18. a) 120°, b) 135°, c) 140° 19. El resultado es siempre 360° 20. a) 36° b) 9 lados c) Sí, el de 12 lados d) No existe, el ángulo exterior más grande para un polígono regular es el del triángulo equilátero, que mide 120° e) Para n 5 5 el ángulo central mide 72° f) Unos miden 36° y los otros 252° Mido mi rendimiento Lección 1 21. a) Cuadrilátero cóncavo irregular. b) Cuadrado convexo regular. c) Pentágono convexo irregular. d) Hexágono convexo irregular. e) Heptágono convexo regular. f) Hexadecágono cóncavo irregular. Lección 2 22. 23. 24. 25. 26. 70.71 cm2 154.55 m2 7 307.09 cm2 12.73 m Tiene 7 lados Lección 3 27. Ángulo central 30°, ángulo interior 150°, ángulo exterior 30° 28. 360° 29. No existe. La suma de ángulos interiores es al menos 180° 30. Sí existe, es el pentágono. 13 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 5 La circunferencia Mis saberes y experiencias El ángulo en el vértice A mide 26° y el ángulo en el vértice B mide 128° El valor del ángulo en R es 90° y el valor en el ángulo en S es 70° 12 cm a) Secante b) Tangente c) Radio d) Diámetro e) Cuerda 5. 3.1416 veces 6. En ambos vértices los ángulos miden 25° 7. a) 2 b) 4 1. 2. 3. 4. c) d) 2 3 Lección 1 8. a) 100 b) El cuadrado ABCD mide 14*14 5 196, el rectángulo EFGH mide 2*8 5 16, el triángulo AEF mide 2* 32 5 3, y el triángulo IEH mide 8* 12 5 4 (todas las demás figuras tienen áreas similares). c) 300 d) Dividiendo el valor de sus áreas 300 5 3 100 9. a) Área 314.16 cm2, perímetro 62.83 cm b) Área 28.27 cm2, perímetro 18.85 cm c) 10 cm d) 207.47 cm e) 70.5 m 10. a) 2 cm b) cm c) cm 2 14 Matemáticas 2 Bloque 5 d) cm 3 e) cm 6 f) 2 cm 3 Solucionario g) Usando proporción, ya que 360° corresponden a una vuelta entera, es decir, al perímetro de la circunferencia 2 cm. 11. a) r b) r 2 12. a) 90° b) 90° c) Tienen la misma medida por ser radios de la misma circunferencia d) Ambos son isósceles porque tienen dos lados con la misma medida e) Los pares de ángulos miden lo mismo por ser ángulos de triángulos isósceles f) Sí, porque el ángulo se forma con ángulos de la misma medida que y (observa los triángulos isósceles en la imagen 5.20) g) Sí, ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180° h) Sí, combinando las dos ecuaciones anteriores i) Resuelve la ecuación anterior. 13. 5 60° y 5 120° 14. a) 5 70° y 5 110° mide 104° y 5 70° b) El arco AD Mido mi rendimiento Lección 1 15. La recta secante corta a la circunferencia en dos puntos, mientras que la tangente sólo la toca en uno. 16. 25.13 cm 17. 78.54 cm2 18. 12.56 m2 19. Una cuerda es un segmento de recta, mientras que un arco es un segmento de una circunferencia. 20. r 5 2.09 cm 3 21. 482 vueltas completas. Lección 2 22. 5 45 y 5 90° 23. 5 85° y 5 29° 15 Matemáticas 2 Bloque 6 Solucionario Relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Mis saberes y experiencias 1. a) 360° b) 90° c) 120° 2. a) r 6 b) r 4 3. 4. 5. 6. c) r 9 cm 4.33 m 100 m 40° y 90° Lección 1 7. a) 30.25°, 45° 15’, 0.2°, 0° 24’, 60.1° c) 900’’, 4’, 30’’, 0.25’, 0.5’, 12’’ 8. a) 65° 12’ b) 32° 18’ c) 15° 19’ 48’’ 9. a) 13.71° b) 77.905° c) 123.20416666° 10. a) 100 b) 2000 c) 2.756 pulgadas d) 50 cm e) r 9 f) 240° 11. a) b) r 4 r 12 16 Matemáticas 2 Bloque 6 c) r 6 d) 5 r 6 e) 3 r 2 f) 10 r 9 g) 3 r 4 h) 11 r 12 Solucionario 12. a) 360° b) 90° c) 120° d) 270° e) 177.61° f) 90° g) 59.99° h) 286.48° Lección 2 13. 10 m 14. 31.57 m 15. sen() 5 sen() 5 4 3 4 5 5 3 , cos() 5 , tan() 5 , sec() 5 , csc() 5 , cot() 5 ; 5 5 3 3 4 4 3 4 3 5 5 4 , cos() 5 , tan() 5 , sec() 5 , csc() 5 , cot() 5 5 5 4 4 3 3 16. a) lados 8.66 y 17.32, ángulo 60° b) lados 9.18 y 7.71, ángulo 40° c) lado 3, ángulos 53.13° y 36.87° d) lados 10.72 y 11.83, ángulo 65° 17. a) hipotenusa igual a 8.09, ángulos 67.94° y 22.06° aproximadamente b) cateto 17.44, hipotenusa 18.14, ángulo 74° aproximadamente c) cateto 2.96, ángulos 19.19°, 70.81° aproximadamente d) catetos 6.78, 4.24, ángulo 32° aproximadamente r aproximadamente 3 f) catetos 70.71, 70.71, ángulo r aproximadamente 4 e) catetos 7.5, 12.99, ángulo 17 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 6 18. a) Catetos 2.5 cm y 4.33 cm aproximadamente, ángulo 30° b) cateto 6.63 m aproximadamente, ángulos 56.44°, 33.56° aproximadamente c) hipotenusa 122.04 cm, cateto 99.97 cm aproximadamente, ángulo 55° d) hipotenusa 2 591.45 km, cateto 2 552.07 km aproximadamente, ángulo 10° 19. a) 4.0508 m aproximadamente b) 28.28 cm aproximadamente c) 11.69 m2 aproximadamente Lección 3 20. a) b) 2 5 2 3 52 7 3 11 c) 6 2 2 5 d) 1 e) 22 2 f) 2 3 21. d) 2 cm f) sen(45°) 5 22 22 , cos(45°) 5 , tan(45°) 5 1, cot(45°) 5 1, sec(45°) 5 22, 2 2 csc(45°) 5 22 22. c) 2, 1, 3 e) sen(30°) 5 1 , 2 sec(30°) 5 2 23 1 , csc(30°) 5 2, sen(60°) 5 , cos(60°) 5 , 33 2 2 tan(60°) 5 23, cos(30°) 5 cot(60°) 5 23 , 2 23 , 3 tan(30°) 5 23 , 3 sec(60°) 5 2, cot(30°) 5 23, csc(60°) 5 2 . 33 23. a) 5 3 m b) 5 2 cm c) 32 m2 d) 9 3 18 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 6 24. a) 15° y 75° b) 1 y 3, respectivamente c) 2 2 2 3 Mido mi rendimiento 25. a) 73.75 26. a) 70° 15’ 27. a) 15° 28. a) r 3 b) 55.1083333° b) 51° 10’ 48’’ b) 67.5° b) r 6 c) 42.563333° c) 22° 30’ c) 75° c) r 36 Lección 2 29. a) sen() 5 0.8835, cos() 5 0.46796, tan() 5 1.8885, cot() 5 0.52951, sec() 5 2.1369, csc() 5 1.1315 aproximadamente. b) sen() 5 0.3162, cos() 5 0.9486, tan() 5 0.3333, cot() 5 3, sec() 5 1.054, csc() 5 3.1622 aproximadamente. 30. a) cateto 3.74, ángulos 27.9°, 62.1° aproximadamente. b) hipotenusa 6.3245, ángulos 18.43°, 71.57° aproximadamente. Lección 3 31. a) 16 3 cm2 b) El área del triángulo con un ángulo de 45° es 25 cm2, mientras que el área del triángulo con un ángulo de 30° es de 25 23 23 cm2. Como 0.8, que es menor que 2 2 uno, entonces el triángulo con un ángulo de 45° es el que tiene mayor área. 19 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 Funciones trigonométricas Mis saberes y experiencias 1. A(2, 2), B(5, 1), C(4, 23), D(24, 21), E(21, 5), F(22, 23), G(23, 2). 2. Cateto restante 6.928 cm, 60° y 30°. 3. 5 y 2x 4 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 4. a) sen(90°) 5 1 d) tan(45°) 5 1 b) cos( r) 5 21 c) sen( 23 r) 5 2 3 1 2 f) sen( 22 r) 5 2 4 e) cos(60°) 5 Lección 1 5. a) [22; 45°] d) [35; 63.43°] 6. a) 225° d) 108.435° b) [32; 45°] e) [10; 36.877°] b) 135° e) 158.199° 7. a) 225°, sen(225°) 5 2 c [25; 26.57°] f) [34; 30.96°] c) 245° ó 315° f) 271.565° ó 288.435° 22 22 , cos(225°) 5 2 , tan(225°) 5 1 2 2 b) 60°, sen(60°) 5 2 23 1 , cos(60°) 5 , tan(60°) 5 3 2 2 c) 150°, sen(150°) 5 1 23 1 , cos(150°) 5 2 , tan(150°) 5 2 2 2 3 20 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 d) sen(230°) 5 2 e) sen(150°) 5 1 23 1 , cos(230°) 5 , tan(230°) 5 2 2 2 3 1 23 1 , cos(150°) 5 2 , tan(150°) 5 2 2 2 3 f) sen(270°) 5 21, cos(270°) 5 0, tan(270°) 5 8. a) sen(135°) 0.71, cot(135°) 21, b) sen(30°) 0.5, cot(30°) 1.74, c) sen(260°) 20.87, cot(260°) 20.58, tan(135°) 21, csc(135°) 1.41; tan(30°) 0.58, csc(30°) 2; tan(260°) 21.73, csc(260°) 21.16; d) sen( r) 0.87, 3 cos( r) 0.5, 3 tan( r) 1.73, 3 cot( r) 0.58, 3 sec( r) 2, 3 csc( r) 1.16; 3 e) sen( 3 r) 0.71, 4 cos( 3 r) 20.71, 4 tan( 3 r) 21, 4 cot( 3 r) 21, 4 sec( 3 r) 21.41, 4 csc( 3 r) 1.41 4 9. sen(150°) 5 cos(135°) 20.71, sec(135°) 21.41, cos(30°) 0.87, sec(30°) 1.15, cos(260°) 0.5, sec(260°) 2, 1 , 2 cot(150°) 5 23, cos(150°) 5 2 3 , 2 tan(150°) 5 2 sec(150°) 5 2 2 , 3 csc(150°) 5 2 1 , 3 1 , 2 cos(30°) 5 3 , 2 tan(30°) 5 cot(30°) 5 3, sec(30°) 5 2 , 3 csc(30°) 5 2, sen(45°) 5 cos(45°) 5 2 , 2 tan(45°) 5 1, cot(45°) 5 1, sen(60°) 5 3 , 2 cos(60°) 5 cot(60°) 5 1 , 3 sec(60°) 5 2, 10. sen(30°) 5 2 , 2 sec(45°) 5 2, csc(45°) 5 2, 1 , 2 tan(60°) 5 3, csc(60°) 5 1 , 3 2 3 21 Matemáticas 2 11. sen(120°) 5 Solucionario Bloque 7 3 , 2 cot(120°) 5 2 1 , 3 2 , 2 sen(135°) 5 cot(135°) 5 21, 1 , 2 sec(120°) 5 2 2, cos(135°) 5 2 1 , 2 cot(210°) 5 3, tan(120°) 5 23, csc(120°) 5 2 , 2 sec(135°) 5 22, 12. a) sen(210°) 5 2 cos(120°) 5 2 2 3 tan(135°) 5 21, csc(135°) 5 2 1 , 3 cos(210°) 5 2 3 , 2 tan(210°) 5 sec(210°) 5 2 2 , 3 csc(210°) 5 22 b) sen( 5 5 2 2 r) 5 2 , cos( r) 5 2 , 4 4 2 2 tan( 5 r) 5 1, 4 cot( 5 r) 5 1 4 sec( 5 r) 5 22, 4 csc( 5 r) 5 22 4 c) sen( 7 2 r) 5 2 , 4 2 cos( 7 2 r) 5 , 4 2 tan( 7 r) 5 21, 4 cot( 7 r) 5 21, 4 sec( 7 r) 5 2, 4 csc( 7 r) 5 22 4 d) sen(300°) 5 2 cot(300°) 52 3 , 2 1 , 3 cos(300°) 5 1 , 2 tan(300°) 5 23, sec(300°) 5 2, csc(300°) 5 2 2 3 2 13. a) sen(315°) 5 2 2 b) cos(330°) 5 2 3 2 c) tan(315°) 5 21 2 d) sec(210°) 5 2 3 e) sec(240°) 5 2 2 3 f) cot( 5 r) 5 21 4 h) tan(330°) 5 2 1 3 i) cot( 1 5 r) 5 2 3 3 g) cos( 7 2 r) 5 4 2 22 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 14. a) sen(50°) 0.76, b) cos(250°) 20.34, c) cos(340°) 0.94, 2 r) 20.5, 3 d) sen(170°) 0.17, e) cos( g) cos(135°) 20.7, h) cos(210°) 0.98, f) sen( 7 r) 20.5, 6 i) sen(2120°) 20.87 15. a) tan(45°) 1 b) sec(30°) 1.15 1.2 1.2 1 1 T 0.8 0.8 P 0.6 0.6 0.4 0.4 P T Sec (30º) Tan (45º) 0.2 0.2 45º 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 -0.2 0.2 1 0.4 A 0.6 0.8 1 30º 0 1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 -0.2 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 c) tan(120°) 21.72 0.2 A 0.4 0.6 0.8 1 1.2 d) sec(150°) 21.15 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 P 0.6 0.6 P 0.4 0.4 0.2 0.2 120º 1 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 -0.2 0.2 0.4 A 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 1 0 -0.2 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 P -1 150º 0 1.2 0.2 0.4 A 0.6 0.8 1 1.2 Sec (150º) T -1 Tan (120º) -1.2 -1.4 -1.6 T r) 1.41 4 e) sec( 3 r) 21 4 f) tan( 1.2 1.2 1 1 T 0.8 0.8 P P 0.6 0.6 Sec (45º) 0.4 0.4 0.2 0.2 45º 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 -0.2 0.2 1 0.4 A 0.6 0.8 1 0 1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 135º 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 1 0.2 0.4 A 0.6 0.8 1 1.2 Tan (135º) T 23 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 g) tan(230°) 20.58 h) sec(245°) 1.41 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 1 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 -0.2 0.2 0.4 –30º -0.2 A 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 0 -0.2 -0.2 Tan (–30º) -0.4 -0.6 P 1 0 1.2 0.2 0.4 A 0.6 0.8 1 1.2 –45º -0.4 -0.6 T -0.8 -0.8 -1 -1 Sec (–45º) P T i) tan(225°) 1 1.2 T 1 0.8 0.6 0.4 Tan (225º) 0.2 225º -1 -0.8 -0.6 -0.4 1 0 0 -0.2 0.2 0.4 A 0.6 0.8 1 1.2 -0.2 -0.4 -0.6 P -0.8 -1 16. 1.1 1.1 1 0 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.1 -0.2 -0.1 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.6 -0.6 -0.7 -0.7 -0.8 -0.8 -0.9 -0.9 -1 sen() 0.45, cos() 0.89, tan() 0.5, cot() 2, sec() 1.12, csc() 2.22 Cotangente Cotangente 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 Cosecante Cosecante Secante Secante Coseno Coseno Seno Seno Tangente Tangente 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.1 -1 -1.1 -1.1 Cotangente Cotangente Cosecante Cosecante sen() 20.68, cos() 0.73, tan() 20.9, cot() 21.1, sec() 1.34, csc() 21.47 1.1 1.1 1 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 Coseno Coseno 0 0 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0 03 -0.3 -0 03 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.6 -0.6 -0.7 -0.7 -0.8 -0.8 -0.9 -0.9 -1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.1 Seno Seno Secante Secante Tangente Tangente -1 -1.1 -1.1 24 Matemáticas 2 17. x Solucionario Bloque 7 y cos(x) x y cos(x) x y cos(x) 90 0.0000 180 1.0000 270 0.0000 100 0.1736 190 0.9848 280 0.1736 110 0.3420 200 0.9397 290 0.3420 120 0.5000 210 0.8660 300 0.5000 130 0.6428 220 0.7660 310 0.6428 140 0.7660 230 0.6428 320 0.7660 150 0.8660 240 0.5000 330 0.8660 160 0.9397 250 0.3420 340 0.9397 170 0.9848 260 0.1736 350 0.9848 180 1.0000 270 0.0000 360 1.0000 y cos(x) 1.5000 1.0000 0.5000 0.0000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -0.5000 -1.0000 -1.5000 25 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 x y tan(x) x y tan(x) x y tan(x) 90 180 0.0000 270 100 25.6713 190 0.1763 280 25.6713 110 22.7475 200 0.3640 290 22.7475 120 21.7321 210 0.5774 300 21.7321 130 21.1918 220 0.8391 310 21.1918 140 20.8391 230 1.1918 320 20.8391 150 20.5774 240 1.7321 330 20.5774 160 20.3640 250 2.7475 340 20.3640 170 20.1763 260 5.6713 350 20.1763 180 0.0000 270 360 0.0000 y tan(x) 6 5 4 3 2 1 0 -1 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 -2 -3 -4 -5 -6 18. Las simetrías de la función coseno están dadas por las siguientes expresiones (existen otras formas equivalentes de expresar estas simetrías): I cos(180°1 a) 5 cos(180°2 a) II. cos(90°1 a) 5 2cos(90°2 a) III. cos(270°1 a) 5 2cos(270°2 a) 26 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 Las simetrías de la función tangente están dadas por las siguientes expresiones (existen otras formas equivalentes de expresar estas simetrías): tan(180°1 a) 5 tan(180°2 a) tan(90°2 a) 5 2tan(90°1 a) tan(270°2 a) 5 2tan(270°1 a) a) 1 y 21, b) 2 y 22, 1.5 y 21.5, 2 y 22 respectivamente c) 2 para todas d) tienen valores de signo contrarios. a) 2 I II. III. 19. 20. b) , , 4 y respectivamente. 2 c) 1 y 21 para todas. d) los valores tienen signos contrarios. 21. El parámetro a varía la amplitud de forma directa y el parámetro b varía el periodo de forma inversa. 22. Se usará la tecnología en este caso. 23. a) 2 1 0 – 2 – 2 -1 3 2 5 2 2 7 2 3 4 -2 b) 2 1 – 3 2 – – 2 0 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 9 2 5 11 2 6 0 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 9 2 5 11 2 6 -1 -2 c) 2 1 – 3 2 – – 2 -1 -2 27 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 d) 2 1 – – 2 -1 0 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 9 5 11 6 13 7 15 8 17 9 19 10 2 2 2 2 2 2 -2 e) 2 1 – – 2 0 2 3 2 2 5 2 3 0 2 3 2 2 5 2 3 -1 -2 f) 2 1 – – 2 -1 -2 g) 3 1 – – 2 0 -1 2 -2 -3 28 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 h) 3 1 – 0 – 2 -1 2 -2 -3 i) 4 3 2 1 – 5 2 2 – 3 2 – 2 0 -1 2 3 2 2 5 2 -2 -3 -4 -5 24. a) [2; 225°], b [13; 123.7°], c) [2; 45°], d) [17; 152°], e) [217; 214°], f) [180.27; 146.3°]. 25. a) sen(225°) 20.71, cos(225°) 20.71, tan(225°)1, cot(225°)1, sec(225°) 21.41, csc(225°) 21.41 b) sen(123.7°) 0.83, cos(123.7°) 20.55, tan(123.7°)21.5, cot(123.7°) 20.67, sec(123.7°) 21.8, csc(123.7°) 1.2 c) sen(45°) 0.71, cos(45°) 0.71, tan(45°)1, cot(45°)1, sec(45°) 1.41, csc(45°) 1.41 d) sen(152°) 0.47, cos(152°) 20.88, tan(152°) 20.53, cot(152°) 21.88, sec(152°) 21.13, csc(152°) 2.13 e) sen(214°) 20.24, cos(214°) 0.97, tan(214°)20.25, cot(214°)24, sec(214°) 1.03, csc(214°) 24.12 f) sen(146.3°) 0.55, cos(146.3°) 20.83, tan(146.3°) 20.67, cot(146.3°)21.5, sec(146.3°) 21.2, csc(146.3°) 1.8 29 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 26. a) 1.1 Cotangente 1 0.9 0.8 0.7 Cosecante 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -0.1 -0.2 Coseno 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0 -0.3 Seno -0.4 -0.5 -0.6 1.1 –45º Tangente Secante -0.7 -0.8 -0.9 -1 -1.1 b) c) 1.1 Cotangente 1.9 1 Cosecante 1.8 0.9 1.7 0.8 1.6 0.7 1.5 0.6 1.4 0.5 1.3 0.4 Seno 0.3 0.2 Coseno -1.1 -1 1.2 1.1 120º 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0.7 0.6 -0.3 0.5 -0.4 0.4 -0.5 0.3 240º -0.6 -0.7 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 0 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 -0.3 -0.4 -1.2 -1.4 0.2 Secante -1.1 -1.3 Cosecante Coseno Tangente -0.8 -1 Tangente 0.8 0 -0.9 Cotangente 1 0.9 0.1 .1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -0.1 -0.2 Secante Seno -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 -1.1 27. a) sen() 5 0.5, cos() 0.87, tan() 0.58, cot() 1.73, sec() 1.15, csc() 2 b) sen() 20.71, cos() 0.71, tan() 21, cot() 21, sec() 1.41, csc() 21.41 c) sen() 0.89, cos() 20.45, tan() 22, cot() 20.5, sec() 22.24, csc() 1.12 d) sen() 20.67, cos() 20.75, tan() 0.89, cot() 1.12, sec() 21.34, csc() 21.5. 30 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 28. a) 2 1 – 3 2 – 0 – 2 -1 2 3 2 2 5 2 3 7 2 9 2 4 11 2 5 6 -2 b) 2 1 – 2 – 0 2 -1 3 2 5 2 2 3 -2 c) 5 4 3 2 1 – 3 2 – – 2 0 -1 2 3 2 2 5 2 -2 -3 -4 31 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 7 d) 2 1 0 – 2 – 2 -1 3 2 5 2 2 3 -2 e) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 – 3 2 – – 2 -1 0 2 3 2 5 2 2 7 2 3 4 9 2 5 11 2 3 7 2 6 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 f) 8 7 6 5 4 3 2 1 – 9 2 4 – 7 2 3 – 5 2 2 – 3 2 – 2 0 -1 2 3 2 2 5 2 4 9 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 32 Matemáticas 2 Bloque 8 Solucionario Leyes de los senos y cosenos Mis saberes y experiencias 1. a) 2.5711 cm, b) 4.203 cm 2. El triángulo ABD tiene mayor área, ya que aunque ambos triángulos tienen la misma base éste tiene una altura mayor. 3. Porque tienen la misma base y la misma altura. 4. 42.4264 cm 5. 0.6 Lección 1 6. a) b*sen() y a*sen( 2 ) b) b*sen() 5 a*sen( 2 ) 8. a) sen(54º) sen() 5 54.6 46 b) 43° aproximadamente. c) 83° aproximadamente. 9. a) Ángulos 73.2468° y 56.7531°, lado 3.9302 b) ángulo 56.7°, lados 4.688 y 4.1698 c) ángulo 50°, lados 3.3915 y 3.68 d) ángulos 75° y 75°, lado 2.5882 10. a) Ángulo 120°, lado 2.88 m b) ángulos 36.1042° y 98.8957°, lado 41.916 cm c) ángulo 14. 16. 17. 18. 19. 22. r, lados 86.6025 m y 173.2051 m 2 d) ángulos 70° y 70°, lado 1.026 m e) ángulo 70°, lados 12 cm y 8.2084 cm a) Ángulos 49.1148°, 77.2944° y 53.5908° b) ángulos 65.8522°, 65.8522° y 48.2955° c) ángulos 131.0654°, 28.992° y 19.9425° d) ángulos 66.8676°, 66.8676° y 46.2648° a) Ángulos 52.4775° y 97.5224°, lado 25.217 cm b) ángulos 58.3568° y 76.6432°, lado 2.907 m c) ángulos 55° y 55°, lado 17.2073 cm d) ángulos 49.1066° y 70.8934°, lado 4.5825 km e) ángulos 26.9955° y 33.0045°, lado 2.8617 mm 559.4359 km/h 5N a) Ley de cosenos, b) ley de senos, c) ley de cosenos, d) ley de senos a) Ángulos 72.5° y 72.5°, lados 3 m b) ángulo 72°, lados 8.5 y 8.5 pulgadas c) ángulos 105.83° y 35.16°, lado 9.27 cm d) ángulos 64.01° y 73.57° y 42.43° e) ángulos 90°, 53.13° y 36.87°, lado 15 cm f) ángulos 60°, 60° y 60°, lados 13.7 cm y 13.7 cm 33 Matemáticas 2 Bloque 8 Solucionario g) ángulos 105.72°, 41.93° y 32.33° h) ángulo 80°, lados 16.3175 mm y 21.9846 mm i) ángulo 105°, lados 3.1058 cm y 4.3923 cm j) ángulo 60°, lados 15 cm y 15 cm Mido mi rendimiento Lección 1 23. a) Ángulo 110°, lados 2.6604 cm y 3.4202 cm b) ángulos 66.8172° y 63.1828°, lado 11.6501 m c) ángulos 30° y 30°, lado 181.8653 m d) ángulos 38.6248°, 48.5092° y 92.8659° e) ángulos 60°, 60° y 60°, lados 10 m y 10 m f) ángulos 90° y 60°, lados 3.75 m y 6.4952 m g) ángulos 130°, lados 95.4422 m y 95.4422 m h) ángulo 114.5°, lados 111.0677 cm y 162.3533 cm 34 Matemáticas 2 Solucionario Bloque 9 Estadística elemental Mis saberes y experiencias 1. Estaturas Frecuencia 1.50 a 1.55 7 1.56 a 1.61 4 1.62 a 1.67 15 1.68 a 1.73 4 1.74 a 1.79 7 1.80 a 1.85 3 Total 40 2. a) 18, b) 16.5, c) 15 3. a) media 13 201.5, b) mediana 9 460.4375, c) moda 12 879.5 Lección 1 6. Para los primeros gemelos: media 3.30625, moda 2.5, mediana 3.0 7. Para los segundos gemelos: media 3.1375, moda 2.8, mediana 2.8 9. Personas que consumen alcohol diariamente por entidad federativa: media 0.94%, mediana 0.80% y moda 0.60%, 0.80%, 1.00% 12. Personas que beben en exceso por entidad federativa: media 26.975%, mediana 27.7% y moda 30.4% y 31.1% Mido mi rendimiento Lección 1 20. Para los hombres por entidad federativa: media1 570 311.094, mediana1 217 517, no hay moda. 21. Para las mujeres por entidad federativa: media1 656 669.78, mediana1 250 713, no hay moda. 24. media13 357.8333, mediana 13 587.73529, moda14 332.83333 Lección 2 25. Hombres Rango 6 571 534 Varianza 1 769 726 629 326.40 Desviación 1 330 310.727 estándar Mujeres 6 923 791 2 015 704 683 039.67 1 419 755.149 35 Matematicas 2 Bloque 10 Solucionario Conceptos elementales de probabilidad Mis saberes y experiencias 1. a) determinista b) aleatorio c) determinista d) aleatorio e) aleatorio 2. a) Ω{A, S} b) Ω{AA, AS, SA, SS} c) Ω{H, M} d) Ω{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 3. a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 3/16 4. a) 1/3; b) 1/36; c) 1/3; d) 3/8 Lección 1 5. a) aleatorio b) aleatorio c) aleatorio d) determinista e) determinista f) aleatorio g) determinista h) aleatorio i) aleatorio j) aleatorio 7. a) Ω 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b) Ω 5 {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} c) Ω 5 {hombre, mujer} d) [40 cm, 60 cm] 8. a) Ω 5 {AA, AS, SA, SS} b) {A, S} c) Ω 5 {AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS} d) 8 elementos e) 16 elementos 9. Ω 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}, 36 elementos 36 Matematicas 2 Solucionario Bloque 10 Lección 2 10. a) En las tres botellas, la probabilidad de sacar una canica roja es de 1 4 b) En las tres botellas, la probabilidad de sacar una canica azul es de 1 2 c) En las tres botellas, la probabilidad de sacar una canica negra es de 1 4 11. a) En la botella C b) En la botella A c) En la botella C 12. b) No hay un color que tenga más probabilidad, ya que la probabilidad de sacar una canica roja de cualquiera de las tres botellas es 14 , la probabilidad de sacar una canica azul es de 12 en cualquiera de las tres botellas y la probabilidad de sacar una canica negra es de 14 en cualquiera de las tres botellas. c) La probabilidad de sacar una canica roja es mayor en la botella C, la probabilidad de sacar una canica azul es mayor en la botella A y la probabilidad de sacar una canica negra es mayor en la botella C. 1 1 3 7 1 1 1 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 6 3 8 50 5 36 18 13. a) 14. a) El número 7 tiene la mayor probabilidad de salir al lanzar dos dados 15. El número 21 tiene la mayor probabilidad. 1 ; 4 16. a) 17. a) 0; b) 1 ; 4 c) 1 ; 4 d) 1 ; 2 e) 1 ; 2 f) 1 ; 2 b) 2 ; 5 c) 3 ; 5 d) 2 ; 3 e) 3 ; 5 f) 0; g) 1 ; 4 h) 1 ; 4 g) 1 ; 3 h) 0; i) 1 4 i) 2 5 Lección 3 19. 1 18 20. 1 60 1 8 21. 22. 1 5525 23. 4 663 24. 1 1326 37 Matematicas 2 Bloque 10 25. 11 4165 26. 1 146 523 1 32 468 436 27. Solucionario Mido mi rendimiento Lección 1 28. a) aleatorio b) determinista c) determinista d) aleatorio 29. a) Ω 5 {♠, ♣, ♥, ♦} b) Ω 5 {(♠,♣), (♠,♥), (♠,♦), (♣,♠), (♣,♥), (♣,♦), (♥,♠), (♥,♣), (♥,♦), (♦,♠), (♦,♣), (♦,♥)} c) Ω 5 {(♠,♣,♥), (♠,♣,♦), (♠,♥,♣), (♠,♥,♦), (♠,♦,♣), (♠,♦,♥), (♣,♠,♥), (♣,♠,♦), (♣,♥,♠), (♣,♥,♦), (♣,♦,♠), (♣,♦,♥), (♥,♠,♣), (♥,♠,♦), (♥,♣,♠), (♥,♣,♦), (♥, ♦,♠), (♥, ♦,♣), (♦,♠, ♣), (♦,♠,♥), (♦,♣,♠), (♦,♣,♥), (♦,♥,♠), (♦,♥,♣)} Lección 2 30. a) 1 1 3 1 1 ; b) ; c) ; d) ; e) 2 4 8 2 2 Lección 3 31. 8 75 32. 8 203 33. 11 203 34. 22 5525 38