Download Paralelismo y perpendicularidad

-1Capítulo I: paralelismo y perpendicularidad.
Definición de rectas paralelas.
Si dos rectas coplanares no se cortan diremos que son paralelas.
Axioma de Euclides.
“Si dos rectas coplanares (a y b) son cortadas por una tercera (r) formando
ángulos colaterales internos (α y β) que suman menos que un llano, las dos
rectas se cortan en el semiplano que tiene por borde a la tercera y contiene a
los ángulos que suman menos que un llano.”
a
r
α
β
b
Observación: es inmediato que si α + β > un ángulo llano, entonces las rectas
se cortan en el semiplano opuesto.
Corolario: “si α y β = un ángulo llano, las rectas son paralelas.”
Demostración: como un ángulo llano mide 180º, escribimos α + β = 180º.
a
α’=180º-α α
β’=180º- β
b
β
r
α’ + β’ = (180º - α) + (180º - β) = 360º - (α + β) = 180º.
Como en ambos semiplanos de borde r se da la misma situación (los ángulos
colaterales internos suman 180º), debe ocurrir lo mismo con las rectas a y b
en ambos semiplanos.
Hay sólo dos posibilidades:
1) a y b se cortan.
En este caso, hay un punto de intersección en cada semiplano y concluimos que
a y b tienen dos puntos en común, por lo tanto son la misma recta. ABSURDO,
pues en ese caso no habría ángulos colaterales internos.
2) a y b no se cortan.
No hay otra posibilidad lógica, por lo tanto aceptamos que se cumple.
Como a y b son rectas coplanares que no se cortan, por definición resultan a y
b paralelas.
Recíproco del corolario: a // b ⇒ α + β = 180º.
El resultado de la suma de α y β debe cumplir una y sólo una de estas tres
posibilidades:
1) α + β < 180º. ABSURDO, pues a y b se cortarían en el semiplano que
contiene a α y β.
2) α + β > 180º. ABSURDO, pues a y b se cortarían en el semiplano que no
contiene a α y β.
3) α + β = 180º. No hay otra posibilidad, por lo tanto aceptamos que se
cumple.
-2Teorema: “Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman ángulos
alternos internos que son iguales.”
Demostración:
a // b
adyacente
⎧
= (5)
⎪(3) = 180º−(6)
(3) + (6) = 180º ⇒ ⎨
.
adyacente
⎪(6) = 180º−(3)
= (4)
⎩
corolario
Euclides
⇒
r
(1) (2)
(4) (3)
a
(5) (6)
(8) (7)
b
Teorema: “Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.”
Demostración: a cargo del alumno.
Teorema: “Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman ángulos
alternos externos iguales.”
Demostración:
(2)
opuestos por
el vértice
=
(4)
alternos
internos
= (6)
opuestos por
el vértice
=
(8)
.
Teorema: “Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman ángulos
correspondientes iguales.”
Demostración: a cargo del alumno.
Teorema recíproco: “Si dos rectas generan ángulos alternos iguales, las rectas
son paralelas.”
r
Demostración:
Las rectas a y b generan los ángulos alternos
internos iguales a α.
b
β=180º-α
α
α y β son ángulos colaterales internos tales
que
α + β = α (180º - α) = 180º.
Por el recíproco del corolario de Euclides,
a // b.
a
α
Ejercicio: enuncie y demuestre los teoremas recíprocos correspondientes a los
ángulos alternos internos y a los ángulos correspondientes.
Teorema del paralelismo de Playfair.
Esta proposición suele presentarse como axioma en muchos cursos de
bachillerato. Si sustituimos el axioma de Euclides por el de Playfair,
podríamos convertir en teorema el de Euclides. Cuando dos proposiciones son
tales que, tomadas como axiomas una en sustitución de la otra en un cuerpo
teórico, permiten demostrar el mismo conjunto de teoremas (y por extensión, la
misma geometría) se dice que son axiomas equivalentes. Recomendamos en este
punto la lectura del material “Los elementos de Euclides” (capítulo 4 del
libro de Michael Bernkopf, Mathematics - An Appreciation).
-3Teorema: “Por un punto exterior a una recta pasa una paralela, y sólo una.”
Demostración:
Observemos que este teorema dice dos cosas: 1º) existe una paralela a la recta
por el punto, y 2º) esta paralela es única.
Consideremos una recta r y un punto P que no pertenece a ella.
q
1º) Encontremos una paralela a r por P.
Sea q una recta por P secante con r en Q.
Tracemos ahora la recta h secante con q por
P tal que se formen ángulos colaterales
interiores que sumen 180º.
Por el corolario de Euclides resultan h // r
por P.
P
h
Q
r
2º) Por el absurdo, suponemos que existe una segunda paralela s a la recta r
por P, s ≠ h.
h // r ⇒ ∠hPs + ∠qQr = 180º
q
P
∠sPQ < ∠hPs ⇒ ∠sPQ + ∠qQr < 180º
h
entonces s corta a r, lo cual significa que s
no es paralela a r, contradiciendo nuestro
supuesto.
Concluimos que no existe otra recta paralela a
r por P.
s
Q
r
r
Teorema: (propiedad transitiva del paralelismo)
Demostración.
t
r
P
s
r // s⎫
⎬ ⇒ r // t .
s // t⎭
Por el absurdo, suponemos que r no es
paralela a t.
Sea r ∩ t = ⎨P⎬.
Esto contradice el teorema de Playfair
pues hay dos paralelas a s por P.
Concluimos que r y t no se cortan, y por
lo tanto son paralelas
Teorema: “en un mismo plano, si una recta corta a otra, entonces corta a una
a ∩ b = {P}
paralela a la otra.”
⎫
⎪
b' // b
⎬ ⇒ a ∩ b' = {Q} .
a, b, b' coplanares⎪⎭
Demostración.
Por el absurdo, si a no corta a b’ es b’//a.
Como b’//b, por la propiedad transitiva del
paralelismo es a//b, contradiciendo la hipótesis.
Concluimos que a corta a b’.
a
b
Q
P
b’
Si quitamos la condición de que las rectas sean
coplanares, ¿sigue siendo válido el teorema?
Teorema (del ángulo externo): “cada ángulo
externo de un triángulo es igual a la suma
de los ángulos internos no adyacentes.”
Demostración:
B
Trazamos por C una recta
h paralela a AB,
descomponiendo así el ángulo externo C tal
h
que ∠externoC = ∠x + ∠y.
Pero ∠y = ∠A por correspondientes y ∠x = ∠B
por alternos internos.
x
Luego, ∠externoC = ∠A + ∠B.
C
y
A
Análogamente
se
prueba
para
los
otros
ángulos externos del ABC.
-4Corolario: “cada ángulo externo de un triángulo es mayor que cualquiera de los
ángulos internos no adyacentes.”
Teorema (de la suma de los ángulos internos de un triángulo): “en
triángulo la suma de los ángulos internos es igual a un ángulo llano.”
todo
Demostración:
En la misma figura vemos que: ∠A + ∠B + ∠C = ∠y + ∠x + ∠C = 180º.
Teorema: “dos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas
entre sí.”
Demostración:
Euclides.
es
consecuencia
inmediata
del
recíproco
del
corolario
de
Aplicación: este teorema permite justificar un conocido procedimiento para
trazar con regla y escuadra la recta paralela a otra dada por un punto
exterior dado, como se ve en la figura.
r // r’
r
r
r
r
Teorema: “por un punto exterior pasa una sola perpendicular a una recta dada.”
Demostración: este teorema afirma dos cosas,
1º) Existe una perpendicular a la recta por el punto exterior (se demostrará
cuando se estudie la simetría axial), y
2º) Esta perpendicular es única.
Para probar esto último por el absurdo, supongamos
que hay dos perpendiculares s y t a la recta r por el
punto P.
Se forma un triángulo donde los ángulos interiores
suman más de 180º, lo que contradice un teorema
anterior. Concluimos que la perpendicular es única.
P
s
r
90º
t
90º
¿Qué ocurre si quitamos de la hipótesis la condición de que el punto sea
exterior a la recta?
Paralelogramos.
Vamos a dar cuatro definiciones distintas de paralelogramo y demostraremos que
son equivalentes. Esto significa, por ejemplo, que la definición (A) implica
la definición (B) y recíprocamente. Dadas cuatro definiciones, tendríamos que
hacer doce demostraciones:
A ⇔ B, A ⇔ C, A ⇔ D, B ⇔ C, B ⇔ D, C ⇔ D
(recuerde que A ⇔ B consta de dos demostraciones, A ⇒ B y B ⇒ A).
Una forma más práctica de resolver el problema consiste en demostrar las
siguientes relaciones entre las proposiciones: A ⇒ B ⇒ C ⇒ D ⇒ A, porque así
sólo tenemos que hacer cuatro demostraciones.
Para probar, por ejemplo, que B ⇔ D, veríamos en primer lugar que B ⇒ D (pues
B ⇒ C ⇒ D) y luego que D ⇒ B (pues D ⇒ A ⇒ B).
Nuestras definiciones de paralelogramo son:
(A) cuadriláteros con sus dos pares de lados opuestos paralelos
(B) cuadriláteros con un par de lados opuestos iguales y paralelos
-5(C) cuadriláteros con sus dos pares de lados opuestos respectivamente
iguales
(D) cuadriláteros cuyas diagonales se cortan en sus respectivos puntos
medios.
P
Demostraciones.
Q
A ⇒ B.
Sea el paralelogramo PQRS tal que PQ // RS y QR // SP.
Si trazamos la diagonal PR tenemos que:
⎫
∠QPR
=
∠SRP ⎪⎪
⎪
PR lado común
⎬
⎪
alternos
internos
⎪
∠QPR
=
∠SPR ⎭⎪
S
alternos
internos
criterio
ALA
⇒
R
ΔPQR = ΔRSP ⇒ PQ = RS y QR = SP ∴
P
PQ//RS⎫
PQ // RS⎫
⎬ ⇒
⎬
QR//SP⎭
PQ = RS⎭
Q
B ⇒ C.
Sea el paralelogramo PQRS tal que PQ // RS Y PQ = RS.
Si trazamos la diagonal PR tenemos:
PR lado común⎫
⎪
∠QPR = ∠SRP ⎬
⎪
PQ = RS
⎭
criterio
LAL
⇒
ΔPQR = ΔRSP ⇒ QR = SP ∴
S
PQ // RS⎫
PQ = RS ⎫
⎬ ⇒
⎬.
PQ = RS⎭
QR = SP⎭
P
Q
C ⇒ D.
O
Sea el paralelogramo PQRS tal que PQ = RS y QR = SP.
Consideremos las diagonales PR y QS que se cortan en O.
PQ = RS
⎫
⎪
QR = SP
⎬
PR lado común⎪⎭
R
criterio
LLL
⇒
S
R
ΔPQR = ΔRSP ⇒ ∠QPR = ∠SRP ⇒ ∠QPO = ∠SRO
Análogamente probamos que ∠PQO = ∠RSO (hacerlo). Entonces,
∠PQO = ∠RSO⎫ criterio
PQ = RS ⎫
O = p.m. de ⎫
⎧PO = RO ⇒ O = p.m. PR
⎪ ALA
ΔPOQ = ΔROS ⇒ ⎨
∠QPO = ∠SRO⎬ ⇒
∴
⎬ ⇒
⎬
QR = SP⎭
diagonales⎭
⎩QO = SO ⇒ O = p.m. SQ
⎪
PQ = SR
⎭
P
Q
D ⇒ A.
O
Sea el paralelogramo PQRS tal que PR y QS
se cortan en su punto medio O.
PO = OR
QO = OS
∠POQ
opuestos por
el vértice
=
⎫
⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
∠ROS⎪⎭
S
criterio
LAL
⇒
ΔPOQ = ΔROS ⇒ ∠QPO = ∠SRO ⇒ ∠QPR = ∠SRP
recíproco
alternos
internos
⇒
Análogamente probamos que QR // SP (hacerlo).
Luego,
las diagonales se⎫
PQ // RS⎫
⎬ ⇒
⎬.
cortan en su p.m.⎭
QR // SP⎭
Ejercicio:
(a) demuestre que un cuadrilátero con sus ángulo opuestos respectivamente
iguales es un paralelogramo,
(b) demuestre que el segmento determinado por los puntos medios de dos lados
opuestos de un paralelogramo es igual y paralelo a los otros lados opuestos (a
este segmento se le llama paralela media del paralelogramo).
R
PQ // RS
-6Teoremas de la paralela media en un triángulo.
B
ABC triángulo⎫
⎧⎪MN // AC
⎪
⎬ ⇒ ⎨
⎪⎩MN = 1 2 AC
⎪
N = p.m. BC
⎭
Teorema directo: M = p.m. AB
M
N
M’
Demostración.
A
Sea M’ tal que N es el punto medio del segmento MM’ (¿cómo construye M’?).
Como las diagonales del cuadrilátero MBM’C se cortan en su punto medio N, es
un paralelogramo (por la definición (D)).
Entonces,
def
B
AM = MB
MB = // CM' ⇒
def
B
def
A
AM = // CM' ⇒ AMM' C paralelogramo ⇒ MM' //AC
MM'= MN
⇒
C
MN//AC .
Además, MM' = AC ⇒ 2MN = AC ⇒ MN = 1 2 AC .
Al segmento MN se le llama paralela media del ABC. Hay otros dos segmentos que
también son paralelas medias del mismo triángulo.
B
¿?
ABC triángulo⎫
⎪
M = p.m.AB
⎪
Teorema recíproco:
⎬ ⇒ N = p.m.BC
h // AC por M ⎪
h ∩ BC = {N} ⎪⎭
Demostración.
M
h
¿?
N
A
C
Supongamos que K es el punto medio del segmento BC, K ≠ N.
Por el teorema directo sabemos que MK // AC por M.
Por hipótesis, h // AC por M.
Por Playfair, la paralela a AC por M es única.
Entonces, MK = h ⇒ ⎨K⎬ = MK ∩ BC = h ∩ BC ⎨N⎬ ⇒ K = N = p.m.BC.
Ejercicios:
(1) Dibuje tres triángulos escalenos (acutángulo, rectángulo y obtusángulo)
y trace las tres paralelas medias de cada uno. Pruebe que cada
triángulo queda dividido en cuatro triángulos iguales.
(2) Trace un trapecio escaleno ABCD. M es el p.m.AB y N es el p.m.CD.
Pruebe (a) que MN es paralela a las bases, y (b) que la medida de MN es
la semisuma de las medidas de las bases del trapecio (previamente
enuncie formalmente como teorema).
Trapecio: cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos, llamados bases.
B
C
Resolución del ejercicio (2) de paralela media.
M
Sea B’ / N = p.m.BB’ ⇒ las diagonales del BCB’D se cortan
en su punto medio ⇒ BCB’D es un paralelogramo ⇒
las diagonales del⎫ def
⎪ A B' D // BC por D⎫
BCB' D se cortan
⎬
⎬ ⇒
AD // BC por D ⎭
⎪
en su p.m.
⎭
Playfair
⇒
N
A
B' D = AD , es decir que los
puntos B’, D y A están alineados.
Luego, el segmento MN es paralela media en el triángulo ABB’ ⇒
Como MN // AB’, resulta MN // AD y MN // BC y MN =
1
2 (AD
⎫⎪
⎬.
AB'⎪⎭
MN // AB'
MN =
+ DB') =
1
1
2
2 (AD
+ BC).
Teorema de Thales.
Considere dos rectas coplanares r y r’. Para fijar ideas, supongamos r // r’.
Sobre r se toman los puntos A, B y C, de modo que AB = BC , consecutivos.
Se trazan: una recta a secante a r y r´ y que pasa por A, una recta b // a por
B y una recta c // a por C.
r
r’
Sean a ∩ r’ = ⎨A’⎬, b ∩ r’ = ⎨B’⎬, c ∩ r’ = ⎨C’⎬.
Demostraremos que A' B' = B' C'
a
A
b
A’
B
c
B’
C
C’
D
B’
-7def
def
⎫
C
AB // A' B'⎫ A
⎪
AA
'
B
'
B
paralelogr
amo
AB
A
'
B
'
⇒
⇒
=
⎬
⎪
x // y
⎭
⎪⎪
Análogamente, BC = B' C'
⎬ ⇒ A' B' = B' C'.
⎪
Por hipótesis AB = BC
⎪
⎪
⎪⎭
x
A
Si las rectas r y r’ son secantes, se trazan
rectas paralelas a r’ por A, B y C. Formamos
los paralelogramos AA’B’B’’ y BB’C’C’’ y
por la definición (C) concluimos que:
y
B
z
C
A’
B’’
B’
C’’
C’
r
AB'' = A' B' y BC'' = B' C'.
Demuestre el lector que los triángulos AB’’B y BC’’C son iguales.
AB'' = BC''⎫
⎪⎪
Luego, A' B' = AB''⎬
⎪
B' C' = BC''⎪⎭
transitiva
⇒
A' B' = B' C'.
Podemos generalizar este resultado en el siguiente
Teorema: “Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, a
segmentos iguales en una de éstas corresponden segmentos iguales en la otra.”
Definición: Sean cuatro segmentos cuyas medidas son a, b, c y d. Decimos que
forman una proporción si están en la relación
a
c
=
.
b
d
Ejercicio.
R
x
Q
P
A
N
M
B
Trace
segmento
AB.
Dibuje
una
semirrecta Ax que forme un ángulo
agudo. Tome un segmento arbitrario AP
sobre la semirrecta y transpórtelo a
partir de A tres veces consecutivas
sobre Ax, determinando así los puntos
P, Q y R. Una el punto R con B. Por P y
Q trace las paralelas a RB que cortan
al segmento AB en M y N según figura.
Demuestre que el segmento AB ha
quedado dividido en tres segmentos
iguales AN, MN y NB.
Teorema (de Thales): “Si tres o más paralelas son cortadas por dos
transversales, dos segmentos cualesquiera de una de éstas son proporcionales a
los dos segmentos correspondientes de la otra.”
a//b//c, t y t' transversales
⎫
OP
O' P'⎫
⎪
a ∩ t = {O}, b ∩ t = {P}, c ∩ t = {Q}
=
⎬ ⇒
⎬
PQ
P' Q'⎭
⎪
a ∩ t' = {O'}, b ∩ t' = {P'}, c ∩ t' = {Q'}⎭
Demostración.
Haremos la prueba para el caso particular en que exista un segmento de medida
x contenido una cantidad entera de veces en el segmento OP y en el segmento
PQ, por ejemplo, m veces en OP y n veces en PQ.
Entonces,
OP
PQ
=
mx
m
=
.
nx
n
Por los puntos de división que resultan en los segmentos OP y PQ al dividirlos
según el segmento x, se trazan paralelas a las rectas a, b y c que determinan
sobre la transversal t’ segmentos z que son iguales entre sí (por el teorema
anterior) aunque no tienen por qué ser iguales a x.
r’
-8Como el segmento x está contenido m veces en el OP y n veces en el PQ es
inmediato que z está contenido m veces en el O’P’ u n veces en el P’Q’.
Entonces,
O' P'
P' Q'
Concluimos que
=
mz
m
=
.
nz
n
OP
PQ
=
O' P'
P' Q'
.
B
j
Teorema de Thales aplicado a los triángulos.
P
A, B, C no alineados
⎫
BA
BC
AC
⎪
.
h // AC
=
=
⎬ ⇒
BP
BQ
PQ
⎪
h ∩ AB = {P}, h ∩ BC = {Q}⎭
Q
h
P’
A
Demostración.
C
i
k
BA
Si trazamos j // h por B, por el teorema de Thales se cumple que
BP
=
BC
BQ
.
Si trazamos i // BC por P / i ∩ AC = ⎨P’⎬ tenemos
def
def
C
PQ // P' C⎫ A
⎬ ⇒ PQCP' paralelogramo ⇒ PQ = P' C .
PP' // QC ⎭
Si trazamos k // BC por A. por el teorema de Thales se cumple que
BA
BP
=
AC
P' C
.
Sustituyendo P' C por PQ llegamos a la tesis.
Teorema (recíproco de Thales): “si sobre dos rectas coplanares hay dos
segmentos consecutivos que se pueden poner en correspondencia y que cumplan
que son proporcionales, y además dos de las rectas determinadas por extremos
correspondientes son paralelas, entonces la otra recta determinada por
extremos correspondientes también es paralela a aquellas.”
⎫
r, r' rectas coplanares⎪⎪
⎪
A, B, C ∈ r, A' , B' , C' ∈ r'⎬ ⇒ AA' // CC'
⎪
AB
A' B'
, AA' // BB' ⎪
=
⎪⎭
BC
B' C'
A
A’
B’
B
C’’
C
Demostración.
Por hipótesis, B' C' =
r
r’
C’
A' B' · BC
AB
Sea h // AA’ por C.
h ∩ r’ = {C’’}.
Por el teorema directo,
AB
BC
=
A' B'
B' C''
. Entonces, B' C'' =
A' B' · BC
AB
.
Por el Axioma de transporte de segmento, hay un único punto P en la semirrecta
opuesta a B’A’ que cumple que B' P =
Luego, h = CC’ ⇒ CC’ // AA’.
A' B' · BC
AB
. Concluimos que C’ = C’’.
Responsables:
Prof. María del Rosario Quintans
Prof. Alejandro Castro