Download θ = - θ = θ = - θ = - θ =

SOLUCIONES
1. En cada uno de los siguientes ejercicios se da un punto sobre el lado terminal de un ángulo en posición
estándar. Verifique que el punto se encuentra sobre un círculo unitario y halle el valor de las seis
funciones trigonométricas que corresponden a dicho ángulo.
 17
a. 
 6
,
18 

6 
 5 12 
, 
 13 13 
 5 11 
c.   ,  
 6 6
b.  
 5   12 
      1, el
 13   13 
2
Como
2
2
 17    18  35

  
 
 6   6  36
que es diferente de 1,
entonces este punto no se
encuentra sobre un círculo
unitario.
Como
2
Como
 5   11  146
  
 
36
punto sí se encuentra sobre un  6   6 
círculo unitario.
5
13
12
tan   
5
13
sec   
5
cos   
sin  
12
13
2
5
12
13
csc   
12
cot   
 
 

5
3
 1 

3
sin 2  
3
2
1
5  2 
 
3  3 2


 2 
1
5
 4
3 3
4
2
3
sen  
1
 4 2

3
7
cos  
sen  
 4 
 6 
2
2
 2 
2 1

2
2
 1  4
 5
que
es diferente de 1, entonces este
punto no se encuentra sobre un
círculo unitario.
2. Halle el valor exacto de cada expresión sin usar la calculadora.
5
 
 3 
 7 
cos 00  cot 2  
a.
b. tan 
  2 csc  
3
3
 4 
 6 
cos 2 
2
3. En cada uno de los siguientes ejercicios se da un punto sobre el lado terminal de un ángulo  en su
posición estándar. Halle el valor exacto de las seis funciones trigonométricas que corresponden al
ángulo  .
a.  3,1
b. 12, 5 
𝑟 = √9 + 1 = √10
3
1
cos 𝜃 = −
sin 𝜃 =
√10
√10
tan 𝜃 = −
1
3
cot 𝜃 = −3
√10 csc 𝜃 = √10
sec 𝜃 = −
3
𝑟 = √169 = 13
12
5
cos 𝜃 =
sin 𝜃 = −
13
13
tan 𝜃 = −
sec 𝜃 =
12
5
cot 𝜃 = −
5
12
13
12
csc 𝜃 = −
13
5
4. El lado terminal del ángulo  en posición estándar descansa sobre la recta indicada y cumple la
condición que se indica. Determine las seis funciones trigonométricas de dicho ángulo.
a. y  2 x, sec  0
b. y  5 x, cos  0
Como 𝑠𝑒𝑐𝜃 > 0 entonces 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 0, es decir
𝑥 > 0. Por ejemplo (1,2) satisface estas
condiciones.
𝑟 = √1 + 4 = √5
1
2
cos 𝜃 =
sin 𝜃 =
√5
√5
𝑡𝑎𝑛𝜃 = 2
sec 𝜃 = √5
cot 𝜃 =
csc 𝜃 =
1
2
√5
2
Como cos 𝜃 < 0 entonces 𝑥 < 0. Por ejemplo
(−1,5) satisface estas condiciones.
𝑟 = √25 + 1 = √26
1
5
cos 𝜃 = −
sin 𝜃 =
√26
√26
tan 𝜃 = −5
sec 𝜃 = −√26
cot 𝜃 = −
csc 𝜃 =
1
5
√26
5
5. Coloque en un círculo unitario el punto P cuyo ángulo se da en radianes y determine sus coordenadas.
 2 
 5 
 13 
a. P 
b. P    
c. P   

 3 
 4 
6 
3 4
6. El punto P  t    ,   está en el cuarto cuadrante sobre un círculo unitario. Halle las coordenadas
5 5
de los puntos que se obtienen reflejando el punto P  t  a través de los ejes coordenados y del origen.
3 4
El punto P  t    ,   se encuentra en el cuadrante IV. En el cuadrante I el punto reflejado sería
5 5
3 4
 3 4
 3 4
 ,  , en el cuadrante II   ,  y en el cuadrante III   ,  
 5 5
5 5
 5 5
7. Halle los ángulos de referencia que corresponden a los siguientes ángulos dados en radianes.
c. 3.5
17
7

a.
b.  
3
6
Este ángulo se encuentra en el
Este ángulo se encuentra en el
Este ángulo es negativo y se
tercer cuadrante, entonces el
cuarto cuadrante después de
encuentra en el segundo
ángulo de referencia
dar dos vueltas a la
7
5
,
cuadrante, como   
correspondiente es 3.5  
circunferencia, entonces el
6
6
ángulo de referencia
entonces el ángulo de
correspondiente es
referencia correspondiente es
17
5
5 
  4 


3
3
6 6
5 
5 
2 

2 

3
3
3
3
8. Halle los ángulos de referencia de los siguientes ángulos dados en grados.
a. 305
c. 475
b. 124
Este ángulo es negativo y se
Este ángulo se encuentra en el
Como 475° = 115° + 360° y
cuarto cuadrante, entonces el
115° está en el segundo
encuentra en el tercer
ángulo de referencia
cuadrante entonces el ángulo
cuadrante, entonces el ángulo
correspondiente es
de referencia correspondiente
de referencia correspondiente
360° − 305° = 55°
es 180° − 115° = 65°
es
−124° + 180° = 56°