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Ejercicios
1.- En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las funciones
trigonométricas del ángulo correspondiente. En los ejercicios 3 a 6 deduzca los signos de las
funciones trigonométricas para el ángulo que se da.
4. Decir si son correctos o no, los signos de las siguientes funciones
a) Sen 30 = ½
(b) Cos 45
(c) Tan 60
d) Sec 240 = -2
(e) Cos 225
(f) Cot 210
g) Csc 135 =
(h) Cos 150
(i) Tan 120
j) Sec 300 = - 2
5.- Decir si son o no posibles los siguientes valores
a) Sec E = -2.18
b) Tan T = 0.02
d) Cot T = - 3.21
e) Csc P = 0.03
g) Csc F = -5.14
h) Cos B = - 0-05
c) Sen X = - 1.18
f) Tan H = 4. 09
i) Cos Y = - 3.14
6. Calcular los valores de las expresiones siguientes:
a) 5 Sen2 45 + 8 Cos2 30
b) 3 Sen 30 + 6 Cos2 45
2
2
c) 5 Tan 45 + 2 Sec 45
d) 4 Cos 60 + 5 Csc 30
e) 4 Cos 30 + 6 Sen 45
f) 6 Tan 30 + 2 Csc 45
2
2
g) Sen 30 + Sec 45
h) Cos260 + Sen2 45
i) Csc2 45 + Cos2 30
j) Csc2 30 + Tan2 45
k)
l)
m)
n)
Ángulo y círculo trigonométrico
Ángulo trigonométrico:
Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo.
Ahora, hagamos girar 0B alrededor de 0. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con
0A: el ángulo A0B. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las
manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del
reloj como negativos: de acuerdo con la ilustración de la derecha (Fig.1), el ángulo A0B es
positivo y el ángulo A0B' es negativo.
Antes de iniciar el giro, los rayos 0A y 0B coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema
sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un
ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro
completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede continuar girando y
engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que 0A y 0B son los lados
inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.
Unidad de medida de los ángulos: los ángulos se expresan en grados sexagesimales, grados
centesimales o en radianes.
(Fig.1)
(Fig.2)
En el sistema sexagesimal se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un
ángulo de 1° sexagesimal es la medida de aquel que se genera cuando el giro, en el mismo
sentido de las manecillas del reloj, del lado terminal es de 1/360 parte de una vuelta completa.
Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60
partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son:
grado
°
minuto '
segundo ''
Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la
misma longitud del radio de la circunferncia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la
del arco AB; el ángulo A0B
En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián".
En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales,
llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto
tiene 100 "segundos centesimales".
Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los
ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber
convertir un ángulo dado de un sistema a otro.
Ángulo en posición normal:
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje
positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y
cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes).
En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo A0B.
Círculo trigonométrico:
Se llama círculo trigonométrico, o goniométrico, a aquel círculo cuyo centro coincide con el
origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.
A la derecha se puede observar un círculo trigonométrico.
Ejercicios
En el ejercicio 1, calcule la medida equivalente en radianes; en el 2, calcule la medida
equivalente en grados sexagesimales.
Funciones trigonométricas definidas mediante una circunferencia unitaria
Sea U una circunferencia unitaria, esto es, perteneciente a un círculo trigonométrico. La
ecuación de dicha circunferencia es x2 + y2 = 1. Dado cualquier número real t, denotemos por
un ángulo en posición normal cuya medida en radianes es t . Obsérvese la figura P(t) denota el
punto de intersección del lado final de con U. El número real t, que es la longitud del arco AP
de U, es la medida en radianes del ángulo .
Funciones trigonométricas
Deducción de lo valores de las funciones trigonométricas para arcos notables t = 0:
En este caso las coordenadas de P son
x = 1 e y = 0; y las funciones se deducen a partir de su definición. La cotangente y la
cosecante no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe).
Aquí, las coordenadas de P son
x = 0 e y = 1. Las funciones se deducen a partir de su respectiva definición. En este caso, la
tangente y la secante no están definidas, tienen denominador x, y la división por 0 no existe.
Como P está en el segundo cuadradante,
x = -1, y = 0; y las funciones se deducen a partir de sus definiciones respectivas
Al realizar un giro completo, P se encuentra en el punto de partida y las funciones coinciden con
las de t = 0.
Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables
T
(x, y)
sen t
cos t
tan t
cot t
sec t
csc t
0
(1, 0)
0
1
0
No existe
1
No existe
2
1
1
2
(0, 1)
1
0
No existe
0
No existe
1
(-1, 0)
0
-1
0
No existe
-1
No existe
(1, 0)
0
1
0
No existe
1
No existe
Gráficas de las funciones trigonométricas
Vamos a observar, mediante las gráficas de las funciones trigonométricas, lo que sucede
con las coordenadas de P(x, y) cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria U.
El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. El codominio
del seno y el coseno es [-1, 1].
Las funciones tangente y secante tienen denominador x, por tanto, se deben excluir de su
dominio los valores de t para los cuales x = 0; esto es, para
Las funciones cotangente y cosecante tienen denominador y; por tanto, se deben excluir de su
dominio los valores de t para los cuales y = 0; esto es, para
El codominio de las funciones tangente y cotangente consta de todos los números reales;
mientras que, el codominio de las funciones secante y cosecante es
Sea un ángulo en posición normal (ver fig.) y sea P(a, b) un punto cualquiera sobre el lado
terminal. Si r = OP : distancia del origen a P, las funciones trigonométricas se definen como
( fig.1)
Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en
cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y
aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en
cada uno de los cuadrantes.
I
II
III
IV
seno
+
+
coseno
+
+
tangente
+
cotangente secante
+
+
+
+
+
cosecante
+
+
Funciones trigonométricas en un círculo goniométrico:
Como ya se dijo con anterioridad, un círculo trigonométrico o goniométrico tiene un radio cuya
medida es igual a la unidad. De acuerdo con las deficiones y teniendo en cuenta que la distancia
al origen de P es 1, se tiene:
Líneas trigonométricas
Las razones trigonométricas deducidas en un círculo goniométrico se corresponden con
los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. A
continuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de
obtener las líneas trigonométricas en los otros tres cuadrante es similar.
Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de
un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las
funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar
que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las
cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las funciones
trigonométricas del negativo de un ángulo.
Funciones trigonométricas de (180° - a):
( fig.1)