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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
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CAPÍTULO V
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Estructura Algebraica es todo conjunto no vacío en el cual se han definido
una o más leyes de composición interna, luego de cumplir ciertas
propiedades pueden formar: semigrupos, grupos, anillos y cuerpos
5.1 SEMIGRUPO
Sea un conjunto no vacío A en el se ha definido una operación binaria ◦
(ley de composición interna) es un semigrupo si se verifica que:
Ley Asociativa
a  (b  c)
(a  b)  c
Si además se verifica la ley conmutativa, es decir:
a b b a
Entonces, el semigrupo es conmutativo.
El semigrupo puede tener elemento neutro.
Ejemplo 1
En el conjunto de los números naturales definimos la operación binaria
a b 1 a b
Demostrar que es un semigrupo
Debe cumplir la ley asociativa
a  (b  c)
(a  b)  c
Para la operación definida se tiene:
a (b c) (a b) c
a (1 b c) (1 a b) c
1 a 1 b c 1 1 a b c
2 a b c 2 a b c
Por tanto, la operación binaria definida como a b 1 a b en el
conjunto de los números enteros (Z, ◦) forma un semigrupo
Puede también observarse que verifica la propiedad conmutativa:
ÁLGEBRA I
72
a b b a
1 a b 1 b a
1 a b 1 a b
Por lo tanto, es un semigrupo abeliano
Ejemplo 2
En el conjunto de los números naturales sea la operación binaria
a b 2a 3b
Demostrar que es un semigrupo
Debe cumplir la ley asociativa
a  (b  c)
(a  b)  c
Para la operación definida se tiene:
a (b c) (a b) c
a (2b 3c) (2a 3b) c
2a 3(2b 3c) 2(2a 3b) 3c
2a 6b 9c
4a 6b 3c
Por tanto, la operación binaria a b 2a 3b definida en el conjunto de
los números naturales (N ◦) no forma un semigrupo
5.2 GRUPO
Un conjunto no vacío G sobre el cual se ha definido una operación binaria
º se llama grupo respecto a es operación si se verifican las siguientes
propiedades:
(a, b) G a  b G
Ley de la Clausura (muchos
autores suponen que esta ley se debe verificar siempre y no la
mencionan)
a  (b  c) (a  b)  c
Ley Asociativa
Existe un u G tal que a  u u  a a
Existencia del elemento neutro
Para cada
tal que
a G existe un a 1 G
1
1
aa
a a u
Existencia del Simétrico
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
73
Ejemplo 3
Los conjuntos de; los números enteros Z los reales R y los complejos C
constituyen ejemplos clásicos de grupos con la operación suma ordinaria,
puesto que las propiedades mencionadas anteriormente son a la vez
propiedades de estos conjuntos de números.
Los enteros no forman grupo con la operación producto por que no tienen
simétricos multiplicativos, en cambio, los reales y los complejos si son
grupos.
Ejemplo 4
Determine si el conjunto formado por las raíces cúbicas de la unidad,
forma un grupo con la operación producto.
Las raíces cúbicas de la unidad son:
w1
1
2
3
i ;
2
1
2
w2
3
i ; w3
2
1
Hallemos los productos correspondientes
1
2
w1 w1
1
4
3
4
1
2
3
4
3
i
4
1
2
w2 w2
1
4
3
i
2
3
i
2
3
i
2
1
2
3
4
3
4
3
i
4
w1 w2
1
2
3
i
2
1
4
3
4
3
4
1
2
3
i
2
w2
3
i
2
1
2
1
2
3
i
2
3
i
2
3
i 1 w3
4
w1
74
ÁLGEBRA I
Se puede construir la siguiente tabla:
* w1 w2
w1 w2 w3
w2 w3 w1
w3 w1 w2
w3
w1
w2
w3
En la cual es posible verificar todas las propiedades de un grupo, el neutro
es el elemento w3 mientras que el simétrico de w1 es w2 y el simétrico de
w2 es w1:
5.2.1
PROPIEDADES DE LOS GRUPOS
El elemento neutro u es único
Cada elemento a tiene un elemento simétrico a-1 único
Se cumple la ley de la cancelación, esto es:
Si a,b,c ε G y a ◦ b = a ◦ c entonces b = c
Si a,b ε G las ecuaciones
a◦ x=b
y◦a=b
tienen soluciones únicas
Para todo a ε G el simétrico del simétrico es nuevamente el
elemento original, es decir: ( a-1)-1 = a
Para todo a,b ε G se tiene que: (a ◦ b)-1 = b-1 ◦ a-1. En general
(a ◦ b ◦ c ◦ …..◦p ◦ q)-1 = q-1 ◦ p-1
c-1 ◦ b-1 ◦ a-1.
Para cualquier a ε G y cualquier m ε Z+ se define
am = a ◦ a ◦ a ◦ …..◦a ◦ a de m factores
Un grupo que cumple además la propiedad conmutativa, es decir:
a b b a
Se denomina grupo abeliano.
Ejemplo 5
a) Demostrar si el conjunto de las clases residuales Z/(4), módulo cuatro,
forma un grupo respecto a la adición. b) Verifique también si forma un
grupo respecto a la multiplicación.
a)
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
75
Podemos ver a través de la tabla que se verifica la propiedad asociativa,
por ejemplo
1 (2 3) (1 2) 3
1 1 3 3
2 2
El elemento neutro es el cero.
El simétrico de 1 es 3, el simétrico de 2 es el mismo 2 y el simétrico de 3
es 1, en consecuencia las clases residuales modulo cuatro, forman un
grupo respecto a la suma.
Como la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal se demuestra
que el grupo es abeliano.
b)
*
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
En este ejemplo el cero hace que no se cumplan las propiedades del grupo,
si se excluyera el mismo los números 1 y 3 no tienen simétricos.
Evidentemente no forma un grupo
5.3 ANILLOS1
Se dice que un conjunto no vacío R forma un anillo respecto a las
operaciones binarias de adición (+) y multiplicación (•), si para cualquier
R se verifican las siguientes propiedades:
Ley asociativa de la adición
(a+b)+c=a+(b+c)
Ley conmutativa de la adición a+b = b+a
z
tal que a
Existe un neutro aditivo
Existen simétricos aditivos
1
Ayres Frank, ALGEBRA MODERNA, Edit. McGraw Hill 1969 Pag. 101
z
a
ÁLGEBRA I
76
a
a
tal que a ( a)
z
Ley asociativa de la multiplicación (a•b) •c=a•(b•c)
Leyes distributivas
a•(b+c)=a•b + a•c
(b+c) •a=b•a+c•a
Los conjuntos de números enteros Z, racionales Q, reales R y complejos
C, constituyen ejemplos clásicos de anillos con las operaciones de adición
y multiplicación ordinarias, puesto que, cumplen con todas las
propiedades antes mencionadas.
Ejemplo 6
Demostrar que el conjunto S
x y 3 3 z 3 9 : x, y, z Q es un
anillo respecto a las operaciones de adición y multiplicación en R.
Demostramos primeramente que es cerrado respecto a la suma y producto,
para ello debemos verificar que ambas operaciones dan como resultado,
expresiones que mantienen el formato inicial.
x y3 3 z3 9
p q3 3 r 3 9
x
p
y q
3
3
z r
xp xq 3 3 xr 3 9
y 3 3p
3
9
Se observa que es cerrado respecto a la suma.
x y3 3 z3 9
p q3 3 r3 9
y 3 3q 3 3
y 3 3r 3 9
pz 3 9 q 3 3z 3 9 r 3 9 z 3 9
Agrupando apropiadamente se tiene:
xp 3 yr 3qz
3
3 xq yp rz
3
9 xr
yq
pz
Manteniendo la estructura, por tanto, es cerrado respecto a la
multiplicación.
La ley asociativa y conmutativa de la adición, así como las leyes
distributivas y asociativa de la multiplicación se satisfacen por ser
propiedades clásicas de los números reales y por ser S subconjunto de R
El neutro aditivo del anillo será:
0 03 3 03 9
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
77
Mientras que los simétricos tendrán la forma:
x
y3 3 z3 9
Por tanto, el conjunto S forma un anillo respecto a las operaciones de
adición y multiplicación ordinarias.
Ejemplo 7
Sea el anillo M = {(a,b,c,d)│a,b,c,d Є Q} con adición y multiplicación
definidas por:
(a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e, b+f, c+g, d+h)
(a,b,c,d) (e,f,g,h) = (ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh)
Demostrar la ley asociativa del producto y una de las leyes distributivas
La ley asociativa del producto dice
( a b) c
a (b c)
Para términos como los del anillo planteado se tendrá:
(a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l ) (a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l)
Trabajando en el primer miembro tenemos:
(a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l ) (a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l)
ae bg, af
bh, ce dg, cf
dh (i, j, k , l )
(ae bg )i (af bh)k , (ae bg ) j (af bh)l ,
(ce dg )i (cf dh)k , (ce dg ) j (cf dh)l
aei afk bgi bhk , aej afl bgj bhl ,
cei cfk dgi dhk , cej cfl dgj dhl
ÁLGEBRA I
78
a (ei fk ) b( gi hk ), a (ej fl ) b( gj hl ),
c(ei fk ) d ( gi hk ), c(ej fl ) d ( gj hl )
(a, b, c, d ) (ei
fk ), (ej
fl ), ( gi hk ), ( gj hl )
(a, b, c, d ) (e, f , g , h) (i, j , k , l )
(a, b, c, d ) (e, f , g , h) (i, j, k , l )
lqqd
Ley Distributiva
a(b c) ab ac)
(a, b, c, d ) (e, f , g , h) (i, j, k , l )
(a, b, c, d ) (e, f , g , h) (a, b, c, d ) (i, j, k , l )
Trabajamos en el primer miembro para igualarlo al segundo:
(a, b, c, d )(e i, f j, g k , h l )
a(e i ) b( g k ), a ( f j ) b(h l ),
c(e i ) d ( g k ), c( f
j ) d (h l )
ae ai bg bk , af
aj bh bl , ce ci dg dk ,
cf cj dh dl
(ae bg ) (ai bk ), ( af bh) ( aj bl ),
(ce dg ) (ci dk ), (cf dh) (cj dl )
(ae bg ), (af
bh), (ce dg ), (cf
dh)
(ai bk ), (aj bl ), (ci dk ) (cj dl )
(a, b, c, d ) (e, f , g , h) (a, b, c, d ) (i, j, k , l )
5.3.1 PROPIEDADES DE LOS ANILLOS
Todo anillo es un grupo aditivo abeliano
Existe un elemento neutro aditivo único z
Cada elemento tiene un simétrico aditivo único
lqqd
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
79
Se cumple la Ley de la Cancelación para la adición.
-(-a)=a ; -(a+b)= -a +(-b)
a z= z a=z
a (-b) = - (a b) = (-a) b
5.4 SUBANILLOS
Un subconjunto no vacío S de un anillo
que sea a su vez un anillo con
las operaciones definidas para ese se denomina un subanillo de
, por
consiguiente S es subgrupo del grupo aditivo de .
5.5 ANILLO CONMUTATIVO
Es aquel que cumple la Ley Conmutativa del producto, es decir:
ab =ba
5.6 ANILLO UNITARIO
Es aquel que tiene neutro multiplicativo, es decir:
au=ua=a
5.7 DIVISORES DE CERO
Sea R un anillo con elemento neutro z Se dice que un elemento a ≠ z de R
es un divisor de cero, si existe un elemento b ≠ z de R tal que:
ab=z
; ba=z
Los anillos Z, Q, R. C no tienen divisores de cero
Ejemplo 8
Sea el anillo M = {(a,b,c,d)│a,b,c,d Є Q} con adición y multiplicación
definidas por:
(a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e, b+f, c+g, d+h)
(a,b,c,d) (e,f,g,h) = (ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh)
Hallar, si existen los divisores de cero:
Recordemos que el neutro del anillo es:
ÁLGEBRA I
80
(a,b,c,d) (1,0,0,1) = (a1+b0, a0+b1, c1+d0, c0+d1)= (a,b,c,d)
Los divisores de cero distintos del neutro son
(1,0,1,0) (0,0,0,1) = (0+0, 0+0, 0+0, 0+0)=(0,0,0,0)
5.8 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS2
Un homomorfismo (isomorfismo) del grupo aditivo de un anillo R en
(sobre) el grupo aditivo del anillo R’ que preserva la segunda operación,
la multiplicación, se llama homomorfismo (isomorfismo) de R en (sobre)
R’
Ejemplo 9
Considérese el anillo R = { a,b,c,d } con tabla de adición y multiplicación
definidas por
+
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
c
c
d
a
b
d
d
c
b
a
*
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
c
d
c
a
c
d
b
d
a
d
b
c
Y el anillo R‘ = { p,q,r,s } con tabla de adición y multiplicación
+ p q r s
p r s p q
q s r q p
r p q r s
s q p s r
*
p
q
r
s
p
s
p
r
q
q
p
q
r
s
r
r
r
r
r
s
q
s
r
p
La biyección
a ↔ r, b ↔ q, c ↔ s, d ↔ p
Aplica R sobre R’ (también R’ sobre R) preservando las operaciones
binarias; por ejemplo
2
Ayres Frank, Algebra Moderna, Edit. McGraw Hill Ed.1969 Pag. 101
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
81
d=b+c↔q+s=p
b = c d ↔ s p = q, etc.
Así que R y R’ son anillos isomorfos
5.9 TEOREMA
En todo isomorfismo de un anillo R sobre un anillo R‘
si z es el cero de R y z’ es el cero de R‘ se tiene z ↔ z’
si R ↔ R’ : a ↔ a’, entonces -a ↔ -a’
si u es la unidad de R y u’ es la unidad de R ‘, se tiene que
u ↔ u’
si R es un anillo conmutativo, también lo es R ‘.
5.10 DOMINIO DE INTEGRIDAD
Un anillo conmutativo, unitario sin divisores de cero es un Dominio de
Integridad. Los anillos Z, Q, R, C son dominios de integridad
5.11 CUERPO
Un anillo F cuyos elementos no nulos forman un grupo multiplicativo, se
llama cuerpo. Todo cuerpo tiene elemento unidad y todo elemento no nulo
del cuerpo posee un inverso (simétrico multiplicativo); si la multiplicación
es conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo.3 Algunos autores
denominan a los cuerpos conmutativos como Campos.
Los axiomas que caracterizan a la estructura de un cuerpo son:
(F, +) es un grupo abeliano.
(F, -{0}, ) es un grupo abeliano.
El producto es distributivo respecto a la suma.
Los anillos Q, R, C son cuerpos conmutativos, mientras Z no es un
cuerpo, debido a que no posee simétricos multiplicativos.
3
Ayres Frank. ÁLGEBRA MODERNA. Edit McGraw Hill Colección Schaum 1969
ÁLGEBRA I
82
5.11.1 PROPIEDADES
Todo dominio de integridad con un número finito de elementos es
un cuerpo conmutativo.
Todo cuerpo es un anillo simple.
Los cuerpos no admiten divisores de cero
En todo cuerpo vale la ley de cancelación del producto, para todo
elemento no nulo del mismo.
Si b ≠ 0 entonces la ecuación b x = a tiene solución única.
El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al
opuesto de su recíproco.
Ejemplo 10
Determinar si el conjunto F
x R/ x
a b 3, a, b Q con las
operaciones de adición y multiplicación ordinarias es un cuerpo4
Verificamos la ley e la clausura
Sean x
x y
x y
a b 3 ;
a b 3
a b 3
y
c d 3
c d 3
c d 3
(a c) (b d ) 3
(ac 3bd ) (ab bc) 3
Observamos que ambas operaciones mantienen la estructura original.
Verificamos si es asociativa respecto a la suma
Si x
a b 3 ;
( x y) z
y
a b 3
c d 3 ; z
c d 3
(a c) (b d ) 3
( x y) z
4
( a (c
f )) (b (d
f
f
f
g 3
g 3
g 3
g )) 3
x ( y z)
Lazo Sebastián. ALGEBRA MODERNA. Imp. Soipa Ltda. 1999 Pag. 173
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
El neutro aditivo será: e
Para todo x
83
0 0 3
a b 3 existe un
La operación suma es evidentemente una operación conmutativa, por
tanto vemos que forma un grupo abeliano respecto a la suma.
Puesto que F es un subconjunto de R se verifica la propiedad asociativa
respecto al producto.
El elemento neutro multiplicativo es: e 1 0 3
El inverso de todo elemento tendrá la siguiente forma. Si x x
x x
x
1
1
1
a b 3 x
1
a b 3
a b 3a b 3
1
e
1 0 3
a b 3
a 2 3b2
a
a 3b2
2
a
b
3
3b2
2
Donde a, b son distintos de cero.
El producto es conmutativo por ser F
R
El conjunto F menos el neutro aditivo {0} forma un grupo abeliano
respecto al producto.
Verificamos la ley distributiva
x( y z )
x( y z )
a b 3
c d 3
x( y z )
a b 3
c
x( y z )
a c
3b d
x( y z)
ac af
x( y z )
ac 3bd
f
f
f
d
g
3bd 3bg
ad bc
xy xz
g 3
g
3
b c
bc bf
3 af
f
a d
g
ad ag
3
3bg
fb ag
3
3
ÁLGEBRA I
84
x( y z )
x( y z )
a b 3 c d 3
a b 3
f
g 3
xy xz lqqd
Por lo tanto el conjunto F con las operaciones de suma y producto
ordinarios forma un cuerpo.