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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 71 CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Estructura Algebraica es todo conjunto no vacío en el cual se han definido una o más leyes de composición interna, luego de cumplir ciertas propiedades pueden formar: semigrupos, grupos, anillos y cuerpos 5.1 SEMIGRUPO Sea un conjunto no vacío A en el se ha definido una operación binaria ◦ (ley de composición interna) es un semigrupo si se verifica que: Ley Asociativa a (b c) (a b) c Si además se verifica la ley conmutativa, es decir: a b b a Entonces, el semigrupo es conmutativo. El semigrupo puede tener elemento neutro. Ejemplo 1 En el conjunto de los números naturales definimos la operación binaria a b 1 a b Demostrar que es un semigrupo Debe cumplir la ley asociativa a (b c) (a b) c Para la operación definida se tiene: a (b c) (a b) c a (1 b c) (1 a b) c 1 a 1 b c 1 1 a b c 2 a b c 2 a b c Por tanto, la operación binaria definida como a b 1 a b en el conjunto de los números enteros (Z, ◦) forma un semigrupo Puede también observarse que verifica la propiedad conmutativa: ÁLGEBRA I 72 a b b a 1 a b 1 b a 1 a b 1 a b Por lo tanto, es un semigrupo abeliano Ejemplo 2 En el conjunto de los números naturales sea la operación binaria a b 2a 3b Demostrar que es un semigrupo Debe cumplir la ley asociativa a (b c) (a b) c Para la operación definida se tiene: a (b c) (a b) c a (2b 3c) (2a 3b) c 2a 3(2b 3c) 2(2a 3b) 3c 2a 6b 9c 4a 6b 3c Por tanto, la operación binaria a b 2a 3b definida en el conjunto de los números naturales (N ◦) no forma un semigrupo 5.2 GRUPO Un conjunto no vacío G sobre el cual se ha definido una operación binaria º se llama grupo respecto a es operación si se verifican las siguientes propiedades: (a, b) G a b G Ley de la Clausura (muchos autores suponen que esta ley se debe verificar siempre y no la mencionan) a (b c) (a b) c Ley Asociativa Existe un u G tal que a u u a a Existencia del elemento neutro Para cada tal que a G existe un a 1 G 1 1 aa a a u Existencia del Simétrico ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 73 Ejemplo 3 Los conjuntos de; los números enteros Z los reales R y los complejos C constituyen ejemplos clásicos de grupos con la operación suma ordinaria, puesto que las propiedades mencionadas anteriormente son a la vez propiedades de estos conjuntos de números. Los enteros no forman grupo con la operación producto por que no tienen simétricos multiplicativos, en cambio, los reales y los complejos si son grupos. Ejemplo 4 Determine si el conjunto formado por las raíces cúbicas de la unidad, forma un grupo con la operación producto. Las raíces cúbicas de la unidad son: w1 1 2 3 i ; 2 1 2 w2 3 i ; w3 2 1 Hallemos los productos correspondientes 1 2 w1 w1 1 4 3 4 1 2 3 4 3 i 4 1 2 w2 w2 1 4 3 i 2 3 i 2 3 i 2 1 2 3 4 3 4 3 i 4 w1 w2 1 2 3 i 2 1 4 3 4 3 4 1 2 3 i 2 w2 3 i 2 1 2 1 2 3 i 2 3 i 2 3 i 1 w3 4 w1 74 ÁLGEBRA I Se puede construir la siguiente tabla: * w1 w2 w1 w2 w3 w2 w3 w1 w3 w1 w2 w3 w1 w2 w3 En la cual es posible verificar todas las propiedades de un grupo, el neutro es el elemento w3 mientras que el simétrico de w1 es w2 y el simétrico de w2 es w1: 5.2.1 PROPIEDADES DE LOS GRUPOS El elemento neutro u es único Cada elemento a tiene un elemento simétrico a-1 único Se cumple la ley de la cancelación, esto es: Si a,b,c ε G y a ◦ b = a ◦ c entonces b = c Si a,b ε G las ecuaciones a◦ x=b y◦a=b tienen soluciones únicas Para todo a ε G el simétrico del simétrico es nuevamente el elemento original, es decir: ( a-1)-1 = a Para todo a,b ε G se tiene que: (a ◦ b)-1 = b-1 ◦ a-1. En general (a ◦ b ◦ c ◦ …..◦p ◦ q)-1 = q-1 ◦ p-1 c-1 ◦ b-1 ◦ a-1. Para cualquier a ε G y cualquier m ε Z+ se define am = a ◦ a ◦ a ◦ …..◦a ◦ a de m factores Un grupo que cumple además la propiedad conmutativa, es decir: a b b a Se denomina grupo abeliano. Ejemplo 5 a) Demostrar si el conjunto de las clases residuales Z/(4), módulo cuatro, forma un grupo respecto a la adición. b) Verifique también si forma un grupo respecto a la multiplicación. a) + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 75 Podemos ver a través de la tabla que se verifica la propiedad asociativa, por ejemplo 1 (2 3) (1 2) 3 1 1 3 3 2 2 El elemento neutro es el cero. El simétrico de 1 es 3, el simétrico de 2 es el mismo 2 y el simétrico de 3 es 1, en consecuencia las clases residuales modulo cuatro, forman un grupo respecto a la suma. Como la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal se demuestra que el grupo es abeliano. b) * 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 En este ejemplo el cero hace que no se cumplan las propiedades del grupo, si se excluyera el mismo los números 1 y 3 no tienen simétricos. Evidentemente no forma un grupo 5.3 ANILLOS1 Se dice que un conjunto no vacío R forma un anillo respecto a las operaciones binarias de adición (+) y multiplicación (•), si para cualquier R se verifican las siguientes propiedades: Ley asociativa de la adición (a+b)+c=a+(b+c) Ley conmutativa de la adición a+b = b+a z tal que a Existe un neutro aditivo Existen simétricos aditivos 1 Ayres Frank, ALGEBRA MODERNA, Edit. McGraw Hill 1969 Pag. 101 z a ÁLGEBRA I 76 a a tal que a ( a) z Ley asociativa de la multiplicación (a•b) •c=a•(b•c) Leyes distributivas a•(b+c)=a•b + a•c (b+c) •a=b•a+c•a Los conjuntos de números enteros Z, racionales Q, reales R y complejos C, constituyen ejemplos clásicos de anillos con las operaciones de adición y multiplicación ordinarias, puesto que, cumplen con todas las propiedades antes mencionadas. Ejemplo 6 Demostrar que el conjunto S x y 3 3 z 3 9 : x, y, z Q es un anillo respecto a las operaciones de adición y multiplicación en R. Demostramos primeramente que es cerrado respecto a la suma y producto, para ello debemos verificar que ambas operaciones dan como resultado, expresiones que mantienen el formato inicial. x y3 3 z3 9 p q3 3 r 3 9 x p y q 3 3 z r xp xq 3 3 xr 3 9 y 3 3p 3 9 Se observa que es cerrado respecto a la suma. x y3 3 z3 9 p q3 3 r3 9 y 3 3q 3 3 y 3 3r 3 9 pz 3 9 q 3 3z 3 9 r 3 9 z 3 9 Agrupando apropiadamente se tiene: xp 3 yr 3qz 3 3 xq yp rz 3 9 xr yq pz Manteniendo la estructura, por tanto, es cerrado respecto a la multiplicación. La ley asociativa y conmutativa de la adición, así como las leyes distributivas y asociativa de la multiplicación se satisfacen por ser propiedades clásicas de los números reales y por ser S subconjunto de R El neutro aditivo del anillo será: 0 03 3 03 9 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 77 Mientras que los simétricos tendrán la forma: x y3 3 z3 9 Por tanto, el conjunto S forma un anillo respecto a las operaciones de adición y multiplicación ordinarias. Ejemplo 7 Sea el anillo M = {(a,b,c,d)│a,b,c,d Є Q} con adición y multiplicación definidas por: (a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e, b+f, c+g, d+h) (a,b,c,d) (e,f,g,h) = (ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh) Demostrar la ley asociativa del producto y una de las leyes distributivas La ley asociativa del producto dice ( a b) c a (b c) Para términos como los del anillo planteado se tendrá: (a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l ) (a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l) Trabajando en el primer miembro tenemos: (a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l ) (a, b, c, d ) (e, f , g, h) (i, j, k, l) ae bg, af bh, ce dg, cf dh (i, j, k , l ) (ae bg )i (af bh)k , (ae bg ) j (af bh)l , (ce dg )i (cf dh)k , (ce dg ) j (cf dh)l aei afk bgi bhk , aej afl bgj bhl , cei cfk dgi dhk , cej cfl dgj dhl ÁLGEBRA I 78 a (ei fk ) b( gi hk ), a (ej fl ) b( gj hl ), c(ei fk ) d ( gi hk ), c(ej fl ) d ( gj hl ) (a, b, c, d ) (ei fk ), (ej fl ), ( gi hk ), ( gj hl ) (a, b, c, d ) (e, f , g , h) (i, j , k , l ) (a, b, c, d ) (e, f , g , h) (i, j, k , l ) lqqd Ley Distributiva a(b c) ab ac) (a, b, c, d ) (e, f , g , h) (i, j, k , l ) (a, b, c, d ) (e, f , g , h) (a, b, c, d ) (i, j, k , l ) Trabajamos en el primer miembro para igualarlo al segundo: (a, b, c, d )(e i, f j, g k , h l ) a(e i ) b( g k ), a ( f j ) b(h l ), c(e i ) d ( g k ), c( f j ) d (h l ) ae ai bg bk , af aj bh bl , ce ci dg dk , cf cj dh dl (ae bg ) (ai bk ), ( af bh) ( aj bl ), (ce dg ) (ci dk ), (cf dh) (cj dl ) (ae bg ), (af bh), (ce dg ), (cf dh) (ai bk ), (aj bl ), (ci dk ) (cj dl ) (a, b, c, d ) (e, f , g , h) (a, b, c, d ) (i, j, k , l ) 5.3.1 PROPIEDADES DE LOS ANILLOS Todo anillo es un grupo aditivo abeliano Existe un elemento neutro aditivo único z Cada elemento tiene un simétrico aditivo único lqqd ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 79 Se cumple la Ley de la Cancelación para la adición. -(-a)=a ; -(a+b)= -a +(-b) a z= z a=z a (-b) = - (a b) = (-a) b 5.4 SUBANILLOS Un subconjunto no vacío S de un anillo que sea a su vez un anillo con las operaciones definidas para ese se denomina un subanillo de , por consiguiente S es subgrupo del grupo aditivo de . 5.5 ANILLO CONMUTATIVO Es aquel que cumple la Ley Conmutativa del producto, es decir: ab =ba 5.6 ANILLO UNITARIO Es aquel que tiene neutro multiplicativo, es decir: au=ua=a 5.7 DIVISORES DE CERO Sea R un anillo con elemento neutro z Se dice que un elemento a ≠ z de R es un divisor de cero, si existe un elemento b ≠ z de R tal que: ab=z ; ba=z Los anillos Z, Q, R. C no tienen divisores de cero Ejemplo 8 Sea el anillo M = {(a,b,c,d)│a,b,c,d Є Q} con adición y multiplicación definidas por: (a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e, b+f, c+g, d+h) (a,b,c,d) (e,f,g,h) = (ae+bg, af+bh, ce+dg, cf+dh) Hallar, si existen los divisores de cero: Recordemos que el neutro del anillo es: ÁLGEBRA I 80 (a,b,c,d) (1,0,0,1) = (a1+b0, a0+b1, c1+d0, c0+d1)= (a,b,c,d) Los divisores de cero distintos del neutro son (1,0,1,0) (0,0,0,1) = (0+0, 0+0, 0+0, 0+0)=(0,0,0,0) 5.8 HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS2 Un homomorfismo (isomorfismo) del grupo aditivo de un anillo R en (sobre) el grupo aditivo del anillo R’ que preserva la segunda operación, la multiplicación, se llama homomorfismo (isomorfismo) de R en (sobre) R’ Ejemplo 9 Considérese el anillo R = { a,b,c,d } con tabla de adición y multiplicación definidas por + a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a * a b c d a a a a a b a b c d c a c d b d a d b c Y el anillo R‘ = { p,q,r,s } con tabla de adición y multiplicación + p q r s p r s p q q s r q p r p q r s s q p s r * p q r s p s p r q q p q r s r r r r r s q s r p La biyección a ↔ r, b ↔ q, c ↔ s, d ↔ p Aplica R sobre R’ (también R’ sobre R) preservando las operaciones binarias; por ejemplo 2 Ayres Frank, Algebra Moderna, Edit. McGraw Hill Ed.1969 Pag. 101 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 81 d=b+c↔q+s=p b = c d ↔ s p = q, etc. Así que R y R’ son anillos isomorfos 5.9 TEOREMA En todo isomorfismo de un anillo R sobre un anillo R‘ si z es el cero de R y z’ es el cero de R‘ se tiene z ↔ z’ si R ↔ R’ : a ↔ a’, entonces -a ↔ -a’ si u es la unidad de R y u’ es la unidad de R ‘, se tiene que u ↔ u’ si R es un anillo conmutativo, también lo es R ‘. 5.10 DOMINIO DE INTEGRIDAD Un anillo conmutativo, unitario sin divisores de cero es un Dominio de Integridad. Los anillos Z, Q, R, C son dominios de integridad 5.11 CUERPO Un anillo F cuyos elementos no nulos forman un grupo multiplicativo, se llama cuerpo. Todo cuerpo tiene elemento unidad y todo elemento no nulo del cuerpo posee un inverso (simétrico multiplicativo); si la multiplicación es conmutativa, el cuerpo se dice conmutativo.3 Algunos autores denominan a los cuerpos conmutativos como Campos. Los axiomas que caracterizan a la estructura de un cuerpo son: (F, +) es un grupo abeliano. (F, -{0}, ) es un grupo abeliano. El producto es distributivo respecto a la suma. Los anillos Q, R, C son cuerpos conmutativos, mientras Z no es un cuerpo, debido a que no posee simétricos multiplicativos. 3 Ayres Frank. ÁLGEBRA MODERNA. Edit McGraw Hill Colección Schaum 1969 ÁLGEBRA I 82 5.11.1 PROPIEDADES Todo dominio de integridad con un número finito de elementos es un cuerpo conmutativo. Todo cuerpo es un anillo simple. Los cuerpos no admiten divisores de cero En todo cuerpo vale la ley de cancelación del producto, para todo elemento no nulo del mismo. Si b ≠ 0 entonces la ecuación b x = a tiene solución única. El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco. Ejemplo 10 Determinar si el conjunto F x R/ x a b 3, a, b Q con las operaciones de adición y multiplicación ordinarias es un cuerpo4 Verificamos la ley e la clausura Sean x x y x y a b 3 ; a b 3 a b 3 y c d 3 c d 3 c d 3 (a c) (b d ) 3 (ac 3bd ) (ab bc) 3 Observamos que ambas operaciones mantienen la estructura original. Verificamos si es asociativa respecto a la suma Si x a b 3 ; ( x y) z y a b 3 c d 3 ; z c d 3 (a c) (b d ) 3 ( x y) z 4 ( a (c f )) (b (d f f f g 3 g 3 g 3 g )) 3 x ( y z) Lazo Sebastián. ALGEBRA MODERNA. Imp. Soipa Ltda. 1999 Pag. 173 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS El neutro aditivo será: e Para todo x 83 0 0 3 a b 3 existe un La operación suma es evidentemente una operación conmutativa, por tanto vemos que forma un grupo abeliano respecto a la suma. Puesto que F es un subconjunto de R se verifica la propiedad asociativa respecto al producto. El elemento neutro multiplicativo es: e 1 0 3 El inverso de todo elemento tendrá la siguiente forma. Si x x x x x 1 1 1 a b 3 x 1 a b 3 a b 3a b 3 1 e 1 0 3 a b 3 a 2 3b2 a a 3b2 2 a b 3 3b2 2 Donde a, b son distintos de cero. El producto es conmutativo por ser F R El conjunto F menos el neutro aditivo {0} forma un grupo abeliano respecto al producto. Verificamos la ley distributiva x( y z ) x( y z ) a b 3 c d 3 x( y z ) a b 3 c x( y z ) a c 3b d x( y z) ac af x( y z ) ac 3bd f f f d g 3bd 3bg ad bc xy xz g 3 g 3 b c bc bf 3 af f a d g ad ag 3 3bg fb ag 3 3 ÁLGEBRA I 84 x( y z ) x( y z ) a b 3 c d 3 a b 3 f g 3 xy xz lqqd Por lo tanto el conjunto F con las operaciones de suma y producto ordinarios forma un cuerpo.