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HÉCTOR ESCOBAR
Unidad 3
Álgebra Lineal
ALGEBRA LINEAL
UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES
1. CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V , W dos espacios lineales,
entonces un operador lineal (transformación lineal) es una función T : V → W
donde cada elemento de V le corresponde un único elemento de W y además
cumple con las condiciones siguientes:
1. Aditividad: ∀x, y ∈ V se cumple que T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) .
2. Homogeneidad. Sean α ∈ ℜ, x ∈ V , entonces se cumple que: T (α x ) = α T ( x ) .
NOTA: las dos propiedades anteriores se pueden resumir así: ∀ αi ∈ ℜ,∀ xi ∈ V
 n
 n
se cumple que T  ∑ α i xi  =∑ α i T ( xi ) .
 i =1
 i =1
El primer miembro es C.L de elemento de V .
El segundo miembro es C.L de elemento de W .
NOTA: el operador lineal T : V → W
HOMEOMORFISMO de V en W .
también
recibe
el
nombre
de
2. ALGEBRIZACION DE LOS OPERADORES LINEALES: sean L (V , W ) el
conjunto de todos los operadores lineales. Entonces 〈 L (V ,W ),+,•〉 es un espacio
lineal teniendo en cuenta que en L (V , W ) se han definido:
a. La igualdad: T1 = T2 sii T1 (ν ) = T2 (ν ) ∀ν ∈ V .
b. La
suma
(T1 + T2 ) ν
(+ )
como
una
O.B.I :
sean
T1 , T2 ∈ L (V , W ) ,
entonces
= T1 (ν ) + T2 (ν ) .
c. El producto de un real por un operador lineal: (α T )ν = α T (ν ) .
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3. PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LINEALES:
3.1 ∀ν ∈ V se cumple que T (− ν ) = −T (ν )
3.2 todo operador lineal T : V → W transforma a θV en θW
3.3 sean T : V → W ; B = {ν 1 ,ν 2 , …,ν m } una base de V . Entonces si conocemos las
imágenes de los elementos de B mediante T , también podemos conocer la
imagen de cualquier elemento de V .
4. NUCLEO Y RANGO DE UN OPERADOR LINEAL.
4.1 Núcleo. Sea T : V → W un operador lineal. Entonces el núcleo de T son todos
los elementos de V cuya imagen es θ W :
N (T ) = {ν /ν ∈ V , T(ν ) = θ W }.
NOTAS:
a.
N (T ) es un subespacio de V .
b.
Dim N (T ) ≤ Dim V
c.
N (T ) recibe el nombre de nulidad de T .
4.2 rango. Sea T : V → W un operador lineal.
Entonces el rango de T es el conjunto de elementos de W que son imágenes de
al menos un elemento de V .
R(T ) = {w / w ∈ W ; ∃ν ∈ V ; T (ν ) = w}.
NOTAS:
a.
R(T ) es un subespacio de W .
b.
Dim R (T ) ≤ Dim W .
c. Si V
y W
son Subespacios
Dim R (T ) + Dim N (T ) = Dim V .
de
dimensión
finita,
entonces
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5. CLASIFICACION DE LOS OPERADORES LINEALES.
Sea T : V → W un operador lineal. Entonces:
5.1 T es inyectivo (1 − 1) si T (ν 1 ) = T (ν 2 ) → ν 1 = ν 2 , ∀ν 1 ,ν 2 ∈ V .
Propiedad: T es inyectivo (1 − 1) si N (T ) = {θ v } (Dim N (T ) = 0) .
5.2 T es sobreyectivo si R(T ) = W , es decir, ∀w ∈ W , ∃ν ∈ V tal que T (ν ) = w .
5.3 T es biyectivo si es inyectivo y es sobreyectivo.
NOTAS:
1. si T es biyectivo, recibe el nombre de operador regular.
2. si T : V → W es biyectivo (regular) entonces existe el operador inverso
T −1 : W → V .
3. sea T : V → W con Dim V = Dim W = n. . Entonces
a. si T es inyectivo, entonces T es sobreyectivo.
b. Si T es sobuyectivo, entonces T es inyectivo.
6. isomorfismo. Sea T ∈ (V ,W ) un operador biyectivo (regular), entonces decimos
que T es un isomorfismo o que V es isomorfo con W (V ≅ W ) .
NOTAS: decir que T : V → W
afirmaciones:
es un isomorfismo, implica las siguientes
a. T es biyectivo (regular).
b.
Dim V = Dim W .
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c.
Dim N (T ) = 0 .
d. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,… ,ν n } ⊆ V es L.I . , entonces B2 = {T (ν 1 ), T (ν 2 ),… , T (ν n )} ⊆ W
también es L.I . .
e. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,… ,ν n } ⊆ V genera a V , entonces
B2 = {T (ν 1 ), T (ν 2 ),…, T (ν n )} ⊆ W , también genera a W .
B1 = {ν 1 ,ν 2 ,… ,ν n } ⊆ V
es
una
base
f. Si
B2 = {T (ν 1 ), T (ν 2 ),…, T (ν n )} ⊆ W , también es base de W .
de
V,
entonces
* OTRA NOTA: para establecer un isomorfismo entre dos espacios lineales, basta
con establecer una correspondencia entre sus bases canónicas.
7. MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL.
7.1 INTRODUCCION.
a. Recordar en que consiste el vector de coordenada.
b. Operador identidad:
T : V → V , T ( x ) = x ó I ( x ) = x , recibe el nombre de operador identidad.
c. Operador compuesto. Sea T ′ : V → U , T : U → W dos operaciones lineales.
Entonces T o T ′ : V → W con T o T ′( x ) = T (T ′( x )) recibe el nombre de operador
compuesto.
d. Si T es un isomorfismo, entonces T o T −1 ( x ) = T −1o T ( x ) = I ( x ) = x .
7.2 sean T : V → W un operador lineal, donde Dim V = n y Dim W = m ;
B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n } una base de V .
B2 = {w1 , w2 ,… , wm } una base de W2 .
Hallar la matriz asociada a A mediante las bases B1 y B2 .
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NOTAS:
a. T ( x ) = Ax donde A es la matriz asociada a T mediante una base de V y otra
de W (explicarlo).
b. Si T : V → W es un isomorfismo y A es la matriz asociada a T , entonces A −1
es la matriz asociada a T −1 .
8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE.
a. Sea V un espacio lineal con Dim V = n y sean
B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n } base ordenada de V ;
B2 = {µ1 , µ 2 ,…, µ m } base ordenada de V con B1 ≠ B2
b. Sea x ∈ V . Por su B1 y B2 bases de V , se tiene que:
x = α 1ν 1 + α 2ν 2 + … + α nν n
x = β1ν 1 + β 2ν 2 + … + β nν n
(x )
B1
= α 1 + α 2 + … + α n vector de coordenadas en B1
(x )
B2
= β 1 + β 2 + … + β n vector de coordenadas en B2
c. Lo que se pretende es hallar una matriz A tal que conocido ( x )B1 , halle ( x )B2 :
Sea I : V → V con I ( x ) = x por la matriz asociada tenemos que
[T (x )]
= A( x )B
Def de matriz asociada
[T (x )]
= A( x )B
Sustituyendo la base
BW
B2
V
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(x )
B2
= A( x )B . Por T ( x ) = I ( x ) = x .
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d. En forma análoga si se desea pasar la base B2 a la B1 se hace lo siguiente:
A( x )B = ( x )B caso anterior
1
2
A −1 [A( x )B ] = A −1 ( x )B Premultiplicando
1
(A A)(x )
−1
(x )
B1
B1
2
= A −1 ( x )B Asociatividad
2
= A −1 ( x )B Def de inversa e ident
2
es decir si A es la matriz de cambio de base de B1 a B2 , entonces A
matriz de cambio de base de B2 a B1 .
−1
es la
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