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GEOMETRÍA
SEMEJANZA Y TEOREMA DE TALES
1
Dos circunferencias tienen por radios 7 cm y 49 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus áreas?
Solución:
La razón de semejanza de sus áreas es:
2
2
2
S
π r 2
r2
1
r
 7 
 1


  
   
2

S  π r 2
r
49
7
49
r       
2
La razón de semejanza entre los volúmenes de dos cubos es 27. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus aristas? ¿Y
entre sus áreas?
Solución:
27 
3
a 
V1 a1
 3   1 
V2 a2
 a2 
La razón entre los volúmenes es
3
siendo
a1
y
a2
las aristas.
a1 3
 27  3
a2
La razón de semejanza entre sus aristas es, por tanto,
A1

A2
2
a1
2
a2
a 
  1   9
 a2 
La razón entre sus áreas es
3
.
2
.
La razón de semejanza de los lados de dos cuadrados es 0,6. ¿Cuál es la razón de sus áreas?
Solución:
La razón de semejanza de sus áreas es:
2
S
l2
l
2

    0,6   0,36
2


S
l  l 
4
Dos circunferencias tienen por radios 5 cm y 9 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus longitudes?
Solución:
La razón de semejanza de sus longitudes es:
L
2  π r
r
5

 
L  2  π r  r  9
5
Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro
del segundo es 14 cm, ¿cuál es la razón de semejanza de sus áreas?
Solución:
Como el perímetro del primero es 6 + 8 = 14 cm, los rectángulo son iguales, y por tanto la razón de semejanza entre sus lados es
1 y entre sus áreas también es 1.
6
La arista de un dado de parchís mide 1 cm y la del de la oca mide 1,5 cm. Calcula la razón de semejanza entre sus
aristas. ¿Cuántas veces es más grande el dado de la oca que el del parchís? ¿Cuántas veces es más grande el área de cada
cara del dado de la oca comparado con el de parchís?
Solución:
1,5
 1,5
1
La razón de semejanza entre sus aristas es
Volumen oca
1,53
 3  3,375
Volumen parchís
1
.
veces más grande.
2
Área oca
1,5
 2  2,25
Área parchís
1
veces más grande el área de cada cara.
7
Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 320 y 400 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del primer polígono
homólogo al lado del segundo cuyo valor es 45 cm?
Solución:
Calculamos la razón de semejanza:
400
k
 1,25  45  a 1,25  a  36 cm
320
8
Se quiere dibujar un polígono semejante a otro cuyo perímetro mide 100 cm. ¿Cuánto medirá el perímetro del primer
polígono si dos lados homólogos miden respectivamente 25 y 40 cm?
Solución:
Calculamos la razón de semejanza:
40
k
 1,6  100  P 1,6  P  62,5 cm
25
9
Calcular cuántas veces es más grande una pizza familiar que una pequeña si el radio de la familiar es 40 cm y el de la
pequeña es 25cm.
Solución:
Área familiar
π·40 2 1600 64



Área pequeña
625
25
π·25 2
veces.
10
Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 130 y 240 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del primer polígono
homólogo al lado del segundo cuyo valor es 37 cm?
Solución:
Calculamos la razón de semejanza:
240
k
 1,85  37  a 1,85  20 cm
130
11
Un rombo R tiene por lado a y es semejante a otro rombo R´ de lado a´. Si la razón de semejanza es 5 y el área de R´ es
350 cm2, halla el área de R.
Solución:
La razón de semejanza de dos figuras es igual al cuadrado de la razón de semejanza:
2
S
S
a

    5 2  25  S  25  S   25  350  8750 cm 2
S  350  a  
12
Con un cable de 50 metros se quiere conseguir un polígono semejante a otro de 90 metros de perímetro. ¿Cuánto medirá
el lado del primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide 5 metros?
Solución:
La razón de los perímetros de dos polígonos es igual a la razón de semejanza.
P
50 a
5  50 250

 a

 2,77 m

P
90 5
90
90
13
Un polígono tiene por lados segmentos que miden a=2 cm, b=3 cm, c=8 cm y d=10 cm. Halla los lados de un polígono
semejante a él y cuyo perímetro es 35 cm.
Solución:
P  2  3  8  10  23 cm
El perímetro del primer polígono:
35
 1,52
23
La razón de semejanza:
Los lados pedidos:
a   a r  a   2  1,52  3,04 cm
b   a r  b   3  1,52  4,56 cm
c   a r  c   8  1,52  12,16 cm
d  a r  d  10  1,52  15,2 cm
14
Se quiere dibujar un polígono de perímetro 60 cm, semejante a otro de perímetro 180 cm. ¿Cuánto medirá el lado del
primer polígono homólogo de un lado del segundo polígono que mide 15 metros?
Solución:
La razón de los perímetros de dos polígonos es igual a la razón de semejanza.
P
60
a
15  60 900


a

 5 cm
P  180 15
180
180
15
Los lados de un cuadrilátero son: a=1 cm, b=6 cm, c=7 cm y d=4 cm. Se sabe que el área de otro semejante es 16 veces
mayor que el área del primero. Determina la medida de los lados del cuadrilátero semejante.
Solución:
2
S a
a
    16  r 
4
S  a 
a
Por tanto:
a   4  a  4  1  4 cm
b   4  b  4  6  24 cm
c   4  c  4  7  28 cm
d  4  d  4  4  16 cm
16
Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón 1:64. ¿Cuál es la razón de semejanza?
Solución:
Todo polígono se puede descomponer en triángulos P, Q, R..., para los cuales se cumple:
1
 a h
S
a h
P
Q
R
2


 r2 
 r 2;
 r 2;
 r2
S 1
 a h
P
Q
R
 a  h 
2
 P  r 2  P ; Q  r 2  Q ; R  r 2  R   P Q R  r 2  P  Q  R 
 S  r 2  S 
17
S
1
1
 r2 
 r2  r 
S
64
8
Un polígono tiene por lados segmentos que miden a=12 cm, b=6 cm, c=9 cm, d=5 cm y e=10 cm. Halla los lados de un
polígono semejante a él y cuyo perímetro es 200 cm.
Solución:
P  12  6  9  5  10  42 cm
El perímetro del primer polígono:
200
 4,76
42
La razón de semejanza:
Los lados pedidos:
a   a r  a   12  4,76  57,12 cm
b   a r  b   6  4,76  28,56 cm
c   a r  c   9  4,76  42,84 cm
d  a r  d  5  4,76  23,8 cm
e   a r  e   10  4,76  47,6 cm
18
1
4
Un tetraedro mide 8 cm de lado y la razón de semejanza con otro tetraedro más pequeño es
. ¿Cuánto mide la arista
del segundo tetraedro? ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus áreas? ¿Y entre sus volúmenes?
Solución:
1
·8  2 cm
4
La arista del segundo tetraedro mide
.
2
1
 1
  
16
4
La razón de semejanza entre sus áreas es
.
3
1
 1
  
64
4
La razón de semejanza entre sus volúmenes es
19
.
Dado un prisma rectangular de 5 cm de altura y lados de la base 3 y 4 cm, construimos otro semejante a él de razón de
semejanza 0,5. Calcula el volumen del segundo por dos métodos: utilizando la fórmula del volumen del prisma y
utilizando la razón de semejanza entre volúmenes.
Solución:
1. Las medidas del segundo prisma son:
Altura = 5 · 0,5 = 2,5 cm.
Lado base = 3 · 0,5 = 1,5 cm.
Lado base = 4 · 0,5 = 2 cm.
Volumen del segundo prisma = 2,5 · 1,5 · 2 = 7,5 cm3.
0,5 3  0,125
2. La razón de semejanza entre volúmenes es
, y el volumen del primer prisma es 5 · 3 · 4 = 60 cm3, por lo que el
3
volumen del segundo prisma es 60 · 0,125 = 7,5 cm .
20
Dos ciudades situadas a 63 km están representadas en un mapa a una distancia de 4 cm. ¿A qué distancia se encontrarán
dos ciudades que distan 233 km?
Solución:
Primero calculamos la escala del mapa pasando , previamente, los km a cm:
6.300.000
 1.575.000  Escala 1 : 1.575.000
4
Luego si dos puntos distan233 km, en el mapa se representan a:
23.300.000
 14,8 cm
1.575.000
21
Dado un trapecio isósceles de 4 cm de altura y bases 8 y 6 cm, construimos otro semejante a él de razón de semejanza
1,5. Calcula la superficie del segundo por dos métodos: utilizando la fórmula del área del trapecio y utilizando la razón
de semejanza entre áreas.
Solución:
1. Las medidas del segundo trapecio son:
Altura = 4 · 1,5 = 6 cm.
Base mayor = 8 · 1,5 = 12 cm.
Base menor = 6 · 1,5 = 9 cm.
12  9
·6  63 cm2
2
Área del segundo trapecio =
.
1,5  2,25
2. La razón de semejanza entre áreas es
, y el área del primer trapecio es
2
28·2,25  62 cm
segundo trapecio es
.
2
22
86
·4  28 cm2
2
, por lo que el área del
El tamaño de un televisor se expresa en función de la medida de la diagonal de la pantalla en pulgadas. La razón entre
3
4
los lados de una pantalla es .
a) ¿Cuántas pulgadas miden los lados de un televisor de 13 pulgadas?
b) ¿Cuál el la razón de semejanza entre las áreas de un televisor de 13 pulgadas y otro de 29 pulgadas?
Solución:
x
169 13

25
5
 3 x   4 x   13 2  9 x2  16 x2  169  25 x2  169
a) Alto = 3x, ancho = 4x
. Por tanto, la
39
52
3x 
 7,8
4x 
 10,4
5
5
altura es
pulgadas, y la anchura es
pulgadas.
b) La razón de semejanza entre áreas es el cuadrado de la razón de semejanza entre lados, que coincide con la razón de
2
2
2
841
 29 
 4,98
  
169
 13 
29
13
semejanza entre las diagonales, que es
23
, por lo que la razón entre áreas es
.
En el plano de una vivienda, a escala 1:350, las medidas del jardín son 36 mm y 29 mm. ¿Cuál es la superficie real de la
terraza?
Solución:
Las medidas del jardín son:
36  350  12600 mm  12,6 m
29  350  10150 mm  10,15 m
S  12,6  10,15  127 m 2
1
Dos triángulo rectángulos tienen uno de sus ángulos de 40º. ¿Podemos asegurar que dichos triángulos son semejantes?
Solución:
Sí, pues ambos tienen los tres ángulos iguales: 40º, 90º y 50º.
2
Un triángulo tiene por lados 11 cm, 22 cm y 33 cm. El lado correspondiente al mayor, en otro triángulo semejante, es
49,5 cm. Halla los restantes lados del triángulo semejante correspondiente.
Solución:
Triángulo semejante de lados a, b y c.
a
b
c



11 22 33
Proporcionalidad
a
b
49,5
c  49,5 cm 


 1,5  r
11 22
33
b
 1,5  b  33 cm
22
c
 1,5  c  16,5 cm
11
3
Dado el segmento AB, divídelo en partes proporcionales a otros tres segmentos dados a, b y c.
A
B
a
b
c
Solución:
La construcción se muestra en la siguiente figura:
c
b
a
A
4
m
n
ñ B
Un triángulo tiene por lados 2 cm, 4 cm y 6 cm. El lado correspondiente al pequeño, en otro triángulo semejante, es 18
cm. Halla los restantes lados del triángulo semejante correspondiente.
Solución:
Triángulo semejante de lados a, b y c.

a b c
 
2 4 6
Proporcionalidad
18 b c
a  18 cm 
  9r
2
4 6
b
 9  b  36 cm
4
c
 9  c  54 cm
6
5
Dos triángulos isósceles tiene el mismo ángulo, 30º, en el vértice donde se unen sus lados iguales. ¿Podemos asegurar que
dichos triángulos son semejantes?
Solución:
Sí, porque si ambos tienen el mismo ángulo desigual, también tendrán los mismos ángulos iguales.
6
Dado un segmento cualquiera AB, divídelo en cuatro partes iguales.
A
B
Solución:
La construcción se muestra en la siguiente figura:
a
a
a
a
A
7
m
m
m
m
B
Sabiendo que los lados DE y AB son paralelos, averigua cuánto mide EC.
Solución:
EC 4
16 8
  EC 
 cm
4
6
6
3
Aplicando el teorema de Tales,
8
.
La sombra de una torre eléctrica mide 10 m y en el mismo instante, la sombra de un joven mide 1,5 m. Si el joven tiene
una altura de 1,8 m, ¿cuál es la altura de la torre?
Solución:
Los triángulos formados por la torre y su sombra y por el joven y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol son paralelos.
1,8
x

 x  12 m
1,5 10
Por tanto, si x es la altura de la torre,
9
.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm y uno de los catetos 16 cm. Halla el otro cateto y los lados de otro
triángulo semejante al anterior con razón de semejanza 1,5.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras, si el otro cateto es x:
Los lados del otro triángulo son:
12 · 1,5 = 18 cm.
16 · 1,5 = 24 cm.
20 · 1,5 = 30 cm.
10
x2  16 2  20 2  x  12 cm
.
Los lados de un triángulo ABC son a = 5 cm, b = 7 cm y c = 9 cm. Halla los lados del triángulo semejante A´B´C´,
sabiendo que su perímetro es 105 cm.
Solución:
a  5 x; b  7 x; c   9 x
Lados de A'B'C':
5 x  7 x  9 x  105 cm  21 x  105  x  5
Lados de A'B'C':
11
a  25 cm; b  35 cm; c   45 cm
Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 4,5 cm. El perímetro de otro triángulo semejante es 23. ¿Cuál es la razón de
semejanza? ¿Cuánto miden los lados del segundo triángulo?
Solución:
23
23

2
3  4  4,5 11,5
La razón de semejanza es la razón entre los perímetros =
.
Los lados del segundo triángulo miden: 2 · 3 = 6 cm, 2 · 4 = 8 cm y 2 · 4,5 = 9 cm.
12
La base de un triángulo mide el doble que la de otro triángulo, y su altura también. ¿Podemos afirmar siempre que son
triángulos semejantes?
Solución:
No, puede que no sean semejantes. Por ejemplo, el primero puede ser un triángulo rectángulo de base un cateto de 10 cm y
altura el otro cateto de 15 cm, y el segundo triángulo puede ser isósceles de base 20 cm y altura 30 cm.
13
Calcula x en cada caso:
a)
b)
c)
Solución:
En todos los casos los triángulos verifican el teorema de Tales.
x
8
32 16

x

 5,33 cm
4 24
6
3
a)
.
x
9
27 9

x
  2,25 cm
3 12
12 4
b)
.
1 x 1
10
  1 x 
 5  x  5  1  4 cm
10
2
2
c)
14
Calcula x e y en los siguientes triángulos:
a)
b)
.
c)
Solución:
a) Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales, por lo que:
5
x
  x  2 cm
23 2
.
b) Los triángulos ABC y ABD son semejantes, pues comparten el ángulo B y ambos tienen un ángulo recto. Por tanto,
8,2 14
82 41

x

 5,86 m
x
10
14
7
.
c) Los dos triángulos son semejantes, pues el ángulo opuesto por el vértice es igual y las bases son paralelas. Entonces,
x 4
y 4
  x  10 cm
  x  10 cm
5 2
5 2
y
.
15
Para calcular la altura de una farola, ponemos un palo vertical cerca y medimos la sombra del palo y de la farola.
Hemos obtenido 0,75 y 6 m respectivamente y que el palo mide 1 m. ¿Cuánto mide la farola?
Solución:
Los triángulos formados por la farola y su sombra y por el palo y su sombra son semejantes, pues los rayos de sol son paralelos.
1
x
  x  8m
0,75 6
Por tanto, si x es la altura de la farola,
16
.
Se consideran dos triángulos semejantes. Del primero conocemos un ángulo, 35º, y del segundo sabemos que uno de sus
ángulo es 55º. Con estos datos, ¿qué podemos averiguar de los triángulos?
Solución:
Como los ángulos de dos triángulos semejantes deben ser iguales, ambos triángulos tienen un ángulo de 35º y otro de 55º, por lo
que el tercero debe ser de 90º. Por tanto, los triángulos son rectángulos.
17
¿Son semejantes los triángulo MON y PQR si m = 14 cm, n = 12 cm, o = 8 cm, p = 6 cm, q = 4 cm y r = 7 cm? Si lo son,
¿qué lados son homólogos?
Solución:
m n o
  2
r
p q
Como
18
, los triángulos MON y PQR son semejantes, siendo lados homólogos m y r, n y p, o y q.
Si dos triángulos rectángulos son semejantes y las hipotenusas miden, respectivamente, 26 y 39 cm, y el menor de los
catetos del primer triángulo mide 10 cm, ¿cuánto miden los otros lados en ambos triángulos?
Solución:
x2  10 2  26 2  x  24 cm
Por el teorema de Pitágoras, si x es el cateto mayor del primer triángulo:
.
a
b
39


 a  15 cm
10 24 26
b  36 cm
Por otro lado, si a y b son los catetos del segundo triángulo:
y
.
19
Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 9 cm. El lado más corto de un triángulo semejante al anterior mide 15 cm.
¿Cuánto miden los otros lados?
Solución:
15 5
  2,5
6
2
Razón de semejanza =
.
Por tanto, los otros lados miden 2,5 · 8 = 20 cm y 2,5 · 9 = 22,5 cm.
20
Calcula h en la siguiente figura:
Solución:
Como la base del triángulo es un diámetro de la circunferencia circunscrita, el triángulo es rectángulo, y por tanto, los dos
1 h
  h  2  1,41 m
h 2
triángulos en los que queda dividido son semejantes entre sí. Por tanto,
.
21
Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo son de 4 y 9 m. ¿Cuánto miden los
catetos? ¿Y la altura sobre la hipotenusa?
Solución:
4 z
  z2  36  z  6 m
z 9
Los triángulos ABC, ACD y ABD son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:
.
13 y
  x 2  117  x  3 13  10,82 m
y
9
13 x
  x 2  52  x  2 13  7,21 m
x
4
También
22
y
.
Encuentra los lados desconocidos:
a)
b)
Solución:
x y  152  202  x y  25 m
a) Por el teorema de Pitágoras:
.
Los tres triángulos son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:
20 25
20 15

 z  12 m

 x  9m
z
15
12
x
,
y por último y = 25 - 9 = 16 m.
b) Los tres triángulos son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:
20 12
12,8
a

 b'  7,2 dm

 a  16 dm
12
b'
a
20
y por tanto, a' = 20 - 7,2 = 12,8 dm. Además
.
2
23
Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 2 cm. Determinar los otros dos
lados y la altura sobre la hipotenusa.
Solución:
z2  22  62  z  32  5,66 cm
Por el teorema de Pitágoras:
.
Los triángulos ABC y ACD son semejantes, pues comparten un ángulo y ambos tienen además un ángulo recto.
2
y
6 x
  y  2,12 cm
  x  18 cm
5,66
6
2 6
Entonces:
24
y
Encuentra los lados desconocidos:
a)
b)
.
Solución:
x2  92  102  x  19  4,36cm
a) Por el teorema de Pitágoras:
.
Los tres triángulos son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:
4,36 10
90
y
9
36

z
 20,64 cm

y
 8,26 cm
9
z
4,36
9 4,36
4,36
y
.
b) Los tres triángulos son semejantes, pues tienen los mismos ángulos. Entonces:
a' 10

 a' b'  100
10 b'
a'  4,43cm, b'  22,57cm
, pero como b' = 27 - a', entonces a' (27 - a') = 100. Resolviendo,
o viceversa.
a
27
b
27

 a  10,94 cm

 b  24,69 cm
4,43
a
22,57
b
Por otro lado,
y
.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
1
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 28º ; b) 62º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 28º  0,4695 ; cos 28º  0,8829 ; tg 28º  0,5317.
b) sen 62º  0,8829 ; cos 62º  0,4695 ; tg 62º  1,8807.
sen 28º  cos 62º ; cos 28º  sen 62º porque 28º 62º  90º.
2
Halla el seno y el coseno de los ángulos B y C del dibujo. ¿Qué relación encuentras?
Solución:
Por el teorema de Pitágoras,
x2  62  10 2  x  8 cm
. Por tanto,
senB 
6
6
8
4
8
4
6
6
 , cosB 
 , senC 
 , cosC 

10 5
10 5
10 5
10 5
.
Observamos que senB = cosC y que cosB = senC.
3
En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, si tgB = 1,2 y b = 3 cm, ¿cuánto mide c?
Solución:
b
3
3
tgB   1,2   c 
 2,5 cm
c
c
1,2
4
Trabajando con ángulos agudos, ¿es cierto que a mayor ángulo le corresponde mayor seno? ¿Y para el coseno?
Solución:
Cuando los ángulos son agudos, el seno es creciente, es decir, a mayor ángulo, mayor seno, pero el coseno es decreciente, esto
es, a mayor ángulo, menor coseno.
5
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 9º ; b) 81º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 9º  0,1564 ; cos 9º  0,9877 ; tg 9º  0,1584.
b) sen 81º  0,9877 ; cos 81º  0,1564 ; tg 81º  6,3138.
sen 9º  cos 81º ; cos 9º  sen 81º porque 9º 81º  90º.
6
Un ciclista tiene que subir una cuesta que tiene una inclinación de 12º. ¿Qué altura habrá subido cuando haya recorrido
200m?
Solución:
La hipotenusa del triángulo es 200 m y la altura es el cateto opuesto a los 12º, por lo que
h
sen 12º 
 h  200 sen 12º  200·0,2079  41,58 m
200
.
7
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 27º ; b) 63º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 27º  0,4540 ; cos 27º  0,8910 ; tg 27º  0,5095.
b) sen 63º  0,8910 ; cos 63º  0,4540 ; tg 63º  1,9626.
sen 27º  cos 63º ; cos 27º  sen 63º porque 27º 63º  90º.
8
Si a es un ángulo agudo y cos a = 0,1, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a  1  cos 2 a  1  0,01  0,99  0,9950;
tg a 
9
sen a 0,9950

 9,9499.
cos a
0,1
Si a es un ángulo agudo y cos a = 0,2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a  1  cos 2 a  1  0,04  0,96  0,9798;
tg a 
10
sen a 0,9798

 4,8990.
cos a
0,2
Si a es un ángulo agudo y cos a =0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a  1  cos 2 a  1  0,16  0,84  0,9165;
tg a 
11
sen a 0,9165

 2,2913.
cos a
0,4
Si a es un ángulo agudo y sen a = 0,1, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a  1  sen 2 a  1  0,01  0,99  0,9950;
tg a 
12
sen a
0,1

 0,1005.
cos a 0,9950
Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos 2 a 
1
1  tg a
2

1
 0,8621  cos a  0,8621  0,9285;
1  0,16
sen a  cos a tg a  0,9285  0,4  0,3714.
13
¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 12, 13 y 5 cm? En caso afirmativo determina el seno, coseno y tangente
de los dos ángulos agudos.
Solución:
52  122  13 2
Sí es rectángulo, pues
.
5
12
5
senA 
, cosA 
, tgA 
13
13
12
.
12
5
12
senA 
, cosA 
, tgA 
13
13
5
.
14
En un triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es A, se sabe que a = 8 m y b = 6m. ¿Cuánto mide c? Calcula las
razones de los ángulos B y C.
Solución:
82  62  c2  c  28  2 7 m
Por el teorema de Pitágoras:
. Por tanto:
6 3
2 7
7
6
3 7
7 3 7
4
4 7
4
senB   , cosB 

, tgB 

, cotgB 

, secB 

, cosecB 
8 4
8
4
7
3
7
7
3
2 7
7
.
6
3 7
4
4
4 7
2 7
7
6 3
2 7
7 cotgC 

, secC  , cosecC 

senC 

, cosC   , tgC 

,
7
3
7
2 7
7
8
4
8 4
6
3
.
15
Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,5, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
4
2
  cosa 
 0,8944;
1
5
1  tg a 1 
5
4
2 1
1
sen a  cos a tg a 
 
 0,4472.
5 2
5
cos 2 a 
16
1
2

1
Si a es un ángulo agudo y sen a = 0,2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a  1  sen 2 a  1  0,04  0,96  0,9798;
tg a 
17
sen a
0,2

 0,2041.
cos a 0,9798
Si a es un ángulo agudo y cos a = 0,6, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a  1  cos 2 a  1  0,36  0,64  0,8;
tg a 
18
sen a 0,8 4

 .
cos a 0,6 3
Si a es un ángulo agudo y sen a =0,3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a  1  sen 2 a  1  0,09  0,91  0,9539;
tg a 
19
sen a
0,3

 0,3145.
cos a 0,9539
Calcula de manera razonada y exacta sen45º.
Solución:
Tomemos un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura:
sen 45º 
AB  BC 2
Aplicando el teorema de Pitágoras, sabemos que
20
, por lo que
sen 52º17' 
h
 h  42 sen 52º17'  42·0,7910  33,22 m
42
Calcula de manera razonada y exacta sen30º.
Solución:
Tomemos un triángulo equilátero como el de la figura:
AD 
Como
22
.
Beatriz sujeta una cometa con una cuerda de 42 m. ¿A qué altura se encuentra ésta en el momento en que el cable tenso
forma un ángulo de 52º 17' con el suelo?
Solución:
21
BC
1
2


AB
2
2
AC
2
sen 30º 
, entonces
AD 1

AC 2
.
Calcula el seno, coseno y tangente del ángulo A en el siguiente dibujo:
Solución:
Como A = 90º - B, tenemos que:
senA  cosB 
16 4
12 3
16 4
 , cosA  senB 
 , tgA  cotgB 

20 5
20 5
12 3
.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
1
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 81º ; b) 279º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 81º  0,9877 ; cos 81º  0,1564 ; tg 81º  6,3138.
b) sen 279º  0,9877 ; cos 279º  0,1564 ; tg 279º  6,3138.
sen 279º   sen 81º ; cos 279º  cos 81º porque 279º  360º 81º.
2
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 79º ; b) 259º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 79º  0,9816 ; cos 79º  0,1908 ; tg 79º  5,1446.
b) sen 259º  0,9816 ; cos 259º  0,1908 ; tg 259º  5,1446.
sen 259º   sen 79º ; cos 259º   cos 79º porque 259º  180º 79º.
3
Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de otra equivalente de un ángulo del primer cuadrante:
a) sen(-90º)
b) cos 850º
c) sen 720º
d) cos(-300º)
e) sen 540º
f) cos 3240º
Solución:
a) sen(-90º) = -sen 90º
b) cos 850º = sen 130º = sen(180º-50º)=sen 50º
c) sen 720º = sen 0º
d) cos(-300º) = cos 60º
e) sen 540º = sen 180º = sen 0º
f) cos 3240º = cos 0º
4
cosA 
Si sabemos que
expresados en grados:
senA
a)
tg(90  A)
b)
cos(90  A)
c)
2
3
y que A está en el primer cuadrante, calcula las siguientes razones trigonométricas sabiendo que A es
Solución:
2
4
2
senA  1     1  
9
3
5
5

9
3
a)
tg(90  A) 
sen(90  A)
cosA
2
2 5



cos(90  A)  senA
5
5
b)
cos(90  A)  senA 
5
3
c)
5
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 9º ; b) 99º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 9º  0,1564 ; cos 9º  0,9877 ; tg 9º  0,1584.
b) sen 99º  0,9877 ; cos 99º  0,1564 ; tg 99º  6,3138.
sen 99º  cos 9º ; cos 99º   sen 9º porque 99º  90º 9º.
6
Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de :
a) 25º ; b) 155º .
¿Encuentras alguna relación entre las razones trigonométricas de ambos ángulos?
Solución:
a) sen 25º  0,4226 ; cos 25º  0,9063 ; tg 25º  0,4663.
b) sen 155º  0,4226 ; cos 155º  0,9063 ; tg155º  0,4663.
sen 155º  sen 25º ; cos 155º   cos 25º porque 155º  180º 25º.
7
Si a es un ángulo del segundo cuadrante y cos a = -0,05, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a  1  cos 2 a  1  0,0025  0,9975  0,9987;
tg a 
8
sen a 0,9987

 19,9750.
cosa
 0,05
Si a es un ángulo obtuso y sen a =0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como sen a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el segundo cuadrante.
cos a   1  sen 2 a   1  0,16   0,84  0,9165;
tg a 
sen a
0,4

 0,4364.
cos a  0,9165
9
Si a es un ángulo entre -90º y 90º y sen a =0,7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como sen a es positivo, a está en el primer o segundo cuadrante, y como -90º<a<90º, entonces a está en el primer cuadrante.
cos a  1  sen 2 a  1  0,49  0,51  0,7141;
tg a 
10
sen a
0,7

 0,9802.
cos a 0,7141
Si a es un ángulo del segundo cuadrante y tg a = -0,25, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos 2 a 
1
1  tg a
2
1

1
sen a  cos a tg a  
11
1
16
4

16
4
 cos a  
 0,9701;
17
17
 1
   
17  4 
1
 0,2425.
17
Si a es un ángulo convexo y tg a =3/7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como tg a es positivo, a está en el primer o tercer cuadrante, y como a es convexo, está en el primer o segundo cuadrante, por lo que a
sólo puede estar en el primer cuadrante.
1
1
49
7
cos 2 a 


 cos a 
 0,9191;
2
9
58
1  tg a 1 
58
49
7
3
3
sen a  cos a tg a 
 
 0,3939.
7
58
58
12
Si a es un ángulo obtuso y cos a =0,7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como cos a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el cuarto cuadrante.
sen a   1  cos 2 a   1  0,49   0,51  0,7141;
tg a 
13
sen a  0,7141

 1,0202.
cos a
0,7
Si a es un ángulo del tercer cuadrante y sen a = - 0,9, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a   1  sen 2 a   1  0,81   0,19  0,4359;
tg a 
sen a
 0,9

 2,0647.
cos a  0,4359
14
Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y tg a = -5/3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
1
9
3

 cos a 
 0,5145;
34
1  tg a 1  25
34
9
3  5
5
sen a  cos a tg a 
    
 0,8575.
3


34
34
cos 2 a 
15
1

2
Si a es un ángulo obtuso y tg a =2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como tg a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el tercer cuadrante.
1
1
1
cos 2 a 

 cos a  
 0,4472;
2
1

4
1  tg a
5
sen a  cos a tg a  
1
2  
2
5
16
 0,8944.
5
Si a es un ángulo del cuarto cuadrante y cos a =0,3, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a   1  cos 2 a   1  0,09   0,91  0,9539;
tg a 
17
sen a  0,9539

 3,1798.
cos a
0,3
Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes se verifica que
1
1
senA  ; cosB  ; tgC  1
2
2
.
Solución:
A  arcsen
1 π
5π
 rad ó
rad .
2 6
6
B  arccos
1 π
5π
 rad ó
rad .
2 3
3
C  arctg( 1) 
18
3π
7π
rad ó
rad .
4
4
Indica si las siguientes afirmaciones con verdaderas o falsas razonando tu respuesta:
a) Es posible que
senA  cosB  2
b) No es posible que
.
senA  cosB  1
.
senA  cosB  3
c) Es imposible que
d) Puede ocurrir que
e) Jamás sucede que
.
senA  cosB  1
senA  cosB  3
.
.
Solución:
a) Verdadero. Por ejemplo para A = 90º y B = 0º.
b) Falso. Por ejemplo para A = B = 0º.
c) Verdadero, porque sen A y cos B están entre -1 y 1.
d) Verdadero. Por ejemplo para A = B = 90º.
e) Verdadero, porque sen A y cos B están entre -1 y 1.
19
Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre -2π y 2π se verifica que tg A = 1.
Solución:
A  arctg 1 
20
π
5π
3π
7π
rad ó
rad ó 
rad ó 
rad .
4
4
4
4
Completa la tabla sin utilizar la calculadora. ¿Hay varias soluciones posibles? Calcula posteriormente A, B y C:
A
sen
B
C
3

2
cos
3
2
tg
1
Solución:
A
sen

3
2
B
1

2
1
2
3
2
cos

tg
 3

C

2
2

2
2
3
3
1
A = 210º ó 300º, B = 30º ó 330º, C = 45º ó 225º.
21
Usa la fórmula que relaciona la tangente de un ángulo con su seno y su coseno para probar que
tangente sea positiva.
Solución:
tgA 
Como
senA
 senA  cosA·tgA
cosA
, y como
cosA  1
senA  tgA
, entonces
.
senA  tgA
para todo ángulo A
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos la hipotenusa c = 18 cm y el
ˆ  38º.
A
ángulo
Solución:
B̂  90º    52º ; a  c sen  18  sen 38º  11,082 cm ; b  c sen 52º  18  sen 52º  14,184 cm.
2
ˆ  25º.
A
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, si conocemos la hipotenusa c = 12 cm y el ángulo
Solución:
B̂  90º    65º ; a  c sen  12  sen 25º  5,071 cm ; b  c senB̂  12  sen 65º  10,876 cm.
3
Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 25 m cuando el ángulo de elevación del sol respecto a la
horizontal vale 23º.
Solución:
tg 23º 
4
h
 h  25  tg 23º  10,612 m .
25
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 26 cm y el ángulo
ˆ  30º.
B
Solución:
  90º  B̂  60º ; c 
a

senÂ
5
26
b
 30,022 cm ; tgB̂   b  a tgB̂  26  tg 30º  15,011 cm.
sen 60º
a
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto b = 11 cm y el ángulo
ˆ  56º.
A
Solución:
B̂  90º  Â  34º ; c 
b
senB̂
6

11
a
 19,671 cm ; tg   a  b tg  11  tg 56º  16,308 cm.
sen 34º
b
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC si conocemos la hipotenusa c = 25 cm y el ángulo
ˆ  28º.
B
Solución:
  90º  B̂  62º ; a  c sen  25  sen 62º  22,074 cm ; b  c sen 28º  25  sen 28º  11,737 cm.
7
¿Cuál es la altura de una torre que es vista desde 30 m de su pie y con un teodolito de 1,20 m de altura bajo un ángulo
de 30º?
Solución:
tg 30º 
8
h
 h  30  tg 30º  17,32 ; H Torre  h h teo  17,32  1,20  18,52 m .
30
En un puerto de carretera aparece una señal de tráfico con la leyenda 5 %. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la
carretera? ¿Y si pusiera 20 %?
Solución:
tg  0,05    arctg 0,05  2º 51' 45' ' ; tgB̂  0,2  B̂  arctg 0,2  11,3099º  11º 18' 36' '.
9
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos la hipotenusa c = 20 cm y el cateto b
= 12 cm.
Solución:
a 2  c 2  b 2  a  20 2  12 2  256  16 ; sen 
 53º 7' 48' ' ;
Se cumple que
10
senB̂ 
a 16

 0,8  Â  arcsen 0,8  53,1301º 
c 20
b 12

 0,6  B̂  arcsen 0,6  36,8699º  36º 52' 12' '.
c 20
  B̂  90º.
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 10 cm y el cateto b = 9
cm.
Solución:
c 2  a 2  b 2  c  10 2  9 2  181  13,454 cm ;
 48º 46' ' ;
11
tgB̂ 
tg 
a 10
10

 Â  arctg
 48,0128º 
b
9
9
b
9

 0,9  B̂  arctg 0,9  41,9872º  41º 59' 14' '.
a 10
Calcula la anchura del río representado en la figura siguiente:
Solución:
tg 30º 
12
x
 x  50·tg 30º  50·0,5774  28,87 m
50
Calcula la profundidad de un pozo de 1,5 m de diámetro sabiendo el ángulo indicado en la figura.
Solución:
tg 30º 
13
1,5
1,5
1,5
x

 2,60 m
x
tg 30 0,5774
Si la inclinación en un tramo de carretera es del 8%, ¿cuánto vale el ángulo de inclinación en dicho tramo? ¿Cuánto
sube la carretera en 100 m?
Solución:
tg  0,08    arctg 0,08  4,5739º  4º 34' 26' '.
Al ser la pendiente del 8%, cada 100 m en horizontal recorre 8 m en vertical.
14
Averigua la altura de la torre de una iglesia si a una distancia de 80 m, y medido con un teodolito de altura 1,60 m, el
de 23º.
ángulo de elevación del pararrayos que está en lo alto de la torre es
Solución:
tg 23º 
15
h
 h  80  tg 23º  33,96 m ; H Torre  h h teo  h 1,60  35,56 m .
80
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 12 cm y el cateto b = 15
cm.
Solución:
c 2  a 2  b 2  c  15 2  12 2  369  19,209 cm ; tg 
 38º 39' 35' ' ;
Se cumple que
16
tgB̂ 
a
 0,8  Â  arctg 0,8  38,6598º 
b
b
 1,25  B̂  arctg 1,25  51,3402º  51º 20' 25' '.
a
  B̂  90º.
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 5 cm y el cateto b = 15
cm.
Solución:
c 2  a 2  b 2  c  5 2  15 2  250  15,811 cm ; tg 
 18º 26' 6' ' ;
17
tgB̂ 
a
5
1

 Â  arctg  18,4349º 
b 15
3
b 15

 B̂  arctg 3  71,5651º  71º 33' 54' '.
a
5
Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm.
Solución:
Área 
18
lado
perímetro  apotema
2  a  5  8,66  Área  6  10  8,66  259,81 cm 2 .
; tg 30º 
2
apotema
tg 30º
2
Cuál es la altura de una montaña cuya cima, si nos situamos a una distancia de 3000 m del pie de su vertical y medimos
con un teodolito de altura 1,50 m, presenta un ángulo de inclinación de
Solución:
49º.
tg 49º 
19
h
 h  3000  tg 49º  3451,11 ; HM  h h teo  h 1,50  3452,61 m .
3000
¿Cuál es el ángulo de inclinación de los rayos solares en el momento en que un bloque de pisos de 25 m de altura
proyecta una sombra de 10 m de longitud?
Solución:
25
tg 
 Â  arctg 2,5  68,1986º  68º 11' 55' '.
10
20
Halla la altura y el área de un triángulo isósceles cuya base mide 20 cm y cuyo ángulo desigual vale 26º.
Solución:
26º
 13º  13º ;
2
base 20
10
10
b h 20  43,315

 10  tg13º 
h
 43,315 cm ; Área 


2
2
h
tg13º
2
2
Área  433,15 cm2 .
21
Para medir la altura de un campanario a cuya base no podemos acceder, tendemos una cuerda de 30 m de largo desde lo
alto de la torre hasta tensarla en el suelo, formando con éste un ángulo de 60º. ¿Cuál es la altura del campanario?
Solución:
sen 60º 
22
x
 x  30·sen 60º  30·0,8660  25,98 m
30
Halla el área de un dodecágono regular de lado 16 cm.
Solución:
Área 
perímetro  apotema
;
2
 Área 
23
lado
tg15º 
ap
2  ap 
8
 29,856 cm 
tg15º
12  16  29,856
 2866,215 cm 2 .
2
El hilo de una cometa totalmente extendido mide 150 m, y forma un ángulo con el suelo de 40º mientras lo sujeto a 1,5 m
del suelo. ¿A qué altura del suelo está la cometa?
Solución:
sen 40º 
h
 x  150·sen 40º  150·0,6428  96,42 m  h  x  1,5  97,92 m
150