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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
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EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Operaciones con ángulos y tiempos
1
Efectúa las siguientes operaciones:
a) 27° 31' 15" 43° 42' 57"
b) 163° 15' 43"96° 37' 51"
c) (37° 42' 19") × 4
d) (143° 11' 56") : 11
a)
27° 31' 15"
43° 42' 57"
70° 73' 72" → 71° 14' 12"
b)
163° 15' 43"
162° 74' 103"
96° 37' 51" → 96° 37' 51"
66° 37' 52"
c) 37° × 4 148°
42' × 4168'2° 48'
19" × 4 76" 1' 16"
d) 143° 11' 56"
033 00 01"
00


 → (37° 42' 19") × 4150° 49' 16"


11
13° 1' 5"
 Cociente → 13° 1' 5"
Solución: 
 Resto → 1"
2
∧
En el ángulo A 80° 42' 56", trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide cada ángulo resultante?
Cada uno mide:
3
80° 42' 56"
2
00 00 00
40° 21' 28"
Halla el cuarto ángulo de un cuadrilátero sabiendo que los otros tres
miden:
∧
∧
∧
A 47° 11' 15", B 96° 51' 33", C 68° 3"
∧
D360°(47° 11' 15" 96° 51' 33" 68° 3")147° 57' 9"
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Halla en grados, minutos y segundos el ángulo interior de un heptágono
regular.
El ángulo interior de un heptágono regular mide:
(72)180°
128° 34' 17"
7
Construcciones
5
Traza, con el transportador, los ángulos de 30°, 45°, 60° y 75°. Construye sus complementarios y calcula sus medidas.
15°
30°
60°
6
45°
45°
30°
Traza con el transportador los ángulos de 120°, 135°, 150° y 165°.
Construye sus suplementarios y calcula sus medidas.
60°
30°
7
75°
60°
120°
45°
150°
15°
135°
165°
Utilizando exclusivamente el lápiz, la regla y el compás, dibuja los siguientes ángulos:
a) 60°
b) 30°
a)
c) 45°
d) 150°
b)
Trazando una
bisectriz al anterior.
d)
e)
180°30°
Unidad 10. Rectas y ángulos
e) 75°
c)
Bisectriz a un
ángulo recto.
Bisectriz al anterior.
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
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Dibuja un ángulo de 120°. Traza tres rectas de forma que dividan al ángulo en cuatro partes iguales.
120°180°60°
Primero se traza la bisectriz del ángulo de 120° (verde) y luego las dos bisectrices de los ángulos de 60° (azul y rojo).
9
r
Dibuja en tu cuaderno una recta
r y un punto P exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelas a r que pasen por
P puedes trazar?
P
Haz los trazados con regla y escuadra.
Solo puede trazarse una recta paralela.
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Dibuja en tu cuaderno un itinerario como este con las siguientes medidas:
—
—
—
—
B
AB 6 cm, BC 3 cm, CD 4 cm, DE 4 cm
A
B
C
E
C
D
D
B
C
A
E
D
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Construye un triángulo como este con las siguientes medidas:
^
a
^
E
B
^
^
A
^
C
D
a4 cm
∧
A 30°
∧
B 100°
∧
∧
∧
∧
∧
∧
Halla los ángulos D y E . ¿Cómo son los ángulos B y E ? ¿Y D y C ?
∧
C 180°(30°100°)50°
∧
80°
D180°50°130°
4 cm
100°
∧
E180°100°80°
130°
∧ ∧
50°
30°
B y E son suplementarios
(y adyacentes).
∧ ∧
D y C son suplementarios (y adyacentes).
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Responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la mediatriz de un segmento?
b) ¿En qué punto de la vía férrea hay que situar una estación de modo que se
encuentre a la misma distancia de los pueblos A y B ?
A
Vía
a
férre
B
Copia en tu cuaderno el dibujo y resuélvelo gráficamente.
a) Que equidista de cada uno de los dos extremos del segmento.
b) La estación E hay que situarla en el punto en que la mediatriz de AB corta
a la vía férrea. De ese modo, equidista de A y de B.
A
Vía
B
E
Unidad 10. Rectas y ángulos
a
férre
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Contesta y construye:
a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la bisectriz de un ángulo?
b) Copia en tu cuaderno un ángulo como este, alargando sus lados varios centímetros. Sitúa una circunferencia de 4 cm de radio, que sea tangente a los dos lados del ángulo (es decir, que la circunferencia toque
en un solo punto a cada lado del ángulo).
a) Que equidista de los lados del ángulo.
b)
4 cm
(No construido a su tamaño.)
Trazamos un segmento de 4 cm perpendicular a un lado. Por su extremo trazamos una paralela a este, hasta que corte a la bisectriz. Ahí está el centro de
la circunferencia buscada.
Relaciones angulares
14
Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:
a
b
^
125°
A
125°
^
^
P
63°
c
N
d
28°
^
A
^
32°
Unidad 10. Rectas y ángulos
P
^
Q
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e
f
^
M
^
B
^
A
^
N
g
h
40°
^
^
A
B
^
^
M
N
^
C
130°
∧
a) A180°63°117°
∧ ∧ 360°(125°125°)
b) PN 55°
2
∧
c) A90°32°58°
∧ ∧ 180° 28°
d) PQ 76°
2
∧ 360°
∧ 180°3
e) A 108°; B 72°
5
5
∧ ∧ 180°3 90°3
f ) MN 135°
2
∧ ∧
∧
g) B C40°; A180°40°140°
∧
∧
h) N130°; M180°130°50°
15
Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el ángulo central?
b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo?
c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono?
360°
a) Ángulo central72°
5
Unidad 10. Rectas y ángulos
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180° 72°
b) Ángulo señalado 54°
2
c) Ángulo del pentágono54°2108°
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Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:
a)
b)
^
^
^
B
^
A
C
N
25°
^
M
40°
^
P
d)
c)
^
B
100°
40°
A^
e)
^
C
^
D
f)
^
B
^
^
C
g)
60°
^
A
E
150°
^
D
∧
∧ ∧
a) B25°; AC180°25°155°
∧
∧ 180° 140°
∧
b) M180°40°140°; N 20°; P90°20°70°
2
∧ 100°
c) A50°
2
∧ 40°
d) B20°
2
∧ ∧
e) CD90°
∧ ∧ ∧
f ) AB C150° : 2 75°
∧
∧
g) E60°; D260°120°
Unidad 10. Rectas y ángulos
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a
El triángulo I es equilátero. Los triángulos
II son isósceles.
∧ ∧ ∧
Halla la medida de los ángulos A , B y C .
I
a
a
a
a
II
^
II
A^
^
B
C
I
a
a
a
II
a
II
60°
75°
a
150°
15°
a
a
∧ 180° 30°
A 75°
2
∧
B360°(60°75°2) 150°
∧
C(180°150°) : 2 15°
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Simetrías
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Observa las letras del
abecedario:
Di cuáles no tienen ejes de
simetría (hay 10), cuáles
tienen un eje de simetría
(hay 13), cuáles tienen dos
(hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría.
Dibuja cada una de ellas en
tu cuaderno señalando los
ejes que tenga.
No tienen eje de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z.
Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L (inclinado), M, T, U, V, W, Y.
Unidad 10. Rectas y ángulos
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Tienen dos ejes de simetría: H, I, X. La O tiene infinitos.
Son simétricas respecto a un punto, además de H, I, X, O, las siguientes: N, S,
Z.
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Completa en tu cuaderno cada figura para que sea simétrica respecto al
eje señalado:
20 Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se indican:
Comprueba el resultado con un espejo.
e2
e1
PROBLEMAS DE ESTRATEGIA
21 Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:
a
b
c
d
Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus
dos caras.
Unidad 10. Rectas y ángulos
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¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por
las dos caras?
1
↑1
↓2
a
2
se verá
↑1
↓2
2
1
se verá
b
1
se verá
c
2
↑1
↓2
2
1
↑1
↓2
d
se verá
Para que se vea lo mismo por las dos caras hay que situar los espejos así:
a
c
b
d
22 Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo:
F
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
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Pág. 11
Por ejemplo, para obtener esta
hemos de situar el espejo así:
F
Pero ¡atención!, no tenemos un espejo a mano. Tienes que imaginártelo.
Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las
siguientes figuras:
A
B
C
D
M
N
E
P
B
A
D
C
E
N
P
Unidad 10. Rectas y ángulos
M