Download Ciencias Básicas e Ingeniería /Carrera

Datos Generales
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Fecha:
'Alumna:
Matrícula:
JAsesor:
lztapalapa
Ciencias Básicas e Ingeniería
Licenciatura en Computación
Proyecto Terminal
Caos en el Sistema Planetario
25 de Febrero del 2003,
Yuriria Cortés Poza
94216103
Yuriria Cortés Poza
Proyecto Terminal
Licenciatura en Computación
25 de Febrero del 2000
Asesor: Emilio Cortés Reyna
Ciencias ]Básicas e Ingeniería
Un:idad Iztapalapa
UNIVFSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
lndice
I.
Introducción .............................................................................
3
II.
Antecedentes Históricos............................................................
3
111.
Teoría del Caos ........................................................................
5
Evolución
Espacio de Estados y Atractor Caótico
Estabilidad
I\
Estudio Recientes ...................................................................
8
V.
Resolución de las Ecuaciones de Movimiento..............................
11
VI .
Resolución del Problema de tres cuerpos ...................................
12
VI1.
Simulación ............................................................................
14
-
Gráficas
Vlll
Conclusiones .........................................................................
20
IX.
Bibliografía ............................................................................
21
CAOS EN EL SISTEMA PLANETARIO
I. Introducción
Durante muchos años se pens6 que el sistema solar funcionaba como un
reloj, y que las órbitas de los planetas, se podían predecir con precisión absoluta.
Gracias a los avances computacionales y los avances en la teoría del caos, se sabe
que el sistema planetario es un sistema dinámico sumamente complejo. Los
planetas no orbitan al rededor del Sol con la exactitud de un cronómetro.
La teoría del caos se enfoca en fenómenos conocidos como sistemas
dinámicos, los cuales son sensibles a condiciones iniciales, donde aun ecuaciones
simples, deterniinísiticas pueden dar como resultado soluciones sumamente
complicadas e impredecibles.
II. Antecedentes Históricos
En el periodo temprano de la historia griega, una de las funciones principales
que se esperaba de los astrónomos eira la regulación adecuada del calendario. Los
griegos, como otras naciones antiguas empezaron con un calendario basado en la
luna. A diferencia de otros astrónomos griegos, Pitágoras y sus seguidores llevaron
a cabo avances considerables.
No se sabe mucho de la vida de Pitágoras. Nació en la primera parte del siglo
VI A.C., y murió a principios del siglo VI1 A.C..
Pitarrosa pensaba que tanto la tierra icomo los demás astros celestes se
encontraban en una esfera, y que la tierra descansaba sin necesidad de soporte en
el centro del universo.
Pitágoras sabía que la luna brilla por que el sol brilla sobre ella y que las fases
de la luna son causadas por la cantided de iluminación que recibe la mitad de la
luna que da hacia la tierra. Además sabía que la forma curva de la frontera entre la
porción brillante y obscura era una evidencia de que la luna es esférica, y que por lo
tanto la tierra también es esférica.
Pitágoras desarrolló una idea que tuvo una influencia extremadamente
importante en la astronomía antigua y medieval. Pensaba que las estrellas estaban
fijas en una esfera de cristal que daba vueltas en un eje a través de la tierra, y cada
uno de los siete planetas (incluyendo al sol y la luna) se movía en una esfera
3
propia. Las distancias de estas esferas a la tierra estaban fijas de acuerdo con
ciertas nociones especulativas de Pitiigoras de 13s números y la música. Así las
esferas al revolucionar producían sonidos armónicos, los cuales solo podían ser
escuchados por ciertas personas con un don especial.
Este es el origen de la idea de la música de las esferas. Después las esferas
de Pitágoras se desarrollaron en una iepresentación científica del movimiento de los
cuerpos celestiales. Esto fue la base de la astronomía hasta los tiempos de Kepler.
En el siglo XVI, ante la controversia que existía entre el modelo de Ptolomeo
(sistema geocéntrico del Universo) y el de Copérnico (sistema heliocéntrico), el
astrónomo Tycho Brahe (1546-1 601 ), quien fue el último astrónomo que no utilizó
telescopio, lleva a cabo una compilación de un gran número de datos astronómicos.
Estos datos son interpretados durante un periodo de 20 años por Johannes
Kepler (1571-1630), quien había sido’ el asistente de Brahe. Kepler encuentra
regularidades importantes en el movimiento de los planetas. Sus trascendentales
conclusiones son sintetizadas en las conocidas tres leyes de Kepler:
I.
ii.
<..
111.
Todos los planetas SE!mueven en órbitas elípticas, teniendo el sol
como uno de sus focos.
El segmento que une a cualquier planeta con el Sol, barre áreas
iguales, en tiempos iguales.
El cuadrado del periodo de cualquier planeta alrededor del Sol, es
proporcional al cubo ide la distancia media al Sol.
Como culminación de la gran contribución a la astronomía por Galileo y
Kepler, en el siglo 17, Isaac Newton .formula la Ley de Gravitación Universal:
Entre dos cuerpos cualesqluiera existe una fuerza de atracción, que es
proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al
cuadrado cle la distancia entre ellos. ”
”
Fij
= G
mi
di:
mi
Donde G = 6.67 x I O ” (constante universal)
di, = distancia entre los cuerpos
Partiendo de la ley de Gravitación, el problema del movimiento de solamente
dos cuerpos es soluble usando ecuaciones matemáticas relativamente simples.
4
Para dos cuerpos, podemos predecir cualquier configuración futura del
sistema con una precisión arbitraria e i i cualquier instante. Para un sistema con mas
de dos cuerpos la solución se complic:a.
El matemático francés Pierre Simon de Laplace, trato de resolver el problema
de la estabilidad del sistema solar, haciendo suposiciones que simplificaban las
interacciones gravitacionales de los planetas. Laplace demostró que su sistema
simplificado era soluble y que había periodicidades a largo tiempo (decenas de
cientos de años) en el movimiento de las órbitas de los planetas. Laplace pensó que
había llegado a una solución analítica, desafortunadamente, los términos que no
consideró en si1 teoría, eran aquellos que podían generar el comportamiento
caótico. Así la demostración de estabilidad de Laplace quedó desechada.
A finales del siglo XIX, el matemático francés, Henri Poincaré, atacó el
problema de 3-cuerpos, y demostró que no existe una solución general para este
problema. Sin embargo Poincaré fue el primero en darse cuenta de lo complicado
que es el comportamiento que puede resultar de la interacción gravitacional entre
tres cuerpos.
111. Teoría del Caos
En los últimos 25 años, científicos que trabajan en mecánica de fluidos,
química y biología de población, han idesarrollado modelos matemáticos exitosos
para estos fenómenos naturales.
Algunos de estos fenómenos cuentan con dos características que parecen
ser contradictorias: consisten de solamente unas cuantas ecuaciones simples, y en
sus soluciones se observa un comportamiento extremadamente complicado e
incluso impredecible. Este tipo de cornportarniento se encuentra en diversas áreas
de investigación, y se puede simular mediante programas de cómputo
aparentemente triviales. El análisis de! estos modelos y la investigación de este tipo
de comportamiento se llama "Teoría idel Caos".
La teoría del caos es un nuevo campo de investigación. Se puede definir
como el estudio cualitativo del comportamiento inestable y aperiódico en sistemas
dinámicos determinísticos no lineales.
El caos es cualitativo puesto que busca conocer el carácter general del
comportamiento a largo plazo de un sistema, en vez de buscar la predicción
numérica sobre un estado futuro. Los sistemas caóticos son inestables puesto que
tienden a no resistir perturbaciones del exterior, reaccionando de diversas formas.
Las variables que describen el estado de un sistema, no llevan a cabo una
5
.. .
repetición de variables y por lo tanto 1
1
0 son periódicas. Este comportamiento
periódico e irregular es altamente complejo, puesto que nunca se repite y refleja los
efectos de las perturbaciones. Estos sistemas son determinísticos puesto que están
compuestos de unas cuantas ecuaciones diferenciales sencillas y no hacen
referencia a mecanismos implícitos de probabilidad. Finalmente, un sistema
dinámico es un modelo simplificado del comportamiento que cambia en el tiempo
de un sistema real. Estos sistemas se describen mediante ecuaciones diferenciales
que especifican las razones de cambio para cada variable.
Muchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza pueden describirse
muy bien con modelos matemáticos lineales, donde lineales significa que el
resultado de una acción siempre es proporcional a su causa. Sin embargo, la mayor
parte de los fenómenos en la naturaleza son no lineales. La ciencia tradicional se
enfoca principalmente en los sistema!; lineales. Recientemente se han desarrollado
métodos y tecnología que han logrado un progreso significativo en los sistemas no
lineales.
Una clase entera de fenómenos que no existen en el marco de la teoría lineal
se ha vuelto conocida en el mundo del caos. La noción moderna del caos describe
estructuras irregulares y sumamente icomplejas en el tiempo y en el espacio que
siguen leyes y ecuaciones determinisitas. Esto contrasta con el caos sin estructura
que se encuentra en el equilibrio de la termodinámica tradicional.
La teoría del caos pertenece a 110s logros más grandes en la ciencia en este
siglo. Una paradoja aparente, es que el caos es determinístico, generado por reglas
fijas que no involucran elementos de cambio en sí. En principio, el futuro está
completamente determinado por el pasado, pero en la práctica, las pequeñas
incertidumbres, como errores mínimos o errores de medición las cuales entran en
los cálculos son amplificadas con el efecto que aún que el comportamiento es
predecible en corto plazo es impredecible en largo plazo.
El descubrimiento de este comiportamiento es uno de los logros mas
importantes de la teoría del caos.
Evolución de la teoría del caos
En un principio, la teoría del caos se aplicaba al análisis de circuitos
electrónicos, encontrando resultados tales como el aumento de la potencia de
Iáseres (Ditto y Pecora) y la sincronización de circuitos. Fue demostrado entonces,
que era posible sincronizar dos sistemas caóticos, siempre y cuando fuesen
excitados por la misma señal, independientemente de/ estado inicial de cada
sistema (Neff y Carroll). O sea, que al perturbar adecuadamente un sistema caótico,
se le forza a tomar uno de los muchos comportamientos posibles. Lo que ocurre, es
6
que el caos es sensible a las condicioines iniciales. Sin sincronismo, dos sistemas
caóticos virtualmente idénticos, evolucionarán hacia estados finales distintos,
Mas tarde, pudo aplicarse al análisis de oscilaciones en reacciones químicas,
y al seguimiento del latido cardiaco. En los últimos años, se han estudiado procesos
biológicos como los procesos enzimáticos (Hess y Markus) que muestran un
comportamiento caótico. Los sistemas naturales son, en su gran mayoría, no
lineales, y justamente el caos, es un comportamiento no lineal.
Espacio de estados y atractor caótico
Para caracterizar un sistema dinámico, contamos con variables dinámicas
(por ejemplo, posición y velocidad), y variables estáticas (parámetros o constantes).
Un espacio de estados, es una representación gráfica cartesiana, donde cada eje es
una variable dinámica. Cada punto es una instantánea del estado, y la línea descrita
por esa sucesión de puntos, se denornina trayectoria. Dicha trayectoria es
arrastrada hacia una región del espacio de estados llamada atractor, que no es sino
la manifestación de los parámetros fijos y de las ecuaciones que determinan los
valores de las variables dinámicas (Hamilton-Jacobi).
El período del atractor, siempre y cuando no posea un número infinito de
ciclos, será predecible. Un atractor caótico es un sistema que posee un periodo
infinito de ciclos. Consta de una colección infinita de comportamientos periódicos
inestables, o en todo caso, una comb~inaciónde órbitas periódicas e inestables.
Estabilidad
Un sistema se considera estable, si frente a una perturbación ligera, su
trayectoria cambia muy poco. El mulliplicador de Lyapunov, es una magnitud
creada con el fin de discernir entre dos posibilidades extremas: un valor < 1
significa que la perturbación se amortiguará y el sistema es estable, un valor > 1
significa que el sistema se tornará inestable a la perturbación. Por ello, todo sistema
caótico tiene Lyapunov > 1.
7
IV. Estudios Recientes
El estudio del caos ha reveladci que aun sistemas completamente
determinísticos, como aquellos que involucran interacciones gravitacionales, pueden
ser caóticos.
El campo gravitacional del Sol domina el movimiento de todos los planetas y,
aproximadamente, cada planeta se mueve describiendo una órbita elíptica alrededor
del Sol. Sin embargo, cada planeta tiene una cierta influencia sobre los demás,
todos siguiendo la ley de la gravitación universal. Por ejemplo, la elipse básica que
forma la órbita de la Tierra no está fija en el espacio, rota gradualmente a razón de
0 . 3 O por siglo debido a las perturbaciones por otros planetas, sobre todo de Júpiter
por ser el mas imasivo. Así, cada una de las órbitas de los planetas del sistema solar
es deformada continuamente por la atracción gravitacional de los otros planetas y
aun los planetas mas pequeños pueden afectar la trayectoria de los planetas
vecinos.
Hay una multitud de fuerzas que operan sobre cada planeta. La órbita de
cada planeta depende del movimientcl combinado de todos los planetas y de la
acción de cada uno de estos en los otros, por lo que es imposible considerar
simultáneamente todas estas causas de movimiento, y definir estos movimientos
mediante leyes exactas.
El problema es sumamente complicado, en vez de tener un conjunto de
nueve órbitas, en principio se deben de considerar simultáneamente el conjunto de
todas las órbitas posibles. Algunas de éstas son estables, y giran alrededor del Sol,
siguiendo el mismo trayecto en forms permanente, y otras son inestables y giran
alrededor del Sol durante un periodo .finito hasta que sus órbitas comienzan a
hacerse mas y mas elípticas, y eventualmente el planeta, al pasar muy cerca de uno
vecino, puede llegar a ser lanzado fuera del sistema solar.
Con todas estas órbitas estables e inestables tan próximas unas de otras,
surge la pregunta: no podría la patada del lanzamiento de una nave espacial poner a
la Tierra en una órbita inestable? Para contestar esta pregunta se deben de
considerar todas las fuerzas que actúan sobre cada planeta y rastrear el futuro del
sistema solar.
Aunque la evolución futura del sistema solar nunca será resuelta
directamente por el intelecto humano, se pueden hacer simulaciones en
computadora, tomando las ecuaciones que gobiernan las órbitas planetarias y
resolviéndolas paso por paso (millones de pasos por segundo).
Durante los últimos 3 años nuestra visión del Sistema Solar a cambiado
mucho, y la idea de un Sistema Solar estable se desechó por completo.
8
En 1980 Jack Wisdom y Gerald Sussman del instituto de tecnología en
Massachusetts, en EU, construyeron una computadora de propósito especial. Esta
consistía en un modelo mecánico del sistema solar sobre el cual se aplicaban las
ecuaciones de movimiento para cada cuerpo. Por primera vez, se rastreó el curso
de los planetas a través de tiempos clon escalas astronómicas.
Años después, en 1988, Sussnnan y Wisdom realizaron una primera
simulación. Esta se enfocó a un sistema solar reducido, que consistía únicamente
de los cinco planetas exteriores.
Después de 8 7 5 millones de años de evolución, encontraron que el
comportamiento del movimiento de Plutón es caótico, con un exponente de
Lyapounov de 1/(20millones de años), observaron que ligeras variaciones en su
posición inicial lo llevaban a diferentes órbitas futuras, por ejemplo, una variación
de una pulgada en su ahora, daría como resultado una variación de 180° después
de 1 0 0 millones de años. Esto se debe en parte a su resonancia particular con
Neptuno.
El fenómeno de resonancia entire planetas vecinos, consiste en la
amplificación de la perturbación que cada uno de ellos ejerce sobre el otro, al haber
una cierta sincronización entre sus reapectivos periodos orbitales (tiempo que tarda
cada planeta en darle la vuelta al Sol). Cuando la distancia entre los dos es poca, la
atracción gravitacional es grande.
La resonancia en el sistema solar ocurre cuando cualquiera dos periodos
tienen una razón numérica simple. El periodo orbital de un planeta depende solo de
su distancia de la masa central (el Sol).
Si la órbita de Plutón es caótica, entonces, técnicamente todo el sistema
solar es caótico, puesto que cada planeta, aún el mas pequeño (Plutón) afecta a los
otros en cierta medida a través de las, interacciones gravitacionales.
Aunque las órbitas planetarias sean caóticas, esto no significa que sean
irregulares, puesto que el movimiento caótico esta acotado.
En 1987 el físico francés Jacques Laskar del Bureau des Longitudes en París,
En lugar de estudiar cada órbita por separado, Laskar desarrollo un método para
aproximar la evolución del sistema solar en periodos de millones de años. Estudió la
estructura de las órbitas mismas. Vio a cada órbita como un anillo flexible que
podía ser deformado por las fuerzas gravitacionales de cada planeta.
Este método le permitió seguir el comportamiento del sistema solar completo
por cientos de millones de años. Sus resultados implicaban que había
irregularidades caóticas en varios planetas, particularmente en Marte y Mercurio.
9
Tom Quinn, de la universidad de Washington desarrolló un sistema para
verificar las predicciones de Laskar. Este sistema funcionaba para periodos de solo
6 millones de años, pero a pesar de esto, los cálculos de Quinn, confirmaron que
Laskar no estaba equivocado, el movimiento de los planetas internos, incluyendo la
Tierra, es caótico.
En los últimos cinco años, Wisdom y Laskar, gracias a los avances
computacionales, pudieron simular el sistema solar completo, dejando transcurrir
escalas de miles de millones de años. Su modelo se basa en técnicas de
perturbación .
Encontraron que el movimiento del sistema solar es caótico con un
exponente de Lyapunov que alcanza 1/(5millones de años). Este comportamiento
caótico afecta principalmente a los planetas interiores y fue identificado como el
resultado de dos resonancias seculares dentro de éstos planetas. Estas resonancias
no habían sido identificadas en ninguna teoría anterior del movimiento de los
planetas.
Los resultados de Wisdom y Laiskar demostraron que existía una irregularidad
caótica en las c5rbitas de la Tierra y de los planetas interiores y que las órbitas de
Mercurio y Marte son muy irregulares. Un error de 15 metros en la medición de la
posición de la Tierra hoy, haría imposible predecir la ubicación de la Tierra dentro de
100 millones de años. En esta simulación se vio que existe una probabilidad de uno
en mil, de que Mercurio salga del sistema solar en los próximos cinco mil millones
de años.
Existe también la posibilidad de que las órbitas de Marte y la Tierra se
crucen. Si esto ocurriera, saldría proyectado uno de los dos planetas, aunque por
ser mas masiva la Tierra, lo mas factible sería perder a Marte.
Como las Órbitas de Venus y lai Tierra son casi circulares, aunque caóticas,
son aparentemente estables, mientras que las órbitas de Mercurio y Marte por tener
una excentricidad mayor, tienen una mayor interacción gravitacional con otros
planetas, lo que las hace menos estables.
10
V. Resolución de las ecuaciones de movimiento
El modelo para dos cuerpos tiene ecuaciones integrables y dan lugar a Órbitas
planetarias periódicas.
Para un sistema formado por ulna masa muy grande, como el Sol, al escribir
las ecuaciones para dos o mas planetas, el problema puede separarse en dos tipos
de interacciones:
La interacción del Sol con cada planeta, como si cada planeta
únicamente estuviera sujeto a su interacción con el Sol, dando
como resultado una Cirbita estrictamente periódica para cada
planeta al rededor del Sol.
La interacción entre cada pareja de planetas. Esta, siendo mucho
menor que la primera puede tratarse como una perturbación.
En el caso general, si las masas de los N cuerpos son comparables, no puede
aplicarse este análisis perturbativo.
Consideramos a continuación e l establecimiento de las ecuaciones de
movimiento para este caso general, y llevamos a cabo una integración numérica de
las ecuaciones diferenciales de primer orden, tomando en cuenta que este método
puede introducir errores de aproximación cuando las distancias entre las parejas de
cuerpos son muy pequeños.
Entre cada pareja de partículas, el potencial varia como 1/r, donde r es la
distancia entre ambas. El problema no depende de la orientación, por lo que si
tomamos un sistema de referencia fijo en una de las partículas, la otra va a
describir un movimiento orbital dentro de un pozo de potencial en forma de
embudo.
11
La función Hamiltoniana del sistema es la suma de la energía cinética T y de la
energía potencial V.
H=T+V
La funcihn de Lagrange es:
Las ecuaciones de Hamilton soin:
xj=
H
Pi
donde el momento pj se define como:
Pi =
L
xi
VI. Resolución del problema de tres cuerpos
La energía cinética, T es:
T = C (‘h)mj (Xi2 +y;’)
Donde j = I , ..., N (N=3), y el punto superior indica la derivada con respecto al
tiemPo.
La energía potencial V es:
V=-G
(
+
mi mz
[IXl-X2 i2+1y1.y2 I*]*
mz
m3
+
[IXZ-X3 ,Z+1yz-y3121”
m3
mi
[lX>Xl l’+Iy3-y1 121”
1
Tenemos que:
H=T+V
y
L =T-V
Los momentos conjugados a cada coordenada son:
pw=
L3
PVI
=
mi yi
para j = 1, 2 , ..., N
Yi
12
/.
,
,
.
, , ,
,
.
,,,,". , ,
,
. .
, I ,
,
El Hamiltoniano es:
H = Z'(Pxj Xj - L)
Por lo tanto:
H = T + V
En este caso tenemos que:
+
mmi
+
11121113
)
2mj
As¡, obtenemos que las ecuaciones de Hamilton son:
xj
=
H
=>
PXj
Prj =
=>
PXi
Xj =
pxi
mi
Pxj =
3
XI
yj
= A= >
=
pyi
mi
Pyi
Pyj = H
Pvi
yj
=>
Pyj =A
Yj
Donde el punto superior indica derivada con respecto al tiempo.
Como podemos ver hay cuatro ecuaciones por cada cuerpo que
consideremos, así, si queremos modelar el Sistema Solar completo, necesitaríamos
40 ecuaciones.
13
,,
, ,
VI.Simulación
S e realizó un programa en C quie simula el comportamiento del sistema de 3
cuerpos. A continuación se puede ver el código principal del programa.
/ * parámetros * /
G = 300
m l = 250
m2 = 10
m3 = . I
N = 8000000
ti = .o1
/ * Constantle de gravitación */
/ * Valores de las tres masas */
/ * Número de iteraciones * /
/ * Delta t */
/ * valores iniciales */
xli
x2i
x3i
yli
y2i
y3i
= 2000
= 5841
= 6800
=
=
=
PIX¡
p2xi
p3xi
ply¡
p2yi
p3yi
o
o
o
= -8
=
=
o
o
= 265
= 56
= .6
/*
/*
/*
/*
/*
/*
Posición
Posición
Posición
Posición
Posición
Posición
¡inicial en
¡inicial en
¡inicial en
¡inicial en
¡inicial en
¡inicial en
x del
x del
x del
y del
y del
y del
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
/*
/*
/*
/*
/*
/*
Momento' inicial en x del
Momento' inicial en x del
Momento' inicial en x del
Momento inicial en y del
Momento' inicial en y del
Momento inicial en y del
1* /
2*/
3*/
1* /
2'1
3*/
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
cuerpo
1*/
2*/
3*/
1*/
2*/
3*/
/ * dibuja los ejes * /
sx =
cy =
XO =
y0 =
.o2
.O05
300
180
line ( I O , ~ 0 , 6 0 0yo)
,
line íx0, I O , x0, 360)
= xli
x2 = x2i
X I
x3 = x3i
14
y1 = y l i
y2 = y2i
y3 = y3i
p l x = P'lXi
p2x = p2xi
p3x = p3xi
ply = plyi
p2y = p2yi
p3y = p3yi
/ * ciclo principal
*I
for (k=O; k<N; k + + )
1:
*
(XI
- x3))
* (x2 -
*
X I ))
(x3 - x2))
(y1 - y3))
* (Y2 *
yl))
( Y 3 - Y2))
- 2 + (y1 - y2) - 2)
2 + (y2 - y3) - 2)
2 + (y3 y l ) - 2)
= g * ( ( m l * m2 / (r'l2 - 3)) * (XI
x2) + ( m l
VI
r12 = SQR((x1 - x2)
r23 = SQR((x2 - x3)
r31 = SQR((x3 - x l )
~
-
~
-
v2 = g
*
((m2
v3 = g
*
((m3
*
m3 / ir23
"
3)) * (x2 - x3)
m l / (r31
"
3)) * (x3 - XI) (m3
+
- 3)) * (y1
w2 = g * ((m2 * m3 / (r23 - 3)) * (y2
wl = g
w3 = g
*
((ml
((m3
*
*
i (r31 - 3))
+ (m2 * m l i (r12 - 3))
m2 i ir12
m l / ir31
"
3))
m3
*
m2 / (r23
-
y2)
+
(ml
*
m3 i (r31
-
y3)
+
(m2
*
ml
(y3 - y l )
"
~
3))
3))
i (r12 - 3))
+ (m3 * m2 / (r23 -
3))
+
+
i
+
+ ti p l y i m l
+ ti * p2y i mi!
XI
= XI ti * p l x / m l
x2 = x2
ti * p2x mi!
x3 = x3
ti * p3x i mfl
y1 = y1
y2 = y2
y3 = y3
+ ti * p3y / mfl
P I X = P I X - ti
p2x = p2x - ti
p3x =
*
V I
* v2
p3x - ti * v 3
15
p l y = p l y - ti
p2y = p2y - ti
p3y = p3y - ti
* wl
* w2
* w3
/*graficamos * I
putpixel ( x 0
putpixel ( x 0
putpixel ( x 0
+ sx * XI,
y0 - sy * y l , O)
+ sx * x2, y0 - sy * y2, O)
+ sx * x3, y0 - sy * y3, O)
En las figuras anexas vemos ejemplos de la solución numérica de estas
ecuaciones, en donde se exhiben las 1:rayectoria.s de tres cuerpos.
Las diferencias entre los tres ejlemplos, son las masas, y distintas condiciones
iniciales en posición y velocidad.
Se observó que aun para pequeñas variaciones en condiciones iniciales, la
evolución de las tres trayectorias puede cambiar en forma radical.
16
Gráfica I
En la primera simulación, podernos ver como, las dos masas menores orbitan
solamente alrededor de la masa mayor (ninguna de ellas efectúa un doble
movimiento orbital). En este caso, es muy notorio el desplazamiento oscilatorio de
la masa mayor.
Los valores iniciales y los parámetros fueron los siguientes:
G = 300
At
= 0.01
m l = 250 x i = 2000 y i = O
m 2 = 10 x2 = 5841 y2 = O
m3 = 0.1 x3 = 6800 y3 = O
= -8
px2 = o
px3 = o
PXi
pyi = 265
py2 = 56
py3 = 0.6
17
Gráfica II
En la segunda gráfica, la masa más pequeña órbita alrededor de la masa
intermedia, y ambas orbitan alrededor de la masa mayor. Algo semejante
cualitativamente, al sistema Sol, Tierra, Luna. Sin embargo, en este caso, la masa
mayor lleva a cabo un movimiento peculiar de tipo oscilatorio en dirección del eje y
positivo. Para un sistema de referencia fijo en la masa mayor (Sol), los otros dos
cuerpos efectúan movimientos de traslación, el de masa intermedia (Tierra) con
respecto a la masa mayor, y el de menor masa con respecto al de masa intermedia.
El movimiento resultante es en este caso periódico.
Los valores iniciales y los parámetros son los siguientes:
G = 300
At
mi = 4 2 0
mz = 10
m3 = 0.1
x i = 0.001 y1 = 0.001
x2 = 5841 y2 = O
x3 = 6200 y3 = O
=
0.01
pxi =
px2 =
px3 =
o
o
o
p y i = 0.001
py2 = 56
pya = 0.8
18
Gráfica 111
En la última simulación hacemos un solo cambio en los parámetros (con
respecto al caso anterior): aumentamos la tercera masa (la menor) diez veces.
Podemos ver como la evolución del sistema es totalmente diferente. AI inicio hay
un aparente movimiento periódico de las dos masas menores, que se pierde
notoriamente cuando estos dos cuerpos pasan cerca uno del otro, de ahí en
adelante la evolución del sistema pierde toda regularidad.
Los valores iniciales y los parámetros son los siguientes:
G = 300
A t = 0.01
mi = 4 2 0
XI
m2
= 10
m3 = 1
= 0.001
x2 = 5841
x3 = 6200
y1 = 0.001
y2 =
y3 =
o
o
pxi =
px2 =
px3 =
o
o
o
pyi = 0.001
py2 = 56
py3 = 0.8
19
VII. Conclusiones
El movimiento del sistema solar es caótico con un exponente de Lyapounov
de 1(/5 millones de años), lo cual significa que cualquier solución que se calcule, no
representará al sistema después de alrededor de 100 millones de años. Para
obtener una solución para un periodo tan grande, se requiere que las condiciones
iniciales y los parámetros tengan una precisión mejor que 10”y se deben de tomar
en cuenta todas las perturbaciones de este tamaño en el modelo. Esto implica que
hay que considerar la perturbación de alrededor de tres docenas de asteroides.
Extendiendo el tiempo transcurrido a ‘120 millones de años requeriría una precisión
de 1O”y rastrear cientos de asteroides.
Todavía no se puede predecir el destino del sistema solar, este tipo de
estudios llevan poco tiempo, y mucho del trabajo depende de mejorar las
computadoras.
El sistema solar es caótico pero parece estar “encerrado”, aunque todavía
está por demostrarse.
20
Bibliografía
Kellert, Stephen H. In the wake of Chaos. The University of Chicago Press.
Chicago 1993.
Berry Arthur. A short Historv of Astronomv. Dover Publications Inc. Nueva York
1961.
Korsch, H.J. y Jodl H.J. Chaos: A Program Collettion for the PC. SpringerVerlag. Kaiserslautern, Alemania. 1994
Frank, Adam. "Crack in the Colckwork", Astronomy, mayo 1998, pag 54-74
Laskar, Jacques. "A f e w points on the stability of the solar system": Chaos,
resonance and collective dynamical phenomena in the solar system, proceding
of the 152nd.Symposium of the international astronomical union. Klver
Academic Publishers. 1992.pag. 1-16.
Murray, Carl. "Is the solar system stable?" ExDlorina chaos, Ed. Norton, 1993.
Pag. 96-108.
Cramer, F. Chaos and Order: The ComDlex Structure of Livina Svstems. Ed.
VCH. Alemania 1993.
Ouinlan, Gerald D. "Numerical Experiments on the Motion of the Outer Planets"
Chaos, resonance and collective dynamical phenomena in the solar system,
nd
proceding of the 152 . Symposiuin of the international astronomical union.
Klver Academic Publishers. 1992.pag. 25-33.
Wisdom, Jack. "Long term evolution of the solar system" : Chaos, resonance
and collective dynamical phenomena in the solar system, proceding of the
nd
152 . Symposium of the international astronomical union. Klver Academic
Publishers. 1992.pag. 16-32.
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