Download cos x. - IES Campanillas

FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la
página siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de
π
radianes?
2
d) ¿Cuántos radianes equivalen a 270º?
2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30°
b) 72°
c) 90°
d) 127°
e) 200°
f ) 300°
Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:
30° = 30 ·
π
π
rad = rad ≈ 0,52 rad
180
6
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3. Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad
b) 0,83 rad
c)
π
rad
5
d)
5π
rad
6
e) 3,5 rad
4. Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado:
GRADOS
0
30
RADIANES
60 90
π
4
135 150
2π
3
210 225
π
270
4π
3
FORMULAS TRIGONOMETRICAS
1. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula:
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
2. Demuestra la fórmula de la resta a partir de la fórmula:
tg (α – β) =
tg α + tg β
1 – tg α tg β
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
330 360
5π 7π
3 4
3. Demuestra la fórmula anterior a partir de las fórmulas:
sen (α – β) = sen α cos β – cos α – sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α – sen β
4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°.
Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,
utilizando las fórmulas (I) y (II).
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
5. Demuestra la siguiente igualdad:
cos (a + b) + cos (a – b)
1
=
sen (a + b) + sen (a – b)
tg a
6. Demuestra las tres fórmulas de angulo doble haciendo
mulas de la suma.
7. Halla las razones trigonométricas de 60° a partir de las de 30°.
8. Halla las razones trigonométricas de 90° a partir de las de 45°.
9. Demuestra que
2 sen α – sen 2α
1 – cos α
=
.
2 sen α + sen 2α
1 + cos α
10. Demuestra las fórmulas del ángulo mitad:
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
α = β en las fór-
11. Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones
trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.
12. Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
13. Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0.
14. Demuestra que 2tg α · sen2
15. Demuestra que
α
+ sen α = tg α.
2
2 sen α – sen 2α
α
= tg2 .
2 sen α + sen 2α
2
16. Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos:
• Expresa en función de α y β:
cos (α + β) = …
cos (α – β) = …
• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones.
• Sustituye en las expresiones anteriores:
α+β=A
α–β=B
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
•
Sumando → cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β (1)
Restando →
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sen α sen β (2)
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
• Llamando
A+B
A–B
α+β=A
, β=
(al resolver el sistema)
 → α=
2
2
α–β=B
• Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:
(1) → cos A + cos B = 2 cos
(2) → cos A – cos B = –2 sen
A+B
A–B
cos
2
2
A+B
A–B
sen
2
2
17. Transforma en producto y calcula:
a) sen 75° – sen 15°
b) cos 75° + cos 15°
c) cos 75° – cos 15°
18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado:
sen 4a + sen 2a
cos 4a + cos 2a
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Resuelve estas ecuaciones:
a) 2cos 2 x + cos x – 1 = 0
b) 2sen 2 x – 1 = 0
c) tg2 x – tg x = 0
d) 2sen 2 x + 3cos x = 3
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
2. Resuelve:
a) 4cos 2x + 3 cos x = 1
b) tg 2x + 2cos x = 0
c) √2 cos (x/2) – cos x = 1
d) 2sen x cos 2 x – 6sen 3 x = 0
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3. Transforma en producto sen 3x – sen x y resuelve después la ecuación
sen 3x – sen x = 0.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen (π – x) = cos
b) sen
( 3π2 – x) + cos π
( 4π – x) + √2 sen x = 0
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican:
a) tg x = –√3
b) sen x = cos x
c) sen 2 x = 1
d) sen x = tg x
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Grados y radianes
1
Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a)
2π
3
b)
4π
3
c)
5π
4
d)
7π
6
e)
9π
2
☛ Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que π radianes = 180°.
2
Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes:
a) 1,5
b) 3,2
c) 5
d) 2,75
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3
Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados.
Exprésalos en función de π:
a) 40°
b) 108°
c) 135°
d) 240°
e) 270°
f) 126°
☛ Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por 3,14…
a)
4
40 π
2π
=
180
9
Halla, sin utilizar la calculadora:
a) 5 cos
π
3π
– cos 0 + 2 cos π – cos
+ cos 2 π
2
2
b) 5 tg π + 3 cos
5
Prueba que:
a) 4 sen
π
π
+ √2 cos
+ cos π = 2
6
4
b) 2 √3 sen
6
π
3π
– 2 tg 0 + sen
– 2 sen 2 π
2
2
2π
π
π
+ 4 sen
– 2 sen
=3
3
6
2
Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:
a) A = sen
π
π
+ sen
+ sen π
4
2
b) A = sen
2π
4π
+ sen
– sen 2π
3
3
c) A = cos π – cos 0 + cos
π
3π
– cos
2
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
7
8
9
Expresa con un ángulo del primer cuadrante:
a) sen 1 215°
b) cos (–100°) c) tg (–50°)
d) cos 930°
e) tg 580°
f ) sen (–280°)
Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 360°, cuyas razones
trigonométricas coincidan con el ángulo dado:
a) 3 720° b) 1 935°
c) 2 040°
d) 3 150° e) –200°
f ) –820°
Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α = 0,72 y cos α < 0.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
10
Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes
ángulos:
a) 2 rad
b) 3,5 rad
c) 5 rad
☛ Ten en cuenta que:
π
≈ 1,57;
2
3π
≈ 4,7;
2
π ≈ 3,14;
2π ≈ 6,28
Fórmulas trigonométricas
11
Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75° sabiendo que
75° = 30° + 45°.
12
Sabiendo que sen x =
3
π
y que
< x < π, calcula, sin hallar previamente
5
2
el valor de x :
a) sen 2x
(
d) cos x –
b) tg
π
3
)
e) cos
☛ Tienes que calcular cos x = –
mulas.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
(
x
2
x
2
π
6
(
)
f ) tg x +
√ ( )
1–
c) sen x +
3
5
2
π
4
)
4
3
=–
y tg x = – , y aplicar las fór5
4
13
Halla las razones trigonométricas del ángulo de 15° de dos formas, considerando:
30°
a) 15° = 45° – 30°
b) 15° =
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
14
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 cos2 x – sen2 x + 1 = 0
b) sen2 x – sen x = 0
☛ Saca factor común e iguala a cero cada factor.
c) 2 cos2 x – √3 cos x = 0
d) sen2 x – cos2 x = 1
e) cos2 x – sen2 x = 0
f ) 2 cos2 x + sen x = 1
g) 3 tg2 x – √3 tg x = 0
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
15
Halla el valor exacto de estas expresiones:
a) sen
5π
3π
7π
+ cos
– sen
4
4
4
b) cos
5π
4π
7π
+ tg
– tg
3
3
6
c) √3 cos
16
π
π
π
π
+ sen
– √2 cos
– 2 √3 sen
6
6
4
3
Sabiendo que sen x =
2
3
y que x es un ángulo del primer cuadrante,
calcula:
a) sen 2x
b) tg
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
x
2
c) cos (30° – x)
17
Si tg α = – 4/3 y 90° < α < 180°, calcula:
a) sen
( 2π – α)
(
b) cos 180° –
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
α
2
)
c) tg (900° + α)
18
Sabemos que cos x = –
a) sen x
d) tg
19
x
2
3
y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula:
4
b) cos (π + x)
e) sen
( 2π – x)
c) cos 2x
(
f ) cos π –
x
2
Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sen 41°, cos 41° y tg 41°.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
)
20
Si tg (α + β) = 4 y tg α = –2 , halla tg 2β.
PARA RESOLVER
21
En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ángulo central en grados y en radianes.
☛ Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitudes de los arcos y la medida de los ángulos.
2
0
cm
α
16 cm
22
Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y 2 π tal que sus razones
11π .
trigonométricas coincidan con las de
4
23
Demuestra que
sen (α + β)
tg α + tg β
=
.
sen (α – β)
tg α – tg β
☛ Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α – β). Divide tanto el numerador como el denominador entre cos α cos β y simplifica.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
24
Prueba que 2 tg x cos2
☛ Sustituye cos 2
25
x
– sen x = tg x.
2
x
1 + cos x .
=
2
2
(
Demuestra que cos x +
)
(
☛ Desarrolla y sustituye las razones de
26
)
π
2π
– cos x +
= cos x .
3
3
π
2π .
y
3
3
Demuestra que cos α cos (α – β) + sen α sen (α – β) = cos β.
☛ Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común.
27
Prueba que
2 sen α – sen 2α
α
= tg 2 .
2 sen α + sen 2α
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
28
Simplifica:
2 cos (45° + α) cos (45° – α)
cos 2α
☛ Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados.
cos (α – β) 1 + tg α tg β
=
cos (α + β) 1 – tg α tg β
29
Demuestra:
30
Simplifica la expresión
31
Resuelve las siguientes ecuaciones:
sen 2α
y calcula su valor para α = 90°.
1 – cos2 α
( 4π + x) – √2 sen x = 0
π
π
1
b) sen ( – x) + cos ( – x) =
6
3
2
a) sen
c) sen 2x – 2 cos2 x = 0
☛ Desarrolla sen 2x y saca factor común.
d) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0
☛ Desarrolla cos 2x y sustituye cos 2 x = 1 – sen 2 x
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
32
Resuelve estas ecuaciones:
a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x – 2 = 0
☛ Al hacer sen 2 x = 1 – cos2 x , resulta una ecuación bicuadrada.
Haz cos 2 x = z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes.
b) 4 sen2 x + sen x cos x – 3 cos2 x = 0
☛ Divide por cos 2 x y obtendrás una ecuación con tg x.
c) cos 2
d) tg 2
x
1
+ cos x –
=0
2
2
x
+ 1 = cos x
2
e) 2 sen2
x
+ cos 2x = 0
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
33
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) cos 2x + 3 sen x = 2
b) tg 2x · tg x = 1
c) cos x cos 2x + 2 cos 2 x = 0
d) 2 sen x = tg 2x
e) √3 sen
x
+ cos x – 1 = 0
2
f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x
g) tg
( 4π – x) + tg x = 1
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
34
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) sen 3x – sen x = cos 2x
c)
sen 3x + sen x
= √3
cos 3x – cos x
b)
sen 5x + sen 3x
=1
cos x + cos 3x
d) sen 3x – cos 3x = sen x – cos x
☛ Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
35
a) Demuestra que sen 3x = 3 sen x cos2 x – sen 3 x.
b) Resuelve la ecuación sen 3x – 2 sen x = 0.
☛ a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen 3x por el resultado
anterior.
36
Resuelve:
a) sen 3x – sen x cos 2x = 0
b) cos 3x – 2 cos (π – x) = 0
c) cos 3x + sen 2x – cos x = 0
☛ b) Expresa cos 3x en función de sen x y cos x haciendo cos 3x = cos (2x + x).
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
37
Demuestra las siguientes igualdades:
a) cos (α + β) · cos (α – β) = cos 2 α – sen 2 β
b) sen 2
c) cos 2
( α 2+ β ) – sen ( α 2– β ) = sen α · sen β
( α 2– β ) – cos ( α 2+ β ) = sen α · sen β
2
2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
38
Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α.
39
Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al
primer cuadrante:
 x + y = 120º
 sen 2 x + cos 2 y = 1
a) 
b) 
2
2
 sen x – sen y = 1/2
 cos x – sen y = 1
☛ Haz cos 2 y = 1 – sen 2 y y cos 2 x = 1 – sen 2 x.
 sen x + cos y = 1
c) 
 x + y = 90°
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
40
Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica:
sen α + cos α = √2 cos
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
( 4π – α)
cos x + sen x
cos x – sen x
–
= 2 tg 2x .
cos x – sen x
cos x + sen x
41
Demuestra que
42
Simplifica la expresión 2 tg x cos 2
x
– sen x.
2
CUESTIONES TEÓRICAS
43
¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que
π
4π
miden
y
radianes?
5
5
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
44
Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α :
a) sen (π – α); cos (π – α); tg (π – α)
b) sen (π + α); cos (π + α); tg (π + α)
c) sen (2π – α); cos (2π – α); tg (2π – α)
45
Expresa A(x) en función de sen x y cos x:
a) A(x) = sen (–x) – sen (π – x)
b) A(x) = cos (–x) + cos (π + x)
c) A(x) = sen (π + x) + cos (2π – x)
46
Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica:
a) sen (α + β) – sen γ = 0
b) cos (α + β) + cos γ = 0
c) tg (α + β) + tg γ = 0
☛ Ten en cuenta que α + β = 180° – γ y las relaciones que existen entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios.
47
Demuestra que si α + β + γ = 180°, se verifica:
tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ
☛ Haz α + β = 180° – γ y desarrolla tg (α + β) = tg (180º – γ).
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
48
Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = cos 2x, dando a x valores comprendidos entre 0 y 2π radianes y represéntala gráficamente.
49
Representa las funciones:
(
a) y = cos x +
π
2
)
(
b) y = sen x +
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
π
2
)
c) y = cos
( 2π – x)
PARA PROFUNDIZAR
50
Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al
primer cuadrante:
 sen x + sen y = √3
a) 
 cos x + cos y = 1
 sen 2 x + cos 2 y = 3/4
b) 
 cos 2 x – sen 2 y = 1/4
 cos (x + y) = 1/2
c) 
 sen (x – y) = 1/2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
51
Demuestra que:
a) sen x =
2 tg x/2
1 + tg 2 x/2
b) cos x =
1 – tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2
c) tg x =
2 tg x/2
1 – tg 2 x/2
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
PARA PENSAR UN POCO MÁS
52
Demuestra que, en la siguiente figura, α = β + γ.
γ
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
β
α
a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangente
de una suma.
b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior,
reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura:
53
Obtén la fórmula siguiente:
sen α + cos α = √2 cos (α – 45°)
☛ Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspondiente.
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas