Download trigonometría - IES Río Órbigo

TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es la rama de las Matemáticas que estudia las relaciones existentes
entre las magnitudes de los lados y las amplitudes de los ángulos de un triángulo.
La palabra trigonometría procede de las voces griegas trigonon (triángulo) y metron
(medida), y significa medida de triángulos.
La necesidad que tiene el hombre de medir distancias y ángulos en distintas
situaciones hace que los estudios de trigonometría tengan multitud de aplicaciones en
Topografía, Navegación, Aviación, etc.
1. Sistemas de medidas angulares
Como ya sabes, un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas
que tienen un origen común. Las semirrectas se llaman lados del ángulo, y el origen de
estas es el vértice del mismo.
Existen diferentes unidades para medir ángulos. Las más utilizadas son las unidades
del sistema sexagesimal y el radián.
1.1. Sistema sexagesimal
El sistema de medida angular más utilizado en geometría elemental es el sexagesimal,
cuya unidad principal es el grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es la amplitud del
ángulo que resulta de dividir un círculo en 360 partes iguales, y se escribe 1˚. Así, un
ángulo llano mide 180˚ y un ángulo recto 90˚.
Si dividimos el grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada una de ellas recibe el
nombre de minuto sexagesimal (′). El minuto, a su vez, se divide en 60 partes iguales:
cada una es un segundo sexagesimal (″).
1˚ = 60 minutos sexagesimales = 60′
1′ = 60 segundos sexagesimales = 60″
Ejemplo de notación: un ángulo de 27 grados, 32 minutos y 5 segundos se escribe
27˚ 32′ 5″ .
1
Un ángulo se puede expresar en forma decimal o en forma compleja. Por ejemplo, el
ángulo α = 46,54˚ está expresado en forma decimal, y el ángulo β = 15˚ 45′ 18″ en forma
compleja.
α = 46,54˚ = 46˚ 32′ 24″
β = 15˚ 45′ 18″ = 15,755˚
Ejercicio Utiliza tu calculadora científica para pasar a forma compleja los ángulos
α = 46,54˚ y β = 354,29′ ; y pasar a forma decimal el ángulo γ = 23˚ 25′ 12″.
Ejercicio Dados los ángulos α =60˚ 35′ 45″ y β = 145˚ 27′ 30″ , usa la calculadora
para hallar en forma decimal y en forma compleja el valor de:
a) α + β =
b) β – α =
c) 3 α =
d) β/2 =
Ejercicio A partir de un ángulo recto dibuja, de forma aproximada, ángulos de 45˚,
30˚ y 60˚.
1.2.
Sistema circular
La unidad de medida es el radián.Un radián (rad) es el ángulo central cuyo arco tiene
igual longitud que el radio de la circunferencia.
Observación: Un radián mide algo menos de 60˚.
2
1.3.
Paso de radianes a grados, y viceversa.
La longitud de la circunferencia es 2 r . Por tanto, el número de radianes de un
ángulo completo es 2 . Sabemos que el número de grados de un ángulo completo es
360˚. Por tanto,
360˚ = 2 radianes
y entonces,
180˚ =  radianes
Estas igualdades nos permiten pasar de grados a radianes y viceversa.
Ejercicio Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 90˚
b) 30˚
c) 225˚
Ejercicio Pasa a grados los siguientes ángulos:
a)

rad
3
b)

rad
4
c)
5
rad
3
¡ojo! Este ejercicio puedes hacerlo mentalmente teniendo en cuenta que  radianes=180˚
2. Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas establecen relaciones numéricas entre segmentos
rectilíneos y ángulos, mediante las cuales se pueden calcular unos en función de otros.
2.1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que
se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera que contenga
dicho ángulo.
Las razones trigonométricas fundamentales de un ángulo agudo α de un triángulo
rectángulo son:
3
Se llama seno de  , y se denota sen , al cociente entre la
longitud del cateto opuesto al ángulo  y la de la
hipotenusa, es decir:
sen =
cateto opuesto
hipotenusa
Se llama coseno de  , y se denota cos  , al cociente entre
la longitud del cateto contiguo al ángulo  y la de la
hipotenusa, es decir:
cos  =
cateto contiguo
hipotenusa
Se llama tangente de  , y se denota tg , al cociente
entre la longitud del cateto opuesto al ángulo  y la del
cateto contiguo, es decir:
tg =
cateto opuesto
cateto contiguo
Si aplicamos estas definiciones al triángulo
b
senBˆ 
a
c
cos Bˆ 
a
c
senCˆ 
a
b
cos Cˆ 
a
tenemos:
b
tgBˆ 
c
c
tgCˆ 
b
4
calcula las razones
Ejercicio Dado el triángulo
trigonométricas fundamentales del ángulo  .
Observaciones:
 Como los catetos de un triángulo rectángulo son menores que la hipotenusa, el
seno y el coseno de un ángulo agudo tienen valores comprendidos entre 0 y 1.
0  cos   1
0  sen  1
 Observa que:
b
b
sen
tg 
 a 
c
c
cos 
a
Así, la tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el seno y el coseno del mismo y
puede tomar cualquier valor real no negativo.
tg 
sen
cos
 Observa que:
5
b2 c2 b2  c2
a2
b c
sen 2  cos 2   ( sen )2  (cos  )2        2  2 

1

a
a
a 2 Pitagoras
a2
a a
2
2
Así, para cualquier ángulo agudo  se verifica que la suma de los cuadrados del seno y
el coseno del ángulo es igual a 1.
sen2  cos2   1 (Fórmula fundamental de la trigonometría)
Otras razones trigonómetricas:
Además del seno, el coseno y la tangente de un ángulo, también se pueden definir sus
valores inversos, que son, respectivamente, la cosecante, la secante y la cotangente de
dicho ángulo, es decir,
cos ec 
1
sen
s ec 
1
cos 
cot g 
1
cos 

tg sen
Ejercicio Utilizando la calculadora halla el valor de:
a) sen74 =
b) cos65 =
c) tg 20 =
d) cos ec13 =
e) sec59 =
f) cot g 87 =
g)
cos (38˚ 15′ 43″)=
h)
sen (35˚ 7″)=
Ejercicio Calcula de forma aproximada la altura de los árboles de la figura:
6
Ejercicio Resuelve el triángulo
siendo B  30˚
Ejercicio Con ayuda de la calculadora, halla la medida de los ángulos agudos cuyas
razones trigonométricas son las siguientes:
a)
sen  0´5
b)
cos   0´5
c)
tg  1
d)
senAˆ  0´7771
e)
cos Bˆ  0´97437
f)
tgCˆ  5´14455
Ejercicio Resuelve el triángulo
Ejercicio Calcula todas las razones trigonométricas que conozcas de los ángulos agudos
del triángulo rectángulo de la figura. Obtén también la medida de dichos ángulos.
7
Ejercicio El seno de un ángulo agudo vale 0,32. Calcula el coseno y la tangente de ese
mismo ángulo.
Ejercicio Calcula todas las razones trigonométricas que conozcas de un ángulo agudo 
del que se sabe que cos  
5
.
3
3
. Calcula el seno y el coseno de ese
2
mismo ángulo y expresa los resultados mediante fracciones y radicales.
Ejercicio La tangente de un ángulo agudo vale
8
Actividad 1 Dibuja un triángulo equilátero de lado una unidad y traza la altura
correspondiente a uno de sus lados. Aplica el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos
rectángulos obtenidos y calcula las razones trigonométricas fundamentales de los ángulos
de 30˚ y 60˚.
Comprueba los resultados en la calculadora.
¡¡OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia.
Actividad 2 Dibuja un cuadrado de lado unidad. Traza la diagonal y calcula las razones
trigonométricas fundamentales del ángulo de 45˚.
Comprueba los resultados en la calculadora.
¡¡OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia.
9
Actividad 3 Rellena la siguiente tabla:
SENO
COSENO
TANGENTE
30°
45°
60°
Ejercicio En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación de 45
grados, la sombra que proyecta un edificio mide 30 metros. Calcula la altura del edificio.
Ejercicio Halla el ángulo aproximado que forman
los rayos solares con la superficie del suelo en el
momento en que una estatua de 2 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros.
Ejercicio Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m., que forma con la
horizontal del terreno un ángulo de 60˚. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura
de la cometa.
10
Ejercicio Halla la medida aproximada del
ángulo de inclinación que debe colocarse
una escalera de 4 m. para que alcance una
altura de 3 m.
Ejercicio La base de un triángulo isósceles mide 10 m. y el ángulo opuesto 50˚. Halla la
altura del triángulo y el área.
Ejercicio Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm. y cada rama mide 0,12 m.
Halla el ángulo que forman las ramas del compás.
Ejercicio Para hallar el ancho de un río procedemos así:
Nos situamos en un punto A, en una orilla del río, y medimos el ángulo (53˚) bajo el cual
se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 20 m. de la orilla
en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol,
32˚. ¿Cuánto mide el ancho del río?
11
Ejercicio Considera el rombo ABCD de la figura.
a)
Calcula el área del rombo.
b)
Calcula el perímetro del rombo.
Ejercicio El dibujo muestra el plano de un local. El local se encuentra en venta, y el
precio de cada metro cuadrado es de 3500 euros. ¿Cuál es el precio del local?
12
2.2.
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
13
Como sabes, no solamente existen los
ángulos agudos, sino que podemos ver
ángulos mayores de 90˚ hasta 360˚.
Incluso podemos imaginar ángulos
superiores a 360˚ como, por ejemplo, el
que recorre un niño que está montado en
un “tiovivo” y da 20 vueltas completas.
Habrá recorrido 20·360˚=7200˚.
Ángulos orientados
Si el ángulo se recorre de a hacia b,
en sentido contrario a como giran las
agujas de un reloj, se considera positivo
y en caso contrario negativo.
Los ejes de coordenadas dividen al
plano en regiones (cuatro ángulos
rectos) cada uno de los cuales se
dice que es un cuadrante.
Un ángulo se representa en un sistema de coordenadas cartesianas haciendo coincidir
su vértice con el origen de coordenadas (O) y uno de sus lados con el semieje positivo de
abscisas (OX), el cual se toma como origen para medir los ángulos. Los ángulos positivos
se orientan de forma que al recorrerlos desde el origen de ángulos hasta el otro lado, se
realice un giro en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los ángulos negativos se
orientan de manera que el giro se realice en el mismo sentido que el de las agujas del
reloj.
El
que se
extiende
clasificarlos en uno de los cuatro grupos siguientes:
Ángulos del segundo cuadrante
Ángulos del primer cuadrante
0    90
90    180

cuadrante hasta el
permite
0 
 
2
2
Ángulos del
cuadrante
180    270
  

3
tercer
Ángulos del cuarto cuadrante
270    360
3
   2
2
2
14
Así, pues, nos encontramos con ángulos de cualquier amplitud y pretendemos conocer sus
razones trigonométricas.
Obviamente, cuando un ángulo mide más de 90˚ ya no se puede definir el seno, coseno y
tangente de la misma manera que antes. Por eso a continuación vamos a diseñar un
procedimiento que nos permite definir las razones trigonométricas de cualquier ángulo, y que
cuando el ángulo es agudo coinciden con las definiciones que ya conoces.
Por ello consideremos un sistema de referencia cartesiano y dibujamos una circunferencia de
radio unidad con centro en el origen de coordenadas.
Tal circunferencia acompañada del sistema
de referencia y sobre la cual se sitúan los ángulos
como anteriormente se ha descrito se le llama
circunferencia goniométrica.
Al considerar un ángulo  representado en el sistema de coordenadas, su lado cortará a la
circunferencia en un punto P de coordenadas (x,y). Pues se definen las razones trigonométricas
de ese ángulo  en función de las coordenadas x e y del punto P.
sen 
y
 y  sen 1  sen  y  sen
1
cos  
x
 x  cos  1  cos   x  cos 
1
15
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica los ángulos 30˚, 180˚, 260˚ y - 45˚.
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica el ángulo 450˚.
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: sen 45 , cos 45 , sen120 , cos120 .
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: sen 210 , cos 210 , sen330 , cos 330 .
16
Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: sen(30 ), cos(30 ) .
Actividad En la circunferencia goniométrica siguiente están representados los ángulos: 0˚, 90˚,
180˚, 270˚ y 360˚.
Observa y calcula:
0˚ = 0 rad
sen0 
cos 0 
tg 0 
90˚ = 
sen90 
cos 90 
tg 90 
2
rad
180˚ =  rad
sen180 
cos180 
tg180 
270˚ = 3
sen 270 
cos 270 
tg 270 
2
rad
360˚ = 2 rad
sen360 
cos 360 
tg 360 
Comprueba los resultados en la calculadora.
¡¡OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia.
17
Observaciones:

Si dos ángulos tienen el mismo punto asociado entonces tienen las mismas razones
trigonométricas, de ahí que las razones trigonométricas de 360˚ sean las mismas que
las de 0˚.

El seno y el coseno de cualquier ángulo  tienen valores comprendidos entre -1 y 1.
1  cos   1
1  sen  1
 Para cualquier ángulo  se siguen cumpliendo las propiedades fundamentales de la
2
2
trigonometría, es decir, sen   cos   1
y
tg 
sen
cos
.
 Con lo que hemos aprendido observa que:
SENO
COSENO
El seno es positivo
para los ángulos del
1º y 2º cuadrante, y es
negativo en el 3º y 4º.
El coseno es positivo para los
ángulos del 1º y 4º cuadrante, y
es negativo para los del 2º y 3º.
Y por tanto:
SENO
COSECANTE
COSENO
SECANTE
TANGENTE
COTANGENTE
18
Ejercicio Sabiendo que sen 
3
y que 180    270 , calcula las demás razones
5
trigonométricas del ángulo  .
Ejercicio Sabiendo que cos  
2
3
   2 , calcula las demás razones
y que
3
2
trigonométricas del ángulo  .
Ejercicio Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:
a) A  5  cos

2
 cos 0  2  cos   cos
b) A  5  tg  3cos
c) A  4  sen
d) A  sen

4

6

2
 2  tg 0  sen
 2  cos
 sen

2

4
3
 cos 2
2
3
 2sen2
2
 cos 
 sen
e) A  cos   cos 0  cos

2
 cos
3
2
Ejercicio Dibuja en la circunferencia goniométrica dos ángulos cuyo seno valga 0´7. ¿Podrías
decirme el valor de estos ángulos?
19
2.3 .Relación entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos.
 REDUCCIÓN AL PRIMER GIRO
Para representar un ángulo  mayor de 360˚ se deben dar algunas vueltas completas y
pararse en una determinada posición  . Se verifica entonces que las razones trigonométricas
para ese ángulo  son las mismas que las de  .
Así, por ejemplo, el ángulo de 750˚ se representa dando dos vueltas completas más 30˚
puesto que 750˚ = 2·360˚+30˚ y, por tanto, las razones trigonométricas del ángulo de 750˚ son
las mismas que las de 30˚.
sen750  sen30 
1
2
cos 750  cos 30 
tg 750  tg 30 
3
2
3
3
Dado un ángulo   360 , reducirlo al primer giro consiste en buscar un ángulo
0    360 tal que las razones trigonométricas de  coincidan con las razones
.
trigonométricas de
En general,
y entonces
 =360˚·k +  .
Pues:
sen  sen
cos   cos 
tg   tg
Ejercicio Halla las razones trigonométricas de 420˚.
20
 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Muchas veces interesa expresar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera en
términos de las razones de ángulos del primer cuadrante.
Dado un ángulo  1er cuadrante, reducirlo al primer cuadrante consiste en buscar un
ángulo del 1er cuadrante tal que ambos, salvando el signo, tengan las mismas razones
trigonométricas.
Caso 1
Si   2ºcuadrante (se relaciona con 180˚- )
sen  sen(180   )
cos    cos(180   )
tg  tg (180   )
Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 150˚.
Caso 2
Si   3ercuadrante (se relaciona con  -180˚)
sen   sen(  180 )
cos    cos(  180 )
tg  tg (  180 )
Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 225˚.
21
Caso 3
Si   4ºcuadrante (se relaciona con 360˚- )
sen   sen(360   )
cos   cos(360   )
tg  tg (360   )
Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 300˚.
Ejercicio Calcula:
a) tg135 =
b) cos 240 =
c) sen315 =
d) tg 930 =
Ejercicio Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:
a) A  sen
2
4
 sen
 sen2
3
3
b) A  sen
2
7
4
11
 cos
 tg
 tg
3
6
3
6
c) A  sen
5
3
7
 cos
 sen
4
4
4
22
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS
sen( )   sen
cos( )  cos 
tg ( )  tg
Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de -30˚.
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Se dice que dos ángulos  y  son complementarios si  +  = 90˚ (    90   ).
Si  y  son complementarios se cumple que:
sen  cos 
cos   sen

sen(90   )  cos 
cos(90   )  sen
3
2
1
cos 60  sen30 
2
sen60  cos 30 
Ejemplo
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
SUMA
DIFERENCIA
sen(   )  sen  cos   cos   sen
sen(   )  sen  cos   cos   sen
cos(   )  cos   cos   sen  sen
cos(   )  cos   cos   sen  sen
tg (   ) 
tg  tg 
1  tg  tg 
tg (   ) 
tg  tg 
1  tg  tg 
23
Ejercicio Calcula el seno, el coseno y la tangente de 75˚ teniendo en cuenta que 75˚ = 45˚+30˚.
Ejercicio Calcula el seno, el coseno y la tangente de 15˚ teniendo en cuenta que 15˚ = 45˚-30˚.
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
sen(2 )  2 sen  cos 
cos(2 )  cos 2   sen 2
2tg
tg (2 ) 
1  tg 2
Se demuestran teniendo en cuenta que 2  =  +  y por
las fórmulas que nos dan las razones trigonométricas de la suma
de dos ángulos.
Ejercicio Calcula las razones trigonométricas fundamentales de 120˚ a partir de las de 60˚.
24
Ejercicio Sabiendo que senx 
3

y que  x   , calcula, sin hallar previamente el valor
5
2
de x :
a) cos x
b) sen2x

c) sen( x  )
6

d) cos( x  )
3

e) tg ( x  )
4
Ejercicio Sabemos que cos x 
3
y que senx  0 .Sin hallar previamente el valor de x ,
4
calcula:
a) cos(  x)
b) cos 2x

c) sen(  x)
2
d) tg (  x)
25

2
Ejercicio Prueba que cos( x  )  cos( x  )  cos x
3
3
Ejercicio Prueba que cos   cos(   )  sen  sen(   )  cos 
Ejercicio Prueba que
2sen  sen2 1  cos 

2sen  sen2 1  cos 
Ejercicio Prueba que
cos x  senx
 cos 2 x  1  sen2 x
cos x  senx
26
Ejercicio Simplifica las expresiones:
a) (tg 2 x  1)  cos 2 x
b)
sen  cot g
tg  cos ec
c)
sen2
1  cos 2 
d)
1  tg 2 x
1  tg 2 x
27
2.4 .Las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente.
 Si sen 
1
1
, ¿quién es  ? Es decir, ¿qué ángulos tienen como seno el número ?
2
2
 =30˚ pero ¡ojo! no es el único sino también 30˚+360˚, y también 30˚+2·360˚, y también
30˚+3·360˚, y también 30˚-1·360˚, y también 30˚-2·360˚,…En general, 30˚+k·360˚ con k Z .
Pero  también puede ser 150˚
ya que sen150 
1
, es decir, 150˚
2
1
1
. Como antes, también 150˚+360˚ tiene seno
,y también
2
2
150˚+2·360˚, y también 150˚+3·360˚, y también 150˚-1·360˚, y también 150˚-2·360˚,…En
general, 150˚+k·360˚ con k Z .
es un ángulo con seno
La función arcsen busca los ángulos cuyo seno es un cierto número dado. Así,
30  k  360 con k  Z
1
1 
sen     arcsen  o bien
2
2 
150  k  360 con k  Z
En la calculadora, para hallar el ángulo cuyo seno es un cierto número se utiliza la tecla sin 1
que suele corresponder a la secuencia shift sin
315  k  360 con k  Z
 2
 2 
   arcsen
 o bien
Ej. sen 
2
2
225  k  360 con k  Z

28
 La función arccos busca los ángulos cuyo coseno es un cierto número dado.
En la calculadora, para hallar el ángulo cuyo coseno es un cierto número se utiliza la tecla
co s 1 que suele corresponder a la secuencia shift cos
60  k  360 con k  Z
1
1 
Ej. cos      arccos  o bien
2
2 
300  k  360 con k  Z
135  k  360 con k  Z
 2
 2 
   arccos
 o bien
Ej. cos  
2
2
225  k  360 con k  Z

 La función arctg busca los ángulos cuya tangente es un cierto número dado.
En la calculadora, para hallar el ángulo cuya tangente es un cierto número se utiliza la tecla
tg 1 que suele corresponder a la secuencia shift tg
45  k  360 con k  Z

Ej. tg  1    arc tg1  o bien
225  k  360 con k  Z

280, 49  k  360 con k  Z

Ej. tg  5, 4    arc tg ( 5, 4)  o bien
100, 49  k  360 con k  Z

Ejercicio Escribe todos los ángulos   0 ,360
a) cos   0
 que verifican:
e) sen 
b) sen  1
1
2
f) cos   1
c) cos  
3
2
d) sen  3
g) tg   3
h) tg  0
29
30
Ejercicio Escribe todos los ángulos que verifican:
a) sen  0
b) cos   1
c) sen 
2
2
d) cos   2
e) sen  1
f) tg 
3
4
g) tg  1
h) sen  cos 
31
2.5 . Ecuaciones trigonométricas.
Ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que aparecen funciones trigonométricas
actuando sobre un ángulo incógnita que, como en todas las ecuaciones, hay que despejar.
Ej. x  senx  3
Ej. sen2 x  2 cos2 x  0
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar todos los valores de los ángulos que la
satisfacen. Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas sobre la ecuación inicial, pues
es frecuente que aparezcan soluciones extrañas.
Para resolver una ecuación trigonométrica daremos los siguientes pasos:
I.
Expresar mediante transformaciones convenientes todas las razones trigonométricas
en función de un mismo ángulo.
Ej.
sen  2 x   cos x  3
2  senx  cos x  cos x  3
2  senx  cos 2 x  3  Asi tengo todo en funcion del angulo x.
II.
Expresar todo en función de una misma razón trigonométrica (normalmente en
función del seno, coseno o tangente). Debo evitar, siempre y cuando sea posible, la presencia
de raíces.
Ej.
2  senx  cos 2 x  3
sen x cos
2
2
x 1  cos2 x 1 sen2 x
2  senx  (1  sen2 x)=3
III.
Ej.
Mediante incógnitas auxiliares llegamos a ecuaciones que ya sabemos resolver.
2  cos2 x  3cos x  2
Observa que en esta ecuación se tiene todo en función del ángulo x y ya todo también en
función de la razón trigonométrica cos x . Hacemos el cambio de variable cos x  t . Nos queda:
2t 2  3t  2
2t 2  3t  2  0
 3  5 2 1
 
3  3  4  2  ( 2) 3  9  16 3  5 
 4
4 2
t



22
4
4  3  5 8

 2

 4
4
2
32
60  k  360 con k  Z
1
1
1 
Si t   cos x   x  arccos  o bien
2
2
2 
300  k  360 con k  Z
Si t  2  cos x  2 No tiene solución porque la función coseno está acotada entre -1 y 1.
Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) 2  sen2 x  1  0
b) cos 2x  1  cos x
c) 2  cos2 x  senx  1
d) 3  tg 2 x  3tgx  0



 1
e) sen   x   cos   x  
6

3
 2
f) sen2x  cos x


g) cos 30  x  senx
33
34
2.6. Resolución de triángulos cualesquiera.
TEN EN CUENTA:
En un triángulo rectángulo, el
teorema de Pitágoras establece la
relación entre las longitudes de sus
lados, la complementariedad relaciona
sus ángulos, y las razones
trigonométricas relacionan los ángulos
con las longitudes de los lados.
En los triángulos no rectángulos
(acutángulos y obtusángulos) también
existen diversas relaciones entre los
ángulos y las longitudes de los lados. De
estas relaciones, las más importantes
son: el teorema de los senos y el
teorema del coseno.

La suma de los ángulos de un
triángulo es de 180˚.

En todo triángulo el ángulo
mayor tiene enfrente el lado
mayor y el ángulo menor
tiene enfrente el lado menor.

Un lado de un triángulo
siempre es menor que la suma
de los otros dos lados y
mayor que su diferencia.
 TEOREMA DE LOS SENOS
En un triángulo cualquiera de lados a, b, c, y de ángulos Aˆ , Bˆ , Cˆ , se cumplen las siguientes
igualdades:
a  b  c
senAˆ senBˆ
senCˆ
El teorema da lugar a tres igualdades:
a
senAˆ

b
senBˆ
a
senAˆ

c
senCˆ
b
c

ˆ
senB senCˆ
35
 TEOREMA DEL COSENO
El teorema de Pitágoras relaciona los cuadrados de los tres lados de un triángulo
rectángulo. Ahora bien, ¿y si el triángulo no es rectángulo?
En un triángulo cualquiera de lados a, b, c, y de ángulos Aˆ , Bˆ , Cˆ , se cumple que:
a 2  b2  c 2  2  b  c  cos Aˆ
b2  a 2  c 2  2  a  c  cos Bˆ
c 2  a 2  b2  2  a  b  cos Cˆ
Ejercicio 1 Resuelve los siguientes triángulos:
a) a  6 m., Bˆ  45 , Cˆ  105
b) a  4 cm., Bˆ  30 , b  5 cm.
c) a  15 cm., b  22 cm., c  17 cm.
d) a  10 m., b  7 m., Cˆ  30
e) a  40 cm., b  60 cm., Aˆ  42
Ejercicio 2 Dos amigos están en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical
que una cometa que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la ve con
un ángulo de elevación de 50˚ y el otro con un ángulo de 38˚.
¿Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa?
Ejercicio 3 En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m
de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la
portería?
Ejercicio 4 Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el
avión a A y a B forman ángulos de 29˚ y 43˚ con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura
está el avión?
36