Download Programa de Topología _TM_ - Gustavo Piñeiro

I.E.S. Nº 1 “DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO”
Año lectivo 2014
Profesorado de Educación Superior en Matemática
Trayecto de Formación Centrado en la
Enseñanza de la Disciplina
Instancia curricular: Topología
Nº de código: 246
Modalidad: materia
Duración: anual
Turno: mañana
Carga horaria: 3 horas semanales
Profesor: Gustavo Piñeiro
Fundamentación
La idea central que rige la organización de este curso es que el estudio de la Topología
en la formación docente debe permitir un conocimiento más amplio y profundo de los
conceptos del Cálculo. La Topología debe permitirnos comprender qué ideas entran en
juego en cada teorema o en cada definición del Análisis.
Históricamente, la Topología surgió de un proceso de abstracción de los conceptos del
Cálculo, proceso que culminó con la definición de la noción general de Espacio
Topológico. La mayoría de los textos clásicos de la materia dan por sentado que el
alumno ha pasado ya por ese proceso de abstracción y suelen comenzar su exposición
con la definición abstracta de Espacio Topológico o, a veces, con la noción apenas
menos general de Espacio Métrico.
Sin embargo, no existe una instancia intermedia donde los alumnos hayan vivenciado
todavía el proceso que conecta las ideas básicas del cálculo, abstrayéndolas, (lo que
permitiría apropiarse adecuadamente de la idea de Espacio Topológico), con lo cual los
alumnos sienten esta idea como alejada de su experiencia previa con el Cálculo.
Por ese motivo, en la primera parte del curso la intención es que los alumnos vivencien
el proceso de abstracción que lleva del Cálculo a la Topología y vean, por ejemplo, de
qué manera las nociones de conjunto conexo, conjunto compacto, punto de
acumulación, y otras, fluyen naturalmente del estudio del Teorema de Bolzano, de la
definición de derivada y de otros conceptos clásicos del Cálculo. En paralelo con el
curso histórico, esta primera parte del curso culminará con la definición abstracta de
Espacio Topológico.
Este pasaje helicoidal por los conceptos del Análisis (permitido por la ubicación de la
materia en el Plan de Estudios, posterior a todas las materias de Cálculo), contribuirá
además a poner en práctica la idea expresada en el primer párrafo: que la Topología
debe permitir una comprensión más profunda y global del Cálculo.
Asimismo, siempre con la intención de apegarnos, cuando sea posible, a la génesis
histórica de los conceptos, al estudiar la noción de punto de acumulación, que fue
introducida por Georg Cantor hacia 1871, veremos como Cantor fue, según sus propias
palabras, llevado por la lógica de sus investigaciones a la idea de conjunto transfinito.
Estudiaremos entonces, tal como hizo Cantor, la cardinalidad de conjuntos infinitos y su
vinculación con el Problema del Continuo, es decir, con el estudio de la topología de la
recta real.
En la segunda parte del curso se comenzará con el estudio de dos ejemplos
fundamentales de espacios topológicos: los Espacios Métricos y los Espacios
Normados. La intención general de esta segunda parte será ver, a partir de diferentes
ejemplos, y siempre revisitando el Cálculo clásico, cómo los conceptos topológicos
impregnan y dan sentido a muchas nociones matemáticas.
Por ejemplo, veremos cómo las sucesivas aproximaciones de una función que se
obtienen al calcular sus Polinomios de Taylor de orden n son, en esencia, una sucesión
de polinomios que convergen a la función dada, en un proceso similar el que vemos
cuando las sumas parciales de una serie numérica convergen a la suma de ésta.
Objetivos
Que los alumnos:
•
•
•
Vivencien la génesis histórica de las definiciones matemáticas.
Reconozcan las nociones topológicas que sustentan los teoremas clásicos del
Análisis.
Apliquen los conceptos topológicos para profundizar en sus conocimientos
del Cálculo.
Contenidos
UNIDAD 1. Funciones continuas.
Repaso de la definición de continuidad en una y varias variables. Análisis de casos
que problematizan la definición estudiada en materias previas de Cálculo. Por
ejemplo: ¿Es continua la función f : [0,1] ∪ [ 2, 3] → , f (x) = 1 si x ∈ [0,1],
f (x) = 1 si x ∈ [1,2]?, ¿Es continua la función f : [0,1] ∪ [ 2, 3] → , f (x) = −1 si
x ∈ [0,1], f (x) = 1 si x ∈ [1,2]? ¿Es válida idea de que una función es continua si
“es posible dibujar su gráfico sin levantar el lápiz del papel”?
UNIDAD 2. Conjuntos conexos.
Teorema de Bolzano: análisis de las condiciones de validez. Conjuntos conexos.
Teorema de Bolzano generalizado: demostración, consecuencias y aplicaciones.
Teorema de punto fijo para funciones continuas definidas en un intervalo cerrado.
Nociones de Topología Algebraica: homotopías. Conjuntos simplemente conexos y
su relación con el Teorema de Green.
UNIDAD 3. Conjuntos Compactos.
Teorema de Bolzano-Weierstrass: análisis de las condiciones de validez. Conjuntos
cerrados. Conjuntos acotados. Conjuntos compactos. Sucesiones: convergencia.
Límite y continuidad. Puntos de acumulación. Conjunto derivado. Teorema de
Bolzano-Weierstrass generalizado: demostración, consecuencias y aplicaciones.
UNIDAD 4. Topología de la recta y del plano reales.
Encaje de Intervalos. Completitud de los números reales. Densidad de los números
racionales. Demostración de la existencia de irracionales. Encaje de cuadrados y de
cubos. Completitud del plano real y del espacio.
UNIDAD 5. Conjuntos abiertos.
Análisis de la definición de derivada. Conjuntos abiertos: definición y propiedades.
Posibilidad de reobtención de las nociones topológicas a partir de la noción de
conjunto abierto.
UNIDAD 6. Espacios topológicos.
Definición de Espacio Topológico, ejemplos. La topología usual de la recta real.
Topologías alternativas para la recta real. Topología relativa: aplicaciones a la
definición de extremos locales.
UNIDAD 7. Espacios métricos.
Distancia: definición, propiedades. Ejemplos. La distancia usual en la recta, el plano
y el espacio. Distancias alternativas en el plano y sus aplicaciones. La métrica
discreta. Convergencia y continuidad en espacios métricos. El espacio de las
funciones continuas sobre un intervalo cerrado: convergencia de sucesiones de
funciones. Teoremas de punto fijo.
UNIDAD 8. Espacios normados.
Norma en espacios vectoriales: definición y propiedades. Ejemplos. Espacios de
Banach. La norma usual en la recta, el plano y el espacio. Convergencia y
continuidad en espacios normados. Convergencia de sucesiones de matrices: seno,
coseno y exponencial de matrices.
UNIDAD 9. Cardinalidad.
Análisis del proceso histórico que llevó de la definición de punto de acumulación a
la de cardinalidad. Conjunto coordinables. Conjuntos numerables y no numerables.
Aritmética cardinal. Hipótesis del continuo. No numerabilidad de los números
reales. Espacios separables.
Bibliografía obligatoria:
Unidad 1:
APOSTOL, Tom; 1999; Calculus, (Vol I y II); Reverté, España.
KURATOWSKI, Kazimierz; 1995; Introducción al Cálculo; Editorial Limusa, México.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 2:
APOSTOL, Tom; 1999; Calculus (Vol I y II); Reverté, España.
MUNKRES James R.; 2002; Topología; Prentice-Hall, EE.UU.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 3:
APOSTOL, Tom; 1999; Calculus (Vol I y II); Reverté, España.
MUNKRES James R.; 2002; Topología; Prentice-Hall, EE.UU.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 4:
APOSTOL, Tom; 1999; Calculus (Vol I y II); Reverté, España.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 5:
RUDIN, Walter; 1980, Principios de Análisis Matemático; Mc-Graw-Hill, México.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 6:
MUNKRES James R.; 2002; Topología; Prentice-Hall, EE.UU:.
RUDIN, Walter; 1980, Principios de Análisis Matemático; Mc-Graw-Hill, México.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 7:
MUNKRES James R.; 2002; Topología; Prentice-Hall, EE.UU:.
RUDIN, Walter; 1980, Principios de Análisis Matemático; Mc-Graw-Hill, México.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 8:
COTLAR, M. – CIGNOLI, R.; 1971; Nociones de Espacios Normados; Eudeba,
Argentina.
MUNKRES James R.; 2002; Topología; Prentice-Hall, EE.UU:.
RUDIN, Walter; 1980, Principios de Análisis Matemático; Mc-Graw-Hill, México.
TAKAHASHI OROSCO, A.; 1976; Del Análisis a la Topología; Limusa, México.
Unidad 9:
BUNCH, Bryan H.; 1997; Matemática Insólita (Paradojas y paralogismos); Reverté,
México.
OUBIÑA, Lía; 1965; Introducción a la Teoría de Conjuntos; EUDEBA, Buenos Aires.
RADEMACHER, Hans; TOEPLITZ, Otto; 1970; Números y Figuras; Alianza
Editorial, Madrid.
SANTORO, Ana Carolina; 2000; Conjuntos e Infinitos; EUDEBA, Buenos Aires.
SMULLYAN, Raymond; 1995; Satán, Cantor y el Infinito; Gedisa, Barcelona.
Bibliografía de consulta
BARR, Stephen; 1989: Experiments in Topology; Dover Publications Inc., EE.UU.
KELLEY, John; 1975; Topología General; Eudeba, Argentina.
SPRECHER, David A; 1970; Elements os Real Analysis; Dover Publications, EE.UU.
Modalidad de Evaluación
Habrá dos exámenes parciales, uno a mediados de año y otro al terminar el curso. Los
exámenes serán escritos y de carácter práctico. La aprobación de la materia se
completará con un examen final integrador, oral y escrito, de carácter teórico-práctico.
Régimen de promoción Los alumnos que rinden en condición de libres deberán dar (en
la mesa examinadora) primero un examen escrito, de cuya aprobación depende el
acceso a uno oral.
Firma:
Aclaración: Gustavo Pîñeiro