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FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Y ALGUNAS APLICACIONES
Jesús Vilchez Guizado
Ángela Ramón Ortiz
Primera Edición
Huánuco- Perú
2014
Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz
Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones
Primera Edición, mayo 2014
© Jesús Vilchez Guizado
© Ángela Ramón Ortiz
Huánuco, Perú
Impreso por: Autores Editores S.A.S ©
www.autoreseditores.com
Este libro no podrá ser reproducido en todo o en
parte, por ningún medio impreso o de reproducción
sin permiso escrito de los autores.
Impreso en Colombia /Printed in Colombia
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Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones
Índice general
Introducción ………………………………………………………………
¿Cuándo y cómo aparece la Trigonometría? ……………………………..
Esquema de contenido ……………………………………………………
Requistos para el estudio del tema ………………………………………
Actividades previas al estudio de funciones trigonométricas …………..
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Unidad 1. Arcos orientados y función envolvente……………………
1.1. Arcos orientados en la circunferencia unitaria ……………………..
1.2. Arcos orientados coterminales ………………………………………
1.3. Función envolvente en la C1(O) …………………………………….
1.4. Arcos orientados notables en la C1(O) ………………………………
1.5. Periodicidad de la función envolvente ……………………………...
Ejercios de comprobación de aprendizajes ……………………………...
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Unidad 2. Ángulos y arcos orientados: sus medidas……………………
2.1. Ángulos y arcos orientados …………………………………………....
2.2. Ángulos coterminales ……………………………................................
2.3. Medición de ángulos orientados: sistema de medidas angulares……..
2.3.1. Sistema radial (o circular) ……………………………..................
2.3.2. Sistema sexagesimal (o inglés) ……………………………...........
2.4. Relación entre sistemas de medida angular……………………………
2.5. Longitud de arcos orientados en la circunferencia ………………….
Ejercios de comprobación de aprendizajes …………………………….....
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Unidad 3. Funciones trigonómetricas. ………………………………. 73
3.1. Las función seno y coseno. …………………………………………….
3.2. Función tangente y cotangente. ……………………………….……….
3.3. Función secante y cosecante. ………………………………………….
3.4. Relaciones entre funciones trigonométricas. ………………………….
3.5. Funciones trigonométricas por reducción al cuadrante I: ángulo de
referencia. ………………………………………………………………
3.6. Gráfica de las funciones trigonométricas. …………………………….
Ejercios de comprobación de aprendizajes …………………………….....
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Unidad 4. Funciones trigonométricas inversas. ………………….… 133
4.1. La función inversa. ………………………………………………….…
4.2. La función inversa del Seno. ……………………………………….….
4.3. La función inversa del Coseno. ……………………………….……….
4.4. La función inversa de la Tangente. ……………………………………
4.5. La función inversa de la cotangente, secante y cosecante. ……………
Ejercios de comprobación de aprendizajes …………………………….....
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Unidad 5. Identidades trigonómetricas: aplicaciones …………..… 152
5.1. Identidades trigonométricas fundamentales. ……………….…………
5.2. Identidades derivadas. …………………………………………..….…
5.3. Identidades para sumas y diferencias. …………………………………
5.4. Identidades del doble y de la mitad. ………………………………….
5.5. Identidades de sumas y productos. ………………………………..….
5.6. Ecuaciones trigonométricas. ………………………………………….
Ejercios de comprobación de aprendizajes …………………………….....
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Unidad 6. Aplicaciones de las funciones trigonométricas………… 189
6.1. Resolución de triángulos rectángulos. ……………………………..…
6.1.1. Ángulos de depresión y de elevación. ………………………………
6.1.2. Rumbos. ………………………………………………………….….
6.2. Resolución de triángulos oblicuángulos. …………………………..…
6.2.1. La ley del seno y resolución de triángulos oblicuángulos. ………...
6.2.2. La ley del coseno y resolución: de triángulos oblicuángulos. ….….
6.2.3. Ley de lastangentes y aplicaciones. …………………………….…..
6.2.4. La fórmula de Heron y aplicaciones. ………………………...……..
Ejercios de comprobación de aprendizajes ……………………………......
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Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones
Introducción
Este libro está orientado a dar algunos alcances al profesor del área de matemática
de la educación básica, a los estudiantes de los últimos grados del nivel secundario y
a otros lectores interesados de estudiar de manera sencilla las funciones
trigonométricas que se constituye en la base teórica del estudio de la matemática
superior y la interpretación de muchos fenómenos naturales y abstractos.
Referido a los profesores, pretende servir de guía con recomendaciones didácticas y
prácticas sobre la manera cómo debe orientar y desarrollar sus clases de las
funciones reales de variable real y a partir de ella el proceso de enseñanzaaprendizaje de las funciones trigonométricas a partir de situaciones concretas.
Sustentado en conceptos, propiedades y gráficas con la finalidad de que se pueda
tener un estudio integral de la teoría y sus aplicaciones en distintas áreas de la
ciencia y la tecnología.
Para los estudiantes de los últimos años de la educación secundaria, este libro puede
serles útil en dos sentidos: primero, como material de consulta y apoyo para su
comprensión de los fenómenos periódicos que se suscitan en nuestro entorno físico y,
segundo, como texto de consulta para su formación como futuros estudiantes de
áreas de formación profesional en el nivel superior, ya que se da un enfoque basado
en términos propios de un curso de precálculo que puede servir para entender con
solvencia los tópicos del cálculo diferencial, cálculo integral y otros tópicos durante
los estudios en el contexto de la educación superior técnica o universitaria.
En general, el libro puede servir a cualquier profesional inclusive de áreas diferente
de las ciencias que tienen algún interés en aprender algo de trigonometría y sus
aplicaciones, este libro puede servirles de ayuda por las conclusiones que de él se
derivan en el sentido de cómo se debe abordar la secuencia en el estudio de la
trigonometría en general que resulte mucho más efectiva y práctica. El texto en su
estructura de seis unidades ofrece modelos y recomendaciones a seguir en el estudio
del tema, está provisto de ejemplos resueltos, ejercicios por concluir su resolución y
problemas propuestos para resolver, necesarios para que un estudiante promedio,
entienda en forma significativa este tópico de la matemática elemental.
Puesto que el objetivo del libro es llegar a alumnos de secundaria, a los docentes de
matemática de secundaria y también a los estudiantes de la preparatoria, hemos
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Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz
procurado utilizar un lenguaje sencillo y accesible a todos los lectores, evitando al
máximo recurrir términos muy técnicos; incidiendo en elementos motivadores, a
través de explicaciones destinadas a aclarar la terminología y los conceptos
involucrados en cada caso mediante gráficos en el plano cartesiano.
Teniendo en cuenta lo expresado líneas adelante, el libro se inicia con ejemplos
basados en actividades concretas, se hace el estudio de las funciones circulares a
partir de la función envolvente en la circunferencia unitaria, se definen las funciones
trigonométricas incidiendo en sus propiedades analíticas y las funciones
trigonométricas inversas centrados en su análisis de sus propiedades a partir de sus
gráficos.
Seguidamente, se hace un estudio de las identidades trigonométricas a partir del
teorema fundamental de la trigonometría, el cual sirve de base para deducir las
distintas identidades y transformaciones trigonométricas, que sirven de instrumento
para poder resolver las ecuaciones trigonométricas, luego se hace algunas
aplicaciones de las funciones trigonométricas a la resolución de triángulos
rectángulos, oblicuángulos y rumbos.
La obra es de gran utilidad para los estudiantes que cursan los últimos grados del
nivel secundario que aspiran a seguir estudios superiores, toda vez que, se trata de
desarrollar los tópicos de la trigonometría desde una óptica diferente a la
tradicional, incidiéndose en la esencia periódica de las funciones trigonométricas
que modela en forma óptima los fenómenos de nuestro mundo físico cuyo estudio es
fundamental en la sociedad de la información y comunicación en que nos tocó vivir.
Los autores
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Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones
¿Cuándo y cómo aparece la Trigonometría?
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas,
en Egipto y Babilonia. Hace unos 4000 años en Babilonia y Egipto se determinó y
se establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados
de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la
agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida
de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría
para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la
observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista
y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los
cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la
navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía
precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron
construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia,
con el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea (190 a.c.) considerado el
padre de la Trigonometría, creador de una tabla Trigonométrica para resolver
triángulos, fue el observador más grande de la antigüedad, construyó un catálogo
estelar que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas con gran precisión,
en su estudio continuó el método ideado por Aristarco: midió la distancia y el
tamaño de la Luna. Con los aportes de Aristarco se renovó la Trigonometría,
herramienta esencial de la cosmología, astrofísica y astronomía, a la que
perfeccionó con nuevos instrumentos.
Luego, Claudio Ptolomeo (150 a.c.) dio importantes contribuciones a la
trigonometría, publicó la primera tabla de cuerdas, que proporciona un método
para resolver triángulos. En Grecia la división del círculo en 360 grados. Para
crear su tabla Trigonométrica, comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180°
con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los
lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla
es similar a la moderna tabla del seno, Ptolomeo utilizó r = 60°, pues los griegos
adoptaron el sistema numérico sexagesimal de los babilonios. La obra de Ptolomeo
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Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz
se conoce a través de la versión árabe del Almagesto. Este libro constituye la base
del primer texto de Astronomía, luego a fines del siglo XV Cristóbal Colón
descubrió América, y pocos años más tarde Copérnico planteó el punto de vista
heliocéntrico del movimiento de la tierra.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto
moderno de las funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes
de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François
Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la
trigonometría esférica.
Descartes y Newton que coadyuvaron para la presentación de la Trigonometría a
partir de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria en el plano
cartesiano. Desde esta perspectiva, el método de coordenadas desarrollado por
Descartes (1596-1650) para ubicar un punto del plano fue fundamental para la
evolución del concepto de función trigonométrica y dio las bases para que Isaac
Newton inventara el cálculo diferencial e integral, sustentada en la representación
de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la
variable x. Desarrollando series para el sen(x), cos(x) y la tan(x); que hoy
desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las
aplicadas.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las
propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números
complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se
le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así
como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler
también popularizó el número pi (π).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de
los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual
se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En
astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición
de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital; así
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Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones
como el desarrollo de la informática, las telecomunicaciones y la comprensión de
diversos fenómenos periódicos.
Actualmente, la trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de
muchos fenómenos físicos, la mayoría de ellos estudiados en los primeros cursos
del Bachillerato y otros, quizás, más adelante… Aquí ofrecemos la posibilidad de
ver con creatividad y en forma elemental algunas aplicaciones de la trigonometría.
No pretendemos ser un formar eruditos en la materia, simplemente pretendemos
que después de estudiar el texto el lector tenga una idea aproximada de “para qué
sirve la trigonometría”…
Por ejemplo, la trigonometría se utiliza para:
• estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple);
• estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra
en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas
electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x,…o las ondas sonoras,
que es el ejemplo que se puede percibir en forma natural o formal;
• estudiar triángulos no ya en una superficie plana, sino en una superficie esférica, lo
cual resulta muy útil para la astronomía o la navegación (es lo que se conoce como
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA); entre otras muchas.
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Jesús Vilchez Guizado - Ángela Ramón Ortiz
ESQUEMA DE CONTENIDO DEL LIBRO
ARCOS ORIENTADOS Y FUNCIÓN
ENVOLVENTE
ÁNGULOS, ARCOS ORIENTADOS Y
SUS MEDIDAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN
FUNCIÓN
TANGENTE
FUNCIÓN SENO
COSENO
FUNCIÓN
COTANGENTE
FUNCIÓN
SECANTE
FUNCIÓN
COSECANTE
PROPIEDADES
DE LAS F. T.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
APLICACIONES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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