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Intervalos correspondientes a una probabilidad fijada.
A veces lo que interesa no es calcular la probabilidad de un intervalo, sino encontrar un intervalo que tenga
cierta probabilidad, se quiere hallar el valor de “a” que cumpla
, para una probabilidad “p” fijada:
Si p ≥ 0,5 el valor de “a” se obtiene directamente en la tabla.
Si p < 0,5 el valor no aparece en la tabla. Realizamos el cambio
Ej.: Sabiendo que Z sigue una N(0, 1), encuentra el valor de
a)
en las tablas
b)
→
c)
que cumple:
→ en las tablas
→
en las tablas
→
d)
No viene en la tabla.
Está entre 0,9545 y 0,9554 que corresponden al 1,69 y al 1,70
tomamos la media de ambos valores
Luego

Ejercicio 6:
1.
2.
3.
4.
7.
5.
6.
8.
9.1 Población y muestra. Representatividad de la muestra.
 Población y muestra.
- Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica. Es un conjunto
de elementos muy elevado. Habitualmente resulta imposible estudiar toda la población o muy caro.
Ej.: Habitantes de Málaga, Alumnos de bachillerato de Málaga …
- Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
- Muestra: Es cualquier subconjunto de la población, al que vamos a observar.
Ej.: Escoger 500 habitantes, Escoger 100 alumnos de bachillerato …
- Tamaño: Número de elementos de la muestra.
- Muestreo: Es el proceso mediante el cual se selecciona la muestra de la población.
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Representatividad de la muestra.
La validez de los resultados extraídos de la muestra dependerán de:
- Tamaño de la muestra:
 Demasiado pequeña: Los resultados no suelen ser fiables.
 Demasiado elevado: suelen tener un alto coste, y además en ocasiones no nos proporcionan resultados
mucho mejores que con una muestra menor.
- Forma de seleccionar la muestra:
 La muestra debe ser representativa de la población.
 Que sus elementos hayan sido seleccionados de manera aleatoria. Cuando no es así, se dice que la
muestra es sesgada.
En general, es preferible que una muestra tenga el mayor tamaño posible, haciendo un equilibrio con los
costes. Pero si el muestreo es sesgado, la muestra no mejorará con el tamaño.
9.2 Tipos de Muestreo.
Un muestreo es aleatorio si la muestra ha sido seleccionada al azar, teniendo todos los individuos la misma
posibilidad de ser seleccionados en ella.
 Muestreo Aleatorio Simple: Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se
seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.
 Muestreo Aleatorio Sistemático: Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen
los demás hasta completar la muestra.
Ej.: Población de 100 elementos. Queremos muestra de 25 elementos.
Primero establecemos el intervalo:
Escogemos un elemento inicial aleatoriamente, que ha salido el 2.
Elementos: 2, 6, 10, 14, 18, 22,……, 98
 Muestreo Aleatorio Estratificado: Se divide la población en estratos y se escoge, aleatoriamente, un número
de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato.
Población -------------- Muestra
Estrato
-------------- Muestra del estrato
Ej.: Fábrica con 600 trabajadores. Queremos tomar una muestra de 20. Hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en
la B, 150 en la C y 100 en la D.
A:
→
= 6,6 ≈ 7 trabajadores A
B:
→
= 5 trabajadores B
C:
→
= 5 trabajadores C
D:
→
= 3,3 ≈ 3 trabajadores D
 Ejercicio 7:
En una empresa de gas trabajan 150 personas en mantenimiento, 450 en operaciones, 200 en servicios y 100 en
cargos directivos. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180
trabajadores de esa empresa por muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿qué número de
trabajadores se debe elegir de cada grupo?
 Ejercicio 8:
En una población de 2000 hombres y 2500 mujeres se quiere seleccionar una muestra de 135 personas mediante
muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál sería la composición de la muestra?
 Ejercicio 9:
Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo
aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el
tamaño de la muestra?
 Ejercicio 10:
En una ciudad viven 400 hombres y 320 mujeres y se quiere seleccionar una muestra de tamaño 54 utilizando
muestreo estratificado por sexos, con afijación proporcional, ¿cuál sería la composición de la muestra?
9.3 Parámetros estadísticos de una población.
 Media aritmética ( ): Es el cociente entre la suma de todos los valores de la variable estadística y el número de
éstos.
Media muestra
 Varianza (σ2 : Es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.
2
Varianza muestra
 Desviación Típica (σ): Raíz cuadrada positiva de la varianza. Para que tenga las mismas unidades que los datos.
Cuanto menor es la σ2 o la σ, mayor es el grado de representatividad de los valores centrales.
 Ejercicio 11: A partir de una población de elementos 1, 2, 3, 4 se seleccionan, mediante muestreo aleatorio simple,
todas las muestras de tamaño 2. Escriba dichas muestras y calcule la varianza de las medias muestrales.
 Ejercicio 12: Escriba todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple (con
reemplazamiento), se pueden extraer del conjunto
y determine el valor de la varianza de las medias de
esas muestras.
 Ejercicio 13: Dada la población
, ¿cuánto debe valer a sabiendo que la media de las medias muestrales de
tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 10.3?
 Ejercicio 14: Dada la población
, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio
simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.
9.4 Distribución en el muestreo de una proporción.
Hay problemas donde me dan una proporción o probabilidad de acierto “p” de la población, y deseo saber la
proporción o probabilidad de acierto “ ” de la muestra, que dependerá de la muestra elegida.
Ej.: Un tirador con arco da en el blanco el 85% de sus lanzamientos.
Ej.: El 5% de los pasteles que hace un pastelero tiene un exceso de peso.
Los distintos valores que puede tomar darán lugar a la variable aleatoria que se llama estadístico.
La distribución de los valores de se llama distribución en el muestreo de una proporción, que tiene las características:
1. Media:
2. Desviación típica:
3. A medida que crece n (tamaño muestra), la distribución
siempre que p no se aproxime a 0 ni a 1.
Ej.: Tirador arco da en el blanco 85%. Halla las distribuciones en el muestreo de la proporción de veces que da en el
blanco para una muestra de 100 lanzamientos. ¿Cuántos se espera que den en el blanco? Halla la probabilidad de
que en la muestra elegida de en el blanco en más del 90% de los casos.
n=100→
0,0357
N(0,85; 0,0357)
 Ejercicio 15: El 5% de los pasteles que hace un pastelero tienen un exceso de peso. Se toma una muestra de 45
pasteles:
a) ¿Cuál es la distribución que sigue la proporción de pasteles con exceso de peso de la muestra?
b) Halla la probabilidad de que en la muestra existan al menos cuatro pasteles con exceso de peso?
 Ejercicio 16: En la elección para formar parte del consejo escolar, un alumno ha recibido un 50% de votos
desfavorables. Si se elige una muestra de 40 alumnos que han votado:
a) ¿Cuál es la distribución que sigue la proporción de votantes que han votado?
b) Halla la probabilidad de que más del 40% de los votantes de la muestra votasen?
9.5 Distribución en el muestreo de la media.
Hay problemas donde me dan la media de la población, y deseo saber la media muestral , que dependerá de la
muestra elegida.
Ej.: Altura media jugadores baloncesto ACB es de 196 cm.
Los distintos valores que puede tomar
La distribución de los valores de
1. Media:
darán lugar a la variable aleatoria
que se llama estadístico.
se llama distribución en el muestreo de la media, que tiene las características:
2.
Desviación típica: s =
3.
A medida que crece n (tamaño muestra), la distribución
se aproxima a una
Ej.: La altura media de la ACB es de 196 cm y desviación típica de 9,5cm. Se toma una muestra de 45 jugadores.
Halla la probabilidad de que la media sea mayor que 2m. Halla P(192 ≤
→
→ N(196; 1,42)
 Ejercicio 17: En una población, una variable aleatoria X sigue una distribución Normal de media 50 y desviación típica
9. Se elige, al azar una muestra de tamaño 64 de esa población. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral
esté comprendida entre 48 y 52
 Ejercicio 18: El cociente intelectual de los alumnos de un centro educativo se distribuye según una ley Normal de
media 110 y desviación típica 15. Se extrae una muestra aleatoria simple de 25 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de
que la media del cociente intelectual de los alumnos de esa muestra sea superior a 113?
 Ejercicio 19: En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media 6.2
puntos y desviación típica de 1 punto. Se seleccionó aleatoriamente, una muestra de tamaño 25.
a) Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño 25.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté
comprendida entre 6 y 6.6 puntos?
 Ejercicio 20: El peso de los adultos de una determinada población sigue una distribución Normal de media 70 kg y
desviación típica de 16 kg. Si elegimos, al azar, muestras de tamaño 4.
a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre 65 y 72 kg?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70 kg?
 Ejercicio 21: Sea X una variable Normal de media 50 y desviación típica de 4. Se toman muestras de tamaño 16.
a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47.5 y 52.5?
9.6 Distribución en el muestreo de la diferencia de las medias.
Hay problemas donde me darán las medias de dos poblaciones
y me pedirán la diferencia de las medias muestrales
Los distintos valores que puede tomar
La distribución de los valores de
2. Media:
, de tamaño
, y de desviaciones típica
, que dependerán de las muestras elegidas.
darán lugar a la variable aleatoria
que se llama estadístico.
se llama distribución en el muestreo de la media, que tiene las características:
3. Desviación típica:
4. A medida que crecen
(tamaños de las muestras), la distribución
se aproxima a una
Ej.: En una muestra de 50 alumnos se tiene una altura media de 1,73m y una desviación típica de 0,08m. En una
muestra de 60 alumnas se tiene una altura media de 1,66m y una desviación típica de 0,10m Halla la
probabilidad de que la diferencia de alturas medias sea mayor de 10 cm.
→ N(173 - 166;
) → N(7; 1,7)
 Ejercicio 22: Se sabe que el peso X de la grasa corporal en adultos que no hacen ejercicio sigue una distribución con
media de 24,3 kg y desviación típica de 2,4. En cambio, el peso Y de la grasa en adultos que hacen ejercicio
regularmente se distribuye con una media de 20,1 y desviación 1,7.
Si se eligen en ambas poblaciones muestras aleatorias de 50 elementos, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia
de la grasa corporal media sea mayor de 3kg?