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TEMA 7.
LA
LÓGICA
COMO
SISTEMA
FORMAL
AXIOMÁTICO:
LOS
LÍMITES
DE
LOS
SISTEMAS
FORMALES AXIOMÁTICOS
1.
LA LÓGICA
*
Dado que este tema pertenece a la disciplina filosófica
denominada lógica, creemos conveniente hacer una primera
aproximación a esta rama de la filosofía, para después
centrarnos en la cuestión propuesta:
*
, que significa
El término lógica proviene del griego
palabra o tratado. La lógica formal es la TEORÍA FORMAL
DEL RAZONAMIENTO1.
*
En la historia de la filosofía ha cobrado acepciones muy
diversas. Los griegos llamaron lógica a la silogística de
Aristóteles y a la teoría estoica de la proposición (lo que
más tarde se ha llamado lógica formal).
*
Por su parte, Kant llamó lógica trascendental a su crítica
filosófica del conocimiento científico, es decir, a lo que más
bien sería, al menos parcialmente, competencia de la teoría de
la ciencia y de la filosofía de la lógica. Luego Hegel denominó
lógica a la metafísica.
*
La lógica simbólica, lógica matemática o logística es una
nueva denominación de la lógica formal en su actual estado
de desarrollo.
2.
HISTORIA DE LA LÓGICA (Para comentar brevemente)
*
La lógica formal nació hace 2500 años, cuando Aristóteles y
los estoicos se interesaron por la construcción y el análisis
de esquemas de argumentos. Desde entonces, salvo las
contribuciones realizadas durante la Edad Media, la lógica no
ha experimentado grandes desarrollos hasta mediados
del siglo XIX.
1
Estudia la forma y la valoración de los argumentos.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
1
*
La clave de este progreso se halla en las revolucionarias
aportaciones del inglés Boole (hacia la mitad del siglo XX) y
del alemán Frege (último tercio del XIX) relativas a lo que
suele denominarse la matematización de la lógica2. Para
ello, se construyeron un lenguaje simbólico y unas reglas de
operación. Veamos cómo fue evolucionando la lógica:
*
Antes de entrar en Aristóteles, recordamos que Zenón de Elea
era famoso por sus paradojas y que fue un genio del arte del
razonamiento dialéctico3, en el que también descollaron
Sócrates y Platón. Por otra parte, los sofistas eran muy
solicitados como maestros de retórica.
1.
ARISTÓTELES: señalaremos que además de una
completa doctrina silogística4 y de varios trabajos
de lógica inductiva, realizó teorías metodológicas.
Además, el Estagirita inventó la lógica modal5. Para
Aristóteles, la lógica era una introducción a toda
investigación científica y un análisis de los principios
en los que se halla articulada la realidad. La lógica
Aristotélica fue la lógica por antonomasia durante mucho
tiempo.
2.
ESTOICISMO: es principalmente una lógica de las
proposiciones. El lógivco estoico más famoso fue
Crisipo. Tenían un sistema deductivo basado en cinco
reglas de inferencia. También dilucidaron cuestiones
semánticas. Estudiaron paradojas6 muy famosas en
toda la historia de la filosofía.
Por matematización se entiende en metodología científica la subordinación de
una ciencia al método de la matemática. De las ventajas inherentes a la
matematización es claro ejemplo la física, que comenzó a marchar por el camino
seguro del progreso científico desde que, en el siglo XVII, Galileo la sometió al
rigor del método matemático.
2
La dialéctica es la lógica de la opinión. A ella se opone la analítica
(inaugurada por Aristóteles), que es la lógica de la argumentación rigurosa.
Aristóteles llamó a dos de sus obras Primeros Analíticos y Segundos Analíticos.
4
En el silogismo, a partir de dos premisas se deriva una conclusión.
3
La lógica modal analiza proposiciones a las que se antepone cualquiera de las
cuatro partículas modales: posible (p. Ej. Es posible que haya seres inteligentes
en otros lugares del universo), necesario (p. Ej. Es necesario que dos y dos sean
cuatro), imposible (p. Ej. Es imposible que un círculo sea cuadrado) y
contingente (p. Ej. Es contingente que el equipo A gane al equipo B).
5
Una de ellas era la siguiente: Si miento y digo que miento, ¿miento o digo la
verdad? La tradición cuenta que Teofrasto, discípulo de Aristóteles, escribió tres
6
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
2
3.
MEDIEVO, SIGLOS XII – XV: los Padres de la Iglesia se
ocuparon de cuestiones gramáticas que les permitiesen
interpretar las Escrituras. Así surgieron nuevos
campos de estudio: los términos sincategoremáticos,
las propiedades de los términos, los insolubles, la
obligación
y
las
consecuencias.
También
hubo
numerosos estudios de filosofía del lenguaje. Para
los escolásticos, la lógica era la ciencia de juzgar
rectamente. Cabe destacar a Pedro Hispano y a
Guillermo de Occam. En España sobresalió Raimundo
Lulio con su Ars Magna.
4.
LÓGICA MODERNA: estuvo más centrada en la
dialéctica y la retórica. Destacan en este período la
lógica inductiva de Bacon, los estudios de la Lógica de
Port-Royal sobre los términos generales, la obra de
Kant y los estudios lógicos de John Stuart Mill.
5.
LEIBNIZ: precursor de la lógica matemática.
También expuso que sería adecuado usar símbolos para
la lógica y cálculos similares a los matemáticos.
6.
BOOLE: en 1854 este inglés publicó Las leyes del
pensamiento. Desarrolló un álgebra lógica según la
cual
las
proposiciones
categóricas
podrían
ser
convertidas en ecuaciones.
7.
FREGE: en 1879 este alemán publicó Conceptografía.
Con el tiempo, sustituyó a Aristóteles como la autoridad
lógica más importante. Fue el inventor del lenguaje
artificial y de la teoría de la cuantificación, lo que
aportó claridad a la lógica.
8.
GIUSEPPE PEANO: matemático italiano que hizo los
primeros avances en lógica matemática al intentar crear
una interlingua y elaborar un sistema de signos. Su
sabiduría impresionó a Russell.
9.
RUSSELL: Descubrió, muy a su pesar, la paradoja de
las clases, que en palabras de Frege hacía
tambalearse a la aritmética. Russell ideó la teoría de
libros sobre el tema y Crisipo más de veinte, y que al lógico Filitas de Cos la
investigación de aquel enigma le costó la muerte por extenuación.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
3
tipos para contrarrestrarla, aunque terminó por dejar la
lógica y dedicarse a la política7.
10.
WITTGENSTEIN: El Tractatus logico-philosophicus
ocupa un lugar propio en la historia de la lógica. Hizo
críticas a las teorías de su maestro Russell y dijo que la
lógica no dice nada sobre el mundo y que a las
palabras lógicas no les corresponde ningún contenido
real.
11.
ÚLTIMOS DESARROLLOS: De entre todos ellos
señalaremos las contribuciones de Kurt Gödel y su
teorema de la incompletud de la aritmética, Alan M.
Turing y la teoría de la computación, Alfred Tarski y
el desarrollo de la semántica.
Han surgido además lógicas no clásicas: modal,
polivalente,
libre,
intuicionista,
dialógica,
combinatoria, deóntica, espistémica y pragmática.
Además, la lógica se ha conectado con la matemática
en muchas ocasiones, como en la teoría de conjuntos,
la teoría de modelos, la teoría de algoritmos y de
funciones recursivas.
También ha tenido importantes aplicaciones
lingüística, la informática y el desarrollo
inteligencia artificial.
en
de
la
la
3.
LA LÓGICA COMO LENGUAJE FORMAL
*
En la lógica formal se estudian los razonamientos o
argumentos, que están compuestos de premisas y
conclusiones. El lenguaje formal está construido por una serie
de signos convencionales o artificiales. Prescinde del
significado.
*
La lógica simbólica usa la notación matemática para
establecer lo que designan los signos, y lo hace de forma más
precisa y clara que el lenguaje ordinario. Esta lógica es un
metalenguaje.
Tras Russell cabe mencionar a Georg Cantor, gran matemático que destacó por
su teoría sobre el infinito y la teoría de conjuntos.
7
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
4
*
Aunque un lenguaje artificial o simbólico es más preciso y
claro, también es más pobre y no recoge todo lo que el
lenguaje ordinario puede expresar.
*
La moderna lógica simbólica se expresa en forma de cálculo,
esto es, como un sistema de relaciones entre símbolos y
reglas, y se divide en dos ramas principales: la lógica
proposicional o de enunciados, y la lógica de predicados o
cuantificacional.
*
Un lenguaje formal consta de:
1. VARIABLES PROPOSICIONALES: p, q, r, s, etc
2. SÍMBOLOS AUXILIARES: Paréntesis y corchetes.
3. CONECTORES:
Monádicos: Negación:
Diádicos:
Condicional o implicación: →
Conjunción: Λ
Disyunción: V
Bicondicional o coimplicación:
no
si… entonces
y
o
↔
si y sólo si…entonces
4. REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS: por las que se
unen los símbolos con las conectivas. Permiten distinguir
entre frases bien construidas y mal construidas.
5. REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE FÓRMULAS: con las
que se puede calcular o demostrar. Permiten pasar de
unas expresiones a otras, a la manera como permiten
determinadas reglas gramaticales pasar de la forma activa a
la forma pasiva de una oración.
*
En la lógica de predicados se usan también el cuantificador
universal: Λx (Para todo x), y un cuantificador particular:
Vx (Para algún x).
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
5
4.
LA
LÓGICA
AXIOMÁTICO
COMO
SISTEMA
FORMAL
*
El término axioma proviene del griego
, dignidad. Un
axioma es una proposición que, por hallarse al comienzo del
argumento, debe ser considerada verdadera (digna, justa).
*
Suele ser considerado un principio intuitivo y evidente, que
no necesita ser demostrado. Puede ser el fundamento de
una ciencia o el punto de partida de la demostración de
un teorema. Ej.: El todo es mayor que la parte (quinto
axioma común de Euclides).
*
Así, en la lógica y la matemática actuales se distingue entre el
axioma y el teorema; mientras el primero se postula como
verdadero sin precisar ninguna prueba, el segundo es un
enunciado que se acepta una vez que ha sido probado.
4.1. NACIMIENTO Y EVOLUCIÓN DE LOS AXIOMAS
*
Quien primero formuló el análisis de la noción de axioma fue
Aristóteles, que lo definió como: las proposiciones
primeras de las cuales parte la demostración y, en todo
caso, los principios que debe poseer necesariamente el
que quiere aprender algo. Para Aristóteles, el axioma más
evidente es el principio de no contradicción:
¬ (p Λ ¬p)
*
Esta consideración del axioma se mantuvo inmutable hasta la
Modernidad, donde ya se empezó a cuestionar cómo los
conocemos. Los racionalistas, como Descartes decían que
eran ideas innatas en la mente, y los empiristas, como
Locke, que procedían de la experiencia. En lo que todos
coincidían es en que eran proposiciones evidentes.
*
Los axiomas, tras el estudio realizado por Inmanuel Kant,
pasaron a ser denominados proposiciones analíticas, las
cuales eran propias de las ciencias formales (lógica y
matemáticas).
*
Una proposición verdadera en el ámbito de la lógica podría
ser la siguiente:
A→B, B→C 
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
A→C
6
*
Por otro lado, un enunciado como Los triángulos tienen tres
ángulos expresa una verdad matemática.
*
¿Por qué sabemos que esas proposiciones son verdaderas?
Constatamos, en primer lugar, que su verdad se reconoce
sin necesidad de recurrir a ningún hecho de experiencia;
Por eso se dice que las proposiciones analíticas son no
empíricas a priori.
*
Para establecer la verdad de estos enunciados se comprueba si
el concepto que funciona como predicado se deduce del
concepto que funciona como sujeto, si es su consecuencia
lógica. Y ¿cómo se comprueba que el predicado se deriva con
necesidad lógica del sujeto? Verificando si es lógicamente
coherente con él: SI NO LO CONTRADICE. Así, la no
contradicción es la condición necesaria y suficiente de la
verdad de una proposición analítica.
*
Las proposiciones analíticas verdaderas son, en terminología
kantiana, no extensivas, esto es, en ellas los conceptos que
funcionan como predicados aportan una información ya
incluida en los conceptos que funcionan como sujeto. Por
tanto, no amplían nuestra información; se limitan a
establecer relaciones de equivalencia entre conceptos.
*
De este modo, concluimos que la lógica y las matemáticas son
sistemas formales axiomáticos8, es decir, parten de
axiomas para hacer sus cálculos. Esos axiomas deben ser
completos,
consistentes,
fecundos,
coherentes,
independientes, categóricos, pocos y simples.
4.2. LOS LÍMITES DE
AXIOMÁTICOS
LOS
SISTEMAS
FORMALES
*
Hasta aquí hemos visto qué eran los axiomas y cómo fueron
expuestos por Kant, quien los denominó proposiciones
analíticas. El problema que surgió después es que se comprobó
que los sistemas formales axiomáticos de la lógica y las
matemáticas tenían sus límites.
*
En los últimos tiempos, las matemáticas se han enfrentado a la
duda de que se pueda probar la necesidad de sus
demostraciones. Si bien en un principio se pensaba que las
argumentaciones matemáticas eran infalibles, ahora eso ya no
8
El sistema axiomático antiguo más conocido es la geometría euclidiana.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
7
está tan claro. Unos axiomas matemáticos muy célebres
fueron los diez axiomas del matemático griego Euclides
(300 a.C.). Durante mucho tiempo se consideraron válidos,
pero hoy en día algunos de ellos han sido refutados.
*
Como vimos más arriba, el quinto axioma común decía El todo
es mayor que la parte. De aquí se deduce que las partes
nunca son mayores que el todo y que las partes nunca son
iguales al todo. Pero esta última deducción ha sido puesta en
cuestión. Se afirma entonces que sí puede ocurrir que las
partes sean iguales al todo.
*
Ejemplo:
1. Tenemos dos conjuntos:
(números pares).
N
(números
naturales)
y
P
2. P es un subconjunto de N en la medida en que todos los
elementos de P pertenecen a N, pero no todos los
elementos de N pertenecen a P (ningún número impar
pertenece a P). Por tanto, P es una parte de N.
3. Entre P y N podemos establecer una relación que asigne a
cada elemento del conjunto P un único elemento del
conjunto N, y viceversa, a cada elemento de N un único
elemento de P.
4. Luego, P y N tienen el mismo número de elementos.
*
Por otro lado, el quinto axioma propio de Euclides decía Por un
punto exterior a una recta puede trazarse una única
paralela. Pero actualmente hay geometrías no euclidianas
que dicen que se pueden trazar infinitas paralelas y otras que
dicen que no se puede trazar ninguna. ¿Qué geometría es la
mejor?
*
Aún así, a principios del S. XX, los filósofos Bertrand Russell y
Alfred Whitehead intentaron axiomatizar las matemáticas
para demostrar su verdad absoluta. Pero el joven
matemático estadounidense Kart Gödel vio imposible
demostrar la verdad matemática. Su teorema de la
incompletud es considerado el descubrimiento matemático
más importante del siglo XX.
*
El teorema decía: es imposible demostrar que un sistema
es consistente con las herramientas que el propio
sistema nos ofrece. O sea, el sistema no puede demostrarse
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
8
a sí mismo. Habría que recurrir a otro sistema, pero, ¿cómo
sabemos que ese sistema es consistente? Gödel concluyó
que no podemos estar nunca seguros de la consistencia
de un sistema axiomático.
*
Este teorema ha sido un mazazo para las matemáticas, que
hasta ese momento eran tenidas por la ciencia modelo del
saber riguroso. Si ya no es tan modélica, ¿no se relativiza la
separación entre los saberes demostrables, y los no
científicos, en apariencia indemostrables?
4.3. ESTADO ACTUAL DE LA CUESTIÓN
*
Dada la interrelación entre la lógica y las matemáticas (no
olvidemos que los desarrollos lógicos más actuales fueron
hechos por matemáticos), el problema de la no evidencia de
los axiomas alcanzó también a la lógica.
*
Según se piensa actualmente, los axiomas de la lógica no son
ni
verdaderos
ni
falsos;
han
sido
adoptados
convencionalmente como fundamentos o premisas del
discurso lógico.
*
Así, si tradicionalmente un axioma era algo evidente, y un
postulado debía ser demostrado, hoy se usan ambos términos
como sinónimos. ¿Qué actitud cabe adoptar entonces
frente a las ciencias formales?
*
La mejor explicación de cómo funciona la ciencia y de por
qué lo que hoy es verdad mañana puede no serlo, la ofreció el
filósofo de la ciencia Thomas Kuhn. Kuhn expuso que en
ciencia cada época sostiene un paradigma científico. Cuando
ese paradigma da lugar a tantas anomalías que ya no sirve,
aparece otro paradigma mejor que lo sustituye y resuelve
las anomalías. Así, la ciencia funciona a base de revoluciones
científicas.
*
No se trata entonces de que no se pueda hallar la verdad, sino
de cambiar a un enfoque más humilde que nos lleve a
comprender que la aproximación a la verdad es lenta y se va
haciendo poco a poco. Cuando decimos que una teoría científica
es verdadera, se sobreentiende en el estado actual de los
conocimientos científicos.
*
Tampoco hay que dejarse llevar por el catastrofismo, ya que
muchas teorías científicas sí que poseían grandes porciones
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
9
de verdad y servían para resolver los problemas que su
época les planteaba.
*
Pero
como
todo
conocimiento
precisa
mejorar,
la
investigación científica es algo primordial en las sociedades
actuales y debe ser promocionada por los gobiernos para que
toda la humanidad se pueda beneficiar de sus avances.
*
*
*
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA




CORTINA, A y otros.: Ática, filosofía 1º Bachillerato,
Santillana, Madrid, 2000.
FERRATER MORA, J.: Diccionario de filosofía abreviado,
Barcelona, Edhasa, 1976.
GARRIDO, M.: Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1974.
PÉREZ CARRASCO, F. J.: Filosofía 1º Bachillerato, Oxford
Educación, Madrid, 2002.
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