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TEMA 6.
EL CÁLCULO DE PROPOSICIONES Y
DE PREDICADOS
1.
LA LÓGICA
*
Dado que este tema pertenece a la disciplina filosófica
denominada lógica, creemos conveniente hacer una primera
aproximación a esta rama de la filosofía, para después
centrarnos en la cuestión propuesta:
*
El término lógica proviene del griego
, que significa
palabra o tratado. La lógica formal es la TEORÍA FORMAL
DEL RAZONAMIENTO1.
*
En la historia de la filosofía ha cobrado acepciones muy
diversas. Los griegos llamaron lógica a la silogística de
Aristóteles y a la teoría estoica de la proposición (lo que
más tarde se ha llamado lógica formal).
*
Por su parte, Kant llamó lógica trascendental a su crítica
filosófica del conocimiento científico, es decir, a lo que más
bien sería, al menos parcialmente, competencia de la teoría de
la ciencia y de la filosofía de la lógica. Luego Hegel denominó
lógica a la metafísica.
*
La lógica simbólica, lógica matemática o logística es una
nueva denominación de la lógica formal en su actual estado
de desarrollo. Esta lógica consta de:
1. VARIABLES PROPOSICIONALES: p, q, r, s, etc
2. SÍMBOLOS AUXILIARES: Paréntesis y corchetes.
3. CONECTORES:
Monádicos: Negación: ¬
Diádicos:
Condicional o implicación: →
Conjunción: Λ
Disyunción: V
Bicondicional o coimplicación:
1
no
si… entonces
y
o
↔
si y sólo si…entonces
Estudia la forma y la valoración de los argumentos.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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4. REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS: por las que se
unen los símbolos con las conectivas. Permiten distinguir
entre frases bien construidas y mal construidas.
5. REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE FÓRMULAS: con las
que se puede calcular o demostrar. Permiten pasar de
unas expresiones a otras, a la manera como permiten
determinadas reglas gramaticales pasar de la forma activa a
la forma pasiva de una oración.
*
En la lógica de predicados se usan también el cuantificador
universal: Λx (Para todo x), y un cuantificador particular:
Vx (Para algún x).
2.
HISTORIA DE LA LÓGICA
*
La lógica formal nació hace 2500 años, cuando Aristóteles y
los estoicos se interesaron por la construcción y el análisis
de esquemas de argumentos. Desde entonces, salvo las
contribuciones realizadas durante la Edad Media, la lógica no
ha experimentado grandes desarrollos hasta mediados
del siglo XIX.
*
La clave de este progreso se halla en las revolucionarias
aportaciones del inglés Boole (hacia la mitad del siglo XX) y
del alemán Frege (último tercio del XIX) relativas a lo que
suele denominarse la matematización de la lógica2. Para
ello, se construyeron un lenguaje simbólico y unas reglas de
operación. Veamos cómo fue evolucionando la lógica:
*
Antes de entrar en Aristóteles, recordamos que Zenón de Elea
era famoso por sus paradojas y que fue un genio del arte del
razonamiento dialéctico3, en el que también descollaron
Sócrates y Platón. Por otra parte, los sofistas eran muy
solicitados como maestros de retórica.
Por matematización se entiende en metodología científica la subordinación de
una ciencia al método de la matemática. De las ventajas inherentes a la
matematización es claro ejemplo la física, que comenzó a marchar por el camino
seguro del progreso científico desde que, en el siglo XVII, Galileo la sometió al
rigor del método matemático.
2
La dialéctica es la lógica de la opinión. A ella se opone la analítica
(inaugurada por Aristóteles), que es la lógica de la argumentación rigurosa.
Aristóteles llamó a dos de sus obras Primeros Analíticos y Segundos Analíticos.
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CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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1.
ARISTÓTELES: señalaremos que además de una
completa doctrina silogística4 y de varios trabajos
de lógica inductiva, realizó teorías metodológicas.
Además, el Estagirita inventó la lógica modal5. Para
Aristóteles, la lógica era una introducción a toda
investigación científica y un análisis de los principios
en los que se halla articulada la realidad. La lógica
Aristotélica fue la lógica por antonomasia durante mucho
tiempo.
2.
ESTOICISMO: es principalmente una lógica de las
proposiciones. El lógivco estoico más famoso fue
Crisipo. Tenían un sistema deductivo basado en cinco
reglas de inferencia. También dilucidaron cuestiones
semánticas. Estudiaron paradojas6 muy famosas en
toda la historia de la filosofía.
3.
MEDIEVO, SIGLOS XII – XV: los Padres de la Iglesia se
ocuparon de cuestiones gramáticas que les permitiesen
interpretar las Escrituras. Así surgieron nuevos
campos de estudio: los términos sincategoremáticos,
las propiedades de los términos, los insolubles, la
obligación
y
las
consecuencias.
También
hubo
numerosos estudios de filosofía del lenguaje. Para
los escolásticos, la lógica era la ciencia de juzgar
rectamente. Cabe destacar a Pedro Hispano y a
Guillermo de Occam. En España sobresalió Raimundo
Lulio con su Ars Magna.
4.
LÓGICA MODERNA: estuvo más centrada en la
dialéctica y la retórica. Destacan en este período la
lógica inductiva de Bacon, los estudios de la Lógica de
Port-Royal sobre los términos generales, la obra de
Kant y los estudios lógicos de John Stuart Mill.
En el silogismo, a partir de dos premisas se deriva una conclusión.
La lógica modal analiza proposiciones a las que se antepone cualquiera de las
cuatro partículas modales: posible (p. Ej. Es posible que haya seres inteligentes
en otros lugares del universo), necesario (p. Ej. Es necesario que dos y dos sean
cuatro), imposible (p. Ej. Es imposible que un círculo sea cuadrado) y
contingente (p. Ej. Es contingente que el equipo A gane al equipo B).
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Una de ellas era la siguiente: Si miento y digo que miento, ¿miento o digo la
verdad? La tradición cuenta que Teofrasto, discípulo de Aristóteles, escribió tres
libros sobre el tema y Crisipo más de veinte, y que al lógico Filitas de Cos la
investigación de aquel enigma le costó la muerte por extenuación.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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5.
LEIBNIZ: precursor de la lógica matemática.
También expuso que sería adecuado usar símbolos para
la lógica y cálculos similares a los matemáticos.
6.
BOOLE: en 1854 este inglés publicó Las leyes del
pensamiento. Desarrolló un álgebra lógica según la
cual
las
proposiciones
categóricas
podrían
ser
convertidas en ecuaciones.
7.
FREGE: en 1879 este alemán publicó Conceptografía.
Con el tiempo, sustituyó a Aristóteles como la autoridad
lógica más importante. Fue el inventor del lenguaje
artificial y de la teoría de la cuantificación, lo que
aportó claridad a la lógica.
8.
GIUSEPPE PEANO: matemático italiano que hizo los
primeros avances en lógica matemática al intentar crear
una interlingua y elaborar un sistema de signos. Su
sabiduría impresionó a Russell.
9.
RUSSELL: Descubrió, muy a su pesar, la paradoja de
las clases, que en palabras de Frege hacía
tambalearse a la aritmética. Russell ideó la teoría de
tipos para contrarrestrarla, aunque terminó por dejar la
lógica y dedicarse a la política7.
10.
WITTGENSTEIN: El Tractatus logico-philosophicus
ocupa un lugar propio en la historia de la lógica. Hizo
críticas a las teorías de su maestro Russell y dijo que la
lógica no dice nada sobre el mundo y que a las
palabras lógicas no les corresponde ningún contenido
real.
11.
ÚLTIMOS DESARROLLOS: De entre todos ellos
señalaremos las contribuciones de Kurt Gödel y su
teorema de la incompletud de la aritmética, Alan M.
Turing y la teoría de la computación , Alfred Tarski y
el desarrollo de la semántica.
Han surgido además lógicas no clásicas: modal,
polivalente,
libre,
intuicionista,
dialógica,
combinatoria, deóntica, espistémica y pragmática.
Además, la lógica se ha conectado con la matemática
en muchas ocasiones, como en la teoría de conjuntos,
Tras Russell cabe mencionar a Georg Cantor, gran matemático que destacó por
su teoría sobre el infinito y la teoría de conjuntos.
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CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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la teoría de modelos, la teoría de algoritmos y de
funciones recursivas.
También ha tenido importantes aplicaciones
lingüística, la informática y el desarrollo
inteligencia artificial.
en
de
la
la
3.
LA LÓGICA COMO LENGUAJE FORMAL
*
En la lógica formal se estudian los razonamientos o
argumentos, que están compuestos de premisas y
conclusiones. El lenguaje formal está construido por una serie
de signos convencionales o artificiales. Prescinde del
significado.
*
La lógica simbólica usa la notación matemática para
establecer lo que designan los signos, y lo hace de forma más
precisa y clara que el lenguaje ordinario. Esta lógica es un
metalenguaje.
*
Aunque un lenguaje artificial o simbólico es más preciso y
claro, también es más pobre y no recoge todo lo que el
lenguaje ordinario puede expresar.
*
Como se dijo anteriormente, un lenguaje formal consta de los
siguientes elementos: variables proposicionales, símbolos
auxiliares, conectores, reglas de formación de fórmulas y reglas
de transformación de fórmulas.
4.
CÁLCULO DE PROPOSICIONES Y DE PREDICADOS
*
La moderna lógica simbólica se expresa en forma de cálculo,
esto es, como un sistema de relaciones entre símbolos y
reglas, y se divide en dos ramas principales: la lógica
proposicional o de enunciados, y la lógica cuantificacional
o de predicados.
4.1. CÁLCULO DE PROPOSICIONES
*
La lógica proposicional o de enunciados estudia los
argumentos sin tomar en consideración el contenido de las
proposiciones.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
5
*
Un enunciado o proposición es cualquier oración
declarativa que tiene un sentido completo y que es susceptible
de ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.
*
Las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares. Las
atómicas constan de sujeto y predicado y no pueden ser
descompuestas en otras más simples. Ej. Pepe es alto. Las
moleculares pueden descomponerse en atómicas.
Ej. Pepe y Juan son altos (p Λ q): Pepe es alto (p). Juan es alto
(q).
*
La lógica proposicional usa los elementos expuestos más
arriba:
valores
proposicionales,
símbolos
auxiliares,
conectores, reglas de formación de fórmulas y reglas de
transformación de fórmulas.
*
Los símbolos lógicos tienen un significado que recoge alguna
de las formas de argumentación empleadas en el lenguaje
natural, poseen valor de verdad y son introducidos y
eliminados mediante unas reglas que establecen su empleo
correcto, son las reglas básicas de cálculo de juntores.
Además, hay leyes o teoremas lógicos, como son: el modus
ponens, el modus tollens, la ley de identidad, la de doble
negación, el tercio excluso, las leyes de Morgan, etc.
*
Veamos un ejemplo de cálculo de proposiciones:
Si alguien sabe filosofía, es una persona inteligente.
Si una persona es inteligente, entonces calla sobre aquello que
no sabe.
Por tanto, si alguien sabe filosofía, calla sobre aquello que no
sabe.
El argumento anterior está formado por tres proposiciones
diferentes:
p = saber filosofía
q = ser una persona inteligente
r = callar sobre lo que no se sabe
que se representaría así:
*
8
[(pq) Λ (qr)]  (pr)
Para ver si una argumentación es correcta, se suele realizar una
tabla de verdad8, cuando es correcta se llama tautología. Al
resolver la tabla, puede ocurrir que todos sus valores sean
Ver la tabla de verdad del ejemplo al final del tema.
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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falsos, entonces será una contradicción, o que sean unos
verdaderos y otros falsos, lo que es una indeterminación.
*
Es conveniente recordar que las tablas de verdad analizan el
valor de verdad del argumento a partir del valor de verdad de
las premisas, pero independientemente del contenido
concreto de las proposiciones incluidas. Esto puede dar
lugar a que sea verdadero lógicamente aunque sus
proposiciones no tengan relación.
Ej: Dos proposiciones V:
Me llamo Concepción (p)
Gijón está en España (q)
p → q:
Si me llamo Concepción, Gijón está en España.
4.2. CÁLCULO DE PREDICADOS
*
La lógica cuantificacional o de predicados se ocupa del
análisis de argumentos que envuelven el uso de las partículas
todo o alguno. (Para usarla es necesario conocer antes la
lógica de enunciados). El desarrollo inicial de la lógica de
predicados se encuentra en la silogística aristotélica. La
primera formalización completa de la misma se debe a Frege.
*
La lógica cuantificacional tiene en cuenta la relación
estructural entre el sujeto y el predicado de las
proposiciones, relación que analiza desde el punto de vista
intencional, esto es, en la medida en que se predican
cualidades de un sujeto.
*
Los símbolos formales de las partículas todo y alguno se
llaman cuantificadores o cuantores y son dos: el universal
y el particular9.
*
Ej.1.: La proposición Todos los hombres son implumes
podría representarse de este modo:
Λx HxIx
donde Hx equivale a ser hombre, e Ix a ser implume, y que se
lee: Para todo x, si x es hombre, entonces x es implume.
El universal positivo es todos, el negativo es ninguno. El particular positivo es
alguno y el negativo alguno no. Para los ejemplos propuestos: Λx Hx → −Ix
(Ningún hombre es implume) y Vx Cx → −Kx
(Alguna chica no es
karateka).
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CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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*
Ej.2.: La proposición Alguna chica es karateka podría
representarse de este modo:
Vx CxKx
donde Cx equivale a ser chica, y Kx a ser karateka, y que se
lee: Hay al menos un x, tal que x es karateka.
*
Las operaciones de cálculo cuantificacional se reducen a:
1.
abrir
las
fórmulas
cerradas
por
cuantificadores,
suprimiendo o desmontando provisionalmente éstos.
2.
aplicar las técnicas de lógica de conectores a las
fórmulas resultantes; y
3. restituir o reponer al término de las operaciones los
cuantificadores que se habían suprimido.
*
Para ello hay diferentes reglas, como las de introducción y
eliminación del universal y del particular.
*
Esta lógica también reconoce relaciones de equivalencia (4
es igual a 2 más 2), identidad (2 es igual a 2) y pertenencia
(2 pertenece N).
5.
CONCLUSIÓN
*
En este tema hemos estudiado qué es la lógica, algunos
apuntes acerca de cómo se desarrolló históricamente y los
dos tipos principales de lógica: la de proposiciones y la de
predicados. Así hemos podido comprobar la suma importancia
que tiene conocer esta disciplina filosófica.
*
Si el argumento es un utensilio al que constantemente se
recurre en el discurso de la vida ordinaria, en las controversias
políticas y en las pruebas científicas, parece que tiene interés y
sentido la tarea de estudiar los diferentes tipos de esquemas
o patrones de confección de tales utensilios, llevando a cabo
un inventario de formas o figuras abstractas de
razonamiento y proceder al análisis y clasificación de ellas.
*
Es de máxima importancia que el alumnado aprenda a razonar
y a argumentar correctamente para que así podamos
CONCEPCIÓN PÉREZ GARCÍA
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conseguir una ciudadanía que sea capaz de pensar por sí
misma y de dialogar inteligentemente.
ANEXO: TABLA DE VERDAD DEL EJEMPLO
*
p q r [(p → q) Λ (q → r)] → (p → r)
→
(p →r)
VVV
VVF
VFV
VFF
FVV
FVF
FFV
FFF
V
V
V
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V
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V
V
Esta tabla de verdad es una tautología, el razonamiento es
formalmente válido.
*
*
*
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA




CORTINA, A y otros.: Ática, filosofía 1º Bachillerato,
Santillana, Madrid, 2000.
FERRATER MORA, J.: Diccionario de filosofía abreviado,
Barcelona, Edhasa, 1976.
GARRIDO, M.: Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1974.
PÉREZ CARRASCO, F. J.: Filosofía 1º Bachillerato, Oxford
Educación, Madrid, 2002.
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