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EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS
P. Reyes / Sept. 2007
DISEÑOS FACTORIALES
FRACCIONALES
Primitivo Reyes Aguilar
Septiembre 2007
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EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS
CONTENIDO
1. concepto de replicación fraccionada
2. Fracción un medio del diseño 2k
3. Resolución del diseño
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EXPERIMENTOS FACTORIALES 2K FRACCIONADOS
P. Reyes / Sept. 2007
1. Concepto de replicación fraccionada
Conforme el número de factores del experimento crece, el número de
casillas o condiciones experimentales (y por lo tanto el número de
lecturas o pruebas necesarias), crece exponencialmente en un
experimento factorial. El número de efectos a evaluar (interacciones
principalmente) crece exponencialmente también.
El número de
efectos y casillas varía con el número de factores en una relación como
se muestra en la tabla siguiente para un experimento factorial 2k.
No. De
No. De
Efectos
Interacciones entre factores de
factores
casillas
principales
4
16
4
6
4
1
5
32
5
10
10
5
1
6
64
6
15
20
15
6
1
7
128
7
21
35
35
27
7
1
8
256
8
28
58
70
56
28
8
1
3
4
5
6
7
8
1
Así por ejemplo cuando se tienen siete factores, existen 128 posibles
condiciones experimentales, lo que implica que al hacer una
replicación por celda de todo el experimento requiere un total de 128
observaciones. Si se decide tomar dos replicas por celda, entonces
serian necesarias 256 observaciones, lo cual es una cantidad excesiva
de pruebas para fines prácticos.
Por otro lado, se necesitan 128 observaciones para un experimento con
7 factores por que se deben evaluar 127 posibles efectos (que son los
grados de libertad totales en 128 observaciones) de estos efectos 7 son
los factores principales, 21 interacciones de 2 factores, 35 de tres, 35 de
cuatro, 27 de cinco en cinco, 7 de seis en seis y una interacción de 7
factores. En general el número de interacciones de k factores tomados r
en r es:
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K!
r! (k  r)!
El concepto de replicación fraccionada parte de las siguientes hipótesis:
1. Las interacciones de tres o más factores son sumamente raras en
la práctica, por lo que en general se pueden suponer como no
existentes.
2. En un experimento de varios factores lo más probable es que solo
algunos de ellos sean relevantes para la variable de respuesta.
3. La mayor parte del efecto se debe a los factores principales y
algunas interacciones de dos factores.
Lo anterior implica que por ejemplo para siete factores son necesarios
probablemente solo 28 grados de libertad (7 factores principales y 21
interacciones de dos factores), y esto equivale a solo 29 unidades de
información y no 128 como en el experimento original. Esto quiere decir
que no es necesario el correr una replicación completa de todo el
experimento cuando el número de factores crece, sino solamente
algunas casillas o condiciones experimentales.
Cuando solamente una parte de las posibles casillas se prueban, se dice
que se tiene una replicación fraccionada del experimento.
Las preguntas que surgen son:
1. ¿Cuántas y cuales casillas probar?
2. ¿Cómo analizar los resultados?
3. ¿Qué información se pierde?
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El responder a estas preguntas es uno de los objetivos de la replicación
fraccionaria.
2. Fracción un medio del diseño 2k
Considérese el caso en el que se estudian tres factores de dos niveles
cada uno, pero en el que los experimentadores no pueden costear las
23 = 8 combinaciones de tratamientos, sin embargo, si se puede costear
4 observaciones. Esto sugiere una fracción un medio, de un diseño 23. la
fracción un medio del diseño 23 se conoce también como un diseño 23-1
por que tiene 23-1 = 4 combinaciones de tratamiento.
En la tabla 1 aparecen signos positivos y negativos del diseño 23.
Supóngase que para componer la fracción un medio, se seleccionan
las combinaciones de tratamientos se usa indistintamente la notación
convencional (a,b,c,...) y la de signos positivos y negativos. La
equivalencia de las dos notaciones se muestra a continuación.
Notación 1 Notación 2
a
+ - -
b
- + -
c
- - +
abc
+ + +
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Combinación de
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Efecto factorial
Tratamientos
I
A B C AB AC BC ABC
a
+ + - - -
-
+ +
b
+ - + - -
+
-
+
c
+ - - + + -
-
+
abc
+ + + + + +
+ +
ab
+ + + - + -
-
-
ac
+ + - + -
+
-
-
bc
+ - + + -
-
+ -
(1)
+ - - - + +
+ -
Tabla 1 Signos positivos para el diseño 23
Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar solo las combinaciones
de tratamientos que producen un signo positivo sobre la columna ABC.
Por esto ABC se denomina generador de una fracción particular.
Además, la columna identidad I siempre es positiva, por lo cual:
I = ABC
Se denominara relación definitoria de nuestro diseño, en general, la
relación definitoria de un factorial fraccionario siempre es el conjunto de
todas las columnas que son iguales a la columna identidad I.
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abc
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bc
c
ac
b
C
ab
B
A
a
(1 )
(b) Fracción alterna I = -ABC
(a) Fracción principal I = ABC
Las combinaciones de tratamientos del diseño 23-1 producen 3 G.L. que
pueden usase para estimar los efectos principales. En la tabla 1 se
muestra que las combinaciones lineales de las observaciones que se
utilizan para estimar los efectos principales A, B, y C son:
LA  1/2(a  b  c  abc)
LB  1/2(  a  b  c  abc)
LC  1/2(  a  b  c  abc)
LBC  1/2(a  b  c  abc)
LAC  1/2(  a  b  c  abc)
LAB  1/2(  a  b  c  abc)
Por lo tanto LA = LBC, LB = LAC y LC = LAB. En consecuencia, es
imposible distinguir entre A y BC, entre B y AC y entre C y AB. De hecho,
es posible mostrar que cuando se estima A, B y C, en realidad, lo que sé
esta haciendo es estimar A + BC, CB + AC y C + AB, respectivamente.
Dos o más efectos que tienen esta propiedad se conoce como alias. En
este ejemplo, A y BC, B y AC y C y AB son alias. Esto se indica
empleando la notación:
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LA  A  BC,
LB  B  AC
LC  C  AB
La estructura de los alias de este diseño pueden determinarse
fácilmente con la relación I = ABC, multiplicando cualquier efecto por la
relación que define al diseño, modulo 2, da como resultado los alias de
dicho efecto. En el ejemplo anterior, los alias son:
A*I = A*ABC = A2BC
O dado que el cuadrado de cualquier columna es simplemente la
identidad I.
A = BC
De modo similar, se encuentra que los alias de B y C son:
B*I = B*ABC = AB2C = AC
C*I = C*ABC = ABC2 = AB
Esta fracción un medio o semifracción, con I = +ABC, suele llamarse
fracción principal.
Ahora supóngase que se eligió la otra mitad de la replica. Esta se
compone de las combinaciones de tratamientos de la tabla 1 que tiene
signo negativo asociado con ABC. Esta fracción un medio o alterna que
consta de las siguientes corridas:
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Notación 1 Notación 2
(1)
---
ab
++-
ac
+-+
abc
-++
La relación definitoria de este diseño es:
I = -ABC
Usando la
fracción
alterna,
las
combinaciones
lineales
de las
observaciones, L’A, L’B y L’C, son:
L' A  A  BC
L' B  B  AC
L' C  C  AB
Por lo tanto, en realidad sé esta estimando A – BC, B – AC y C – AB al
estimar A, B y C con esta fracción. En la practica, no importa cual de las
dos fracciones se utilice. Generalmente la fracción asociada con I =
+ABC se denomina fracción principal. Ambas fracciones pertenecen a
la misma familia; en otras palabras, estas dos fracciones forman el
diseño 23 completo.
Supóngase que después de recopilar una de las fracciones de un medio
del diseño 23, también se recopila la otra fracción. Por lo tanto, están
disponibles los 8 ensayos asociados con el diseño completo 23 en este
caso pueden obtenerse las estimaciones de todos los efectos, sin los
alias, analizando los 8 ensayos en un diseño 23 completo con dos
bloques de cuatro ensayos cada uno. Esto también se logra sumando y
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restando la combinación lineal a los efectos de las dos fracciones
individuales. Por ejemplo, considérese: LA  A  BC y L' A  A  BC
esto implica que:
1/2(LA  L' A)  1/2(A  BC  A  BC)  A
1/2(LA  L' A)  1/2(A  BC  A  BC)  BC
por lo tanto usando los tres pares de combinaciones lineales se obtiene
lo siguiente:
i
De ½(Li+L’i)
De ½(Li-L’i)
A
A
BC
B
B
AC
C
C
AB
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Resolución del diseño
El diseño anterior 23-1 se conoce como diseño de resolución III. En tal
diseño los alias de los efectos principales son interacciones de dos
factores. Un diseño es resolución R si ningún efecto de p factores es alias
de otro efecto que tenga menos R – p factores. Usualmente, se emplea
el numeral romano como subíndice para indicar la resolución del
diseño. Así, la fracción un medio del diseño 23 definido por la relación I =
ABC (o bien I = - ABC) constituye un diseño
3 1
2III
.
Los diseños de resolución III, IV y V son de importancia primordial. A
continuación, se presenta la definición de estos diseños junto con un
ejemplo.
1.
Diseño con resolución III: éstos son diseños en los que ningún efecto
principal es alias de otro, pero si lo son de las interacciones de dos
factores; a su vez, estas últimas son alias entre sí. El diseño 23-1 de la
tabla 4.1 es de resolución III.
2.
Diseño con resolución IV: En estos diseño ningún efecto principal es
alias de otro efecto principal, o bien, de alguna interacción de dos
factores. Las interacciones de dos factores son “alias” entre sí. Un
4 1
diseño 24-1 con I = ABCD es de resolución IV ( 2IV
).
3.
Diseños resolución V: Estos son diseños en los que ningún efecto
principal o interacción de dos factores es alias de ningún efecto
principal o interacciones entre dos factores, un diseño 25-1 con I =
ABCDE es de resolución V ( 2 5V1 ).
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En general, la resolución de un diseño factorial fraccionario de dos
niveles es igual al mínimo número de letras de cualquier palabra de la
relación que define al diseño. En consecuencia, los diseños anteriores, a
menudo, se conocen como diseños de 3, 4 y 5 letras, respectivamente.
Por lo general se deben usar diseños fraccionarios con la mayor
resolución posible congruentes con el fraccionamiento requerido. A
mayor resolución, las suposiciones relativas a las interacciones que
deben despreciarse con el propósito de hacer una interpretación única
de los datos son menos restrictivas.
Construcción de Fracciones Un Medio
Es posible construir una fracción un medio de mayor resolución, de un
diseño 2k, escribiendo primero las combinaciones de tratamientos del
diseño
2k-l
completo
y
agregando
después
el
k-ésimo
factor
identificando sus niveles positivos y negativos mediante los signos
positivos y negativos de la interacción de mayor orden ABC..( k -1 ). Por
3 1
lo tanto, el diseño factorial fraccionario 2III
se obtiene escribiendo el
diseño 22 completo e igualando después el factor C con la interacción
AB. La fracción alterna se obtiene igualando el factor C con la
interacción -AB. Este enfoque aparece en la Tabla 4.2. Obsérvese que el
diseño básico siempre tiene el número correcto de corridas (renglones),
pero que falta una columna. Entonces, en el generador I = ABC ...K se
despeja la columna faltante (K), de modo que K = ABC...(K- 1) define el
producto de signos más y menos por usar en cada renglón a fin de
producir los niveles para el k-ésimo factor.
Nótese que cualquier efecto de interacción puede usarse para generar
la columna del k-ésimo factor. Sin embargo, si no se utiliza el efecto
ABC... (k- 1) no se produce el diseño de mayor o más alta resolución.
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Otra manera de interpretar la construcción de una fracción un medio
del diseño consiste en , ( asignar los ensayos a dos bloques,
confundiendo la interacción de mayor orden ABC ...K. Cada bloque de
2k
-1
ensayos es un diseño factorial fraccionario 2k-
1
de máxima
resolución.
Factorial 22
Corrida
Completa
3 1
2III
3 1
, I = ABC 2III
, I = -ABC
(diseño básico)
A
B
A B C=AB A B C=-AB
1
-
-
-
- +
2
+
-
+ - -
+ - +
3
-
+
-
-
4
+
+
+ + +
+ -
-
- -
+ +
+ + -
Tabla 4.2 Las dos fracciones un medio del diseño
Proyección de Fracciones en Diseños Factoriales
Cualquier diseño factorial fraccionario de resolución R contiene diseños
factoriales completos (o posiblemente réplicas de diseños factoriales)
de cualquier subconjunto de R- 1 factores. Este concepto es muy
importante y útil.
Por ejemplo, si un experimentador tiene varios factores de posible
interés, pero considera que sólo R -1 de ellos tienen efectos importantes,
la elección de un diseño factorial fraccionario de resolución R resulta
apropiada. Si el experimentador está en lo correcto, el diseño factorial
fraccionario de resolución R se proyectará en un diseño factorial
completo de los R -1 efectos significativos. En la Fig. 1 se presenta este
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proceso para un diseño
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3 1
2III que se proyecta en un diseño 22 en cada
subconjunto de dos factores.
Ya que la resolución máxima de una fracción un medio de un diseño 2k
es R - k, todo diseño 2k- 1 se proyectará en un diseño factorial completo
de cualquiera de los (k -1) factores originales, Además un diseño 2k -1 se
proyecta en dos réplicas de un diseño factorial completo de cualquier
subconjunto de k -2 factores, cuatro réplicas de un diseño factorial
completo se proyectan en cualquier subconjunto de k -3 factores, y así
sucesivamente.
B
b
c
.
.
abc
.
A
a
C
3 1
Figura 1. Proyección de un diseño 2III
en tres diseños 22
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