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INSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO RAFAEL CONTRERAS NAVARRO OCAÑA
AREA: MATEMÁTICAS – ASIGNATURA: ÁLGEBRA – GRADO: NOVENO
Esp. HENRY CARRASCAL C.
TEMA: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales, tales como: 9x – 4 = 32; 5(2 – y) = 3(y –
2). Ahora estudiaremos otro tipo de ecuación, ecuaciones de segundo grado también conocida
por ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación de la
forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 – 9 = 0; x2 – x – 12 = 0; 2x2 – 3x – 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término
x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método
apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va
a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada y la
fórmula cuadrática.
Factorización: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego
expresar el lado que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada
factor y se despeja para la variable.
Ejemplos para discusión:
1) x2 – 4x = 0
2) x2 – 4x = 12
3) 12x2 – 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método
está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.
Raíz cuadrada: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real a, la ecuación x2 = a es equivalente a:
Ejemplos para discusión:
1) x2 – 9 = 0
2) 2x2 – 2 = 0
3) x2 + 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 con a diferente de cero está dada por la
fórmula cuadrática:
La expresión b2 – 4ac conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones
que tiene la ecuación cuadrática. La tabla a continuación muestra la información del número de
soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
b2 – 4ac
positivo
cero
negativo
Tipo de solución
dos soluciones reales
una solución real
dos soluciones imaginarias
Ejemplos para discusión:
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 – 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática.
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones por el método indicado:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
x2 – x – 20 = 0
2x2 + 5x – 3 = 0
x2 – 18 = 0
x2 + 16 = 0
x2 + 7x + 4 = 0
9x2 + 6x = 1
(factorización)
(factorización)
(raíz cuadrada)
(raíz cuadrada)
(formula cuadrática)
(fórmula cuadrática)