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Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas
Elementos de una expresión algebraica
Ejemplos
Valor numérico de una expresión algebraica
Utilidad de una expresión algebraica
Números de cualquier tipo
Letras
Signos
de
operación:
sumas,
restas,
multiplicaciones y divisiones
a+1
21a + 4b
2x − 6y + z
Se halla sustituyendo sus letras por números y
obteniendo su resultado. El valor numérico de una
expresión algébrica depende de los valores
concretos que reciban las letras.
Por ejemplo, el valor numérico de la expresión
algebraica 4x – 2y + 6, cuando x = 5 e y = 2, es 4 · 5
– 2 · 2 + 6 = 22.
Simplificar una situación real en la que se han de
realizar operaciones entre cantidades conocidas y
cantidades desconocidas.
Igualdad entre expresiones algebraicas
Elementos de una igualdad
Ejemplos
Dos
expresiones
algebraicas,
denominadas
miembros.
Un signo igual, =, interpuesto entre ambas.
2a + 3 = 3
3a − 2b = a − c + 2
Tipos de igualdades
Verdadera: si la expresión algebraica del miembro
de la izquierda puede convertirse en la del de la
derecha, aplicando las propiedades de las
operaciones. Por ejemplo:
a – 4b – 2a + 5a – b = 4a – 5b
Falsa: si la expresión algebraica del miembro de la
izquierda no puede convertirse en la del de la
derecha. Por ejemplo:
4a – 5b + 2 = 4a – 5b + 7
Ecuaciones
Definición
Solución de una ecuación
Ecuaciones equivalentes
Igualdades
entre
expresiones
algebraicas,
especialmente aquellas cuya falsedad o certeza no
pueden establecerse fácilmente.
Valores numéricos que transforman la ecuación en
una igualdad entre expresiones numéricas
verdadera. Por ejemplo, si se sustituyen las
incógnitas de 2x + 4y – 5 = 4x – 5y, por 2 en el caso
de la x, y por 1 en el caso de la y, obtendremos 2 · 2
+ 4 · 1 – 5 = 4 · 2 – 5 · 1, y ambos miembros
resultan 3.
Ecuaciones que tienen exactamente las mismas
soluciones.
Propiedades de las expresiones algebraicas
Propiedades de la suma
El resultado de sumar dos números en cualquier
orden es siempre el mismo:
a+b=b+a
Si se suman tres números cualquiera, pueden
agruparse como se desee:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
El elemento neutro de la suma de números es el 0,
ya que si se suma este número a cualquier otro
número, el resultado es el mismo número:
a+0=a
El elemento opuesto de c es −c, ya que c + (−c) = 0
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Elemento neutro de la suma
Elemento opuesto
Propiedades de la multiplicación
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Elemento neutro de la multiplicación
Elemento inverso
Dos números pueden multiplicarse en cualquier
orden, y el resultado siempre es el mismo:
a·b=b·a
Si se multiplican tres números cualquiera, se
pueden agrupar como se desee, porque el resultado
siempre es el mismo:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya
que si se multiplica cualquier número por 1, el
resultado siempre es el mismo número inicial:
a·1=a
El elemento inverso de un número cualquiera (que
no sea 0) es aquel número que multiplicado con
éste da 1 (el elemento neutro de la multiplicación):
el elemento inverso de c es (1/c), ya que c · (1/c) =
=1
Propiedad distributiva de la suma respecto del producto
a · (b + c) = a · b + a · c
La resta y la división
La resta
La división
Las propiedades de la resta son semejantes a las de
la suma, sólo debe recordarse que la resta es la
suma con el opuesto:
a – b = a + (–b)
Las propiedades de la división son semejantes a las
de la multiplicación; sólo debe recordarse que la
división es una multiplicación por el inverso
(siendo b ≠ 0):
a
1
= a×
b
b
La aplicación de las propiedades
Utilidad
Ejemplo
Se utilizan para simplificar expresiones algebraicas.
Aplicando las propiedades de las operaciones,
puede llegarse a la conclusión de que:
a − 4b − 2a + 5a −b es igual a 4a − 5b
¿Qué es una expresión algebraica y cuál es su utilidad?
Una expresión algebraica contiene números, letras y signos de operación.
Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran
números, y por ello pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse,
siguiendo las mismas reglas que los números. Las expresiones algebraicas
permiten expresar operaciones entre cantidades desconocidas, sustituyendo
el valor desconocido por una letra.
Al igual que una expresión numérica, una expresión algebraica contiene números y
signos de operación entre ellos. Ahora bien, una expresión algebraica también
introduce letras, que operan entre sí o con otros números. Un ejemplo de expresión
algebraica es:
a2 – 3 · c + 5 · d – 7 · a · y
Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números: se
pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, cumpliendo, como veremos, las mismas
propiedades de las operaciones entre números.
Las expresiones algebraicas se pueden usar en problemas reales, en los que se
desconoce el valor de algún elemento. Así, por ejemplo, si una persona va de
compras y adquiere 3 Kg de limones a 1,09 € el Kg, y 2 Kg de patatas a 0,78 € el Kg,
para calcular el valor de la compra, es evidente que debe hacerse:
3 · 1,09 + 2 · 0,78
Ahora bien, si no se supiera el valor del Kg de limones, ni el valor del Kg de patatas,
podría asociarse cada valor a una letra (siempre que sea posible, relacionada con el
nombre; por ejemplo, l para los limones, y p para las patatas); el valor de la compra
sería igual a:
3·l+2·p
Esta expresión algebraica permite calcular el valor de la compra en el momento en el
que se conozcan los precios de los limones y de las patatas, sustituyendo las dos
letras por sus valores reales. Normalmente, al multiplicar un número por una letra no
se pone el signo de multiplicación, sino que se sobreentiende que se trata de un
producto, de manera que la expresión algebraica anterior también puede escribirse
como:
2l + 3p
Las letras de una expresión algebraica también pueden sustituirse por números. Por
ejemplo, en la expresión algebraica 4x – 2y + 6 se puede sustituir la letra x por el
valor 3, y la letra y, por el valor 4. En este caso, la expresión algebraica se
transformaría en:
4·3 − 2·4 + 6
↑
y
x↑
El valor numérico de la expresión algebraica 4x – 2y + 6 cuando la x es 3 e y es 4, es
igual a 4 · 3 – 2 · 4 + 6, es decir, es igual a 10. En definitiva, un valor numérico de
una expresión algebraica se halla sustituyendo sus letras por números y hallando su
resultado. Es evidente que el valor numérico de una expresión algébrica depende de
los valores concretos que reciban las letras. Así, por ejemplo, la expresión algebraica
anterior, 4x – 2y + 6
cuando x = 5 e y = 2, su valor numérico es igual a 4 · 5 – 2 · 2 + 6 = 22
cuando x = –3 e y = –1, su valor numérico es igual a 4 · (–3) – 2 · (–1) + 6 = –4
cuando x = –2 e y = 5, su valor numérico es igual a 4 · (–2) – 2 · 5 + 6 = –12
1
¿Cuáles son los elementos básicos y las propiedades de las
expresiones algebraicas?
Los sumandos de una expresión algebraica se denominan términos y cada
letra se denomina variable. Una expresión algebraica puede convertirse en
otra equivalente aplicando las propiedades de las operaciones entre letras y
números, que son las mismas que las propiedades de las operaciones entre
números reales.
Una expresión algebraica está formada por varias sumas (es sabido que las restas son
sumas con el opuesto) de ciertos productos mixtos (o, incluso, divisiones, aunque,
por el momento, no se utilizarán divisiones con denominadores que contengan letras)
de números y letras. Cada uno de los sumandos se denomina término. Por ejemplo:
a – 3 c + 2d – 5ax
tiene 4 términos: a, –3c, 2d y, el último, –5ax, y las variables son a, c, d, x. Como
puede observarse, los signos de multiplicación, · ó ×, se pueden eliminar entre
variables o entre números y variables.
Las propiedades de la suma y la multiplicación de números y letras son las
propiedades conocidas de las operaciones entre números reales:
• Elemento neutro de la suma: el 0 es el elemento neutro de la suma porque
sumado a cualquier otro símbolo o número no lo modifica:
a+0=0+a=a
• Elemento neutro del producto: el 1 es el elemento neutro del producto porque
multiplicado a cualquier otro símbolo o número no lo modifica:
a·1=1·a=a
• –a es el opuesto de a porque sumados el resultado es el elemento neutro de la
suma:
a + (–a) = (–a) + a = 0
• 1/a es el inverso de a (siendo a ≠ 0) porque su producto es el elemento neutro
del producto:
a · 1/a = 1/a · a = 1
•
La resta es la operación que consiste en sumar el opuesto:
a – b = a + (–b)
• La división es la operación que consiste en multiplicar por el inverso (siendo
b ≠ 0):
a
1
= a×
b
b
• Conmutativa de la suma. La suma de dos elementos no depende del orden en el
que se realiza:
a+b=b+a
• Asociativa de la suma. La suma de tres elementos no depende del orden en el
que se realicen las distintas sumas:
2
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
• Conmutativa del producto. El producto de dos elementos no depende del orden
en el que se realiza:
a·b=b·a
• Asociativa del producto. El producto de tres elementos no depende del orden en
el que se realicen los distintos productos:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
• Distributiva del producto respecto a la suma. Un producto de un elemento por
una suma puede descomponerse como la suma de los productos del elemento por
cada uno de los sumandos:
a · (b + c) = (b + c) · a = a · b + a · c
¿Cómo se aplican las propiedades para simplificar una
expresión algebraica?
La simplificación de una expresión algebraica consiste en su reducción al
mínimo número de términos posible, utilizando las propiedades de las
operaciones en expresiones algebraicas. Aunque las propiedades pueden
aplicarse en orden distinto, el resultado final suele ser muy parecido.
Con el fin de simplificar una expresión algebraica de cierta longitud, se deben aplicar
las propiedades de la suma, resta, multiplicación y división. La simplificación
consiste en la conversión de la expresión original en otra que sea equivalente, pero
con el mínimo número de términos posible. Veámoslo en un ejemplo; se debe
simplificar:
a − 4b − 3a + 5a −b
Aunque la manera de simplificar no es única (las propiedades pueden aplicarse en
otro orden), generalmente, el resultado final es muy semejante:
1) Se resuelve la suma −3a + 5a, utilizando la propiedad distributiva:
− 3a + 5a
es igual a
((−3) + 5) · a
igual a 2a
Por lo tanto,
a − 4b − 3a + 5a −b
es igual a
a − 4b +2a −b
2) Por la propiedad conmutativa, podemos agrupar los términos con a y los términos
con b:
a − 4b +2a − b es igual a a + 2a − 4b − 1b
3) Elemento neutro de la suma, por la que a = 1 · a
a − 4b +2a − b es igual a 1a + 2a − 4b − 1b
4) Por la propiedad distributiva aplicada dos veces, una a los términos con a y otra a
los términos con b:
3
1a + 2a − 4b − 1b es igual a (1+2) · a + (−4−1) · b
simplificando un poco más,
1a + 2a − 4b − 1b es igual a 3a – 5b
En definitiva, a − 4b − 3a + 5a −b es equivalente a 3a − 5b
Esta última expresión, al ser más breve que la anterior, facilita su manipulación. Por
lo tanto, es recomendable simplificar toda expresión algebraica, de la misma manera
que se simplifica una fracción que no es irreducible o se halla el resultado de una
expresión numérica.
¿Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y las
igualdades entre expresiones algebraicas, y cómo puede
saberse si son verdaderas o falsas?
Una igualdad entre expresiones numéricas está formada por dos
expresiones numéricas y un signo de igualdad interpuesto entre ambas, y
pueden ser verdaderas o falsas. Una igualdad entre expresiones algebraicas
está formada por dos expresiones numéricas y un signo de igualdad
interpuesto entre ambas, y pueden ser verdaderas o falsas, pero muchas de
ellas no son ni verdaderas ni falsas.
Una igualdad entre expresiones numéricas está formada por dos expresiones
numéricas, denominadas miembros de la igualdad, y un signo de igualdad (=)
interpuesto entre ambas. Las igualdades pueden ser verdaderas o falsas:
• Una igualdad numérica es verdadera si el resultado del miembro de la izquierda
es igual al resultado del miembro de la derecha. Por ejemplo:
3 · 4 – 5 = 38 – 15 · 2 – 1
ya que tanto el resultado de la derecha, como el de la izquierda es 7. En este caso, se
dice que ambas expresiones numéricas son iguales.
• Una igualdad numérica es falsa si el resultado del miembro de la izquierda no es
igual al resultado del miembro de la derecha. Por ejemplo, es falsa esta igualdad:
4 · (–2) + 8 = 3 – 7 · 11
ya que el resultado de la izquierda es 0, mientras que el resultado de la derecha es
–74.
De manera semejante a una igualdad numérica, una igualdad entre expresiones
algebraicas está formada por dos expresiones algebraicas, denominadas miembros de
la igualdad, y un signo de igualdad (=) interpuesto entre ambas. Las igualdades
algebraicas pueden ser verdaderas o falsas:
• Una igualdad algebraica es verdadera si la expresión algebraica del miembro de
la izquierda puede convertirse en la del de la derecha aplicando las propiedades de
las operaciones. Por ejemplo:
a – 4b – 2a + 5a – b = 4a – 5b
es una igualdad verdadera porque a – 4b – 2a + 5a – b se puede transformar de
manera sencilla en 4a – 5b, usando las propiedades de las operaciones.
• Una igualdad algebraica es falsa si la expresión algebraica del miembro de la
izquierda no puede convertirse en la del de la derecha. Por ejemplo:
4
3a – 5b + 2 = 3a – 5b + 7
es una igualdad falsa porque 3a – 5b + 2 no puede nunca resultar 3a – 5b + 7.
Ahora bien, una igualdad algebraica puede no ser ni verdadera ni falsa. Por ejemplo:
2a – 5b – 4 = 3x + y
en este caso, no puede afirmarse que la expresión de la derecha pueda transformarse
en la de la izquierda, ni tampoco que esto sea imposible. Este tipo de igualdades son
las que propiamente pueden denominarse ecuaciones.
¿Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación?
Una igualdad entre expresiones algebraicas también puede denominarse
ecuación, aunque las igualdades entre expresiones algebraicas más
interesantes son aquellas cuya falsedad o certeza no puede establecerse
fácilmente. La solución de una ecuación se compone de aquellos números
que, sustituyendo a las incógnitas, permiten transformar la ecuación en una
igualdad verdadera.
Una igualdad entre expresiones algebraicas también puede denominarse ecuación. En
este caso, las letras se denominan incógnitas. Así, por ejemplo, son ecuaciones:
4a – 2b + c = 3a – 6b + 7
2x + 2y +8 = 2x + 7
En el primer caso, las incógnitas son a, b y c; en el segundo caso, x e y. Cada uno de
los sumandos de cada uno de los miembros se denomina término; el número que
multiplica a cada término se denomina coeficiente; un término que no contiene
ninguna incógnita se denomina término numérico o término independiente.
Las incógnitas de cada miembro de una ecuación pueden sustituirse por valores
numéricos. Por ejemplo, en la ecuación 2x + 4y – 5 = 4x – 5y pueden sustituirse, la x
por 1, y la y por 5:
2 ⋅ 1+ 4 ⋅ 5 − 5 = 4 ⋅ 1− 5 ⋅ 5
↑
↑
↑
↑
x
x
y
y
De esta manera, la ecuación se transforma en una igualdad entre expresiones
numéricas. En este caso, la igualdad numérica resultante es falsa porque el miembro
de la izquierda resulta 17, mientras que el de la derecha resulta –21.
Este proceso también se denomina sustitución de las incógnitas de una ecuación por
números y, como se ha visto, puede dar lugar a una igualdad numérica verdadera o
falsa.
Al sustituir las incógnitas de una ecuación por ciertos valores, las igualdades
numéricas resultantes pueden ser:
•
Falsas, como en el último ejemplo.
• Verdaderas. Por ejemplo, si se sustituyen las incógnitas de 2x + 4y – 5 = 4x –
5y, por 2 en el caso de la x, y por 1 en el caso de la y, obtendremos:
2·2+4·1–5=4·2–5·1
y ambos miembros resultan 3. Así pues, se trata de una igualdad numérica
verdadera. En este caso se dice que se ha hallado una solución de la ecuación. Así,
esta solución de la ecuación 2x + 4y – 5 = 4x – 5y se compone del cambio de la x por
5
2, y de la y por 1; dicho de otra manera, x = 2 e y = 1 es una solución de la ecuación
anterior. Se debe tener en cuenta que:
• Una solución de una ecuación debe otorgar un valor a cada una de sus
incógnitas.
• Una ecuación puede tener más de una solución. Por ejemplo, en el caso de la
ecuación anterior, 2x + 4y – 5 = 4x – 5y, otra solución podría ser x = 11 e y = 3, ya
que 2 · 11 + 4 · 3 – 5 = 4 · 11 – 5 · 3.
¿Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse
ecuaciones equivalentes a una dada?
Se dice que dos (o más) ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas
soluciones. Aunque no es siempre sencillo determinar si dos ecuaciones
son equivalentes, se puede encontrar de manera sencilla una ecuación
equivalente a otra dada; sólo es necesario sumar, restar, multiplicar o
dividir ambos miembros de esta ecuación por un mismo número. Esta
manipulación de una ecuación permite encontrar sus soluciones.
Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se denominan equivalentes. Por
ejemplo, las ecuaciones:
7x – 3 = 6x – 4
14x – 6 = 12x – 8
son equivalentes, ya que la solución en ambos casos es x = –1. Veámoslo:
7 · (–1) –3 = 6 · (–1) – 4 el resultado en ambos miembros es –10
14 · (–1) – 6 = 12 · (–1) – 8 el resultado en ambos miembros es –20
Por lo tanto, x = –1 resuelve ambas ecuaciones, lo que confirma que son ecuaciones
equivalentes.
No siempre resulta fácil hallar un procedimiento para determinar si dos ecuaciones
son equivalentes. En todo caso, es interesante saber cómo puede transformarse una
ecuación para obtener otra que sea equivalente porque es una de las manipulaciones
que permiten encontrar soluciones de una ecuación. Estos son los procedimientos
usuales:
• Sumando o restando a ambos miembros el mismo número.
Por ejemplo, si a la ecuación 7x – 3 = 6x – 4 se le resta 2 a ambos lados, la ecuación
resultante es:
7x – 3 – 2 = 6x – 4 – 2
se obtiene:
7x – 5 = 6x – 6
y se puede comprobar fácilmente que la solución en ambos casos es x = –1, por lo
que se puede afirmar que 7x – 3 = 6x – 4 y 7x – 5 = 6x – 6 son ecuaciones
equivalentes.
• Multiplicando o dividiendo ambos miembros por el mismo número.
Por ejemplo, si los miembros de la ecuación 7x – 3 = 6x – 4 se multiplican por 3 se
obtiene:
3 · (7x – 3) = 3 · (6x – 4)
6
es decir:
21x – 9 = 18x – 12
y puede comprobarse de manera fácil que ambas ecuaciones tienen por solución
x = –1. Es decir, 7x – 3 = 6x – 4 y 21x – 9 = 18x – 12 son ecuaciones equivalentes.
Es evidente que restando (o dividiendo) ambos miembros de una ecuación con el
mismo número, se obtendrá una ecuación equivalente a la primera. Por ejemplo, si se
resta 5 a ambos miembros de la ecuación 7x – 3 = 6x – 4, se obtiene:
7x – 3 – 5 = 6x – 4 – 5
7x – 8 = 6x – 9
Así pues, 7x – 3 = 6x – 4 y 7x – 8 = 6x – 9 son ecuaciones equivalentes.
De la misma manera, si ambos miembros de la ecuación 8x – 4 = 6x – 10 se dividen
entre 2, la ecuación resultante es equivalente:
8 x − 4 6 x − 10
=
2
2
4x – 2 = 3x – 5
Es decir, 4x – 2 = 3x – 5 es equivalente a 8x – 4 = 6x – 10.
¿En qué consiste la resolución de una ecuación?
La resolución de una ecuación consiste en la busca de todas las soluciones
de una ecuación. La dificultad en la resolución depende de muchos
factores, entre ellos: el número de incógnitas y el grado de la ecuación. A
veces, sólo es posible encontrar una aproximación de alguna de las
soluciones, en cuyo caso se dice que se ha encontrado una solución
numérica de la ecuación.
La busca de las soluciones de una ecuación se denomina resolución de una ecuación,
y suele ser un problema matemático no siempre fácil de abordar. En todo caso,
cierto tipo de ecuaciones, con unas características muy concretas, tienen una
resolución relativamente sencilla y metódica. Las características que determinan la
dificultad en la resolución de una ecuación son:
• El número de incógnitas de la ecuación; cuanto menor es el número de
incógnitas, más sencilla resulta su resolución. Así, las más usuales tienen 1, 2 ó,
como mucho, 3 incógnitas, aunque si no se dice explícitamente lo contrario, el
término ecuación designa las ecuaciones con un sola incógnita.
• El grado de la ecuación: cada término de una ecuación tiene varias incógnitas
multiplicándose; este número es el grado del término. Por ejemplo, el término 2xy2
tiene 3 incógnitas multiplicándose (una “x” y dos “y”), luego su grado es 3. El grado
de una ecuación es el máximo grado de los términos que forman la ecuación. Así,
por ejemplo, el grado de
3xy – 2a + 5x2y2 = x + 11a2x
es igual a 4, ya que el término con más incógnitas es 5x2y2, y tiene 4 (dos x, y dos y).
Puede decirse, en general, que cuanto menor es el grado de una ecuación, más
sencilla es su resolución.
7
La complejidad de una ecuación puede impedir su resolución exacta. En estos casos
se puede intentar la resolución numérica, es decir, la resolución con valores
aproximados. Por ejemplo, la ecuación x3 – 3x + 2 = x – 5 no es una ecuación
sencilla de resolver de manera exacta. Una solución numérica de esta ecuación puede
ser x = –2,5891, ya que sustituyendo en la ecuación se obtiene:
(–2,5891)3 – 3(–2,5891) + 2 = (–2,5891) – 5
–7,5886 ≈ –7,5891
es decir, los resultados son muy próximos. Por ello, se trata de una solución
numérica.
La busca de soluciones numéricas de una ecuación es uno de los problemas
matemáticos que ha experimentado un gran avance, debido a la utilización cada vez
más generalizada de potentes ordenadores que permiten realizar gran cantidad de
cálculos en poco tiempo.
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