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Código
PGF-02-R07
GUÍA DE TRABAJO PRIMARIA Y BACHILLERATO
Fecha
Enero 12 a Marzo de
2012
NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ___________________________________________________
Área
Matemáticas
Período
Tercero
Grado décimo:_____
Guía No 3
Temática General: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Y GEOMETRÍA ANALÍTICA - LA LÍNEA RECTA
1. CONTEXTUALIZACIÓN: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En
las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede
especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando
principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es
recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola
función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la
función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función
trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. En las soluciones pueden
aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo:
nos puede resultar un cos x = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el rango del coseno se limita
entre [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que
satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente
que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la
forma tri x = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio
de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza una revolución completa se
genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es,
360°k, donde k es un entero.
Esta parte de la trigonometría tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales como los
movimientos realizados por relojes de péndulo, por resortes que actúan como amortiguadores, por los
planetas dentro de sus órbitas y en cosas más cotidianas como los trabajos de construcción de carreteras y
edificios. Aplicando en forma correcta las reglas básicas de la trigonometría, es posible calcular medidas en
forma indirecta, predecir el comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y
corrientes eléctricas. Las ecuaciones trigonométricas y las leyes del seno y coseno aplicables a triángulos no
necesariamente rectángulos permiten también determinar la forma y las dimensiones de algún componente
básico dentro de los grandes y complejos mecanismos que vemos día tras día.
Para aplicar la contextualización procedo a completar y/o justificar el siguiente ejemplo de solución de
ecuaciones:
Ecuación a resolver
1
sin
cos
3
Identidades trigonométricas
1 cos
sen
3
Suma de términos
2
1 cos
sen 2
___________________________
2
3
________________
3 sin 2
Binomio al cuadrado y el inverso multiplicativo
________________
3(1 cos 2 )
________________
____________________
4 cos 2
2 cos
2 0
2 cos 2
cos
1 0
2 cos
1)(cos
1
2 cos
1 0
cos
1
2
Identidad trigonométrica
Ley distributiva
Aplicando el inverso aditivo y sumado términos semejantes
_______________________________________________
_______________________________________________
0
,o bien,
cos
1 0
cos
O bien
1
__________________________________________________
Al realizar las sustituciones en la ecuación dada sólo satisface
Por lo tanto el conjunto solución es:
= _______:
_______________________________
2. DESARROLLO:
2.1. Hallo las soluciones de las siguientes Ecuaciones Trigonométricas en el intervalo [0, 2 ]:
3
2
2.1.1.
sin x
2.1.4.
sin x cos x
2.1.2.
2 tan x sin x tan x
0 2.1.5. sin x 1
2.1.7.
2 cos 2 x 3 sin x 3
2.1.9.
2 sec x sin x 2
0
2.1.8.
0
cos x
2 cos 2
4 sin x sec x 2.1.10.
cos(2 x)
2.1.3.
2.1.6.
1
2
sec 2 x
sec 2 x
3 cos
7
2 sin 2 x
tan x
0
2 tan 2 x
2.2. Con otro compañero solucionamos las ecuaciones indicadas por el profesor de los libros del
bibliobanco.
2.3. Soluciono las siguientes situaciones aplicando las ecuaciones trigonométricas:
2.3.1 Alcance de un proyectil. Al nivel del suelo se dispara un proyectil con
una velocidad inicial de v = 80 ft / s, y con un ángulo de elevación de
grados con la horizontal, si el alcance R del proyectil está dado por
la ecuación:
R
v2
sin cos
16
Hallo los ángulos que para los cuales se obtiene un alcance máximo de 150 pies.
2.3.2.
Utilizo
f ( x)
la
gráfica
de
sin x sin( 2 x) sin( 3 x) ,
para determinar y
soluciones
de
Trigonométrica:
comprobar las
la
Ecuación
sin x sin( 2 x) sin( 3x)
0.
2.4. LA LÍNEA RECTA:
El propósito de este tema es afianzar y profundizar el concepto de ecuación lineal, sus elementos,
propiedades, representaciones y aplicaciones. También se encontrarán ciertas relaciones entre rectas, y entre
rectas y puntos en el plano, que son muy importantes en diversos campos de la ciencia y la técnica. Por
ejemplo, en física, la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado para un cuerpo que se mueve
con velocidad constante, entre la fuerza aplicada y el alargamiento de un resorte (Ley de Hooke), o entre la
variación de la longitud de una varilla y el cambio en la temperatura a la que se somete (Ley de Dilatación
Térmica), son modelados mediante ecuaciones lineales; en economía, las curvas que describen el
comportamiento de la oferta y demanda de un artículo son usualmente líneas rectas, entre otras tantas
aplicaciones.
2.4.1. Consulto en los textos del bibliobanco de aula los siguientes conceptos:
2.4.1.1. Distancia entre dos puntos.
1
2.4.1.2. Distancia entre dos puntos en plano (Teorema de Pitágoras)
2.4.2. En mi cuaderno, sigo y justifico los pasos de la siguiente demostración. Con base en la figura
localizo los puntos P1 (x1, y1)
y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto
R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual puedo aplicar el teorema Pitágoras:
Pero:
;
y
Luego,
Que es la ecuación para la distancia entre dos puntos del plano
2.4.3. Consulto en los textos del bibliobanco de aula los siguientes conceptos y los escribo en mi cuaderno
completando el cuadro que se indica abajo:
2.4.3.1. Pendiente de una recta, ecuación de la pendiente de la recta.
2.4.3.2. Ángulo de inclinación de la recta y la ecuación.
2.4.3.3. Ecuación de la recta conociendo la pendiente y el intercepto con el eje y.
2.4.3.4. Ecuación canónica de la recta.
2.4.3.5. Ecuación general de la recta.
Concepto
Ecuación
Pendiente de una recta
Ecuación Punto – Pendiente de la recta
Ecuación de la recta conociendo la
pendiente y el intercepto con el eje y
Ecuación del ángulo de inclinación
Ecuación canónica de la recta
Ecuación general de la recta
2.4.4. Con un compañero, observamos la siguiente figura y respondemos en el cuaderno:
2.4.4.1. Nombramos los vértices de la figura conforme a la siguiente tabla:
Vértice
Coordenada
A
(6, 2)
B
(8, 6)
C
(4, 8)
D
2.4.4.2. Hallamos las pendientes de las rectas: AB, BC, CD y DA.
2.4.4.3. Hallamos las ecuaciones de las rectas que forman los lados
del cuadrilátero
2.4.4.4. Hallamos el perímetro del cuadrilátero.
2.4.4.5. El ángulo de inclinación de las rectas.
2.4.5. Con base en el trabajo realizado en clase, las consultas y las explicaciones realizadas contestamos en
el cuaderno:
2.4.5.1. ¿Cuándo dos rectas son paralelas? Y la ecuación.
2.4.5.2. ¿Cuándo dos rectas son perpendiculares? Y la ecuación.
2.4.5.3. ¿Si las rectas no son paralelas ni perpendiculares qué son?
2.4.6. Complete the chart below, use all the available books in the classroom.
Equations
3x 6 y
Slop
x- intercept
18
5
2
0.25
5y
y- intercept
20
none
2 x 9 y 45
-7
0
2x
25
Ax By C
A 0, B 0
2.4.6. En mi cuaderno ubico los puntos A = (4, 7), B = (8 -3) y C = (-2, -5), que corresponden a las
coordenadas de los vértices de un triángulo, y luego:
2.4.6. 1. Determino las ecuaciones de sus tres lados.
____
2.4.6. 2. Hallo la ecuación de la recta que pasa por A y es paralela al lado opuesto BC .
2.4.6. 3. Determino las coordenadas de los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los
vértices A, B y C y son paralelas a los lados opuestos.
Hallo:
2.4.6. 4. Las ecuaciones de las medianas.
2.4.6. 5. La coordenada del baricentro o gravicentro.
2.4.6. 5. Las ecuaciones de las alturas.
2.4.6.6. La coordenada del ortocentro.
2.4.6.7. Las ecuaciones de las mediatices
2.4.6. 8. La coordenada del circuncentro.
2.4.6. 9. Con geogebra o con cabri u otro graficador, grafico y compruebo el anterior ejercicio, lo imprimo y lo
pego en mi cuaderno.
2.4.7. Hallo la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta
3 x 5 y 15 0 (Recuerdo que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a éste en su punto
medio).
2.4.8. Planteo una ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2 , 4) y es paralela a la recta
2X- Y + 1=0
2.4.9. Planteo una ecuación de la recta que pasa por los puntos (1 , -2) y ( 2 , 4) y es paralela a la recta 2X +
2Y + 1=0
2.4.10. Planteo una ecuación de la recta que pasa por el punto ( -2 , 2) y es perpendicular a la recta
Y + 1=0
2.4.11.
recta
Planteo una ecuación de la recta que pasa por los puntos
1
x
2
2
y 1 0
3
1
,2
3
5,
2
5
2 X-
y es perpendicular a la
2.4.12. Con otro compañero resolvemos las siguientes situaciones:
2.4.12. 1. La ecuación de demanda para un producto es
es
f ( p)
20 p 80
g ( p)
60 p 360 y su ecuación lineal de oferta
en donde q > 0.
2.4.12. 1.1. ¿Cuál es el precio que hace que el número de artículos demandados sea igual al número de
artículos ofrecidos?
2.4.12. 1.2. ¿Cuántos artículos se ofrecen y cuántos se demandan con el precio de equilibrio?
2.5. ACTIVIDAD DE INGENIO.
Diseño de robots. En la figura se muestra un diseño para el brazo de un robot con dos partes móviles. Las
dimensiones se seleccionan para simular un brazo humano. El brazo superior AC y el inferior CP giran en
ángulos 1 y 2, respectivamente, para tomar un objeto en
el punto P(x, y).
2.5.1. Demuestro que ACP 180 º ( 2
1) .
2.5.2. Encuentro d(A, P), y luego uso el resultado obtenido en el
inciso anterior y la ley de los cosenos para demostrar que
1 cos
x2
2
1
( y 26) 2
578
2.5.3. Si x = 25, y = 4 y 1 = 135º, calculo 2.
2.5.3. Con la ayuda de jeringas y aplicando conceptos de
hidráulica construyo un brazo con las anteriores características.
2.6. Olimpiada matemática
3.
Profesor: Joaquín Torres Alfonso/2009
3. EVALUACION
3.1. EVIDENCIAS DE EVALUACIÓN:
Trabajo personal: Son las actividades que realiza el estudiante en el desarrollo de la guía, la
realización de las tareas, quices y los talleres propuestos, los cuales permitirán observar los
avances en cuanto a la conceptualización, apropiación y aplicación.
Trabajo grupal: En éste se tiene en cuenta la participación de los estudiantes y el compromiso con
el equipo con el fin de cumplir con los trabajos establecidos con la calidad requerida y de acuerdo
con ello se determinará el nivel de logro alcanzado, en las diferentes actividades de la guía y
talleres propuestos.
Evaluación Mensual - Semestral: A mitad del primer y tercer periodo se realizará una evaluación
mensual de los desempeños teniendo en cuenta los referentes conceptuales que se hayan
trabajado hasta el momento. Así mismo al finalizar el segundo y cuarto periodo se realizará una
evaluación
Actividad de Ingenio Matemático: Es una situación problema orientada por el docente y
propuesta en la guía del periodo, donde los estudiantes relacionan los referentes conceptuales
trabajados en contextos matemáticos, de otras ciencias o del contexto real, que permita procesos
de conceptualización, apropiación y aplicación.
3.2. NIVELES DE DESEMPEÑO POR LOGRO:
MATEMÁTICAS GRADO DÉCIMO:
LOGRO
Generalizar
estrategias
para
representar
y
solucionar por medio de
modelos
matemáticos
situaciones utilizando la
recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades.
NIVELES
DESEMPEÑO
LOGRO
Identificar y enunciar en
lenguaje
matemático
estrategias
para
representar y solucionar
situaciones utilizando la
recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades.
DE NIVELES
DESEMPEÑO
LOGRO
Justificar
los
procedimientos utilizados
al resolver situaciones
aplicando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
DE NIVELES
DESEMPEÑO
LOGRO
Utilizar y aplicar las
propiedades y ecuaciones
de la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades,
para
generar,
verificar
y
predecir la solución de
una situación que se ha
formulado y planteado.
DE NIVELES
DE
DESEMPEÑO
5. Generaliza estrategias
para
representar
y
solucionar por medio de
modelos
matemáticos
situaciones utilizando la
recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades.
5. Describe y enuncia en
lenguaje
matemático
estrategias
para
representar y solucionar
situaciones utilizando la
recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades.
5.
Justifica
los
procedimientos utilizados
al resolver situaciones
aplicando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades a partir del
análisis
de
hipótesis
planteadas.
4. Generaliza estrategias
para
representar
y
solucionar
situaciones
utilizando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
4. Describe y enuncia
estrategias
para
representar y solucionar
situaciones utilizando la
recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos
y
propiedades..
4.
Justifica
los
procedimientos utilizados
al resolver situaciones
aplicando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
3.
Se
le
dificulta
generalizar
estrategias
para
representar
y
solucionar
situaciones
utilizando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
3. Describe estrategias
para
representar
y
solucionar
situaciones
utilizando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
3.
Justifica
los
procedimientos utilizados
al resolver situaciones
aplicando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
5. Utiliza y aplica las
propiedades y ecuaciones
de la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades,
para
generar,
verificar
y
predecir la solución de
una situación que se ha
formulado y planteado.
4. Utiliza y aplica las
propiedades y ecuaciones
de la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades,
para
generar,
verificar
y
predecir la solución de
una situación que se ha
formulado.
3. Utiliza y aplica las
propiedades y ecuaciones
de la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
Se
le
dificultan los procesos
algebraicos para verificar
y predecir la solución de
la situación que se ha
formulado.
2.
Se
le
dificulta
Generalizar
algunas
estrategias
para
representar y solucionar
por medio de modelos
matemáticos situaciones
utilizando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
1.
Se
le
dificulta
Generalizar
estrategias
para
representar
y
solucionar por medio de
modelos
matemáticos
situaciones donde utilice
la recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades.
2. Se le dificulta describir
estrategias
para
representar y solucionar
situaciones utilizando la
recta y las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades.
2. Se le dificulta justificar
las hipótesis planteadas
en los procedimientos al
resolver
situaciones
aplicando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
1. Se le dificulta describir
y enunciar en lenguaje
matemático
estrategias
para
representar
y
solucionar
situaciones
utilizando la recta y las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
1. Se le dificulta Justificar
los
procedimientos
utilizados
al
resolver
situaciones aplicadas a la
recta y a las secciones
cónicas: la elipse y la
circunferencia con sus
elementos y propiedades
a partir del análisis de
hipótesis planteadas.
2. Utiliza algunas de las
propiedades y ecuaciones
de las secciones cónicas
y se le dificulta realizar los
procesos algebraicos al
aplicarlos a situaciones
con la recta y
las
secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades.
1. Se le dificulta utilizar y
aplicar las propiedades y
ecuaciones de la recta y
las secciones cónicas: la
elipse y la circunferencia
con sus elementos y
propiedades,
para
generar,
verificar
y
predecir la solución de
una situación que se ha
formulado y planteado.
BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS
Salgado, A & otros (2003) Trigonometría y Geometría analítica. Editorial Santillana. Bogotá
Dimatè, M & otros (2001) Matemáticas 10. Trigonometría. Serie para la Educación Media.
Editorial Prentice Hall. .Bogotá
Moreno, V & otros (2003) ALFA 10 con Estándares. Serie de Matemáticas para la Educación
Secundaria y Media. Editorial Norma. Bogotá.
Stewart, J & otros (2001) &otros. Pre cálculo. Ed. Thomson. México
Sullivan, M (1997 ) Trigonometría y Geometría analítica. Ed. Pearson. México
Swokoswki E. & Jeffer A. (1997 ) Trigonometría. Editorial International Thomson Editores S.A.
México
Prueba
de
admisión
Universidad
Nacional.
Noviembre
30
de
2011.
http://www.admisiones.unal.edu.co/es/pregrado/17-guia.html.
Versión 04
PROFESORES: JOHANNA FUENTES Y JOAQUÍN TORRES.