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En un ciclo completo el cuerpo se mueve de x=A a x=–A y regresa en
x= A
El movimiento armónico simple esta caracterizado por:
PERIODO (T): es el tiempo que tarda un ciclo. En el SI la
unidad del periodo es el segundo (s).
FRECUENCIA (f): es el número de ciclos en la unidad de
tiempo (f=1/T). La unidad de la frecuencia en el SI es el Hertz
(Hz).
AMPLITUD (A): es la máxima magnitud del desplazamiento
respecto al equilibrio, es decir, el valor máximo de |x|. Su unidad
en el SI es el metro (m).
FRECUENCIA ANGULAR (ω): está relacionada a la frecuencia:
ω = 2πf = 2π/T. Su unidad es el rad/s.
13.1 Una cuerda de piano produce un “la” medio vibrando primordialmente a
220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la
frecuencia angular de una soprano que canta un “la alto”, dos octavas más
arriba, que es 4 veces la frecuencia de la cuerda de piano.
a)
1
1
1
⇒ T= =
= 0.0045 s
T
f 220 Hz
ω = 2πf = 2π (220 Hz ) = 1382.3 rad / s
f =
2π (rad/ciclo)· f (ciclos/s)= rad/s
b)
f = 4(220 Hz ) = 880 Hz
1
1
T= =
= 0.00113 s
f 880 Hz
ω = 2πf = 2π (880 Hz ) = 5529.2 rad / s
13.2 Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte,
se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0.12 m de su posición
de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de 0.8 s su
desplazamiento es de 0.12 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de
equilibrio una vez. Calcule a) la amplitud; b) el periodo; c) la frecuencia.
a) A = 0.12 m
F
X=0.12 m
b) T/2 = 0.8 s T=1.6 s
c) f = 1/T = (1/1.6s) = 0.625 Hz
F
X=-0.12
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Consideremos el punto Q que se mueve con
movimiento circular uniforme antihorario
sobre el círculo de radio A con velocidad
angular ω.
A
Q
θ
0
P
x=Acos θ
A
El vector de 0 a Q que representa la
posición del punto Q respecto a 0 forma un
ángulo θ con el eje x.
Consideremos el punto P sobre el diámetro
del círculo, que representa la proyección
del punto P sobre el diámetro.
Al girar del punto Q sobre el círculo, el
punto P se mueve horizontalmente sobre
el diámetro del círculo y su posición x
sobre el eje x es:
x = A cosθ, θ = ωt
x = A cos(ωt)
El movimiento del punto P es un MAS!!
0
http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas2/mas2.htm
ECUACIONES DEL MAS
Consideremos el movimiento de un sistema resorte-masa:
F
m
F=-kx Ley de Hooke
X=A
F = −kx = ma
k
a=− x
m
a no es constante !
Las posibles soluciones de esta
d 2x
k
ecuación son:
a= 2 =− x
dt
m
x = A sin (ωt)
k
d 2x
x = A cos (ωt)
2
x
ω
ω
=
−
=
x = A cos (ωt + φ)
m
dt 2
dx
= La
ωt )(ω ) φ se llama “ángulo de
A cos(
constante
d 2x
2
dt
x
+
ω
=
0
fase”, nos dice en qué punto del ciclo el
2
2
d x movimiento estaba en t=0.
dt
2
2
=
−
A
ω
sin(
ω
t
)(
ω
)
=
−
ω
A
sin(
ω
t
)
=
−
ω
x
2
dt
Movimiento circular uniforme
A
Q
θ
0
P
x=Acos θ
Sistema resorte-masa
k
d 2x
2
+ω x = 0 ω =
2
m
dt
x = A cos (ωt)
F
X=A
El movimiento armónico simple (MAS) es la proyección del movimiento
circular uniforme sobre un diámetro.
La velocidad angular ω del movimiento circular uniforme corresponde a la
frecuencia angular del MAS. En el caso de un sistema resorte-masa:
k
ω=
m
k= constante de fuerza del resorte
m= masa del cuerpo
Desplazamiento, velocidad y aceleración en MAS
Desplazamiento
x
x(t = 0) = 3 cos(0 ) = 3
A=3m
x = A cos(ωt + φ )
A
es
una
constante
(máximo
desplazamiento,
amplitud)
y
el
movimiento es entre –A y A. φ indica la
posición x en t=0.
t (s)
π 
x(t = 0) = 3 cos  = 0
2
La línea negra representa x
cuando A=1.5
PERIODO
Velocidad
dx
vx =
= − Aω sin(ωt + φ )
dt
x=3cos(2t)
ax
x
vx
Aceleración
dvx d 2 x
ax =
= 2 = − Aω 2 cos(ωt + φ )
dt
dt
t (s)
Ejemplo 13.2
Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo.
Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la
derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al
desplazamiento y que una fuerza de 6 N causa un desplazamiento de 0.03
m. Quitamos la balanza y conectamos un cuerpo de 0.5 kg al extremo,
tiramos de él hasta moverlo 0.02 m, lo soltamos y vemos cómo oscila.
a) Determine la constante de fuerza k del resorte;
b) Calcule la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de la ocilación.
F
a)
F = k∆x ⇒ k =
F
6
=
= 200 / m
∆x 0.03m
∆x
X=0
Ley de Hooke
F=-k∆x
ω=
k
200 / m
=
= 20rad / s
m
0.5kg
ω 20rad / s
f =
=
= 3.2 Hz
2π
2π
T=
1
1
=
= 0.31s
f 3.2 Hz
13.7 Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante
de fuerza de 120 N/m. Se observa que vibra con una frecuencia de 6 Hz.
Calcule a) el periodo; b) la frecuencia angular; c) la masa del cuerpo.
a)
b)
c)
T=
1
1
=
= 0.16 s
f 6 Hz
ω = 2πf = 2π (6 Hz ) = 37.7
m
T = 2π
k
m
T 2 = 4π 2
k
rad
s
kT 2 (120 / m)(0.16s ) 2
⇒m=
=
= 0.084 kg
2
2
4π
4π