Download ss T s TT Hz f 05.0 4 2.0 4 2.0 5 1 1 5

13.5 Una pieza de máquina está en MAS con frecuencia de 5 Hz y amplitud de
1.8 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x=0 a x=-1.8 cm?
En un periodo T la pieza se mueve de A en –A y regresa en A pasando en
x=0 dos veces. De 0 a –A es un cuarto de periodo:
1
1
f = 5 Hz =
⇒ T = = 0.2 s
T
5
T 0.2 s
=
= 0.05 s
4
4
13.6 En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel
0.2 kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y
oscilar. El tiempo entre la primera vez que el deslizador pasa por
de equilibrio y la segunda vez que pasa por ese punto es de 2.60 s.
la constante de fuerza del resorte.
-A
0
A
T/2
T/4
T/4
T/2
T = 2(2.6 s ) = 5.2 s
1 2π
m
= 2π
T= =
ω
f
k
m
T 2 = 4π 2  
k
4π 2 m 4π 2 (0.2 kg )
=
=
k=
0
.
29
T2
(5.2 s ) 2
m
de aire de
se pone a
la posición
Determine
k
2πf = ω =
m
13.11 Una cuerda de guitarra vibra con una frecuencia de 440 Hz. Un punto
en su centro se mueve en MAS con amplitud de 3 mm y ángulo de fase cero.
a) Escriba una ecuación para la posición del centro de la cuerda en función del
tiempo. b) ¿Qué magnitud máxima tienen: la velocidad y la aceleración del
centro de la cuerda?
a)
b)
ω = 2πf = 2π (440 Hz ) = 2764 rad / s
x = A cos(ωt ) = (0.003 m) cos[(2764.6 rad / s )t ]
vx = − Aω sin(ωt )
vmax cuando sin(ωt)=-1
vxMAX = Aω = (0.003 m)(2764.6 rad / s ) = 8.29
a x = − Aω 2 cos(ωt )
a xMAX
m
s
amax cuando cos(ωt)=-1
m
= Aω = (0.003 m)(2764.6 rad / s ) = 2.3 10 2
s
2
2
4
13.16 Una silla de 42.5 kg se sujeta a un resorte y se le permite oscilar.
Cuando la silla está vacía, tarda 1.3 s en efectuar una vibración completa.
Cuando una persona se sienta en ella, sin tocar el piso con los pies, la silla
tarda 2.54 s en efectuar un ciclo. Calcule la masa de la persona.
m=42.5 kg
k
2π
ω = 2πf =
=
T1
m
4π 2 m
⇒k =
2
T1
4π 2 (42.5kg )
k=
= 992.8
2
(1.3s )
m
T1=1.3 s, T2=2.54 s
Silla vacía
m+M
T2 = 2π
= 2.54 s
k
2
2
(
992
.
8
/
)(
2
.
54
)
m
+
M
kT
m
s
T22 = 4π 2
⇒ m + M = 22 =
= 162.24 kg
2
4π
4π
k
M = (162.24 − 42.5)kg = 119 kg
El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.5 kg en un resorte
está dado por la ecuación:
x(t ) = (7.4 cm) cos[(4.16rad / s )t − 2.42]
Calcule: a) el tiempo que tarda una vibración completa; b) la constante de
fuerza k del resorte; c) la amplitud A del movimiento; d) la rapidez máxima de
la masa; e) la aceleración máxima de la masa.
La velocidad y aceleración en un MAS son:
dx
vx =
= −ωA sin(ωt + ϕ )
dt
dv d 2 x
ax =
= 2 = −ω 2 A cos(ωt + ϕ ) = −ω 2 x
dt dt
Conociendo la posición inicial x(t=0)= x0 y la velocidad inicial v(t=0)= v0
del cuerpo oscilante podemos determinar el ángulo de fase φ como sigue:
v0 = −ωA sin(ω ⋅ 0 + ϕ ) = −ωA sin(ϕ )
x0 = A cos(ω ⋅ 0 + ϕ ) = A cos(ϕ )
v0 − ωA sin(ϕ )
=
= −ω tan(ϕ )
x0
A cos(ϕ )
 − v0 

ϕ = arctan
 ωx0 
Se puede también determinar la amplitud A:
v0 = −ωA sin ϕ
x0 = A cos ϕ
x = A cos ϕ v 2 = ω 2 A2 sin 2 ϕ
0
2
0
2
2
x02 +
A=
v02
ω2
= A2 sin 2 ϕ
= A2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = A2
ω2
v02
ω
⇒
v02
2
+x
2
0
=1
Example 13.3
Un sistema resorte-masa con m=0.5 kg y k=200 N/m se mueve en
un MAS con desplazamiento inicial x0=0.015 m y velocidad inicial
de v0=0.4 m/s.
a) Determine el periodo, amplitud y ángulo de fase;
b) Escriba ecuaciones para el desplazamiento,
aceleración en función del tiempo
a)
(0.4m / s ) 2
A = x + 2 = (0.015m) +
= 0.025m
2
ω
(20rad / s )
2
0
T=
2π
ω
v02
velocidad
2
= 0.31s
 − v0 


− 0.4m / s
 = arctan
 = −53° = −0.93rad
 (20rad / s )(0.015m) 
 ωx0 
ϕ = arctan
b)
x = A cos(ωt + ϕ ) = (0.025m) cos((20rad / s )t − 0.93rad )
v = − Aω sin(ωt + ϕ ) = (−0.5m / s) sin((20rad / s )t − 0.93rad )
a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ ) = −(10m / s 2 ) cos((20rad / s )t − 0.93rad )
y