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MATEMÁTICAS BÁSICAS
División: Para a, bE R, a
* O,
b
b -;- a , - o b/a. (que se lee "b dividido a" o "b sobre a")
a
denota al número b.(a - 1).
o Si a ~ b Y b ~ c , entonces a ~ c.
o Si a ~ b Y b < c ,entonces a < c .
o Si a > b Y b > e, entonces a > c .
• Si a, b E R, se satisface una y sólo una
a> b.
Nota: b -;- a no está definido cuando a = O.
• Para a, b, c E R, se tienen las sigu ·_u.__" .....
ORDEN ENR
Existe un subconjunto de R, denotado R + Y cuyos elementos son llamados números
reales positivos, que satisface los siguientes axiomas:
• Si a,bER+,entonces a+bER+ y abER+
*
• Si a E R Y a O, entonces a E R + o - a E R + pero no ambas cosas. (Si - a E R + se
dice que a es negativo).
A partir de los axiomas anteriores, damos significado a los símbolos> (mayor que) y <
(menor que), así: Para a, bE R,
a > b (o b < a) significa que a - b es positivo, es decir, que a - bE R +
o Si a >
o Si a <
Nótese que a > O significa que a es positivo, y que a < O significa que a es negativo.
Los símbolos ~ (mayor o igual que)
significado:
a
~
b (o b
~
y ~ (menor o igual que) tienen el siguiente
a )
SI
a>b o a= b
o Si a ~
b
Hechos importantes
• Si a E R Y a
o Si a<
* O, entonces
a 2 > O.
a<
• Para todo a E R, se tiene que a ~ O.
2
• Como 1
o Si ab ~
a
o Si >
b
* O,entonces 1 = 1
2
a+
2
estarían
> O, esto es 1 > O.
• Para a, b, c E R , se tienen las siguientes propiedades:
o Si a < b y b < c ,entonces a < c.
2
MATEMÁTICAS BÁSICAS
o Si a ~ b Y b ~ c, entonces a ~ c.
o Si a ~ b Y b < c, entonces a < c.
o Si a > b Y b > c , entonces a > c .
) bja. (que se lee "b dividido a" o " b sobre a")
• Si a, b
E
R , se satisface una y sólo una de las siguientes afirmaciones: a
=b
, a<b o
a> b.
• Para a, b,
CE
R, se tienen las siguientes propiedades:
o Si a < b, entonces a + c < b + C . El recíproco también es cierto, es decir, SI
a +c < b+c, entonces a < b (se obtiene sumando - c a ambos lados de la
desigualdad).
o Si a ~ b, entonces a + c ~ b + C . El recíproco también es cierto.
o Si a < b Y c > O, entonces ac < bc.
o Si a ~ b Y c > O, entonces ac ~ bc.
o Si a < b Y c < O, entonces ac > bc. Por ejemplo, 2<5 pero 2(-3»5(-3), porque -6>-15. o Si a ~ b Y c < O, entonces ac ~ bc .
o Si a > O, entonces - a < O.
o Si a < O, entonces - a > O.
1
o Si a > O, entonces > O.
a
o Si a < O, entonces
1
< O. a
o Si ab > O, entonces a > O Y b > O , o, a < O Y b < O. El recíproco también es cierto,
esto es, si a > O Y b > O , o, a < O Y b < O, entonces ab> O.
o Si ab < O, entonces a > O Y b < O, o, a < O Y b > O. El recíproco también es cierto.
o Si ab ~ O, entonces a ~ O Y b ~ O, o, a ~ O Y b ~ O. El recíproco también es cierto.
o Si ab ~ O, entonces a ~ O Y b ~ O, o, a ~ O Y b ~ O. El recíproco también es cierto.
o Si a > O, entonces a > O Y b > O, o, a < O Y b < O. El recíproco también es cierto.
b
o Si a ~ O, entonces a ~ O Y b > O, o, a ~ O Y b < O. El recíproco también es cierto.
b
o Si a < b, siempre existe c
a <
a+b
E
R tal que a < c < b. Por ejemplo, c
= a + b es tal que
2
< b . Por tanto existen infinidad de números entre a y b, pues también
2
i
1
,
a+ e
c+b
estanan
.
, etc.
2
2
Aún más, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números
reales que hay entre a y b Y todo el conjunto de los números reales R. Esta
correspondencia está sugerida en el siguiente dibujo:
3
MATEMÁTICAS BÁSICAS - f ( - - - - - - - - 4 ) - - - + 1 Segmento abierto de extremos a
a
Lo anterior significa que el único número .
quiera es el 0, es decir, el único infinit
propiedad se utiliza cuando es dificil prob
R son iguales, probando que, por ejemplo
concluyendo entonces que b - a = O, es del
yb
b
Abreviaciones: Si a < b y b < c, se abrevi
Si a ~ b y b < c , se abrevi l
•
R
Algunos subconjuntos especiales de R
(Se curva el segmento haciendo coincidir a con b. Se trazan segmentos desde donde
coinciden hasta la recta real R. Siempre habrá dos puntos de corte: uno del segmento
curvado y otro de la recta real. De ahí se infiere la correspondencia biunívoca. Así
por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 hay tantos números reales como los que hay en la recta
real R)
N = {1, 2, 3, ... }:
z = {... , - 3, Q={m/ n: I={aER: Axioma de completitud o de continuidad de los Números Reales
ti
Se tiene que
Existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales R y el
conjunto de puntos sobre una recta:
I
-7
-6
-5
-4
I
I
-3
-2
I
-1
o
I
J2
I
Ejemplo:
I I
1 -/32
e
1T
I
11
3
I
4
5
6
IR
~,
3
7
Operaciones
primeros axi
.J2=1.414... ;
.[j=1.732... ;
e = 2.718 ... ;
1t
= 3.141. ..
a b a
1. - +-=
c c
y se satisface el siguiente axioma: Sean A y B subconjuntos no vaCÍos de R tales que
a ~ b para cada a E A y cada bE B. Entonces existe CE R tal que a ~ c y c ~ b ,
cualesquiera sean a E A Y b E B.
Ejemplo: También se tienen las siguientes propiedades:
• Si a < b , existe h > O tal que a + h = b.
• No existe número real a tal que x ~ a para todo número real x. Esto significa que el
conjunto de los números reales R no es acotado superiormente.
• No existe número real a tal que x ~ a para todo número real x. Esto significa que el
conjunto de los números reales R no es acotado inferiormente.
• Si x E R satisface O ~ x < E para todo E > O, debe ser x = o. (En efecto, como x ~ O, si
fuese x > O, como x < E para todo E> O , sería en particular x < x , lo que contradice
que x = x).
4
2. ~
b
+.:. = a
d
Ejemplo:
~,-.
A .. Jnl:: númer MATEMÁTICAS BÁSICAS
Segmento abierto de extremos a y b
,:. .
J
....
"\
. ..
-~--
Lo anterior significa que el único número real no negativo que es tan pequeño como uno
quiera es el O, es decir, el único infinitesimal no negativo en R es el cero. Esta
propiedad se utiliza cuando es dificil probar directamente que dos expresiones a y b en
R son iguales, probando que, por ejemplo, se satisface O ~ b - a < e para todo e > O Y
concluyendo entonces que b - a = O, es decir, a = b.
Abreviaciones: Si a < b y b < c, se abrevia a < b < c. Sí a ~ b y b < c , se abrevia a ~ b < c . ------ __ . ---".
"
R
Algunos subconjuntos especiales de R
N = {1, 2,3, ... }: Conjunto de los números naturales.
z = { ••. , -
3, - 2, - 1, O, 1,2,3, ... }: Conjunto de los números enteros.
Z y n::F- O }: Conjunto de los números racionales.
Q = { m/n:
m, n
1 = {a
a no es racional Ca ~ Q) }: Conjunto de los números irracionales.
E
R:
E
Se tiene que N e Z e Q e R y que Q u 1 = R .
Ejemplo:
±, -~EQ;
12,13,
e, 7t E I
Operaciones con fraccionarios o quebrados (propiedades que se desprenden de los
primeros axiomas)
1. ~+~ = a+b
c c
c
.
1 3 1+3 4
Ejemplo: - + - = - - = - = 1
444
4
3/4
2. ~ + ~
b d
=
ad + bc
bd
5
MATEMÁTlCAS BÁSICAS
L,.,.,-,---L._--l11l2 ~I . l.-l
.a-..I
- '---J...--'---l
1I3 = 216
1/2 = 3/6
Comprobemos, a manera de ejemplo, que (a ­ b
3. ~~=~
b d bd
Otra manera de comprobarlo es:
.
II
(IXI)
I
Ejemplo: - - = - - = ­
43 (4X3) 12 I
INTERVALOS
1I
(1I4XIl3) =1I12
cuarta parte de
UJt
tercio = UJt doceavo
Sean a, b E R
se llama intervalo
se llama intervalo
.
1 2 I
Ejemplo: 2+- = -+ -
(2X3)
=- - = 6
3 I 3 (IXI)
También se
2/(1I3) = 6
dos wridades divididas en tercios da seis
5. - (- a) = a ; (a -1
t
= a siempre que a *- ü .
6. (- a)b=-(ab)=a(-b); -a =_a = a siempre que b*-ü .
b
b - b
l
7. - (a+b)=-a-b ; (abt =a - 1b - 1 siempre que a *- ü y b*-ü.
ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES
Ejemplo: [- 3,
l
= a 2 ± 2ab + b 2
los números:
(a±b)3 =a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ±b 3
[- 3, 4) , por ej
(a ± b
(a + bXa - b) = a 2
(a + b Xa 2
-
­
b2
ab + 1/ ) = a 3 +·h3
6