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VARIABLES ALEATORIAS
DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO DUARTE
CURSO: ESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN
Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un experimento aleatorio no son
valores numéricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres
monedas al aire, para observar el número de caras (C) y cruces (R) que se obtienen, el espacio
muestral asociado a dicho experimento aleatorio seria:
E = {CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR}
Sin embargo para el modelamiento matemático de situaciones es necesario por lo general trabajar
con funciones de variable Real (es decir utilizar valores numéricos en lugar de trabajar
directamente con los elementos de un espacio muestral como el anterior)
Se define por lo tanto una variable aleatoria como una función que asigne a cada suceso del
espacio muestral un valor numérico.
Para la situación anterior podríamos definir la variable X (en mayúscula) como el número de caras
obtenidas al lanzar una moneda, de tal modo que generaríamos la siguiente función:
Sucesos
X
{RRR}
0
Hay cero caras en el suceso
{RRC, RCR, CRC}
1
Hay una cara en cada suceso
{RCC, CRC, CCR}
2
Hay dos caras en cada suceso
3
Hay tres caras en el suceso
{CCC}
Ejemplo 2: Sensación que provocan las asignaturas de matemáticas en un grupo:
Asociamos cada respuesta con un número, según se considere que la sensación es positiva (+1),
negativa (−1) o neutra (0). Por ejemplo:
Sensación
Buena
Mala
No me importa
Aburrido
Interesante
Me da igual
No me gustan
X
1
-1
0
-1
1
0
-1
Formalmente definimos: Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y Ω un
álgebra de sucesos asociado a E.
Llamaremos variable aleatoria a una función:
X:E →R
En función de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada en discreta o continua
del siguiente modo:
v.a. discreta es aquella que solo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores
enteros. Por ejemplo, X : E IN
Ej: Resultado del lanzamiento de un dado
v.a. continua es la que puede tomar un número infinito no numerable de valores.
X : E IR
Ej: Temperatura en el parque Nacional, Estatura en centímetros de un atleta
FUNCION DE DE PROBABILIDAD
Es la aplicación que asigna a cada valor de la variable aleatoria discreta X la probabilidad de que la
variable tome dicho valor (Con el concepto de v.a. podemos definir probabilidades asociadas a
números reales o a intervalos), por ejemplo:
Sucesos
X
P(X= xi)
{RRR}
0
P(X=0) = 1/8
{RRC, RCR, CRC}
1
P(x=1) = 3/8
{RCC, CRC, CCR}
2
P(x=2) = 3/8
3
P(x=3) = 1/8
{CCC}
Si lo miramos en forma tabular veriamos:
xi
P(X=xi)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
En el ejemplo anterior hablamos sobre el suceso obtener un número xi de caras al lanzar 3
monedas el cual sintetizamos en una variable aleatoria discreta (números enteros para cada valor
de la variable) y encontramos la función de probabilidad correspondiente, en forma tabular:
xi
P(X=xi)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
Para dar una definición general, denotaremos por:
 {xi} a los valores que tienen probabilidad positiva y los denominaremos puntos de masa de
la v.a.
 P(X= xi) = pi a sus probabilidades respectivas, y al conjunto de todas ellas lo
denominaremos función de masa o distribución de probabilidad de la v.a. X
Se cumple que:
.
La función de probabilidad se puede ver gráficamente de la siguiente manera
P(X=xi)
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0
1
2
3
X
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es la aplicación Fx(xi) que asigna a cada valor xi de la variable aleatoria discreta X la probabilidad
de que la variable tome valores menores o iguales que xi
Ej: Calcular la función de distribución de probabilidad para el caso del lanzamiento de las 3
monedas:
P(X
P(X
P(X
P(X
Tabularmente:
xi
0
Fx(xi)
1/8
Gráficamente tenemos:
1
1/2
2
7/8
3
1
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0
1
2
3
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSION PARA V.A.
De forma análoga al tratamiento de datos en la estadística descriptiva podemos definir para
variables aleatorias medidas de centralización, dispersión, simetría y forma. Por su interés nos
vamos a centrar en dos medidas sobre v.a. que son la esperanza matemática que desempeña un
papel equivalente al de la media aritmética y el momento central de segundo orden, también
denominado varianza.
Recordemos brevemente el significado de estas dos medidas:
Media: La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores,
ponderada por las frecuencias de los mismos, hace referencia al valor promedio encontrado entre
todos los valores posibles de la variable teniendo en cuenta su frecuencia. Para variables
aleatorias llamaremos a ese valor como valor esperado o esperanza matemática haciendo
referencia al valor donde se espera la mayor probabilidad. Para v. a. discretas tenemos:
Donde II es el conjunto numerable de índices de los valores que puede tomar la variable (por
ejemplo II = {1, 2, . . . , k} para un número finito de valores de la v.a. o bien II = IN para una
cantidad infinita numerable de los mismos) y f(xi) hace referencia la función de probabilidad de la
v.a.
Varianza: Es una medida de dispersión o variabilidad, es decir que nos indica si los valores que
toma la v.a. están próximas entre sí o si por el contrario están o muy dispersos, si los valores
tienden a concentrarse alrededor de la media la varianza es pegueña; en tanto que si los valores
tienden a distribuirse lejos de la media, la varianza es grande.
Se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media
aritmética. Esta medida es siempre una cantidad positiva, con propiedades interesantes para la
realización de inferencia estadística.
Se define como:
Donde II es el conjunto numerable de índices de los valores que puede tomar la variable (por
ejemplo II = {1, 2, . . . , k} para un número finito de valores de la v.a. o bien II = IN para una
cantidad infinita numerable de los mismos)
Obsérvese que si X tiene ciertas dimensiones o unidades por ejemplo centímetros (cm), entonces
2
la varianza de X tiene unidades cm , por lo cual se suele calcular la raíz cuadrada de la varianza
(desviación típica o estándar ).
Para el ejemplo del lanzamiento de las tres moneadas teníamos:
xi
P(X=xi)= f(xi)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
Por lo cual el valor donde se espera un valor más alto de probabilidad sería en los valores 1 y 2
(buscando el redondeo) de la variable aleatoria
Si sumamos y restamos la desviación estándar al valor esperado, obtendríamos el intervalo en el
cual se acumula la mayor probabilidad, esto es: (1.5 – 0.8662, 1.5 + 0.8662) = (0.6338 , 2.3662)
por tratarse de una variable discreta redondeamos y obtenemos (1,2) , las muestras de estos dos
valores de la variable aleatoria son donde encontramos la mayor densidad de probabilidad.
Ejemplo: Supóngase un juego con un dado. En donde el jugador gana $20 si obtiene 2, $40 si
obtiene 4, pierde $30 si obtiene 6; en tanto que ni pierde ni gana si obtiene otro resultado. Hallar la
suma esperada de dinero ganado.
Sea X la variable aleatoria que representa la cantidad ganada de dinero tenemos:
xi
P(X) = f(xi)
-30
1/6
0
1/2
20
1/6
E[X]= (-30)(1/6) + 0(1/2) + 20(1/6) +40 (1/6) = 5
Por lo tanto se espera que el jugador obtenga $5
2
2
2
2
Var[X] = (-30-5) (1/6) + (0-5) (1/2) + (20-5) (1/6) + (40-5) (1/6) = 458.333
40
1/6
= 21.4087
Por lo tanto se supondría que para un jugador cualquiera el margen de ganancias estaría oscilando
por lo general entre - $16 (pérdida de $16) y $26
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no,
siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q = 1−p el que no lo sea (fracaso). En
realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos
modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las
pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación
real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una
v.a. discreta X que toma los valores X = 0 si el suceso no ocurre, y X = 1 en caso contrario. Se
denota como:
Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y
obtener cara, en donde se considera la v.a.
X
Los principales momentos de una v.a que presenta una distribución de Bernoulli son:
E[x]= p
Var[X]= pq
Para el caso del lanzamiento de una moneda tendríamos:
E[x]= p = 1/2 , al ser una variable discreta redondeamos pero al ser un valor que admite dos
redondeos posibles, tenemos que la esperanza es obtener cara o no obtenerla (sello), debido a la
equiprobabilidad de ambos sucesos
Var[X]= pq = ¼ =0.25
Próximos temas: Distribución Binomial y Distribución de Poisson
TALLER 1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
DOCENTE: SERGIO ANDRÉS NIETO D.
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA DE LA PROBABILIDAD
1. Determine las funciones de probabilidad y distribución de probabilidad para las variables
aleatorias solicitadas en los siguientes casos, grafique cada función y determine el valor esperado
de la variable y la varianza.
A. Se sabe que al lanzar una moneda sale cara tres veces más a menudo de lo que sale sello
(moneda trucada), esta moneda se lanza tres veces. X es la variable aleatoria que denota el
número de caras que aparecen
B. Se lanza un par de dados de seis caras (no trucados) y la variable aleatoria X denota la suma de
los puntos obtenidos.
C. Se juega un partido de Beisbol entre los cachorros de chicago y los medias rojas de Boston, se
sabe que de los últimos 20 partidos que ambos equipos han jugado contra el otro los cachorros
han ganado 13 y los medias rojas 7. X es la variable aleatoria que denota victoria para los
cachorros
D. Una urna tiene 5 bolas blancas y 3 negras. Si se extraen dos bolas aleatoriamente sin
sustitución y X denota el número de bolas blancas