Download Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información

Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
Álgebra II (LSI)
GUÍA N° 2:
Geometría Analítica: La recta. El plano. Las cónicas
1.- Obtenga las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de:
a. La recta que contiene al punto
y es paralela al vector
b. La recta que contiene al origen de coordenadas y es paralela al vector
c. La recta que contiene al punto
y es paralela al vector
d. La recta que contiene al punto
e. La recta que contiene al punto
y es paralela al vector
y es paralela al vector
f. La recta que contiene al punto
y es paralela al vector
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
Para cada una de las rectas de los apartados anteriores, determine un punto distinto de
perteneciente a ella.
2.- Determine, si existe, el valor de
de ecuación:
a.
de modo que el punto
pertenezca a la recta
b. {
c.
3.- Determine en todas sus formas las ecuaciones de los ejes coordenados ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
4.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta cuyas ecuaciones cartesianas se dan a
continuación:
a. {
c. {
b. {
5.- Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a los
puntos y
a.
b.
c.
d.
y
y
6.- Sea la recta que contiene a los puntos
siguientes puntos están contenidos también en
Obtenga dos puntos de
1
y
y
y
. ¿Cuáles de los
?
distintos de los dados.
www.algebra-lineal.blogspot.com
Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
7.- Determine si los siguientes pares de rectas corresponden a rectas paralelas o perpendiculares:
a.
{
b.
{
c.
{
d.
{
8.- Determine k de modo que las siguientes rectas resulten ser paralelas:
{
9.- Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta:
a. que contiene al punto
y es paralela a la recta de ecuación
.
c. Que contiene al punto
y es paralela al eje ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
y es paralela al eje ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
d. Que contiene al punto
y es paralela al eje ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
b. Que contiene al punto
e. Que contiene al punto
y es ortogonal a la recta de ecuación
f. Que contiene al punto
y cuyos ángulos directores son 60°, 120° y 45°.
10.- La ecuación cartesiana de una recta en 2 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Realice
un esquema que represente gráficamente a:
a. un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible determinado.
b. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible indeterminado.
c. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas incompatible.
d. Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas incompatible.
e. Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas compatible determinado.
11.- Observe atentamente las siguientes situaciones de tres rectas en el plano.
Proponga un sistema que se adapte a cada una de las situaciones.
2
www.algebra-lineal.blogspot.com
Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
12.- Complete el siguiente cuadro:
ECUACIÓN
CARTESIANA
DEL PLANO EN
OTRA
FORMA DE
ESCRIBIR
CARACTERÍSTICAS
--------
Ecuación cartesiana general de un plano. No
contiene al origen de coordenadas.
--------
Ecuación cartesiana de un plano. Contiene al
origen de coordenadas
-------------------------------------------
-
d
a
-
d
b
-
d
c
13.- Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a
aproximadamente la posición del plano.
a.
c.
b.
d.
3
y es ortogonal a
e indique
www.algebra-lineal.blogspot.com
Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
14.- Caracterice los siguientes planos y escriba la ecuación vectorial de cada uno de ellos:
a.
b.
c.
15.- Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos
16.- Determine cuáles de los siguientes pares de planos son ortogonales o paralelos.
a.
b.
c.
–
17.- Determine en cada caso, si el plano y la recta son ortogonales o paralelos.
a.
b.
c.
[
]
{
18.- Halle la ecuación cartesiana del plano
a. Paralelo al plano YZ y situado a 3 unidades por arriba de él.
b. Ortogonal al eje X en el punto
.
c. Que contiene al punto
y es paralelo al plano
d. Ortogonal al segmento de recta determinado por
y
medio.
e. Que contiene al punto
y es ortogonal a la recta de ecuación
en su punto
.
f. Que contiene al punto
el punto
.
4
y es ortogonal a la recta que une dicho punto con
www.algebra-lineal.blogspot.com
Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
 Cónicas
19.- Halle la ecuación canónica de la circunferencia cuyos datos son:
a.
c.
√
b.
d.
20.- Indique si las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias y en dicho caso, obtenga
la forma canónica de las mismas y grafique:
a.
b.
c.
d.
21.- Encuentre la ecuación de la circunferencia en forma canónica y general :
a. Con centro en
que pasa por
b. Pasa por
y
sabiendo que ellos determinan un diámetro de la misma.
c. Cuyo diámetro es
, siendo:
22.- Determine:
a. La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X, y pasa por
.
b. El valor de
para que la ecuación
represente una
circunferencia de radio igual a 5.
c. La ecuación de la circunferencia que pasa por
y es concéntrica con
.
23.- Determine las coordenadas de los vértices y focos, la longitud de los ejes mayor y menor, la
excentricidad y la longitud del lado recto de las siguientes elipses. Grafique.
a.
b.
d.
c.
e.
24.- Cada una de las siguientes elipses tiene su centro en el origen. Indique cuál es su ecuación, si
satisface las condiciones adicionales dadas:
a. un vértice en
, un extremo del eje menor en
.
b. Un vértice en
, un foco en
.
c. Excentricidad , un foco en
d. Un vértice en
, longitud del lado recto 2.
e. Un extremo del eje menor en
, pasa por
5
.
www.algebra-lineal.blogspot.com
Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
25.- Halle la ecuación de la elipse cuyos datos se dan a continuación, y encuentre los demás
elementos:
a.
b.
c.
d.
26.- Reconozca, dé todos sus elementos y grafique las siguientes hipérbolas:
a.
b.
c.
e.
g.
d.
f.
h.
27.- Cada una de las siguientes hipérbolas tiene su centro en el origen. Determine su ecuación
sabiendo que satisface las condiciones dadas:
a. excentricidad 2, un vértice en
b. Un extremo del eje conjugado en
, excentricidad 3.
c. Un vértice en
, pasa por
.
28.- Obtenga la ecuación de las siguientes hipérbolas sabiendo que satisfacen las condiciones
dadas:
a. vértices en
y
, focos en
y
.
b. Vértices en
y
, distancia focal 7.
c. Focos en (
)y(
a los focos es 2.
d. Distancia focal 14,
e. Focos en
f. Focos en
), la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola
longitud del lado recto 20, eje transversal igual al eje X.
un extremo del eje conjugado en
.
la distancia entre sus vértices es 4.
29.- Halle la ecuación canónica de la parábola cuyos datos se dan:
a.
, directriz:
c.
d.
b.
;
(
)
,
, directriz:
30.- Halle las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y del eje de
simetría, y la longitud del lado recto de las siguientes parábolas. Grafique:
6
www.algebra-lineal.blogspot.com
Guía N° 2 – Álgebra II – Licenciatura en Sistemas de Información 2017
a.
d.
g.
b.
e.
h.
j.
k.
c.
f.
i.
31.- Determine:
a. el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje Y es
siempre igual a su distancia al punto
.
b. La ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola
pendiente igual a 1.
–
, con
32.- Obtenga la ecuación de la curva que satisface las condiciones indicadas:
a. Directriz
y foco
b. Parábola de vértice
y foco
c. Elipse de centro el origen, con foco
y longitud del eje menor igual a 4.
d. Elipse de focos
y eje mayor de longitud 8.
e. Hipérbola de centro
, un vértice en
y un foco en
.
f. Hipérbola de centro
, un vértice en
y un foco en
.
g. la parábola formada por los puntos que equidistan de la recta
y del punto
.
33.- Dadas las cónicas de ecuación:
a.
c.
b.
d.
f.
e.
Complete cuadrados, establezca la naturaleza de la cónica y todos sus elementos.
7
www.algebra-lineal.blogspot.com