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2do cuatrimestre (2007)
Álgebra 1
Trabajo Práctico Nº7: “Producto Vectorial – Rectas y Planos”
Producto Vectorial
r r
r r
1) i) Encontrar u × v y v × u
⎛3⎞
r ⎜ ⎟
a) u = ⎜ 0 ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞
r ⎜ ⎟
b) u = ⎜ − 1 ⎟
⎜ 8 ⎟
⎝ ⎠
⎛0⎞
r ⎜ ⎟
v = ⎜0⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
r ⎜ ⎟
v = ⎜5⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
r r
r r r r
ii) En cada caso, graficar u , v , u × v y v × u en un mismo sistema.
r r
r r
iii) ¿Geométricamente qué se puede afirmar de la dirección y sentido de u × v y v × u ?
Verificar analíticamente para b).
2) Demostrar que:
r
r r r
r
a) Dos vectores u y v son paralelos si y solo si u × v = 0
r r
r r
b) El vector u × v es ortogonal a u y v
r r
r r
c) u × v = − ( v × u )
r
r
r r
d) u × v es ortogonal a α u + β v α ∈ R , β ∈ R
Rectas en el Plano
⎛1 ⎞
⎛5⎞
3) Ubicar en el plano los puntos sobre la recta r : ⎜⎜ ⎟⎟ + λ ⎜⎜ ⎟⎟ , λ ∈ R , correspondientes a los
⎝2⎠
⎝ 4⎠
siguientes valores del parámetro λ :
1
5
λ = 0 , 1,
, − 1, , − 3.
2
2
4) Escribir las ecuaciones paramétricas, vectorial , implícita (general) y explícita (pendiente-
ordenada al origen) de las siguientes rectas y graficar:
r ⎛ 2⎞
a) La recta que pasa por el punto P ( 2 , 3 ) en la dirección del vector u = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
b) La recta que pasa por los puntos P (5,-2 ) y Q (0 ,4)
⎧ x = 1− t
c) La recta que pasa por R( 0 , 3 ) y es paralela a ⎨
⎩y=2 t
t∈R
r ⎛ 2⎞
⎟⎟
d) La recta que pasa por S(1,3 )y es perpendicular al vector d = ⎜⎜
⎝− 4 ⎠
e) La recta que pasa por T(1,3) y es perpendicular a 2 x -3 y + 6 = 0.
1
2do cuatrimestre (2007)
Álgebra 1
Rectas en el Espacio
⎧ x =1
⎪
5) Determinar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta r : ⎨ y = 2 + μ , μ ∈ R
⎪ z =μ
⎩
C=(1,2,3)
D = ( 1 , 10 , 8)
6) Escribir las ecuaciones paramétricas y vectorial de las siguientes rectas. Graficar.
⎛0 ⎞
r ⎜ ⎟
a) La recta que pasa por P(1, 2 ,3 ) y es paralela a v = ⎜1 ⎟
⎜1 ⎟
⎝ ⎠
b) La recta por los puntos P(3 , 1 ,-1 ) y Q( 0 , 5 , 4 ).
⎛5⎞
⎜ ⎟
c) La recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano generado por ⎜ 2 ⎟ ,
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎜6⎟ .
⎜1 ⎟
⎝ ⎠
Planos
7) i) Graficar todos los puntos (x ,y, z) que verifican las siguientes ecuaciones:
a) x = 1
b) z – 3 = 0
c) y – x = 0 ¿Qué representa esto en R2 ?
¿Y en R3?
d) x + z - 2 = 0
e) x – z = 0
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2y–3z=9
2 x + 3 y + 4 z = 12
5 x + y – 4 z + 20 = 0
2 x – y + 5 z + 10 = 0
x+y–z=0
2x+2y–z=0
ii) En cada caso encontrar un vector normal al plano.
8) Encontrar las ecuaciones implícita, vectorial y paramétricas del plano tal que:
⎛3 ⎞
r ⎜ ⎟
a) Pase por P ( 3, 1 , 1 ) y sea perpendicular a r = ⎜ 6 ⎟ .
⎜3 ⎟
⎝ ⎠
b) Pase por Q( 2 , 5 ,-6) y sea paralelo al plano 3 x – y + 2 z = 10.
⎛5 ⎞
⎛2 ⎞
r ⎜ ⎟
r ⎜ ⎟
c) Pase por el punto P (3,7,6) y sea paralelo a los vectores a = ⎜ 2 ⎟ y b = ⎜1 ⎟
⎜2 ⎟
⎜0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
d) Pase por P (1,1,1) , Q (2,3,4) y R (5,2,6).
⎧ x = 2 λ + 3μ
⎪
e) Sea paralelo a r : ⎨ y = 4
⎪ z = −1 − λ + μ
⎩
λ , μ ∈ R y pase por M ( − 3, 2 , 3 )
9) Encontrar el valor de las constantes h y k de modo tal que el plano π : hx + ky + z + 5 = 0
a) Pase por los puntos P (1 , 2 ,-4) y Q(-2 ,3 ,1)
⎛15 ⎞
r ⎜ ⎟
b) Sea perpendicular al vector n = ⎜ 30 ⎟
⎜5⎟
⎝ ⎠
c) Sea paralelo al plano α : 3 x − 5 y + z − 9 = 0
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