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Parte 1: Nociones elementales
Parte 2: Isometrías
Parte 3: Homotecias
Parte 4: Sistemas de coordenadas
Parte 5: Cónicas
Material preparado por:
Prof. Ana María Tosetti
Revisado y complementado por:
Ing. Freddy Rabín
Catedrático de Matemática
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Parte 1: Nociones elementales
Repasaremos lo principales elementos de la geometría del plano, no se realizará un desarrollo
en detalle.
Trabajaremos con las nociones intuitivas de punto recta plano y espacio.
Se darán algunas definiciones de las figuras más conocidas y de sus propiedades, esta
información será muy útil para el desarrollo del resto del curso sobre todo en la parte de
geometría analítica
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Decimos que dos rectas son coplanares cuando existe un plano que las incluye.
Dos rectas coplanares son secantes cuando tienen un solo punto en común
Dos rectas coplanares son paralelas cuando no son secantes.
Por lo tanto dos rectas coplanares son paralelas cuando son coincidentes o no tienen puntos
comunes (decimos en este caso que las rectas tienen la misma dirección).
SECANTES
PARALELAS DISJUNTAS
PARALELAS COINCIDENTES
A
O sea que dos rectas coplanares pueden cumplir:
• s y r son rectas paralelas si y solo si
•
s y r son rectas secantes si y solo si
Rectas que se cruzan
Cuando consideramos rectas en el espacio estas pueden ser coplanares o no coplanares a estas
últimas también se las denomina alabeadas o rectas que se cruzan.
Decimos que dos rectas se cruzan cuando no existe ningún plano que las contenga. En este
caso la intersección de las rectas es el conjunto vacio pero a diferencia de las paralelas estas
son no coplanares.
Por ejemplo las rectas r y r´ de la figura se cruzan
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Así como también las rectas a y b de esta representación:
a
b
Triángulo
Es un polígono de tres lados, determinado por tres puntos no alineados llamados vértices.
Propiedades:
1) La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo
es un ángulo llano ( 180º = radianes)
2) Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros
dos ( Desigualdad triangular)
Clasificación de triángulos
La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios:
a. Atendiendo a sus lados:
• Escalenos (los tres lados distintos , también tienen sus tres ángulos distintos))
• Isósceles (dos lados iguales, también tienen dos ángulos iguales)
• Equilátero (los tres lados iguales, también tienen sus tres ángulos iguales )
Escaleno
Equilátero
Isósceles
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b. Atendiendo a sus ángulos:
• Rectángulos (si tiene un ángulo recto)
• Acutángulos (si los tres ángulos son agudos)
• Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso)
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
Puntos y rectas notables de un triángulo
Mediatrices y circuncentro de un triángulo
Llamamos mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
Propiedad:
Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento y recíprocamente si un
punto equidista de los extremos de un segmento pertenece a su mediatriz.
Llamamos mediatrices de un triangulo a las mediatrices de sus lados.
Las mediatrices de los lados de un triangulo
cualquiera, se cortan en un punto C,
llamado circuncentro,
A
El circuncentro está a igual distancia de los
tres vértices. Este punto es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices e incentro de un triángulo
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior al ángulo con origen en el vértice del
ángulo que lo divide en dos ángulos iguales.
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Propiedad:
Los puntos de la bisectriz equidistan de los
lados del ángulo.
Llamamos bisectrices de un triangulo a las
bisectrices de sus ángulos
Las bisectrices de los tres ángulos de un
triángulo se cortan en un punto I que está a
igual distancia de los tres lados. Este punto se
llama incentro y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Alturas y ortocentro de un triángulo
Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a
un lado por el vértice opuesto.
Las tres rectas que contienen las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Medianas y baricentro de un triángulo
Se llaman medianas a los segmentos que tienen por extremos el
punto medio de un lado y el vértice opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto
llamado baricentro.
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Recta de Euler
En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y
baricentro están alineados. La recta a la que
pertenecen se llama recta de Euler.
Para visualizar mejor esta propiedad es recomendable consultar el siguiente link:
http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=euler
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en
un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa (el lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los dos catetos (los dos lados
menores del triángulo rectángulo: los que
conforman el ángulo recto). Si un triángulo
rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la
medida de la hipotenusa es , se cumple que:
Cuadriláteros
Llamamos cuadrilátero a un polígono de cuatro lados
Clasificación
CUADRILÁTEROS
CONVEXOS
Dos pares de lados paralelos
Dos lados paralelos y los
otros dos no paralelos
Ningún lado paralelo
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Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides o simplemente
cuadriláteros.
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Lados paralelos
dos a dos
1.-PARALELOGRAMO
P
A
R
A
L
E
L
O
G
R
A
M
O
S
RECTÁNGULO
Los ángulos
opuestos son
iguales
Paralelogramo que tiene los 4
ángulos iguales.
Esto es cuatro ángulos rectos.
CUADRADO
Tiene lados
iguales y
ángulos
iguales.
Tiene cuatro
ángulos rectos, y
por tanto es un
rectángulo.
Tiene cuatro lados
iguales y en
consecuencia es
un rombo.
ROMBO
Paralelogramo que tiene los cuatro
lados iguales.
2.-TRAPECIO
Dos de sus
lados,
(normalmente
llamados bases)
son paralelos.
Un lado perpendicular a las
T
R
A
P
E
C
I
O
S
TRAPECIO
RECTÁNGULO
bases.
O bien
Tiene dos ángulos rectos.
TRAPECIO
ISÓSCELES
TRAPECIO
ESCALENO
Los lados no paralelos son
de igual longitud.
Trapecio no rectángulo ni isósceles.
A continuación se presentan las fórmulas para calcular el área de las figuras más conocidas.
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Para terminar con esta parte del repaso trataremos los conceptos básicos de trigonometría.
Razones trigonométricas
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El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en A; definiremos las razones seno, coseno y
tangente, del ángulo C
• El seno de C es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
• El coseno de C es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
• La tangente de C es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente
Teorema del seno
El teorema del seno establece una relación
de proporcionalidad entre las longitudes de
los lados de un triángulo y los senos de
los ángulos respectivamente opuestos.
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son
respectivamente a, b, c, entonces:
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Teorema del coseno
El teorema del coseno es una generalización
del teorema de Pitágoras en los triángulos
no rectángulos, en el se relaciona un lado
de un triángulo con los otros dos y con
el coseno del ángulo formado por estos dos
lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente
opuestos a estos ángulos entonces:
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Parte 2: Isometrías
Denominamos isometría en el plano a una transformación geométrica
conserva las distancias
que
Simetría Axial
Una simetría axial de eje e es una transformación, en la cual a todo punto P
del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje
es la mediatriz del segmento P P´.
Por ejemplo el correspondiente del triangulo ABC en la simetria axial de eje e
es el triangulo A´B´C´
Propiedades
1) El eje de simetría es una recta doble y unida.
Doble significa que se corresponde con ella misma en la isometría y unida que todos sus
puntos son fijos.
2) Las rectas perpendiculares al eje son dobles pero no unidas.
3) El eje contiene a la bisectriz del ángulo determinado por dos semirrectas
correspondientes con origen en el eje.
4) Si una recta es paralela al eje de simetría, su transformada también lo es y el eje es
paralela media.
Les recomiendo consultar el siguiente link:
http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simaxi
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Simetría central
Una simetría central de centro el punto O, es una transformación del plano en él
que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el
punto medio del segmento de extremos P y P'.
Propiedades:
1) El único punto unido es el centro.
2) Las rectas por el centro son doble
3) Las rectas correspondientes que no pasan por el centro son paralelas.
Les recomiendo consultar el siguiente link:
http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simcen
Traslación
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La traslación es una transformación en la cual a todo punto A del plano le
corresponde otro punto A' de forma que
. Siendo
el vector que
define la traslación.
La traslación se designa por Tvr , luego Tvr ( A) = A′ .
Propiedades
1) No hay puntos unidos (también llamados fijos) si
no es el vector nulo (en
el caso que lo sea todos los puntos son unidos).
2) Una recta y su correspondiente son paralelas.
3) Las rectas dobles son las de dirección paralela al vector de la traslación.
4) Si el vector de la traslación es el vector nulo esta es la identidad, o sea que cada
punto se corresponde con sí mismo.
Les recomiendo consultar el siguiente link:
http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trasla
Rotación
Dados un punto O y un ángulo α, se llama rotación de centro O y ángulo α a
una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' de modo que:
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El sentido de giro positivo de es el contrario al movimiento de las agujas
(antihorario) del reloj. Muchas veces se indica el ángulo en valor absoluto y se
indica el sentido diciendo si es antihorario u horario.
Propiedades
1) El centro de una rotación pertenece a la mediatriz del segmento determinado por un
punto cualquiera y su correspondiente.
2) El ángulo determinado por dos rectas correspondientes es igual al ángulo de rotación.
3) El centro de rotación pertenece a la bisectriz del ángulo formado por dos rectas
correspondientes
4) El único punto unido es el centro cuando el ángulo de rotación no es 0.
5) Si el ángulo de rotación es 0 la rotación es la identidad.
Les recomiendo consultar el siguiente link:
http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=rotaci
Veamos ahora algunos ejemplos de composición
Llamamos composición de isometrías a la aplicación sucesiva de dos o más
isometrías.
Composición de simetrías axiales de ejes paralelos
La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo
vector tiene:
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• Longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.
• La dirección del vector es perpendicular a los ejes.
• El sentido es el de e a e'.
Composición de simetrías axiales de ejes perpendiculares
La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría
central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.
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Composición de simetrías centrales con el mismo centro
Si aplicamos sucesivamente una simetría de centro o con una simetría de
centro o, cada punto del plano se corresponde con el mismo, o sea que la
composición de simetrías axiales de igual centro es la identidad, en este caso
decimos que la isometría es involutiva.
Composición de traslaciones
r
r
Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores u y v , se obtiene otra
r
r
traslación cuyo vector es la suma de los vectores u y v .
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Composición de Rotaciones con el mismo centro
Al aplicar sucesivamente dos Rotaciones de igual centro O y amplitudes α y β
en el mismo sentido se obtiene una rotación
de igual centro O y amplitud
igual a la suma de las amplitudes α+β y en el mismo sentido de las anteriores.
Criterios de congruencia de triángulos
Decimos que dos figuras son congruentes cuando se corresponden
en una
isometría, si se trata de triángulos esto significa que tienen, ángulos y lados
iguales, existen criterios que nos permiten decir cuando dos triángulos son
congruentes, recordemos a continuación cuales son.
1. Criterio (L, L, L)
Dos triángulos son congruentes si sus lados respectivamente congruentes:
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2. Criterio (L, A, L)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
congruentes.
3. Criterio (A, L, A)
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los dos ángulos adyacentes congruentes.
4. Criterio (L, L, A>)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de estos
lados congruentes.
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Parte 3: Homotecias
Una homotecia de centro O y razón k ( k es un real positivo) es una transformación del
plano en la cual a un punto cualquiera P, le corresponde otro punto P' de la semirrecta O P, de
. Veamos algunos ejemplos:
manera que
Si k es un real negativo en al homotecia de centro O y razon k a un punto cualquiera P, le
corresponde otro punto P' de la semirrecta opuesta a la O P, de manera que
.
Veamos algún ejemplo:
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Les recomiendo que consulten este link:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homot
e1.htm
Propiedades
• Las rectas correspondientes en una homotecia son paralelas
• Las rectas que pasan por el centro de homotecia son dobles
• Si la razón de homotecia es 1 la homotecia es la identidad
• Si la razón de homotecia es -1 la homotecia es una simetría central cuyo centro es el
de homotecia
Relación entre las áreas de figuras homotéticas
Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:
La razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia.
La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.
Semejanza
La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una
homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
Hoja 20 de 55
Les recomiendo consultar este link:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geo
metria/homoteciasysemejanzas/semejanza.gif
Figuras semejantes
Decimos que dos figuras son semejantes cuando se corresponden en una semejanza.
Criterios de semejanza de triángulos
1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos igual.
Teorema de Thales
S i d o s rect as cu al es q u i era s e co rt an p o r v ari as re ct as p aral el as , l o s
s egm en t o s d et e rm i n ad o s en u n a d e l as rect as s o n p rop o rci o n al es a l o s
s egm en t o s co rr es p o n d i en t es en l a o t ra.
Les reco m i en d o co n s u l t ar es t e l i n k :
http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ejercicios (1ª Parte) para esta segunda parte
Ejercicio 1
Indicar si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas (justificar).
1. Un triangulo isósceles es equilátero
2. Un triángulo rectángulo es obtusángulo
3. Dos rectas que se cruzan tienen al menos un punto en común
4. Un cuadrado es un rombo
5. En un paralelogramo los ángulos opuestos suman 180º
6. Dos restas paralelas no tienen puntos comunes
Ejercicio 2
Elegir la opción correcta (justificar).
1. En una simetría central:
a) No hay puntos unidos.
b) Las rectas que pasan por el centro de simetría son dobles.
c) Las rectas correspondientes son perpendiculares.
d) Los segmentos correspondientes son proporcionales en razón 1/ 2.
2. En una traslación:
a) Las rectas perpendiculares a la dirección del vector de traslación son dobles.
b) Las rectas correspondientes son paralelas a la dirección del vector de traslación.
c) El vector de traslación está incluido en la mediatriz del segmento determinado
por un par de puntos correspondientes.
d) No hay puntos unidos.
3. En una simetría axial:
a) Las rectas paralelas al eje son dobles.
b) Las rectas perpendiculares al eje son dobles.
c) No hay puntos unidos.
d) Las rectas correspondientes son perpendiculares.
4. En una homotecia:
a) No hay puntos unidos.
b) Las rectas correspondientes son perpendiculares.
c) Las rectas correspondientes son paralelas.
d) Los triángulos correspondientes tienen igual área.
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Parte 4: Sistemas de coordenadas
Un sistema de de coordenadas ortogonal está formado por dos rectas perpendiculares entre
sí, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente
uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo
denominamos eje de abscisas y al vertical eje de ordenadas. Se establece una unidad de
medida (que puede ser la misma o diferente para los dos ejes) y un sentido positivo y otro
negativo en los dos ejes.
Un punto del plano queda determinado por un par de números reales, ésta es una relación
biunívoca.
El par (x,y) son las coordenadas del punto A , x es su abscisa e y es su ordenada.
Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de
un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas.
Por información sobre descartes ver
http://www.webdianoia.com/moderna/descartes/desc_bio.htm
También puede establecerse un sistema de coordenadas en el espacio como lo muestra la
siguiente figura.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Cambio de sistema de coordenadas cartesianas
Primer caso (traslación del sistema de coordenadas): Sean (x,y) las coordenadas del punto
respecto a los ejes de coordenadas X-Y.
Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X , Y respecto al nuevo
sistema de coordenadas X' , Y'. Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas
coordenadas (x',y') son:
x' = x0 + x
y' = y0 + y
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Segundo caso (rotación de los ejes): Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes
de coordenadas X, Y. Sea a el ángulo que se giran los ejes.
x' = x cosa – y sena
y' = x sena + y cosa
Distancia entre dos puntos
La distancia entre los puntos A (a, b) y B (c,d) es:
lo que se deduce de aplicar el teorema de Pitágoras
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Coordenadas polares
En un sistema de coordenadas
polares para ubicar un punto se
utiliza la medida del segmento
que este punto determina con el
origen y el ángulo que este
segmento determina con el
semieje positivo de abscisas.
Cambio de coordenadas cartesianas a polares
Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, las coordenadas polares de ese punto
rα donde: r = x 2 + y 2
y α queda determinado por el par de ecuaciones
x
x
y
y
cos(α ) = =
y sen (α ) = =
.
r
r
x2 + y2
x2 + y2
serán
Cambio de coordenadas polares a cartesianas
Si
son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán:
x = r cos
y = r sen
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
.
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Ecuación de la recta
La recta (r) corresponde a la ecuación
m se denomina pendiente de la recta y es igual a la tangente del ángulo que determina la
recta con el semieje positivo de abscisas, n se llama ordenada en el origen y es la ordenada
del punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas.
Si la recta pasa por los puntos A (
yB
, m y n se obtienen mediante las
siguientes expresiones:
La recta que corresponde a la ecuación x = xv se la denomina recta vertical.
La recta que corresponde a la ecuación y = yh se la denomina recta horizontal.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Otra forma de determinar la ecuación de una recta
Si conocemos la pendiente m y un punto A (x0,y0) por el que pasa la recta podemos escribir la
ecuación de la recta del modo siguiente:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Po s i ci o n es r el a ti v a s d e d o s recta s en e l p l a n o
S eca n tes
Dos rect as son s ecan t es si sólo
tienen u n p u n t o en co m ú n.
El sistema de ecuaciones formado
por las ecuaciones de las dos
rectas tiene u n a s o l a s o l u ci ó n .
Pa ra l el a s n o co i n ci d en tes
Dos rect as son p aral el as n o
co i n ci d en t es si no tienen
n i n gú n p u n t o en co m ú n.
El sistema de ecuaciones formado
por las ecuaciones de las dos
rectas tiene s o l u ci ó n v ací a.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Condición de paralelismo
Si dos rectas son paralelas tienen las mismas pendientes.
Sean las rectas (r): y= m x +n y (r´): y = m´x +n´, r r`
.
Co i n ci d en tes
Dos rect as son co i n ci d en t es si tienen t o d o s los p u n t o s son co m u n es (s i , en
d efi n i t i v a, s o n l a m i s m a rect a ).
El sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas tiene i n fi n i t as
s o l u ci o n es .
Condición de coincidencia
Sean las rectas (r): y= m x +n y (r´): y = m´x +n´, r r`
n= n´.
Rectas perpendiculares
Dada una recta:
Se trata de determinar qué rectas:
son perpendiculares a la primera.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
Hoja 30 de 55
Sabiendo que:
Siendo α el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, cualquier recta
perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con dicho semieje.
Como sabemos que:
y si la pendiente de la primera recta es:
la de la segunda debe de ser:
Esto es, dada una recta cualquiera:
Cualquier recta de la forma:
es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.
Semiplano
Una recta divide al plano en dos regiones, a la unión de cada una de esta regiones con la recta
se la denomina semiplano. A la recta se la llama borde del semiplano.
Si la ecuación de la recta es: ax + by = c , las regiones en que ésta divide al plano están
dadas por las soluciones de las inecuaciones:
ax + by < c
;
ax + by > c
Ejemplo
Sea la recta de ecuación : 3x – 2y = 5
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
Hoja 31 de 55
Las regiones que define (los semiplanos que define) son:
Ejemplo
El conjunto solución del sistema
está representado por el grafico siguiente:
Ejemplo
El conjunto solución del sistema
está representado en el grafico siguiente:
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
Hoja 32 de 55
Distancia de un punto a una recta
Sean el punto A (
y una recta (r): y = ax +b , la distancia entre A y (r) es:
d( A, r ) =
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ángulo entre dos rectas
Si m1=tan
y m2=tan
, entonces el ángulo
entre las rectas
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
y
cumple:
Hoja 34 de 55
Parte 5: Cónicas
Cónicas
Cuando un plano corta a una superficie cónica obtenemos una curva que llamamos cónica.
Dependiendo de la posición del plano respecto al cono obtenemos una curva u otra:
• Si el plano es perpendicular al
eje es una circunferencia
• Si el plano es oblicuo al eje y corta a todas las
generatrices es una elipse
.
• Si el plano es paralelo al eje es una
hipérbola
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
Hoja 35 de 55
• Si el plano es oblicuo al eje y corta
sólo a una generatriz es una parábola.
Si el plano pasa por el vértice, decimos que la cónica es degenerada y puede ser un punto, una
recta (también llamada recta doble) o un par de rectas concurrentes.
Les recomiendo consultar este link: http://www.catedu.es/matematicas_blecua/
Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro. La distancia de cada punto al centro se llama radio de la circunferencia.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
Hoja 36 de 55
,
y elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Para que una expresión del tipo:
sea una circunferencia debe cumplir que:
dando lugar a la existencia del radio.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Observación
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda
reducida a:
Posiciones relativas de una circunferencia y una recta
Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y a una recta resolveremos el
sistema formado por las ecuaciones de ambas.
Se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del
discriminante, ∆, las siguientes soluciones:
1) Si ∆ > 0 , dos soluciones:
la recta y la circunferencia
son secantes.
2) Si ∆ = 0 , una solución:
la recta y la circunferencia
son tangente.
3) Si ∆ < 0 , solución vacía:
la recta y la circunferencia
son exteriores.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Tangentes a una circunferencia en un punto de la circunferencia
Sea la siguiente la ecuación de la circunferencia:
No es difícil demostrar que realizando las sustituciones siguientes se obtiene la ecuación de la
, donde T es un punto de la circunferencia.
tangente e la circunferencia en T (
cambia por
,
cambia por
x cambia por
, y cambia por
Ejemplo
Dada la circunferencia de ecuación
para encontrar la ecuación de
la recta tangente a dicha circunferencia en T (1,4) primero verificamos que P es un punto de la
circunferencia (simplemente verificando que las coordenadas de T verifican la ecuación de la
circunferencia), luego realizamos los cambios indicados obteniendo:
Operando se llega a que la ecuación de la tangente en T es y = 4.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Tangentes a una circunferencia en un punto exterior a la circunferencia
Para hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P exterior,
realizamos los cambios indicado en la parte anterior y obtenemos la denominada recta polar,
o sea la recta que une los puntos de tangencia T(1) y T(2) cortando la circunferencia con esta
recta encontramos dichos puntos y luego hallamos las rectas por T(1) y P y por T(2) y P.
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias
a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Pueden destacarse los siguientes elementos en una elipse:
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto
cualquiera de la elipse y cada uno de los focos: PF y PF'.
de longitud 2c, c es la semidistancia focal.
Distancia focal: Es el segmento
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento
mayor.
de longitud 2a, a es la medida del semieje
Eje menor: Es el segmento
menor.
de longitud 2b, b es la medida del semieje
Ecuación de la elipse (1 er caso)
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la
elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y
F(c, 0).
b
c
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ecuación de la elipse (2º caso)
Si el centro de la elipse C(x 0 ,y 0 ) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos
tienen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ). Y la ecuación de la elipse será:
Operando se obtiene una ecuación de la forma:
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Pueden destacarse los siguientes elementos en una hipérbola:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento
.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con
el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario
con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que tienen por extremos un punto
cualquiera de la hipérbola y cada uno de los focos: PF y PF'
Distancia focal: Es el segmento
de longitud 2c.
Eje mayor: Es el segmento
de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento
de longitud 2b.
Asíntotas: Para la hipérbola de la figura, son las rectas de ecuaciones:
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Relación entre las medidas de los semiejes: c 2 = a 2 + b 2
Ecuación de la hipérbola (1 er caso)
Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas y los focos son: F'(-c,0) y F(c,0),
cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ecuación de la hipérbola (2º caso)
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Si el centro de la hipérbola es C(x 0 ,y 0 ) y el eje principal es paralelo a Ox, los focos tienen
de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F'(X 0 -c, y 0 ) , entonces la ecuación de la hipérbola será:
Operando obtenemos una ecuación de la forma:
Hipérbola equilátera
Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por
tanto a = b. Y su ecuación es (ejes en los ejes de coordenadas):
Las asíntotas tienen por ecuación (ejes en los ejes de coordenadas):
,
es decir, las bisectrices de los cuadrantes.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
Para pasar de los ejes Ox, Oy a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de
-45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:
Ejemplo
La ecuación
representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y sus focos.
Como las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer
cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es decir, x = y. Y
como además el punto A pertenece a la curva, tendremos:
El semieje a es la distancia del origen al vértice A:
Calculemos los focos:
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Pueden destacarse los siguientes elementos en una parábola:
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el
foco.
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Ecuación de la parábola (1 er caso)
Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación:
Ecuación de la parábola (2º caso)
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Aplicando la definición obtenemos la siguiente ecuación:
Observación
Una ecuación de la forma a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 es la ecuación de una cónica.
Mediante cambios adecuados de coordenadas puede trasformase esta ecuación en una
ecuación reducida del tipo de las que ya vimos. Puede suceder también, como caso particular,
que se trate de una cónica degenerada.
Puede averiguarse de que género (establecemos tres géneros: hiperbólico, elíptico o
parabólico incluyendo los casos degenerados en éstos) es la cónica aplicando la siguiente
regla:
Si ∆ = b 2 − 4ac > 0 , entonces la cónica es de género hiperbólico.
Si ∆ = b 2 − 4ac < 0 , entonces la cónica es de género elíptico.
Si ∆ = b 2 − 4ac = 0 , entonces la cónica es de género parabólico.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ejercicios (2ª Parte) para esta segunda parte
Ejercicio 1
En cada caso se pide hallar la ecuación de la recta que:
a) Pase por los puntos A = (2,1) y B = (3,2).
b) Pase por el punto A (2,0) y sea paralela a la recta de ecuación 4 x − 2 y = 6 .
c) Pase por el punto A (2,0) y sea perpendicular a la recta de ecuación y - x +2 = 0
Ejercicio 2
Dado el segmento de extremos en los puntos A = (2,0) y B = (4,2), hallar la ecuación de la
mediatriz de dicho segmento. Realizar el ejercicio de dos formas diferentes: hallando la
ecuación de la recta perpendicular por el punto medio del segmento e imponiendo a un punto
genérico que esté a igual distancia de los extremos del segmento.
Ejercicio 3
a) Dadas las rectas: (r): y - x – 1 = 0 y (s): y + x -1=0, hallar las ecuaciones de las
bisectrices de los ángulos determinados por dichas rectas. Verificar que son rectas
perpendiculares entre sí. Representar geométricamente.
b) Repetir la parte a) (hallar las bisectrices y representar gráficamente) considerando las rectas:
( r ) y = x y ( s) y = 1.
Ejercicio 4
Dado el triángulo de vértices A = (2,2), B = (1,0) y C = (3,0), hallar las coordenadas de su
ortocentro (corte de sus alturas) y su baricentro (corte de sus medianas). Determinar el
circuncentro (centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices) del triángulo y verificar
la alineación de los tres puntos en la recta de Euler (estos tres puntos notables de cualquier
triángulo están alineados).
Ejercicio 5
Estudiar las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas. Corroborar con la
representación gráfica.
a) ( r ): y - 2x = 0
y (s):y=x+2
b) ( r ): 2x - y -1 = 0 y
(s ) – 6x +3y = 2
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ejercicio 6
Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas, discutiendo en función de los
parámetros reales a y b: ( r ): a y - x = a - 1 y ( s ): y + x = b + 1
Ejercicio 7
a) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (2,-1) y de radio 3.
b) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A = (3,4) y que pasa por el
origen.
c) Hallar la ecuación de la circunferencia que tenga por uno de sus diámetros el segmento
determinado por los puntos A = (0,2) y B = (-4,6).
Ejercicio 8
Hallar las ecuaciones de las circunferencias que sean tangentes a ambos ejes coordenados y
que pasen por el punto A = (1,2). Realizar el mismo ejercicio pero pidiéndole que pase por el
punto B = (0,1). ¿Siempre habrá dos soluciones al problema planteado?, es decir hallar la
ecuación de una circunferencia tangente a ambos ejes y que pase por un punto determinado,
en caso que corresponda discutir en función del punto la cantidad de soluciones.
Ejercicio 9
Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro pertenezca a la recta de ecuación y=2x+1
y sea tangente a la recta y -1 = 0, en el punto A = (1,1). Resolver el problema de dos formas
diferentes: completamente analítica y geométricamente para hallar el centro y radio.
Ejercicio 10
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (1,1), B (1,-1), C (2,0).
Resolver el problema de dos formas diferentes: completamente analítica y geométricamente
para hallar el centro y radio.
Ejercicio 11
Representar gráficamente el conjunto de los puntos ( x , y ) tales que:
a) ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4
b) x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 0
c) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 5 = 0
d) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 − a = 0 , discutir en función de a ∈ R
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ejercicio 12
Determinar en los siguientes casos la posición relativa entre la recta y la circunferencia dadas,
hallando en los casos que corresponda el o los puntos de corte. Representar gráficamente cada
caso.
a) (r ) : y = − x + 2 (C ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0
b) ( r ) : x + y = 2
(C ) : x 2 + y 2 − 2 = 0
c) (r ) : x + y + 1 = 0
(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y = 0
Ejercicio 13
Discutir en función del parámetro real a, la posición relativa de la recta y la circunferencia
dadas:
1
( r ) : y + x = 1 +a (C ) : x 2 + y 2 = .
2
Representar.
Ejercicio 14
Dada la circunferencia (C ) : x 2 + y 2 − 3 = 0 y el punto P = ( 2 , y P )
Determinar yP ≥ 0 , tal que P ∈ (C ) . Hallar la ecuación de la recta tangente a (C ) por el punto
P. Use o verifique la condición de perpendicularidad entre rectas.
Ejercicio 15
Se consideran la circunferencia (C ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 y el punto P = (2,1).
Representar gráficamente el interior y el exterior de ( C ) y escribir la inecuación que los
representa. Verificar que P es exterior a ( C ). Hallar las ecuaciones de las tangentes a la
circunferencia desde el punto P. Realizarlo de dos formas diferentes: imponiendo que una
recta por el punto corte a la circunferencia en un solo punto e imponiendo que la distancia del
centro de la circunferencia a la recta sea igual al radio.
Ejercicio 16
Hallar los puntos de corte de las circunferencias: (C1 ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0 y
(C2 ) : x 2 + y 2 − 2 y = 0 . Representar gráficamente.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ejercicio 17
Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones:
x2 + y2 ≤ 4
2
2
2
2
 x + y − 2x ≥ 0
x + y − 2x − 2 y ≤ 0 
 2

 x≥0
2
y−x≥0
x + y − 2 y ≤ 0

 y ≤1

Ejercicio 18
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de los cuadrados
de sus distancias a los puntos A = (-1,2) y B = (-1,6) es 16. Reconocer y representar dicho
lugar.
Ejercicio 19
D et erm i n a l as ecu a c i o n es d e l as p ar áb o l as q u e t i en en :
a) D e d i r ect ri z x = -3 , d e fo co (3 , 0 ).
b ) D e d i re ct ri z y = 4 , d e v ért i ce (0 , 0 ).
c) D e fo co (2 , 0 ), d e v ért i ce (0 , 0 ).
Ejercicio 20
H al l ar l as co o rd en a d as d el v ért i c e y d e l o s fo co s , y l as ecu a ci o n es d e l as
d i rect ri c es d e l as p a ráb o l as :
a)
b)
Ejercicio 21
H al l ar l a e cu aci ó n d e l a p aráb o l a d e ej e v ert i cal y q u e p as a p o r l o s p u n t o s :
A (6 , 1 ), B(-2 , 3 ), C ( 1 6 , 6 ).
Ejercicio 22
H al l ar l a ecu a ci ó n d e l u gar geo m ét ri co d e l o s p u nt os P (x . y) cu ya s u m a
d e d i s t an ci as a l o s p u n t o s fi j o s (4 , 2 ) y ( -2 , 2 ) s ea i gu al a 8 .
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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Ejercicio 23
Hal l ar l o s el em en t o s cara ct erí s t i co s y l a ecu a ci ó n red u ci d a d e l a el i p s e
d e fo co s : F '(-3 , 0 ) y F(3 , 0 ), y s u ej e m a yo r m i d e 10 .
Ejercicio 24
Dad a
la
ecu aci ó n
red u ci d a
de
la
el i p s e
x2 y2
+
=1,
4
9
h al l ar
l as
co o rd en ad as d e l o s v ért i ces y d e l o s fo c o s .
Ejercicio 25
Hal l ar l a ecu aci ó n d e l a el i p s e d e fo c o F(7 , 2 ), d e v ért i c e A(9 , 2 ) y d e
cen t ro C (4 , 2 ).
Ejercicio 26
Dad a
la
el i p s e
de
ecu a ci ó n
( x − 6) 2 ( y + 4) 2
+
=1,
36
16
h al l ar
su
cen t ro ,
v ért i ces y fo co s .
Ejercicio 27
Det erm i n ar l as co o r d en ad as d e l o s fo co s y d e l o s v ért i ces d e l as s i gu i en t es
h i p érb o l as .
a)
x2 y2
−
=1
144 81
c) x2 − 2 y2 = 4
b)
y2 x2
−
=1
144 25
d ) 5 y 2 − 4 x 2 = 45
Ejercicio 28
Hal l ar l a e cu a ci ó n d e u n a h i p érb o l a d e e j e m a yo r 8 y d i s t an c i a fo cal 1 0 .
Ejercicio 29
El ej e m a yo r d e u n a h i p érb o l a m i d e 1 2 y l a cu rv a p as a p o r el p u n t o P (8 ,
1 4 ). Hal l ar s u ecu a c i ó n .
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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BIBLIOGRAFÍA:
Fernández Val, Walter, Geometría métrica, plano y espacio: 5ta. Ed. Kapeluz.
Fernández Val, Walter, Geometría analítica y álgebra: 5ta. Ed. Kapeluz.
Zambra, M., Rodríguez, M. y Belcredi, L., Geometría: Colección Mosaicos.
Guido Castelnuovo, Lecciones de geometría analítica.
Oteyza, E., Lam, E., Gómez, J., Ramírez, A. y Hernández, C., Geometría analítica: Prentice
Hall.
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Geometría)
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