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Sobre álgebras topológicas
Encuentro Nacional de Jóvenes investigadores en
Matemáticas
Reyna María Pérez-Tiscareño
2 de Diciembre, 2015
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa
1) Introducción
2) Diferentes tipos de álgebras topológicas
3) Sobre mi trabajo de investigación
1938- Se comienza el estudio de las álgebras topológicas.
Un álgebra E es un espacio vectorial sobre el campo K con una
multiplicación, · : E × E → E que satisface que para toda
x, y, z ∈ E y λ ∈ K
x(y + z) = xy + xz
(y + z)x = yx + zx
λ(xy) = x(λy) = (λx)y.
Definición
Un álgebra topológica es un álgebra que es un espacio
vectorial topológico y la multiplicación de anillo es
separadamente continua, es decir, los operadores x 7→ xy para
cada y fija en el álgebra y y 7→ xy para cada x fija en el álgebra
son continuos.
Definición
Un espacio vectorial normado E es un espacio vectorial sobre
el campo K (K = R o K = C) con una función k · k : E → R a la
que se le llama norma y que satisface las siguientes
propiedades:
1) kxk ≥ 0 para toda x ∈ E y kxk = 0 solo si x = 0.
2) kx + yk ≤ kxk + kyk.
3) kλxk = |λ|kxk, con λ ∈ K.
Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado que es
completo (toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica
d(x, y) = kx − yk) en E es convergente).
Definición
Un álgebra de Banach es un álgebra asociativa E sobre el
campo de los números reales o complejos que es un espacio
de Banach y tal que para toda x, y ∈ E kxyk ≤ kxkkyk.
(A, k · k)
(A, {k · kα : α ∈ Λ})
(A, k · k)
(A, {k · kα : α ∈ Λ})
Definición
Una seminorma en un espacio vectorial E sobre el campo K es
una función p : E → R que satisface las siguientes condiciones:
1) p(x) ≥ 0 para toda x ∈ E
2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), x, y ∈ E
3) p(λx) =| λ | p(x), λ ∈ K.
Definición
Un álgebra localmente convexa A es un álgebra topológica que
es un espacio localmente convexo; en este caso su topología
es dada por una familia de seminormas {k · kα : α ∈ Λ} que
satisfacen que para toda α ∈ Λ existe β ∈ Λ, tal que
kxykα 6 kxkβ kykβ
para toda x, y ∈ A.
Para un álgebra localmente convexa metrizable A, existe una
sucesión de seminormas (k · kn )∞
n=1 que definen su topología y
satisfacen:
kxykn 6 kxkn+1 kykn+1
para toda x, y ∈ A.
Definición
Un álgebra A multiplicativa convexa (m-convexa) es un álgebra
localmente convexa cuya topología esta definida por una
familia de seminormas {k · kα : α ∈ Λ} tal que
kxykα 6 kxkα kykα
para toda x, y ∈ A y α ∈ Λ.
Ejemplo
Sea X un espacio topológico y denotamos por C(X), el algebra
de funciones continuas de X en C (las operaciones son
definidas puntualmente). A continuación se define para todo
subconjunto compacto K de X una seminorma submultiplicativa
sobre C(X),
pK (f ) = sup | f (x) | donde f ∈ C(X)
x∈K
(C(X), {pK }) es un álgebra m-convexa.
(A, k · k)
(A, {k · kα : α ∈ Λ})
(A, {pα (·) : α ∈ Λ})
(A, k · k)
(A, {k · kα : α ∈ Λ})
(A, {pα (·) : α ∈ Λ})
Definición
Un álgebra localmente seudoconvexa A es un álgebra
topológica que es un espacio localmente seudoconvexo; en
este caso A tiene una base U = {Uλ : λ ∈ Λ} de vecindades de
cero que consiste de conjuntos balanceados (µUλ ⊂ Uλ
cuando | µ |6 1) y conjuntos seudoconvexos (Uλ + Uλ ⊂ µUλ
para µ > 2).
La topología de un álgebra localmente seudoconvexa es dada
por una familia de kλ seminormas homogeneas
P = {pλ : λ ∈ Λ} (pλ (µa) = |µ|kλ pλ (a)), donde kλ ∈ (0, 1] para
cada λ ∈ Λ y a ∈ A.
Ejemplo
El álgebra A de funciones reales continuas, cuya familia de
seminormas es dada por:
k f kn =
sup
1
| (f (x)) n |
−n≤x≤n
es un álgebra localmente seudoconvexa.
Cuando
inf{kλ : λ ∈ Λ} = k > 0,
se dice que E es un álgebra localmente k-convexa.
Definición
Un álgebra topológica A se dice que es un álgebra topológica
completa si como espacio vectorial topológico es completo.
Un álgebra de Fréchet es un álgebra topológica metrizable y
completa.
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Álgebras normadas (N)
Álgebras de Banach(B)
Álgebras localmente convexas (LC)
Álgebras localmente acotadas (LB)
Álgebras localmente seudoconvexas (LP)
Álgebras de Gelfand-Mazur (GM)
Álgebras de Fréchet (F)
Límites inductivos de álgebras
Sea I un conjunto dirigido (no vacío) con el orden parcial ” 6 ”.
Entonces, para toda α, β ∈ I existe γ ∈ I tal que α 6 γ y β 6 γ.
Sea (Eα )α∈I una familia de álgebras y para toda α, β ∈ I con
α 6 β sea
fβα : Eα → Eβ
un homomorfismo que satisface las siguientes propiedades:
1) fαα = idEα para toda α ∈ I.
2) fγα = fγβ ◦ fβα para toda α, β, γ ∈ I tal que α 6 β 6 γ.
La familia (Eα )α∈I con los mapeos fβα definidos anteriormente
es llamada un sistema inductivo de álgebras y es denotado por
(Eα , fβα ).
Límites inductivos de álgebras
P
Sea E0 = α Eα (una unión ajena) y sean x, y ∈ E0 (entonces
x ∈ Eα y y ∈ Eβ ) son equivalentes (x ∼ y) si existe γ ∈ I tal que
α 6 γ, β 6 γ y
fγα (x) = fγβ (y).
El conjunto cociente (E0 / ∼) es llamado el límite inductivo (o
límite directo) del sistema inductivo (Eα , fβα ) y será denotado
por −
lim
→ Eα .
Límites inductivos de álgebras
Para toda α ∈ I sea iα : Eα → E0 la inclusión y π : E0 → E0 / ∼
el mapeo cociente. Entonces,
fα = π ◦ iα : Eα → E = lim
−
→Eα para toda α ∈ I
Se prueba que
E=
[
fα (Eα ).
α∈I
Además, fβ ◦ fβα = fα cuando α 6 β y fα (Eα ) ⊆ fβ (Eβ ) para toda
α, β ∈ I con α 6 β.
Límites inductivos de álgebras
Las operaciones algebraicas en −
lim
→Eα son definidas como
sigue: para toda x, y ∈ E (entonces x ∈ fα (Eα ) y y ∈ fβ (Eβ ) para
alguna α, β ∈ I) existe γ ∈ I tal que x = fγ (xγ ) y y = fγ (yγ ) para
alguna xγ , yγ ∈ Eγ .
x+y = fγ (xγ +yγ ), λx = fγ (λxγ ) para cada λ ∈ K y xy = fγ (xγ yγ ).
Con respecto a estas operaciones algebraicas el límite
inductivo −
lim
→Eα es un álgebra.
Límites inductivos de álgebras topológicas
Si se consideran límites inductivos de álgebras topológicas
(Eα , τα ), se asume que los homomorfismos fβα : Eα → Eβ
(α, β ∈ I, α 6 β) son continuos y se le da al límite inductivo
E = lim
−
→Eα la topología final τlimEα inducida por los
homomorfismos fα .
−−→
Límites inductivos de álgebras localmente
seudoconvexas Eα
Como la topología τlimEα sobre E no necesariamente es
−−→
localmente seudoconvexa, se define sobre E la topología final
localmente seudoconvexa como la topología τ dada por una
base de vecindades de x ∈ E
Lx = {x + U : U es absolutamente seudoconvexo en E y
fα−1 (U) ∈ Nτα }
donde, Nτα denota el conjunto de vecindades de cero en Eα .
(E, τ ) es un álgebra localmente seudoconvexa. Además τ es la
topología localmente seudoconvexa más fina sobre E tal que fα
es continua para toda α ∈ I .
Γk (U) =
=
n
nX
ν=1
µν uν : n ∈ N, u1 , ···, un ∈ U y µ1 , ···, µn ∈ K con
n
X
ν=1
para todo subconjunto U de E y k ∈ (0, 1].
Al conjunto Γk (U) se le llama la cerradura absolutamente
k-convexa de U en E.
Un subconjunto U ⊂ E es llamado absolutamente
seudoconvexo si U = Γk (U) para alguna k ∈ (0, 1].
| µν | k 6 1
LFpg-á lgebras,
LFp-á lgebras,
k-LFg-á lgebras,
k-LF-á lgebras
Límite inductivo
localmente
seudoconvexo
de álgebras
localmente
seudoconvexas
. . . de s ucesiones
de á lgebras
l oca lmente
ps eudoconvexas
Q-LFpg-álgebras,
Q-LFp-á lgebras
Cuando el límite inductivo E = lim
−
→Eα satisface
S
1. E = Eα y
2. Para toda α, β ∈ I existe γ ∈ I tal que S
Eα ⊆ Eγ y Eβ ⊆ Eγ .
Usaremos la notación −
lim
E
en
lugar
de
Eα .
→ α
−→
Definición
Una LF-álgebra (LFg-álgebra) es un álgebra topológica (E, τ )
tal que a
[
E=
(Eα , τα )
−→
y toda (Eα , τα ) es una F-álgebra .
Además, una álgebra topológica (E, τ ) es un LF-álgebra si E
es un límite inductivo de una sucesión creciente de F-álgebras
(En , τn ) tal que
[
E=
En ,
n∈N
τ coincide con la topología de límite inductivo mas fina sobre E
que hace continuos a los mapeos canónicos y la topología de
En+1 restringida a En coincide con τn para toda n ∈ N.
a
La topología τ en E coincide con la topología de límite inductivo más fina
definida por los mapeos canónicos fα de Eα a E para toda α ∈ I.
Proposición
Sea (E, τ ) un álgebra localmente seudoconvexa para la cual E
es un límite inductivo de F-álgebras localmente seudoconvexas
(Eα , τα ). Entonces, (E, τ ) es un LFpg-álgebra.
Propiedades de las LFpg-álgebras y LFp-álgebras
1) Sea (E, τ ) un LFpg-álgebra y J un ideal bilateral cerrado
en E. Entonces, el álgebra cociente E/J con la topología
cociente τ es un LFpg-álgebra.
2) Sean (Eα , τα ) y (Eβ , τβ ) k-LF-álgebras (completas) para
alguna k ∈ (0, 1], entonces (Eα × Eβ , τ ) donde τ denota la
topología producto es una k-LF-álgebra (completa)
3) Para toda k-LF-álgebra completa (E, τ ), k ∈ (0, 1], la
unitarización E × K de E en la topología producto es un
k-LF-álgebra completa.
Si A es un álgebra de Banach con unidad, entonces el conjunto
de elementos invertibles de A es abierto.
Un álgebra topológica con unidad, A se dice que es Q-álgebra
si el conjunto de elementos invertibles de A es abierto.
Si A es un álgebra de Banach con unidad, entonces el conjunto
de elementos invertibles de A es abierto.
Un álgebra topológica con unidad, A se dice que es Q-álgebra
si el conjunto de elementos invertibles de A es abierto.
Límite inductivo de Q-álgebras
Definición
Un álgebra topológica (E, τ ) es una Q-álgebra si el conjunto
QinvE de elementos casi-invertibles a (cuando E es un álgebra
unitaria, entonces el conjunto InvE de elementos invertibles) de
E es abierto en la topología τ .
a
Un elemento a de un álgebra A es casi-invertible , si existe un elemento
b ∈ A tal que a + b = ab.
Definición
Sea E un álgebra sobre C y a ∈ E. El espectro de a, spE (a), es
definido por
n
o
a
spE (a) = λ ∈ C \ {0} : 6∈ QinvA ∪ {0}
λ
y el radio espectral de a, ρE (a), por
ρE (a) = sup{|λ| : λ ∈ spE (a)}.
Límite inductivo localmente seudoconvexo de
Q-álgebras localmente seudoconvexas
Sea (E, τ )Sun álgebra localmente seudoconvexa sobre C tal
que E =
Eα , (Eα , τα ) son Q-álgebras localmente
−→
seudoconvexas y τ es la topología de límite inductivo
localmente seudoconvexa. Si alguno de los siguientes
propiedades se cumplen:
(1) QinvEα ∈ τ para cada α ∈ I;
(2) El radio espectral de Eα , ρEα , es una seminorma sobre
Eα para cada α ∈ I;
(3) I tiene un elemento mínimo α0 y fβα0 es un mapeo
abierto para cada β ∈ I,
entonces (E, τ ) es Q-álgebra.
Se tiene que el límite inductivo localmente convexo de una
familia numerable de álgebras normadas es un álgebra
localmente m-convexa.
Se prueba un resultado análogo en el caso de límite inductivo
k-convexo de álgebras kn -normadas.
¡Gracias!