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APLICACIÓN DE LAS MATRICES
Modelos de Entrada-Salida de Leontief
El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las
matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las
variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía.
Un modelo simplificado de la economía sería:
Entradas
Productos Agrícolas
Bienes Manufacturados
Combustibles
Salidas
Bienes
Manufacturados
0.1
0.5
0.3
Productos
Agrícolas
0.5
0.2
0.1
Combustible
0.1
0.3
0.4
A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o
Matriz de Leontief
0.5
0,1
0,1
A=
0,2
0,5
0,3
0,1
0,3
0,4
La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene
una producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la
economía con una matriz de columna
A=
x1
X2
X3
Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es la producción bruta de
bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles.
La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se
determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas
industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están
disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos
superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la
ecuación
X – AX = D ó (I – A) X=D
Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de
Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
1
algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas
a la economía
Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de
productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones
brutas?
Por datos
85
65
0
D=
Debemos resolver:
1
0
0
I–A=
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0.5
0,2
0,1
-
0
0
1
-
0,1
0,5
0,3
0,5
0,2
0,1
0,1
0,3
0,4
0,1
0,5
0,3
X1
X2
X3
x
0,1
0,3
0,4
=
0,5
-0,2
-0,1
=
85
65
0
-0,1
0,5
-0,3
Debemos resolver la ecuación matricial
0,5
-0,2
-0,1
-0,1
0,5
-0,3
-0,1
-0,3
0,6
X1
X2
X3
=
85
65
0
La matriz ampliada
es
0,5
-0,2
-0,1
-0,1
0,5
-0,3
-0,1
-0,3
0,6
85
65
0
Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene
1
0
0
0
1
0
0
0
1
300
400
250
De modo que las producciones brutas de las industrias son
Agricultura:
X1
=
300
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
2
-0,1
-0,3
0,6
Manufactura:
Combustible:
X2
X3
=
=
400
250
La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa
de I – A, si esta existe. Es decir,
(I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D
Problemas
1. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la
matriz tecnológica
C
G
0.1 0.1
Calzado
A=
0.2 0.05 Ganadería
Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado.
Encuentre la producción bruta de cada industria.
1 0  0,1 0,1   0,9  0,1
Hallemos I – A = 



0 1 0,2 0,05  0,2 0,95
I  A1 
0,95 0,1
1
(0,9)(0,95)  (0,1)(0,2)  0,2 0,9
I  A1 
1,13 0,11
1 0,95 0,1
I  A1  



0,835  0,2 0,9
0,23 1,07
 1,13 0,11 850
 1,13  850 0,11 275
990,75 calzado
X 
X 
X 



0,23 1,07 275
0,23  850 1,07  275
489,75 ganado
Verificar
(I-A)X=D
0,9
 0,1 990,75
 0,2 0,99 489,75

842,7
267,4
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
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2. Un pequeño pueblo tiene 3 industrias primarias, una mina de cobre, un ferrocarril, y una planta de energía eléctrica.
Para producir una unidad (1 $) de cobre la mina gasta $0.20 de cobre, $0.1 de transporte, $0.2 de energía eléctrica.
Para producir $1 de transporte, el ferrocarril requiere de $0.1 de cobre, $0.1 de transporte, y $0.4 de energía
eléctrica. Para producir $ 1 de energía eléctrica, la planta destina $ 0.2 de cobre, $ 0.2 de transporte, y $ 0.3 de
energía eléctrica. Suponga que durante un año hay una demanda externa de 1,2 millones de dólares de cobre, 0.8
millones de dólares de transporte, y 1.5 millones de dólares por concepto de energía ¿Cuánto debe producir cada
industria para satisfacer la demanda total?
Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica
í
í
Ahora la matriz de superávits
í
Debemos calcula
Hallamos I – A
I–A=
Calculamos (I – A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
4
Entonces
Calculamos
í
Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente 2.725 unidades de
cobre, 2.786 de ferrocarril y 3.727 de energía. Para verificar el resultado se debe comprobar que
Por lo tanto la solución es correcta.
3. Una compañía que produce, gas, aceite y gasolina, se sabe que para producir una unidad de gas requiere 1/5 del
mismo, 2/5 de aceite y 1/5 de gasolina. Para producir una unidad de aceite, requiere de 2/5 de gas y 1/5 de aceite.
Para producir una unidad de gasolina usa 1 unidad de gas y una de. Finalmente Si tiene una demanda del mercado de
100 unidades de cada producto. ¿Determinar la producción bruta de cada industria para cumplir con su mercado?
Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
5
Ahora la matriz de superávits
Debemos calcula
Hallamos I – A
I–A=
Calculamos (I – A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
Entonces
Calculamos
Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir 650 unidades de gas, 450 de aceite y
1200 de gasolina. Para verificar el resultado se debe comprobar que
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
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Por lo tanto la solución es correcta.
4. Considerando las industrias química, la médica y la de servicios, se sabe que hay una demanda de la industria
química de 0.25 de su propia producción, 0.35 de la médica, y 0.1 de servicios. Para producir una unidad de
medicamentos, se requiere de 0.15 de la industria química, 0.2 de su propia producción y 0.1 de servicios. Existe
también una demanda de la industria de servicios de 0.15 de medicamentos, 0.25 de químicos y 0.35 del mismo
transporte. Si hay una demanda externa de 600 de químicos, de 1100 de medicinas y 600 de transporte ¿Cuánto debe
producir cada industria para satisfacer la demanda total?
Por comodidad se trabajará con dos cifras decimales
Inicialmente representamos la situación en forma de matriz. Inicialmente la matriz tecnológica
A=
Química
Médica
Servicios
Química
0.25
0.15
0.25
Médica
0.35
0.20
0.15
Servicios
0.10
0.10
0.35
Ahora la matriz de superávits
D=
600
1100
600
Química
Médica
Servicios
Debemos hallar:
Calculamos I - A
Calculamos (I – A)-1, utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan
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Entonces
Calculamos
í
=
Es decir que para cumplir con la demanda del mercado se tienen que producir aproximadamente con 1937 unidades
de industria química, 1979 de medicamentos y 2129 de servicios. Para verificar el resultado se debe comprobar que
Por lo tanto la solución es correcta.
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5. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía
tiene la siguiente matriz tecnológica
Madera
Energía
A=
0,1
0,2
Madera
0,2
0,4
Energía
Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía,
encuentre la producción bruta de cada industria.
6. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la
economía tiene una matriz tecnológica
A M
0.4 0.2 Agricultura
A=
0.1 0.3 Minería
Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales,
encuentre la producción bruta de cada industria
7. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c
A=
Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente
matriz de superávits
D=
8. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz
tecnológica
Agricultura
0,1
0,02
0,05
Siderurgia
0,01
0,13
0,18
Carbón
0,01
0,20
0,05
Agricultura
Siderurgia
Carbón
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350
toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de
carbón.
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La producción bruta de calzado es aproximadamente de 991 unidades y de
ganado aproximadamente de 490 unidades
9. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica
Agricultura
0,43
0,3
0,23
Industria
0,08
0,17
0,22
Servicios
0,06
0,05
0,1
Agricultura
Industria
Servicio
Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490
unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.
10. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica
Manufactura
0,5
0,2
0,1
Agricultura
0,4
0,3
0,1
Servicios
0,2
Agricultura
0,1
Industria
0,3
Servicio
Encuentre las producciones brutas si se quieren tener superávits de 50
unidades de para manufactura, 30 unidades para agricultura y 20 para
servicios.
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