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Ejercicio. Calcule la inversa de cada matriz: ʹ ͷ Ͷ 1. ͳ Ͷ ͵൩ ͳ െ͵ െʹ ͳ ͵ ͷ 5. െͳ െͳ ʹ൩ ͳ ͷ ͳ ͳ ʹ 2. ͳ ͳ ͷ ʹ ͵ ͳ 3. ͳ ʹ ͳ ͳ Ͷ ͵൩ Ͷ ʹ 7. ͵ ͳ ͳ ͷ Ͷ 6. ͳ Ͷ ͵൩ ͳ െ͵ െʹ ʹ ͵൩ ͳ ͳ ʹ ͵ 4. െͳ ͷ ൩ െͳ ͵ ͵ ͳ ͳ Ͳ ͳ൩ ͳ ͳ ECUACIONES MATRICIALES También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes. De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son matrices de n x 1, entonces: AX = B Es una ecuación matricial. Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue: AX =B Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A-1, A-1 (AX) = A-1 B (A-1 A)X = A-1 B IX = A-1 B X = A-1 B Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de coeficientes Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 24 Ejercicio. Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones 1. –x +z =1 x + 4y – 3z = -3 x – 2y + z = 3 4. ͳ ʹͲ 2. x + y + z = 3 2x + y + z = 4 2x + 2y + z = 10 3. 2x – y – 2z = 2 3x – y + z = -3 x+y–z=7 ͵ െͺ ݔ ͳ ͵ െͳ Ͳ ݔ ͳͳ ݕ ݕ ൩ ቈ ൌ ൩ 5. ൩ ቈ ൌ Ͳ െ͵ െʹ ʹ െͳ ͳ ͻ൩ െͳʹ ʹ ݖ ͳͲ െͳ ͳ െ͵ ݖ െͺ ͳ ͳ 6. ʹ ͳ ʹ ʹ ʹ ݔ ͺ ݕ ൩ ቈ ൌ ͳ ൩ ͳ ݖ ͳͲ APLICACIÓN DE LAS MATRICES Modelos de Entrada-Salida de Leontief El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía. Un modelo simplificado de la economía sería: Entradas Productos Agrícolas Bienes Manufacturados Combustibles Productos Agrícolas 0.5 0.2 0.1 Salidas Bienes Manufacturados 0.1 0.5 0.3 Combustible 0.1 0.3 0.4 A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o Matriz de Leontief A= 0.5 0,2 0,1 Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso 0,1 0,5 0,3 0,1 0,3 0,4 Página 25 La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la economía con una matriz de columna A= x1 X2 X3 productos agrícolas, x2 es Donde x1 es la producción bruta de los producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles. la La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación X – AX = D ó (I – A) X=D Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas a la economía Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones brutas? Por datos D= 85 65 0 0,1 0,5 0,3 0,1 0,3 0,4 Debemos resolver: 1 0 0 I–A= 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0.5 0,2 0,1 - 0 0 1 - 0,5 0,2 0,1 0,1 0,5 0,3 Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso 0,1 0,3 0,4 X1 X2 X3 x = 0,5 -0,2 -0,1 = 85 65 0 -0,1 0,5 -0,3 -0,1 -0,3 0,6 Página 26 Debemos resolver la ecuación matricial 0,5 -0,2 -0,1 -0,1 0,5 -0,3 -0,1 -0,3 0,6 X1 X2 X3 = -0,1 -0,3 0,6 85 65 0 85 65 0 La matriz ampliada es 0,5 -0,2 -0,1 -0,1 0,5 -0,3 Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene 1 0 0 0 1 0 0 0 1 300 400 250 De modo que las producciones brutas de las industrias son Agricultura: Manufactura: Combustible: X1 X2 X3 = = = 300 400 250 La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de I – A, si esta existe. Es decir, (I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D Problemas 1. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía tiene la siguiente matriz tecnológica Madera Energía A= 0,1 0,2 Madera 0,2 0,4 Energía Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía, encuentre la producción bruta de cada industria. Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 27 2. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene una matriz tecnológica A M 0.4 0.2 Agricultura A= 0.1 0.3 Minería Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales, encuentre la producción bruta de cada industria 3. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c ͳǤʹ ͲǤͷ ͲǤ͵ ܽ A= ͲǤʹ ͲǤͳ ͲǤͳ൩ ܾ ͲǤʹ ͲǤʹ ͲǤͳ ܿ Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de superávits D=ͳͷͶ൩ ʹ͵ͳ 4. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura 0,1 0,02 0,05 Siderurgia 0,01 0,13 0,18 Carbón 0,01 0,20 0,05 Agricultura Siderurgia Carbón Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón. 5. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz tecnológica C G 0.1 0.1 Calzado A= 0.2 0.05 Ganadería Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 28 Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria. 6. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura 0,43 0,3 0,23 Industria 0,08 0,17 0,22 Servicios 0,06 Agricultura 0,05 Industria 0,1 Servicio Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios. Modelo Cerrado de Leontief. Si se desarrolla un modelo en el que todas las entradas y salidas se usan dentro de los sistemas, entonces dicho modelo recibe el nombre de Modelo Cerrado de Leontief. En dicho modelo, se debe incluir el trabajo (mano de obra). En este caso no hay superávits, de manera que la matriz D=0. La ecuación para el modelo cerrado de Leontief está dada por: (I – A)X = 0 donde 0 es una matriz de columnas 0. Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la matriz (I –A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución. Ejercicio. 1. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la industria L NL T 0.4 0.3 0.4 Lucrativos A = 0.2 0.4 0.2 No lucrativos 0.4 0.3 0.4 Trabajo Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 29 2. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria GE A T 3 -10 -7 Generación de Energía 0 20 -10 Agricultura 0 0 0 Trabajo 3. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. A= P M T 0.5 0.1 0.2 0.1 0.3 0 0.4 0.6 0.8 Productos Maquinarias Trabajo Encuentre las producciones brutas de la industria 4. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. A= G I T 0.4 0.1 0.3 0.4 0.3 0.2 0.2 0.6 0.5 Gobierno Industria Trabajo Encuentre las producciones brutas de la industria 5. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. A= G I 0.4 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5 T 0.2 0.3 0.5 Gobierno Industria Trabajo Encuentre las producciones brutas de la industria Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 30 6. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. A= E M T 0.2 0.1 0.1 0.6 0.5 0.1 0.2 0.4 0.8 Embarques Manufactura Trabajo Encuentre las producciones brutas de la industria 7. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. A= M 0.5 0.4 0.1 GE T 0.4 0.3 0.5 0.3 0.1 0.4 Manufactura Generación de Energía Trabajo Encuentre las producciones brutas de la industria 8. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante. A= G L NL 0.3 0.2 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 T 0.05 0.1 0.1 0.75 Gobierno Lucrativas No Lucrativas Trabajo Encuentre las producciones brutas de la industria 9. Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón electricidad y el trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de electricidad y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de carbón, 10% de electricidad y 20% de la mano de obra. La mano de obra necesita 40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria. Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 31